高等代数第一章

A
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作业：P17 1，2，3.
A
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1.4 整数的一些整除性质
一、内容分布
整除与带余除法
最大公因数
互素
素数的简单性质
二、教学目的
1.理解和掌握整除及其性质。
2.掌握最大公因数性质、求法。
3.理解互素、素数的简单性质。
三、重点、难点
整除、最大公因数性质、互素有关的证明 。
A
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一、整除与带余除法
射，简称满射.
f : A B 是满射必要且只要对于B中的每一元素y ， 都有A中元素x 使得 f (x) y .
关于映射，只要求对于A中的每一个元素x，有B中的一个 唯一确定的元素y与它对应，但是A中不同的元素可以有相同的
象.
定义3 设 f : A B是一个映射，如果对于A中任意两
个元素 x1 和 x2 ，只要x1 x2 ，就有 f (x1) f (x2 )，那么就
| r r || a(q q) || a |
由此或者 r | a | r | a |，或者 r | a | r | a |。不论是哪 一种情形，都将导致矛盾。这样必须 q q 0 ，从而 r-r 0 ，也就是说 q q, r r.
A
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A
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二、 最大公因数
设a，b是两个整数，满足下列条件的整数 d 叫作a 与b的最大公因数：
C 的一个映射. 那么对于每一个 x A g，( f (x)) 是C中
的一个元素. 因此，对于每一 x A ，就有C 中唯一的 确定的元素 g( f (x)) 与它对应，这样就得到A到C 的一个
映射，这映射是由 f : A B 和 g : B C 所决定的，称
为 f 与g 的合成（乘积），记作g f . 于是有
称f 是A到B 的一个单映射，简称单射.
A
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定义3：如果f 既是满射，又是单射，即如果f 满
足下面两个条件: ① f ( A) B
② f (x1 ) f (x2 ) x1 x2 对于一切 x1, x2 A ，那 么就称f 是A 到B 的一个双射或一一映射。
一个有限集合A到自身的双射叫做A的一个置换.
A
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定理1.4.2 任意 n(n 2)个整数 a1, a2 , , an 都有最
大公因数。如果d是a1, a2 , , an 的一个最大公因数，那 么 - d 也是一个最大公因数；a1, a2 , , an 的两个最大公因
数至多只相差一个符号。
证 由最大公因数的定义和整除的基本性质，最后一个论断 是明显的。
那么存在一对整数q和r，使得
b aq r且0 r | a |
满足以上条件整数q和r 的唯一确定的。 证 令 S {b ax | x Z ,b ax 0}。因为 a 0，所以S
是N 的一个非空子集。根据最小数定理（对于N），S 含有一个最小数。也就是说，存在q Z ，使得 r=b-aq 是S 中最小数。于是b=aq+r，并且 r 0 。如果 r | a |，
与它对应.
用字母f，g，…表示映射. 用记号 f : A B 表示f 是A到B的一个映射.
如果通过映射f，与A中元素x对应的B中元素是y，
那么就写作 f : x y
这时y 叫做 x 在f 之下的象，记作 f (x) .
A
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A
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注意: ① A与B可以是相同的集合，也可以是不同的集
合 ② 对于A的每一个元素x，需要B中一个唯一确定
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1.3 数学归纳法
内容分布 最小数原理 数学归纳法的依据 教学目的 掌握最小数原理，并能熟练应用数学归纳法。 重点、难点
最小数原理的理解，数学归纳法原理的证明。
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一、 最小数原理
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数学归纳法的理论依据——最小数原理（正整数的
一个最基本的性质）.
注意 最小1数．原最理小数正原整理数并集不N是* 的对任于意任一意个数非集空都子成集立S的必含有 一个2最．小设数c，是也任就意是一这个样整一数个，数令 a S ，对任意 c S 都
有 a c . 其中 NM*c表示{x全 体Z |正x 整 c数} N * {1,2,3, } 的集合.
那么其代替正整数集 N *，最小数原理对于 M c 仍然成 立. 也就是说，M c 的任意 一个非空子集必含有一个最
小数，特别，N 的任意一个非空了集必含有一个最小
数.
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二、数学归纳法原理
g f : A C; (g f )(x) g( f (x))
对于一切 x A ,f 与g 的合成可以用下面的图示意：
gf
A
C
f
g
A
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B
A
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设给映射 f : A B ，g : B C ，h : C D，有 h (g f ) (h g) f .
但是，一般情况下 f g g f
现证，任意n个整数 a1, a2 , , an 有最大公因数。如果 果a1 a2 an 0，那么0显然就是 a1, a2 , , an的最大公因数。
设 a1, a2 , , an不全为零，考虑Z 的子集
I {t1a1 tn an | ti Z ,1 i n}
I 显然不是空集，因为对于每一个A i
A
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设A是非空集合, jA : A A ，x x, 称为A上的 恒
等映射。
设A，B是两个非空集合，用 jA 和 jB 表示A和B的 恒等映射. 设f : A B 是A到B的一个映射. 显然有：
f jA f ，jB f f .
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四 单射、满射、双射
定义2 设f 是A到B的一个映射，如果 f ( A) B ,那 么说称f 是A到B上的一个映射，这时也称f 是一个满映
的元素与它对应. ③ 一般说来，B中的元素不一定都是A中元素的
象. ④ A中不相同的元素的象可能相同.
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二、映射的相等及像
设 f : A B ，g : A B 都是A到B的映射，如果对于 每一 x，都f有fg(x) g(x)，那么就说映射f与g是相等的. 记 作 f g
例 令 f : R R, x | x |, g : R R, x x 2 那么 f g .
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ai 0 ai 0 ai1 1 ai 0 ai1 0 an I
又因为 a1, a2 , , an 不全为零，所以I 含有非零整数。因
此
I {s | s I且s 0}
是正整数集的一个非空子集，于是由最小数原理，I 有
一个最小数d. 下证明，d 就是 a1, a2 , , an 的一个最大公
定理1.3.1（数学归纳法原理）设有一个与正整
数n 有关的命题. 如果 ①当n=1 时. 命题成立； ②假设当n=k 时命题成立，当n=k+1 时命题也
成立；那么这个命题对于一切正整数n 都成立.
证 设命题不对一切正整数都成立. 令S 表示使命
题不成立的正整数所成的集合. 那么S Ø . 于是，由最 小数原理，S 中有最小数h .因为命题对于n=1 成立，所
那么 r | a | r, r 0 ，而
r
b b
a(q a(Aq
1), 1),
若a 若a
0 0
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所以 r S且r r 。这是与r 是S 中最小数的事实矛盾。 因此 r a .
假设还 q, r Z ，使得
b aq r且0 r | a |
于是就有 a(q q) r r 。如果 q q 0 那么
A
1
A
2
A
3
AHale Waihona Puke 4A5A
6
A
7
A
8
A
9
A
10
A
11
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12
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13
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14
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作业：P7 3--7.
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1.2 映 射
一、映射的概念及例
定义1 设A，B 是两个非空的集合，A到B 的一个 映射指的是一个对应法则，通过这个法则，对于集合A 中的每一个元素 x，有集合B中一个唯一确定的元素 y
设 f : A B 是一个映射. 对于x A ，x的象 f (x) B. 一切这样的象作成B的一个子集，用 f (A) 表示： f (a) { f (x) | x Af}( A) { f (x) x A} ， 叫做A在f 之下的象，或者叫做映射f 的象.
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三、 映射的合成
设 f : A B 是A到B 的一个映射，g : B C 是B 到
定理1.4.4 n 个整数 a1, a2 , , an 互素的充分且必要条件是
存在整数 t1,t2 , ,tn ，使得
（1） t1a1 t2a2 tn an 1
证 如果 a1, a2 , , an 互素， 那么由定理1.4.2立即得到等式
（1）成立。反过来，设等式（1）成立。令 (a1 , a2 , , an ) c
以h 1,从而h-1 是一个正整数. 因为h是S中最小的数，所
以 h 1 S . 这就是说当n=h-1 时，命题成立. 于是由②， 当n=h时命题也成立. 因此 h S. 这就导致矛盾.
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定理1.3.2（第二数学归纳法） 设有一个与正整数n 有关的命题. 如果
① 当n=1时命题成立； ② 假设命题对于一切小于k的自然数来说成立，则 命题对于k也成立； 那么命题对于一切自然数n来说都成立.
因数。
首先，因为 d I ，所以d >0并且d 有形式
d t1a1 tn an , ti Z (1 i n)
又由带余除法，有