单元质量评估(一)

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单元质量评估(一)
第一章统计
(120分钟150分)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.(2011·江西高考）为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
则y对x的线性回归方程为( )
（A）y=x-1 （B）y=x+1
x （D）y=176
（C）y=88+1
2
2.为了了解甲，乙，丙三所学校高三数学模拟考试的情况，现采取分层抽样的方法从甲校的1 260份，乙校的720份，丙校的900份模拟试卷中抽取试卷进行调研，如果从丙校抽取了50份，那么这次调研一共抽查的试卷份数为( ) （A）150 （B）160 （C）200 （D）230
3.(2011·天水模拟)某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为x∶3∶5.现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种
号产品有16件，C种型号产品有40件,则x与n的值为( ) （A）x=2,n=24 （B）x=16,n=24 （C）x=2,n=80 （D）x=16,n=80 4.已知x与y之间的一组数据如下：
则y与x的线性回归方程ˆy=bx+a必过点( )
（A）（2，2）（B）(3
2,0) （C）（1，2）（D）(3
2
,4)
5.某学校高一年级共有480名学生，为了调查高一学生的学业水平，计划用系统抽样的方法抽取30名学生作为样本：将480名学生随机地从1～480编号，按编号顺序平均分成30组（1～16号，17～32号，……，465～480号），若从第1组中用抽签的方法确定的号码为5，则第8组中被抽中学生的号码是( ) （A）215 （B）133 （C）117 （D）88
6.为了调查甲网站受欢迎的程度，随机选取了13天，统计上午8：00-10：00
间的点击量，得如图所示的统计图，根据统计图计算极差和中位数分别是( )
（A）23 12 （B）23 13 （C）22 12 （D）22 13
7.在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：
90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( )
（A）92,2 (B)92,2.8 (C)93,2 (D)93,2.8
8.200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60 km/h的汽车数量为( )
（A）70 （B）74 （C）76 （D）83
9.两人的各科成绩如图所示茎叶图，则下列说法不正确的是( )
（A）甲、乙两人的各科平均分相同
（B）甲的中位数是83，乙的中位数是85
（C）甲各科成绩比乙各科成绩稳定
（D）甲的众数是89，乙的众数为87
10.(2011·湛江高二检测）10个正数的平方和是370，方差是33，那么平均数为( )
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
11.如图，样本容量为9的四组数据，它们的平均数都是5，频率条形图如下，
则标准差最大的一组是( )
≈0.618，这种矩形给人以12.设矩形的长为a，宽为b，其比满足b∶a1
2
美感，称为黄金矩形.黄金矩形常应用于工艺品设计中.下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：
甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639
乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620
根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是( )
（A）甲批次的总体平均数与标准值更接近
（B）乙批次的总体平均数与标准值更接近
（C）两个批次总体平均数与标准值接近程度相同
（D）两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）
13.为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名授课教师中抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如下：据此可估计该校上学期200名教师中，使用
多媒体进行教学次数在［15，25）内的人数为______.
14.（2011·广东高考）某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_______ cm.
少于2.5万15.如图是某保险公司提供的资料，在1万元以上的保险单中，有8
21
元，那么不少于2.5万元的保险单有______万元．
16.某公司为了了解一年内的用水情况,抽查了10天的用水量如下:
根据表中提供的信息回答：
（1）这10天中，该公司用水量的平均数是_______；
（2）这10天中，该公司用水量的中位数是_______；
（3）你认为应该使用平均数和中位数中哪一个来描述该公司每天的用水量？________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.（10分）假定某市第一中学有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人.学校为了了解机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请你写出具体的抽样过程.
18.(12分)为了了解某种产品的质量，抽取容量为30的样本，检测结果为一级品5件，二级品8件，三级品13件，其余的都是次品.已知样本频率分布表的一部分如图所示：
（1）画出样本的频率分布条形图.
（2）任意抽取一个产品，估计它是一级品或二级品的概率.
19.(12分)(2011·青岛高一检测)某幼儿园根据部分同年龄段女童的身高数据绘制了频率分布直方图, 其中身高的变化范围是［96,106］(单位:厘米),样本数据分组为［96,98),［98,100),［100,102),［102,104),［104,106］
(1)求出x的值；
(2)已知样本中身高小于100厘米的人数是36,求出样本总量N的数值;
(3)在（2）的条件下,根据频率分布直方图提供的数据,求出样本中身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的学生数.
20.(12分)某高校在2010年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示.
（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在答题纸上完成下列频率分布表和频率分布直方图；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
21.(12分)市体校准备挑选一名跳高运动员参加全市中学生运动会，对跳高运动队的甲、乙两名运动员进行了8次选拔比赛.他们的成绩（单位：m）如下：甲：1.70 1.65 1.68 1.69 1.72 1.73 1.68 1.67
乙：1.60 1.73 1.72 1.61 1.62 1.71 1.70 1.75
(1)甲、乙两名运动员的跳高平均成绩分别是多少？
(2)哪位运动员的成绩更为稳定？
(3)若预测，跳过1.65 m就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪位
运动员参赛？
22.(12分)（2011·安徽高考）某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
（1）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程ˆy =bx+a;
（2）利用（1）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量.
答案解析
1.【解析】选C.将表中的五组数据分别代入选项验证，可知y=88+1
2x 最适合. 2.【解析】选B.设共抽取n 份，由900
900720 1 260++×n=50得n=160.
3.【解析】选C.由题意可知: x n 16x 85n 408x ⎧⨯=⎪⎪+⎨
⎪⨯=⎪+⎩得x=2,n=80.
4.独具【解题提示】回归方程恒过定点(x ,y ).
【解析】选D.根据已知及所学知识得，回归方程恒过(x ,y ),即
123
3
1357
x y 4424+++++====，知.
5.【解析】选C.第8组被抽中学生的号码是5+(8-1)×16=117.
6.【解析】选B.极差为:31-8=23, 中位数为13.
7.【解析】选B.去掉一个最高分95，一个最低分89，剩下5个数的平均值为
1
5(90+90+93+94+93)=92,方差为1
5［(90-92)2+(90-92)2+(93-92)2+(94-92)2+ (93-92)2］=2.8.
8.【解析】选C.时速超过60 km/h 的汽车数量为(0.28+0.1)×200=76.
9.【解析】选D.甲的众数是83，乙的众数为98.
10.独具【解题提示】利用公式2222212n 1s
a a a a n =++⋯+-（）. 【解析】选B.因为: ()()()222
12n 2x x x x x x s n -+-+⋯+-=
222212n 1x x x x n =++⋯+-（）得33=37010-x 2,∴x =2.
11.【解析】选D.由标准差的意义可知.
12.【解析】选A.甲批次的平均数为0.617，乙批次的平均数为0.613.
13.【解析】在［15,25)内的频率为
620,人数为620×200=60.
答案:60
14.【解析】由题设知：设解释变量为x ，预报变量为y ，它们对应的取值如下表所示
于是有x =173，y =176，
b=()()()222063036
033⨯-+-⨯+⨯+-+=1,
a=176-173×1=3,得回归方程ˆy
=x+3, 所以当x=182时，ˆy
=185. 答案:185
15.【解析】不少于1万元的占700万元的21%，为700×21%=147万元．
1万元以上的保单中，超过或等于2.5万元的保单占13
21，金额为13
21
×147=91（万
元），故不少于2.5万元的保险单有91万元.
答案:91
16.【解析】
(1)平均数是
221381401412442501952
10
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=51.
(2)由于10天用水量从小到大排列为22,38,40,41,41，44,44，50,95,95,所以
中位数是4144
2
+=42.5.
(3)因为中位数不受少数几个极端值的影响,故应该使用中位数来描述该公司每天的用水量.
答案:（1）51 （2）42.5 （3）中位数
独具【方法技巧】揭秘平均数，中位数，众数的特点与应用
一、联系与区别：
1.平均数是通过计算得到的，因此它会因每一个数据的变化而变化.
2.中位数是通过排序得到的，它不受最大、最小两个极端数值的影响．中位数在一定程度上综合了平均数和中位数的优点，具有比较好的代表性.部分数据的变动对中位数没有影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，常用它来描述这组数据的集中趋势.另外，因中位数在一组数据的数值排序中处中间的位置.
3.众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度．日常生活中诸如“最佳”、“最受欢迎”、“最满意”等，都与众数有关系，它反映了一种最普遍的倾向．
二、平均数、中位数和众数它们都有各自的优缺点．
平均数：(1)需要全组所有数据来计算；
(2)易受数据中极端数值的影响．
中位数：(1)仅需把数据按顺序排列后即可确定；
(2)不易受数据中极端数值的影响．
众数：(1)通过计数得到；
(2)不易受数据中极端数值的影响.
三、平均数、众数和中位数三种统计数据在生活中的意义.
平均数说明的是整体的平均水平；众数说明的是生活中的多数情况；中位数说明的是生活中的中等水平.
17.独具【解题提示】总体中存在着明显的差异，所以应采用分层抽样的方法进行抽取.
【解析】先采用分层抽样确定应抽取的人数，行政人员、教师、后勤人员的人数之比为16∶112∶32=1∶7∶2,所以行政人员应抽1
10
×20=2（人），教师应抽
7 10×20=14（人），后勤人员应抽2
10
×20=4（人），所以分别抽取2人,14人,4人.
然后在2人的抽取中用抽签法，14人的抽取中用系统抽样法，4人的抽取中用抽签法.
18.【解析】（1）频数4，频率约为0.27；
如图所示为样本频率分布条形图．
（2）∵0.17+0.27=0.44，
∴任意抽取一件产品，估计它是一级品或二级品的概率为0.44．
19.独具【解题提示】要充分利用频率的定义与直方图的频率之和为1来作. 【解析】（1）由题意：（0.050+0.100+0.150+0.125+x）×2=1
解得：x=0.075.
(2)设样本总量N,样本中身高小于100厘米的频率为p1,
∵p1=(0.050+0.100)×2=0.30
而p1=36
N ，∴N=
1
36
p
=36
0.30
=120.
(3)样本中身高大于或等于98厘米并且小于104厘米频率p2=(0.100+0.150+ 0.125)×2=0.75,
∴身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的人数n=p2N=120×0.75=90.
20.【解析】（1）由题可知，第2组的频数为0.35×100=35（人）,
第3组的频率为30
100
=0.300,
频率分布直方图如下:
（2）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:
第3组:30
60
×6=3（人）,
第4组:20
60
×6=2（人）,
第5组: 10
60
×6=1（人）,
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人.
21.【解析】（1）x甲=1
8
(1.70+1.65+…+1.67)=1.69(m),
x乙=1
8
(1.60+1.73+…+1.75)=1.68（m）.
(2)s甲2 =1
8
［(1.70-1.69)2+(1.65-1.69)2+…+(1.67-1.69)2］=0.000 6,
s乙2 =1
8
［(1.60-1.68)2+(1.73-1.68)2+…+(1.75-1.68)2］=0.003 15,
因为s甲2＜s乙2,所以甲更稳定.
（3）可能选甲参加，因为甲8次成绩都跳过1.65 m而乙有3次低于1.65 m.
22.【解析】（1）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，先将数据预处理如下：
对预处理的数据，容易算得
x =0，y =3.2，
b=
()()()()2
2
2
2
421211219429
4224
-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+++=6.5，
a=y -b x =3.2.由上述计算结果，知所求回归直线方程为
ˆy
-257=b(x-2 006)+a=6.5(x-2 006)+3.2. 即ˆy
=6.5(x-2 006)+260.2. (2)利用所求得的直线方程，可预测2012年的粮食需求量为
6.5×(2 012-2 006)+260.2=6.5×6+260.2=299.2(万吨)≈300(万吨).。