疲劳与断裂第三章疲劳应用统计学基础2

21.6063 8.7478 117.3001 19.1613 47.1351
_
L y y ( y Y ) 2 y i 2 ( y i) 2 /n
__
L x y ( x X ) ( y Y ) x iy ix i y i/ n
有：
B
n xi y i n xi2
xi y ( xi)2
i
Lxy
/
Lxx
r B[ L / L ]1/2 L / L L
xx
yy
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四、利用回归方程进行统计推断
对应于任一x0，y0正态分布， Y y0=~y+3s n大时，分布参数可估计为：
~y =A+Bx ~y0
= y~ =A+Bx =s=[Q/(n-2)]1/2
=[(Lyy-B2Lxx)/(n-2)]1/2
y0 =~y-3s
X
0
x0
利用回归方程进行统计推断
直线 y= y~ +ups所对应的概率为 p=Pr(Yy) 。 如，up=3时，p=99.87%，
是显著性水平 ，或纳伪概率。
表3-4 相关系数 r 的起码值
n-2 0.05 0.01 n-2 0.05 0.01 n-2 0.05 0.01
1 0.997 1.000 5 0.754 0.874 10 0.576 0.708
20 0.423 0.537 30 0.349 0.449 40 0.304 0.393
共n对
图
用回归方程进行 预测和统计推断
回归方程 最小二乘
的形式 y~=A+Bx
法确定回
归系数 A、B
相
关
相关性检验
系 数
r r
r
下面通过一例题，进一步了解其分析步骤。
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例3.3 表中为某材料在R=0.1下的疲劳试验结果， 试估计其S-N曲线。
试验数据
计
算
Sa (MPa) N xi=lgNi yi=lgSai xi2
E通常未知，一般只能通过样本求其估计量：
~y =f (x)
称为Y对X的回归方程。
若回归方程是线性的，有 ~y=A+Bx ;
常数A、B是待定的回归系数。
回归分析的主要任务是： 确定回归方程的形式及回归系数；检验回归方程 的可用性；利用回归方程进行预测和统计推断。
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二、最小二乘法拟合回归方程 Y
获取数 据样本
yi2
xiyi
199 94124 4.9737 2.2989 24.7377 5.2849 11.4340
166 146656 5.1663 2.2201 26.6907 4.9288 11.4697
141.2 298263 5.4746 2.1498 29.9712 4.6216 11.7693
120.2 981070 5.9917 2.0799 35.9005 4.3260 12.4621
r<0，B<0，负相关。
相关系数的几何意义:
Y r~1
Y
Y
0<r<1
Y
Y
r~ 0
-1<r<0
r~ -1
完全相关 正相关
完全不相关 负相关
完全相关
0
X0
X0
X0
X0
X
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回归方程能否反映随机变量间的相关关系？
相关性检验条件为： r r
r 是相关系数起码值，可查表。 与样本容量n有关，n越大，r越小。 与置信水平有关，=1-越大，r 越大。
故y落在y=y~ +3s之下的概率为99.87%，上限。
up=-3时，p=0.13%，y=y~ -3s 为0.13%的下限。 y在y= y~ +3s间的概率为p=99.74%。 up=0时，p=50%，故y= y~=A+Bx对应概率50%
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五、 二元线性回归分析的基本方法：
获取样 作
本数据 散
(xi,yi) 点
xy
xx yy
6
偏差平方和为：
_
_
Q ( A Bxi yi )2 [(Y B X ) Bxi yi ]2
_
_
[(Y yi ) B( X xi )]2___
_
[(Y y )2 2 B( X x )(Y y ) B2 ( X x )2 ]
_
i
_
i
i_
i
(Y yi )2 2B2 ( X xi )2 B2 ( X xi )2
_
_
(Y yi )2 B2 ( X xi )2 Lyy B2Lxx
上式二端除以Lyy,即得： r21Q/Lyy
注意: Lyy>Q>0, 故相关系数 r 1
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当 r 1 时，有Q0，
r21Q/Lyy
数据点基本在回归直线上，变量X、Y相关密切；
r r
r , Q, 数据点越分散，相关越差； 若 r 0， X、Y完全不相关。 相关系数r与B同号，r>0, 则B>0，正相关；
有可以预测的一个或几个确定的值与之对应， 如，圆周长L=D的确定性关系。
相关关系---变量X取某定值时，变量Y并无确定
的值与之对应，与之对应的是某唯一确定的概 率分布及其特征数，如S-N关系。
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设X、Y间存在着相关关系。 X=x时，Y的数学期望E(Y/X=x)是x的函数，即：
E(Y/X=x)=f(x)
Y的样本均_值，且
_
X=xi/n ; Y =yi/n
__
注意，均值点（ X 、Y ）落在回归直线上。
5
三、相关系数及相关关系的检验
相关系数r定义为：
_
_
r B [ (x i X )2 /( (y i Y )2 ] 1 /2
若令 ：
_
L x x ( x X ) 2 x i 2 ( x i) 2 /n
正规方程组为：
A
nA xi
B xi yi B xi2 xi
yi
解得：
B
n xi y i n xi2
xi yi ( xi)2
(x i X)( yi Y (xi X)2
)
A
xi2 y i xi xi
n
xi2
( _
xi_)2
yi
Y
BX
式中，n为样本数据点数， X、Y分别为变量X、
(xi, yi) n对
描点 作散 点图
是否 存在 相关 关系
回归方 程形式
回归 系数 0
分散带
散点图 X
最小二乘法
回归方程估计量 ~y与观测值yi之偏差平方和为：
n~
Q (yiyi)2 (A Bi x yi)2
i 1
Q是A、B的函数， Q最小的条件为：
Q 0 ；Q 0
A
B
由此给出 方程组
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第三章 疲劳应用统计学基础
3.1 疲劳数据的分散性 3.2 正态分布 3.3 威布尔分布 3.4 二元线性回归分析
3.5 S-N曲线和P-S-N曲 线的拟合
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3.4 二元线性回归分析
二个问题：一组数据点是否呈线性？ 若呈线性，用什么样的直线描述？
一、相关关系和回归方程
确定性关系--对变量X的每一确定值，变量Y都