【北师大版】八年级数学下册：第一章复习学案

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第一章 三角形的证明

【学习目标】

1、在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等。

2、发展学生的初步的演绎推理能力，进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力。

【学习重难点】重点：通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固

难点：本章知识的综合性应用。

【学习过程】

1、等腰三角形的性质：（边） ；（角） ；“三线合一”的内容 。

2、等边三角形的性质：（边） ；（角） 。

3、判定等腰三角形的方法有：（边） ；（角） 。

4、判定等边三角形的方法有：（边） ；（角） 。

5、线段垂直平分线的性质定理： 。 逆定理： 。

三角形的垂直平分线性质： 。

6、角的性质定理： 。 逆定理： 。

三角形的角平分线性质： 。

7、三角形全等的判定方法有： 。 8、30°锐角的直角三角形的性质： 。

9、方法总结：

（1）证明线段相等的方法：1）可证明它们所在的两个三角形全等；2）角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；3）等角对等边；4）等腰三角形三线合一的性质；

5）中垂线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

（2）证明两角相等的方法：1）同角的余角相等；2）平行线性质；3）对顶角相等；4）全等三角形对应角相等；5）等边对等角；6）角平分线的性质定理和逆定理。

（3）证明垂直的方法：1）证邻补角相等；2）证和已知直角三角形全等；3）利用等腰三角形的三线合一性质；4）勾股定理的逆定理。

（4）等腰三角形的证明：主要用等腰三角形的两腰相等，两底角相等和三线合一性质解题。

1、填空：（1）△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3，最小边BC =4 cm ，最长边AB= 。

（2）直角三角形两直角边分别是5 cm 、12 cm ，其斜边上的高是 。

（3）若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是 三角形。

（4）三角形三边分别为a 、b 、c ，且a 2－bc =a (b －c )，则这个三角形（按边分类）一定是________

2、已知：如图，D 是△ABC 的BC 边上的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F ，且DE=DF 。 求证：△ABC 是等腰三角形。

3、如图，在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点E ，已知△BCE 的周长为8，AC －

2 B C

A E

D 图1 BC=2. 求AB 与BC 的长.

4、已知，在△ABC 中，AD 垂直平分BC ，且CA = CE ，点B 、D 、C 、E 在同一条直线上。 求证： AB + DB = DE

形成提升

1、等腰三角形的底角为15°,腰上的高为16,那么腰长为_____ _____

2、如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，则BC 的长为 。

3、如图2，在△ABC 中，∠ACB=90°,BE 平分∠ABC ，ED ⊥AB 于D ，如果AC=3 cm ，那么AE+DE 等于 。

图2

4、 命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,其逆命题是_______________________.它是一个__________命题。等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是___________________________________________________，这个逆命题是_________命题.

5、如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，CF ⊥AF ，E 、F 是垂足，且BC = CD 。

求证：（1）△BCE ≌△DCF ； （2）DF = EB 。

C B A D

E F E A B