高中数学人教A版必修四1.4.1正弦函数、余弦函数的图像同步练习

《1.4.1正弦函数、余弦函数的图像》同步练习
1. 满足sin x≥1
2
的x的集合为（）
A.{x|2kπ+π
6≤x≤2kπ+5π
6
, k∈Z}
B.{x|2kπ+5π
6≤x≤2kπ+7π
6
, k∈Z}
C.{x|2kπ−π
6≤x≤2kπ+π
6
, k∈Z}
D.{x|2kπ−π
3≤x≤2kπ+2π
3
, k∈Z}
2. 已知f(x)=sin(2x+π
2)，g(x)=cos(2x−π
2
)，则下列结论中不正确的是（）
A.将函数f(x)的图象向右平移π
4
个单位后得到函数g(x)的图象
B.函数y=f(x)⋅g(x)的图象关于(π
8
，0)对称
C.函数y=f(x)⋅g(x)的最大值为1
2
D.函数y=f(x)⋅g(x)的最小正周期为π
2
3. 函数y=|sin x|的一个单调增区间是（）
A.[−π
4, π
4
] B.[π, 3π
2
] C.[π
4
, 3π
4
] D.[3π
2
, 2π]
4. 给出的下列函数中在(π
2
, π)上是增函数的是________．
A.y=sin2x
B.y=cos2x．
5. 若函数f(x)=sinωx(ω>0)的图象的相邻两对称轴间的距离为2，则ω的值为（）
A.2π
B.π
2
C.π
D.2π
6. y=cos x，x∈[0, 5π
2]的图象与直线y=1
3
的交点的个数为（）
A.0
B.1
C.2
D.3
7. 设函数f(x)=cos(x+π
3
)，则下列结论错误的是( )
A.f(x)的一个周期为−2π
B.y=f(x)的图像关于直线x=8π
3
对称
C.f(x+π)的一个零点为x=π
6
D.f(x)在(π
2
, π)单调递减
8. 函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|<π
2)的最小正周期是π，若其图象向右平移π
6
个
单位，得到的函数为偶函数，则函数f(x)的图象（）
A.关于直线x=5π
12对称 B.关于点(7π
12
, 0)对称
C.关于点(5π
12, 0)对称 D.关于直线x=π
12
对称
9. 函数y=ln1
|x−1|
与函数y=cosπx图象所有交点的横坐标之和为( )
A.3
B.4
C.8
D.6
10. 已知直线x=x1，x=x2分别是曲线f(x)=2sin(x+π
3
)与g(x)=−cos x的对称轴，则f(x1−x2)=（）
A.2
B.0
C.±2
D.±1
11. 函数y=2sin x−cos x在区间[0,5π]上的零点个数为________.
12. 若a=sin46∘，b=cos46∘，c=cos36∘，则a、b、c由小到大的顺序为________．
13. 不等式cos x≥1
2
的解集是________．
14. 函数y =a −sin xx ∈(0, 5π2
)的图象与过点(0, 1)且平行于x 轴的直线有两个交点，则实数a 的取值范围是________．
15. 根据正弦函数、余弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的取值集合： （1）sin x ≥
√32
(x ∈R)；
（2）√2+2cos x ≥0(x ∈R)．
16. 已知函数f(x)=cos (ωx +φ)(ω>0, 0<φ≤π)为奇函数，且其图象上相邻的一个最高点与一个最低点之间的距离为2． （1）求f(x)的解析式；
（2）若f(α+π
3)=−2
3(−π
3<α<0)，求sin (2α−π
3)的值．
17. 已知函数f(x)＝A sin (wx +φ)(x ∈R, w >0, 0<φ<π
2)的部分图象如图所示．
（1）求函数f(x)的解析式； （2）求函数g(x)＝f(x −π
12
)−f(x +
π
12
)的单调递增区间．
18. 已知函数f(x)=cos (2x +π
3)+cos (2x +2
3π)，g(x)=cos 2x ． （1）若α∈(π
4，π
2)，且f(α)=−35√3，求g(α)的值；
（2）若x∈[−π
6，π
3
]，求f(x)+g(x)的最大值．
参考答案
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】5
12.【答案】b<a<c
13.【答案】{x|2kπ−π
3≤x≤2kπ+π
3
, k∈Z．}
14.【答案】(0, 1]
15.【答案】
由sin x≥√3
2
(x∈R)，结合正弦函数在一个周期上的图象，如图(1)所示，
可得x的范围为{x|2kπ+π
3≤x≤2kπ+2π
3
, k∈z}．
由√2+2cos x≥0(x∈R)，可得cos x≥−√2
2
，
结合余弦函数在一个周期上的图象如图(2)所示，
可得x的范围为{x|2kπ−3π
4≤x≤2kπ+3π
4
, k∈z}．
16.【答案】
解：（1）由函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0, 0<φ≤π)为奇函数，可得φ=π
2
，f(x)=
cos(ωx+π
2
)=−sinωx．
又其图象上相邻的一个最高点与一个最低点之间的距离为√4+π2，可得√22+(π
ω
)2=√4+π2，∴ ω=1，f(x)=−sin x．
（2）∴ f(α+π
3)=−sin(α+π
3
)=−2
3
(−π
3
<α<0)，∴ sin(α+π
3
)=2
3
，
即2
3=cos[π
2
−(α+π
3
)]=cos(π
6
−α)=cos(α−π
6
)，∴ sin(α−π
6
)=
−√1−cos2(α−π
6)=−√5
3
，
∴ sin(2α−π
3)=2sin(α−π
6
)⋅cos(α−π
6
)=−4√5
9
．
17.【答案】
由图可知T
2=11π
12
−5π
12
，可得T＝π，
则2π
ω
=π，则ω＝2，
又图象经过(5π
12
, 0)，
故有2×5π
12+φ＝kπ，k∈Z，得φ=−5π
6
+kπ，
又0<φ<π
2，取φ=π
6
．
过(0, 1)点，
所以A sinφ＝1，可得A＝2．得f(x)＝2sin(2x+π
6
)．
g(x)＝f(x −
π
12
)−f(x +
π12
)＝2sin [2(x −
π
12
)+π6]−2sin [2(x +
π
12
)+π
6
]
＝2sin 2x −2sin (2x +π3
)＝2sin 2x −2sin 2x cos π3
−2cos 2x sin π3
=sin 2x −√3cos 2x ＝2sin (2x −π
3)，
由2kπ−π2≤2x −π3≤2kπ+π
2，k ∈Z ， 得kπ−π
12≤x ≤kπ+5π
12，k ∈Z ，
所以g(x)的单调递增区间为[kπ−π
12, kπ+5π
12]，k ∈Z ． 18.【答案】
解：（1）由f(x)=cos (2x +π
3)+cos (2x +2
3π) 得f(x)=1
2
cos 2x −
√3
2
sin 2x −1
2
cos 2x −
√3
2
sin 2x =−√3sin 2x ．
因为f(α)=−35√3，即−√3sin 2α=−3
5√3，
所以sin 2α=3
5．
又因为α∈(π4，π
2)， 所以2α∈(π
2，π)．
故cos 2α=−4
5
，
即g(α)=−4
5
．
（2）f(x)+g(x)=−√3sin 2x +cos 2x =2cos (2x +π
3)． 因为x ∈[−π
6，π
3]， 所以2x +π3∈[0,π]． 所以当2x +π3=0，
即x =−π
6时，f(x)+g(x)有最大值，最大值为2．。