数学：2.4.2《求函数零点近似解的一种计算方法——二分法》课件(新人教B版必修1)
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数学：2,4,2《求函数零点近似解得1种计算方法—二分法》课件(新人教b必修1).ppt
并且有 f (a) f (b) 0，那么，函数 y f (x)在区间a,b内有零点，
即存在ca,b，使得 f (c) 0，这个c也就是方程 f (x) 0的根。
精品课件
探索新授： 问题1．能否求解以下几个方程
(1) x2-2x-1=0 (2) 2x=4-x (3) x3+3x-1=0
精品课件
用二分法求方程的近似解，实质上就是通 过“取中点”的方法，运用“逼近”思想逐步 缩小零点所在的区间。
精品课件
数学运用(应用数学)
例题：利用计算器，求方程2x=4-x的近似
解 （精确到0.1） 怎样找到它的解所在的区间呢？
在同一坐标系内画函数 y=2x 与y=4-x的图象（如图） 方程有一个解x0∈(0, 4) 如果画得很准确，可得x0∈(1, 2) 能否不画图确定根所在的区间？
练习2:
下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能
用二分法求其零点的是
（C）
y
y
y
y
x
x
x
x
0
0
0
0
问题5:根据练习2，请思考利用二分法求函数 零点的条件是什么？
1. 函数y=f (x)在[a,b]上连续不断． 2. y=f (x)满足 f (a) ·f (b)<0，则在(a,b)内必有零点.
精品课件
精品课件
激酶(kinase)是一类生物化学里的分子，从高能供体分子（如ATP）转移磷酸基团到特定靶分子（底物）的酶，这一过程谓之磷酸化。最大的激酶 族群是蛋白激酶。 激酶筛选 /jimei/ 激酶筛选 lgh79neh 蛋白激酶作用于特定的蛋白质，并改变其活性。这些激酶在细胞的信号传导及其复杂的生命活动中起到了广泛的作用。其他不同的激酶作用于小 分子物质（脂质、糖、氨基酸、核苷等等），或者为了发出信号，或者使它们为代谢中各种生化反应作好准备。
即存在ca,b，使得 f (c) 0，这个c也就是方程 f (x) 0的根。
精品课件
探索新授： 问题1．能否求解以下几个方程
(1) x2-2x-1=0 (2) 2x=4-x (3) x3+3x-1=0
精品课件
用二分法求方程的近似解，实质上就是通 过“取中点”的方法，运用“逼近”思想逐步 缩小零点所在的区间。
精品课件
数学运用(应用数学)
例题：利用计算器，求方程2x=4-x的近似
解 （精确到0.1） 怎样找到它的解所在的区间呢？
在同一坐标系内画函数 y=2x 与y=4-x的图象（如图） 方程有一个解x0∈(0, 4) 如果画得很准确，可得x0∈(1, 2) 能否不画图确定根所在的区间？
练习2:
下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能
用二分法求其零点的是
（C）
y
y
y
y
x
x
x
x
0
0
0
0
问题5:根据练习2，请思考利用二分法求函数 零点的条件是什么？
1. 函数y=f (x)在[a,b]上连续不断． 2. y=f (x)满足 f (a) ·f (b)<0，则在(a,b)内必有零点.
精品课件
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激酶(kinase)是一类生物化学里的分子，从高能供体分子（如ATP）转移磷酸基团到特定靶分子（底物）的酶，这一过程谓之磷酸化。最大的激酶 族群是蛋白激酶。 激酶筛选 /jimei/ 激酶筛选 lgh79neh 蛋白激酶作用于特定的蛋白质，并改变其活性。这些激酶在细胞的信号传导及其复杂的生命活动中起到了广泛的作用。其他不同的激酶作用于小 分子物质（脂质、糖、氨基酸、核苷等等），或者为了发出信号，或者使它们为代谢中各种生化反应作好准备。
原创1：2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法（导学式）
0.0625
由于0.0625<0.1，所以2.5可作为方程的一个正实数近似解．
题后反思
【规律方法】(1)运用二分法解题流程
(2)二分法中对结果要求的“精确度”与“精确到”有何区别？
精确度为0.1，是指二分法停止二分区间时，区间[a，b]的长
度|b－a|<0.1，此时a(或b)即为零点近似值，且此时位于区间[a，b]
A.(1,1.25)
B.(1.25,1.5)
C.(1.5,2)
[解析]∵f(1.25)·f(1.5)＜0,∴方程的根在区间(1.25,1.5)内.
答案：选B.
)
D.不能确定
变式训练：
【变式】用二分法求方程x3 −2x−5=0在区间[2，3]内的实根，取区间
中点x0=2.5，那么下一个有根的区间是______.
找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数
值近似地表示真正的零点.
归纳小结
2．二分法的记忆口诀：
函数连续值两端，相乘为负有零点，
区间之内有一数，方程成立很显然.
要求方程近似解，先看零点的区间，
每次区间分为二，分后两端近零点.
归纳小结
3．二分法求函数零点步骤的记忆口诀
定区间，找中点；中值计算两边看.
2.25
2.5
− +
3
3
f(2)<0，f(3)>0⟹2<x1<3
f(2)<0，f(2.5)>0 ⟹2<x1<2.5
f(2.25)<0，f(2.5)>0 ⟹2.25<x1<2.5
f(2.375)<0，f(2.5)>0 ⟹2.375<x1<2.5
人教B版高中数学必修一第二章求函数零点近似解的一种计算方法——二分法课件
已知假币的质量比真币的质量轻 ，现在 六、二分法的Excel实验
2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法 六、二分法的Excel实验
只 有 一 个 天 平 ， 请 你 设 计 一 个 实 验 方 案 我们把这种不断取中点来
六、二分法的Excel实验 我们把这种不断取中点来
， 要 求 用 尽 可 能 少 的 步 骤 找 出 这 枚 假 币 六、二分法的Excel实验
现在有16枚硬币，其中有一枚是假币，已知假币的质量比真币的质量轻，现在只有一个天平，请你设计一个实验方案，要求用尽可能 少的步骤找出这枚假币。
。 请 问至 少 需要 多 少次 称 量能 确 保找 出 2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法 我们把这种不断取中点来
思考： 我们把这种不断取中点来
我们把这种不断取中点来 问题1：CCTV2的一档娱乐节目，要求选手在有限的时间内猜出某一物品的售价。 六、二分法的Excel实验 解决问题的方法称为——二分法
现在有16枚硬币，其中有一枚是假币 ， 我们把这种不断取中点来
六、二分法的Excel实验 我们把这种不断取中点来
解决问题的方法称为——二分法 现在有16枚硬币，其中有一枚是假币，已知假币的质量比真币的质量轻，现在只有一个天平，请你设计一个实验方案，要求用尽可能
少的步骤找出这枚假币。 六、二分法的Excel实验 六、二分法的Excel实验 六、二分法的Excel实验 现在有16枚硬币，其中有一枚是假币，已知假币的质量比真币的质量轻，现在只有一个天平，请你设计一个实验方案，要求用尽可能 少的步骤找出这枚假币。 六、二分法的Excel实验 现在有16枚硬币，其中有一枚是假币，已知假币的质量比真币的质量轻，现在只有一个天平，请你设计一个实验方案，要求用尽可能 少的步骤找出这枚假币。 现在有这样一个信封，里面装着0元至100元，只给大家七次机会，猜这个信封里究竟有多少元？ 六、二分法的Excel实验
2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法 六、二分法的Excel实验
只 有 一 个 天 平 ， 请 你 设 计 一 个 实 验 方 案 我们把这种不断取中点来
六、二分法的Excel实验 我们把这种不断取中点来
， 要 求 用 尽 可 能 少 的 步 骤 找 出 这 枚 假 币 六、二分法的Excel实验
现在有16枚硬币，其中有一枚是假币，已知假币的质量比真币的质量轻，现在只有一个天平，请你设计一个实验方案，要求用尽可能 少的步骤找出这枚假币。
。 请 问至 少 需要 多 少次 称 量能 确 保找 出 2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法 我们把这种不断取中点来
思考： 我们把这种不断取中点来
我们把这种不断取中点来 问题1：CCTV2的一档娱乐节目，要求选手在有限的时间内猜出某一物品的售价。 六、二分法的Excel实验 解决问题的方法称为——二分法
现在有16枚硬币，其中有一枚是假币 ， 我们把这种不断取中点来
六、二分法的Excel实验 我们把这种不断取中点来
解决问题的方法称为——二分法 现在有16枚硬币，其中有一枚是假币，已知假币的质量比真币的质量轻，现在只有一个天平，请你设计一个实验方案，要求用尽可能
少的步骤找出这枚假币。 六、二分法的Excel实验 六、二分法的Excel实验 六、二分法的Excel实验 现在有16枚硬币，其中有一枚是假币，已知假币的质量比真币的质量轻，现在只有一个天平，请你设计一个实验方案，要求用尽可能 少的步骤找出这枚假币。 六、二分法的Excel实验 现在有16枚硬币，其中有一枚是假币，已知假币的质量比真币的质量轻，现在只有一个天平，请你设计一个实验方案，要求用尽可能 少的步骤找出这枚假币。 现在有这样一个信封，里面装着0元至100元，只给大家七次机会，猜这个信封里究竟有多少元？ 六、二分法的Excel实验
2013新人教B版必修一2.4.2《求函数零点近似解的一种计算方法--二分法》ppt课件
2018/12/6 ∵ 2.375与2.4375的近似值都是2.4, ∴x1≈2.4
问题2．如何描述二分法？
对于在区间[a,b]上连续不断，且f(a) · f(b)<0 的函数 y=f(x) ，通过不断地把函数 f(x) 的零点所 在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近 零点，进而得到零点(或对应方程的根)近似解的 方法叫做二分法．
例题
求函数f(x)=x3+3x-1的一个正 实数零点（精确到0.1）
2018/12/6
解：由于f(0)<0,f(1)>0, 则[0,1] 可以作为 初始区间.
用二分法逐步计算，列表如下：
端点或中点横坐 标 a0=0，b0=0 x0=0.5 计算端点或中点的 函数值 f(0)=－1，f(1)=3 f(x0)=0.625>0 确定区间
2018/12/6
[0.3203125,0.324 21875]
由上表的计算可知，区间[0.3125，
0.343755]的左、右端点精确到0.1所取的近
似值都是0.3，因此0.3就是所取函数的精 确到0.1的一个正实数零点的近似值，只需 计算5次即可得到。 同理，所取函数的精确到0.01的一个正 实数零点的近似值为0.32，计算8次可以得
y
y=x2-2x-1
x
-1 0 1 2 3
结论：借助函数 f(x)= x2-2x-1的图象，我们
发现 f(2)=-1<0, f(3)=2>0，这表明此函数图象 在区间(2, 3)上穿过x轴一次，可得出方程在区 间 (2,3)上有惟一解. 2018/12/6
思考：如何进一步有效缩小根所在的区间？
2 2 2 2
简述上述求方程近似解的过程 解：设f (x)=x2-2x-1，x1为其正的零点 x1∈(2,3) ∵ f(2)<0, f(3)>0 ∵f(2.5)=0.25>0 x1∈(2,2.5) ∴f(2)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.25)= -0.4375<0 x1∈(2.25,2.5) ∴ f(2.25)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.375)= -0.2351<0 x1∈(2.375,2.5) ∴ f(2.375)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.4375)= 0.105>0 x1∈(2.375,2.4375) ∴ f(2.375)<0, f(2.4375)>0
问题2．如何描述二分法？
对于在区间[a,b]上连续不断，且f(a) · f(b)<0 的函数 y=f(x) ，通过不断地把函数 f(x) 的零点所 在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近 零点，进而得到零点(或对应方程的根)近似解的 方法叫做二分法．
例题
求函数f(x)=x3+3x-1的一个正 实数零点（精确到0.1）
2018/12/6
解：由于f(0)<0,f(1)>0, 则[0,1] 可以作为 初始区间.
用二分法逐步计算，列表如下：
端点或中点横坐 标 a0=0，b0=0 x0=0.5 计算端点或中点的 函数值 f(0)=－1，f(1)=3 f(x0)=0.625>0 确定区间
2018/12/6
[0.3203125,0.324 21875]
由上表的计算可知，区间[0.3125，
0.343755]的左、右端点精确到0.1所取的近
似值都是0.3，因此0.3就是所取函数的精 确到0.1的一个正实数零点的近似值，只需 计算5次即可得到。 同理，所取函数的精确到0.01的一个正 实数零点的近似值为0.32，计算8次可以得
y
y=x2-2x-1
x
-1 0 1 2 3
结论：借助函数 f(x)= x2-2x-1的图象，我们
发现 f(2)=-1<0, f(3)=2>0，这表明此函数图象 在区间(2, 3)上穿过x轴一次，可得出方程在区 间 (2,3)上有惟一解. 2018/12/6
思考：如何进一步有效缩小根所在的区间？
2 2 2 2
简述上述求方程近似解的过程 解：设f (x)=x2-2x-1，x1为其正的零点 x1∈(2,3) ∵ f(2)<0, f(3)>0 ∵f(2.5)=0.25>0 x1∈(2,2.5) ∴f(2)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.25)= -0.4375<0 x1∈(2.25,2.5) ∴ f(2.25)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.375)= -0.2351<0 x1∈(2.375,2.5) ∴ f(2.375)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.4375)= 0.105>0 x1∈(2.375,2.4375) ∴ f(2.375)<0, f(2.4375)>0
2018-2019学年高中数学2.4函数与方程2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法—二分法课件新人教B版必修1
(2)函数 f(x)＝|x|可以用二分法求其零点．
( ×)
(3)二分法求函数的零点的近似值适合于变号零点．( √ )
2．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是( )
答案：A
二分法概念的理解 [典例] 下列图象所表示的函数中能用二分法求零点的是
()
二分法的适用条件 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图 象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此， 用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零 点适用，对函数的不变号零点不适用．
x3＝0.687 5
f(0.687 5)≈－0.288＜0 [0.687 5,0.75]
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以 0.75 可作为方程的一个
正实数近似解．
个近似零点．(精确到 0.1)
[解] 用二分法逐步计算，列表如下：
端点或中点横坐标
计算端点或中点 的函数值
定区间
a0＝1，b0＝2 x0＝1＋2 2＝1.5
f(1)＝－1，f(2)＝1 f(x0)＝－0.25＜0
[1,2] [1.5,2]
x1＝1.52＋2＝1.75
f(x1)＝0.312 5＞0 [1.5,1.75]
a0＝0，b0＝1 x0＝0.5
f(0)＝－3，f(1)＝2 f(0.5)＝－1.25＜0
[0,1] [0.5,1]
端点或中点横坐标 计算端点或中点的函数值 定区间
x1＝0.75
f(0.75)≈0.094＞0
[0.5,0.75]
x2＝0.625
f(0.625)≈－0.637＜0 [0.625,0.75]
2．4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
求函数零点近似解的一种计算方法二分法 PPT课件 人教课标版
函数与方程
函数零点的存在性
用二分法求函数零点 的近似解
本节内容在中学数学代数部分的位置：
不等式
代数式
方程
函数 应
用
（三）本节课的教学目标、重点与难点分析
1、知识与技能目标：
了解变号零点与不变号零点的区别， 会判断函数变号零点的存在性，能借 助计算器用二分法求出给定函数满足 一定精度要求的零点的近似解 ；
2、从善如登，从恶如崩。
•
3、现在决定未来，知识改变命运。
•
4、当你能梦的时候就不要放弃梦。
•
5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。
•
6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。
•
7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。
•
8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。
•
54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。
•
55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。
•
56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。
•
57、理想的路总是为有信心的人预备着。
•
58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。
•
59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。
•
60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。
x323q 2 q 2 2 3 p 313q 2 q 2 2 3 p 3
其中
， 1
1 2
3i
2
1 2
3i
y
2、思考新办法阶段：
oa
bx
y
o ya
bx
b
oa
函数零点的存在性
用二分法求函数零点 的近似解
本节内容在中学数学代数部分的位置：
不等式
代数式
方程
函数 应
用
（三）本节课的教学目标、重点与难点分析
1、知识与技能目标：
了解变号零点与不变号零点的区别， 会判断函数变号零点的存在性，能借 助计算器用二分法求出给定函数满足 一定精度要求的零点的近似解 ；
2、从善如登，从恶如崩。
•
3、现在决定未来，知识改变命运。
•
4、当你能梦的时候就不要放弃梦。
•
5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。
•
6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。
•
7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。
•
8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。
•
54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。
•
55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。
•
56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。
•
57、理想的路总是为有信心的人预备着。
•
58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。
•
59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。
•
60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。
x323q 2 q 2 2 3 p 313q 2 q 2 2 3 p 3
其中
， 1
1 2
3i
2
1 2
3i
y
2、思考新办法阶段：
oa
bx
y
o ya
bx
b
oa
求函数零点近似解的一种计算方法二分法ppt 人教课标版
人教B版 必修一
第二章 函数
说课
2.4.2求函数零点近似解的一种计算 方法——二分法
a
ab 2
b
一、教学内容
二、学情分析 三、教与学的方法
四、教学过程设计
五、教学反思
一、教学内容
（一）本节课在教材中的地位
（二）本节内容的知识结构体系 （三）本节课的教学目标、重点与难点分析
（二）本节内容的知识结构体系
5
ab 2
b
“形”的方面：
y
e a o d c b xf(x)=x3+2x-4的零点近似解问题， 总结二分法的一般实施步骤。
2.5 2
1.5
fx = x3+2x-4
1
0.5
-4
-3
-2
-1 -0.5
1
2
3
4
-1
-1.5
-2
-2.5
五、教学反思
三、教与学的方法
（一）本节课贯彻的教育理念和教学思想
1、新课标强调要为学生提供开阔的探索空 间及合作体验的机会，并且倡导积极主动、 勇于探索的学习方式。 2、提倡利用信息技术来实现以往教学中难 以呈现的课程内容。 3、学生在利用函数的性质求解函数零点近 似解的过程中，认识函数与方程的联系，能 初步感悟数值逼近中所蕴含的极限思想。
三、教与学的方法
（二）教学方法和教学活动安排
在本节课中突出问题引导、方法总结与学生 思维训练，遵循“发现新问题---分析解决方 案---实施方法步骤---归纳新知---学以致用” 的教学环节，由特殊到一般，由具体到抽象， 循序渐进训练学生思维，给学生更多独立思 考的空间，因而采用教师启发、学案导学与 学生自主探究相结合的教学方法。
第二章 函数
说课
2.4.2求函数零点近似解的一种计算 方法——二分法
a
ab 2
b
一、教学内容
二、学情分析 三、教与学的方法
四、教学过程设计
五、教学反思
一、教学内容
（一）本节课在教材中的地位
（二）本节内容的知识结构体系 （三）本节课的教学目标、重点与难点分析
（二）本节内容的知识结构体系
5
ab 2
b
“形”的方面：
y
e a o d c b xf(x)=x3+2x-4的零点近似解问题， 总结二分法的一般实施步骤。
2.5 2
1.5
fx = x3+2x-4
1
0.5
-4
-3
-2
-1 -0.5
1
2
3
4
-1
-1.5
-2
-2.5
五、教学反思
三、教与学的方法
（一）本节课贯彻的教育理念和教学思想
1、新课标强调要为学生提供开阔的探索空 间及合作体验的机会，并且倡导积极主动、 勇于探索的学习方式。 2、提倡利用信息技术来实现以往教学中难 以呈现的课程内容。 3、学生在利用函数的性质求解函数零点近 似解的过程中，认识函数与方程的联系，能 初步感悟数值逼近中所蕴含的极限思想。
三、教与学的方法
（二）教学方法和教学活动安排
在本节课中突出问题引导、方法总结与学生 思维训练，遵循“发现新问题---分析解决方 案---实施方法步骤---归纳新知---学以致用” 的教学环节，由特殊到一般，由具体到抽象， 循序渐进训练学生思维，给学生更多独立思 考的空间，因而采用教师启发、学案导学与 学生自主探究相结合的教学方法。
2018_2019学年高中数学第二章函数2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法—二分法课件新人教B版必修1
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确到0.1)为
.
解析:由表知,f(1.375)· f(1.437 5)<0,故方程的根x0∈(1.375,1.437 5), 且|1.437 5-1.375|=0.062 5<0.1, 故x0≈1.4. 答案:1.4
类型三 易错辨析 【例3】 用二分法求方程x2-3=0的一个近似正解,要求精确到0.1. 错解:因为f(1)=-2<0,f(2)=1>0,f(1)· f(2)<0,所以x0∈[1,2]. 取区间[1,2]的中点x1=1.5, f(1.5)=-0.75<0, 因为f(1.5)· f(2)<0,所以x0∈[1.5,2]. 取区间[1.5,2]的中点x2=1.75, f(1.75)=0.062 5,因为0.062 5<0.1, 所以原方程的近似解可取为1.75. 纠错:错解在于理解精确度不正确,精确度ε满足的关系式为|a-b|<ε, 错解中认为是|f(x)|<ε, 并且精确到0.1也误取成了小数点后两位.
2.下列图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是(
A )
解析:只有A中函数零点不是变号零点.
3.(2018· 北京市海淀中关村中学高一上期中)已知定义在R上的函数f(x)的 图象是连续不断的,且有如下对应值表: x 1 2 2.9 C ) 3 -3.5 f(x) 6.1 那么函数f(x)一定存在零点的区间是( (A)(-∞,1) (C)(2,3) (B)(1,2) (D)(3,+∞)
因为f(1.5)· f(1.75)<0,所以x0∈[1.5,1.75].
取区间[1.5,1.75]的中点x3=1.625,f(1.625)=-0.359 375, 因为f(1.625)· f(1.75)<0,所以x0∈[1.625,1.75].
【数学】2.4.2《求函数零点近似解的一种计算方法——二分法》课件(新人教B版必修1)
继续实施上述步骤，直到区间[a n ,bn ],函数的零点 总位于区间[a n ,bn ]上，当a n 和bn 按照给定的精确度所取得 近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y=f(x)的近似 零点，计算终止.这时函数y=f(x)的近似零点满足给定的精确度.
问题3 如何描述二分法？ 问题3．如何描述二分法？
3
由于2.375与2.4375的近似值都为2.4,停止操作,所求近似解为2.4。
数离形时少直观，形离数时难入微！
已知函数y = f ( x)定义在区间D上，求它在D上的一个零点 x 0的近似值x，使它满足给定的精确度.
步骤： 第一步 在Ｄ内取一个闭区间［a 0 ,b0 ],使f(a 0 )与f（b0） 异号，即f(a 0 )⋅ f（b0）<0.零点位于区间［a 0 ,b0 ]中. 第二步 取区间［a 0 ,b0 ]的中点，则此中点对应的坐标为 1 1 x 0 =a 0 + （b0 − a 0） （a 0 + b0） = 2 2
1．简述上述求方程近似解的过程
解：设f (x)=x2-2x-1，x1为其正的零点 x1∈(2,3) ∵ f(2)<0, f(3)>0 ∵f(2.5)=0.25>0 x1∈(2,2.5) ∴f(2)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.25)= -0.4375<0 x1∈(2.25,2.5) ∴ f(2.25)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.375)= -0.2351<0 x1∈(2.375,2.5) ∴ f(2.375)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.4375)= 0.105>0 x1∈(2.375,2.4375) ∴ f(2.375)<0, f(2.4375)>0 ∵ 2.375与2.4375的近似值都是2.4, ∴x1≈2.4 通过自己的语言表达，有助于对概念、方法的理解!
人教新课标高中数学B版必修1《2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法》课件
由上表的计算可知，区间[1.376，1.4375] 的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是1.4， 因此1.4就是所取函数的一个正实数零点的近 似值。
函数f(x)=x3+x2－2x－2 的图象如图所示，实 际上还可以用二分法 继续计算下去，进而 得到这个零点精确度 更高的近似值。
二分法概念
y
x
1
2
3
4
5
6
6
5
-3
10
-5
-23
f (x)
A 1,2,2,3 B 2,3,3,4 C2,3,3,4,4,5 D 3,4,4,5,5,6
4. 用二分法求函数f(x)=x3-x-2在区间[1，2]内的 一个零点.（精确到0.1）
分析：由于 f(1 ) <0，f(2)>0 所以f(x) =x3-x-1区间[1，2]内存在零点 取区间[1，2]作为计算的初始区间
(2) f (x) x3 x 2, x1, 2
探究
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是
连续不断的一条曲线，且f(a)·f(b)<0，
则函数y=f(x)在区间[a,b]上零点是否 是唯一的？
零点存在性定理（教材P72） 如果函数 y f (x) 在区间[a，b]上的图像不间
断，并且在它的两个端点处的函数值异号， 即 f(a)·f(b)<0 ，则这个函数在这个区间上，
的步骤”吗?
二分法求方程近似解的口诀:
定区间，找中点， 中值计算两边看; 同号去，异号算， 零点落在异号间; 周而复始怎么办? 精确度上来判断.
练习：
1、如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二
分法求y图中交点横坐y标的是____（y__1_）_ （3） y
人教B版必修1数学2.4.2《求函数零点近似解的一种计算方法-二分法》PPT课件
• [解析] 选项B中的函数零点是不变号零点，不能用 二分法求解．
• [答案] B
• 函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且 f(a)·f(b)<0，则这个函数在这个区间上( )
• A．只有一个变号零点 • B．有一个不变号零点 • C．至少有一个变号零点 • D．不一定有零点 • [答案] C
• 6．已知f(x)＝x5＋x－3在区间[1,2]内有零点，求 方程x5＋x－3＝0在区间[1,2]内的一个近似解(精确
到0.1)．
• [解析] 设f(x)＝x5＋x－3，取[1,2]作为计算的初
始区间，用二分法逐次计算列表如下：
端点(中点)坐标
x1＝1＋2 2＝1.5 x2＝1＋21.5＝1.25
• [解析] 如图所示，因为f(x)在[a，b]上的图象不 间断，且f(a)与f(b)异号，故f(x)在[a，b]上必有
零点，并且可能不止一个，故选C．
•用二分法求函数零点的近似值
•
求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个为
正数的零点(精确到0.1)．
ห้องสมุดไป่ตู้
• [分析] 先找一个两端点函数值符号相反的区间， 然后用二分法逐步缩小零点所在的区间，直到达到要
• 第1次取中点把焊接点数减半为64÷2＝32个， • 第2次取中点把焊接点数减半为32÷2＝16个， • 第3次取中点把焊接点数减半为16÷2＝8个， • 第4次取中点把焊接点数减半为8÷2＝4个， • 第5次取中点把焊接点数减半为4÷2＝2个， • 第6次取中点把焊接点数减半为2÷2＝1个， • 所以至多需要检测6次．
f(x4)＝0.548892>0
x5＝1.125＋2 1.1875 ＝1.15625
• [答案] B
• 函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且 f(a)·f(b)<0，则这个函数在这个区间上( )
• A．只有一个变号零点 • B．有一个不变号零点 • C．至少有一个变号零点 • D．不一定有零点 • [答案] C
• 6．已知f(x)＝x5＋x－3在区间[1,2]内有零点，求 方程x5＋x－3＝0在区间[1,2]内的一个近似解(精确
到0.1)．
• [解析] 设f(x)＝x5＋x－3，取[1,2]作为计算的初
始区间，用二分法逐次计算列表如下：
端点(中点)坐标
x1＝1＋2 2＝1.5 x2＝1＋21.5＝1.25
• [解析] 如图所示，因为f(x)在[a，b]上的图象不 间断，且f(a)与f(b)异号，故f(x)在[a，b]上必有
零点，并且可能不止一个，故选C．
•用二分法求函数零点的近似值
•
求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个为
正数的零点(精确到0.1)．
ห้องสมุดไป่ตู้
• [分析] 先找一个两端点函数值符号相反的区间， 然后用二分法逐步缩小零点所在的区间，直到达到要
• 第1次取中点把焊接点数减半为64÷2＝32个， • 第2次取中点把焊接点数减半为32÷2＝16个， • 第3次取中点把焊接点数减半为16÷2＝8个， • 第4次取中点把焊接点数减半为8÷2＝4个， • 第5次取中点把焊接点数减半为4÷2＝2个， • 第6次取中点把焊接点数减半为2÷2＝1个， • 所以至多需要检测6次．
f(x4)＝0.548892>0
x5＝1.125＋2 1.1875 ＝1.15625
高中数学第2章函数2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法__二分法课件新人教B版必修1
x
轴必有一个交点(x2,0),易知
x2=x1
−
������(���������1���1)--������������0(������0)·f(x1),若 f(x2)=0,则 x2 为它的实根.若 f(x2)≠0,则和二分法类
似,根据 f(x)在区间[x0,x2],[x2,x1]两端是否异号而求出区间.若
1234
归纳总结1.用二分法求函数的零点的近似值的方法仅适用于函 数的变号零点,对函数的不变号零点不适用.
2.利用二分法求得的函数零点可能是近似值,也可能是准确值.用 二分法求函数零点时,一次只能求出一个近似值.
记忆口诀函数连续值两端,相乘为负有零点, 区间之内有一数,方程成立很显然. 要求方程近似解,先看零点的区间, 每次区间分为二,分后两端近零点.
1234
1.函数的零点 (1)概念. 一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的值等于零,即f(α)=0,则α叫做 这个函数的零点. (2)意义. 方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数 y=f(x)有零点.
1234
名师点拨1.并不是每一个函数都有零点.例如,函数
y=
1 ������
等于
.
解析:依题意知2和3是方程x2+ax+b=0的两个根,
故
2 2
+ ×
3 3
= =
-������, ������,
解得a=-5,b=6,
所以a-b=-11.
答案:-11
【做一做2-2】 已知函数f(x)=ax2+4x+a有二阶零点,则a的值
为
.
解析:由题意可知f(x)是二次函数,且Δ=0,即42-4a2=0,得a=±2.
课件3：2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
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中央电视台曾有一档娱乐节目“幸运52”， 主持人李咏会给选手在限定时间内猜某一物品售价的机会， 如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标．某次 猜一种品牌的手机，手机价格在500～1 000元之间．选手开始 报价：1 000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了； 700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了； 851元，恭喜你，你猜中了，表面上看猜价格具有很大的碰运 气的成分，实际上，游戏报价的过程体现了“逼近”的数学 思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
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实施上述步骤，直到an，bn精确到规定的精确度的近似值 _相__等___时，那么这个值就是方程f(x)＝0的一个近似解，计算终 止．
求函数零点的近似值，所选取的起始区间可以不同，最 后结果也不尽相同，但相同精确度、取相同位数的近似值一 定_相__同___．
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二分法的概念 函数图象与x轴均有公共点，但不能用二分法 求公共点横坐标的是( )
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[分析] 题目中给出了各个函数的图象，通过图象与x轴 的交点，结合二分法的概念以及使用二分法求函数零点的条 件，判断是否可以使用二分法．
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[错解] 选手开始报价：1 000元，主持人回答：高了； 紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880 元，高了；850元，低了；851元．恭喜你，猜中了！
2018-2019版高中数学人教B版必修一课件：2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
4
[预习导引] 1.二分法的概念
对于在区间[a， b]上连续不断且 f(a)f(b)＜0 的函数y＝f(x)，
通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二，使区
间的两个端点 逐步逼近为零点 ，进而得到零点近似值的
方法叫做二分法.由函数的零点与相应的方程根的关系， 可用二分法来求 方程的近似解 .
①该函数有三个变号零点； ②所有零点之和为0； ③当x＜－2 时，恰有一个零点； ④当0＜x＜1时，恰有一个零点. A.①② B.①②④ C.②③ D.①②③ 解析 函数y＝f(x)的三个变号零点分别是－1,0,1.所以①②③正确.
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
13
1
要点二 二分法求函数零点近似解
f(x4)≈－0.561 8＜0 [1.687 5，1.75]
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
15
1.687 5＋1.75 x5 ＝ ＝ f(x5)≈－0.171＜0 [1.718 75，1.75] 2 1.718 75 1.718 75＋1.75 x6 ＝ ＝ f(x6)≈0.03＞0 [1.718 75，1.734 375] 2 1.734 375
至此可以看出，区间[1.718 75,1.734 375]内的所有值精确到0.1
11
规律方法
函数的零点分为变号零点和不变号零点，
若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函 数的变号零点；从图象来看，若图象穿过x轴，则此零
点为变号零点，否则为不变号零点 .二分法只能求函数
的变号零点.
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
4
[预习导引] 1.二分法的概念
对于在区间[a， b]上连续不断且 f(a)f(b)＜0 的函数y＝f(x)，
通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二，使区
间的两个端点 逐步逼近为零点 ，进而得到零点近似值的
方法叫做二分法.由函数的零点与相应的方程根的关系， 可用二分法来求 方程的近似解 .
①该函数有三个变号零点； ②所有零点之和为0； ③当x＜－2 时，恰有一个零点； ④当0＜x＜1时，恰有一个零点. A.①② B.①②④ C.②③ D.①②③ 解析 函数y＝f(x)的三个变号零点分别是－1,0,1.所以①②③正确.
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
13
1
要点二 二分法求函数零点近似解
f(x4)≈－0.561 8＜0 [1.687 5，1.75]
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
15
1.687 5＋1.75 x5 ＝ ＝ f(x5)≈－0.171＜0 [1.718 75，1.75] 2 1.718 75 1.718 75＋1.75 x6 ＝ ＝ f(x6)≈0.03＞0 [1.718 75，1.734 375] 2 1.734 375
至此可以看出，区间[1.718 75,1.734 375]内的所有值精确到0.1
11
规律方法
函数的零点分为变号零点和不变号零点，
若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函 数的变号零点；从图象来看，若图象穿过x轴，则此零
点为变号零点，否则为不变号零点 .二分法只能求函数
的变号零点.
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
原创2：2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法（探究式）
答案：B．
课堂练习
2．下列函数不能用二分法求零点的是( )
A.f(x)=x3
B.f(x)=lnx+3
C.f(x)=x2+2x+1
D.f(x)= −x2+2x+2
[解析] 对于C，f(x)=(x+1)2≥0，不能用二分法．
答案：A
课堂练习
3．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
3.计算f(x1)
若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；
若f(a)·f(x1)<0，则此时零点x0∈ (a, x1) ；
若f(x1)·f(b)<0，则此时零点x0∈ ( x1,,b) ；
4.判断是否达到精确度ε，即若 |a−b|< ε 则得到零点近似值a(或b),
否则重复2~4.
典例精讲：题型一：对二分法概念的理解
f(1.600 0)≈0.200
f(1.587 5)≈0.133
f(1.575 0)≈0.067
f(1.562 5)≈0.003 f(1.556 25)≈－0.029 f(1.550 0)≈－0.060
据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确度
1.5625.
0.01)为________．
典例精讲：题型二：利用二分法求方程的近似解
【例2】求函数f(x)=lnx+2x－6的零点在(2,3)上的近似值(精确度：0.1)
[解析] 初始区间（2，3），且f(2) < 0, f(3) > 0，列表：
区间(a,b)
中点值m
f(a)
f(b)
f(m)近似值 精确度|a−b|
（2，3）
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2010-8-2
的近似值都是1.4, ∴x0≈1.4 ∵ 1.375与1.4375的近似值都是 与 的近似值都是
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1．利用 ＝f(x)的图象，或函数赋值法 即验证 ．利用y＝ 的图象 或函数赋值法(即验证 的图象， f (a)f(b)＜0 )，判断近似解所在的区间 b). ＜ ，判断近似解所在的区间(a, 2．“ 二分 ” 解所在的区间 ， 即取区间 ． 二分”解所在的区间，即取区间(a, b) a+b 的中点 = x
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问题2． 不解方程， 如何求方程x 问题 ． 不解方程 ， 如何求方程 2-2x-1=0的 的 一个正的近似解（精确到0.1） 一个正的近似解（精确到 ）? 画出y=x2-2x-1的图象 如图 的图象(如图 画出 的图象 如图)
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用二分法求方程的近似解，实质上就是通 用二分法求方程的近似解， 取中点”的方法，运用“逼近” 过 “ 取中点 ” 的方法 ， 运用 “ 逼近 ” 思想逐步 缩小零点所在的区间。 缩小零点所在的区间。
2010-8-2
应用数学) 数学运用(应用数学 应用数学
例题：利用计算器，求方程2 例题：利用计算器，求方程 x=4-x的近似解 （精确到 ） - 的近似解 精确到0.1）
怎样找到它的解所在的区间呢？ 怎样找到它的解所在的区间呢？ 在同一坐标系内画函数 y=2x 的图象（ 与y=4-x的图象（如图） - 的图象 如图） 方程有一个解x 方程有一个解 0∈(0, 4) 如果画得很准确，可得 如果画得很准确，可得x0∈(1, 2) 能否不画图确定根所在的区间？ 能否不画图确定根所在的区间？
2010-8-2
思考：如何进一步有效缩小根所在的区间？ 思考：如何进一步有效缩小根所在的区间？
2 2 2 2 2
+
3
2.25
+ 2.5 + 2.5
+
y
3
+
y=x2-2x-1
3
+
x
-1 0 1 2 3
+ 2.25 2.375 2.5
- -
3
+ 2.25 2
2.5
- -
+ +
2
பைடு நூலகம்
2.5
3
2.25 2.375 2.5 2.4375
2010-8-2
复习：
2、零点存在性判定法则 、
如果函数 y = f (x)在区间[ a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，
并且有 f (a) f (b) < 0，那么，函数 y = f (x) 在区间 ( a, b) 内有零点，
即存在 c∈( a,b) ，使得 f (c) = 0，这个 c也就是方程 f (x) = 0的根。
2010-8-2
2010-8-2
探索新授： 探索新授： 问题1． 问题 ．能否求解以下几个方程
(1) x2-2x-1=0 (2) 2x=4-x (3) x3+3x-1=0
指出：用配方法可求得方程 的解， 指出：用配方法可求得方程x2-2x-1=0的解， 的解 但此法不能运用于解另外两个方程. 但此法不能运用于解另外两个方程
2010-8-2
解：设函数 f (x)=2x+x-4 上是增函数∵ 则f (x)在R上是增函数∵f (0)= -3<0, f (2)=2>0 在 上是增函数 内有惟一零点， ∴ f (x)在(0,2)内有惟一零点， 在 内有惟一零点 内有惟一解x 方程2 在 内有惟一解 ∴方程 x+x-4 =0在(0, 2)内有惟一解 0. 由f (1)= -1<0, f (2)=2>0 得：x0∈(1,2) 由f (1.5)= 0.33>0, f (1)=-1<0 得：x0∈(1,1.5) 由f (1.25)= -0.37<0, f (1.5)>0 得：x0∈(1.25,1.5) 由f (1.375)= -0.031<0, f (1.5)>0 得：x0∈(1.375,1.5) 由 f (1.4375)= 0.146>0, f (1.375)<0 得： x0∈(1.375,1.4375)
y
y=x2-2x-1
x
-1 0 1 2 3
结论： 的图象， 结论：借助函数 f(x)= x2-2x-1的图象，我们 - 的图象
发现 f(2)=-1<0, f(3)=2>0，这表明此函数图象 ， 在区间(2, 上穿过 轴一次， 上穿过x轴一次 在区间 3)上穿过 轴一次，可得出方程在区 上有惟一解. 间(2,3)上有惟一解 上有惟一解
2010-8-2
理解数学) 回顾反思(理解数学)
思考题 从上海到美国旧金山的海底电缆有15 从上海到美国旧金山的海底电缆有 个接点， 现在某接点发生故障， 个接点 ， 现在某接点发生故障 ， 需及时修 为了尽快断定故障发生点， 理 ， 为了尽快断定故障发生点 ， 一般至少 需要检查几个接点？ 需要检查几个接点？ 6 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2010-8-2
问题3 如何描述二分法？ 问题3．如何描述二分法？
对于在区间[a,b]上连续不断，且f(a) f(b)<0 上连续不断， 对于在区间 上连续不断 的函数y=f(x)， 通过不断地把函数 的函数 ， 通过不断地把函数f(x)的零点所 的零点所 在的区间一分为二， 使区间的两端点逐步逼近 在的区间一分为二 ， 零点，进而得到零点(或对应方程的根 或对应方程的根)近似解的 零点，进而得到零点 或对应方程的根 近似解的 方法叫做二分法． 方法叫做二分法．
1
2
3．计算f )： 3．计算f (x1)： (1)若f (x1)＝0，则x0＝x1； 若 ＝ ， (2)若f (a)f(x1)＜0，则令 ＝x1 (此时 0∈(a, x1)); 此时x 若 ＜ ，则令b＝ 此时 (3)若f (a)f(x1)＜0，则令 ＝x1 (此时 0∈(x1,b)). 此时x 若 ＜ ，则令a＝ 此时
3
由于2.375与2.4375的近似值都为 2.4,停止操作,所求近似解为2.4。
2010-8-2
数离形时少直观，形离数时难入微！
1．简述上述求方程近似解的过程 解：设f (x)=x2-2x-1，x1为其正的零点 x1∈(2,3) ∵ f(2)<0, f(3)>0 ∵f(2.5)=0.25>0 x1∈(2,2.5) ∴f(2)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.25)= -0.4375<0 x1∈(2.25,2.5) ∴ f(2.25)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.375)= -0.2351<0 x1∈(2.375,2.5) ∴ f(2.375)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.4375)= 0.105>0 x1∈(2.375,2.4375) ∴ f(2.375)<0, f(2.4375)>0 ∵ 2.375与2.4375的近似值都是2.4, ∴x1≈2.4 通过自己的语言表达，有助于对概念、方法的理解!
1
y=x3
有惟一解x 有惟一解 0∈(0,1)
0 1
x
y=1-3x
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练习2: 练习 下列函数的图象与x轴均有交点 轴均有交点,其中不能 下列函数的图象与 轴均有交点 其中不能 用二分法求其零点的是 （C ） y y y y
0
x
0
x
0
x
0
x
问题5:根据练习 ， 问题 根据练习2，请思考利用二分法求函数 根据练习 零点的条件是什么？ 零点的条件是什么？ 1. 函数 函数y=f (x)在[a,b]上连续不断． 上连续不断． 在 上连续不断 2. y=f (x)满足 f (a) f (b)<0，则在 内必有零点. 满足 ，则在(a,b)内必有零点 内必有零点
1
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课堂小结
1. 理解二分法是一种求方程近似解的常用 方法． 方法． 能借助计算机( 2. 能借助计算机 ( 器 ) 用二分法求方程的近 似解，体会程序化的思想即算法思想． 似解，体会程序化的思想即算法思想． 进一步认识数学来源于生活， 3. 进一步认识数学来源于生活 ， 又应用于 生活． 生活． 感悟重要的数学思想： 等价转化、 4. 感悟重要的数学思想 ： 等价转化 、 函数 与方程、 数形结合、 与方程 、 数形结合 、 分类讨论以及无限逼 近的思想. 近的思想.
； ；
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4．判断是否达到给定的精确度，若达到，则 ．判断是否达到给定的精确度，若达到， 得出近似解；若未达到，则重复步骤2～ ． 得出近似解；若未达到，则重复步骤 ～4．
练习1： 练习 ： 求方程x 的一个近似解(精确到 求方程 3+3x-1=0的一个近似解 精确到 0.01) 的一个近似解 的图象比较困难， 画y=x3+3x-1的图象比较困难， 的图象比较困难 变形为x 变形为 3=1-3x，画两个函数的图象如何？ ，画两个函数的图象如何？ y
2.4.1求函数零点近似解的一种计算方法 2.4.1求函数零点近似解的一种计算方法 ——二分法 ——二分法 课件
2010-8-2
复习：
1、函数的零点的定义： 、函数的零点的定义：
使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
的近似值都是1.4, ∴x0≈1.4 ∵ 1.375与1.4375的近似值都是 与 的近似值都是
问题5：能否给出二分法求解方程 问题 ：能否给出二分法求解方程f(x)=0(或 或 g(x)=h(x))近似解的基本步骤？ 近似解的基本步骤？ 近似解的基本步骤
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1．利用 ＝f(x)的图象，或函数赋值法 即验证 ．利用y＝ 的图象 或函数赋值法(即验证 的图象， f (a)f(b)＜0 )，判断近似解所在的区间 b). ＜ ，判断近似解所在的区间(a, 2．“ 二分 ” 解所在的区间 ， 即取区间 ． 二分”解所在的区间，即取区间(a, b) a+b 的中点 = x
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问题2． 不解方程， 如何求方程x 问题 ． 不解方程 ， 如何求方程 2-2x-1=0的 的 一个正的近似解（精确到0.1） 一个正的近似解（精确到 ）? 画出y=x2-2x-1的图象 如图 的图象(如图 画出 的图象 如图)
由图可知：方程 由图可知：方程x2-2x-1=0 的一个根x 在区间(2,3)内， 的一个根 1在区间 内 另一个根x 在区间(另一个根 2在区间 -1,0)内． 内
问题4：二分法实质是什么？ 问题 ：二分法实质是什么？
用二分法求方程的近似解，实质上就是通 用二分法求方程的近似解， 取中点”的方法，运用“逼近” 过 “ 取中点 ” 的方法 ， 运用 “ 逼近 ” 思想逐步 缩小零点所在的区间。 缩小零点所在的区间。
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应用数学) 数学运用(应用数学 应用数学
例题：利用计算器，求方程2 例题：利用计算器，求方程 x=4-x的近似解 （精确到 ） - 的近似解 精确到0.1）
怎样找到它的解所在的区间呢？ 怎样找到它的解所在的区间呢？ 在同一坐标系内画函数 y=2x 的图象（ 与y=4-x的图象（如图） - 的图象 如图） 方程有一个解x 方程有一个解 0∈(0, 4) 如果画得很准确，可得 如果画得很准确，可得x0∈(1, 2) 能否不画图确定根所在的区间？ 能否不画图确定根所在的区间？
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思考：如何进一步有效缩小根所在的区间？ 思考：如何进一步有效缩小根所在的区间？
2 2 2 2 2
+
3
2.25
+ 2.5 + 2.5
+
y
3
+
y=x2-2x-1
3
+
x
-1 0 1 2 3
+ 2.25 2.375 2.5
- -
3
+ 2.25 2
2.5
- -
+ +
2
பைடு நூலகம்
2.5
3
2.25 2.375 2.5 2.4375
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复习：
2、零点存在性判定法则 、
如果函数 y = f (x)在区间[ a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，
并且有 f (a) f (b) < 0，那么，函数 y = f (x) 在区间 ( a, b) 内有零点，
即存在 c∈( a,b) ，使得 f (c) = 0，这个 c也就是方程 f (x) = 0的根。
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探索新授： 探索新授： 问题1． 问题 ．能否求解以下几个方程
(1) x2-2x-1=0 (2) 2x=4-x (3) x3+3x-1=0
指出：用配方法可求得方程 的解， 指出：用配方法可求得方程x2-2x-1=0的解， 的解 但此法不能运用于解另外两个方程. 但此法不能运用于解另外两个方程
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解：设函数 f (x)=2x+x-4 上是增函数∵ 则f (x)在R上是增函数∵f (0)= -3<0, f (2)=2>0 在 上是增函数 内有惟一零点， ∴ f (x)在(0,2)内有惟一零点， 在 内有惟一零点 内有惟一解x 方程2 在 内有惟一解 ∴方程 x+x-4 =0在(0, 2)内有惟一解 0. 由f (1)= -1<0, f (2)=2>0 得：x0∈(1,2) 由f (1.5)= 0.33>0, f (1)=-1<0 得：x0∈(1,1.5) 由f (1.25)= -0.37<0, f (1.5)>0 得：x0∈(1.25,1.5) 由f (1.375)= -0.031<0, f (1.5)>0 得：x0∈(1.375,1.5) 由 f (1.4375)= 0.146>0, f (1.375)<0 得： x0∈(1.375,1.4375)
y
y=x2-2x-1
x
-1 0 1 2 3
结论： 的图象， 结论：借助函数 f(x)= x2-2x-1的图象，我们 - 的图象
发现 f(2)=-1<0, f(3)=2>0，这表明此函数图象 ， 在区间(2, 上穿过 轴一次， 上穿过x轴一次 在区间 3)上穿过 轴一次，可得出方程在区 上有惟一解. 间(2,3)上有惟一解 上有惟一解
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理解数学) 回顾反思(理解数学)
思考题 从上海到美国旧金山的海底电缆有15 从上海到美国旧金山的海底电缆有 个接点， 现在某接点发生故障， 个接点 ， 现在某接点发生故障 ， 需及时修 为了尽快断定故障发生点， 理 ， 为了尽快断定故障发生点 ， 一般至少 需要检查几个接点？ 需要检查几个接点？ 6 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 14 15
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问题3 如何描述二分法？ 问题3．如何描述二分法？
对于在区间[a,b]上连续不断，且f(a) f(b)<0 上连续不断， 对于在区间 上连续不断 的函数y=f(x)， 通过不断地把函数 的函数 ， 通过不断地把函数f(x)的零点所 的零点所 在的区间一分为二， 使区间的两端点逐步逼近 在的区间一分为二 ， 零点，进而得到零点(或对应方程的根 或对应方程的根)近似解的 零点，进而得到零点 或对应方程的根 近似解的 方法叫做二分法． 方法叫做二分法．
1
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3．计算f )： 3．计算f (x1)： (1)若f (x1)＝0，则x0＝x1； 若 ＝ ， (2)若f (a)f(x1)＜0，则令 ＝x1 (此时 0∈(a, x1)); 此时x 若 ＜ ，则令b＝ 此时 (3)若f (a)f(x1)＜0，则令 ＝x1 (此时 0∈(x1,b)). 此时x 若 ＜ ，则令a＝ 此时
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由于2.375与2.4375的近似值都为 2.4,停止操作,所求近似解为2.4。
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数离形时少直观，形离数时难入微！
1．简述上述求方程近似解的过程 解：设f (x)=x2-2x-1，x1为其正的零点 x1∈(2,3) ∵ f(2)<0, f(3)>0 ∵f(2.5)=0.25>0 x1∈(2,2.5) ∴f(2)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.25)= -0.4375<0 x1∈(2.25,2.5) ∴ f(2.25)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.375)= -0.2351<0 x1∈(2.375,2.5) ∴ f(2.375)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.4375)= 0.105>0 x1∈(2.375,2.4375) ∴ f(2.375)<0, f(2.4375)>0 ∵ 2.375与2.4375的近似值都是2.4, ∴x1≈2.4 通过自己的语言表达，有助于对概念、方法的理解!
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y=x3
有惟一解x 有惟一解 0∈(0,1)
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x
y=1-3x
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练习2: 练习 下列函数的图象与x轴均有交点 轴均有交点,其中不能 下列函数的图象与 轴均有交点 其中不能 用二分法求其零点的是 （C ） y y y y
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x
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问题5:根据练习 ， 问题 根据练习2，请思考利用二分法求函数 根据练习 零点的条件是什么？ 零点的条件是什么？ 1. 函数 函数y=f (x)在[a,b]上连续不断． 上连续不断． 在 上连续不断 2. y=f (x)满足 f (a) f (b)<0，则在 内必有零点. 满足 ，则在(a,b)内必有零点 内必有零点
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课堂小结
1. 理解二分法是一种求方程近似解的常用 方法． 方法． 能借助计算机( 2. 能借助计算机 ( 器 ) 用二分法求方程的近 似解，体会程序化的思想即算法思想． 似解，体会程序化的思想即算法思想． 进一步认识数学来源于生活， 3. 进一步认识数学来源于生活 ， 又应用于 生活． 生活． 感悟重要的数学思想： 等价转化、 4. 感悟重要的数学思想 ： 等价转化 、 函数 与方程、 数形结合、 与方程 、 数形结合 、 分类讨论以及无限逼 近的思想. 近的思想.
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4．判断是否达到给定的精确度，若达到，则 ．判断是否达到给定的精确度，若达到， 得出近似解；若未达到，则重复步骤2～ ． 得出近似解；若未达到，则重复步骤 ～4．
练习1： 练习 ： 求方程x 的一个近似解(精确到 求方程 3+3x-1=0的一个近似解 精确到 0.01) 的一个近似解 的图象比较困难， 画y=x3+3x-1的图象比较困难， 的图象比较困难 变形为x 变形为 3=1-3x，画两个函数的图象如何？ ，画两个函数的图象如何？ y
2.4.1求函数零点近似解的一种计算方法 2.4.1求函数零点近似解的一种计算方法 ——二分法 ——二分法 课件
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复习：
1、函数的零点的定义： 、函数的零点的定义：
使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点