高中数学直线的倾斜角与斜率

直线的倾斜角与斜率

教学目的：

1.了解 “坐标法”

2.理解直线的倾斜角和斜率概念，掌握过两点的直线的斜率

公式并牢记斜率公式的特点及适用范围；

3.已知直线的倾斜角，求直线的斜率

4.已知直线的斜率，求直线的倾斜角

5.培养学生“数形结合”的数学思想.

【教学重点、难点】

重点：直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式.

难点：斜率概念的学习，过两点的直线的斜率公式.

授课类型： 新授课

【教学方法】

问题解决法、讨论法，三案一体导学案教学模式.

【教学过程】

（一） 创设情境

对于平面直角坐标系内的一条直线,它的位置由哪些条件可以确定呢？

【问题一 】

（1） 在平面直角坐标系中, 两点可以确定一条直线,一点能确定一条直线吗?

(答:不能,过一个点可以画出无数条直线)

（2） 这些直线有什么不同？ （答：它们的倾斜程不同）

（二）互动探究，建构概念 1.直线倾斜角的定义：

当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴为基准，x 轴正

向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜

角. 特别的：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾

斜角为00.

【问题二】 （1） 请同学们根据倾斜角的定义找出下列三

条直线的倾斜角并指出它们分别是锐角、直角还是钝角？

（2） 直线的倾斜角的取值范围是什么？

（3）直线a//b ，那么它们的倾斜角是什么关系？

指出：倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；

倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等，因此我们可用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直

线的倾斜程度.

【问题三】

在平面直角坐标系内要确定一条直线需要哪些几何要素呢？

1

如上所述，在平面直角坐标系中，已知直线上的一个点不能确定一条直线的位置。同样，已知直线的倾斜角α，也不能确定一条直线的位置。但是直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定一条直线。因此，确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个点和它的倾斜角，二者缺一不可。

2．斜率的概念

在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即

坡度(比)= 升高量/前进量

如果我们以前进量所在的直线为x 轴，点o 为原点建立

平面直角坐标系，α就是直线的倾斜角，即坡度就是倾斜角α的正切值，也就是说我们可以用倾斜角α的正切值来刻画直线的倾斜程度.这个正切值我们称为直线的斜率

斜率的概念：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.倾斜角是090的直线没有斜率.斜率常用k 来表示，tan k =α（090α≠）.

【问题四】

（1）倾斜角是045、030、060的直线斜率分别是多少？

（2）当倾斜角为钝角时如何计算直线的斜率？

规定：当α为锐角时，0tan(180)tan αα-=-，

请同学们接受规定计算倾斜角为0120、0135度时直线的斜率.

3．用两点的坐标来表示斜率

【问题五】

如何由直线上两点的坐标来表示斜率？请同学们交流探究

经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线的斜率公式为

深化公式：

【问题六】 已知直线上两点11

1(,)P x y ，222(,)P x y （1）当21y y =时，能用公式求直线的斜率吗？

（2）当21x x =时，能用公式求直线的斜率吗？

（3）当21x x ≠时，直线的斜率与两点坐标的顺序有关系吗？

（三）应用新知、实战演练

练习： 求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角：

（1）)2,3(A ，)1,4(-B （2）)8,18(C ，)4,4(-D （3）)0,0(P ，)3,1(-Q

（四）深化内涵、拓展提高

例1．在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率为1，1-，2及3-的直线1l ，2l ，3l 及4l .

分析：要画出过原点的直线1l ，只需找出位于1l 上的某一点1A 来，1A 的坐标可以由1OA 得斜率确定.

例2 已知过两点)3,2(22-+m m A ，)2,3(2m m m B --的直线l 的倾斜角为045，

求实数m 的值.

解:∵145tan )

3(2230222==---+--m m m m m ,∴0232=++m m ,解得 1-=m 或2-=m

但当1-=m 时,A 、B 重合,舍去 ∴2-=m .

例3 已知三点)2,(a A 、)7,3(B 、)9,2(a C --在一条直线上，求实数a 的值. 解:∵C B A ,,在一条直线上,所以直线AB 和直线BC 的斜率相等. 所以59735a a +=- ,解得2=a 或9

2=a （五）回顾反思、感悟收获（由学生归纳，教师反馈）

1、直线的倾斜角和斜率的概念.

2、直线的斜率公式.

3、体会将几何问题转化为代数问题的思想方法.

（六）巩固提高，推荐作业

课后习题的3，4题