欧拉方程的求解

欧拉方程的求解
1.引言
在数学研究领域，我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等，让人敬佩跟羡慕.但是，迄今为止，哪位数学家的名字出现得最多呢？他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一，人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉（Leonhard Euler,1707--1783）.
几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字，譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数”
欧拉还是许多数学符号的发明者，例如用π表示
圆周率、e 表示自然对数的底、()f x 表示函数、∑表示求和、i 表示虚数单位
以欧拉命名的数学名词有很多，本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”.
在文献[1]中，关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法.变量变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程，然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解，亦即求其形如K y x =的解，进而求得欧拉方程的解.
但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难.本文在所学的欧拉方程的求解的基础上，对欧拉方程进行了简单的分类，并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理.最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明.
2.几类欧拉方程的求解
定义1 形状为
()1(1)110n n n n n n y a x y a xy a y x ---'++
++= （1）
的方程称为欧拉方程. （其中1a ，2a ，
，1n a -，n a 为常数）
2.1二阶齐次欧拉方程的求解（求形如K y x =的解）
二阶齐次欧拉方程： 2120x y a xy a y '''++=. （2） (其中1a ,2a 为已知常数）
我们注意到，方程（2）的左边y ''、y '和y 的系数都是幂函数（分别是2x 、
1a x 和02a x ），且其次依次降低一次.所以根据幂函数求导的性质，我们用幂
函数K y x =来尝试，看能否选取适当的常数K ，使得K y x =满足方程（2）. 对K y x =求一、二阶导数，并带入方程（2），得
212()0K K K K K x a Kx a x -++=
或
212[(1)]0K K a K a x +-+=,
消去K x ，有 212(1)0K a K a +-+=. （3）
定义2 以K 为未知数的一元二次方程（3）称为二阶齐次欧拉方程（2）的特征方程.
由此可见，只要常数K 满足特征方程（3），则幂函数K y x =就是方程（2）的解.
于是，对于方程（2）的通解，我们有如下结论： 定理1 方程（2）的通解为
(i) 1112ln K K y c x c x x =+, （12K K =是方程（3）的相等的实根） (ii)1212K K x c x y c +=, (12K K ≠是方程（3）的不等的实根) (iii)12cos(ln )sin(ln )x x c x x y c ααββ+=.（1,2K i αβ=±是方程（3）的一对共轭复根）
（其中1c 、2c 为任意常数）
证明 （i ）若特征方程（3）有两个相等的实根: 12K K =，则
1
1K x y =是方程（2）的解,
且设2()u x y =，11()K y x u x =（()u x 为待定函数）也是方程（2）的解（由于
2
1
()y u x y =，即1y ，2y 线性无关），将其带入方程（2），得 11122111112[()2]()0K K K x K K u K xu x u a x K u xu a x u ''''-+++++=,
约去1K x ，并以u ''、u '、u 为准合并同类项，得
22111112(2)[(1)]0x u K a xu K a K a u '''++++-+=.
由于1K 是特征方程（3）的二重根， 因此
21112(1)0K a K a +-+=
或
112(1)0K a +-=,
于是，得
20x u ux '''+=
或
0xu u '''+=,
即 ()0xu ''=, 故 12()ln u x c x c =+. 不妨取()ln u x x =，可得方程（2）的另一个特解
12ln K y x x =,
所以，方程（2）的通解为
1112ln K K y c x c x x =+.
（其中1c ，2c 为任意常数）
（ii ）若特征方程（3）有两个不等的实根: 12K K ≠，则
1
1K x y =，2
2K y x =是方程（2）的解.
又2
211()21K K K K y x x y x -==不是常数，即1y ，2y 是线性无关的. 所以，方程（2）的通解为
1
2
12K K x c x y c +=.
（其中1c ，2c 为任意常数）
（iii ）若特征方程（3）有一对共轭复根：1,2K i αβ=±（0β≠），则
()1i x y αβ+=，()2i y x αβ-=是方程（2）的两个解，
利用欧拉公式，有
()ln 1(cos(ln )sin(ln ))i i x x x e x x i x y αβαβαββ+===+， ()ln 2(cos(ln )sin(ln ))i i x x x e x x i x y αβαβαββ--===-,
显然，
12
cos(ln )2
y y x x αβ+=
和
12
sin(ln )2y y x x i
αβ-=
是方程（2）的两个线性无关的实函数解.
所以，方程（2）的通解为
12cos(ln )sin(ln )x x x x y c c ααββ=+.
（其中1c ，2c 为任意常数）
例1求方程20x y xy y '''-+=的通解. 解 该欧拉方程的特征方程为
(1)10K K K --+=，
即 2(1)0K -=, 其根为： 121K K ==, 所以原方程的通解为
12(ln )y c c x x =+.
（其中1c ，2c 为任意常数）
例2 求方程280x y xy y '''--=的通解.
解 该欧拉方程的特征方程为
2(11)80K K +---=，
即 2280K K --=, 其根为： 12K =-，24K =， 所以原方程的通解为
41
22c y c x x
=
+. （其中1c ，2c 为任意常数）
例3 求方程的通解2350x y xy y '''++=. 解 该欧拉方程的特征方程为
(1)350K K K -++=，
即 2250K K ++=,
其根为： 1,212K i =-±, 所以原方程的通解为
121
[cos(2ln )sin(2ln )]y c x c x x
=+.
（其中1c ，2c 为任意常数）
2.2二阶非齐次欧拉方程的求解（初等积分法）
二阶非齐次欧拉方程：212()x y a xy a y f x ++='''. （4）
（其中1a ，2a 为已知实常数，()f x 为已知实函数）
为了使方程（4）降阶为一阶线性微分方程，不妨设
1121a K K =--，212a K K =, （5）
则方程（4）变为
212122)(1()K a x y K K xy K y f x +--+='''，
即
212()()()x xy K y K xy K y f x ---=''', （6）
根据韦达定理，由（5）式可知，1K ，2K 是一元二次代数方程
212(1)0K a K a +-+= （3） 的两个根.
具体求解方法：
定理2 若1K ，2K 为方程（2）的两个特征根，则方程（4）的通解为 212111[()]K K K K y x x x f x dx dx ----=⎰⎰. （7）
证明 因为1K ，2K 为方程（2）的两个特征根，
于是方程（4）等价于方程（6），
令 2xy K y p '-=, 代入方程（6）并整理，得
1()
K f x p x x p =
-
' 和
2K p y y x x
'-
=, 解之，得方程（4）的通解为
212111[()]K K K K y x x x f x dx dx ----=⎰⎰.
由定理2知，只需要通过两个不定积分（当（7）式中的积分可积时）即可求得方程（4）的通解.为了方便计算，给出如下更直接的结论.
定理3 若1K ，2K 为方程（2）的两个特征根，则
（i ）当12K K =是方程（2）的相等的实特征根时，方程（4）的通解为
1
1
1
11[ln ()ln ()]K K K x x f x dx x x f x dx y x -----⋅=⎰⎰,
（ii ）当12K K ≠是方程（2）的互不相等的实特征根时，方程（4）的通解为
11221112
1
[()()]K K K K x x f x dx x x f x dx K K y ------=
⎰⎰,
（iii ）当1,2K i αβ=±是方程（2）的共轭复特征根时，方程（4）的通解为
111
[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]y x x x x f x dx x x x f x dx αααβββββ
----=
-⎰⎰
证明 （ii ）当12K K ≠是方程（2）的互不相等的的实特征根时， 将方程（1）的通解（7）进行分部积分，得
2
1
2
1
2112
2121211211112
1
12
12
112111
[()]1
[()]1{[()]}1[]
()()()K K K K K K K K K K K K K K K K K K K x x x f x dx dx
x x f x dx dx K K x x x d x f x dx K K x x K K y x f x dx x f x dx x f x dx -------------------=
-==
=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
（8） （iii ）当1,2K i αβ=±是方程（2）的共轭复特征根时，122K K i β-=， 再由欧拉公式有
1
ln [cos(ln )sin(ln )]K i i x x x e x x i x x αβαβαββ+===+,
2
ln [cos(ln )sin(ln )]K i i x x x e x x i x x αβαβαββ--===-,
将其代入(8)式，整理可得方程（4）的通解为
111
[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]
x x x x f x dx x x x f x dx y αααβββββ
-----=
⎰⎰（i ）的证明和（ii ）类似.
例1求方程22234ln y xy y x x x x '''-+=+的通解.
解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2440K K -+=， 特征根为 122K K ==, 所以由定理3，原方程的通解为
23223222232122223212[ln (ln )ln (ln )]
1
11{ln [(ln )ln ][(ln )(ln )]}2
32
11
ln [(ln )(ln )]
62
x x x x x dx x x x x x dx x x x c x x c x x c x x x x y x x c --+-⋅+++-+-+++===⎰⎰
（其中1c ，2c 为任意常数）
例2求方程2322x x y xy y x e -+='''的通解. 解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为
2320K K -+=，
特征根为 12K =，21K =， 所以由定理3，原方程的通解为
23323212212()()x x x x x x
x x e dx x x x e dx
x e c x xe e c c x c x xe y x ---=+---=++=⎰⎰
（其中1c ，2c 为任意常数）
例3求方程2cos(ln )
2x
x x y xy y -+=
'''的通解.
解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为
2220k k -+=，
特征根为 1,21K i =±, 所以由定理3，原方程的通解为
212122cos(ln )
]
cos(ln )cos(ln )
11sin(ln )
cos(ln )cos(ln )
)sin(ln )cos(ln )sin(ln )cos(ln )sin(ln )[sin(ln )]{sin(ln )(ln )cos(ln )[ln(cos(ln )]}
[][sin(ln )ln x x
x x dx dx x x x dx x dx x x x x c x y x x x x x x x x x x c x x c x c x x x ----+===+++=++⎰⎰⎰⎰
cos(ln )ln(cos(ln ))]
x x
（其中1c ，2c 为任意常数）
在定理3中，若令()0f x =，则得到二阶齐次欧拉方程（2）的通解.
推论 方程（2）的通解为
(i)1112ln K K x c x x y c +=, （12K K =是方程（2）的相等的实特征根） (ii)1212K K x c x y c +=, （12K K ≠是方程（2）的不等的实特征根） (iii)12cos(ln )sin(ln )x x c x x y c ααββ+=.（1,2K i αβ=±是方程（2）的共轭复特征根）
（其中1c ，2c 为任意常数）
2.3三阶非齐次欧拉方程的求解（常数变易法）
三阶非齐次欧拉方程：32123()x y a x y a xy a y f x +++=''''''. （9）
（其中1a ，2a ，3a 为常数） （9）对应的齐次方程为321230x y a x y a xy a y +++=''''''. （10） 特征方程为321123(3)(2)0K a K a a K a +-+-++=. （11）
定理4 设1K 是方程（11）的根，2K 是方程
22122112(31)[3(1)2]0K K a K K K a K a ++-+-++=
的根，则（9）的通解为
1
2
2
1
1
2
1
1
(231)(22){[()]}K K K K a K K a x x x f x dx dx dx y x -++-++-=⎰⎰⎰ . （12）
证明 根据条件1K y cx =（c 为任意常数）是方程（10）的解. 设1()K y c x x =是方程（9）的解（其中()c x 是待定的未知数）， 将其代入方程（9），整理得
1121111112(3)
323
1
11
1213()(3)()[3(1)2]()
[(3)(2)]()()
K c x K a x c x K K a K a x c x K a K a a K a x c x x
f x ---+-''''''+++-++++-+-++= （13）
因为1K 是（11）的根，则
321111213(3)(2)0K a K a a K a +-+-++=,
于是（13）式化为
1(3)121111112()(3)()[3(1)2]()()K c x K a x c x K K a K a x c x x f x -+--''''''+++-++=（14）
这是以()c x '为未知函数的二阶欧拉方程. 设2K 为（14）对应的齐次方程的特征方程
21111112(31)[3(1)2]0K K a K K K a K a ++-+-++=, （15）
的根，则
221121(23)(2)()[()]K K K a K K c x x x x f x dx dx -+++-'=⎰⎰.
从而2211211(23)(22){[()]}()K K K a K K a x x x f x dx dx dx c x -++++-=⎰⎰⎰. 故方程（1）的通解为
1
2
2
1
1
2
1
1
(231)(22){[()]}K K K K a K K a x x x f x dx dx dx y x -++-++-=⎰⎰⎰.
定理5 设1K 是方程（11）的根，2K 是方程（15）的根，则
（i ）当1K 是方程（11）的单实根，2K 是方程（15）的单实根，则（9）的通解为
1212121121(2)1(3)(2)121[()()](32)1K K K K K K a K K a x y x x f x dx x x f x dx dx K K a -++-++++=-++-⎰⎰⎰（ii ）当1K 是方程（11）的单实根，2K 是方程（15）的单虚根，则（9）的通解为
1
11(2)
(2){[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]}K K K x x x
x f x dx x x x f x dx dx
y x
α
ααβββββ-++-++-=⎰⎰⎰（其中11132K a α--=
，β= (iii ）当1K 是方程（11）的单实根，2K 是方程（15）的重实根，则（9）的通解为
1
2
1
2
1
2
(2)(2){[ln ()ln ()]}K K K K K K x x x f x dx x x f x dx dx y x -++-++-⋅=⎰⎰⎰,
（iv ）当1K 是方程（11）的三重实根，方程（15）变为2210K K ++=，有
21K =-，则（9）的通解为
111(1)(1)1{[ln ()ln ()]}K K K y x x x x f x dx x x f x dx dx -+-+-=-⋅⎰⎰⎰. 证明 （i ）因为2K 是方程（15）的单实根，得（14）的通解为
212121121(2)1(3)(2)31211
[()()]
(32)1
()K K K K K a K K a x x f x dx x x f x dx K K a c x -++-++++--++-=
'⎰⎰则（9）的通解为
1
212121121(2)1(3)(2)3121[()()](32)1K K K K K K a K K a x y x x f x dx x x f x dx dx K K a -++-++++-=-++-⎰⎰⎰（ii ）因为2K 是方程（14）的单虚根，此时方程（15）有一对共轭虚根
1,2
2K =
得（14）的通解为
11(2)(2)[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]
()K K x x x x f x dx x x x f x dx c x α
ααβββββ
-++-++-=
'⎰⎰则（9）的通解为
1
11(2)
(2){[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]}K K K x x x
x f x dx x x x f x dx dx
y x
α
ααβββββ-++-++-=⎰⎰⎰
（其中11132K a α--=
，β= （iii ）因为2K 是方程（15）的重实根，得（9）的通解为
1
2
1
2
1
2
(2)(2){[ln ()ln ()]}K K K K K K x x x f x dx x x f x dx dx y x -++-++-⋅=⎰⎰⎰.
（iv ）当1K 是方程（10）的三重实根（1133a K =-），方程（15）变为
222210K K ++=，有21K =-，将1133a K =-，21K =-代入（12）式得
11(1)11{[()]}K K y x x x x f x dx dx dx -+--=⎰⎰,
对上式分部积分得（9）的通解为
1
1
1
(1)(1)1{[ln ()ln ()]}K K K x x x x f x dx x x f x dx dx y -+-+-⋅-⋅=⎰⎰⎰.
例1 求三阶欧拉方程32366x y x y xy y x -+-=''''''的通解. 解 原方程对应的齐次方程为
323660x y x y xy y -+-='''''',
其特征方程为
3261160K K K -+-=，
解得其特征根为1，2，3，
取 11K =， 将11K =，13a =-，26a =，代入方程（15），得
2220K K -=,
解得
21K =或0，
利用定理5（i ）的通解公式有
323212311
[]ln 22
y x x x dx x dx dx x x c x c x c x --=-=
+++⎰⎰⎰. （其中1c ，2c ，3c 为任意常数）
例2 求三阶欧拉方程3241313x y x y xy y x ''''''-+-=的通解. 解 原方程对应的齐次方程为
32413130x y x y xy y ''''''-+-=,
其特征方程为
21613()()0K K K -+-=，
从而解得特征单实根为
11K =，
将11K =，14a =-，213a =代入方程（15），得到
222250K K -+=，
解得 1,2212i K =±. 令212i K =+，则1α=，2β=， 利用定理5（ii ）的通解公式有
33213{[sin(2ln )cos(2ln )cos(2ln )sin(2ln )]}2
11
ln [sin(2ln )cos(2ln )]816
x
x x x dx x x x dx dx
x x c x c x c x y x ---=+-+=⎰⎰⎰
（其中1c ，2c ，3c 为任意常数）
2.4 n 阶齐次欧拉方程的求解（求形如K y x =的解）
令K y x =是方程（1）的解，将其求导（需要求出y '、y ''(1)n y -、()n y ）
代入方程（1），并消去K x ，得 1(1)(1)
(1)(1)
(2)0n n K K K n a K K K n a K a ---++--++
++=. (16）
定义3 以K 为未知数的一元n 次方程（16）称为n 阶齐次欧拉方程（1）的特征方程.
由此可见，如果选取k 是特征方程（16）的根，那么幂函数k y x =就是方程（1）的解.于是，对于方程（1）的通解，我们有如下结论：
定理6 方程（1）的通解为
112211n n n n y c y c y c y c y --=++
++
（其中1c ，2c 1n c -，n c 为任意常数），且通解中的每一项都有特征方程（16）
的一个根所对应，其对应情况如下表：
例1 求方程4(4)3(3)281550x y x y x y xy '''+++=的通解.
]cos(ln k β
解 该欧拉方程的特征方程为
(1)(2)(3)8(1)(2)15(1)50K K K K K K K K K K ---+--+-+=,
整理，得
2(22)0K K K ++=，
其根为
120K K ==，3,41K i =-±，
所以原方程的通解为
3412ln cos(ln )sin(ln )c c
y c c x x x x x
=++
+. （其中1c ，2c ，3c ，4c 为任意常数）
例2 求方程(4)(3)432670x y x y x y xy y ++++='''的通解. 解 该欧拉方程的特征方程为
(1)(2)(3)6(1)(2)7(1)10K K K K K K K K K K ---+--+-++=，
整理，得
410K +=，
其根为
1,2K i =-，3,4K i =（即一对二重共轭复根），
所以原方程的通解为
1234cos(ln )sin(ln )ln cos(ln )ln sin(ln )y c x c x c x x c x x =+++.
（其中1c ，2c ，3c ，4c 为任意常数）
3.结束语
从前面的讨论过程来看，和教材中的变量变换法相比，本文中的解决办法更直接、更简单.但需要说明的是，本文中的定理和例题都是在0
x>范围内对齐次欧拉方程求解的，如果要在0
x<范围内对其求解，则文中的所有
x>范围内的结果相似.
ln x都将变为ln()x-，所得的结果和0
4.致谢
经过这好几个月忙碌的学习跟工作，本次毕业论文的写作已经接近尾声了，但这次毕业论文的写作经历让我感受颇多.
首先，自己要有很好的专业知识的储备，这也是写作的基础.
其次，自己要有严谨的思维逻辑.
再次，自己要善于思考，遇到不懂得问题就要勤于思考，查资料，问老师.
最后，自己一定要有坚持不懈的精神.毕业论文的写作是一个长期的过程，在写作过程中我们难免会遇到各种各样的过程，但我们不能因此就放弃，而要做到坚持.要相信“有付出就一定会有所收获”的.
在这里首先要感谢我的指导老师胡宏昌教授.胡老师平日里工作繁多，但在我做毕业论文阶段，他都给予了我悉心的指导，细心地纠正论文中的错误并给予指导.如果没有他的大力支持，此次论文的完成将变得非常困难.除了敬佩胡老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也值得我永远学习，并将积极影响我今后的学习和工作.然后还要感谢大学四年来我的所有的老师跟领导，为我们打下了坚实的专业知识的基础.最后祝各位评审老师身体健康，工作顺利！
5、参考文献
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