第三章 静电场中的导体
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静电场中的导体
动的状态，从而电场分布不随时间变化。
说明：
一般情况表面有一定厚度，很复杂如：E=109V，则 感应电荷聚集在表面的厚度为10-10m，本课程不讨论 表面层电荷如何分布。 实际物质内部既有自由电子，又是电介质。如：气体 在一般情况下绝缘（电介质），但加高压气体会被击 穿（导体）——导体是一种理想模型。 对导体只讨论达到静电平衡以后的情况，不讨论加电 以后电荷的平衡过程。
S内
E
E d S 0
内表面不是等势面 ——导 体也不是等势体 ，矛盾
S面内 q 0
内 表面 电 荷代 数和 为 零? 内 表面 无 电荷
q 0
e内 0
空腔内部有带电体 q
导体内表面上所带电荷与腔内电荷的代数 和为零 证明：作Gauss面如图
E内＝0 E
力学：只涉及物质的机械性质，对其本身研究甚 少。 电磁学：较多地讨论场，而对物质本身的电磁性 质也涉及得很少。 物质与场是物质存在的两种形式 物质性质非常复杂（要特别注意我们课程中讨论 这种问题所加的限制）
导体静电平衡条件
导体：有足够多的自由电子 ——受电场力会移动.
静电平衡状态：体是一个等势体，导体表 面是等势面 证明：
导体内部E=0
U ab E d l 0
a
b
导体内部任意两点间电势差为零 ——各点等电势——等势体 ——表面为等势面
场强分布
E内 0
表面附近：表 表面 E 表面 ： σe 大小： E ε0
导体表面是等势 面，处处与电力 线正交 ？
S内
E d S 0
q 0 q x x q
说明：
一般情况表面有一定厚度，很复杂如：E=109V，则 感应电荷聚集在表面的厚度为10-10m，本课程不讨论 表面层电荷如何分布。 实际物质内部既有自由电子，又是电介质。如：气体 在一般情况下绝缘（电介质），但加高压气体会被击 穿（导体）——导体是一种理想模型。 对导体只讨论达到静电平衡以后的情况，不讨论加电 以后电荷的平衡过程。
S内
E
E d S 0
内表面不是等势面 ——导 体也不是等势体 ，矛盾
S面内 q 0
内 表面 电 荷代 数和 为 零? 内 表面 无 电荷
q 0
e内 0
空腔内部有带电体 q
导体内表面上所带电荷与腔内电荷的代数 和为零 证明：作Gauss面如图
E内＝0 E
力学：只涉及物质的机械性质，对其本身研究甚 少。 电磁学：较多地讨论场，而对物质本身的电磁性 质也涉及得很少。 物质与场是物质存在的两种形式 物质性质非常复杂（要特别注意我们课程中讨论 这种问题所加的限制）
导体静电平衡条件
导体：有足够多的自由电子 ——受电场力会移动.
静电平衡状态：体是一个等势体，导体表 面是等势面 证明：
导体内部E=0
U ab E d l 0
a
b
导体内部任意两点间电势差为零 ——各点等电势——等势体 ——表面为等势面
场强分布
E内 0
表面附近：表 表面 E 表面 ： σe 大小： E ε0
导体表面是等势 面，处处与电力 线正交 ？
S内
E d S 0
q 0 q x x q
大学物理-第3章-静电场中的导体
R2 R1
在金属球壳与导体球之间（r0 < r < R1时）：
q r0
作过 r 处的高斯面S1
q
S1 E2 dS 0
得
E2 r
q
40r 2
q
E2 40r 2 er
在金属球壳内（R1< r < R2时）：电场 E3 0
在金属球壳外（ r > R2时）： 作过 r 处的高斯面 S 2
S2
E4
dS
在它形成的电场中平行放置一无限大金属平板。求：
金属板两个表面的电荷面密度？
解：带电平面面电荷密度0 ，导体两面感应电荷面密度分 别为1 和 2，由电荷守恒有
1 2 0 (1)
导体内场强为零（三层电荷产生）
σ0 σ1
σ2
E0 E1 E2 0
(2)
E0
0 1 2 0
(3)
20 20 20
导体表面任一点的电场强度都与导体表面垂 直。
20
2.导体在静电平衡状态下 的一些特殊性质
❖ 导体是等势体，导体表面是等势面。
在导体内部任取两点P和Q，它们之间的电势差可以表示为
VP VQ
Q
E
dl
0
P
❖ 导体表面的电场强度方向与导体的表面相垂直。
❖ 导体上感应电荷对原来的外加电场施加影响，改
Q1
Q2
0
q
q
0
得
E4r
q
4 0 r 2
E4
q
4 0 r 2
er
43
思考：（3）金属球壳和金属球的电势各 为多少？
解：设金属球壳的电势为U壳 ，则：
U壳
R2 E4 dl
中国民航大学大学物理2第03章 静电场中的导体
QA QB
有
S
1 2 3 4
S
1 4 0 2 3 0 1 2 QA S 3 4 QB S
QA QB 2S Q Q 2 3 A B 2S
1 4
(电荷守恒)
A
B
第四章 静电场中的导体
物理学
于是
证明（1） ：在导体内部和表面任取 P，Q 和 R 各
Q R 点， Eint 0 , Eint dr Eint dr 0 E
P P
即： P Q R
邻
l
R S P
Q
证明（2） ：设 R 和 S 各为导体表面紧邻处的两点，
+ r Q --q + - O a + - + + + +
Qq 故，球心 O 的电势为 4 0 r 4 0 a 4 0b q q
例4 一导体球半径为R1 , 外罩一半径为R2 的 同心薄导体球壳，外球壳所带总电荷为, 而内 Q 球的电量为+q。 求此系统的电势和电场分 布。 Qq
4-4 有导体时静电场计算
和 QB，求：（1）两导体板之间及左右两侧的电场强度；（2）
解：设四个导体平面上面电荷密度分别为 1，2，3 和 4 。（1）每一面电荷单独存在时产生的场强为 i/20 ( i = 1, 2, 3, 4) ，取导体板 B 中任一点，利用静电平衡条件，有
1 2 3 4 Eint,B 0 2 0 2 0 2 0 2 0 取如图所示的高斯面 S’ ， E dS S 2 3 0 0
电荷： 1）导体内部无未抵消的净电荷存在，电荷只分布
静电场中的金属导体
可以表示为
Q¸ ¸
VP VQ
E dl
P
0
¸ Ein 0
2. 导体内部场强处处为零，导体表面附近的电场
强度处处与表面垂直(性质1的等价说法)。
3. 导体内部不存在净电荷，所有过剩电荷都分布在导 体表面上。
在导体内部任取一闭合曲面S，运用高斯定理，
应有
¸ ¸ 1
E dS
s
0
i
qi
因为导体内部的电场强度为零，上式积分为零，
（二）若金属空腔导体内部有带电体，则：
由高பைடு நூலகம்定理可得:
Q
在空腔内
¸¸ EdS
s
qi
0
¸ ¸
在导体内 E dS s
qi 0
0
qi
qi
i
S
说明空腔内表面所带总电量与空腔内带电体的电 量相等、符号相反。导体空腔是等势体，腔内场强 不为零，不是等电势区间。
四、导体静电平衡性质的应用 1. 静电屏蔽
根据高斯定S E理¸，dS有= E ΔS
ΔS
EΔS ΔS E (1.1)
0
0
(1.1)式表明：带电导体表面附近的电场强度大小与该
处面电荷密度成正比。大致的规律为：在导体表面平
坦处，面电荷密度较小；表面凹陷处，面电荷密度很
小，甚至为零；在导体表面凸起部分，尤其是尖端处
，面电荷密度较大。结论可以解释尖端放电现象。
第二种情况：内表面上处处电量都为零。即，内表面上处处
没 有净电荷。
2. 腔内无电场，电势处处相等。
内表面上面电荷密度为零，内表面附近就不会有 电场。腔内空间若存在电场，那么这种电场的电场 线只能在腔内空间闭合。而静电场的环路定理已经 表明，静电场的电场线不可能是闭合线；所以整个 腔内空间不可能存在电场。腔内没有电场，意味着 电势无梯度，即电势处处相等并等于导体的电势。
9-1静电场中的导体、空腔导体
q
9－1、2 导体、空腔导体中的静电场 － 、 导体、
导体和电介质中的静电场
作业
书 书 9-7 9-9
下次课内容
§9-4 电介质及其极化 §9-6 介质高斯定理 §9-3 电容器的电容
练习 9-2 练习 9-4
(2)
A
B
(3) 将B板接地 板接地
σ4 = 0
qB = −qA
A、B重新感应
qA
qB
9－1、2 导体、空腔导体中的静电场 － 、 导体、
导体和电介质中的静电场
在一个不带电的金属球旁边放一点电荷q， 例3 在一个不带电的金属球旁边放一点电荷 ，求： （1）感应电荷在球心处的场强； ）感应电荷在球心处的场强； R （2）球的电势； ）球的电势； r （3）若将球接地，球上的感应电荷 ′。 ）若将球接地，球上的感应电荷q o
q'
q
9－1、2 导体、空腔导体中的静电场 － 、 导体、
导体和电介质中的静电场
有一接地的金属球， 用一弹簧吊起， 有一接地的金属球 ， 用一弹簧吊起 ， 金属球原来不 带电。若在它的下方放置一电量为q的点电荷 的点电荷， 带电。若在它的下方放置一电量为 的点电荷，则 (A) 只有当 只有当q>0时，金属球才下移。 时 金属球才下移。 (B) 只有当 只有当q<0时，金属球才下移。 时 金属球才下移。 (C) 无论 是正是负金属球都下移。 无论q是正是负金属球都下移 是正是负金属球都下移。 (D) 无论 是正是负金属球都不动。 无论q是正是负金属球都不动 是正是负金属球都不动。
1 E1 = (σ1 −σ2 −σ3 −σ4 ) = 0 2ε0
E2 = 1 (σ1 +σ2 +σ3 −σ4 ) = 0 2ε0
4静电场中的导体
3) 推论：处于静电平衡的导体是等势体 导体表面是等势面 导 体 是 等 势 体
en
E dl
E
+
+ + +
E dl 0
导体内部电势相等
dl
+
+
et
U AB E dl 0
AB
A
B
注意 当电势不同的导体相互接触或用另一导体（例如导 线）连接时，导体间将出现电势差，引起电荷宏观 的定向运动，使电荷重新分布而改变原有的电势差， 直至各个导体之间的电势相等、建立起新的静电平 衡状态为止。
各个分区的电场分布（电场方向以向右为正）：
1 2 3 4 在Ⅰ区：E 2 0 2 0 2 0 2 0 1 Q 方向向左 0 2 0 S
Eint 0
◆ 导体表面紧邻处的场强必定和导体表面垂直。
E S 表面
证明(1)：如果导体内部有一点场强不为零，该点的 自由电子就要在电场力作用下作定向运动，这就不 是静电平衡了。 证明(2)：若导体表面紧邻处的场强不垂直于导体表 面，则场强将有沿表面的切向分量 Et，使自由电子 沿表面运动，整个导体仍无法维持静电平衡。
const .
E dS
S
q
i
i
0
E dl 0
L
3. 电荷守恒定律
讨论题：
1. 将一个带电+q、半径为 RB 的大导体球 B 移近一 个半径为 RA 而不带电的小导体球 A，试判断下列说 法是否正确。 +q B (1) B 球电势高于A球。 (2) 以无限远为电势零点，A球的电势 A 0 。 (3) 在距 B 球球心的距离为r ( r >> RB ) 处的一点P， q /(40。 r2) 该点处的场强等于 (4) 在 B 球表面附近任一点的场强等于 B / 0 ，
静电场中的导体和电解质
Q + + + + ++ + + + + E= 0 S+ + + + + + + + ++
Q q + + + +++ + +-q + + - E= 0 S + 结论: 电荷分布在导体外表面, 导体 + q + + 内部和内表面没净电荷. + - - + + + + ++ 腔内有电荷q: E 0 q 0
i
结论: 电荷分布在导体内外两个表面,内表面感应电荷为-q. 外表面感应电荷为Q+q.
NIZQ
第 5页
大学物理学 静电场中的导体和电介质
结论: 在静电平衡下,导体所带的电荷只能分布在导体的 表面,导体内部没有净电荷. • 静电屏蔽 一个接地的空腔导体可以隔离内 外电场的影响. 1. 空腔导体, 腔内没有电荷 空腔导体起到屏蔽外电场的作用. 2. 空腔导体,腔内存在电荷 接地的空腔导 体可以屏蔽内、 外电场的影响.
NIZQ
第 3页
大学物理学 静电场中的导体和电介质
• 静电平衡时导体中的电场特性
E内 0
场强:
ΔVab
b
a
E dl 0
• 导体内部场强处处为零 E内 0 • 表面场强垂直于导体表面 E表面 // dS
• 导体为一等势体 V 常量 • 导体表面是一个等势面
S
0 E P dS qi
静电场中的导体和电介质
-
-
目录
静电场中的导体 和电介质
0
静电场中的导体和电介质
静电场中的导体和电介质
静电场是指在没有电流流动的情况下，电荷分布所产生的电场。在静电场中，导体和电介质 是两种不同的物质，它们的特性和作用也不同，本文将探讨导体和电介质在静电场中的性质 和应用 首先，我们需要了解导体和电介质的基本概念。导体是一种具有良好导电性能的物质，常见 的导体包括金属等。导体内的自由电子可以在外加电场的作用下移动，形成电流。而电介质 则是一种不良导电的物质，它的电导率远远低于导体。电介质在外加电场下无法形成连续的 电流，而是通过极化现象来响应电场的作用 在静电场中，导体和电介质的行为有很大的不同。对于导体来说，其特点是在静电平衡状态 下，内部电场为零。这是因为导体内的自由电子能够自由移动，它们会在外加电场的作用下 重新分布，直到达到平衡状态。这种现象被称为电荷运动的屏蔽效应。导体的另一个重要性 质是表面上的电荷分布是均匀的，这也是导体可以用来储存电荷的
与导体不同，电介质在静电场中的响应更加复杂。当外加电场作用于电介质时，电介 质分子会发生极化现象，即分子内部正、负电荷的分离。这种分离会导致电介质内部 产生电位移场，从而相应地改变电场分布。电介质的极化程度可以用极化强度来衡量 ，极化强度与外加电场的强度成正比。除了极化现象，电介质还可能发生击穿现象， 即在电场强度过高时，电介质内部的绝缘失效，导致电流的突然增加
0
静电场中的导体和电介质
导体在静电场中的一个重要应用 是电路中的导线。电路中的导线 由导体制成，它们能够有效地传 导电流。在电力系统中，导体连 接电源和电器设备，将电能传输 到目标地点。此外，在电子设备 制造中，导体用于制作电路板， 连接不同的电子元件，实现电信 号的传输和处理
-
目录
静电场中的导体 和电介质
0
静电场中的导体和电介质
静电场中的导体和电介质
静电场是指在没有电流流动的情况下，电荷分布所产生的电场。在静电场中，导体和电介质 是两种不同的物质，它们的特性和作用也不同，本文将探讨导体和电介质在静电场中的性质 和应用 首先，我们需要了解导体和电介质的基本概念。导体是一种具有良好导电性能的物质，常见 的导体包括金属等。导体内的自由电子可以在外加电场的作用下移动，形成电流。而电介质 则是一种不良导电的物质，它的电导率远远低于导体。电介质在外加电场下无法形成连续的 电流，而是通过极化现象来响应电场的作用 在静电场中，导体和电介质的行为有很大的不同。对于导体来说，其特点是在静电平衡状态 下，内部电场为零。这是因为导体内的自由电子能够自由移动，它们会在外加电场的作用下 重新分布，直到达到平衡状态。这种现象被称为电荷运动的屏蔽效应。导体的另一个重要性 质是表面上的电荷分布是均匀的，这也是导体可以用来储存电荷的
与导体不同，电介质在静电场中的响应更加复杂。当外加电场作用于电介质时，电介 质分子会发生极化现象，即分子内部正、负电荷的分离。这种分离会导致电介质内部 产生电位移场，从而相应地改变电场分布。电介质的极化程度可以用极化强度来衡量 ，极化强度与外加电场的强度成正比。除了极化现象，电介质还可能发生击穿现象， 即在电场强度过高时，电介质内部的绝缘失效，导致电流的突然增加
0
静电场中的导体和电介质
导体在静电场中的一个重要应用 是电路中的导线。电路中的导线 由导体制成，它们能够有效地传 导电流。在电力系统中，导体连 接电源和电器设备，将电能传输 到目标地点。此外，在电子设备 制造中，导体用于制作电路板， 连接不同的电子元件，实现电信 号的传输和处理
静电场中的导体
分布在导体的表面上。
4、导体以外，靠近导体表面附近处的场强大小与导 体表面在该处的面电荷密度 的关系
E 0
二
静电平衡时导体上电荷的分布
1、 实心导体
+
+ + + +
E 0
+
S
+ + +
+
q E dS 0
S
0
q 0
结论： 导体内部无电荷，电荷只能分布
q
+
q
+
+
q
+
实验验证
外表面所带感应电荷全部入地
总结： 空腔导体（无论接地与否）将使腔内不
受外场影响。
接地空腔导体将使外部空间不受腔内电
场的影响。
四 有导体存在时场强和电势的计算
电荷守恒定律 电荷分布
静电平衡条件
E U
例1、有一外半径R1，内半径为R2的金属球壳。在球壳 中放一半径为R3的金属球，球壳和球均带有电量10-8C的 正电荷。问：（1）两球电荷分布。（2）球心的电势。 （3）球壳电势。 + + + 解：(1)、电荷+q分布在内球表面。 + - + 球壳内表面带电-q。
S A+ +
A
+
+
B+ B +
+ +
+
b、空腔内有带电体
E dS 0
S1
q
i
0
电荷分布在表面上
思考： 内表面上有电荷吗？
E dS 0 qi 0
《电磁场》课件—第三章 静电场2(导体和介质中的静电场理论-边界条件).ppt
f
D1 ⋅ (− ∆S n) + D 2 ⋅ (∆S n) = σ f ∆S
公式的正负与D 的取向有关？
D2n − D1n = σ f （公式的正负与 nˆ 的取向有关）
B) 切向边界条件
E2t − E1t = 0
证：围绕分界面上p点作一个小的扁
E1
β ∆L 3 tˆ
的矩形
4
p 2 “小”：∆L线上的E能用点 p的 E代替
3.3 物质中的静电场
3.3.1. 导体中的静电场 1) 导体中的电子运动
金属导体中有大量的自由电子，时刻都在做不规则的微观运 动 ——热运动，当自由电子受到电场力时，还要在热运动的基 础上叠加一种有规则的宏观运动——定向运动，形成电流。
正极性的晶核相当于不动
2) 静电平衡状态——自由电子不作宏观运动
ε1 ε2
如果介质2是真空, 或空气则 σ p= P ⋅ nˆ P1
dS
• 极化电荷体密度
ρ p = −∇ ⋅ P
和高斯定理比较 : ρ = ε0∇ ⋅ E
ε1 ε2
P2 nˆ
均匀极化， ∇ ⋅ P = 0 ， 则极化体电荷为零。
4) 电位移矢量
为什么要引入 新物理量？
=D ε0 E + P
定义式
∫ ∫ ∫ ( ) ∫ qp
=
V' ρ pdV
=
V ρ pdV
=−
P⋅ d S
S
= − ∇ ⋅ P dV V
• 整块介质的极化总电荷:qp=0
复习
div P =
lim
∫S
P⋅ d S
∆V →0 ∆V
• 分界面上极化电荷面密度：作高斯面，可证
第三章静电场及其边值问题的解
r e ez z ，故
在圆柱面坐标系中，取 E 0与x轴方向一致，即 E 0 e E ，而 x 0
r r r r ( P) E0 gr ex gE0 (e ez z ) E0 cos
电磁场基础
第3章 静电场及其边值问题的解法
由此解得
C1
利用边界条件，有
x 0 处， 1 (0) 0 2 (a) 0 x a处， x b 处，1 (b) 2 (b),
S 0 2 ( x) 1 ( x) x 0 x x b
所以 D 0 1 C2 a D2 0 C1b D1 C2b D2 C2 C1 S 0 0
故单位长度的电容为
l
U
0
ln ( D a)
F/m
电磁场基础
第3章 静电场及其边值问题的解法
19
例3.1.6 同轴线内导体半径为a，外导体半径为为b，内外导体
间填充的介电常数为 的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。 解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 ll， ll 和 应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为
2. 导体内部不存在任何净电荷，电荷都以面电荷形式分布于
导体表面 3.导体为一等位体，其表面为等位面 4.导体表面切向电场为0，而只有法向电场分量En
En en E s /
电磁场基础
第3章 静电场及其边值问题的解法
14
任何两个导体都可看作一点容器 电容器广泛应用于电子设备的电路中： • • • 在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁 路、选频等作用； 通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂 电路； 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以
在圆柱面坐标系中，取 E 0与x轴方向一致，即 E 0 e E ，而 x 0
r r r r ( P) E0 gr ex gE0 (e ez z ) E0 cos
电磁场基础
第3章 静电场及其边值问题的解法
由此解得
C1
利用边界条件，有
x 0 处， 1 (0) 0 2 (a) 0 x a处， x b 处，1 (b) 2 (b),
S 0 2 ( x) 1 ( x) x 0 x x b
所以 D 0 1 C2 a D2 0 C1b D1 C2b D2 C2 C1 S 0 0
故单位长度的电容为
l
U
0
ln ( D a)
F/m
电磁场基础
第3章 静电场及其边值问题的解法
19
例3.1.6 同轴线内导体半径为a，外导体半径为为b，内外导体
间填充的介电常数为 的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。 解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 ll， ll 和 应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为
2. 导体内部不存在任何净电荷，电荷都以面电荷形式分布于
导体表面 3.导体为一等位体，其表面为等位面 4.导体表面切向电场为0，而只有法向电场分量En
En en E s /
电磁场基础
第3章 静电场及其边值问题的解法
14
任何两个导体都可看作一点容器 电容器广泛应用于电子设备的电路中： • • • 在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁 路、选频等作用； 通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂 电路； 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以
电场中的导体和电介质
二、电容器
1、电容器的定义
两个带有等值而异号电荷的导体 所组成的系统，叫做电容器。
+Q
-Q
2、电容器的电容
如图所示的两个导体放在真空中，它们所 带的电量为+Q、-Q，它们的电势分别为 V1、V2，定义电容器的电容为： 计算电容的一般步骤为： •设电容器的两极板带有等量异号电荷； •求出两极板之间的电场强度的分布； •计算两极板之间的电势差； •根据电容器电容的定义求得电容。
3-4 物质中的电场
在静电场中总是有导体或电介质存在的，而且静电场 的一些应用都要涉及静电场中导体和电介质的行为， 以及它们对静电场的影响。
一、静电场中的导体
1、静电感应及静电平衡
若把导体放在静电场中，导体中的自由电子将在电场力的 作用下作宏观定向运动，引起导体中电荷重新分布而呈现 出带电的现象，叫作静电感应。 开始时， E’< E0 ，金属内部的场强不零， 自由电子继续运动，使得E’增大。这个过 程一直延续到E’= E0即导体内部的场强为零 时为止。此时导体内没有电荷作定向运动， 导体处于静电平衡状态。
根据静电平衡条件，空腔 由静电平衡条件，腔内壁非均匀 分布的负电荷对外效应等效于： 导体内表面总的感应电荷为 -q， 非均匀分布；外表面，总的感 在与 q 同位置处置 q 。 应电荷为 q，非均匀分布。
9
R
q q q U U U U U 0 q 壳 地 内壁 外壁 q q O o d q外壁 0
C Q V
Q C＝ 4 0 R V
静电场中的导体
E2 4 0 r 2
R1 r R2
E3
1
4
0
Q q/ r2
U
R1
E.dr
R2 R1
E2.dr
R2 E3.dr 0
r R2
q/
4 0
1 R1
1 R2
1
4 0
Q q/ R2
0,
解得
q
R 1
Q
R
2
故外球壳外表面荷电 Q q/ Q R1 Q
R2
17
10
例8－１4 如图所示，一带正电Q的点电荷离半径为R的金属球壳 外的距离为d，求金属球壳上的感应电荷在球心O处的场强。
q/
R
r
E0 0 E/ d
Q
解 以球心为坐标原点，球心指向点电荷的方向为矢径方向，则
点电荷在球心处的场强
Q
E0 4 0 (R d )2 r0
又
E E/ E 0
内
0
q
总之，导体壳内部电场不受壳外电荷的影响，接地导体使 得外部电场不受壳内电荷的影响。这种现象称为静电屏蔽。
12
２、尖端放电
在带电尖端附近，电离的分子与周围分子碰撞，使周围的 分子处于激发态发光而产生电晕现象。
+ +
++ +++
+ +
+++
+
尖端效应在大多数情况下是有害的：如高压电线上的电晕， 故此，高压设备中的金属柄都做成光滑的球形。
△s面上σ均匀， E1=常矢 ，且垂直于导体表面，又E内＝０
e
E表
E s1 1
0
ds
s
R1 r R2
E3
1
4
0
Q q/ r2
U
R1
E.dr
R2 R1
E2.dr
R2 E3.dr 0
r R2
q/
4 0
1 R1
1 R2
1
4 0
Q q/ R2
0,
解得
q
R 1
Q
R
2
故外球壳外表面荷电 Q q/ Q R1 Q
R2
17
10
例8－１4 如图所示，一带正电Q的点电荷离半径为R的金属球壳 外的距离为d，求金属球壳上的感应电荷在球心O处的场强。
q/
R
r
E0 0 E/ d
Q
解 以球心为坐标原点，球心指向点电荷的方向为矢径方向，则
点电荷在球心处的场强
Q
E0 4 0 (R d )2 r0
又
E E/ E 0
内
0
q
总之，导体壳内部电场不受壳外电荷的影响，接地导体使 得外部电场不受壳内电荷的影响。这种现象称为静电屏蔽。
12
２、尖端放电
在带电尖端附近，电离的分子与周围分子碰撞，使周围的 分子处于激发态发光而产生电晕现象。
+ +
++ +++
+ +
+++
+
尖端效应在大多数情况下是有害的：如高压电线上的电晕， 故此，高压设备中的金属柄都做成光滑的球形。
△s面上σ均匀， E1=常矢 ，且垂直于导体表面，又E内＝０
e
E表
E s1 1
0
ds
s
2.3 静电场中的导体与电介质
被积函数 代入原式
r r r r r r P(r ') ∇′ ⋅ P(r ')) 1 P(r ') ⋅∇′ = ∇′ ⋅ − R R R
r r r r P (r ') r 1 ∇′ ⋅ P (r ') ϕ p (r ) = ∇′ ⋅ dV ′ − ∫ dV ′ ∫V ′ V′ 4π ε0 R R
+
+++ +
+
+ + +
感应电荷
CQU
+ + + +
+ + + +
+ + + +
v E0
CQU
v E0
v E=0
v＇ E
+ + + + + + + +
v E0
v v v＇ E = E0 + E = 0
导体内电场强度 外电场强度 感应电荷电场强度
CQU
静电平衡条件: 静电平衡条件 （1）导体内部任何一点处的电场强度为零； ）导体内部任何一点处的电场强度为零； 都与导体表面垂直; （2）导体表面处的电场强度的方向 都与导体表面垂直 ）导体表面处的电场强度的方向,都与导体表面垂直 （3）导体为一等位体，导体表面为等位面； ）导体为一等位体，导体表面为等位面； （4）电荷（或感应电荷）分布在导体表面上，形成面电荷 ）电荷（或感应电荷）分布在导体表面上，形成面电荷. 导体表面是等势面
2.3 静电场中的导体与电介质
CQU
导体与介质放在电场中会发生什么现象？ 导体与介质放在电场中会发生什么现象？ 导体：静电感应； 介质：极化现象。 导体：静电感应； 介质：极化现象。
第章静电场中的导体和电介质PPT课件
q2
EA
1 2 o
2 2 o
3 2 o
4 2 o
0
EB
1 2 O
2 2 O
3 2 o
4 2 o
0
1
23
4
由电荷守恒：
1S 2 S q1
A
B
3S 4S q2
1
4
q1 q2 2S
2
3
q1 q2 2S
20
1
4
q1 q2 2S
q1
2
3
q1 q2 2S
1
2
上述结果表明：平板相背的两面带电等
R3 R2
R3
RR11
qq1 1
RR33
问题：电势表
达式能直接写
R2 R1
q1
4 or
2
dr
R3
(q q1 )
4 or 2
dr
出来吗？
q1
4 o
1 R1
1 R2
q q1
4 o R3
V1 V2
同理，球壳的电势为：
V2
E dl
R3
R3
(q
4
q1 ) or 2
dr
q q1
2.内屏蔽
+
+
壳外表面上的电荷分布与腔内带电体的位置无关，只 取于导体外表面的形状。
若将空腔接地，则空腔外表面上的感应电荷被大地电荷 中和，腔外电场消失，腔内电荷不会对空腔外产生影响。即 接地空腔对内部电场起到了屏蔽作用，这是静电屏蔽的另外 一种——内屏蔽。
高压设备用金属导体壳接地做保护。 14
五、利用静电平衡条件和性质作定量计算
例1：半径为R和r的球形导体（R>r），用很长的细导线连 接起来，使两球带电Q、q，求两球表面的电荷面密度。
静电场中的导体总结
q 2
方向朝左
2 0 s q EC 2 0 s
EB
q
方向朝右
X
方向朝右
16
2、右板接地
4 0
高斯定理:
q 1 2 s 2 3 0
1 2
0
A
3
q
B p
4
0
C
q
P点的合场强为零:
1 2 3 0
1 0
EA 0
q 2 s q 3 4 0 s q EB EC 0 0s
根据高斯定理有：
E ds
3
p
4
E1 E2 E3
q
i
i
2 3 0
0
( 2 3 )s
E4
0
0
X
E p E1 E2 E3 E4 0 P点的场强是四个带电面产生 1 2 3 4 0 E p E1 E2 E3 E4 0, E p
q p
V p Vq
Ei dl 0
p
导体静电平衡条件：
Ei 0
q
V p Vq
导体表面：场强方向处处垂直于表面 表面即为一等势面
4
导体的静电平衡
静电平衡条件：
场强
导体内部场强处处为零
表面场强垂直于导体表面
' E内 E 0 E 0 ' E表面 E0 E 表面
E1 0 E3 0 E2 4 0 r22 q1
q1 q1
A
B
q1 q2 E4 4 0 r42
q1 q1 q1 q2 1 q1 q2 V1 ( ) ; V3 4 0 R1 R2 R3 4 0 R3 1 q1 q1 q1 q2 1 q1 q2 V2 ( ) ; V4 4 0 r2 R2 R3 4 0 r4 1
03-静电场中的导体
2
（平行板电容）
2）当 R2 R1 时，
40 R1 R2 C 40 R1 （孤立导体球电容） R2
5、 电容器的串、并联
1)、电容器的并联：
Q1
C Ci
i
+
Q2
Qi
-
等效
C
+
U
-
U
Q1 C1U
Q2 C2U
Qi CiU
C C1 C2 Ci
Q Q1 Q2 Qi C U U
2)、电容器的串联：
+
U1 U2
1 1 C i Ci
等效
Ui
-
+
C
-
U
U U1 U2 Ui
Q C1 U1 Q C2 U2 Q Ci Ui
U
Q Q C U U1 U 2 U i
Ui 1 U1 U 2 C Q Q Q
A
q
+ + +
q
+
q
+
总结：
空腔导体（无论接地与否）将使腔内不 受外场影响。 接地空腔导体将使外部空间不受腔内电 场的影响。
四、静电应用：Van de Graff
起电机
四、静电应用：静电除尘
应用静电除尘技术 处理煤输送线翻车机房煤尘污染
例：如图：在一个接地的导体球附近有一个 点电荷q。求导体球表面上感应电荷电量Q。
内容提纲 •静电场中的导体 •静电场中的电介质、介质中的高斯定理 •电容器和电容 •静电场的能量和能量密度
1-5 静电场中的导体与电介质
一、 导体的静电平衡 1、 金属导体模型 2、 静电感应 - 中性 + + +q - 导体 +
（平行板电容）
2）当 R2 R1 时，
40 R1 R2 C 40 R1 （孤立导体球电容） R2
5、 电容器的串、并联
1)、电容器的并联：
Q1
C Ci
i
+
Q2
Qi
-
等效
C
+
U
-
U
Q1 C1U
Q2 C2U
Qi CiU
C C1 C2 Ci
Q Q1 Q2 Qi C U U
2)、电容器的串联：
+
U1 U2
1 1 C i Ci
等效
Ui
-
+
C
-
U
U U1 U2 Ui
Q C1 U1 Q C2 U2 Q Ci Ui
U
Q Q C U U1 U 2 U i
Ui 1 U1 U 2 C Q Q Q
A
q
+ + +
q
+
q
+
总结：
空腔导体（无论接地与否）将使腔内不 受外场影响。 接地空腔导体将使外部空间不受腔内电 场的影响。
四、静电应用：Van de Graff
起电机
四、静电应用：静电除尘
应用静电除尘技术 处理煤输送线翻车机房煤尘污染
例：如图：在一个接地的导体球附近有一个 点电荷q。求导体球表面上感应电荷电量Q。
内容提纲 •静电场中的导体 •静电场中的电介质、介质中的高斯定理 •电容器和电容 •静电场的能量和能量密度
1-5 静电场中的导体与电介质
一、 导体的静电平衡 1、 金属导体模型 2、 静电感应 - 中性 + + +q - 导体 +
电场中的导体
第九章静电场中的导体和电介质一、导体的静电平衡1、金属导体的结构带负电的自由电子+带正电的晶格点阵特点（1）导体不带电，在不受外力场作用下，正负电荷中和，导体呈中性，自由电子作微观热运动，宏观上不表现出电荷运动（2）导体在外电场作用下，产生静电感应，最终达到静电平衡2、静电感应导体中的电子，在外电场作用下，将相对于晶格点阵作宏观运动，引起导体上电荷密度的重新分布3、静电平衡导体内部和表面都没有定向的宏观电荷移动oE E=0------++++++9-1 静电场中的导体二、静电平衡时导体中的电场特性1、导体内部的场强处处为零。
导体表面的场强垂直于导体的表面。
2、导体内部和导体表面处处电势相等，整个导体是个等势体。
导体表面是个等势面解释导体内没有电荷的宏观移动，导体内电子所受电场力必为零，则内部电场为零。
导体表面紧邻处的场强必定和导体表面垂直，否则场强沿表面的分量将使自由电子作表面的定向运动。
-----+++++++++++++++E= 0三、静电平衡态下导体的带电特性1、在静电平衡下，导体所带的电荷只能分布在导体的表面，导体内部没有净电荷。
（1）实心导体在静电平衡时的电荷分布S ∑⎰=⋅iSoq S d E ε1∑=⇒∴=00i q E导体内部没有净电荷，电荷只能分布在导体表面。
++++++++++++++++++++结论：（2）空心导体，空腔内无电荷E= 0S∑⎰=⋅iSoq S d E ε1∑=⇒∴=00i q E电荷分布在导体外表面，导体内部和内表面没净电荷（3）空心导体，空腔内有电荷q+q --------∑=⇒∴=00i q Eqq -='电荷分布在导体内外两个表面，内表面带电荷-q 。
E= 02、处于静电平衡的导体，其表面上各点的电荷密度与表面邻近处场强的大小成正比。
dSE高斯定理：odS EdS εσ=oE εσ=++++++++++++++++++++++++++++++RRRR R 3、静电平衡下的孤立导体，其表面处面电荷密度 与该表面曲率有关，曲率（1/R ）越大的地方电荷密度也越大，曲率越小的地方电荷密度也小。
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B d1
σ1 σ 2
d2
A
C
（2）A板的电势 ） 板的电势
U AB = E 1 d1 U AB
E1
E2
σ1 3 = d1 = 2.3 ×10 V ε0
例题8 例题
8、如图所示，一平行板电容器两极板面积都是S，相 、如图所示，一平行板电容器两极板面积都是 ， 距为d，分别维持 不变。 距为 ，分别维持UA=V，UB=0不变。把一块带电量为 ， 不变 把一块带电量为q 的导体薄片C插入两极板的正中间，导体片面积也是S， 的导体薄片 插入两极板的正中间，导体片面积也是 ， 插入两极板的正中间 求薄片C的电势 C？ 求薄片 的电势U 的电势 A C B S
第三章
静电场中的导体 教学基本要求 基本概念 例题分析
第三章
静电场中的导体
一、教学基本要求
了解静电平衡状态及平衡条件。
二、基本概念
静电平衡 状态 静电平衡 条件 静电平衡条件 下的电荷分布
导体的静电平衡状态 ： 导体内部及表面上的电荷都无宏观定向运动的状 态，称为导体的静电平衡状态。
导体的静电平衡条件： 导体的静电平衡条件 (1)导体内部任一点场强为零； (2)导体表面附近任一点场强方向与表面垂直。 根据静电平衡条件可推出： 根据静电平衡条件可推出 (1) 导体是等势体；(2)导体表面是等势面。 静电平衡下导体的电荷分布： 静电平衡下导体的电荷分布 (1)导体内部没有净电荷，电荷只分布在导体的表面上。 (2)导体外，靠近导体表面附近某点的电场强度大小为
两区域的场强： 两区域的场强：
σ1 σ 2
σ 3 σ 4 σ 5 σ 6 两板连接：E1d1 = E2 d 2 两板连接：
5.0cm
8.0cm
E1
E2
σ3 σ4 E1 = E2 = ε0 ε0 σ3 σ4 即： d1 = d2 ε0 ε0
如图右侧的板内一点电场强度为零， 如图右侧的板内一点电场强度为零，所以
板和A 和 σ 2，A、B板和 、C板间电场强度分别为 E1 和 E2 。 板和 板间电场强度分别为 （1）根据电荷守恒得： ）根据电荷守恒得：
解：如图所示，设A板两侧的电荷面密度分别为σ 1 如图所示， 板两侧的电荷面密度分别为
σ1 ⋅ S + σ 2 ⋅ S = qA K 1
ε0 ε0
AB间与 间的场强分别为 间与AC间的场强分别为 间与 σ1 σ2 A C B E1 = , E2 = K 2 σ1 σ 2 d1
E = σ / ε（式中 σ 是该点附近导体表面电荷面密度） 0 (3)孤立导体表面的电荷面密度与表面的曲率有关。
例题1 例题
1、当一个带电导体达到静电平衡时，正确的说法是 、当一个带电导体达到静电平衡时， [ ]。 ]。 (A)表面上电荷密度较大处电势较高； (A)表面上电荷密度较大处电势较高； 表面上电荷密度较大处电势较高 (B)导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零; (B)导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零; 导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零 (C)导体内部的电势比导体外表面的电势高； (C)导体内部的电势比导体外表面的电势高； 导体内部的电势比导体外表面的电势高 表面曲率较大处电势较高。 (D) 表面曲率较大处电势较高。
σ3 σ4 σ5 σ6
5.0cm
解得
8.0cm
E1
E2
例题10 例题
10、在一半径为 R的不带电的金属球旁，有一点电荷 q， 、 的不带电的金属球旁， 的不带电的金属球旁 ， 距球心r 距球心 （r>R)；以无限远为电势零点，求（1）金属球 ；以无限远为电势零点， ） 上的感应电荷在球心处产生的电势多大？ 上的感应电荷在球心处产生的电势多大？ （2）金属球 ） 的电势为多少？ 的电势为多少？ R r q
1 2 3 4
σ1 σ 2
σ3 σ4 σ5 σ6
5 6 P
解得
σ1 = σ 6
σ 2 = −σ 3 σ 4 = −σ 5
例题7 例题
7、如图所示,三个面积相等且很大的平行金属板 A、B、 、如图所示 三个面积相等且很大的平行金属板 C，S=0.2m2，A和B之间的距离为 1=0.04m，A和C之间 之间的距离为d 和 之间的距离为 ， 和 之间 的距离为d2=0.02m，B和C都接地；如果使A板带电量为 的距离为 和 都接地；如果使 板带电量为 都接地 qA=3.0×10-7C，求（1）B和C板上的感应电荷 B，qC？ 板上的感应电荷q ， ） 和 板上的感应电荷 的电势U （2）A的电势 A？ ） 的电势 B d1 A d2 C
解：(1)由于 的放置，使得导体球表面上将感应出电量 (1)由于q的放置 由于 的放置， 大小相等而符号相反地电荷 q’和 –q’，感应电荷在球 心处产生的电势为
− q' U '= + =0 4πε 0 R 4πε 0 R q'
(2)导体球是等势体， (2)导体球是等势体，其上任意一点的电势就是整个球 导体球是等势体 的电势。 的电势。球心的电势亦即球的电势为
R r
解：根据题意得 QR + Qr = Q
UR = Ur 即
4πε 0 R
QR
=
4πε 0 r
d 2 d 2
V
0
两板时， 解：如图所示，仅有A、B两板时，两板间的电场为 如图所示，仅有 两板时 均匀电场，电场强度为 方向有A指向 指向B。 均匀电场，电场强度为E1，方向有 指向 。 当仅有C板 因为 板较薄 可以当做电荷为q、 板较薄， 当仅有 板，因为C板较薄，可以当做电荷为 、 面积为S的无限大的均匀带电平面， 板在它的两侧 面积为 的无限大的均匀带电平面，C板在它的两侧 的无限大的均匀带电平面 方向如图所示。 方向如图所示。 A C B
d
o
q 4πε 0 d − q 4πε 0 R
]。 ]。
o′
r
（B） 4πε d − 4πε r 0 0 （C ）0 （D）因q偏离球心而无法确定qq来自R例题5 例题
5、如图所示,一无限大均匀带电平面附近设置一与之 、如图所示, 平行的无限大平面不带电导体板。 平行的无限大平面不带电导体板。已知带电平面的电 荷面密度为 σ ，则导体板两表面的感应电荷面密度分 别
(D)不能确定 (D)不能确定
例题4 例题
4、在半径为R的金属球内偏心地挖出一个半径为 、在半径为 的金属球内偏心地挖出一个半径为 的金属球内偏心地挖出一个半径为r(r<R) 的球形空腔，如图所示，在距空腔中心点 的球形空腔，如图所示，在距空腔中心点d (d<r)处放一 处放一 点电荷q，金属球带电-q，则O’点的电势为[ 点电荷 ，金属球带电 ， 点的电势为[ （A ）
d 2 d 2
V
E1
E1
E2 E2
0
d U CB = ( E1 + E2 ) 2 E1d E2 d V qd = + = + 2 2 2 4ε 0 S
例题9 例题
9、如图所示，有三块互相平行的导体板，外面的两块 、如图所示，有三块互相平行的导体板， 用导线连接，原来不带电。 用导线连接，原来不带电。中间一块上所带电荷总面密 度为 1.3 × 10 −5 C / m 2 。求每块板的两个表面的电荷面密 度各是多少？（忽略边缘效应） 度各是多少？（忽略边缘效应） ？（忽略边缘效应
σ1 σ 2
A
σ3 σ4 σ5 σ6
B C
QA σ1 + σ 2 = S QB σ3 +σ4 = S QC σ5 +σ6 = S
根据高斯定理得： 根据高斯定理得： σ 2 + σ 3 = 0
σ4 +σ5 = 0
静电平衡条件得： 静电平衡条件得：
1 Ep = (σ 1 + σ 2 + σ 3 + σ 4 + σ 5 − σ 6 ) = 0 2ε 0
− q' q q U= + + = 4πε 0 R 4πε 0 R 4πε 0 r 4πε 0 r q'
例题11 例题
11、如图所示，半径为R和r的两个导体球用一根很长的 、如图所示，半径为 和 的两个导体球用一根很长的 细导线连接起来，使这个导体组共带电量为 ， 细导线连接起来，使这个导体组共带电量为Q，求（1） ） 两球上分别具有的电量Q 两球上分别具有的电量 R和Qr（2）两球的电势 ？ ）两球的电势U？
1 2
σ1 σ 2
σ3 σ4
3 4 P
QA + QB 解得 σ 1 = σ 4 = 2S QA − QB σ 2 = −σ 3 = 2S
总结： 总结：四个面的电荷分布特点如下
A B
x
向背的两面（1和4面）等值同号， 相向的两面（2和3面）等异号。
思考题1 思考题
思考题1、如图所示，三个面积皆为 、 思考题 、如图所示，三个面积皆为S、带电量分别为 QA 、QB、 QC的导体板平行放置，达到静电平衡。求 的导体板平行放置，达到静电平衡。 各面的电荷密度。 各面的电荷密度。 根据电荷守恒得： 根据电荷守恒得： 1 2 3 4 5 6 P
σ1 σ 2
σ3 σ4
A
B
QA 根据电荷守恒得： 根据电荷守恒得： σ 1 + σ 2 = S QB σ3 +σ4 = S 根据高斯定理得： 根据高斯定理得： σ 2 + σ 3 = 0
x
静电平衡条件得： 静电平衡条件得：
1 Ep = (σ 1 + σ 2 + σ 3 − σ 4 ) = 0 2ε 0
1 （σ 1 + σ 2 + σ 3 + σ 4 + σ 5 − σ 6） 0 = 2ε 0
σ1 σ 2