2013年数学一模数列部分汇编(文科)

学科教师辅导讲义

}{n b ∴为等差数列．又0=1b ，1-=∴n b n ．……………………………………………4分 ()n n n n a 231+⋅-=∴．………………………………………………………………………6分

（2）设n

n n T 3)1(313021⋅-++⋅+⋅=Λ，则 31

323)1(3130+⋅-++⋅+⋅=n n n T Λ．

111

23)1(3

1)31(93

)1(332+-+⋅----=⋅--++=-∴n n n n n n n T Λ．…………………10分

49

3)32(23)1(439111+⋅-=⋅-+-=∴+++n n n n n n T ．

(

)()4

1

23322

22312++-=++++=∴++n n n

n n n T S Λ． …………………………14分

（3）（崇明县2013届高三一模）（本题14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分） 已知数列{}n a ，记123()n A n a a a a =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+, 2341()n B n a a a a +=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+, 3452()n C n a a a a +=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+, (1,2,3,......)n =，并且对于任意n N *∈，恒有0n a >成立．

（1）若121,5a a ==，且对任意n N *∈，三个数(),(),()A n B n C n 组成等差数列，求数列{}n a 的通项公式；

（2）证明：数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n N *∈，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q

的等比数列．

解：（1）2B(n)=A(n)+C(n)

*+2121-=-=4,n N n n a a a a +⇒∈，所以{}n a 为等差数列。 *=4-3,n N n a n ∴∈

（2）（必要性）若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则23+112+++(n)==(n)++n n a a a B q A a a a L L ，34+2

23+1

+++(n)==(n)++n n a a a C q B a a a L L ，所以A(n)、B(n)、C(n)组成公比为q 的等比数列。

（充分性）：若对于任意N n *

∈，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列， 则()(),()()B n qA n C n qB n ==，

于是[]()()()(),C n B n q B n A n -=-得2211(),n n a a q a a ++-=-即

2121.n n a qa a a ++-=- 由1n =有(1)(1),B qA =即21a qa =，从而210n n a qa ++-=.

因为0n a >，所以

22

11

n n a a q a a ++==，故数列{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列。 综上，数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充要条件是对任意的*n N ∈，都有A(n)、B(n)、C(n)组成公比为q 的等比数列。

（4）（嘉定区2013届高三一模文科）

设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且34135=+a a ，93=S ．数列}{n b 的前n 项和为n T ，满足n n b T -=1．

（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）写出一个正整数m ，使得

9

1

+m a 是数列}{n b 的项；

（3）设数列}{n c 的通项公式为t

a a c n n

n +=

，问：是否存在正整数t 和k （3≥k ），使得1c ，2c ，k c 成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对),(k t ；若不存在，请说明理由．

（1）设数列}{n a 的首项为1a ，公差为d ，由已知，有⎩⎨⎧=+=+9

3334

16211d a d a ，……（2分）

解得11=a ，2=d ，…………（3分）

所以}{n a 的通项公式为12-=n a n （*N ∈n ）．…………（4分） （2）当1=n 时，1111b T b -==，所以2

1

1=

b ．……（1分） 由n n b T -=1，得111++-=n n b T ，两式相减，得11++-=n n n b b b ， 故n n b b 2

1

1=

+，……（2分） 所以，}{n b 是首项为21，公比为21的等比数列，所以n

n b ⎪⎭⎫

⎝⎛=21．……（3分）

)

4(21

82191+=+=+m m a m ，…………（4分）

要使

9

1+m a 是}{n b 中的项，只要n

m 24=+即可，可取4=m ．…………（6分）

（只要写出一个m 的值就给分，写出42-=n m ，*

N ∈n ，3≥n 也给分）

（3）由（1）知，t

n n c n +--=

121

2，…………（1分）

要使1c ，2c ，k c 成等差数列，必须k c c c +=122，即

t

k k t t +--+

+=+121

21136，…………（2分） 化简得1

4

3-+=t k ．…………（3分）

因为k 与t 都是正整数，所以t 只能取2，3，5．…………（4分）

当2=t 时，7=k ；当3=t 时，5=k ；当5=t 时，4=k ．…………（5分）

综上可知，存在符合条件的正整数t 和k ，所有符合条件的有序整数对),(k t 为：

)7,2(，)5,3(，)4,5(．…………（6分）

（5）（奉贤区2013届高三一模）等比数列．．．．{}n c 满足11410-+⋅=+n n n c c ，*

N n ∈，数列{}n a 满足n

a n c 2

=

（1）求{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足1

1

n n n b a a +=

⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和．求n n T ∞→lim ；

（3）是否存在正整数(),1m n m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有,m n 的值；若不存在，请说

明理由

解：（1）解：40,103221=+=+c c c c ，所以公比4=q 2分

10411=+c c 计算出21=c 3分

121242--=⋅=n n n c 4分

12-=∴n a n 5分

（2）11122121n b n n ⎛⎫

=- ⎪-+⎝⎭

6分

于是11111

112335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=

-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥

-++⎝

⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 8分 n n T ∞→lim =

2

1

10分

（3）假设否存在正整数(),1m n m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列，则

2

121321

m n

m n ⎛⎫=⋅

⎪++⎝⎭， 12分 可得22

3241

0m m n m

-++=>，