空间中平行关系知识点小结
空间几何的平行与垂直关系知识点总结
空间几何的平行与垂直关系知识点总结空间几何是研究点、线、面等几何形体在空间中的相互关系和特性的学科。
在空间几何中，平行和垂直是两种重要的关系。
本文将总结空间几何中的平行与垂直关系的知识点。
一、平行关系平行是指两条直线或两个平面在空间中永远不会相交的关系。
平行关系在日常生活和工程建设中经常被应用到。
1. 平行关系的性质- 平行线与同一平面内的直线交线的两个内角是同位角，即两个内角之和等于180度。
- 平行线与同一平面外的直线交线的两个内角也是同位角，同位角性质适用于平行于同一平面内的两条直线。
2. 判定平行关系的方法- 平行线的判定：如果两条直线上有一点与第三条直线上的两个点重合，并且这两条直线分别与第三条直线平行，则这两条直线是平行线。
- 平行面的判定：如果两个平面上有一条直线与第三个平面上的两条直线重合，并且这两个平面分别与第三个平面平行，则这两个平面是平行面。
3. 平行线的性质- 平行线投影性质：平行于同一平面内的两条直线的等角投影相等。
- 平行线的方向性：平行线有确定的方向，可以延长或缩短，但方向不会改变。
二、垂直关系垂直是指两条直线或两个平面相交成直角的关系。
垂直关系在几何学、建筑学和物理学中都有广泛应用。
1. 垂直关系的性质- 垂直关系性质一：两个直角相等。
- 垂直关系性质二：两个互相垂直的直线或两个互相垂直的平面，其中一个与第三个垂直，则它们与第三个也是垂直关系。
- 垂直关系性质三：垂直于同一面的直线与该面的交线垂直。
2. 判定垂直关系的方法- 判定直线垂直关系的方法：如果两条直线上有一点与第三条直线上的两个点重合，并且这两条直线分别与第三条直线垂直，则这两条直线是垂直的。
- 判定面垂直关系的方法：如果两个平面上有一条直线与第三个平面上的两条直线相交成直角，并且这两个平面分别与第三个平面垂直，则这两个平面是垂直的。
三、平行和垂直关系的应用平行和垂直关系在日常生活和工程建设中具有广泛的应用。
空间中的平行与垂直例题和知识点总结
空间中的平行与垂直例题和知识点总结在立体几何的学习中，空间中的平行与垂直关系是非常重要的内容。
理解和掌握这些关系，对于解决相关的几何问题具有关键作用。
下面我们通过一些例题来深入探讨，并对相关知识点进行总结。
一、平行关系（一）线线平行1、定义：如果两条直线在同一平面内没有公共点，则这两条直线平行。
2、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
例 1：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：EF∥A₁C₁。
证明：连接 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF∥AC。
又因为正方体中，AC∥A₁C₁，所以 EF∥A₁C₁。
（二）线面平行1、定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行。
2、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
例 2：已知四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，M 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 MBD。
证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO。
因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 AC 的中点。
又因为 M 是 PC 的中点，所以MO∥PA。
因为 MO⊂平面 MBD，PA⊄平面 MBD，所以 PA∥平面MBD。
（三）面面平行1、定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。
2、判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
例 3：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，求证：平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
证明：因为 A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，且 A₁B 和 A₁D 是平面A₁BD 内的两条相交直线，D₁C 和 B₁C 是平面 B₁D₁C 内的两条相交直线，所以平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
二、垂直关系（一）线线垂直1、定义：如果两条直线所成的角为 90°，则这两条直线垂直。
空间中的平行关系
1．空间两条互相平行的直线指的是( ) A．在空间没有公共点的两条直线 B．分别在两个平面内的两条直线 C．分别在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线 D．在同一平面内且没有公共点的两条直线
答案：D
2.
(
设 AA1 是正方体的一条棱， 这个正方体中与 AA1 平行的棱共有 ) A．1 条 B．2 条 C ．3 条 D．4 条
如图：空间四边形ABCD中， AC、BD是它的对角线
空间四边形的常见画法经常用一个平面衬托，如下图
中的两种空间四边形ABCD和ABOC.
空间两条直线的位置关系有三种：
位置关系 相交直线 共面情况 在同一平面内 公共点个数 有且只有一个
平行直线
异面直线
在同一平面内
不在任何一平面内
没 有
没 有
类型一 基本性质 4 的应用 【例 1】
变式训练 1 已知棱长为 a 的正方体 ABCD－A′B′C′D′ 中，M、N 分别为 CD、AD 的中点． 求证：四边形 MNA′C′是梯形．
证明：如图，连结 AC，
1 ∵M、N 分别为 CD、AD 的中点，∴MN=2AC. 1 由正方体的性质可知 AC=A′C′，∴MN=2A′C′.∴四边形 MNA′C′是梯形.
证明：如图所示，在正方体 AC1 中，取 A1B1 的中点 M，连结 BM、MF1，
1 则 BF＝A1M＝2AB. 又 BF∥A1M，
∴四边形 A1FBM 为平行四边形． ∴A1F∥BM. 而 F1，M 分别为 C1D1，A1B1 的中点，则 F1M 綊 C1B1. 而 C1B1 綊 BC，∴F1M∥BC，且 F1M＝BC.
答案：C
3．空间中有两个角 α，β，它们的两边互相平行，且 α＝60° ， 则 β 为( ) A．60° B．120° C．30° D．60° 或 120°
高二数学 空间平行关系
高二数学空间平行关系知识要点（一）直线与直线平行的判定方法1、利用定义：在同一个平面内，不相交的两条直线互相平行；2、利用平行公理：空间中平行于同一条直线的两条直线互相平行；3、利用直线与平面平行的性质定理：直线和平面平行，经过该直线的平面与已知平面相交，则该直线和交线平行；4、利用平面和平面平行的性质定理：两个平面互相平行，和第三个平面相交，它们的交线互相平行；5、利用直线和平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行；6、利用直线和平面平行的性质：一直线和两相交平面平行，则该直线和这两个平面的交线平行。
（二）直线与平面平行的判定方法1、利用定义：直线与平面无公共点，则该直线和该平面平行；2、利用直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线和平面内一条直线平行，则该直线和该平面平行（线线平行，则线面平行）。
3、利用平面和平面平行的性质：两个平面互相平行，则一个平面内任意一条直线都平行于第二个平面。
（三）平面和平面平行的判定方法1、利用定义：两个平面没有公共点，则这两个平面平行；2、利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内两条相交直线平行，则这两个平面平行；3、利用平面与平面平行的判定：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行；4、利用平面与平面平行的传递性：平行于同一个平面的两个平面互相平行．5、利用直线与平面垂直的性质：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；（四）直线与平面平行的性质1、性质定理：直线和平面平行，经过该直线的平面与已知平面相交，则该直线和交线平行；2、直线和平面平行的性质：一直线和两相交平面平行，则该直线和这两个平面的交线平行。
（五）平面与平面平行的性质1、平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
2、平面与平面平行的性质：两个平面互相平行，则一个平面内任意一条直线均平行于第二个平面。
平行线与平面的关系知识点总结
平行线与平面的关系知识点总结平行线与平面是几何学中重要的基本概念，它们之间有着密切的关系。
本文将对平行线与平面的相关知识点进行总结。
一、基本定义平行线：在平面内，如果两条直线在同一个平面内永不相交，则它们是平行线。
平面：平面是由无数平行线构成的。
平面也可以用一个曲面无限延伸在空间中形成。
二、平行线的性质1. 平行线的唯一性：在平面内，通过一点可以且只可以画出一条与已知直线平行的直线。
2. 平行线的传递性：若直线l与m平行，m与n平行，则l与n平行。
3. 平行线的对应角性质：当两条直线被一条截线所切割时，所得到的对应角相等。
4. 平行线的同位角性质：当两条直线被一条截线所切割时，所得到的同位角相等。
三、平行线与平面的关系1. 平行线与平面的交点：平行线与同一个平面相交于无穷远点。
2. 平面与平行线的位置关系：一个平面内的两条平行线，它们所在的平面也平行于它们。
四、平行线与平面的判定方法平行线与平面的判定方法主要有以下几种：1. 垂直线判定法：若一条直线与平面内一直线垂直，则该直线与该平面上的另一条直线平行。
2. 平行线判定法：当两线的斜率相等且截距不相等时，可以确定两条线平行。
3. 同一平面内两直线垂直于同一直线时，这两直线平行。
4. 平面内有两直线和另一条直线垂直，则这两直线平行。
五、平面与平面之间的关系平面与平面之间的关系主要有以下几种情况：1. 平面平行于另一平面。
2. 平面垂直于另一平面。
3. 平面与平面之间存在夹角。
六、应用示例平行线与平面的概念和性质在实际应用中具有广泛的运用。
以下是一些应用示例：1. 在建筑设计中，需要考虑平行线与平面的关系，以确定建筑物的结构和平面布局。
2. 在地图测量和导航系统中，平行线和平面的概念被用于确定地理位置和路线规划。
3. 在工程制图和机械设计中，平行线与平面的关系用于确定零件位置和装配要求。
综上所述，平行线与平面是几何学中的重要概念，它们之间有着密切的关系。
空间几何中的平行与垂直关系
空间几何中的平行与垂直关系空间几何是研究空间中点、线、面及其相关性质和关系的数学学科。
在空间几何中，平行和垂直是两个基本的关系。
本文将介绍平行和垂直的概念、性质以及它们在空间几何中的应用。
一、平行关系平行是指两条直线或两个面永远不会相交的关系。
在空间几何中，我们可以通过以下方式判断两条直线是否平行：1. 直线的斜率相等：如果两条直线的斜率相等，那么它们是平行的。
这是因为两条直线的斜率相等，意味着它们的倾斜角度相同，在空间中永远不会相交。
2. 直线的方向向量平行：如果两条直线的方向向量平行，那么它们是平行的。
我们可以通过计算两条直线的方向向量，并判断它们是否平行。
3. 直线的截距比相等：如果两条直线的截距比相等，那么它们是平行的。
我们可以通过计算两条直线的截距比，并判断它们是否相等。
平行的性质：1. 平行具有传递性：如果直线l1与直线l2平行，直线l2与直线l3平行，那么直线l1与直线l3平行。
2. 平行具有对称性：如果直线l1与直线l2平行，那么直线l2与直线l1平行。
平行的应用：1. 平行线在平面图形中的应用：平行线在平面图形中有着重要的应用，如矩形、平行四边形等。
在这些图形中，平行线的存在使得我们可以推导出图形的性质和定理。
2. 平行线在建筑设计中的应用：建筑设计中常常需要使用平行线来确定建筑物的边界、墙壁等。
二、垂直关系垂直是指两条直线或两个面之间存在直角的关系。
在空间几何中，我们可以通过以下方式判断两条直线是否垂直：1. 直线斜率之积为-1：如果两条直线的斜率之积为-1，那么它们是垂直的。
这是因为两条直线的斜率之积为-1，意味着它们相互垂直。
2. 直线的方向向量垂直：如果两条直线的方向向量垂直，那么它们是垂直的。
我们可以通过计算两条直线的方向向量，并判断它们是否垂直。
3. 直线的斜率之和为0：如果两条直线的斜率之和为0，那么它们是垂直的。
这是因为两条直线的斜率之和为0，意味着它们相互垂直。
空间中的平行关系方法总结
空间平行方法总结
平行关系：线线平行、线面平行、面面平行
线线平行：两直线平行必定共面，所以线线平行问题在空间中只是作为证明线面平行或者面面平行的工具使用，不会直接考查。
常见的线线平行有：（1）平行四边形对边平行；（2）三角形的中位线平行对应边；（3）两平行平面与第三个平面相交，则两条交线平行（面面平行的性质定理）；（4）垂直于同一平面的两直线平行；（5）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这条直线相交，那么这条直线和交线平行（线面平行的性质定理）；（6）平行的传递性；
线面平行：线面平行判定定理为，平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
所以线面平行的核心归结为证明线线平行。
面面平行：面面平行的判定定理为，一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
既证明两平面平行只需证明两条相交线与一个平面平行即可，所以面面垂直归结为线线垂直。
总结：在空间平行关系中主要为:线线平行、线面平行、面面平行，考查题目主要类型为线面平行和面面平行，面面平行通过证明两组线面平行，线面平行通过证明线线平行，所以要熟练掌握线线平行的证明，也是空间中平行的核心内容。
空间中的平行(经典)
空间中的平行一、知识梳理<一>线线平行与线面平行1.线线平行：定义：空间中两直线共面且没有交点，则两直线平行.证明两直线平行的主要方法是：①三角形中位线平行并等于底边的一半；②平行四边形两组对边分别平行；③梯形的一组对边平行；④直线平行的传递性：若a//b,b//c,则a//c.2.线面平行定义：若直线和平面没有交点，则称直线和平面平行.判定1：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.（只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）////a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭判定2:两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行.a a a a αβαββααβ⇒⇒⊂⊂⎫⎫⎬⎬⎭⎭或线面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行.<二>面面平行1.定义：若两个平面没有交点，则两个平面平行2.判断：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.,,a b a b A a b αααβββ⊂⊂⎫⎪=⇒⎬⎪⎭,,,a b a b A a a b b a b ααββ⊂⎫⎪=⎪⇒⎬''⎪⎪''⊂⎭判定定理的推论： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面上的两条直线分别平行，两平面平行.3.两平面平行的性质： 性质Ⅰ：如果一个平面与两平行平面都相交，那么它们的交线平行.a ab b αβαγβγ=⇒=⎫⎪⎬⎪⎭性质Ⅱ：平行于同一平面的两平面平行；性质Ⅲ：夹在两平行平面间的平行线段相等；,,A C AC BD B D AB CD αβαβ∈⇒=∈⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭二、典例精析【例1】如图所示的几何体中，△ABC 是任意三角形，AE ∥CD ，且AE ＝AB ＝2a ，CD ＝a ，F 为BE 的中点．求证：DF ∥平面ABC .【练习】如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．求证：MN ∥平面P AD .【例2】已知正方形ABCD 所在的平面和正方形ABEF 所在的平面相交与AB ，M 、N 分别是AC 、BF 上的中点.求证：MN//平面BCE .【练习】如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，E 为PD 的上一点，且PE=2ED ．若F 为PE 的中点.求证：BF ∥平面AEC .【例3】如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥DC ，AB ⊥BC ．AB =BC=22AD ，点E 在棱PB 上，且PE=2EB ．求证：PD ∥平面EAC .【练习】如图，正四棱锥P-ABCD 中，PA=AB ，点M ，N 分别在PA ，BD 上，且31==BD BN PA PM .求证：MN ∥平面PBC .2【例4】a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合平面，现给出六个命题①a ∥c ，b ∥c ⇒a ∥b ②a ∥γ ，b ∥γ ⇒a ∥b ③α∥c ，β∥c ⇒α∥β④ α∥γ ，β∥γ ⇒α∥β ⑤α∥c ，a ∥c ⇒α∥a ⑥α∥γ ，a ∥γ ⇒α∥a其中正确的命题是（ ）A.①②③⑥ B ．①④⑤ C ．①④ D ．①④⑥【练习】下面六个命题中正确命题的个数是（ ）①如果a 、b 是两条直线，b a //，那么a 平行于经过b 的任何一个平面；②如果直线a 和平面α满足a //α,那么a 与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a //α,b //α,那么b a //；④如果直线a 、b 和平面α满足b a //，a //α，α⊄b ，那么b //α；⑤如果直线a 与平面α上的无数条直线平行，则a //α；⑥如果平面α的同侧有两点A 、B 到平面α的距离相等，则AB //α.A. 0B. 1C. 2D. 3【例5】一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（ ）A ．异面B ．相交C ．平行D ．不能确定【练习】直线a //平面α，α内有n 条直线交于一点，这n 条直线直线中与直线a 平行的直线（ ）A.至少有一条 B ．至多有一条 C ．有且只有一条 D ．没有三、课后练习1．已知直线a ∥平面α，P α∈，那么过点P 且平行于α的直线（ ）A ．只有一条，不在平面α内B ．有无数条，不一定在α内C ．只有一条，且在平面α内D ．有无数条，一定在α内 2．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，则这两个平面位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．相交或平行D ．以上答案都不对3．下列结论中正确的是（ ） ①α∥β，β∥γ，则α∥γ；②过平面外一条直线有且只有一个平面与已知平面平行；③平面外的两条平行线中，如果有一条和平面平行，那么另一条也和这个平面平行；④如果一条直线与两个平行平面中一个相交，那么它与另一个必相交.A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④4．a ，b 是两条异面直线，A 是不在a ，b 上的点，则下列结论成立的是( )A ．过A 且平行于a 和b 的平面可能不存在B ．过A 有且只有一个平面平行于a 和bC ．过A 至少有一个平面平行于a 和bD ．过A 有无数个平面平行于a 和b5．如果平面α外有两点A 、B ，它们到平面α的距离都是a ，则直线AB 和平面α的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．平行或相交D ．AB ⊂α6.如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F ，P ，Q 分别是BC ，11C D ，1AD ，BD 的中点.(1)求证：PQ //平面11DCC D ；(2)在DC 上找一点H ，使EFH //平面11BB D D .7.如图，在空间四边形ABCD 中，P 、Q 分别是ABC ∆和BCD ∆的重心.求证：PQ ∥平面ACD .8.如图所示，已知三棱锥BCD A -被一平面所截，截面为平行四边形EFGH ，求证：（1）//EF 平面BCD ；（2）CD EF //.。
空间中的平行与垂直关系
空间中的平行与垂直关系一、知识梳理1、 平行关系（1）直线与平面平行的判定定义：直线与平面没有公共点，称这条直线与这个平面平行。
判定定理：若l α⊄，a α⊂，l ∥a ，则l ∥α。
（2）直线与平面的平行性质定理：判定定理：若l ∥α，l β⊂，a αβ=，则l ∥a 。
（3）平面与平面的平行的判定定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面。
判定定理1：若, a b αα⊂⊂，a b P =，a ∥β，b ∥β，则α∥β；判定定理2：若, l l αβ⊥⊥，则α∥β；判定定理3：若α∥β，β∥γ，则α∥γ。
（4）平面与平面的平行性质定理：性质定理1：若α∥β，a α⊂，则a ∥β；性质定理2：若α∥β，且a γα=，b γβ=，则a ∥b ；性质定理3：若α∥β，且l α⊥，则l β⊥。
2、补充结论：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。
3、线线平行的常用证明方法（1）利用平面几何的结论，如三角形的中位线平行于底边、平行四边形的对边平行、利用比例，等；（2）利用公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；（3）利用线面平行的性质定理、面面平行的性质定理、线面垂直的性质定理4、垂直关系（1）直线与平面垂直的判定定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的所有直线垂直。
判定定理：若, , m n mn P αα⊂⊂=，, l m l n ⊥⊥，则l α⊥。
（2）直线与平面的垂直性质定理：符号表示：若l α⊥，对任意的a α⊂，都有l a ⊥。
（3）平面与平面的垂直的判定定义：两个平面所成的二面角为直角，那么这两个平面垂直。
判定定理：若, a a αβ⊂⊥，则l α⊥。
（4）平面与平面的垂直性质定理：性质定理1：若, , , l a a l αβαβα⊂=⊂⊥，则a β⊥。
性质定理2：若, , l αβαγβγ=⊥⊥，则l γ⊥。
5、补充定理（1）若, l αα⊥∥β，则l β⊥；（2）若, l a α⊥∥l ，则a α⊥。
空间平行4
知识点一 基本事实4平行于同一条直线的两条直线平行． 知识点二 等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．如图，空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 边上的中点，G ，H 分别是BC ，CD 边上的点，且CG GB ＝CH HD ＝12 .求证：四边形GHFE 是梯形．知识点 直线与平面平行位置关系定理符号表示 图形表示线 面 平 行判定如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊄αb ⊂α ⇒a ∥α性质 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊂βa ∩β＝b ⇒a ∥b[线线平行 ――――――→在平面内作或找一直线 线面平行 ――――――――→经过直线作或找平面与平面的交线线线平行 (1)如果一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．( ) (2)若直线l 上有两点到平面α的距离相等，则l ∥平面α.( )(3)若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线平行．( ) (4)若直线a ∥平面α，直线a ∥直线b ，则直线b ∥平面α.( )(5)若直线a ∥平面α，则直线a 与平面α内任意一条直线都无公共点．( ) 2．能保证直线a 与平面α平行的条件是( ) A ．b ⊂α，a ∥b B ．b ⊂α，c ∥α，a ∥b ，a ∥cC ．b ⊂α，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，且AC ∥BD D ．a ⊄α，b ⊂α，a ∥b3.如图，四棱锥P -ABCD 中，M ，N 分别为AC ，PC 上的点，且MN ∥平面P AD ，则( ) A ．MN ∥PDB ．MN ∥P AC ．MN ∥AD D ．以上均有可能4.若在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 是SA 上的一点，当点E 满足条件________时，SC ∥平面EBD .探究点一 直线与平面平行的判定如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是平面ABCD 外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．求证：MN ∥平面P AD .应用判定定理证明线面平行的步骤 如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点D 是AB 的中点．求证：AC 1∥平面CDB 1.探究点二 直线与平面平行性质的应用角度一证明问题如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.应用线面平行的性质定理解题的步骤角度二计算问题如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且SFSC＝λ，SA∥平面BEF.求实数λ的值．1．如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体．求证：截面MNPQ是平行四边形．2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，求线段EF的长度．探究点三直线与平面平行的判定、性质定理的综合应用如图所示，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是P A，PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l.求证：直线l∥平面P AC.如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．求证：AB∥平面EFGH.1．圆台底面内的任意一条直径与另一个底面的位置关系是()A．平行B．相交C．在平面内D．不确定2．(多选)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系可能是()A．平行B．异面C．相交D．共面3．已知m，n是平面α外的两条直线，给出下列三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其中两个为条件，余下的一个为结论，写出你认为正确的一个________．1．已知直线a∥平面α，直线b⊂平面α，则()A．a∥b B．a与b异面C．a与b相交D．a与b无公共点4．如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则() A．GH∥SA B．GH∥SD C．GH∥SC D．以上均有可能5.(多选)如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，下列四个结论正确的是()A．OM∥PD B．OM∥平面PCD C．OM∥平面PDA D．OM∥平面PB 知识点平面与平面平行位置关系定理符号表示图形表示面面平行判定如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊂β，b⊂βa∥α，b∥αa∩b＝P⇒β∥α性质两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b⇒a∥b[点拨]在判断与证明空间中的平行关系时要注意线线、线面、面面平行关系的转化过程：1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若平面α∥平面β，l⊂平面β，m⊂平面α，则l∥m.()(2)如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．()(3)若α∥β，则平面α内有无数条互相平行的直线平行于平面β.()(4)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线异面．()2．已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a⊂α，b⊂α，c⊂β，d⊂β，则α与β的位置关系是()A．平行B．相交C．平行或相交D．以上都不对3．已知长方体ABCD-A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定4．如图，过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点B1，D1与棱AB的中点P的平面与底面ABCD所在平面的交线记为l，则l与B1D1的位置关系为________．探究点一平面与平面平行的判定如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1.(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；(2)若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD.探究点二平面与平面平行性质定理的应用角度一证明问题如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.利用平面与平面平行的性质定理的基本步骤角度二计算问题设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，求SD的长．2．如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.(1)求证：AC∥BD；(2)已知P A＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长；(3)若点P在α与β之间，试在(2)的条件下求CD的长．探究点三平行关系的综合问题如图所示，P为▱ABCD所在平面外一点，M，N分别为AB，PC的中点，平面P AD∩平面PBC＝l.(1)求证：BC∥l.(2)判断MN与平面P AD是否平行？并证明你的结论．1．下列说法正确的个数是()①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个平面也平行；④平行直线被三个平行平面截得的线段对应成比例．A．1B．2C．3D．42．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是()A．AB∥CD B．AD∥CB C．AB与CD相交D．A，B，C，D四点共面1．已知平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面2．已知平面α∥平面β，直线a∥平面α，直线b∥平面β，则a与b的位置关系可能是()A．平行或相交B．相交或异C．平行或异面D．平行、相交或异面3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则下列结论中正确的是()A．平面AA1D1D∥平面EFGH B．BD1∥GH C．BD∥EF D．平面EFGH∥平面A1BCD16．已知a，b表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题：①若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥β；②若a，b相交且都在α，β外，a∥α，b∥β，则α∥β；③若a∥α，a∥β，则α∥β；④若a⊂α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b.其中正确的是________．(填序号)9．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点，求证：(1)EG∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.。
平行关系的知识点总结图
平行关系的知识点总结图一、概念平行关系是指在一个平面上的两个直线、两个平面或一个直线和一个平面之间具有特定的关系，这种特定的关系是它们互相不相交的关系。
在几何学中，平行关系是一个基本概念，具有重要的意义。
二、平行直线1. 定义两条直线在同一个平面内，如果它们不相交，且在这个平面上无论如何延长，它们也不能相交，则这两条直线互相平行。
2. 性质（1）平行直线所在的平面是共面的，即两条平行直线所在的平面不相交。
（2）两条平行直线间的距离是恒定的，平行直线间的任意两点之间的最短距离是相等的。
3. 符号表示两条平行直线常用“//”来表示，如AB//CD。
4. 判定平行直线的判定有多种方法，常见的有以下几种：（1）同位角相等：若两条直线AB和CD被截割成两对同位角，且这两对同位角都相等，则直线AB与CD平行。
（2）内错角相等：若两条直线AB和CD被一直线EF截割，使得同侧的内错角相等，则直线AB与CD平行。
（3）垂直线截线法：若两条直线AB和CD被一条直线EF截割，使得截线和其中一直线的垂线互相平行，则直线AB与CD平行。
5. 平行线的性质（1）同位角相等性质：若两条直线AB和CD被一条直线EF截割，形成的同位角相等。
（2）内错角相等性质：若两条直线AB和CD被一条直线EF截割，形成的同侧内角相等。
（3）对应角相等性质：若两条直线AB和CD被一条直线EF截割，形成的对应角相等。
三、平行线的判定1. 直线截线法若两条平行线被一条直线截断，所得的对应角相等，则这两条直线平行。
2. 角平分线法若一条直线与两条平行线相交，使得所得的对应角相等，则这条直线垂直于这两条平行线。
四、平行线间的距离1. 点到直线的距离点到直线的距离是指从这个点到这条直线上的垂足的距离。
以点A到直线l的距离为例，设点A到直线l上的垂足为H，则点A到直线l的距离为AH。
2. 点与直线间的距离点到直线距离的求解可以通过点到直线的垂线来计算，或者通过公式进行计算。
空间中的平行关系
r uur |n ⋅ AB| 为平面的法向量,则 d ④向量法 :设n为平面的法向量 则： = 设 为平面的法向量 r n
(3)直线与平面的距离： 直线与平面的距离： 直线与平面的距离 前提是直线与平面平行， 前提是直线与平面平行，利用直线上任意一点到平面的距 离都相等，转化为求点到平面的距离。 离都相等，转化为求点到平面的距离。 (4)两平行平面之间的距离： 两平行平面之间的距离 转化为求点到平面的距离. 转化为求点到平面的距离
知识归纳
一、直线与直线的平行： 直线与直线的平行： 直线与平面的平行： 二、直线与平面的平行： 1.直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系： 直线与平面的位置个公共点，记作 ⊂α； 有无数个公共点， ⊂α； 直线在平面内 有无数个公共点 记作a⊂α (2)直线与平面相交 ------有且只有一个公共点 记作 ∩α＝Ａ； 有且只有一个公共点,记作 直线与平面相交 有且只有一个公共点 记作a ＝Ａ； (3)直线与平面平行 ------没有公共点，记作 ∥α . 没有公共点， 直线与平面平行 没有公共点 记作a a⊄α ⇔ a∩α=A或a∥α ⊄α 或 2.直线与平面平行的判定： 直线与平面平行的判定： 直线与平面平行的判定 (1)定义法：若a∩α＝φ ，则a∥α . 定义法： 定义法 (2)判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面平面内 判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面平面内 判定定理 的一条直线平行 那么这条直线和这个平面平行． 平行， 的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 符号表示:若 ⊄ ⊂α ⊂α,a 符号表示 若a⊄α,b⊂α ∥b,则a∥α . 则 (3)若α∥β，a⊂ β,则a ∥α . 若 ⊂ 则 (4)若b⊄ α, b⊥a,a ⊥ α,则b∥α . 若 ⊄ ⊥ 则
空间几何的平行与垂直关系知识点总结
空间几何的平行与垂直关系知识点总结在空间几何中，平行与垂直关系是非常重要的概念，它们贯穿于整个几何学习的始终。
理解和掌握这些关系对于解决空间几何问题至关重要。
下面，我们就来详细总结一下空间几何中平行与垂直关系的相关知识点。
一、线线平行1、平行线的定义在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2、线线平行的判定定理（1）同位角相等，两直线平行。
（2）内错角相等，两直线平行。
（3）同旁内角互补，两直线平行。
3、线线平行的性质定理（1）两直线平行，同位角相等。
（2）两直线平行，内错角相等。
（3）两直线平行，同旁内角互补。
4、空间中直线平行的传递性如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
二、线面平行1、线面平行的定义如果一条直线与一个平面没有公共点，那么这条直线与这个平面平行。
2、线面平行的判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
3、线面平行的性质定理如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线与交线平行。
三、面面平行1、面面平行的定义如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行。
2、面面平行的判定定理（1）如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
（2）如果两个平面都平行于同一条直线，那么这两个平面平行。
3、面面平行的性质定理（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。
（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
四、线线垂直1、线线垂直的定义如果两条直线所成的角为直角，那么这两条直线互相垂直。
2、线线垂直的判定定理（1）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任意一条直线。
（2）如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，那么另一条也垂直于这条直线。
五、线面垂直1、线面垂直的定义如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。
课改高一数学985班总结寒假第四讲空间中的平行关系
空间中的平行关系
一、必会知识点
1、确定平面的方法
（1）不共线的三个点
（2）一条直线和直线外一点
（3）两条相交直线
（4）两条平行直线
2、空间中的平行关系：线线平行、线面平行、面面平行
3、线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
4、线线平行⟹线面平行：如果两条直线互相平行，那么其中一条直线平行于另外一条直线所在的平面（两条直线不同时在这个平面内）。
线面平行⟹面面平行：如果一个平面内的两条相交直线与另外一个平面平行，那么这个平面与此平面平行。
面面平行⟹线面平行：如果两个平面互相平行，那么其中一个平面内的所有直线都与另外一个平面平行。
线面平行⟹线线平行：如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与过这条直线的任意平面与已知平面的交线平行。
面面平行⟹线线平行：如果两个平面互相平行，第三个平面与两个平面都相交，那么这两条交线互相平行。
二、易错点
易错点1 判断命题正误时忽略直线在平面内这一情况
易错点2 在拿到一道题以后，先否定结论，然后就认为这道题做不下去了。
因为直线与平面的平行在很多情况下是直接看不出来的。
易错点3 在证明过程中理由不充分而强行平行。
本讲总结视频二维码：。
空间中的平行关系
P
N
D
C
AM
B
题型三：面面平行问题
例 3. 在 正 方 体 ABCD A1B1C1D1 中 ， M , N , P 分 别 为 CC1, B1C1, C1D1的中点.求证：平面 MNP // 平面 A1BD .
D1 A1
P
C1
N
B1 M
D A
C B
【变式】正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，侧面对角 线 AB1、BC1 上分别有两点 E、F，且 B1E=C1F. 求证：EF∥平面 ABCD.
a
a
/
/b
定理 线 的 任 一平 面 与 此 b
平面的 交线 与该
直线平行．
2．平面与平面平行
定理
文字语言
符号语言
一个平面内的两
判定
条相交直线与另一
a ,b
a bP
/
/
定理 个平面平行，则这 a / / ,b / /
两个平面平行．
如果两个平行平 / /
性质
面同时和第三个
a
a
/
/b
定理 平面相交，那么它 b
们的 交线 平行．
图形语言
精讲点拨
题型一：线线平行问题
【例 1】如图所示，四面体 ABCD被一平面所截， 截面 EFGH 为平行四边形.求证： CD // GH .
A
E
B
G
D
F
H
C
题型二：线面平行问题
【例 2】如图在四棱锥 P ABCD中， ABCD是平行四边形， M , N 分别是 AB, PC 的中点，求证： MN // 平面 PAD.
即：线线平行 线面平行；
②证明经过这条直线的一个平面和这个平面平行，
空间中的平行关系
（1）求证： BF //平面 ACGD ； （2）求三棱锥 A BCF 的体积．
A B
C
D E F
G
【解析】 （1）取 DG 的中点 M ，连接 AM , FM ，
1 ∵ EF DG ，∴ EF DM ， 2
∵ EF ∥ DG ，∴ EF ∥ DM ，
A
E B H C G F
D
【变式 1】三棱柱 ABC A1 B1C1 中，过 A1C1 与点 B 的平面 交平面 ABC 于直线 L,试判定 L 与 A1C1 的关系，并给出证明.
题型二：线面平行问题 【例 2】如图在四棱锥 P ABCD 中， ABCD 是平行四边形，
M , N 分别是 AB, PC 的中点，求证： MN // 平面 PAD .
A
C
B
∴四边形 DEFM 是平行四边形，∴ DE // MF ，
D E F
M
G
又∵ DE // AB ，∴ AB // MF ．
∴四边形 ABFM 是平行四边形，即 BF ∥ AM ， 又 BF 平面 ACGD ， AM 平面 ACGD ， ∴ BF //平面 ACGD ． （2）∵平面 ABC //平面 DEFG ，即 F 到平面 ABC 的距离为 AD ， ∴ VA BCF VF ABC
D
P
C B
E F
D
A
E
C B
F P
A
D1
C1
D1
C1
A1
B1
A1
B1
3. 如 图， S 是 平 行四边 形 ABCD 平 面外 一点， M , N 分 别是
第四讲-空间中的平行关系
第四讲空间中的平行关系【学习目标】知识点一平行定理和性质的定理认识知识点二直线与平面平行的判定知识点三线面平行的性质运用知识点四线面平行的性质运用知识点五平面与平面平行的判定与性质知识点六线面平行中的探索性问题【知识区】1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)∵l∥a，a⊂αl⊄α，∴l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交∵α∥β，α∩γ＝aβ∩γ＝b，知识点一平行定理和性质的定理认识【例1】．(2015·嘉兴月考)对于空间的两条直线m，n和一个平面α，下列命题中的真命题是()A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若m∥α，n⊥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n【实践区】1．(2015·潍坊模拟)已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面．若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是() A．m∥β且l1∥αB．m∥β且n∥βC．m∥β且n∥l2D．m∥l1且n∥l22.已知平面α，β和直线a，b，a⊂α，b⊂β，且a∥b，则α与β的关系是()A.平行B.相交C.平行或相交D.垂直3.若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A.α内的所有直线与l异面B.α内不存在与l平行的直线C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内的直线与l都相交4.α，β，γ为三个平面，a，b，c为三条直线，且α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，若a∥b，则c和a，b的位置关系是()A.c和a，b都异面B.c与a，b都相交C.c与a，b都平行D.c至少与a，b中的一条相交知识点二直线与平面平行的判定【例2】(1)►如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，M为PD的中点．求证：PB∥平面ACM.【思维导向】关键是找平面内与已知直线平行的直线-------中位线一移：用尺子将PB平移到平面平面ACM，可以初步找出与PB 平行的直线OM 二连/作：将OM、BD连起来，三选：根据OM与PB长度相差较大或者O/M是两个中点，选择中位线的方法(2) 如图，若在四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF∥平面PCE.【思维导向】关键是找平面内与已知直线平行的直线-------构造平行四边形 一移：用尺子将AF 平移到平面PCE ，可以初步找出AF 与平行的直线二连/作：取PC 得中点，链接其他线三选：根据两线长度接近大或者E 是端点，另一个是中点，选择构造平行四边形的方法(3)已知公共边为AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不在同一平面内，P ，Q 分别是对角线AE ，BD 上的点，且AP ＝DQ (如图)．求证：PQ ∥平面CBE .，【思维导图】利用相似比证明线线平行---线面平行 【方法总结】 线面平行→→线线平行→⎪⎩⎪⎨⎧）示关键词：线段的比例三角形中的相似比（提中点，长度一样）关键词：一个端点一个构造平行四边形（提示长度差一半键词：两个中点，两线三角形中位线（提示关.3.2..1 注意：可以用尺子把线平移到平面内，找出平行线，在按上面方法证明【实践区】1. (2015·浙江六市六校联盟模拟)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1＝AB＝2.①求证：AB1∥平面BC1D；②若BC＝3，求三棱锥D-BC1C的体积．知识点四线面平行的性质运用【例3】(2015·秦皇岛模拟)如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH. 求证：AP∥GH.【方法总结】 线面平行→→线线平行→⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧线面平行的性质）示关键词：线段的比例三角形中的相似比（提中点，长度一样）关键词：一个端点一个构造平行四边形（提示长度差一半键词：两个中点，两线三角形中位线（提示关.4.3.2..1 注意：可以用尺子把线平移到平面内，找出平行线，在按上面方法证明【实践区】1.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，H 分别为棱A 1B 1，D 1C 1上的点，且EH ∥A 1D 1，过EH 的平面与棱BB 1，CC 1相交，交点分别为F ，G ，求证：FG ∥平面ADD 1A 1.2.如图所示，三棱锥A —BCD 被一平面所截，截面为平行四边形EFGH ． 求证：CD ∥平面EFGH ．【强化区】----线面平行的判定与性质1.如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，M为OA的中点，N为BC的中点．证明：直线MN∥平面OCD.2.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，P A⊥底面ABCD，且P A＝AD＝DC＝12AB＝1，M是PB的中点．(1)求证：AM＝CM；(2)若N是PC的中点，求证：DN∥平面AMC.3.(2013·盐城模拟)如图，P为▱ABCD所在平面外一点，M，N分别为AB，PC的中点，平面P AD∩平面PBC＝l.(1)判断BC与l的位置关系，并证明你的结论；(2)判断MN与平面P AD的位置关系，并证明你的结论．知识点五平面与平面平行的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β面平行⇒面面平行”)性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行∵α∥β，α∩γ＝aβ∩γ＝b，∴a∥b【例5】►如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点．求证：平面MNP ∥平面A1C1B；【方法总结】证明面面平行的方法有：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．【实践区】1. 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.2.(2013·高考陕西卷) 如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O 是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝ 2.(1)证明：底面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.3.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．求证：(1)E、F、B、D四点共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.．4.。
空间中的平行关系
空间中的平行关系一、基本知识点（Ⅰ）直线与平面平行 1．直线和平面的位置关系：（1）直线在平面内（无数个公共点）；符号表示为:a αØ，（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；符号表示为: a A α= ，（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．符号表示为: //a α．2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：,,////l m l m l ααα⊄⇒Ø．3. 直线与平面平行证明方法：①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；②证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；③证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。
4 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．推理模式：//,,//l l m l m αβαβ=⇒ Ø．（Ⅱ）平面与平面平行1．平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行．2．图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的．3．平行平面的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．推理模式：：a β⊂，b β⊂，a b P = ，//a α，//b α//βα⇒． 平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行．推理模式：,,,,,,//,////a b P a b a b P a b a a b b ααββαβ'''''''==⇒ 刎刎．4. 证明两平面平行的方法：（1）利用定义证明。
利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾。
（2）判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，这个定理可简记为线面平行则面面平行。
平行与垂直知识点总结
直线和平面垂直的定义：如果一条直线a 和一个平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a 和平面 互相垂直.直线a 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线a 的垂面。
直线与平面垂直的判定定理（线线垂直→线面垂直）：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
基础例题：1、求证在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，体对角线AC 1垂直于面对角线BD2、AB 是圆O 的直径，C 是异于A 、B 的圆周上的任意一点，PA 垂直于圆O 所在的平面，证明：PAC BC 平面直线与平面垂直的性质定理（线面垂直→线线垂直）：如果一条直线垂直于一个平面，那么他就和平面内的任意一条直线垂直。
基础例题1.已知:在空间四边形ABCD 中,AC =AD ,BC =BD ,中点为CD E ，求证：AB ⊥CD推论1（线线平行→线面垂直）如果在两条平行线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面。
CC1推论2（线面垂直→线线平行）如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
正方体AC 1中，EF 与异面直线AC,A 1D 都 垂直相交，交点分别为E,F ， 求证：EF//BD 12、直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的判定定理（线线平行→线面平行）：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
基本例题：1已知：空间四边形ABCD 中，F E ,分别是AD AB ,的中点求证：BCD EF 平面//2、已知，空间四边形ABCD 中，H G F E ,,,分别是边DA CD BC AB ,,,的中点求证：EFG AC 平面//直线和平面平行的性质定理（线面平行→线线平行）：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
基础例题：如图,E 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、AD 的中点，平面α过EH 分别交BC 、CD 于F 、G.求证：EH ∥FG .四、两个平面的位置关系：（1）两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点 （2）两个平面的位置关系：两个平面平行-----没有公共点； 两个平面相交-----有一条公共直线。
空间中平行关系知识点小结
空间中的平行关系练习题知识点小结平面的基本性质与推论一．平面的基本性质：1.连接两点的线中，________最短。
2.过两点有且仅有________条直线。
二.基本性质：1.基本性质1：如果一条直线上的_____点在一个平面内，那么这条直线上的________都在这个平面内。
作用：判断直线是否在平面内2.基本性质2：经过________________三点，有且只有________个平面。
作用：确定一个平面的依据。
3.基本性质3：如果两个不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
作用：判定两个平面是否相交的依据三．平面基本性质的推论推论1 经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面。
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。
四．异面直线1.既不相交又不平行的直线叫做异面直线。
2.空间的两条直线关系：相交、平行、异面。
空间中的平行关系一.平行直线1.过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行。
2.基本性质4 （空间直线的传递性)平行于同一条直线的两条直线互相平行。
3.等角定理 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等。
4.空间四边形 顺次连接不共面的四点A,B,C,D 所构成的图形，叫做空间四边形，连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线。
二.直线与平面平行1.直线与平面有三种位置关系：直线在平面内 —— 有无数个公共点直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点直线在平面平行 —— 没有公共点注：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示2.直线与平面平行的判定定理：如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：αl m l αm αl ////,,⇒⊂⊄3.直线与平面平行的性质定理 如果一个直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两个平面的交线平行。
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空间中的平行关系练习题
知识点小结
平面的基本性质与推论
一．平面的基本性质：1.连接两点的线中，________最短。
2.过两点有且仅有________条直线。
二.基本性质：
1.基本性质1：如果一条直线上的_____点在一个平面内，那么这条直线上的________都在这个平面内。
作用：判断直线是否在平面内
2.基本性质2：经过________________三点，有且只有________个平面。
作用：确定一个平面的依据。
3.基本性质3：如果两个不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
作用：判定两个平面是否相交的依据
三．平面基本性质的推论
推论1 经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面。
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。
四．异面直线
1.既不相交又不平行的直线叫做异面直线。
2.空间的两条直线关系：相交、平行、异面。
空间中的平行关系
一.平行直线
1.过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行。
2.基本性质4 （空间直线的传递性)平行于同一条直线的两条直线互相平行。
3.等角定理 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等。
4.空间四边形 顺次连接不共面的四点A,B,C,D 所构成的图形，叫做空间四边形，连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线。
二.直线与平面平行
1.直线与平面有三种位置关系：
直线在平面内 —— 有无数个公共点
直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
直线在平面平行 —— 没有公共点
注：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示
2.直线与平面平行的判定定理：如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：αl m l αm αl ////,,⇒⊂⊄
3.直线与平面平行的性质定理 如果一个直线和一个平
面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这
条直线就和两个平面的交线平行。
符号表示：m l m βαβl αl //,//⇒=⋂⊂，
三.平面与平面平行
1.两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平
行于另一个平面，那么这两个平面平行。
符号表示：βαβb βa A b a αb a ////,//,,,⇒=⋂⊂
两个平面平行的推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。
符号语言：
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
3.两个平面平行的性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相
交，那么它们的交线平行。
符号表示：
α∥β
α∩γ= a a ∥b
β∩γ= b
两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例。