第一章 生命表
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60p20，2|3q50
1.1.4
离散型未来寿命的分布
k T ( x) k 1, k 0,1,
取整余命（ K）
K ( X ) [T ( x)] k ,
Pr[ K ( x) k ] Pr[k T ( x) k 1] Pr[k T ( x) k 1] k 1 q x k q x k p x k 1 p x k| qx
本章结构
寿命分布
生命表
生命表 各年龄内的寿命分布
1.1
寿命分布
主要内容
寿命X的分布（分布函数和生存分布） 未来寿命（余命）的分布 死力（瞬时死亡率） 重点掌握： a. 各函数的符号表示及理解其涵义 b. 各种函数之间的关系
1.1.1
寿命X的分布函数
连续型死亡年龄
1. X: 死亡年龄（从生存到死亡的时间长度） 是一连续型随机变量 2. (x)：x岁的人 3. 分布函数：
n
1.1.5
死力（参数模型的问题）
虽然每一假设都比前一假设更符合实际，但至今为止 找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模 型的拟合效果不令人满意。 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的 误差 寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用 非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。 在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。
x s ds
,
s( x t ) s( x t ) s( x t ) fT (t ) t p x x t s ( x) s ( x) s ( x t )
这说明：未来寿命的分布可由死力决定，如果有了死力 的解析表达式或者有了生存函数的解析表达 式，问题就可以得到解决。
终极生命表
生命表类型
选择生命表
寿险生命表
生命表的类型
年金生命表 经验生命表 女性生命表 男性生命表 女性生命表 国民生命表 男性生命表
1.2.1
1.2.1
生命表的类型
国民生命表：根据全国范围内的人口统计资料构造 出来，反映的是一个特定时期内全国 人口的寿命分布情况。 经验生命表：许多家人寿保险公司对被保险人的统 计资料构造出来，反映的是这些公司 的综合经验和他们的被保险人的寿命 分布情况。
1.1.3
未来寿命T的分布
t u
其他特殊符号b 特别地
p x t p x u p x t
记住！
x=0 时，有 T (0) X , x p0 s ( x )
含义：新生婴儿的未来寿命等于他的死亡年龄
q q Pr( T ( x ) 1 ), x 1 x t=1 时，有 p x 1 p x Pr(T ( x) 1),
1.1.3
未来寿命T 的分布
T的分布函数
t
q x FT (t ) Pr(T t ) Pr( x X x t | X x) s( x t ) 1 s( x)
含义：(x)在x+t 前死亡的概率
1.1.3
未来寿命T 的分布
s ( x t ) f T (t ) FT (t ) s( x)
l x t dt lx
b) 离散型平均余命：
l x k l x k 1 l xk e x E[ K ( x)] k k | q x k lx k 0 k 0 k 1 l x
含义：x岁未来平均存活的整数年数，不包括不满1年的零数余寿
1.2.2
生命表的构成
L x l x t dt
0 n
其他特殊符号a
s( x t ) s( x t u ) t | u q x Pr[t T ( x ) t u ] s( x) t u q x t q x t p x t u p x t p x u q x t
含义：
(x)生存t 年后，在x+t岁与x+t+u岁之间死亡的概率 (x)在活过 t 年后的u年内死亡的概率等于(x)在x+t岁时 仍活着的条件概率与(x+t)在以后的u年内死亡的概率之积。
F(x)=Pr(X≤x)
4. 概率密度：f(x)=F′(x) 5. 数学期望：EX=∫xf(x)
x≥0
含义：新生婴儿在x岁前死亡的概率
dx
新生婴儿的平均寿命
1.1.2
生存函数
s(x)=1- F(x)=Pr(X>x), x≥0
新生婴儿x岁以后死亡的概率 新生婴儿活过x岁的概率
含义
性质 s(x) 0 a. s ( 0 ) 1 , xlim b.
概率密度 生存函数
s( x t ) t p x 1 t q x Pr(T ( x ) t ) s( x)
含义：(x)在x+t岁时仍活着的概率
平均余命
ex E[T ( x)]
0
0
tf T (t ) dt
t
0
p x dt
1.1.3
未来寿命T的分布
2. 各年龄内活着的人数 lx
lω=0
1.2.2
生命表的构成
3. 死亡人数 在x～x＋1岁之间死亡的人数：
d x l x l x 1
xk
l0 d x , l x
x 0
1
x 1
k 0
d
在x~x+k之间死亡的人数：
k
d x l x l x k d x d x 1 d x k 1
a) 瞬时死亡率，描述了(x)将在某一瞬间内死亡的 变化情况； b) 在到达x岁的人当中，瞬间死亡的人所占的比率 c) 生存函数的相对变化率。
1.1.5
死力
1.1.5
死力
生存函数与死力关系：
0 s ( x) e
y dy
x
1.1.5
0 p e t x
t
死力
t p x , t q x , f T (t ) 与死力之间的关系
u=1 时，有
t|
q x t| 1 q x t p x q x t
1.1.3
未来寿命T的分布
说明：
概率
t
px , t qx ,
t| u
q x 实质上都是条件概率，
隐含的条件是新生婴儿在x岁是活着的。
重点掌握这几个符号的含义
例题分析
[例1.2] 用国际通用符号和概率符号表示下述事件的概率。 （1）20岁的人活到80岁的概率； （2）50岁的人在52岁至55岁之间死亡的概率。
1.1.4
离散型未来寿命的分布
思考下式为何成立及其含义是什么？（k为整数）
k
q x q x 1| q x 2 | q x k 1| q x
记住！后面 会多次用到
1.1.5
定义：
死力
s ( x) F ( x) x s( x) 1 F ( x)
含义：
从数学的角度，生存状况是一个简单的过程。这个过程有如下的特 征： 1. 存在两种状态：生存和死亡。 2. 单个的人──经常称作生命个体──可被划分为生存者或死亡者， 也就是说，我们可说出他们所处的状态。 3. 生命个体可从“生存”状态到“死亡”状态，但不能相反。 4. 任何个体的未来生存时间都是未知的，所以我们应从生存或死亡概 率的探讨而着手生存状况的研究。 5. 生存模型就是对此过程建立的一个数学模型，用数学公式进行清晰 的描述，从而对死亡率的问题作出了一些解释 下面就是生存模型可回答的例子： 1. 一个45岁的人在下一年中死亡的概率是多少？ 2. 假若有1000个45岁的人，那么他们中有多少人可能在下一年内死 亡？ 3. 如果某一45岁的男性公民，在投保了一个10年的定期的某种人寿保 险，那么应该向他收多少保费？ 4. 一些特定因素(如一天吸50根烟)对于45岁的男性公民的未来生存时 间的影响是怎样的？
Hale Waihona Puke Baidu
1.2
生命表
本节的主要内容
了解生命表的类型 掌握生命表的构成要素（各类函数） 能够利用一般生命表进行计算 理解选择－终极生命表的含义，并能够利用 它解决简单问题。
1.2
生命表含义
是根据以往一定时期那各种年龄的死亡统计资料编制的每个 年龄死亡率组成的汇总表。是过去生命资料的记录。 最重要的是产生每个年龄的死亡率，影响死亡率的因素很多： 年龄，性别，职业，习惯，以往病史等。但一般情况下，在 设计生命表时，只注重考虑年龄和性别。 是描述人的寿命或未来寿命概率分布的一种表格形式，是寿 险公司计算保费的重要依据之一。 含有一些基本函数的数值，并按各个年龄制成表格。 反映的是离散型的寿命规律 构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布 假定（非参数方法）
第一章 生命表
引言
按寿险保单的约定，保险人（即寿险公司）将根据被保 险人在约定时间内的生存或死亡决定是否给付保险金。 被保险人在未来某个时期的生死是一个不确定性事件， 对这个不确定性事件的研究是寿险精算中最重要的工作 之一，它决定着保险金的给付与否。它的研究把数学和 生存与死亡概率结合在一起。 所以，应从生存或死亡概率的探讨而着手生存状况的研 究。生存模型就是对生命个体从“生存”状态到“死亡” 状态这一过程建立的一个数学模型，用数学公式进行清 晰的描述，从而对死亡率的问题作出一些解释。
单调递减函数
例题分析
[例1.1] 用生存函数表示下列事件的概率： a.新生婴儿在60岁至70岁之间死亡的概率
s(60)-s(70)
1.1.3
未来寿命T 的分布
T(x)＝X-x，X≥x
未来寿命（x岁的人剩余寿命）:
T(x),简记为T，是一连续型随机变量 隐含的条件：新生婴儿在x岁仍活着 购买保险的被保人，往往是已活到某个年龄x岁的 人，因此，研究剩余寿命的分布更为重要。用概率 来反映生存者未来寿命T(x)是精算学中一项基本内 容。
有的人均已死亡。
1.1.5
死力
x t
2）Gompertz假设（1825）：
x t B C
,
B、C为常数
x t
3）Makeham假设（1860）：
x t A B C
,
A、B、C为常数
4）Weibull假设（1939）：
x t k ( x t ) , k 0, n 0
非养老金业务男（女）表 养老金业务男（女）表
新旧经验生命表的比较
1.2.2
生命表的构成
考察一封闭式的生存群体，具有以下性质：
设定期初总人数 随着年龄的增加，活着的人数减少，最后活着的人数 为零，且死亡的总人数等于期初的总人数 设定一极限年龄ω
1.2.2
生命表的构成
1. 群体的年龄x x=0,1,2,…,ω，ω为极限年龄
我国经验生命表
中国人寿保险业经验生命表（1990—1993）
1996.6我国保险监管机构颁布，1997.4.1开始使用 共六张：
非年金保险男（女）表、非年金保险混合表 年金保险男（女）表、年金保险混合表
中国人寿保险业经验生命表（2000—2003）
2005年12月22日，中国保监会颁布 新生命表使用于2006.1.1起生效 共四张：
1.1.5
死力
几种常见的假设：
1）de Moivre假设（1729）：
1 x t , 0 x xt 0 x 1 x s ( x) 1 , f T (t ) , e x E[T ( x)] x 2 其中的ω为极限年龄，即假定在此年龄下，所
1.2.2
4. 死亡概率
生命表的构成
d x l x l x 1 qx , lx lx d x l x l xk q x 1| q x k 1| q x , k qx lx lx
k t |u
l x t l x t u qx lx
1.2.2
5. 生存概率
生命表的构成
l x 1 px , lx
6. 生存函数
l xk k px lx
lx s( x) x p 0 l0
1.2.2
生命表的构成
7. 平均余命 a) 连续型平均余命：
e x t f T (t ) dt
0
0
0 t
p x dt
0
1.1.4
离散型未来寿命的分布
k T ( x) k 1, k 0,1,
取整余命（ K）
K ( X ) [T ( x)] k ,
Pr[ K ( x) k ] Pr[k T ( x) k 1] Pr[k T ( x) k 1] k 1 q x k q x k p x k 1 p x k| qx
本章结构
寿命分布
生命表
生命表 各年龄内的寿命分布
1.1
寿命分布
主要内容
寿命X的分布（分布函数和生存分布） 未来寿命（余命）的分布 死力（瞬时死亡率） 重点掌握： a. 各函数的符号表示及理解其涵义 b. 各种函数之间的关系
1.1.1
寿命X的分布函数
连续型死亡年龄
1. X: 死亡年龄（从生存到死亡的时间长度） 是一连续型随机变量 2. (x)：x岁的人 3. 分布函数：
n
1.1.5
死力（参数模型的问题）
虽然每一假设都比前一假设更符合实际，但至今为止 找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模 型的拟合效果不令人满意。 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的 误差 寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用 非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。 在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。
x s ds
,
s( x t ) s( x t ) s( x t ) fT (t ) t p x x t s ( x) s ( x) s ( x t )
这说明：未来寿命的分布可由死力决定，如果有了死力 的解析表达式或者有了生存函数的解析表达 式，问题就可以得到解决。
终极生命表
生命表类型
选择生命表
寿险生命表
生命表的类型
年金生命表 经验生命表 女性生命表 男性生命表 女性生命表 国民生命表 男性生命表
1.2.1
1.2.1
生命表的类型
国民生命表：根据全国范围内的人口统计资料构造 出来，反映的是一个特定时期内全国 人口的寿命分布情况。 经验生命表：许多家人寿保险公司对被保险人的统 计资料构造出来，反映的是这些公司 的综合经验和他们的被保险人的寿命 分布情况。
1.1.3
未来寿命T的分布
t u
其他特殊符号b 特别地
p x t p x u p x t
记住！
x=0 时，有 T (0) X , x p0 s ( x )
含义：新生婴儿的未来寿命等于他的死亡年龄
q q Pr( T ( x ) 1 ), x 1 x t=1 时，有 p x 1 p x Pr(T ( x) 1),
1.1.3
未来寿命T 的分布
T的分布函数
t
q x FT (t ) Pr(T t ) Pr( x X x t | X x) s( x t ) 1 s( x)
含义：(x)在x+t 前死亡的概率
1.1.3
未来寿命T 的分布
s ( x t ) f T (t ) FT (t ) s( x)
l x t dt lx
b) 离散型平均余命：
l x k l x k 1 l xk e x E[ K ( x)] k k | q x k lx k 0 k 0 k 1 l x
含义：x岁未来平均存活的整数年数，不包括不满1年的零数余寿
1.2.2
生命表的构成
L x l x t dt
0 n
其他特殊符号a
s( x t ) s( x t u ) t | u q x Pr[t T ( x ) t u ] s( x) t u q x t q x t p x t u p x t p x u q x t
含义：
(x)生存t 年后，在x+t岁与x+t+u岁之间死亡的概率 (x)在活过 t 年后的u年内死亡的概率等于(x)在x+t岁时 仍活着的条件概率与(x+t)在以后的u年内死亡的概率之积。
F(x)=Pr(X≤x)
4. 概率密度：f(x)=F′(x) 5. 数学期望：EX=∫xf(x)
x≥0
含义：新生婴儿在x岁前死亡的概率
dx
新生婴儿的平均寿命
1.1.2
生存函数
s(x)=1- F(x)=Pr(X>x), x≥0
新生婴儿x岁以后死亡的概率 新生婴儿活过x岁的概率
含义
性质 s(x) 0 a. s ( 0 ) 1 , xlim b.
概率密度 生存函数
s( x t ) t p x 1 t q x Pr(T ( x ) t ) s( x)
含义：(x)在x+t岁时仍活着的概率
平均余命
ex E[T ( x)]
0
0
tf T (t ) dt
t
0
p x dt
1.1.3
未来寿命T的分布
2. 各年龄内活着的人数 lx
lω=0
1.2.2
生命表的构成
3. 死亡人数 在x～x＋1岁之间死亡的人数：
d x l x l x 1
xk
l0 d x , l x
x 0
1
x 1
k 0
d
在x~x+k之间死亡的人数：
k
d x l x l x k d x d x 1 d x k 1
a) 瞬时死亡率，描述了(x)将在某一瞬间内死亡的 变化情况； b) 在到达x岁的人当中，瞬间死亡的人所占的比率 c) 生存函数的相对变化率。
1.1.5
死力
1.1.5
死力
生存函数与死力关系：
0 s ( x) e
y dy
x
1.1.5
0 p e t x
t
死力
t p x , t q x , f T (t ) 与死力之间的关系
u=1 时，有
t|
q x t| 1 q x t p x q x t
1.1.3
未来寿命T的分布
说明：
概率
t
px , t qx ,
t| u
q x 实质上都是条件概率，
隐含的条件是新生婴儿在x岁是活着的。
重点掌握这几个符号的含义
例题分析
[例1.2] 用国际通用符号和概率符号表示下述事件的概率。 （1）20岁的人活到80岁的概率； （2）50岁的人在52岁至55岁之间死亡的概率。
1.1.4
离散型未来寿命的分布
思考下式为何成立及其含义是什么？（k为整数）
k
q x q x 1| q x 2 | q x k 1| q x
记住！后面 会多次用到
1.1.5
定义：
死力
s ( x) F ( x) x s( x) 1 F ( x)
含义：
从数学的角度，生存状况是一个简单的过程。这个过程有如下的特 征： 1. 存在两种状态：生存和死亡。 2. 单个的人──经常称作生命个体──可被划分为生存者或死亡者， 也就是说，我们可说出他们所处的状态。 3. 生命个体可从“生存”状态到“死亡”状态，但不能相反。 4. 任何个体的未来生存时间都是未知的，所以我们应从生存或死亡概 率的探讨而着手生存状况的研究。 5. 生存模型就是对此过程建立的一个数学模型，用数学公式进行清晰 的描述，从而对死亡率的问题作出了一些解释 下面就是生存模型可回答的例子： 1. 一个45岁的人在下一年中死亡的概率是多少？ 2. 假若有1000个45岁的人，那么他们中有多少人可能在下一年内死 亡？ 3. 如果某一45岁的男性公民，在投保了一个10年的定期的某种人寿保 险，那么应该向他收多少保费？ 4. 一些特定因素(如一天吸50根烟)对于45岁的男性公民的未来生存时 间的影响是怎样的？
Hale Waihona Puke Baidu
1.2
生命表
本节的主要内容
了解生命表的类型 掌握生命表的构成要素（各类函数） 能够利用一般生命表进行计算 理解选择－终极生命表的含义，并能够利用 它解决简单问题。
1.2
生命表含义
是根据以往一定时期那各种年龄的死亡统计资料编制的每个 年龄死亡率组成的汇总表。是过去生命资料的记录。 最重要的是产生每个年龄的死亡率，影响死亡率的因素很多： 年龄，性别，职业，习惯，以往病史等。但一般情况下，在 设计生命表时，只注重考虑年龄和性别。 是描述人的寿命或未来寿命概率分布的一种表格形式，是寿 险公司计算保费的重要依据之一。 含有一些基本函数的数值，并按各个年龄制成表格。 反映的是离散型的寿命规律 构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布 假定（非参数方法）
第一章 生命表
引言
按寿险保单的约定，保险人（即寿险公司）将根据被保 险人在约定时间内的生存或死亡决定是否给付保险金。 被保险人在未来某个时期的生死是一个不确定性事件， 对这个不确定性事件的研究是寿险精算中最重要的工作 之一，它决定着保险金的给付与否。它的研究把数学和 生存与死亡概率结合在一起。 所以，应从生存或死亡概率的探讨而着手生存状况的研 究。生存模型就是对生命个体从“生存”状态到“死亡” 状态这一过程建立的一个数学模型，用数学公式进行清 晰的描述，从而对死亡率的问题作出一些解释。
单调递减函数
例题分析
[例1.1] 用生存函数表示下列事件的概率： a.新生婴儿在60岁至70岁之间死亡的概率
s(60)-s(70)
1.1.3
未来寿命T 的分布
T(x)＝X-x，X≥x
未来寿命（x岁的人剩余寿命）:
T(x),简记为T，是一连续型随机变量 隐含的条件：新生婴儿在x岁仍活着 购买保险的被保人，往往是已活到某个年龄x岁的 人，因此，研究剩余寿命的分布更为重要。用概率 来反映生存者未来寿命T(x)是精算学中一项基本内 容。
有的人均已死亡。
1.1.5
死力
x t
2）Gompertz假设（1825）：
x t B C
,
B、C为常数
x t
3）Makeham假设（1860）：
x t A B C
,
A、B、C为常数
4）Weibull假设（1939）：
x t k ( x t ) , k 0, n 0
非养老金业务男（女）表 养老金业务男（女）表
新旧经验生命表的比较
1.2.2
生命表的构成
考察一封闭式的生存群体，具有以下性质：
设定期初总人数 随着年龄的增加，活着的人数减少，最后活着的人数 为零，且死亡的总人数等于期初的总人数 设定一极限年龄ω
1.2.2
生命表的构成
1. 群体的年龄x x=0,1,2,…,ω，ω为极限年龄
我国经验生命表
中国人寿保险业经验生命表（1990—1993）
1996.6我国保险监管机构颁布，1997.4.1开始使用 共六张：
非年金保险男（女）表、非年金保险混合表 年金保险男（女）表、年金保险混合表
中国人寿保险业经验生命表（2000—2003）
2005年12月22日，中国保监会颁布 新生命表使用于2006.1.1起生效 共四张：
1.1.5
死力
几种常见的假设：
1）de Moivre假设（1729）：
1 x t , 0 x xt 0 x 1 x s ( x) 1 , f T (t ) , e x E[T ( x)] x 2 其中的ω为极限年龄，即假定在此年龄下，所
1.2.2
4. 死亡概率
生命表的构成
d x l x l x 1 qx , lx lx d x l x l xk q x 1| q x k 1| q x , k qx lx lx
k t |u
l x t l x t u qx lx
1.2.2
5. 生存概率
生命表的构成
l x 1 px , lx
6. 生存函数
l xk k px lx
lx s( x) x p 0 l0
1.2.2
生命表的构成
7. 平均余命 a) 连续型平均余命：
e x t f T (t ) dt
0
0
0 t
p x dt
0