高考三角函数复习专题

三角函数复习专题

一、核心知识点归纳： ★★★1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

sin y x =

cos y x = tan y x =

图象

定义域

R R

,2x x k k ππ⎧⎫

≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭

值域

[]1,1-

[]1,1-

R

最值

当22

x k π

π=+

()

k ∈Z 时，max 1y =；

当22

x k π

π=-

()k ∈Z 时，min 1y =-．

当()2x k k π=∈Z 时，

max 1y =；

当2x k ππ=+

()k ∈Z 时，min 1y =-．

既无最大值也无最小值

周期性 2π

2π

π

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

单调性

在2,22

2k k π

πππ⎡

⎤

-

+

⎢⎥⎣

⎦

()k ∈Z 上是增函数；在

32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣

⎦ ()k ∈Z 上是减函数．

在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在

[]2,2k k πππ+

()k ∈Z 上是减函数．

在,2

2k k π

πππ⎛

⎫

-

+

⎪⎝

⎭

()k ∈Z 上是增函数．

对称性

对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴

()2

x k k π

π=+

∈Z

对称中心

(),02k k ππ⎛

⎫+∈Z

⎪⎝

⎭ 对称轴()x k k π=∈Z

对称中心

(),02k k π⎛⎫

∈Z ⎪⎝⎭

无对称轴

★★2.正、余弦定理：在ABC ∆中有:

函 数

性 质

①正弦定理：

2sin sin sin a b c

R A B C

===（R 为ABC ∆外接圆半径） 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ⇒ sin 2sin 2sin 2a A R b B R c C R ⎧

=⎪⎪

⎪

=⎨⎪

⎪

=⎪⎩

注意变形应用 ②面积公式：111

sin sin sin 222

ABC S abs C ac B bc A ∆=

== ③余弦定理： 222222

2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C

⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222

222222

cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪

+-⎪=⎨⎪⎪+-=

⎪⎩

二、方法总结：

1.三角函数恒等变形的基本策略。

（1）注意隐含条件的应用：1＝cos 2

x ＋sin 2

x 。 （2）角的配凑。α＝（α＋β）－β，β＝2

β

α+－

2

β

α-等。

（3）升幂与降幂。主要用2倍角的余弦。 （4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。

（5）引入辅助角。asin θ＋bcos θ＝22b a +sin (θ＋ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，

ϕ角的值由tan ϕ＝a

b

确定。

2.解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

三、例题集锦： 考点一：三角函数的概念

1.（2011年东城区示校考试文15）如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，Q P 、是 单位圆上的两点，O 是坐标原点，6

π

=

∠AOP ，[)παα,0,∈=∠AOQ ．

（1）若34(,)55Q ，求⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-6cos πα的值；（2）设函数()f OP OQ α=⋅u u u r u u u r ，求()αf 的值域．

2．（2011年西城期末文15）

已知函数2

()22sin f x x x =-.

（Ⅰ）若点(1,P

在角α的终边上，求()f α的值； （Ⅱ）若[,

]63x ππ

∈-

，求()f x 的值域.

考点二：三角函数的图象和性质

3.（2011年东城区期末文15）函数()sin()(0,0,||)2

f x A x A ωφωφπ

=+>><

部分图象如图所示．

（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos 2g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]x π∈上的最大值和最小值．

考点三、四、五：同角三角函数的关系、 诱导公式、三角恒等变换 4．（2010年海淀期中文16）已知函数x x x f 2cos )6

2sin()(+-

=π

.（1）若1)(=θf ，求θθcos sin ⋅的

值；（2）求函数)(x f 的单调增区间.（3）求函数的对称轴方程和对称中心

5.（2011年丰台区期末文15）已知函数2

()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=- （0x ω∈>R ，），相邻两条对称轴之间的距离等于

2

π．（Ⅰ）求()4f π

的值；（Ⅱ）当

02x π⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

，时，求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值．

6、（2011二模文15）已知函数2

()2sin sin()2sin 12

f x x x x π

=⋅+-+ ()x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及函数()f x 的单调递增区间；

（Ⅱ）若0()23x f =，0ππ(, )44x ∈-，

求0cos 2x 的值.