第八章经典力学的哈密顿理论之一

第八章经典力学的哈密顿理论一．正则坐标和哈密顿函数

二．三种不同形式的哈密顿动力学方程

1．哈密顿正则方程

2．哈密顿原理

3．哈密顿-雅可比方程

一．正则坐标和哈密顿函数

为表述空间的位置，引入坐标。

常用坐标：（1）直角坐标；（2）平面极坐标；（3）柱坐标；（4）球坐标等

功能：（1）用三个坐标值表示空间的一点的位置

（2）确定空间一组相互正交的单位矢量

（有了单位矢量，任何一个有方向的力学量都可以统一用这组矢量表示）区别：（1）直角坐标与物体的运动无关，使固定不变的

（2）曲线坐标的单位矢量是随着质点所在的位置而改变的，

（3）自然坐标由质点的速度方向决定坐标

5．变分问题的欧拉方程

（1）第一性原理：

在力学中起“几何公理”作用，可以由它推导出全部力学定律得原理或假设称为第一性原理例如：牛顿定律为第一性原理，以牛顿定律作为第一性原理建立的牛顿力学或称为经典力学体系最容易理解。

但是，牛顿定律不是唯一的作为第一性原理的理论！

1788年拉格朗日发表的《分析力学》以虚功原理为第一性原理。

目前许多教材以达朗贝尔原理为第一性原理。

最小作用量原理：整个物理学的第一性原理（2）变分法：

变分符号：

（4）变分的意义： 微分和变分是不同的，

（vi ） 我们把相差甚微的C 与C '之间的差称为变分。用δ表示，以区别来自同一曲线轨道上由于自变数微小变化而引起的差异的微分符号 d 。

（i ）曲线 C （实线）是S 维空间中的一条曲线，且质点遵循

运动定律运行时的轨道，即动力轨道或称为真实的轨道。 （ii ）C '曲线为邻近C 的一条曲线，但不是质点的动力轨道，唯 C 和C '的两个端点 ()111P P t t == 和()222P P t t == 相同。 （iii ）设质点M 沿C 运动，而想象另一个质点

M '沿 C '

运动，它们同时自 ()111P P t t ==点出发，同时到达

()222P P t t ==。

11()P t t =

()22P t t =

P '

Q '

C

Q

C '

但是：

()()()()22dq dq dt d q dq d t d q dt dt dt dt dt αααααδδδδδ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭

所以一般情况下，

δ

与d

dt

不对易，若0t δ=则：

P Q Q '→→ P P Q ''→→

()()1

P Q P P Q Q P Q q dq q dq q q d q dq ααααααααδδ'

→→'

'

→→+++=+++14243142431444424444314444244443 dq d q dq dq q q q q ααααααα

αδδδδ+++=+++

dq d q ααδδ=

即 d 与

δ 对易！

11()P t t =

()22P t t =

P '

Q '

C

Q

C '

()d d

q q dt dt

ααδδ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 这种情况称为等时变分，而δ

与d

dt

不对易的变分称为全变分或不等时变分。 （5）泛函数的变分： 问题：最速落径问题

铅直平面内，所有连接两个定点 A 和 B 的曲线中，找出一条

使初始速度为零的质点在自力作用下自 A 无摩擦下滑时以最

短时间到达B 。 泛函数：如果 ()y x 是 x 的函数，则

()J y x ⎡⎤⎣⎦ 称为函数

()

y x 的泛函数。 质点

A 沿光滑曲线()y x 自由下落时，速度v 与y 的关系为：

2v gy =

例2．求悬链方程：

令： 21f y y '

=+

A ，

B 点在同一个水平面内，最低点为：()0,a

势能最小 0V δ=

()()()

2221B A B A x x x x V gyds ds dx dy gy y dx

ρρ==+'=+⎰⎰