条件概率与独立性(包含全概率公式、贝叶斯公式)完整版.ppt

P( AB) P(B A)P( A)
(1.4)
如果P(B) > 0，则
P( AB) P( A B)P(B)
(1.5)
上面均称为事件概率的乘法公式．
定理2.1容易推广到求多个事件积事件概率的 情 况．
2.1.2 乘法公式
推广1 : 设 A1, A2 , A3为事件,且 P( A1 A2 ) 0, 则有
因为 P( A) 0.8, P(B) 0.4, 由于BA, 所以P(AB)=P(B), 所以 P(B A) P( AB) 0.4 1 .
P( A) 0.8 2
2.1 条件概率与乘法公式
2.1.2 乘法公式
由条件概率公式容易得到下面定理．
定理2.1 设A与B是同一样本空间中的两个事件， 如果P(A) > 0，则
P( A1A2 A3 ) P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1A2 ). 事实上 由于P( A1) P( A1A2 ) 0, 右侧的条件概率均有意义, 且P( A1A2 A3 ) P(( A1A2 ) A3 ) P( A1A2 )P( A3 A1A2 )
P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1A2 ). 可进一步推广如下:
例如，我们不能由定义断言 P(B) P(B A) 或 P(B) P(B A)
事实上，当B A时，有
P(B A) P( AB) P(B) P(B). P( A) P( A)
当AB = 时，有 P(B A) 0 P(B)
2.1.1 条件概率
一般地， 0 P(B A) P( AB) P( A) 1
2.1.2 乘法公式
推广2 : 设 A1, A2 , , An 为 n 个事件, n 2,
且 P( A1 A2 An1 ) 0, 则有
P( A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 A1 )P( A A1 A2 ) ... P( An1 A1 A2 An2 )P( An A1 A2 An1 ).
则事件B的表达式为 B A1 A1 A2 A1 A2 A3 利用概率的加法公式和乘法公式
P( B) P( A1 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 A 31) 9 1 9 8 1 3 .
i1
i1
1.4.1 条件概率
【例2.2】设某种动物从出生起活20岁以上的概率 为80%，活25岁以上的概率为40%．如果现在有一 个20岁的这种动物，求它能活25岁以上的概率．
解：设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件， B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件,
则有所求概率为 P(B A) P( AB) . P( A)
第2章 条件概率与独立性
2.1 条件概率与乘法公式 2.2 全概率公式 2.3 贝叶斯公式 2.4 事件的独立性 2.5 重复独立试验、二项概率公式
1
第2章 条件概率与独立性
2.1 条件概率与乘法公式
2.1.1 条件概率 在实际当中，我们常常碰到这样的问题，就是
在已知一事件发生的条件下，求另一事件发生的概 率．
而 B {bb} 所求概率为1/3，记为 P(B|A)=1/3 ，
称此概率为在事件A发生下事件B发生的条件概率．
2.1.1 条件概率
如果我们去掉条件A，
这时 = {bb，bg，gb，gg}，B = {bb}，
从而 P(B)=1/4.
前面已算出 P(B A) 1/ 3, 故P(B A) P(B).
质．
2.1.1 条件概率
例如:
(4) P( A1 A2 B) P( A1 B) P( A2 B) P( A1A2 B);
(5) P( A B) 1 P( A B).
(6) 可列可加性: 设 B1, B2 , , Bn是两两不相容 的事件, 则有
n
n
P Bi A P(Bi A).
(1.2)
为在A发生下的B的条件概率．
类似地，当P(B) > 0时，定义在B发生下事件A发 生的条件概率为
P( A B) P( AB) P(B)
(1.3)
要注意区分P(AB) 和 P(B|A) 的不同含义
2.1.1 条件概率
注意，由此定义我们无法断言条件概率P(B|A)与 无条件概率P(B)有什么必然的关系.
P( A) P( A)
不难验证，条件概率满足概率定义1.5中的三条公 理：
(1) 非负性：对任意事件B，P(B | A) 0；
(2) 规范性：P( | A) = 1；
(3) 可列可加性：设 B1, B2, , Bn, 事件两两互不
相容，则
P( Bi | A) P(Bi A)
i1
i1
所以,条件概率P(·| A)也满足概率的所有其他性
2.1.2 乘法公式
【例2.3】某厂的产品中有4%的废品，在100件合 格品中有75件一等品，试求在该厂的产品中任取一 件是一等品的概率．
解：设A = "任取的一件是合格品"，B = "任取 的一件是一等品"． 因为 P( A) 1 P( A) 96%, P(B A) 75% 且B A 所以 P(B) P( AB) P( A)P(B A)
下面首先看一个例子:
2.1.1 条件概率
【例2.1】设某家庭中有两个孩子，已知其中有一 个是男孩，求另一个也是男孩的概率（假设男、女 孩出生率相同）．
解：用g代表女孩，b代表男孩， A =“该家庭中至少有一个男孩”， B =“两个都是男孩”，
在已知至少有一个男孩条件下， {bb, bg, gb} A
又因为A = { bb，bg，gb } ， P(A)=3/4，
P(AB)=P(B)=1/4，
பைடு நூலகம்
易得
P(B
A)
P( AB) P( A)
1 4
3 4
1. 3
这个结果具有一般性，启发我们给出条件概率的如
下定义：
2.1.1 条件概率
定义2.1 设A与B是同一样本空间中的两事件，
若P(A) > 0，则称
P(B A) P( AB) P( A)
96 75 0.72. 100 100
2.1.2 乘法公式
【例2.4】某人忘记了电话号码的最后一位数字， 因而他随意地拨号．求他拨号不超过三次而接通电 话的概率．若已知最后一位数字是奇数，那么此概 率又是多少？
解：设Ai =“第i次接通电话”，i = 1，2，3， B =“拨号不超过3次接通电话”，