离散11图的通路回路

.
V={{M,D,S,C},{M,D,S},{M,D,C},{M,S,C},{M,S},{D,C},{D},{S},{C}, }
{M,D,S} {S} {M,S,C}
-吴扬扬制5
{M,S}
{ }
§11.2 通路回路和连通性
2. 图的连通性(1)

连通性质
定义： 设G=<V,E>,|V|=n,u,v V,若存在u到v的通路，则称u到v是可达的。
a
1
b 2
c 3 4
5
显然，f双射且（a,b)与(f(a),f(b))=(1,3)重数相等,…

同构的必要条件： (1)|V1|=|V2|; (2)|E1|=|E2|;
(3) deg( vi )
vi V1 vi V2
等。 deg(v ), 且度数相同的顶点数相
i
P223 例题
.
-吴扬扬制-
重复上述过程可得到
长度不超过n-1的u到v的通路。 如例1 …
. -吴扬扬制-
vi+1
…
v0
e1 v1
e2
… ei vi vj-1 ej+1 vj ej
3
…
§11.2 通路回路和连通性
1. 通路和回路(3)

推论11.2.1 设G=<V,E>,|V|=n,u,vV,若存在从u到v的通路， 则存在一条从u到v的长度不超过n-1的基本通路。 定理11.2.2 设G=<V, E>, |V|=n, uV, 若存在从u到u的回路，

设G=<V,E>为有向图，定义V上的二元关系Ri(i=1,2,3),u,vV， uR1v iff 在G中u和v相互可达； uR2v iff 在G中u可达v或v可达u； uR3v iff 在G的底图中u可达v， 则(1)R1和R3是等价关系;(2)R2是相容关系，但不是等价关系。
7
R1的等价类是什么子图？ 分析例1
（a) （b)
(c)
§11.2 通路回路和连通性
2. 图的连通性(2)

性质 无向图G，结点间的可达性是结点集合上的等价关系，因此它决定了 结点集合的一个划分。
每个划分块导出的子图称为G的连通分图，G的连通分图的个数记为p(G)。
如例3(b)…
定理11.2.3 有向图强连通 iff 存在经过每个顶点至少一次的回路。 如例3,(证明P227)
基本通(回)路一定是 简单通(回)路, 反之不一定成立。
若通路(回路)的所有边各不相同，则称之为简单通路(回路)。 若通路(回路)的所有顶点各不相同，则称之为基本通路(回路)。 例1 ：
V5 a V1 b V2 e d V3 c
V1
b V2 e d V3
f V4
g
v2cv3dv V2cv3dv4ev2
. -吴扬扬制4
§11.2 通路回路和连通性
1. 通路和回路(4)
例2：过河问题(P225). 限定：每次只能带一样“东西”；
MDSC D,C M,S,D D,C,M M,S S D
M,S S C,D C,M,D S,M,C C MSCD
不能把狗和羊、羊和菜、狗和羊和菜单独留在一边。 解：V—原岸的状态集,E—状态变化. M-Man,D-Dog,S-Sheep,C-Cabbage； 从结点{M,D,S,C}到结点的通路就是安全的运送方案. {D} {M,D,S,C} {D,C} {M,D,C} {C}
1
§11.2 通路回路和连通性
1.通路和回路(1)

通路性质 连通定义 连通性质
定义:设G=<V,E>,v0,v1,…,vnV,e1,e2,…,enE,
其中ei关联于vi-1和vi(i=1,2,…,n), 称v0e1v1e2…envn为顶点v0到顶点vn的通路， 称v0和vn分别为该通路的起点和终点， 称通路上边的数目为该通路的长度， 若v0=vn,则称该通路为回路。
4
V5
a f
V4
c
v2cv3dv4 v2cv3dv4ev2 v4dv3cv2 2
§11.2 通路回路和连通性
1. 通路和回路(2)

性质:

定理11.2.1 设G=<V,E>,|V|=n,u,vV,若存在从u到v的通路， 则存在一条从u到v的长度不超过n-1的通路。
证明: 设v0e1v1e2…emvm为顶点u到顶点v的通路(v0=u,vm=v),长度为m, 若m≤n-1,则v0 e1 v1 e2…emvm为长度不超过n-1的从u到v的通路； 若m>n-1,则m+1>n,v0e1v1e2…emvm中至少有一个顶点出现两次以上， 不妨设vi=vj(0≤ij≤m),从上述通路中删去vi到ej这段循环， 则v0e1v1e2…viej+1…emvm是长度为m-(j-i)的从u到v的通路,
资源分配图
--有向图的一个应用实例(1)

例»
资源分配问题

计算机系统中的程序共享系统资源，如磁盘、CPU、主存贮器等，

如果u可达v，从u到v最短通路的长度称为u到v的距离，记作d(u，v)。
设G=<V,E>为无向图，若G的任何两个顶点是可达的，则称G是连通图。
设G=<V,E>为有向图，若u,vV，
(1) u和v相互可达，则称G是强连通图； (2) u和v至少有一个可达另一个，则称G是单向连通图； (3) G的底图是连通的，则称G是弱连通图。 例3 ： (e) (d) 有向图的极大强(单向、弱)连通子图，称为强(单向、弱)连通分图. 6 如例1中…

则存在一条从u到u的长度不超过n的回路。
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推论11.2.2 设G=<V, E>, |V|=n, uV, 若存在从u到u的回路， 则存在一条从u到u的长度不超过n的基本回路。
设G=<V,E>,|V|=n,则 (1)任何基本通路的长度均不大于n-1。 (2)任何基本回路的长度均不大于n。 对简单通路(回路)是否也成立,为什么?
§11.1 图的基本概念 5. 图的同构

指(u,v) 图同构：设G1=<V1,E1>,G2=<V2,E2>,若存在双射函数f:V1→V2, 或 <u,v> 使得u,vV ,[u,v]E iff [f(u),f(v)]E ,且[u,v]与[f(u),f(v)]
1 1 2
的重数相等，则称G1与G2同构，记作G1G2. 例6：下列两个图同构： ∵ 有f:{a,b,c,d,e}→{1,2,3,4,5}, f(a)=1,f(b)=3,f(c)=5,f(d)=2,f(e)=4 d e