高三数学复习圆的方程

高三数学复习圆的方程

5．圆的方程

一、内容归纳

1. 知识精讲.

①圆的方程

(1)标准式：(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)，其中r为圆的半径，(a，b)为圆心。

(2)一般式：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)，其中圆心为(-，-)，半径为，

(3)直径式：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0，其中点(x1，

y1)，(x2，y2)是圆的一条直径的两个端点。（用向量法证之）（4）半圆方程：等

(5)圆系方程：

i)过圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0和直线l：Ax+By+C=0的交点的

圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0

ii)过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：

x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆的方程为

x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)该方

程不包括圆C2；

（时为一条直线方程，相交两圆时为公共弦方程；两等圆

时则为两圆的对称轴方程）

(6) 圆的参数方程

圆心在(0,0),半径为r的圆的参数方程为为参数

圆心在(a,b),半径为r的圆的参数方程为为参数

②圆的一般方程与二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的

关系；

二元二次方程表示圆的充要条件A=C≠0，B=0 ，D2+E2-4AF0。

二、问题讨论

例1、根据下列条件，求圆的方程。

(1)和圆x2+y2=4相外切于点P(-1，)，且半径为4；

(2)经过坐标原点和点P(1，1)，并且圆心在直线2x+3y+1=0上；

(3)已知一圆过P(4，-2)、Q(-1，3)两点，且在y轴上截得

的线段长为4，求圆的方程。

解：(1)设圆心Q的坐标为(a，b) ∵⊙O与⊙Q相外切于P ∴O、P、Q共线，且λ==-=- 由定比分点公式求得a=-3，

b=3

∴所求圆的方程为(x+3)2+(y-3)2=16

(2)显然，所求圆的圆心在OP的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程为：

= 即x+y-1=0

解方程组 x+y-1=0

2x+3y+1=0 得圆心C的坐标为(4，-3)。又圆的半径

r=|OC|=5

∴所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=25

(3)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 ①将P、Q点的坐标分别代入①，得：

4D-2E+F=-20 ②

D-3E-F=10 ③令x=0，由①得y2+Ey+F=0 ④

由已知|y1-y2|=4，其中y1、y2是方程④的两根。

∴(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48 ⑤

②、③、⑤组成的方程组，得

D=-2D= -10

E=0 或 E= -8

F= -12F=4

故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0

[思维点拔]无论是圆的标准方程或是圆的一般方程，都有三

个待定系数，因此求圆的方程，应有三个条件来求。一般地，已知圆心或半径的条件，选用标准式，否则选用一般式。

例2、(优化设计P112例1)设为两定点，动点P到A点的距

离与到B点的距离的比为定值，求P点的轨迹。

解：设动点P的坐标为（x，y）. 由.化简得当，整理得. 当a=1时，化简得x=0.

所以当时，P点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；

当a=1时，P点的轨迹为y轴。

【评述】上述解法是直接由题中条件，建立方程关系,，然后化简方程，这种求曲线方程的方法称为直接法。

例3、(优化设计P112例2)一圆与y轴相切，圆心在直线上，且直线截圆所得的弦长为，求此圆的方程。

解：因圆与y轴相切，且圆心在直线上，故设圆方程为，

由于直线截圆所得的弦长为，则有

解得，故所求圆方程为或

【评述】求圆的弦长方法

（1）几何法：用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边（2）代数法：用弦长公式

例4、已知⊙O的半径为3，直线与⊙O相切，一动圆与相切，并与⊙O相交的公共弦恰为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹

方程。

解：取过O点且与平行的直线为x轴，过O点且垂直于

的直线为y轴，建立直角坐标系。

设动圆圆心为M（x,y），⊙O与⊙M的公共弦为

AB，⊙M与切于点C，则

AB为⊙O的直径，MO垂直

平分AB于O。

由勾股定理得

即：这就是动圆圆心的轨迹方程

【点评】建立适当的坐标系能使求轨迹方程的过程较简单、

所求方程的形式较"整齐"

备用题：

例5、设定点M(-3，4)，动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹。

解：本题关键是找出动点P与定点M及已知动点N之间的联系，用平行四边形对角线互相平分这一定理即可。设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为(，)，线段MN的中点坐标为(，)。

因为平行四边形对角线互相平分，故=，=

从而 x0=x+3

y0=y-4

N(x+3，y-4)在圆上，故(x+3)2+(y-4)2=4

因此所求轨迹为圆：(x+3)2+(y-4)2=4，但应除去两点：(-，)和(-，)

[思维点拔]：求与圆有关的轨迹问题，充分利用圆的方程和

圆的几何性质，找出动点与圆上点之间的关系或动点所满足

的几何条件。

例6、已知圆的方程是：x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0，其中

a≠1，且a∈R。

(1)求证：a取不为1的实数时，上述圆恒过定点；

(2)求与圆相切的直线方程；

(3)求圆心的轨迹方程。