第三节二阶系统的瞬态响应

22
[总结]
阻尼系数ζ是二阶系统的一个重要参数，用它可以间接地判断 一个二阶系统的瞬态品质。在ζ ≥1的情况下瞬态特性为单调变
化曲线，无超调和振荡，但ts长。当ζ ≤0时，输出量作等幅振荡 或发散振荡，系统不能稳定工作。
在欠阻尼 (0 < ζ < 1) 情况下工作时，若 ζ 过小，则超调量大，振 荡次数多，调节时间长，瞬态控制品质差。
c (t ) = 1 − e −ζω nt (cos ω d t +
ζ 1−ζ
2
sin
ωdt),
t≥0
⒈ 上升时间 tr：根据定义，当 t = tr时，c (tr ) = 1 。
c ( t ) = 1 − e − ζω tn r (cos ω d t r +
ζ 1−ζ
2
sin
ω d tr ) = 1
ζ
0.9
1
21
当 ζ = 0.4 ~ 0.8 之间，调节时间和超调量都较小。 工 程上常取ζ = 1 = 0.707 作为设计依据，称为最佳阻尼常数。
2
⒌ 振荡次数N：
N = ts tf
式中tf
=
2π ωd
为阻尼振荡周期。
ωd =ωn
1−ζ 2
N
=
2 π
1 ζ2
−1
若取ts
=
4 ζωn
10/8/2013 可见振荡次数N仅与阻尼系数ζ 有关。
响应将振荡发散，为不稳定系统，因此不讨论其瞬态性能。
此时特征根实部 −ζωn 为正值，即极点位于右半平面。
10/8/2013
7
4.当 ζ = 1 时，称为临界阻尼系统，特征方程有一对相
等的实根， s1,2 = −ω n 阶跃响应函数为：
C(s)
=
1⋅ s
s2
ωn2 +2ωns +ωn2
=
ωn2 s(s +ωn)2
第三节 二阶系统的瞬态响应
10/8/2013
自动控制原理B 面向专业：微电子系 授课教师：刘剑毅
1
一、典型二阶系统的数学模型
由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。它在控制工程
中的应用极为广泛。许多高阶系统在一定的条件下，也可简化
为二阶系统来研究。
典型结构的二阶系统如图所示。 R(s) -
ω
2 n
C(s)
ζ sin(
1−ζ 2
1−ζ 2ωnt)],
t≥0
阶跃响应为衰减振荡过程
系统极点为： s1,2 = −ζωn ± jωn 1− ζ 2
极点的负实部−ζωn 决定了指数 衰减的快慢，虚部ωd = ωn 1−ζ 2 是振荡频率。称 ωd 为阻尼振荡 圆频率。
10/8/2013
6
3. 当 ζ < 0 时，由于振幅函数 e−ζωnt 为增函数，故阶跃
=
1 s
−
s
1 +ωn
−
(s
ωn +ωn)2
c(t) =1−e−ωnt (1+ωnt)，t ≥ 0 阶跃响应为单调上升过程
10/8/2013
8
5.当 ζ > 1 时，称为过阻尼系统，
系统有一对不等的实极点 s1,2 = −ζωn ± ωn ζ 2 −1
特征方程可写为
s2
+
2ζω
n
s
+
ω
2 n
=
(s +
s(s + 2ζωn )
开环传递函数为:
G(s)
=
s2
ω
2 n
+ 2ζωns
闭环传递函数为:
Φ(s) = G(s) =
ω
2 n
1+ G(s)
s2
+
2ζω n s
+
ω
2 n
Φ(s) 称为典型二阶系统的传递函数，ζ 称为阻尼系数，ωn 称为 无阻尼振荡圆频率或自然频率。这两个参数称为二阶系统特征
Βιβλιοθήκη Baidu
参数。 10/8/2013
此时输出将以频率ωn做等幅振荡，
所10/8以/2013，ωn称为无阻尼振荡圆频率。
4
⒉ 当 0 < ζ < 1时，称为欠阻尼系统，
C(s)
=
1⋅ s
s2
ω
2 n
+ 2ζωns
+
ω
2 n
=
1 s
−
s2
s + 2ζωn + 2ζωns + ωn2
=
1 s
−
s2
+
2ζωns
s + 2ζωn + (ζωn )2 −
e−ζωnt sin(
1−ζ 2
1 − ζ 2ωnt + tg −1
1−ζ 2 ) ≤ Δ% ζ
但是，解析法求解上式很困难。 近似解法：响应曲线在一对包络 线之内。包络线方程为
1+ 1 1−ζ 2 1 + e−ζω nt 1−ζ 2
1 ± e − ζω n t 1−ζ 2
1 − e−ζω nt 1−ζ 2
sin2 A + cos2 A = 1
c(t) = 1−
e−ζωnt ⎡ 1−ζ 2 ⎣
1− ζ 2 cos B + ζ sin B⎤⎦
=1− e−ζωnt [sin Acos B + cos Asin B]
1−ζ 2
tan A = sin A = 1− ζ 2 , ∴ A = arctan 1− ζ 2 = β
=
(c(t
p
)
−1) ×100%
− ζπ
故： δ % = e 1−ζ 2 ×100%
10/8/2013 最大超调量仅与阻尼系数有关。（系统校正的依据之一18）
⒋ 调节时间 ts：
c(t) = 1−
e−ζωnt sin(
1−ζ 2
1− ζ 2ωnt + tg −1
1−ζ 2 ),
ζ
t≥0
根据调节时间的定义，当t≥ts时 |c(t)-c(∞)|≤ c(∞) ×Δ%。
15
⒉ 峰值时间 t p ：当t = t p 时， c′(tp ) = 0
c(t) = 1− e−ζωnt[cos( 1− ζ 2ωnt) +
ζ sin(
1−ζ 2
1− ζ 2ωnt)],
t≥0
let 1− ζ 2ωnt = B and ζ = cos A
sin ( A + B) = sin Acos B + cos Asin B
1 )( s + T1
1) T2
式中
T1
=
ω n (ζ
1 −ζ
2
− 1)
T2
=
ω n (ζ
1 +ζ
2 −1)
ω
2 n
=
1 T1T2
于是闭环传函为： 1
C(s) =
ωn2
=
T1T2
=
1
R(s) s2 +2ζωns+ωn2 (s+ 1)(s+ 1 ) (T1s+1)(T2s+1)
T1 T2
10/8/2013
2时 5时
20
ωnts 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
10/8/2013
Δ=2的精确曲线 Δ=5的精确曲线 Δ=5的近似曲线 Δ=2的近似曲线
0.304
0.43
0.19
0.23
0.38
0.53
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0.69 0.78 0.6 0.7 0.8
9
因此，过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同 的惯性环节的串联，其单位阶跃响应为
C(s) =
1
⋅1 = 1+ T1 1 + T2 1
(T1s+1)(T2s+1) s s T2 −T1 (s+ 1) T1 −T2 (s+ 1 )
T1
T2
c(t) =1+
T1
−t
e T1 +
T2
−t
e T2，t ≥0
T2 −T1
1 s
=
s2
+
ωn2 2ζω n s
+ ωn2
×
s 1 s
c(t)
=
L−1[Φ(s)
×
1] s
=
L−1[
s2
+
ωn2 2ζω n s
+
ωn2
×
1] s
⒈当ζ = 0 时，极点为：s = ± jωn 称为无阻尼系统
C(s)
=
ω
2 n
s(s2 + ωn2 )
=
1 s
−
s2
s + ωn2
c(t) = 1 − cosωnt t ≥ 0
2
特征方程为：
s2
+
2ζω n s
+
ω
2 n
=
0
特征根为： s1,2 = −ζωn ± ωn ζ 2 −1
当ζ 不同时，特征根有不同的形式，对于系统阶跃响应 的分析将按照 ζ 的不同来进行：
10/8/2013
3
二、二阶系统的单位阶跃响应
当输入为单位阶跃函数时，R(s) = 1 ，有：
C(s)
=
Φ(s) ×
代入
c(t)得c(t p )
=
cmax
cmax = c(tp ) = 1 − e−ζωntp (cosωd tp +
ζ 1−ζ
2
sinωdtp )
− ζπ
= 1− e 1−ζ 2 (cosπ +
ζ
− ζπ
sin π ) = 1+ e 1−ζ 2
1−ζ 2
δ
%
=
c(t
p ) − c(∞) c(∞)
×100%
ζ=－0.05
ζ=0.3
ζ=2 ζ=1
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可以看出：随着 ζ 的增加，c(t)将从无衰减的周期运动变为有
衰减的正弦运动，直至单调上升运动(无振荡)。可见 ζ 反映实
1际0/8/2系013 统的阻尼情况，故称为阻尼系数。
13
三、二阶系统的瞬态性能分析
本书只讨论欠阻尼衰减振荡过程 (0 < ζ < 1) ：
∵ e−ζωntr ≠ 0
∴ cos ωdtr +
ζ 1−ζ
2
sin ωd tr
=
0
tgωdtr = −
1−ζ 2 ζ
解得：
10/8/2013
tr
=
1 ωd
tg −1(−
1−ζ 2 )
ζ
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系统极点为：
s1,2 = −ζωn ± jωn 1− ζ 2
令
α = tg −1(−
1−ζ 2 )
ζ
×
ωn β
s1,2 = ± jωn
s1,2 = −ζωn ± jωn 1− ζ 2
s1,2 = −ωn (重根)
s1,2 = −ζωn ∓ ωn ζ 2 −1
一对共轭虚根
一对共轭复根(左 半平面） 一对负实重根
两个互异负实根
等幅周期振荡 衰减振荡 单调上升 单调上升
10/8/2013
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10/8/2013
ζ=－1 ζ=0
(ζωn
)2
+
ωn2
配方法
=1−
s + ζωn + ζωn
s (s + ζωn )2 + ( 1 − ζ 2ωn )2
拆项
=1−
s + ζωn
−
ζωn
s (s + ζωn )2 + ( 1 − ζ 2ωn )2 (s + ζωn )2 + ( 1 − ζ 2ωn )2
=1−
s + ζωn
−ζ
1−ζ 2ωn
− ζω n
jωn 1−ζ 2 α = 180° − β
×
− jωn 1−ζ 2
tg(π − β ) = ωn 1− ζ 2 = − 1− ζ 2 = tg (α )
−ζωn
ζ
∴α = π − β
∴tr
=π −β ωd
= π −β ωn 1−ζ 2
β 称为阻尼角，这是由于 cosβ =ζ 。
10/8/2013
1− 1 1−ζ 2
由于实际响应曲线的收敛速度比包络线的收敛速度要快， 因此可用包络线代替实际响应来估算调节时间。即认为响应曲 线的包络线进入误差带时，调整过程结束。
当t=t’s时，有：
e − ζω nt 's = Δ % 1−ζ 2
1+ 1 1−ζ 2 1 + e−ζω nt 1−ζ 2
t 's = − ln(
cos A ζ
ζ
∴c(t) = 1−
e−ζωnt sin(
1−ζ 2
1− ζ 2ωnt + tg −1
1−ζ 2 ),
ζ
t≥0
c′(t)
=
− −ζωne−ζωntp 1−ζ 2
sin(ωdt p
+β)−
e−ζωnt p 1−ζ 2
ωd
⋅cos(ωdt p
+β)
=
0
ζωn sin(ωdtp + β) −ωd ⋅cos(ωdtp + β) = 0
T1 −T2
阶跃响应为单调上升过程
10/8/2013
10
上述五种情况中除去不稳定的 ζ < 0 ，其余四种分别称为 二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统。其阻尼系数、 特征根、极点分布和单位阶跃响应如下表所示：
阻尼系数
特征根
极点位置 单位阶跃响应
ζ = 0,无阻尼 o < ζ < 1,欠阻尼 ζ = 1，临界阻尼 ζ > 1，过阻尼
整理得：
tg (ωd t p
+
β)
=
ωd ζωn
=
ωn
1−ζ ζωn
2
=
1 − ζ 2 = tgβ ζ
由于t
ωdtp = nπ (n = 0,1,2,...) p出现在第一次峰值时间，取n=1，有：tp
=
π ωd
= ωn
π 1−ζ 2
10/8/2013
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⒊ 最大超调量 δ %：
将峰值时间
tp
=
π ωd
1−ζ 2 × Δ%) ζωn
当ζ 较小时，再近似 1−ζ 2 ≈ 1 ，且
ln(0.02) ≈ −3.912 ≈ −4 ln(0.05) ≈ −2.996 ≈ −3 所以
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1 − e−ζω nt 1−ζ 2
1− 1 1−ζ 2
ts
≈
⎧4
⎪⎪ ⎨ ⎪
ζω 3
n
⎪⎩ ζω n
,当 Δ = ,当 Δ =
通常，都希望控制系统有较快的时间响应，即希望系统的阻尼 系数在0.7左右。而不希望处于过阻尼情况(调节时间过长)。但 对于一些特殊的不希望出现超调系统(如液位控制)和大惯性系 统(如加热装置，舰船靠岸)，则可采用ζ >1的过阻尼系统。
s (s + ζωn )2 + ( 1 − ζ 2ωn )2 1 − ζ 2 (s + ζωn )2 + ( 1 − ζ 2ωn )2
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s+a (s + a)2 + b2
⇔
e−at
cos(bt)
b
⇔ e−at sin(bt)
(s + a)2 + b2
5
c(t) = 1− e−ζωnt[cos( 1−ζ 2ωnt) +
− ζπ
注意到δ % = e 1−ζ 2 ×100% 只与 ζ 有关，所以一般根据δ %来选择 ζ 。

∵ts
=4 ωnζ
(或
3 ω nζ
),∴ωn 越大，ts （当 ζ一定时）
为了限制超调量，并使 ts较小，ζ一般取0.4~0.8。
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（二）非振荡瞬态过程：
包括过阻尼，临界阻尼。阶跃响应为单调上升收敛。 推导更为繁琐，一般采用数值法求解，得到其工程使用的 经验公式。 而无阻尼和 ζ < 0 则不稳定。