欧拉方程的求解

欧拉方程的求解

1.引言

在数学研究领域，我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等，让人敬佩跟羡慕.但是，迄今为止，哪位数学家的名字出现得最多呢？他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一，人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉（Leonhard Euler,1707--1783）.

几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字，譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数”

欧拉还是许多数学符号的发明者，例如用π表示

圆周率、e 表示自然对数的底、()f x 表示函数、∑表示求和、i 表示虚数单位

以欧拉命名的数学名词有很多，本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”.

在文献[1]中，关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法.变量变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程，然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解，亦即求其形如K y x =的解，进而求得欧拉方程的解.

但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难.本文在所学的欧拉方程的求解的基础上，对欧拉方程进行了简单的分类，并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理.最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明.

2.几类欧拉方程的求解

定义1 形状为

()1(1)110n n n n n n y a x y a xy a y x ---'++

++= （1）

的方程称为欧拉方程. （其中1a ，2a ，

，1n a -，n a 为常数）

2.1二阶齐次欧拉方程的求解（求形如K y x =的解）

二阶齐次欧拉方程： 2120x y a xy a y '''++=. （2） (其中1a ,2a 为已知常数）

我们注意到，方程（2）的左边y ''、y '和y 的系数都是幂函数（分别是2x 、

1a x 和02a x ），且其次依次降低一次.所以根据幂函数求导的性质，我们用幂

函数K y x =来尝试，看能否选取适当的常数K ，使得K y x =满足方程（2）. 对K y x =求一、二阶导数，并带入方程（2），得

212()0K K K K K x a Kx a x -++=

或

212[(1)]0K K a K a x +-+=,

消去K x ，有 212(1)0K a K a +-+=. （3）

定义2 以K 为未知数的一元二次方程（3）称为二阶齐次欧拉方程（2）的特征方程.

由此可见，只要常数K 满足特征方程（3），则幂函数K y x =就是方程（2）的解.

于是，对于方程（2）的通解，我们有如下结论： 定理1 方程（2）的通解为

(i) 1112ln K K y c x c x x =+, （12K K =是方程（3）的相等的实根） (ii)1212K K x c x y c +=, (12K K ≠是方程（3）的不等的实根) (iii)12cos(ln )sin(ln )x x c x x y c ααββ+=.（1,2K i αβ=±是方程（3）的一对共轭复根）

（其中1c 、2c 为任意常数）

证明 （i ）若特征方程（3）有两个相等的实根: 12K K =，则

1

1K x y =是方程（2）的解,

且设2()u x y =，11()K y x u x =（()u x 为待定函数）也是方程（2）的解（由于

2

1

()y u x y =，即1y ，2y 线性无关），将其带入方程（2），得 11122111112[()2]()0K K K x K K u K xu x u a x K u xu a x u ''''-+++++=,

约去1K x ，并以u ''、u '、u 为准合并同类项，得

22111112(2)[(1)]0x u K a xu K a K a u '''++++-+=.

由于1K 是特征方程（3）的二重根， 因此

21112(1)0K a K a +-+=

或

112(1)0K a +-=,

于是，得

20x u ux '''+=

或

0xu u '''+=,

即 ()0xu ''=, 故 12()ln u x c x c =+. 不妨取()ln u x x =，可得方程（2）的另一个特解

12ln K y x x =,

所以，方程（2）的通解为

1112ln K K y c x c x x =+.

（其中1c ，2c 为任意常数）

（ii ）若特征方程（3）有两个不等的实根: 12K K ≠，则

1

1K x y =，2

2K y x =是方程（2）的解.

又2

211()21K K K K y x x y x -==不是常数，即1y ，2y 是线性无关的. 所以，方程（2）的通解为

1

2

12K K x c x y c +=.

（其中1c ，2c 为任意常数）

（iii ）若特征方程（3）有一对共轭复根：1,2K i αβ=±（0β≠），则

()1i x y αβ+=，()2i y x αβ-=是方程（2）的两个解，

利用欧拉公式，有

()ln 1(cos(ln )sin(ln ))i i x x x e x x i x y αβαβαββ+===+， ()ln 2(cos(ln )sin(ln ))i i x x x e x x i x y αβαβαββ--===-,

显然，

12

cos(ln )2

y y x x αβ+=

和

12

sin(ln )2y y x x i

αβ-=

是方程（2）的两个线性无关的实函数解.

所以，方程（2）的通解为

12cos(ln )sin(ln )x x x x y c c ααββ=+.

（其中1c ，2c 为任意常数）