人教版八年级一次函数复习

••

⎩b=1.⎩2k+b=3.•

一次函数

◆知识讲解

1．正比例函数的定义一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．

2．正比例函数的图像正比例函数y=kx（k是常数且k≠0）的图像是一条经过原点（0，0）和点（1，k）•的直线，我们称它为直线y=kx；当k>0时，直线y=kx经过第一，三象限，y 随着x的增大而增大，当k<0时，直线y=kx经过第二，四象限，y随着x的增大而减少．3．一次函数的定义如果y=kx+b（k，b为常数，且k≠0），那么y叫做x的一次函数．一

次函数的标准形式为y=kx+b，是关于x的一次二项式，其中一次项系数k必须是不为零的常数，b可以为任何常数．当b=0而k≠0时，它是正比例函数，由此可知正比例函数是一次函数的特殊情况．当k=0而b≠0时，它不是一次函数．

4．一次函数的图像一次函数y=kx+b（k≠0）的图像是一条直线，通常也称直线y=kx+b，由于两点确定一条直线，故画一次函数的图像时，只要先描出两点，再连成直线就可以了，为了

方便，通常取图像与坐标轴的两个交点（0，b），（－5．一次函数的图像与性质b

k，0）就行了．

k>0 k<0

b>0

b<0

b>0

b<0

第一，二，三象限

第一，三，四象限

第一，二，四象限

第二，三，四象限

y随x的增大而增大

y随x的增大而减小

6．一次函数图像的平移与图像和坐标轴围成的三角形的面积

一次函数y=kx+b沿着y轴向上（“＋”）、下（“－”）平移m（m>0）个单位得到一次

函数y=kx+b±m；一次函数y=kx+b沿着x轴向左（“＋”）、右（“－”）平移n（n>0）个单位得到一次函数y=k（x±n）+b；一次函数沿着y轴平移与沿着x轴平移往往是同步进行的．只

不过是一种情况，两种表示罢了；直线y=kx+b与x轴交点为（－b

k，0），与y轴交点为（0，b），

且这两个交点与坐标原点构成的三角形面积为S△=1b

·│－│·│b│．2k

◆例题解析

例1（2006，江西省）已知直线L1经过点A（－1，0）与点B（2，3），另一条直线L2经过点B，且与x轴相交于点P（m，0）．

（1）求直线L1的解析式；

（△2）若APB的面积为3，求m的值．

【分析】函数图像上的两点坐标也即是x，y的两组对应值，可用待定系数法求解，求函数与坐标轴所围成的三角形面积关键是求出函数解析式的k，b的值．

【解答】（1）设直线L的解析式为y=kx+b，由题意得

⎧-k+b=0,⎧k=1,

⎨解得⎨

所以，直线L1的解析式为y=x+1．

（2）当点P在点A的右侧时，AP=m－（－1）=m+1，有△S

APC

=解得m=1，此时点P的坐标为（1，0）；1

2×（m+1）×3=3．

【解答】 1）当 15≤x ≤33 时，设 y AB =k 1x+b 1

，将（15，5）与（33，7）代入得：⎨ （ ⎩7 = 33k + b

⎪⎪ 1 ⎪b = 10 ∴y AB = 1

⎩ 4

当点 P 在点 A 的左侧时，AP=－1－m ，有 S=×（－m －1）×3=3，解得 m=－3，此时，点 P 的坐标为（－3，0）．

综上所述，m 的值为 1 或－3．

【点评】先设一次函数的解析式，再代入点的坐标，利用方程组求解，其步骤是：设、代， 求、答．

例 2 （2004，黑龙江省）下图表示甲，乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程 y （km ） 随时间 x （min ）的变化的图像（全程），根据图像回答下列问题：

（1）求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇？ （2）求这次比赛全程是多少千米？

（3）求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇．

【分析】观察图像知，甲选手的路程 y 随时间 x 变化是一个分段函数，第一次相遇时是在

AB 段，故求出 15≤x ≤33 时的函数关系式；欲求出比赛全程，则需知乙的速度，这可由第一次 相遇时的路程与时间的关系求得，要求第二次相遇时间， 即先求甲在 BC 段的函数关系式，再求 出 BC 和 OD 的交点坐标即可．

⎧5 = 15k + b

1 1 1 1

⎧

1 k = 9

解得 ⎨

⎪ 1 3

10

x+ 9

3

当 y=6 时，有：6= 1 10

x+ ，解得 x=24．

9 3

∴比赛进行到 24min 时，两人第一次相遇．

（2）设 y OD =kx ，将（24，6）代入得：6=24k, ∴k =

1

4

∴y OD =

1

x

当 x=48 时，y OD =

1

4

×48=12

∴比赛全程为 12km ．

（3）当 33≤x ≤43 时，设 y BC =k 2x+b 2，将（33，7）和（43，12）代入得： ⎨⎧7 = 33k + b ⎩12 = 43k + b ⎪⎪ 2 2

⎪b = - 19 ∴y BC = 1

⎪⎪ y = x - ⎧ x = 38 1 y = x ⎪ 2 • （ ⎧

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2 2

2 2

⎧

1 k = 解得 ⎨

⎪⎩ 2 2

19

x － 2 2

⎧

∴ ⎨ ⎪ y = ⎪⎩ 1

19 2 2 ⎪

4

解得 ⎨ 19

∴比赛进行到 38min 时，两人第二次相遇．

【点评】解答图像应用题的要领是从图像的形状特点、变化趋势、相关位置、相关数据出发， 充分发掘图像所蕴含的信息，利用函数、方程（组）、不等式等知识去分析图像以解决问题． 例 3 （2006，贵州铜仁）铜仁某水果销售公司准备从外地购买西瓜 31t ，柚子 12t ，现计划 租甲，乙两种货车共 10 辆，将这批水果运到铜仁，已知甲种货车可装西瓜 4t 和柚子 1t ，乙种货 车可装西瓜，柚子各 2t ．

（1）该公司安排甲，乙两种货车时有几种方案？

（2）若甲种货车每辆要付运输费 1800 元，乙种货车每辆要付运输费 1200 元， 则该公司选 择哪种方案运费最少？最少运费是多少元？

【解答】 1）设安排甲种货车 x 辆，则安排乙种货车为（10－x ）辆，依题意，得 ⎨4x + 2(10- x) ≥ 31

⎩ x + 2(10- x) ≥ 12

解这个不等式组，得 5.5≤x ≤8．

∵x 是整数，∴x 可取 6，7，8．

即安排甲，乙两种货车有三种方案： ①甲种货车 6 辆，乙种货车 4 辆 ②甲种货车 7 辆，乙种货车 3 辆 ③甲种货车 8 辆，乙种货车 2 辆

（2）设运费为 y 元，则 y=1800x+1200（10－x ）=600x+12000． ∴当 x 取 6 时，运费最少，最少运费是：15600 元．

【点评】本例需要考生构建一元一次不等式和一次函数来解决实际问题，以考查学生运用综 合知识，分析、解决问题的能力．

◆强化训练 一、填空题

1．（2006，绍兴）如图所示，一次函数 y=x+5 的图像经过点 P （a ，b ），

Q （c ，d ），• a （c －d ）－b （c －d ）的值为______．