不等式的性质与应用：第3讲基本不等式
第3讲 基本不等式
第3讲 基本不等式一、知识梳理 1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数．[点拨] 应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”．忽略某个条件，就会出错．2．利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p ．(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24．(简记：和定积最大)[点拨] 在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致．常用结论几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．(2)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．(3)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号． 二、教材衍化1．设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81D ．82解析：选C ．xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝⎛⎭⎫1822＝81，当且仅当x ＝y ＝9时等号成立，故选C ． 2．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．解析：设矩形的长为x m ，宽为y m ，则x ＋y ＝10，所以S ＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝25，当且仅当x ＝y ＝5时取等号．答案：25 m 2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22成立的条件是ab >0.( )(3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( )(4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值是2a .( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、易错纠偏常见误区| (1)忽视不等式成立的条件a >0且b >0； (2)忽视定值存在； (3)忽视等号成立的条件． 1．若x <0，则x ＋1x ( )A ．有最小值，且最小值为2B ．有最大值，且最大值为2C ．有最小值，且最小值为－2D ．有最大值，且最大值为－2 解析：选D ．因为x <0，所以－x >0，－x ＋1－x≥21＝2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，所以x ＋1x≤－2.2．若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．答案：53．设0<x <1，则函数y ＝2x (1－x )的最大值为________．解析：y ＝2x (1－x )≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝12.当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，等号成立．答案：12考点一 利用基本不等式求最值(基础型) 复习指导| 探索并了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．核心素养：逻辑推理 角度一 通过配凑法求最值(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． (2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．【解析】 (1)x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋（4－3x ）22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ， 即x ＝23时，取等号．(2)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋3≤－2（5－4x ）15－4x＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 【答案】 (1)23(2)1通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 角度二 通过常数代换法求最值已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________． 【解析】 ⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a · ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．【答案】 9【迁移探究1】 (变问法)若本例中的条件不变，则1a ＋1b 的最小值为________．解析：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4，即1a ＋1b的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．答案：4【迁移探究2】 (变条件)若本例条件变为：已知a >0，b >0，4a ＋b ＝4，则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________．解析：由4a ＋b ＝4得a ＋b4＝1，⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 4b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b 4a ⎝⎛⎭⎫54＋a b ＝52＋2a b ＋5b 16a ＋14≥114＋258＝114＋102.当且仅当42a ＝5b 时取等号．答案：114＋102常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 角度三 通过消元法求最值若正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．223B ．23C ．33D ．233【解析】 因为正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，所以y ＝1－x 26x .由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1－x 26x >0，解得0<x <1.所以x ＋2y ＝x ＋1－x 23x ＝2x 3＋13x ≥22x 3·13x ＝223，当且仅当2x 3＝13x ，即x ＝22，y ＝212时取等号．故x ＋2y 的最小值为223. 【答案】 A通过消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围．1．(2020·辽宁大连第一次(3月)双基测试)已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝(ab )32，则ab 的最小值为( )A ．1B ． 2C ．2D ．4解析：选C ．(ab )32＝a ＋b ≥2ab ＝2(ab )12，所以ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故ab 的最小值为2，故选C ．2．已知x ，y 为正实数，则4x x ＋3y ＋3yx的最小值为( ) A ．53B ．103C ．32D ．3解析：选D ．由题意得x >0，y >0，4x x ＋3y ＋3y x ＝4xx ＋3y ＋x ＋3y x －1≥24x x ＋3y·x ＋3yx －1＝4－1＝3(当且仅当x ＝3y 时等号成立)．3．已知x >0，y >0，且x ＋16y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为________． 解析：已知x >0，y >0，且x ＋16y ＝xy .即16x ＋1y ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫16x ＋1y ＝16＋1＋16y x ＋x y ≥17＋2 16y x ·xy＝25，当且仅当x ＝4y ＝20时等号成立，所以x ＋y 的最小值为25. 答案：25考点二 利用基本不等式解决实际问题(应用型) 复习指导| 利用基本不等式解决实际问题，关键是把实际问题抽象出数学模型，列出函数关系，然后利用基本不等式求最值．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【解】 (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000x－200≥212x ·80 000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80 000x ，即x ＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)不获利．设该单位每月获利为S 元，则S ＝100x －y ＝100x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为x ∈[400，600]，所以S ∈[－80 000，－40 000]．故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．应用基本不等式解决实际问题的基本步骤(1)理解题意，设出变量，建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题； (2)在定义域内，利用基本不等式求出函数的最值； (3)还原为实际问题，写出答案．某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的深度为1米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)，则泳池的长设计为多少米时，可使总造价最低．解：设泳池的长为x 米，则宽为200x 米，总造价f (x )＝400×⎝⎛⎭⎫2x ＋2×200x ＋100×200x ＋60×200＝800×⎝⎛⎭⎫x ＋225x ＋12 000≥1 600x ·225x ＋12 000＝36 000(元)，当且仅当x ＝225x(x >0)，即x ＝15时等号成立．即泳池的长设计为15米时，可使总造价最低．[基础题组练]1．(2020·安徽省六校联考)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，则1xy 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A ．因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy≥1.2．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0，2] B ．[－2，0] C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选D ．因为1＝2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y ，(当且仅当2x ＝2y ＝12，即x ＝y ＝－1时等号成立)所以2x ＋y ≤12，所以2x ＋y ≤14，得x ＋y ≤－2.3．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A ． 2B ．2C ．2 2D ．4解析：选C ．因为1a ＋2b ＝ab ，所以a ＞0，b ＞0，由ab ＝1a ＋2b≥21a ×2b＝22ab， 所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)， 所以ab 的最小值为2 2.4．(多选)若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B ．1a ＋1b >1abC ．b a ＋ab≥2D ．a 2＋b 2≥2ab解析：选CD ．因为ab >0，所以b a >0，a b >0，所以b a ＋ab≥2b a ·ab＝2，当且仅当a ＝b 时取等号．所以选项C 正确，又a ，b ∈R ，所以(a －b )2≥0，即a 2＋b 2≥2ab 一定成立．5．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3解析：选C ．因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，所以lg(2x ·8y )＝lg 2，所以2x ＋3y ＝2，所以x ＋3y ＝1.因为x >0，y >0，所以1x ＋13y ＝(x ＋3y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋13y ＝2＋3y x ＋x 3y ≥2＋23y x ·x3y＝4，当且仅当x ＝3y ＝12时取等号，所以1x ＋13y的最小值为4.故选C ．6．设P (x ，y )是函数y ＝2x(x >0)图象上的点，则x ＋y 的最小值为________．解析：因为x >0，所以y >0，且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22，当且仅当x ＝y 时等号成立．所以x ＋y 的最小值为2 2.答案：2 27．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．解析：因为y ＝x 2－1＋1x ＋1＝x －1＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－2(x >－1)，所以y ≥21－2＝0，当且仅当x ＝0时，等号成立． 答案：08．(2020·湖南岳阳期末改编)若a >0，b >0，且a ＋2b －4＝0，则ab 的最大值为________，1a ＋2b的最小值为________． 解析：因为a >0，b >0，且a ＋2b －4＝0，所以a ＋2b ＝4，所以ab ＝12a ·2b ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 22＝2，当且仅当a ＝2b ，即a ＝2，b ＝1时等号成立，所以ab 的最大值为2，因为1a ＋2b＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ·a ＋2b 4＝14(5＋2b a ＋2a b )≥14⎝⎛⎭⎫5＋2·2b a ·2a b ＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以1a ＋2b 的最小值为94.答案：2 949．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x （4－2x ）的最大值． 解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32.当x <32时，有3－2x >0，所以3－2x 2＋83－2x ≥23－2x 2·83－2x＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)因为0<x <2，所以2－x >0， 所以y ＝x （4－2x ）＝2·x （2－x ）≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， 所以当x ＝1时，函数y ＝x （4－2x ）的最大值为 2.10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y ＝1， 又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18.当且仅当x ＝12，y ＝6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为18.[综合题组练]1．设a >0，若关于x 的不等式x ＋a x －1≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a 的最小值为( ) A ．16B ．9C ．4D ．2解析：选C ．在(1，＋∞)上，x ＋a x －1＝(x －1)＋a x －1＋1≥2 （x －1）×a （x －1）＋1＝2a ＋1(当且仅当x ＝1＋a 时取等号)．由题意知2a ＋1≥5，所以a ≥4.2．(2020·福建龙岩一模)已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( ) A ．3B ．5C ．7D ．9解析：选C ．因为x >0，y >0.且1x ＋1＋1y ＝12，所以x ＋1＋y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋1y (x ＋1＋y )＝2(1＋1＋y x ＋1＋x ＋1y )≥2(2＋2y x ＋1·x ＋1y )＝8，当且仅当y x ＋1＝x ＋1y ，即x ＝3，y ＝4时取等号，所以x ＋y ≥7，故x ＋y 的最小值为7，故选C ．3．已知正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，①则x 2＋y 2的最小值为________；②若1x ＋4y≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：因为x ＋y ＝1，所以xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝14，所以x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ≥1－14×2＝12，所以x 2＋y 2的最小值为12. 若a ≤1x ＋4y 恒成立，则a 小于等于⎝⎛⎭⎫1x ＋4y 的最小值，因为1x ＋4y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋4y (x ＋y )＝5＋y x ＋4x y≥5＋2y x ×4x y ＝9，所以1x ＋4y的最小值为9，所以a ≤9，故实数a 的取值范围是(－∞，9]． 答案：12(－∞，9] 4．(2020·洛阳市统考)已知x >0，y >0，且1x ＋2y＝1，则xy ＋x ＋y 的最小值为________．解析：因为1x ＋2y ＝1，所以2x ＋y ＝xy ，所以xy ＋x ＋y ＝3x ＋2y ，因为3x ＋2y ＝(3x ＋2y )·(1x＋2y )＝7＋6x y ＋2y x，且x >0，y >0，所以3x ＋2y ≥7＋43，所以xy ＋x ＋y 的最小值为7＋4 3. 答案：7＋4 35．已知x ，y ∈(0，＋∞)，x 2＋y 2＝x ＋y .(1)求1x ＋1y的最小值； (2)是否存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5？并说明理由．解：(1)因为1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝x 2＋y 2xy ≥2xy xy ＝2，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，所以1x ＋1y的最小值为2.(2)不存在．理由如下：因为x 2＋y 2≥2xy ，所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y )．又x ，y ∈(0，＋∞)，所以x ＋y ≤2.从而有(x ＋1)(y ＋1)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x ＋1）＋（y ＋1）22≤4， 因此不存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5.6．某厂家拟定在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；(2)该厂家2020年的促销费用投入为多少万元时，厂家获取利润最大？解：(1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)，所以1＝3－k ⇒k ＝2，所以x ＝3－2m ＋1(m ≥0)， 每件产品的销售价格为1.5×8＋16x x(元)，所以2020年的利润y ＝1.5x ×8＋16x x－8－16x －m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋（m ＋1）＋29(m ≥0)． (2)因为m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， 所以y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)． 故该厂家2020年的促销费用投入为3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．。
3.1 不等式的基本性质(课件)高一数学(苏教版2019必修一)
不能
解：当c＝0时，ac2＝bc2＝0，∴当c＝0时，不能得到 ac2＞bc2.
当c≠0时，c2＞0，∴ ac2＞bc2，
∴ c≠0 时，能得到 ac2＞bc2，
故 c＝0时，不能得到ac2＞bc2；
c≠0 时，能得到 ac2＞bc2 .
课本练习
1. 回答下列问题，并说明理由.
(2) 由 a＞b，c＞d，能否得到 a－c ＞ b－d ?
则 2≤μ≤4,1≤v≤2.
=
+ = ,
由
解得
- = ,
=
则
+
,
2
-
.
2
+ -
4a-2b=4· 2 -2·2 =2μ+2v-μ+v=μ+3v.
而 2≤μ≤4,3≤3v≤6,则 5≤μ+3v≤10.
故 5≤4a-2b≤10.
归纳总结
防范措施
1.建立待求取值范围的整体与已知取值范围的整体的关系,利用不等式的性
(x－1)(x2＋x＋1)＝x3＋x2＋x－x2－x－1＝x3－1，
∵ x3＋1＞x3－1
∴ (x＋1)(x2－x＋1) ＞(x－1)(x2＋x＋1)，
综上所述，结论为：
(x＋1)(x2－x＋1) ＞(x－1)(x2＋x＋1)
提示:以上错解中忽视了配方法的应用,事实上,本题中 a2+b2-ab
可继续化为
2
2
3 2
+ b.
4
2
3 2
2
2
2
2
正解:因为 A-B=a +3ab-4ab+b =a +b -ab= + b ≥0,
基本不等式
第三节 基本不等式
目
录
1
高考引航
2
必备知识
3
关键能力
高考引航
必备知识
知识清单
一 基本不等式 ≤
+
2
(1)基本不等式成立的条件:
a>0,b>0
(2)等号成立的条件:当且仅当ຫໍສະໝຸດ a=b..
二 几个重要的不等式
(1)a2+b2≥
(2) + ≥
(3)ab≤
(4)
2ab
2
(a,b∈R);
通道,如图.设矩形温室的室内长为 x(单位:m),三块种植植物的矩形区域的总面积为
S(单位:m2).
(1)求 S 关于 x 的函数关系式;
(2)求 S 的最大值.
解析
【解析】(1)由题设,得 S=(x-8)
900
7200
-2 =-2x-
+916,x∈(8,450).
(2)因为 8<x<450,
时,等号成立.
答案
解析
关键能力
题型归纳
题型一
利用基本不等式求最值
1
1
【例 1】(1)已知 a,b∈R,且 a-3b+6=0,则 2a+8 的最小值为 4
(2)(2020 届南昌市模拟)已知函数 y=x+
-2
的值为
4
.
(x>2)的最小值为 6,则正数 m
.
(3)(2020 届安徽天长模拟)已知正数 a、b 满足 a2+b2=6,则 b 2 + 4的最
大值为
5
.
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
不等式的基本性质
4
3
2
= 2x (x -1)+(1- x)(1+ x) 3 =(x -1)(2x - x -1) 2 = (x 1)(x 1)(2x 2x 1) 1 1 = (x -1) 2(x + 2) + 2 > 0
2 2
3
∴A>B
1、不等式的基本性质： ①对称性： a b b a
考点突破 利用不等式性质判断命题真假 运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的 条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意 捏造性质．解有关不等式的简单判断和选择题时，
也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵
循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简
单，便于验证计算．
对于实数 a，b，c，下列命题中的真命题 是( ) A．若 a＞b，则 ac2＞bc2 1 1 B．若 a＞b＞0，则a＞b b a C．若 a＜b＜0，则 ＞ a b 1 1 D．若 a＞b，a＞b，则 a＞0，b＜0
本专题知识结构
第一讲 不等式和绝对值不等式
不 等 式 选 讲
第二讲 证明不等式的基本方法 第三讲 柯西不等式与排序不等式 第四讲 数学归纳法证明不等式
第一讲
不等式和绝对值不等式
1.不等式的基本性质
知识回顾
A B a b b>a B b
a>b
A a
a>b a-b>0
解：
2
2
2 2 2
4 2 4
4
,
4
不等式的性质及应用
反证法
定义：反证法是一种通过假设相反的结论成立，然后推导出 矛盾的结论，从而证明原结论正确的方法。
步骤
1. 假设相反的结论成立。
2. 推导出矛盾的结论。
3. 得出原结论正确的结论。
例子：例如，要证明一个数不能被3整除，可以先假设它可 以被3整除，然后推导出一些矛盾的结论，从而证明原结论 正确。
放缩法
不等式的性质及应用
2023-11-09
contents
目录
• 不等式的基本性质 • 不等式的证明方法 • 不等式的应用 • 不等式在数学竞赛中的应用 • 不等式的实际应用
01
不等式的基本性质
传递性
总结词
不等式的传递性是指如果a>b且c>d，那么ac>bd。
详细描述
不等式的传递性是基于实数的有序性质，即如果a>b且c>d ，那么ac>bd。但需要注意的是，不等式的传递性不适用于 所有的数学对象，例如在复数域上就不一定成立。
详细描述
不等式的乘法单调性是指当两个数a和b满足a>b且c>0时，那么a与c的乘积大于 b与c的乘积。这个性质在解决一些实际问题时非常有用，例如在经济学中的收益 问题。
正值不等式与严格不等式
总结词
正值不等式是指a>b时，称a>b；严格不等式是指a>b且a≠b时，称a>b。
详细描述
正值不等式是指当a大于b时，我们称a大于b；严格不等式是指当a大于b且a不等于b时，我们称a大于b。在数学 中，我们通常使用严格不等式来描述两个数之间的关系，以保证它们之间没有相等的情况。
利用不等式解决其他问题竞赛题
总结词
不等式在数学竞赛中还可以用来解决其他问题，如最 优化问题、数列问题、解析几何问题等。
基本不等式(共43张)ppt课件
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
3不等式的性质证明和基本不等式
3.分析法: 由结论到条件，注意格式规范→步
步可逆即充要
x Ex：已知：
y 0 ，比较：
x y x y
与
x x
2 2
y y
2 2
的大小.
Ex：比较
x
2
与 2 x 的大小。
1 a b 1 b c 1 a c
ab 2
Ex：已知 a
b c ，求证：
Ex:已知 a , b
R , a b , 求证： a b b ( a b ) a
( Ex:已知 a , b R , 求证：
a
2
1
)2 (
b
2
1
1
1
)2 a 2 b 2
b
a
Ex：已知
求证： lg
2
a,b,c R ,
lg b c 2
且不全相等
a c 2 lg a lg b lg c
2
且可推广：
a,b,c R ,
a b c 3
3
abc 仅 当 a b c 0时 取 等 号
n
且进一步：
ai R ,
a1 a 2 a n n
a1 a n
称作：n个正数的算术平均数不小于它的几何平均数 且变形为：
1 a,b
二、不等式的基本性质
（1）传递性：a
b,b c a c
a （2）加法单调性：
a （3）乘法单调性：
b a c b c
b, c 0 ac bc b, c d a c b d b 0, c d 0 ac bd
高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式 第2课时 基本
a＋b 3．4 基本不等式： ab≤ 2 第 2 课时 基本不等式的应用
a＋b [学习目标] 1.进一步掌握基本不等式 ab≤ 2 . 2.会用基本不等式求某些函数的最大值、最小值，能够解 决一些简单的实际问题． 3.会用基本不等式的变式如 a2＋2 b2≥a＋2 b2(a，b∈R)证明不等式．
f(x)＝x2＋1＋x2＋2 1－1≥2 （x2＋1）·x2＋2 1－1＝ 2 2－1，当且仅当 x2＋1＝x2＋2 1，即 x2＝ 2－1 时等号成 立．
答案：(1)√ (2)× (3)√
2．若 x＞0，则 x＋4x的最小值为( ) A．2 B．3 C．2 2 D．4
解析：因为 x＞0，所以 x＋4x≥2 x·4x＝4，当且仅 当 x＝4x，即 x＝2 时等号成立．
2．常用构造定值条件的技巧变换：①加项变换；② 拆项变换；③统一变元；④平方后利用基本不等式．
[变式训练] 已知 x＞0，y＞0，且 2x＋8y－xy＝0， 求：(1)xy 的最小值；(2)x＋y 的最小值． 解：因为 x＞0，y＞0，2x＋8y－xy＝0， (1)xy＝2x＋8y≥2 16xy， 所以 xy≥8，所以 xy≥64. 故 xy 的最小值为 64.
解析：因为 x＞1，所以 x－1＞0.
又 y＝x＋ 2 ＝(x－1)＋ 2 ＋1≥2 2＋1.
x－1
x－1
等号成立的条件是 x－1＝ 2 x－1
即 x＝1＋ 2. 故当 x＝1＋ 2时，y 取最小值 1＋2 2. 答案： 2＋1 1＋2 2
5．若 0＜x＜1，则函数 f(x)＝2＋log2 x＋log52 x的最 大值是________．
证明：因为 n＞2，所以 n－1＞1. 所以 logn(n－1)＞0，logn(n＋1)＞0， 所以 logn(n－1)logn(n＋1)≤
第三节 基本不等式及其应用
第三节 基本不等式及其应用考试要求1．了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．[知识排查·微点淘金]知识点1 基本不等式 不等式 成立的条件 等号成立的条件两个不等式的关系 重要不等式a 2＋b 2≥2ab a ，b ∈Ra ＝b在不等式a 2＋b 2≥2ab 中，若a ＞0，b ＞0，分别以a ，b 代替a ，b 可得a ＋b ≥2ab ，即ab ≤a ＋b2基本不等式ab ≤a ＋b2a ＞0，b ＞0a ＝b设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点2 利用基本不等式求最值 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 的和是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24(简记：和定积最大)．[微思考]1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示：不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值．2．函数y ＝x ＋1x的最小值是2吗？提示：不是．因为函数y ＝x ＋1x 的定义域是{x |x ≠0}，当x <0时，y <0，所以函数y ＝x＋1x无最小值． 常用结论1．基本不等式的两种常用变形形式(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)．(2)a ＋b ≥2ab (a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号)． 2．几个重要的结论(1)a 2＋b 22 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(ab ＞0)． (3)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． (4)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．[小试牛刀·自我诊断]1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．(×)(2)(a ＋b )2≥4ab .(√)(3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．(×)(4)函数y ＝sin x ＋4sin x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值为4.(×) 2．(链接教材必修5 P 99例1(2))设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81D ．82解析：选C 因为x >0，y >0，所以x ＋y 2≥xy ，即xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.3．(链接教材必修5 P 100A 组T 2)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 m 2.解析：设矩形的一边为x m ，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，所以y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋（10－x ）22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25. 答案：254．(忽视变量的范围)函数f (x )＝2x ＋3x ＋1(x <0)的最大值为 ．解析：∵x <0，∴f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－2x ）＋3（－x ）＋1≤－26＋1.当且仅当－2x ＝3－x且x <0，即x ＝－62时等号成立．答案：1－2 65．(忽视基本不等式等号成立的条件)当x ≥2时，x ＋4x ＋2的最小值为 ．解析：设x ＋2＝t ，则x ＋4x ＋2＝t ＋4t －2.又由x ≥2得t ≥4，而函数y ＝t ＋4t －2在[2，＋∞)上是增函数，因此当t ＝4时，t ＋4t －2即x ＋4x ＋2取得最小值，最小值为4＋44－2＝3.答案：3一、综合探究点——利用基本不等式求最值(多向思维)[典例剖析]思维点1 通过配凑法求最值[例1] (1)若0<x <12，则y ＝x 1－4x 2的最大值为( )A ．1B ．12C ．14D ．18解析：∵0<x <12，∴y ＝x 1－4x 2＝x 2（1－4x 2）＝124x 2（1－4x 2）≤12×4x 2＋1－4x 22＝14，当且仅当4x 2＝1－4x 2， 即x ＝24时取等号， 则y ＝x1－4x 2的最大值为14.答案：C(2)已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则( )A ．f (x )有最小值4B ．f (x )有最小值－4C ．f (x )有最大值4D ．f (x )有最大值－4解析：f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2＋1－1x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1x ＋1－2 ＝－(x ＋1)＋1－（x ＋1）＋2.因为x <－1，所以x ＋1<0，－(x ＋1)>0， 所以f (x )≥21＋2＝4，当且仅当－(x ＋1)＝1－（x ＋1），即x ＝－2时，等号成立．故f (x )有最小值4. 答案：A(3)已知x >54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最小值为 ．解析：∵x >54，∴4x －5>0，∴f (x )＝4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3≥21＋3＝5.当且仅当4x －5＝14x －5，即x ＝32时取等号．答案：5通过配凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．配凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．思维点2 常数代换法求最值[例2] 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为 ．解析：因为a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝2＋2＝4.当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．答案：4常数代换法求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 思维点3 消元法求最值[例3] [一题多解]已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为 ． 解析：解法一(换元消元法)：由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 因为x >0，y >0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0.令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6. 解法二(代入消元法)：由x ＋3y ＋xy ＝9，得x ＝9－3y1＋y，所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝9－3y ＋3y （1＋y ）1＋y＝9＋3y 21＋y ＝3（1＋y ）2－6（1＋y ）＋121＋y＝3(1＋y )＋121＋y －6≥23（1＋y ）·121＋y－6＝12－6＝6.当且仅当3(1＋y )＝121＋y ，即y ＝1时取等号．即x ＋3y 的最小值为6. 答案：6消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．[学会用活]1．(2021·泉州检测)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A ．13B ．12C ．34D ．23解析：选B 因为0<x <1，所以x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋（1－x ）22＝34.当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时等号成立．2．若直线2mx －ny －2＝0(m >0，n >0)过点(1，－2)，则1m ＋2n 的最小值为( )A ．2B ．6C ．12D ．3＋2 2解析：选D 因为直线2mx －ny －2＝0(m >0，n >0)过点(1，－2)，所以2m ＋2n －2＝0，即m ＋n ＝1，所以1m ＋2n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋2n (m ＋n )＝3＋n m ＋2m n ≥3＋22，当且仅当“n m ＝2m n ，即n ＝2m ”时取等号，所以1m ＋2n的最小值为3＋22，故选D ．3．若正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．223B ．23C ．33D ．233解析：选A 因为正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，所以y ＝1－x 26x.由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，即⎩⎨⎧x >0，1－x 26x >0，解得0<x <1.所以x ＋2y ＝x ＋1－x 23x ＝2x 3＋13x ≥22x 3·13x＝223，当且仅当2x 3＝13x ，即x ＝22，y ＝212时取等号． 故x ＋2y 的最小值为223.二、应用探究点——基本不等式的实际应用(思维拓展)[典例剖析][例4] 要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 (单位：元)．解析：设该长方体容器的长为x m ，则宽为4x m ．又设该容器的造价为y 元，则y ＝20×4＋2⎝⎛⎭⎫x ＋4x ·10，即y ＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x (x ＞0)．因为x ＋4x ≥2 x ·4x ＝4(当且仅当x ＝4x，即x ＝2时取“＝”)，所以y min ＝80＋20×4＝160(元)．答案：160 [拓展变式]1．[变条件]若本例中容器底面长不小于2.5 m ，则该容器的最低总造价是 元． 解析：由例题的解答可知：总造价S ＝20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ＋80(x ≥2.5)，因为S ′＝20⎝⎛⎭⎫1－4x 2＝20·x 2－4x2＞0，所以S ＝20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ＋80在[2，＋∞)上单调递增， 所以当x ＝2.5 m 时，S min ＝20×⎝⎛⎭⎫2.5＋42.5＋80＝162(元)． 答案：1622．[变条件]若本例中容器底面长不大于1.5 m ，则该容器的最低总造价是 元(精确到十分位)．解析：由例题的解答可知：总造价S ＝20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ＋80(0＜x ≤1.5)， 因为S ′＝20⎝⎛⎭⎫1－4x 2＝20·x 2－4x2＜0，所以S ＝20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ＋80在(0，2]上单调递减，所以当x ＝1.5时，S min ＝20×⎝⎛⎭⎫1.5＋41.5＋80≈163.3(元)．答案：163.3有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．[学会用活]4.如图，在半径为30 cm 的半圆形(O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A ，B 在直径上，点C ，D 在圆周上．怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积． 解：如图，连接OC ．设BC ＝x ，矩形ABCD 的面积为S . 则AB ＝2900－x 2，其中0<x <30. 所以S ＝2x900－x 2＝2x 2（900－x 2）≤x 2＋(900－x 2)＝900.当且仅当x 2＝900－x 2，即x ＝152时，S 取最大值900 cm 2.所以，取BC 为15 2 cm 时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为900 cm 2.三、综合探究点——基本不等式的创新交汇问题(思维创新)[典例剖析][例5] (1)已知f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x (a >0，b >0)在x ＝1处取得极值，则2a ＋1b 的最小值为( )A ．3＋223B ．3＋2 2C ．3D ．2 2解析：由f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x (a >0，b >0)，得f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b －4.由题意得f ′(1)＝12＋2a ＋b －4＝0， 则2a ＋b ＝3，所以2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·2a ＋b 3＝13⎝⎛⎭⎫2a ＋1b (2a ＋b )＝13⎝⎛⎭⎫5＋2b a ＋2a b ≥13⎝⎛⎭⎫5＋22b a ·2a b ＝3， 当且仅当2b a ＝2ab ，即a ＝b ＝1时，等号成立．故2a ＋1b 的最小值为3. 答案：C(2)在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，CA ＝3，CB ＝4，P 为线段AB 上的一点，且CP →＝x ·CA →|CA →|＋y ·CB →|CB →|，则1x ＋1y 的最小值为( )A ．76B ．712C ．712＋33D ．76＋33解析：∵CA ＝3，CB ＝4，即|CA →|＝3，|CB →|＝4， ∴CP →＝x CA →|CA →|＋y CB →|CB →|＝x 3CA →＋y 4CB →，∵P 为线段AB 上的一点，即P ，A ，B 三点共线， ∴x 3＋y4＝1(x >0，y >0)， ∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·⎝⎛⎭⎫x 3＋y 4＝712＋x 3y ＋y 4x ≥712＋2112＝712＋33，当且仅当x 3y ＝y4x时，等号成立，∴1x ＋1y 的最小值为712＋33，故选C ． 答案：C1．当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后合理变形利用基本不等式求最值．2．求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定相关成立的条件，从而得到参数的值或范围．[学会用活]5．(2021·河南名校联考)已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 6，3a 5，a 7成等差数列，若{a n }中存在两项a m ，a n ，使得4a 1为其等比中项，则1m ＋4n的最小值为( )A ．4B ．9C ．23D ．32解析：选D 设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q ，q >0， 由a 6，3a 5，a 7成等差数列，可得6a 5＝a 6＋a 7， 即6a 1q 4＝a 1q 5＋a 1q 6， 解得q ＝2(q ＝－3舍去)，由{a n }中存在两项a m ，a n ，使得4a 1为其等比中项，可得16a 21＝a m a n ＝a 21·2m ＋n －2， 化简可得m ＋n ＝6，m ，n ∈N *， 则1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝16⎝⎛⎭⎫5＋n m ＋4m n ≥16⎝⎛⎭⎫5＋2 n m ·4m n ＝32. 当且仅当n ＝2m ＝4时，上式取得等号．限时规范训练基础夯实练1．函数f (x )＝x 2＋4|x |的最小值为( )A ．3B ．4C ．6D ．8解析：选B f (x )＝x 2＋4|x |＝|x |＋4|x |≥4，当且仅当x ＝±2时取等号，所以f (x )＝x 2＋4|x |的最小值为4.故选B ．2．(2021·钦州期末测试)已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2＝15－ab ，则ab 的最大值是( ) A ．15 B ．12 C ．5D ．3解析：选C 因为a 2＋b 2＝15－ab ≥2ab ，所以3ab ≤15，即ab ≤5，当且仅当a ＝b ＝±5时等号成立．所以ab 的最大值为5.3．(2021·烟台期中测试)已知x ，y ∈R 且x －2y －4＝0，则2x ＋14y 的最小值为( )A ．4B ．8C ．16D ．256解析：选B ∵x －2y －4＝0，∴x －2y ＝4， ∴2x ＋14y ≥22x －2y ＝8.当且仅当x ＝2，y ＝－1时等号成立， ∴2x ＋14y 的最小值为8.4．(2021·山东师大附中月考)已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，则xy 的最小值为( )A ．100B ．81C ．36D ．9解析：选C 已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，所以1x ＋9y≥21x ·9y，即1≥29xy，故xy ≥36，当且仅当⎩⎨⎧1x ＝9y，1x ＋9y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝18时等号成立，所以xy 的最小值为36.故选C ．5．对于使f (x )≤M 成立的所有常数M ，我们把M 的最小值称为f (x )的上确界．若a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝1，则－12a －2b的上确界为( )A ．－92B ．92C ．14D ．－4解析：选A ∵a ＋b ＝1，∴－12a －2b ＝－a ＋b 2a －2a ＋2b b ＝－52－⎝⎛⎭⎫b 2a ＋2a b ，∵a >0，b >0，∴b 2a ＋2ab≥2，当且仅当b ＝2a 时取等号，∴－12a －2b ≤－52－2＝－92，∴－12a －2b 的上确界为－92.故选A ．6．已知a >0，b >0，且ab ＋2a ＋b ＝4，则a ＋b 的最小值是 ． 解析：∵ab ＋2a ＋b ＝4，a >0，b >0， ∴b ＝4－2a a ＋1＝6a ＋1－2，∴a ＋b ＝a ＋6a ＋1－2＝a ＋1＋6a ＋1－3≥26－3，当且仅当a ＝6－1时取得最小值， ∴a ＋b 的最小值是26－3. 答案：26－37．(2021·江西五市九校联考)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则b 3a ＋3b 的最小值为 ．解析：因为a ＋b ＝1，所以b 3a ＋3b ＝b 3a ＋3（a ＋b ）b ＝b 3a ＋3a b＋3，因为a >0，b >0，所以b 3a ＋3ab ＋3≥2b 3a ·3a b ＋3＝5，当且仅当b 3a ＝3a b ，即a ＝14，b ＝34时等号成立，即b 3a ＋3b的最小值为5.答案：58．设x ，y 为正数，若x ＋y 2＝1，则1x ＋2y 的最小值是 ，此时x ＝ ．解析：因为x ＋y 2＝1，x >0，y >0，所以1x ＋2y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ⎝⎛⎭⎫x ＋y 2＝2＋y 2x ＋2xy≥2＋2y 2x ·2xy＝4，当且仅当y 2x ＝2x y ，即x ＝12，y ＝1时等号成立，所以1x ＋2y 的最小值为4，此时x ＝12.答案：4 129．已知x ，y ∈(0，＋∞)，x 2＋y 2＝x ＋y . (1)求1x ＋1y的最小值；(2)是否存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5？并说明理由．解：(1)因为1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝x 2＋y 2xy ≥2xy xy ＝2，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，所以1x ＋1y的最小值为2.(2)不存在．理由如下：因为x 2＋y 2≥2xy ，所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y )． 又x ，y ∈(0，＋∞)，所以x ＋y ≤2.从而有(x ＋1)(y ＋1)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x ＋1）＋（y ＋1）22≤4，因此不存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5. 10．设a ，b 为正实数，且1a ＋1b ＝2 2.(1)求a 2＋b 2的最小值；(2)若(a －b )2≥4(ab )3，求ab 的值． 解：(1)由22＝1a ＋1b ≥21ab 得ab ≥12，当且仅当a ＝b ＝22时取等号，故a 2＋b 2≥2ab ≥1，当且仅当a ＝b ＝22时取等号，所以a 2＋b 2的最小值是1. (2)由(a －b )2≥4(ab )3得a 2＋b 2－2ab ≥4a 3b 3，不等式两边同除以a 2b 2，得1b 2＋1a 2－2ab ≥4ab ，即⎝⎛⎭⎫1a ＋1b 2－4ab ≥4ab ，从而ab ＋1ab ≤2，又ab ＋1ab≥2. 所以ab ＋1ab＝2，所以ab ＝1.综合提升练11．(2021·湖北十一校联考)设a >0，b >0，则“1a ＋1b ≤4”是“ab ≥14”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为a >0，b >0，所以4≥1a ＋1b ≥21a ·1b，当且仅当a ＝b 时取等号， 则2≥1ab，所以ab ≥14；若ab ≥14，取a ＝14，b ＝1，则1a ＋1b ＝4＋1＝5>4，即1a ＋1b ≤4不成立．所以“1a ＋1b ≤4”是“ab ≥14”的充分不必要条件，故选A ．12．(2021·江西重点中学联考)已知直线ax ＋2by －1＝0和x 2＋y 2＝1相切，则ab 的最大值是( )A ．14B ．12C ．22D ．1解析：选A 圆x 2＋y 2＝1的圆心为(0，0)，半径r ＝1，由直线ax ＋2by －1＝0和x 2＋y 2＝1相切，得|－1|a 2＋4b2＝1，则a 2＋4b 2＝1，又由1＝a 2＋4b 2≥4ab ，可得ab ≤14，当且仅当a ＝2b 时等号成立，故ab 的最大值是14.13．(2021·安徽合肥二模)《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青)．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形的长为a ＋b ，宽为内接正方形的边长d .由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论．如图3，设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形的对角线AE ，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，则下列推断正确的是( )①由图1和图2面积相等可得d ＝aba ＋b； ②由AE ≥AF 可得 a 2＋b 22≥a ＋b2； ③由AD ≥AE 可得a 2＋b 22≥21a ＋1b； ④由AD ≥AF 可得a 2＋b 2≥2ab . A ．①②③④ B ．①②④ C ．②③④D ．①③解析：选A 由题图1和题图2面积相等得ab ＝(a ＋b )d ，可得d ＝aba ＋b，①正确；由题意知题图3的面积为12ab ＝12a 2＋b 2·AF ，则AF ＝ab a 2＋b2，AD ＝12BC ＝12a 2＋b 2，设题图3中正方形的边长为x ，由三角形相似，得a －x x ＝x b －x ，解得x ＝aba ＋b ，则AE ＝2aba ＋b，可以化简判断②③④都正确，故选A ． 14．已知a >b >0，则a 2＋1b （a －b ）的最小值为 ．解析：由a >b >0，得a －b >0，∴b (a －b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24.∴a 2＋1b （a －b ）≥a 2＋4a 2≥2a 2·4a2＝4， 当且仅当b ＝a －b 且a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝22时取等号． ∴a 2＋1b （a －b ）的最小值为4.答案：415．(2021·湖南岳阳模拟改编)若a >0，b >0，且a ＋2b －4＝0，则ab 的最大值为 ，1a ＋2b的最小值为 ． 解析：∵a >0，b >0，且a ＋2b －4＝0，∴a ＋2b ＝4， ∴ab ＝12a ·2b ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 22＝2， 当且仅当a ＝2b ，即a ＝2，b ＝1时等号成立， ∴ab 的最大值为2.∵1a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ·a ＋2b 4＝14⎝⎛⎭⎫5＋2b a ＋2a b ≥14·⎝⎛⎭⎫5＋22b a ·2a b ＝94， 当且仅当a ＝b ＝43时等号成立，∴1a ＋2b 的最小值为94. 答案：2 9416．(2021·吉林六校联考)已知lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)． (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值．解：由lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，3xy ＝x ＋y ＋1.(1)因为x ＞0，y ＞0，所以3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1. 所以3xy －2xy －1≥0，即3(xy )2－2xy －1≥0. 所以(3xy ＋1)(xy －1)≥0. 所以xy ≥1.所以xy ≥1.当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．所以xy 的最小值为1.(2)因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋y ＋1＝3xy ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22.所以3(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0. 所以[3(x ＋y )＋2][(x ＋y )－2]≥0.所以x ＋y ≥2.当且仅当x ＝y ＝1时取等号． 所以x ＋y 的最小值为2.创新应用练17.某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m 2的三级污水处理池(平面图如图所示)．如果池四周围墙建造单价为400元/m ，中间两道隔墙建造单价为248元/m ，池底建造单价为80元/m 2，水池所有墙的厚度忽略不计．试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．解：设隔墙的长度为x m ，总造价的函数为y 元，则隔墙造价为2x ·248＝496x ， 池底造价为200×80＝16 000， 四周围墙造价为⎝⎛⎭⎫2x ＋2×200x ·400＝800·⎝⎛⎭⎫x ＋200x .因此，总造价为y ＝496x ＋800⎝⎛⎭⎫x ＋200x ＋16 000(0<x <50)＝1296x ＋160 000x ＋ 16 000≥21296x ·160 000x＋16 000＝28 800＋16 000＝44 800.当1296x ＝160 000x ，即x ＝1009时，等号成立．这时，污水池的长为18 m.故当污水池的长为18 m ，宽为1009 m 时，总造价最低，最低为44 800元．。
基本不等式
+2
C．a2＋2＋
)
4
2
D ．a ＋
【解析】选D.
课件制作老师：胡琪
2
≥4
基本不等式应用
课件制作老师：胡琪
和化积
对勾型，直接用
1
1.函数 = + + 6( > 0)的最小值为（ ）
A．6
B．7
C．8
1
D．9
1
解析： = + + 6( > 0) ≥ 2 ⋅ + 6 = 8
2−2
A．有最小值1
C．有最小值－1
(
)
B．有最大值1
D．有最大值－1
课件制作老师：胡琪
和化积
12. =
A.8
可化为对勾型
2 +7+10
+1
> −1 最小值（
B.9
解：令 = + 1 > 0， =
）
C.10
2 +5+4
4
D.11
4
=+ +5≥2 × +5=9
3
1
3，则3－3x－ ≤3－2
课件制作老师：胡琪
3，故选D.
和化积
可化为对勾型
7.若 ∈ 1, +∞ ，则 =
A.4
B.5
4
+
的最小值是___________.
−1
C.6
D.7
解析：∵ ∈ 1, +∞ ，∴ − 1 > 0，
∴ =+
4
拔高学习----不等式之第3讲：基本不等式及应用 (学生版)
第3讲 基本不等式及应用最新考纲 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知 识 梳 理1.基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b 2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数.2.几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.(2)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (3)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号.3.利用基本不等式求最值已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是简记：积定和最小).(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)当a≥0，b≥0时，a＋b2≥ab.()(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是相同的.()(3)函数y＝x＋1x的最小值是2.()(4)函数f(x)＝sin x＋4sin x的最小值为2.()(5)x＞0且y＞0是xy＋yx≥2的充要条件.()2.若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是()A.a2＋b2＞2abB.a＋b≥2abC.1a＋1b＞2abD.ba＋ab≥23.若直线xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于()A.2B.3C.4D.54.(2015·湖南卷)若实数a，b满足1a＋2b＝ab，则ab的最小值为()A. 2B.2C.2 2D.45.(人教A必修5P100A2改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大.考点一配凑法求最值【例1】(1)已知x＜54，求f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值；(2)已知x为正实数且x2＋y22＝1，求x1＋y2的最大值；(3)求函数y＝x－1x＋3＋x－1的最大值.【训练1】(1)设0＜x＜52，则函数y＝4x(5－2x)的最大值为________.(2)设x＞－1，则函数y＝（x＋5）（x＋2）x＋1的最小值为________.考点二 常数代换或消元法求最值【例2】 (1)已知x ＞0，y ＞0且x ＋y ＝1，则8x ＋2y 的最小值为________.(2)(2016·南昌模拟)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________.【训练2】 (1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285C.5D.6(2)(2016·浙江十校联考)若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43 B.53 C.2 D.54(3)设x ，y 为实数. 若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________.考点三 基本不等式在实际问题中的应用【例3】 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l . (1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时.【训练3】 要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A.80元B.120元C.160元D.240元解析 设底面矩形的长和宽分别为a m ，b m ，则ab ＝4(m 2).容器的总造价为20ab ＋2(a ＋b )×10＝80＋20(a ＋b )≥80＋40ab ＝160(元)(当且仅当a ＝b 时等号成立).故选C. 答案 C基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.下列不等式一定成立的是( )A.lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0) B.sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C.x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 2.已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A.72B.4C.92D.53.(2016·南昌一模)若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A.1ab >12B.1a ＋1b ≤1C.ab ≥2D.1a 2＋b 2≤184.已知x ，y ∈(0，＋∞)，且log 2x ＋log 2y ＝2，则1x ＋1y 的最小值是( )A.4B.3C.2D.15.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A.a <v <abB.v ＝abC.ab <v <a ＋b 2D.v ＝a ＋b 2 二、填空题6.设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值为________. 7.(2015·东北师大附中三模)已知x ＞0，y ＞0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是________.8.若对于任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________. 三、解答题9.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋1y 的最小值.10.运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当xyz取得最大值时，2x＋1y－2z的最大值为()A.0B.1C.94 D.312.(2015·江西五校联考)已知x＞0，y＞0，且4xy－x－2y＝4，则xy的最小值为()A.22 B.2 2 C. 2 D.213.(2016·唐山一模)已知x，y∈R且满足x2＋2xy＋4y2＝6，则z＝x2＋4y2的取值范围为________.14.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计.(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.。
3.2 不等式的基本性质 课件3
不等式的两边都加上（或减
去）同一个数，所得到的不
把a>b表示在数轴上， 不妨设c>0 等式仍成立.
c
c
c
c
b b+c a a+c ∴a+c>b+c.
b-c b a-c a ∴a-c>b-c.
看谁快又准!
请用适当的不等号填空：
(1) ∵0 < 1,
∴a <
这个理由的动画
a+1 .(不等式基本性质2) 还没处理好!
如果a＞b,
性 那么ac＜bc,
.
那么a+c ＞ b+c , a-c ＞ b-c. 性 如果a＜b, 质 那么a+c ＜ b+c , a-c ＜ b-c.
பைடு நூலகம்
质 不等式的两边都乘(或都除
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以)同一个正数，所得到的 不等式仍成立；
2 不等式的两边都加上（或减 去）同一个数，所得到的不 等式仍成立.
不等式的两边都乘(或都除以) 同一个负数，必须把不等号 的方向改变，所得到的不等 式成立.
A. a 3 b 3
B. 3a 3b
C. a b 33
D. a b
（2）由 x y ，得 ax > ay 的条件是（D ）
A.a 0
B. a 0
C. a 0
D. a 0
判断下列说法是否正确?并说明理由.
1.如果a>-1,那么a-b > -1-b.
例 ：已知a<0 ，试比较2a与a的大小.
比较两数大小的方法： 1.利用不等式的基本性质; 2.利用数轴法(数形结合); 3.作差法.
比较2a与a的大小.
第3讲 不等式的性质和基本不等式学生(新高一培优十六讲系列)
第3讲 不等式的性质和基本不等式[玩前必备]1．不等式的基本性质2．两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b a －b ＝0⇔a ＝ba －b <0⇔a <b(a ，b ∈R )(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a >b ab ＝1⇔a ＝ba b<1⇔a <b (a ∈R ，b >0)3．基本(均值)不等式ab ≤a ＋b2(1)基本(均值)不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 4．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋ab≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 5．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本(均值)不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 6．利用基本(均值)不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)[玩转典例]题型一 不等式的性质应用例1 (1)给出下列命题： ①若ab >0，a >b ，则1a <1b ；②若a >b ，c >d ，则a －c >b －d ；③对于正数a ，b ，m ，若a <b ，则a b <a ＋mb ＋m.其中真命题的序号是________．（2）已知a ，b ，c 为不全相等的实数，P ＝a 2＋b 2＋c 2＋3，Q ＝2(a ＋b ＋c )，那么P 与Q 的大小关系是( )A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD ．P ≤Q（3）已知12<a <60,15<b <36.求a －b 和ab 的取值范围．【玩转跟踪】1．下列命题中一定正确的是( ) A ．若a >b ，且1a >1b ，则a >0，b <0B ．若a >b ，b ≠0，则ab >1C ．若a >b ，且a ＋c >b ＋d ，则c >dD ．若a >b ，且ac >bd ，则c >d2．已知1≤a －b ≤2且2≤a ＋b ≤4，求4a －2b 的取值范围．3.已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c ≥b >a B ．a >c ≥b C ．c >b >aD ．a >c >b题型二 基本不等式求最值角度一：通过配凑法利用基本(均值)不等式求最值例2 (1)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.23 (2)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋3 C ．3 D ．4 (3)①已知x <54，求f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值；②已知x 为正实数且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2的最大值； ③求函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值．角度二：通过常数代换法利用基本(均值)不等式求最值例3 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________．[探究1] 本例的条件不变，则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________． [探究2] 本例的条件和结论互换即：已知a ＞0，b ＞0，1a ＋1b ＝4，则a ＋b 的最小值为________．[探究3] 若将本例中的“a ＋b ＝1”换为“a ＋2b ＝3”，如何求解？题型三 均值不等式实际应用例4 某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件 [玩转跟踪]1.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则该公司年平均利润的最大值是________万元．[玩转练习]1．如果a <0，b >0，那么下列不等式中正确的是( ) A.1a <1b B.－a <b C ．a 2<b 2D ．|a |>|b |2．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋c ≥b －c B ．ac >bc C.c 2a －b>0 D ．(a －b )c 2≥03．给出下列条件：①ab >0；②ab <0；③a >0，b >0；④a <0，b <0. 其中可使b a ＋ab ≥2成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．44．若a ，b ∈R 且ab >0，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥2 5．设x >0，则3－3x －1x 的最大值是( )A ．3B ．3－22C ．－1D ．3－236．已知x 2－x ＋1x －1(x >1)在x ＝t 时取得最小值，则t 等于( )A ．1＋ 2B ．2C ．3D ．47．已知正数a ，b 满足a ＋2b ＝2，则2a ＋1b的最小值为________．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．59．设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小顺序是________．10.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.11．若－1<a ＋b <3,2<a －b <4，求2a ＋3b 的取值范围．12．已知x >0，y >0且2x ＋5y ＝20. (1)求xy 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值．13．某人准备租一辆车从孝感出发去武汉，已知从出发点到目的地的距离为100 km ，按交通法规定：这段公路车速限制在40～100(单位：km /h)之间．假设目前油价为7.2元/L ，汽车的耗油率为⎝⎛⎭⎫3＋x2360L /h ，其中x (单位：km/h)为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量．租车需付给司机每小时的工资为76.4元，不考虑其他费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速x 是多少？(注：租车总费用＝耗油费＋司机的工资)。
高中数学 步步高2022年 二轮复习专题一 第3讲 不等式
第3讲 不等式[考情分析] 1.对不等式的性质及不等式的解法的考查一般不单独命题，常与集合、函数图象与性质相结合，也常渗透在三角函数、数列、解析几何、导数等题目中.2.基本不等式主要渗透在其他知识中求最值.3.题型多以选择题、填空题的形式呈现，中等难度．考点一 不等式的性质及应用 核心提炼不等式的常用性质(1)a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc .(2)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd >0.(3)a >b >0⇒a n >b n ，n a >nb (n ∈N ，n ≥2)．(4)a >b ，ab >0⇒1a <1b. 例1 (1)(2021·宁夏大学附属中学模拟)已知a ，b ，c 满足a >b >c ，且ac >0，则下列选项中一定能成立的是( )A ．ab >acB ．c (b －a )>0C ．ab (a －c )>0D ．cb 2>ca 2 答案 C解析 取a ＝－1，b ＝－2，c ＝－3，则ab ＝2<ac ＝3，cb 2＝－12<ca 2＝－3，排除A ，D ；取a ＝3，b ＝2，c ＝1，则c (b －a )＝－1<0，排除B ；因为a >b >c ，且ac >0，所以a ，b ，c 同号，且a >c ，所以ab (a －c )>0.(2)(2021·淮南模拟)设12<a <1，m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (1－a )，p ＝log a 12a，则m ，n ，p 的大小关系是( )A ．n >m >pB ．m >p >nC ．p >n >mD ．n >p >m 答案 D解析 因为12<a <1, 所以a 2＋1－12a ＝2a 3＋2a －12a>0， 12a －(1－a )＝1－2a ＋2a 22a ＝2⎝⎛⎭⎫a －122＋122a >0， y ＝log a x 为减函数，所以m <p , p <n .可得n >p >m .规律方法 判断关于不等式命题真假的常用方法(1)作差法、作商法．(2)利用不等式的性质推理判断．(3)利用函数的单调性．(4)特殊值验证法，特殊值法只能排除错误的命题，不能判断正确的命题．跟踪演练1 (1)(多选)(2021·广州模拟)设a ，b ，c 为实数且a >b ，则下列不等式一定成立的是( )A.1a >1bB ．2 021a －b >1 C ．ln a >ln bD ．a (c 2＋1)>b (c 2＋1) 答案 BD解析 对于A ，若a >b >0，则1a <1b，所以A 错误； 对于B ，因为a －b >0，所以2 021a －b >1，所以B 正确；对于C ，函数y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，而a ，b 不一定是正数，所以C 错误； 对于D ，因为c 2＋1>0，所以a (c 2＋1)>b (c 2＋1)，所以D 正确．(2)(多选)(2021·长沙模拟)设x ，y 为实数，且满足1≤x ≤4,0<y ≤2，则下列结论错误的是( )A ．1<x ＋y ≤6B ．1<x －y ≤2C ．0<xy ≤8D.x y ≥2 答案 BD解析 ∵1≤x ≤4,0<y ≤2，∴1<x ＋y ≤6，A 正确；∵1≤x ≤4，－2≤－y <0，∴－1≤x －y <4，B 错误；∵1≤x ≤4,0<y ≤2，∴0<xy ≤8，C 正确；∵1≤x ≤4,0<12≤1y ，∴x y ≥12，D 错误． 考点二 不等式的解法核心提炼不等式恒成立问题的解题方法(1)f (x )>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )min >a ，x ∈I ；f (x )<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )max <a ，x ∈I .(2)f (x )>g (x )对一切x ∈I 恒成立⇔当x ∈I 时，f (x )的图象在g (x )的图象的上方．(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法．例2 (1)已知关于x 的不等式ax －b ≤0的解集是[2，＋∞)，则关于x 的不等式ax 2＋(3a －b )x －3b <0的解集是( )A ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D ．(－2,3)答案 A解析 由关于x 的不等式ax －b ≤0的解集是[2，＋∞)，得b ＝2a 且a <0，则关于x 的不等式ax 2＋(3a －b )x －3b <0可化为x 2＋x －6>0，即(x ＋3)(x －2)>0，解得x <－3或x >2，所以不等式的解集为(－∞，－3)∪(2，＋∞)．(2)若不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－2，65 B.⎣⎡⎭⎫－2，65 C.⎣⎡⎦⎤－2，65 D.⎣⎡⎭⎫－2，65∪{2} 答案 B解析 当a 2－4＝0时，解得a ＝2或a ＝－2，当a ＝2时，不等式可化为4x －1≥0，解集不是空集，不符合题意；当a ＝－2时，不等式可化为－1≥0，此式不成立，解集为空集．当a 2－4≠0时，要使不等式的解集为空集，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－4<0，Δ＝(a ＋2)2＋4(a 2－4)<0，解得－2<a <65. 综上，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－2，65.易错提醒 求解含参不等式ax 2＋bx ＋c <0恒成立问题的易错点(1)对参数进行讨论时分类不完整，易忽略a ＝0时的情况．(2)不会通过转换把参数作为主元进行求解．(3)不考虑a 的符号．跟踪演练2 (1)“|x －3|<1”是“3x －1>1”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 由|x －3|<1，解得2<x <4，因为3x －1>1，所以3x －1－1>0，即4－xx －1>0，解得1<x <4.因为(2,4)(1,4)，所以“|x －3|<1”是“3x －1>1”的充分不必要条件．(2)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是() A ．(－∞，－2) B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)答案 A解析 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，x ∈(1,4)．令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，所以g (x )<g (4)＝－2，所以a <－2.考点三 基本不等式核心提炼基本不等式求最值的三种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑出符合基本不等式条件的项，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y ＝m ＋A g (x )＋Bg (x )(AB >0)，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值． 例3 (1)(多选)(2021·厦门质检)设a >0，b >0，a ＋b ＝1，则( )A ．ab 的最大值为14B ．a 2＋b 2的最小值为12C.4a ＋1b的取值范围为[9，＋∞) D.(a ＋1)(b ＋1)ab的最小值为2 2 答案 ABC解析 对于A 中，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，所以A 正确； 对于B 中，由a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝12，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，可得a 2＋b 2的最小值为12，所以B 正确；对于C 中，由4a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫4a ＋1b (a ＋b )＝5＋4b a ＋a b ≥5＋24＝9，当且仅当a ＝2b ，即a ＝23，b ＝13时，等号成立，4a ＋1b取得最小值9，所以C 正确； 对于D 中，由(a ＋1)(b ＋1)ab ＝ab ＋a ＋b ＋1ab ＝ab ＋2ab≥22，当且仅当ab ＝2时取等号，又0<ab ≤12，所以D 不正确． (2)若不等式sin 2x －a sin x ＋2≥0对任意的x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，3]解析 设t ＝sin x ，∵x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，∴t ∈(0,1]，则不等式sin 2x －a sin x ＋2≥0对任意x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2恒成立， 即转化为不等式t 2－at ＋2≥0在t ∈(0,1]上恒成立，即转化为a ≤t 2＋2t ＝t ＋2t在t ∈(0,1]上恒成立， 由对勾函数知y ＝t ＋2t在t ∈(0,1]上单调递减， y min ＝1＋21＝3，∴a ≤3. 易错提醒 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的条件(1)一正二定三相等，三者缺一不可；(2)若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到． 跟踪演练3 (1)(多选)设x ，y ∈R *，且xy －(x ＋y )＝1，则( )A ．x ＋y ≥2(2＋1)B ．xy ≤2＋1C ．xy ≥(2＋1)2D ．xy ≥2(2＋1)答案 AC解析 ∵xy －(x ＋y )＝1，∴xy ＝(x ＋y )＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，解不等式得x ＋y ≥2(2＋1)， 当且仅当x ＝y ＝2＋1时取等号，故A 正确；∵xy －(x ＋y )＝1，∴xy －1＝x ＋y ≥2xy ，即xy －2xy －1≥0， 解得xy ≥2＋1，即xy ≥(2＋1)2，当且仅当x ＝y ＝2＋1时取等号，故C 正确．(2)已知a >0，b >0，12a ＋b ＋1b ＋1＝1，则a ＋b 的最小值为________． 答案 32解析 a >0，b >0，a ＋b ＝12(2a ＋b ＋b ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ＋1b ＋1－12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b ＋12a ＋b ＋2a ＋b b ＋1－12 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ＋b ＋2a ＋b b ＋1＋12 ≥b ＋12a ＋b ·2a ＋b b ＋1＋12＝32， 当且仅当b ＋12a ＋b ＝2a ＋b b ＋1，即b ＋1＝2a ＋b ，解得a ＝12，b ＝1时等号成立， 所以a ＋b 的最小值是32. 专题强化练一、单项选择题1．若a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列说法正确的是( ) A ．ac 2<bc 2B.1a <1bC.b a >a bD ．a 2>ab >b 2答案 D解析 当c ＝0时，A 不成立；1a －1b ＝b －a ab>0，B 错误； b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝(b ＋a )(b －a )ab <0，C 错误； 由a <b <0，得a 2>ab >b 2，D 正确．2．不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0]∪(2,4]B ．[0,2)∪[4，＋∞)C ．[2,4)D ．(－∞，2)∪(4，＋∞)答案 B解析 当x －2>0，即x >2时，(x －2)2≥4，即x －2≥2，∴x ≥4，当x －2<0，即x <2时，(x －2)2≤4，即－2≤x －2<0，∴0≤x <2，综上，0≤x <2或x ≥4.3．(2021·抚顺六校联考)已知a ，b 都是正实数，则“log 31a<－log 3b ”是“⎝⎛⎭⎫13b >3－a ”的( ) A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由log 31a<－log 3b ，得a >b ，则－a <－b ， 从而3－a <3－b ，则3－a <⎝⎛⎭⎫13b ；由⎝⎛⎭⎫13b >3－a ，得a >b ，因为a >0，b >0，所以0<1a <1b， 所以log 31a <log 31b ，即log 31a<－log 3b . 故“log 31a<－log 3b ”是“⎝⎛⎭⎫13b >3－a ”的充要条件． 4．已知关于x 的不等式x 2－ax －6a 2>0(a <0)的解集为(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，且x 2－x 1＝52，则a 等于( )A ．－ 5B ．－32C ．－ 2D ．－52答案 C解析 x 2－ax －6a 2＝(x －3a )(x ＋2a )>0，∵a <0，∴x >－2a 或x <3a ，∴x 2＝－2a ，x 1＝3a ，∴x 2－x 1＝－5a ＝52，∴a ＝－ 2.5．已知函数f (x )＝14x ＋9x －1(x <1)，下列结论正确的是( ) A ．f (x )有最大值114B ．f (x )有最大值－114C ．f (x )有最小值132D ．f (x )有最小值74 答案 B解析 f (x )＝x －14＋9x －1＋14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 4＋91－x ＋14≤－21－x 4·91－x ＋14＝－114，当且仅当x ＝－5时等号成立． 6．(2021·岳阳模拟)原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是( )A ．第一种方案更划算B ．第二种方案更划算C ．两种方案一样D ．无法确定答案 B解析 设小李这两次加油的油价分别为x 元/升、y 元/升，则方案一：两次加油平均价格为40x ＋40y 80＝x＋y 2≥xy ，方案二：两次加油平均价格为400200x ＋200y ＝2xy x ＋y ≤xy ，故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算．7．设x >y >z ，n ∈N *，且1x －y ＋1y －z ≥nx －z 恒成立，则n 的最大值为() A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 C解析 因为x >y >z ，n ∈N *，所以x －y >0，y －z >0，x －z >0， 由1x －y ＋1y －z ≥nx －z ，可得n ≤(x －z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －y ＋1y －z ，(x －z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －y ＋1y －z＝[(x －y )＋(y －z )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －y ＋1y －z ＝1＋1＋y －z x －y ＋x －yy －z ≥2＋2y －zx －y ·x －yy －z ＝4，当且仅当x －y ＝y －z 时，上式取得等号，由题意可得n ≤4，即n 的最大值为4.8．若0<x <y <z ，且xyz ＝1，则下列关系式不一定成立的是( )A ．lg y ＋lg z >0B ．2y ＋2z >4C ．x ＋z 2>2D ．x 2＋z >2答案 D解析 因为0<x <y <z ，且xyz ＝1，yz ＝1x， 所以0<x <1，且z >1.对于A ，lg y ＋lg z ＝lg yz ＝lg 1x ，因为0<x <1，故1x >1，lg 1x>lg 1＝0，则lg y ＋lg z >0，故A 成立；对于B,2y ＋2z ≥22y ＋z ，其中y ＋z ≥2yz ＝21x >2，故2y ＋2z ≥22y ＋z >222＝4，故2y ＋2z >4成立；对于C ，x ＋z 2≥2x ·z 2＝2z y ，又0<y <z ，故z y >1，所以2z y >2，故x ＋z 2>2成立； 对于D ，因为x 2＋z ≥2x 2z ＝2x y ，而0<x <y ，则0<x y<1，所以x 2＋z >2不一定成立. 二、多项选择题 9．若a >0>b >－a ，c <d <0，则下列结论正确的是( )A ．ad >bc B.a d ＋b c<0 C ．a －c >b －dD ．a (d －c )>b (d －c )答案 BCD解析 ∵a >0>b ，c <d <0，∴ad <0，bc >0，∴ad <bc ，故A 错误；∵0>b >－a ，∴a >－b >0，∵c <d <0，∴－c >－d >0，cd >0，∴a (－c )>(－b )(－d )，∴ac ＋bd <0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bd cd<0， 故B 正确；∵c <d <0，∴－c >－d >0，又∵a >0>b ，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )，即a －c >b －d ，故C 正确；∵a >b ，d －c >0，∴a (d －c )>b (d －c )，故D 正确．10．(2021·邯郸模拟)设0<a <b <1,0<c <1，则( )A ．ln(c a ＋1)>ln(c b ＋1)B ．(c ＋1)a <(c ＋1)bC ．a b >a a >b aD ．log c a <log c b答案 AB解析 因为0<a <b <1,0<c <1，可得函数y ＝a x ，y ＝log c x 均是减函数，可得a b <a a ，log c a >log c b ，所以C ，D 不正确；又由函数y ＝ln x 是增函数，y ＝c x 是减函数，可得c a >c b ，且c a ＋1>c b ＋1，所以ln(c a ＋1)>ln(c b ＋1)，所以A 正确；因为0<c <1，可得c ＋1>1，所以函数y ＝(c ＋1)x 是增函数，可得(c ＋1)a <(c ＋1)b ，所以B 正确．11．(2020·新高考全国Ⅰ)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D.a ＋b ≤ 2 答案 ABD解析 因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，即有ab ≤14. 对于A ，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故A 正确； 对于B ，2a －b ＝22a －1＝12×22a ，因为a >0，所以22a >1，即2a －b >12，故B 正确； 对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log 214＝－2，故C 错误； 对于D ，由(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤2， 得a ＋b ≤2，故D 正确．12．(2021·无锡四校联考)已知实数a ，b 满足a 2－ab ＋b ＝0(a >1)，下列结论中正确的是( )A ．b ≥4B ．2a ＋b ≥8 C.1a ＋1b>1 D ．b >a答案 AD解析 ∵a 2－ab ＋b ＝0(a >1)，∴b ＝a 2a －1， 对于A ，b ＝a 2a －1＝[(a －1)＋1]2a －1＝a －1＋1a －1＋2， ∵a >1，∴a －1>0，∴b ＝a －1＋1a －1＋2≥2(a －1)×1a －1＋2＝4，当且仅当a ＝2时等号成立，即b ≥4，故A 正确；对于B,2a ＋b ＝2a ＋a －1＋1a －1＋2＝3(a －1)＋1a －1＋4≥23＋4，当且仅当a ＝33＋1时等号成立，∵23＋4<8，∴2a ＋b ≥8不一定成立，故B 错误；对于C ，1a ＋1b ＝1a ＋a －1a2＝－⎝⎛⎭⎫1a －12＋1<1，故C 错误； 对于D ，b －a ＝a －1＋1a －1＋2－a ＝1a －1＋1>0，∴b >a ，故D 正确． 三、填空题13．(2021·南京检测)函数y ＝lg(c ＋2x －x 2)的定义域是(m ，m ＋4)，则实数c 的值为________． 答案 3解析 依题意得，一元二次不等式－x 2＋2x ＋c >0，即x 2－2x －c <0的解集为(m ，m ＋4)，所以m ，m ＋4是方程x 2－2x －c ＝0的两个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋m ＋4＝2，m (m ＋4)＝－c ，解得m ＝－1，c ＝3. 14．(2021·湖南三湘联考)若两个正实数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，且不等式x ＋2y ≥m 2－7m恒成立，则实数m 的取值范围为________．答案 [－1,8]解析 由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y ＝1，所以x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4＋x y ＋4y x≥8，当且仅当x ＝4，y ＝2时等号成立，所以m 2－7m ≤8，解得－1≤m ≤8.15．已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，则2a ＋b 的最大值为________．答案 2解析 因为a >0，b >0，且2a ＋b ＝1， 所以2a ＋b ＝(2a ＋b )2＝2a ＋b ＋22ab ＝1＋22ab ≤1＋2a ＋b ＝1＋1＝2，当且仅当2a ＝b ，即a ＝14，b ＝12时，等号成立， 所以2a ＋b 的最大值为 2.16．已知实数x ，y 满足x >1，y >0且x ＋4y ＋1x －1＋1y ＝11，则1x －1＋1y的最大值为________． 答案 9解析 ∵x ＋4y ＋1x －1＋1y ＝11， ∴(x －1)＋4y ＝10－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋1y ， 又⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋1y [(x －1)＋4y ]＝5＋x －1y ＋4y x －1≥5＋24＝9，当且仅当x －1y ＝4y x －1，即2y ＝x －1>0时等号成立， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋1y ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋1y ≥9， 令t ＝1x －1＋1y，则t (10－t )≥9， 即t 2－10t ＋9≤0，∴1≤t ≤9，∴1x －1＋1y的最大值为9.。
高中数学第三章不等式 基本不等式：ab≤a+b2学案含解析新人教A版必修
3．4 基本不等式：ab≤a＋b 2[目标] 1.了解基本不等式的代数式和几何背景；2.会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式；3.会用基本不等式求最值和解决简单的实际问题．[重点] 基本不等式的简单应用．[难点] 基本不等式的理解与应用．知识点一 两个不等式[填一填]1．重要不等式：对于任意实数a ,b ,有a 2＋b 2≥2ab ,当且仅当a ＝b 时,等号成立． 2．基本不等式：如果a ,b ∈R ＋,那么ab ≤a ＋b 2,当且仅当a ＝b 时,等号成立．其中a ＋b2为a ,b 的算术平均数,ab a ,b 的几何平均数．所以两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．[答一答]1．不等式a 2＋b 2≥2ab 和基本不等式ab ≤a ＋b2成立的条件有什么不同？提示：不等式a 2＋b 2≥2ab 对任意实数a ,b 都成立；ab ≤a ＋b2中要求a ,b 都是正实数．知识点二 基本不等式与最值[填一填]已知x ,y 都是正数,(1)若x ＋y ＝s (和为定值),则当x ＝y 时,积xy 取得最大值．(2)若xy ＝p (积为定值),则当x ＝y 时,和x ＋y 取得最小值．[答一答]2．利用基本不等式求最值时,我们应注意哪些问题？提示：(1)在利用基本不等式具体求最值时,必须满足三个条件：①各项均为正数；②含变数的各项的和(或积)必须是常数；③当含变数的各项均相等时取得最值．三个条件可简记为：一正、二定、三相等．这三个条件极易遗漏而导致解题失误,应引起足够的重视．(2)记忆口诀：和定积最大,积定和最小．3．在多次使用基本不等式求最值时,我们应注意什么问题？提示：在连续多次应用基本不等式时,我们要注意各次应用时不等式取等号的条件是否一致,若不能同时取等号,则需换用其他方法求出最值．4．两个正数的积为定值,它们的和一定有最小值吗？提示：不一定．应用基本不等式求最值时还要求等号能取到．如sin x 与4sin x ,x ∈(0,π2),两个都是正数,乘积为定值．但是由0<sin x <1,且sin x ＋4sin x 在(0,1)上为减函数,所以sin x ＋4sin x>1＋41＝5,等号不成立,取不到最小值．类型一 利用基本不等式证明不等式[例1] (1)已知a ,b ,c 为不全相等的正实数,求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . (2)已知a ,b ,c 为正实数,且a ＋b ＋c ＝1, 求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.[分析] (1)左边是和式,右边是带根号的积式之和,所以用基本不等式,将和变积,并证得不等式．(2)不等式右边数字为8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式,可得三个“2”连乘,又1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a,可由此变形入手． [证明] (1)∵a >0,b >0,c >0,∴a ＋b ≥2ab >0,b ＋c ≥2bc >0,c ＋a ≥2ca >0. ∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca ), 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ,b ,c 为不全相等的正实数,故等号不成立． ∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . (2)∵a ,b ,c 为正实数,且a ＋b ＋c ＝1, ∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a , 同理1b －1≥2ac b ,1c －1≥2ab c.由上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1 ≥2bc a ·2ac b ·2ab c＝8.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时,等号成立．1.利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,从而达到放缩的效果.2.注意多次运用基本不等式时等号能否取到.3.解题时要注意技巧,当不能直接利用不等式时,可将原不等式进行组合、构造,以满足能使用基本不等式的形式.[变式训练1] 已知a >0,b >0,c >0,且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明：因为a >0,b >0,c >0,且a ＋b ＋c ＝1, 所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9,当且仅当a ＝b ＝c ＝13时,取等号． 类型二 利用基本不等式求最值[例2] (1)若x >0,求f (x )＝4x ＋9x 的最小值；(2)设0<x <32,求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)已知x >2,求x ＋4x －2的最小值；(4)已知x >0,y >0,且1x ＋9y＝1,求x ＋y 的最小值．[分析] 利用基本不等式求最值,当积或和不是定值时,通过变形使其和或积为定值,再利用基本不等式求解．[解] (1)∵x >0,∴由基本不等式得 f (x )＝4x ＋9x ≥24x ·9x＝236＝12, 当且仅当4x ＝9x,即x ＝32时,f (x )＝4x ＋9x 取最小值12.(2)∵0<x <32,∴3－2x >0,∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )] ≤2⎣⎡⎦⎤2x ＋(3－2x )22＝92.当且仅当2x ＝3－2x ,即x ＝34时取“＝”．∴y 的最大值为92.(3)∵x >2,∴x －2>0,∴x ＋4x －2＝(x －2)＋4x －2＋2≥2(x －2)·4x －2＋2＝6.当且仅当x －2＝4x －2,即x ＝4时,x ＋4x －2取最小值6.(4)∵x >0,y >0,1x ＋9y＝1,∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y ≥10＋29＝16.当且仅当y x ＝9x y 且1x ＋9y ＝1时等号成立．即x ＝4,y ＝12时等号成立． ∴当x ＝4,y ＝12时,x ＋y 有最小值16.求最值问题第一步就是“找”定值,观察、分析、构造定值是问题的突破口.找到定值后还要看“＝”是否成立,不管题目是否要求写出符号成立的条件,都要验证“＝”是否成立.[变式训练2] (1)已知lg a ＋lg b ＝2,求a ＋b 的最小值； (2)已知x >0,y >0,且2x ＋3y ＝6,求xy 的最大值． 解：(1)由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2, 即ab ＝100,且a >0,b >0,因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100＝20, 当且仅当a ＝b ＝10时,a ＋b 取到最小值20. (2)∵x >0,y >0,2x ＋3y ＝6, ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎫2x ＋3y 22＝16·⎝⎛⎭⎫622＝32, 当且仅当2x ＝3y ,且2x ＋3y ＝6时等号成立, 即x ＝32,y ＝1时,xy 取到最大值32.类型三 基本不等式的实际应用[例3] 特殊运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米,按规定限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升6元,而送货卡车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x2360升,司机的工资是每小时140元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式．(2)当x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值． [解] (1)设所用时间为t ＝130x(小时),y ＝130x ×6×⎝⎛⎭⎫2＋x 2360＋140×130x,x ∈[50,100]．所以,这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×152x ＋13x 6,x ∈[50,100]．(2)y ＝130×152x ＋13x 6≥525703,当且仅当130×152x ＝13x6,即x ＝4570∈[50,100]时,等号成立．故当x ＝4570千米/时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为525703元．解实际问题时,首先审清题意,然后将实际问题转化为数学问题,再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时,应按如下步骤进行：(1)先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出答案.[变式训练3] 要制作一个容积为4 m 3,高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是160(单位：元)．解析：设该长方体容器的长为x m,则宽为4x m ．又设该容器的总造价为y 元,则y ＝20×4＋2⎝⎛⎭⎫x ＋4x ×10,即y ＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x (x >0)．因为x ＋4x≥2x ·4x＝4⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取“＝”,所以y min ＝80＋20×4＝160(元)．1．给出下列条件：①ab >0；②ab <0；③a >0,b >0；④a <0,b <0,其中能使b a ＋ab ≥2成立的条件有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：当b a ,a b 均为正数时,b a ＋ab≥2,故只须a 、b 同号即可．所以①、③、④均可以．2．若a ,b ∈R ,且ab >0,则下列不等式中,恒成立的是( D ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋a b≥2解析：∵a ,b ∈R ,且ab >0, ∴b a >0,a b >0, ∴b a ＋a b≥2b a ×ab＝2. 当且仅当b a ＝ab,即a ＝b 时取等号．3．设a ,b 为实数,且a ＋b ＝3,则2a ＋2b 的最小值为( B ) A ．6 B ．4 2 C ．2 2D ．8解析：2a ＋2b ≥22a ＋b ＝223＝4 2.4．已知0<x <1,则当x ＝12时,x (3－3x )取最大值为34.解析：3x (1－x )≤3(x ＋1－x 2)2＝34,当且仅当x ＝1－x 即x ＝12时等号成立．5．已知a >0,b >0,c >0,求证： (1)b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋b c ≥6；(2)b ＋c a ·c ＋a b ·a ＋b c≥8.证明：(1)b ＋c a ＋a ＋c b ＋a ＋b c ＝b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c ＝(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥2＋2＋2＝6(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)．(2)b ＋c a ·c ＋a b ·a ＋b c ≥2bc a ·2ac b ·2abc＝8abc abc＝8(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)．——本课须掌握的两大问题1．基本不等式成立的条件：a >0且b >0；其中等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号,即若a ≠b 时,则ab ≠a ＋b 2,即只能有ab <a ＋b2. 2．利用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的原则,即 (1)一正：符合基本不等式a ＋b2≥ab 成立的前提条件,a >0,b >0；(2)二定：化不等式的一边为定值；(3)三相等：必须存在取“＝”号的条件,即“＝”号成立．以上三点缺一不可．若是求和式的最小值,通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值,通常化(或利用)和为定值,其解答技巧是恰当变形,合理拆分项或配凑因式．。
第三节 基本不等式及其应用
第三节 基本不等式及其应用高考概览：1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．[知识梳理]1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ，b ∈R ＋.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． (4)⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：a ＋b2≥ab .(当且仅当a ＝b 时等号成立)4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24(简记：和定积最大)．[辨识巧记]1．基本不等式的两种常用变形形式(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)． (2)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0，当且仅当a ＝b 时取等号)． 2．三个重要的结论 (1)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22. (2)b a ＋ab ≥2(ab >0)． (3)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤ a 2＋b 22(a >0，b >0)． [双基自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．( )(2)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( ) (3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为4.( ) (4)x >0且y >0是x y ＋yx ≥2的充要条件．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2．“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 由a >b >0得，a 2＋b 2>2ab ；但由a 2＋b 2>2ab 不能得到a >b >0，故“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的充分不必要条件，故选A.[答案] A3．(必修5P 100A 组T 1(2)改编)设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy的最大值为( )A ．80B ．77C ．81D ．82[解析] ∵x >0，y >0，∴xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，∴xy ≤81，当且仅当x ＝y ＝9时取等号，∴xy 的最大值为81.故选C.[答案] C4．(2018·宁夏月考)若正数x ，y 满足1y ＋3x ＝1，则x ＋3y 的最小值为( )A ．24B ．18C ．12D ．6[解析] 由1y ＋3x ＝1得x ＋3y ＝(x ＋3y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝x y ＋9y x ＋6≥2x y ·9y x ＋6＝12，当且仅当x y ＝9y x ，且1y ＋3x ＝1，即x ＝6，y ＝2时等号成立，所以x ＋3y 的最小值为12，故选C.[答案] C5．(必修5P 100练习T 3改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2.[解析] 设矩形场地的长为x m ，宽为y m ，则x ＋y ＝10，所以矩形场地的面积S ＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝25，当且仅当x ＝y ＝5时，S 取得最大值25 m 2.[答案] 25考点一 利用基本不等式求最值利用基本(均值)不等式求最值，一般是已知两个非负数的和为定值求其乘积的最大值，或已知两个非负数的乘积为定值求其和的最小值，是每年高考的重点内容．常见的命题角度有： (1)一元函数的最值；(2)二元函数的最值． 角度1：一元函数的最值【例1－1】 (1)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )A.13B.12C.34D.23(2)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．4[思路引导] (1)所求式提取公因数3→凑出和为定值(2)将所求f (x )添加项→凑出积为定值[解析] (1)∵0<x <1，∴1－x >0，∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(1－x )22＝34. 当且仅当x ＝1－x ，得x ＝12时，“＝”成立．故选B. (2)∵x >2，∴x －2>0， ∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2·(x －2)·1x －2＋2＝2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即(x －2)2＝1时“＝”成立，∴x ＝1或3.又∵x >2，∴x ＝3，∴a ＝3.故选C. [答案] (1)B (2)C 角度2：二元函数的最值【例1－2】 (1)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________．(2)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．[思路引导] (1)1a ＋1b →(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b→基本不等式求解(2)x ＋3y ＋xy ＝9→(x ＋3y )＋13x ·(3y )＝9 →转化为x ＋3y 的不等式求解 [解析] (1)∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·a b ＝4，即1a ＋1b 的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．(2)由已知得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，令x ＋3y ＝t ，则t 2＋12t －108≥0，又t >0，故t ≥6，即x ＋3y ≥6.[答案] (1)4 (2)6(1)利用基本(均值)不等式时一定要注意应用的前提“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本(均值)不等式．[对点训练]1．(2018·天津月考)已知a ，b 是正数，且4a ＋3b ＝6，则a (a ＋3b )的最大值是( )A.98B.94 C ．3 D ．9[解析] ∵a >0，b >0,4a ＋3b ＝6，∴a (a ＋3b )＝13·3a (a ＋3b )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋a ＋3b 22＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝3，当且仅当3a ＝a ＋3b ，即a ＝1，b ＝23时，a (a ＋3b )的最大值是3.故选C.[答案] C2．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4[解析] 解法一：由已知得1a ＋2b ＝b ＋2aab ＝ab ，且a >0，b >0，∴ab ab ＝b ＋2a ≥22ab ，当且仅当a ＝42，b ＝242时“＝”成立．∴ab ≥2 2.故选C.解法二：由题设易知a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋2b ≥ 22ab ，当且仅当a ＝42，b ＝242时“＝”成立，即ab ≥22，故选C.[答案] C 考点二 证明不等式【例2】 (1)设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1b 2＋ab ≥2 2.(2)已知x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1z －1>8.[思路引导] 转化不等式形式→利用基本不等式证明→整合结果[证明] (1)由于a ，b 均为正实数， 所以1a 2＋1b 2≥21a 2·1b 2＝2ab ，当且仅当1a 2＝1b 2，即a ＝b 时等号成立， 又因为2ab ＋ab ≥22ab ·ab ＝22， 当且仅当2ab ＝ab 时等号成立， 所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2ab ＋ab ≥22， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝1b 2，2ab ＝ab ，即a ＝b ＝42时取等号．(2)因为x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1， 所以1x －1＝1－x x ＝y ＋z x >2yz x ，① 1y －1＝1－y y ＝x ＋z y >2xz y ，② 1z －1＝1－z z ＝x ＋y z >2xy z ，③ 又x ，y ，z 为正数，由①×②×③，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1z －1>8.利用基本不等式证明不等式的技巧利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式，则考虑利用拆项、配凑等方法对不等式进行变形，使之达到能使用基本不等式的条件；若题目中还有已知条件，则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有1时，要注意1的代换．另外，解题中要时刻注意等号能否取到．[对点训练]已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.[证明] 由a ＋b ＝1，得1a ＋1b ＋1ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋ba ≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立.考点三 基本不等式的实际应用【例3】 (2018·泰安调研)某公司生产的商品A ，当每件售价为5元时，年销售10万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销量相应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多可提高多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件x 元，公司拟投入12(x 2＋x )万元作为技改费用，投入x 4万元作为宣传费用．试问：技术革新后生产的该商品销售量m 至少应达到多少万件时，才能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？[思路引导] (1)设变量→基本不等关系→求结果 (2)表示技术革新后的销售收入、原销售收入及总投入三角关系式→用x 表示出m 的函数关系→利用基本不等式求最值→实际作答 [解] (1)设商品的销售价格提高a 元， 则(10－a )(5＋a )≥50，解得0≤a ≤5. 所以商品的价格最多可以提高5元．(2)由题意知，技术革新后的销售收入为mx 万元，若技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和，只需满足mx ＝12(x 2＋x )＋x4＋50(x >5)即可，此时m ＝12x ＋34＋50x ≥2x 2·50x ＋34＝434，当且仅当12x ＝50x ，即x ＝10时，取“＝”．故销售量至少应达到434万件时，才能使技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和．利用基本不等式求解实际问题的2个注意点(1)利用基本不等式解决实际问题时，应明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．[对点训练]要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．[解析] 设池底长为x m ，宽为y m ，则xy ＝4，所以y ＝4x ，则总造价为f (x )＝20xy ＋2(x ＋y )×1×10＝80＋80x ＋20x ＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ＋80，x∈(0，＋∞)．所以f (x )≥20×2x ·4x ＋80＝160，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2，等号成立，所以最低总造价是160(元)．[答案] 160课后跟踪训练(四十一)基础巩固练一、选择题1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥2[解析] ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误．对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab ≥2b a ·a b ＝2.故选D.[答案] D2．(2019·福建福州一模)在下列各函数中，最小值为2的函数是( )A ．y ＝x ＋1x (x ≠0) B ．y ＝cos x ＋1cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <π2 C ．y ＝x 2＋3x 2＋2(x ∈R )D ．y ＝e x＋4e x －2(x ∈R )[解析] 对于A 项，当x <0时，y ＝x ＋1x ≤－2，故A 错；对于B项，因为0<x <π2，所以0<cos x <1，所以y ＝cos x ＋1cos x ≥2中等号不成立，故B 错；对于C 项，因为x 2＋2≥2，所以y ＝(x 2＋2)＋1x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2中等号也不能取到，故C 错；对于D 项，因为e x>0，所以y ＝e x＋4e x －2≥2e x·4ex －2＝2，当且仅当e x ＝2，即x ＝ln2时等号成立．故选D.[答案] D3．(2019·湖南邵阳联考)已知lg(x ＋y )＝lg x ＋lg y ，则x ＋y 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[2，＋∞)C ．(0,4]D ．[4，＋∞)[解析] ∵lg(x ＋y )＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )，∴x ＋y ＝xy .∵x >0，y >0，x ＋y ＝xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，∴x ＋y ≥4，故选D. [答案] D4．(2019·四川成都一诊)已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值2B ．最小值2C ．最大值1D ．最小值1[解析] ∵x ≥52，∴f (x )＝(x －2)2＋12(x －2)＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －2＋1x －2≥12·2(x －2)·1x －2＝1，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3或x ＝1(舍)时取等号，∴f (x )有最小值1，故选D.[答案] D5．(2019·河南平顶山、许昌、汝州联考)若3x ＋2y ＝2，则8x ＋4y 的最小值为( )A ．4B ．4 2C ．2D ．2 2[解析] ∵3x ＋2y ＝2，∴8x ＋4y ＝23x ＋22y ≥223x ·22y ＝223x ＋2y ＝4，当且仅当3x ＋2y ＝2且3x ＝2y ，即x ＝12，y ＝12时等号成立，∴8x ＋4y 的最小值为4，故选A.[答案] A 二、填空题6．函数y ＝sin x ＋4sin x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2的最小值为________． [解析] 设t ＝sin x ，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，则t ∈(0,1]，易知y ＝t ＋4t 在(0,1]上为减函数，故当t ＝1时，y 取得最小值5.[答案] 57．(2019·黑龙江齐齐哈尔八校联考)若对x >0，y >0，x ＋2y ＝1，有2x ＋1y ≥m 恒成立，则m 的最大值是________．[解析] ∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴2x ＋1y ＝(x ＋2y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝2＋2＋4y x ＋xy ≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当x ＝12，y ＝14时取等号，∴2x ＋1y 的最小值为8，又2x ＋1y ≥m 恒成立，∴m ≤8，即m 的最大值为8.[答案] 88．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为________m.[解析] 设两直角边分别为a m ，b m ，框架的周长为l ，则12ab ＝2，即ab ＝4，∴l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为(4＋22)m.[答案] 4＋2 2 三、解答题9．(2018·唐山一中月考)(1)已知x <54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)已知x >0，y >0且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值． [解] (1)∵x <54，∴4x －5<0.∴y ＝4x －5＋14x －5＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(5－4x )＋15－4x ＋3≤－2(5－4x )×15－4x＋3＝1，当且仅当x ＝1时等号成立，∴y max ＝1.(2)∵x >0，y >0且1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y ≥10＋2y x ·9xy ＝16，当且仅当x ＝4，y ＝12时等号成立，即x ＋y 的最小值为16. 10．(2018·河北唐山二模)已知a >0，b >0，c >0，d >0，a 2＋b 2＝ab ＋1，cd >1.(1)求证：a ＋b ≤2；(2)判断等式ac ＋bd ＝c ＋d 能否成立，并说明理由． [解] (1)证明：由题意得(a ＋b )2＝3ab ＋1≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋1，当且仅当a ＝b 时取等号． 解得(a ＋b )2≤4，又a ，b >0， 所以a ＋b ≤2. (2)不能成立．理由：由均值不等式得ac ＋bd ≤a ＋c 2＋b ＋d2，当且仅当a ＝c 且b ＝d 时等号成立．因为a ＋b ≤2，所以ac ＋bd ≤1＋c ＋d2. 因为c >0，d >0，cd >1，所以c ＋d ＝c ＋d 2＋c ＋d 2≥c ＋d 2＋cd >c ＋d2＋1≥ac ＋bd ， 故ac ＋bd ＝c ＋d 不能成立．能力提升练11．(2018·四川南充模拟)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285 C ．5 D ．6[解析] 因为x ＋3y ＝5xy ，1y ＋3x ＝5，所以3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3x y ＋12y x ＋135≥15×2×36＋135＝5，当且仅当x ＝1，y ＝12时等号成立．故选C.[答案] C12．若不等式m ≤12x ＋21－x 当x ∈(0,1)时恒成立，则实数m 的最大值为( )A ．9 B.92 C ．5 D.52[解析] x ∈(0,1)时1－x >0，∴12x ＋21－x ＝(1－x )＋x 2x ＋2(1－x )＋2x 1－x ＝1－x 2x ＋2x 1－x ＋12＋2≥52＋21＝92，当且仅当1－x ＝2x 即x ＝13时取得最小值92，∴使m ≤12x ＋21－x 恒成立的实数m 的最大值为92，故选B.[答案] B13．(2018·甘肃张掖月考)设a >0，b >1，若a ＋b ＝2，则3a ＋1b －1的最小值为________．[解析] ∵a >0，b >1，a ＋b ＝2，∴3a ＋1b －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b －1(a ＋b －1)＝3＋3(b －1)a ＋a b －1＋1＝4＋3(b －1)a ＋ab －1≥4＋23，当3(b －1)a ＝ab －1，即a ＝3－32，b ＝3＋12时取等号，故答案为4＋2 3. [答案] 4＋2 314．(2019·江苏盐城中学期末)我校为丰富师生课余活动，计划在一块形状为直角三角形的空地ABC 上修建一个占地面积为S (平方米)的矩形AMPN 健身场地，如图，点M 在AC 上，点N 在AB 上，且P 点在斜边BC 上，已知∠ACB ＝60°，|AC |＝30米，|AM |＝x 米，x ∈[10,20]．设矩形AMPN 健身场地每平方米的造价为37kS 元，再把矩形AMPN 以外(阴影部分)铺上草坪，每平方米的造价为12kS(k 为常数)元．(1)试用x 表示S ，并求S 的取值范围； (2)求总造价T 关于面积S 的函数T ＝f (S )；(3)如何选取|AM |，使总造价T 最低．(不要求求出最低造价) [解] (1)在Rt △PMC 中，显然|MC |＝30－x ，∠PCM ＝60°， |PM |＝|MC |·tan ∠PCM ＝3(30－x )，矩形AMPN 的面积S ＝|PM |·|AM |＝3x (30－x )，x ∈[10,20]，于是2003≤S ≤225 3.(2)矩形AMPN 健身场地造价T 1＝37k S ，又△ABC 的面积为4503，即草坪造价T 2＝12kS(4503－S )，由总造价T ＝T 1＋T 2，得T＝25k ⎝ ⎛⎭⎪⎫S ＋2163S ，2003≤S ≤225 3. (3)因为S ＋2163S ≥1263，当且仅当S ＝2163S ，即S ＝2163时等号成立，此时，3x (30－x )＝2163，解得x ＝12或x ＝18.所以选取|AM |的长为12米或18米时总造价T 最低．拓展延伸练15．(2018·辽宁鞍山三中第三次适应性考试)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n 的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16[解析] ∵当x ＝－2时，y ＝log a 1－1＝－1，∴函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点(－2，－1)，即A (－2，－1)．∵点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上， ∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1.∵m >0，n >0，∴1m ＋2n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1m ＋2n (2m ＋n )＝2＋n m ＋4mn ＋2≥4＋2n m ·4m n ＝8，当且仅当m ＝14，n ＝12时取等号．故选C. [答案] C16．(2017·天津卷)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．[解析] 因为ab >0，所以a 4＋4b 4＋1ab≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎨⎧a 2＝2b 2，ab ＝12即⎩⎨⎧a 2＝22，b 2＝24时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab的最小值为4. [答案] 4。
第三章 3.4 基本不等式
a＋2b－3c ＋ ≥3. 3c
[证明] ∵a，b，c 均为正实数， 2b a ∴ a ＋ ≥2(当且仅当 a＝2b 时等号成立)， 2b 3c a a ＋3c≥2(当且仅当 a＝3c 时等号成立)， 3c 2b ＋ ≥2(当且仅当 2b＝3c 时等号成立)， 2b 3c
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1 4．给出下面结论：①若 x∈(0，π)，则 sin x＋ ≥2；②若 a， sin x b∈(0， ＋∞)， 则 lg a＋lg b≥2 lg a· lg b； ③若 ≥4.其中正确结论的序号是________．
4 x∈R， 则x＋x
解析：①因为 x∈(0，π)，所以 sin x∈(0,1]，所以①成立； ②只有在 lg a>0， lg b>0， 即 a>1， b>1
4 ＝|x|＋x≥2 4 ＝4 |x|· x 4 时才成立； ③x＋x
成立．
答案：①③
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利用基本不等式比较大小 1 [典例] (1)已知 m＝a＋ (a>2)， n＝22－b2(b≠0)， 则 m， a－ 2
n 之间的大小关系是 A．m>n C．m＝n B．m<n D．不确定 ( )
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(1)应用基本不等式需注意三个条件：即一正、二定、三相 等． 在具体的题目中， “正数”条件往往易从题设中获得解决， “相 等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一 个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧．因此，“定值”条件决 定着基本不等式应用的可行性，这是解题成败的关键． (2)常用构造定值条件的技巧变换： ①加项变换；②拆项变换；③统一变元；④平方后利用基本 不等式． (3)对于条件最值要注意“1”的代换技巧的运用．
不等式的基本性质与基本不等式
不等式的基本性质与基本不等式郭浴琼目标： 掌握不等式的基本性质及常用的不等式性质，如自反性、传递性、可加性、可乘性等，并能证明这些基本性质；掌握两个基本不等式，并能用于解决一些简单问题．重难点：不等式的可加性、可乘性；基本不等式的应用及其证明． 一、 知识要点1、 比较两数大小的基本方法（1）作差法 0a b a b ->⇔>；0a b a b -<⇔<；0a b a b -=⇔=（2）作商法 若0,0a b >>，则1a a b b >⇔>；1a a b b <⇔<；1a a b b=⇔= 2、 不等式的基本性质性质1：a b b a >⇔<（对称性）性质2：若,a b b c >>，则a c >（传递性）性质3：若a b >，则a c b c +>+性质4：若,0a b c >>，则ac bc >；若,0a b c ><，则ac bc <结论1：若,a b c d >>，则a c b d +>+结论2：若0a b >>，则n n a b >()*n N ∈ 结论3：若0a b >>，则()*,1n n a b n N n >∈> 3、 基本不等式（均值不等式）对任意,a b R ∈，222a b ab +≥，当且仅当a =b 时取等号均值不等式：若a 、b 为正数，则2a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号 变式：222()22a b a b ab ++≥≥ 二、 例题精讲例1、有三个条件：（1）22ac bc >；(2)c a ＞cb ；(3)22a b >，其中能成为a b >的充分条件的个数有几个，是哪几个？例2、已知三个不等式：①0ab > ②bc ad > ③a c >bd ，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成多少个正确的命题？并写出这些命题．例3、实数a 、b 满足条件ab ＜0，那么（ ） A. a b -<b a + B. a b +>b a - C. a b +<b a - D. a b -<b a -例4、某收购站分两个等级收购棉花，一级棉花a 元/kg ，二级棉花b 元/kg ()b a <，现有一级棉花x kg ，二级棉花y kg ()x y >，若以两种价格平均数收购，对棉农公平吗？其理由可用不等式表示为 ．例5、若12a b -<<<，则3a b -的取值范围是 ．例6、已知实数,a b 判断下列不等式中哪些一定是正确的？（1）ab b a ≥+2； （2）ab b a 222-≥+； （3）ab b a ≥+22； （4）2≥+b a a b （5）21≥+a a ； （6） 2≥+ab b a （7）222)(2b a b a +≥+）（例7、（1）若a R b ∈,，且221a b +=，则a b +的最大值是 ，最小值是（2）设0,0,x y >>且21x y +=，则11x y+的最小值为 （3）若01,x <<则491y x x=+-的最小值为 （4）若+∈R x ，则x x 212+有最 值，且值为 （5）若13,3a a a >+-有最 值，是 ，此时a = （6）若1x <，则2231x x x -+-有最 值，值为例8、（1）若a ,b R +∈，且2222a b +=，则21a b +的最大值是（2）设1a >，1b >，且()1ab a b -+=，那么（ ）A 、a b +有最小值)12(2+B 、a b +有最大值2)12(+C 、ab 有最大值12+D 、ab 有最小值)12(2+例9、一批救灾物资随26辆汽车从某市以/v km h 的速度直达灾区，已知两地公路长400km ，为了安全起见，两车的间距不得小于220v km ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求这批物资全部运到灾区至少要多少小时？（不计车身长度）三、 课堂练习1、,x y R ∈，且112,144x y -<-<，则x y的取值范围是 ． 2、若()2f x a x c =-，且()()411,125f f -≤≤--≤≤，则()3f 的取值范围是 ． 3、若22221,1,a b c d a b c d R +=+=∈、、、，则abcd 的最大值是 ．4、函数()()log 310,1a y x a a =+->≠的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为 ． 5、设x R ∈，[]x 表示不大于x 的最大整数，如[]3π=，[]1.22-=-，102⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则使213x ⎡⎤-=⎣⎦成立的x 的取值范围是 ． 四、课后作业一、填空题1、已知,22ππαπβπ<<<<，则αβ-的取值范围是 ，2βα-的取值范围是 ．2、已知三个不等式：①0ab >；②c d a b-<-；③bc ad >，以其中两个作条件，余下一个作结论，则可以组成 个正确命题．3、已知,x y R +∈，2312x y +=，则lg lg x y +的最大值为 ．4、已知0a b >>，2c a b=+且1ab =，若log ,log ,log c c c l a m d n ab ===，则将l m n 、、按从小到大的顺序用不等号连接可得 ．5、已知222sin sin sin 1αβγ++=（,,αβγ均为锐角），那么cos cos cos αβγ的最大值等于 ．6、三个同学对问题“关于x 的不等式232255x x x ax ++-≥在[]1,12上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只需不等式左边的最小值不小于右边的最大值”；乙说：“把不等式变形为左边含变量x ，右边仅含常数，求函数的最值”；丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 ．二、选择题7、已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++≥⎪⎝⎭对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ）A 、2B 、4C 、6D 、8 8、若正数,a b 满足3ab a b =++，则a b +的取值范围是（ ）A 、[)9,+∞B 、[)6,+∞C 、(]0,9D 、()0,69、已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是（ ）A 、22a b <B 、22a b ab <C 、2211ab a b <D 、b a a b< 三、解答题10、当1x >-时，求2311x x y x -+=+的最小值； 11、（1）设集合()(){}()11,|0,,|M a b ab a b N a b a b ⎧⎫=->=<⎨⎬⎩⎭，试讨论M 与N 的关系；（2）求实数a 的取值范围，使不等式()22lg lg lg lg xy x y a ≤+⋅对一切满足1,1x y >>的实数恒成立．12、某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台，每批都购入x台（x 是正整数），且每批均需付运费400元．储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比．若每批购入400台，则全年需用去运费和保管费用43600元．现在全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．。
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基本不等式利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值是基本不等式的考点，高考主要求最值、判断不等式、解决不等式有关的问题，试题难度不大，主要是以选择题、填空题形式出现，有时解答题中也会利用基本不等式求最值．在复习时，注意利用基本不等式判断不等式是否成立(比较大小)，一般将所给不等式变形，使一侧为常数，另一侧利用基本不等式求解后判断． 【典例】1(1)(2013·山东，12)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A ．0B ．1 C.94D ．3(2)(2015·陕西，9)设f(x)＝ln x ，0<a<b ，若p ＝f(ab)，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r<pB ．p ＝r<qC ．q ＝r>pD ．p ＝r>q【解析】 (1)由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，得z ＝x 2－3xy ＋4y 2. 所以xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx－3≤12x y ·4y x－3＝1，当且仅当x y ＝4yx ，即x ＝2y 时取等号，此时z ＝2y 2，⎝⎛⎭⎫xy z max ＝1， 则2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －2xy ＝2y ⎝⎛⎭⎫1－1x ＝2y⎝⎛⎭⎫1－12y ≤4⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＋1－12y 22＝1. (2)方法一：由题意知，p ＝f(ab)＝ln ab ，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＝ln ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f(a)＋f(b))＝12(ln a ＋ln b)＝12ln ab ＝ln ab. 又∵b ＞a ＞0，∴a ＋b 2＞ab ＞0.∵函数f(x)＝ln x 为增函数，∴p ＝r ＜q ，故选B. 方法二(特值法)：令a ＝1，b ＝2，∴p ＝f(2)＝ln 2， q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＝f ⎝⎛⎭⎫32＝ln 32，r ＝12(ln 1＋ln 2)＝ln 2.∵2<32，∴ln 2<ln 32，∴p ＝r<q.【答案】 (1)B (2)B 【名师点睛】(1)含有三个变量，可以把其中一个变量用另两个变量来代替，借助基本不等式求最值； 解(2)时注意利用不等式与对数函数相结合，方法二是不等式常用的方法，特殊值法应灵活应用．利用基本不等式求最值的类型及方法(1)若已经满足基本不等式的条件，则直接应用基本不等式求解．(2)若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．(3)多次使用基本不等式求最值，此时要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号，若等号不成立，一般利用函数单调性求解．(2015·福建文，5)若直线x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5C 将(1，1)代入直线x a ＋y b ＝1得1a ＋1b＝1，a ＞0，b ＞0，故a ＋b ＝(a ＋b)⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2＝4，等号当且仅当a ＝b 时取到，故选C. 基本不等式的实际应用高考中利用基本不等式解决实际问题，关键是把实际问题转化为代数问题，列出函数关系式，再利用基本不等式求最值． 【典例】2(1)(2014·福建，13)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．(2)(2012·江苏，17，14分)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k>0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． ①求炮的最大射程；②设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．【解析】 (1)设池底长为x m ，宽为y m ，则xy ＝4，所以y ＝4x ，则总造价为f(x)＝20xy ＋2(x ＋y)×1×10＝80＋80x ＋20x＝20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ＋80，x ∈(0，＋∞)． 所以f(x)≥20×2x·4x ＋80＝160，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时，等号成立．所以最低总造价是160元． (2)①令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0.由实际意义和题设条件知x>0，k>0， 故x ＝20k 1＋k2＝20k ＋1k ≤202＝10， 当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米．②因为a>0，所以炮弹可以击中目标等价于存在k>0， 使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立，故关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根， 所以有判别式Δ＝(－20a)2－4a 2(a 2＋64)≥0，即a≤6. 所以当a 不超过6千米时，炮弹可以击中目标．, 【名师点睛】解(1)关键是列出函数关系式f(x)＝20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ＋80，利用基本不等式求最值； 题(2)①求炮的最大射程即求y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(x ＞0)与x 轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解；②求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解．利用基本不等式解决实际问题的步骤(1)根据题意设出相应变量，一般把要求最值的变量设为函数； (2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域； (3)在定义域内，求函数的最值；(4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案． 【针对训练】1．(2016·江西南昌调研，5)若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则4a －1＋16b －1的最小值为( )A ．16B ．25C ．36D ．49 1．A 因为a ，b ＞0，1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ，所以4a －1＋16b －1＝4（b －1）＋16（a －1）（a －1）（b －1）＝4b ＋16a －20ab －（a ＋b ）＋1＝4b ＋16a －20.又4b ＋16a ＝4(b ＋4a)＝4(b ＋4a)·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝20＋4⎝⎛⎭⎫b a ＋4a b ≥20＋4×2b a ·4ab＝36， 当且仅当b a ＝4a b 且1a ＋1b ＝1，即a ＝32，b ＝3时取等号．所以4a －1＋16b －1≥36－20＝16.2．(2016·河北五校联考，7)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m ＞0，n ＞0，则2m ＋1n 的最小值为( )A ．2 2B ．4 C.52 D.923．(2015·山东菏泽一模，10)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c>0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．23．A 圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程， 得x 2＋(y －1)2＝6， 所以圆心为C(0，1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ， 所以a×0＋b×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1. 因此4b ＋1c ＝(b ＋c)⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝4c b ＋b c ＋5. 因为b ，c>0，所以4c b ＋b c ≥24c b ·b c＝4. 当且仅当4c b ＝bc时等号成立．由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c取得最小值9. 4．(2016·山东济南模拟，14)已知x ＞0，y ＞0，若2y x ＋8xy＞m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】 (－4，2)5．(2015·福建厦门模拟，14)若当x>－3时，不等式a≤x ＋2x ＋3恒成立，则a 的取值范围是________．5．【解析】 设f(x)＝x ＋2x ＋3＝(x ＋3)＋2x ＋3－3， 因为x>－3，所以x ＋3>0， 故f(x)≥2（x ＋3）×2x ＋3－3＝22－3，当且仅当x ＝2－3时等号成立， 所以a 的取值范围是(－∞，22－3]． 【答案】 (－∞，22－3]6．(2016·江苏南京一模，13)已知实数x ，y 满足x －x ＋1＝y ＋3－y ，则x ＋y 的最大值为________． 6．【解析】 ∵x －x ＋1＝y ＋3－y.∴x ＋y ＝x ＋1＋y ＋3≤2x ＋y ＋42，则(x ＋y)2≤2(x ＋y ＋4)，解得－2≤x ＋y≤4.∴x ＋y 的最大值为4. 【答案】 47．(2015·河南郑州模拟，18，12分)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体的沉淀箱．污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔的面积忽略不计)?7．解：方法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数， 则y ＝kab ，其中k 为比例系数，且k>0.根据题意有，4b ＋2ab ＋2a ＝60(a>0，b>0)， 所以b ＝30－a2＋a (0<a<30)．所以ab ＝a×30－a 2＋a ＝30a －a 22＋a＝－a ＋32－642＋a＝34－⎝⎛⎭⎫a ＋2＋64a ＋2≤34－2（a ＋2）·64a ＋2＝18.当a ＋2＝64a ＋2时取等号，y 达到最小值．此时解得a ＝6，b ＝3.所以当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 方法二：设y 为流出的水中杂质的质量分数， 则y ＝kab ，其中k 为比例系数，且k>0.根据题意有，4b ＋2ab ＋2a ＝60(a>0，b>0)， 即2b ＋ab ＋a ＝30. 因为a ＋2b≥22ab ， 所以30－ab ＝a ＋2b≥22ab.所以ab ＋22ab －30≤0. 因为a>0，b>0，所以0<ab≤18， 当a ＝2b 时取等号，ab 达到最大值18. 此时解得a ＝6，b ＝3.所以当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 【点击高考】1．(2013·重庆，3，易)（3－a ）（a ＋6）(－6≤a≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3 D.3222．(2012·湖南，8，难)已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝82m ＋1(m>0)，l 1与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点A ，B ，l 2与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点C ，D.记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b.当m 变化时，ba 的最小值为( )A ．16 2B ．8 2C ．834D ．4342．B 在平面直角坐标系中作出函数y ＝|log 2x|的图象如图所示，不妨设点A(x 1，m)，B(x 2，m)，C ⎝⎛⎭⎫x 3，82m ＋1，D ⎝⎛⎭⎫x 4，82m ＋1，则0＜x 1＜1＜x 2，0＜x 3＜1＜x 4，此时有－log 2x 1＝m ，log 2x 2＝m ，－log 2x 3＝82m ＋1，log 2x 4＝82m ＋1，解得x 1＝⎝⎛⎭⎫12m ，x 2＝2m ，x 3＝⎝⎛⎭⎫1282m ＋1，x 4＝282m ＋1，线段AC 与BD 在x 轴上的投影长度分别为a ＝|x 1－x 3|＝，b ＝|x 2－x 4|＝⎪⎪⎪⎪2m－282m ＋1，则ba＝＝2m ＋82m ＋1，令t ＝m ＋82m ＋1(m ＞0)，则t ＝m ＋4m ＋12＝⎝⎛⎭⎫m ＋12＋4m ＋12－12≥4－12＝72，当且仅当⎝⎛⎭⎫m ＋122＝4，即m ＝32时，t 取最小值为72，此时b a的最小值为8 2.3．(2014·上海，5，易)若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________．3．【解析】 ∵x 2＋2y 2≥2x 2·2y 2＝22·xy ＝22，当且仅当x ＝2y 时等号成立，∴x 2＋2y 2的最小值为2 2.【答案】 2 24．(2013·天津，14，易)设a ＋b ＝2，b ＞0，则当a ＝________时，12|a|＋|a|b取得最小值． 4．【解析】 ∵a ＋b ＝2， ∴12|a|＋|a|b ＝24|a|＋|a|b ＝a ＋b 4|a|＋|a|b ＝a 4|a|＋b 4|a|＋|a|b ≥a4|a|＋2b 4|a|×|a|b ＝a4|a|＋1. 当且仅当b 4|a|＝|a|b 且a ＜0，即b ＝－2a ，a ＝－2时，12|a|＋|a|b 取得最小值．【答案】 －25．(2010·湖北，17，12分，中)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物需建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x ＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值． 5．解：(1)由题设，建筑物每年能源消耗费用为C(x)＝k3x ＋5，由C(0)＝8，得k ＝40，∴C(x)＝403x ＋5. 而隔热层建造费用为C 1(x)＝6x ， ∴f(x)＝20C(x)＋C 1(x)＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x(0≤x≤10)．(2)方法一：f(x)＝8003x ＋5＋6x＝1 6006x ＋10＋6x ＋10－10 ≥21 6006x ＋10×（6x ＋10）－10＝70，当且仅当1 6006x ＋10＝6x ＋10，即x ＝5时取等号．∴当隔热层修建厚度为5 cm 时，总费用最小，最小值为70万元． 方法二：f′(x)＝6－ 2 400（3x ＋5）2，令f′(x)＝0，即2 400（3x ＋5）2＝6，解得x ＝5或x ＝－253(舍去)．当0<x<5时，f′(x)<0；当5<x<10时，f′(x)>0.故x ＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建厚度为5 cm 时，总费用达到最小，最小值为70万元．。