第5课时 直角三角形相似的判定
【数学课件】相似三角形的判定
那么唯一的工具就是“平行则相似” 于是必须构造平行，但平行线该画
在哪里呢？ 联想到全等与相似的关系，使所作
的平行线一举两得。
判定1的基本运用
△ABC和△A´B´C´中，∠C=50°，∠A´=55° ， ∠B=∠B´=75°，这两个三角形相似吗？
任意的两个等边三角形是否相似？等腰呢？ 怎样的两个等腰三角形才相似呢？试证明你的结
求证(1) △BAE∽△ACE (2) AB•CE=AC•DE
(3) AB²:AC²=BE:CE
利用判定1得到相似，再由 相似得到线段的比例式和等 积式。
判定1的提高运用
如图，Rt△ABC中，CD是斜边上的高。 (1) 找出图中所有的相似三角形，并说明理由。
(2) 证明：AC²=AD•AB
(3) 由(2)的结论，你能找到其它类似的结论吗？并证明之。 (4) 在原图中，E为BC上任意一点，EF⊥AB于F，求证：
Tips： 1、相似得到比例，再由比例得 到另一组相似 3、采用逆向分析，根据已知条 件分析思路，选用合适的判 定定理
判定定理2、3的提高运用
如图，在△ABC中，∠C=60°，BE⊥ AC于E， AD⊥ BC于D。求证： ∠ CED＝ ∠ CBA
AC²=AD•AF+CD•EF
E
F
直角三角形中的常用结论
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形 和原三角形相似。
射影定理： AC²=AD•AB BC²=BD•BA CD²=AD•BD
全等与相似判定方法的类比
全等三角形的判定方法？
(1)ASA:∠A=∠A′,∠B=∠B′,AB：A`B`=1， 则 △ABC≌△A`B`C`。
三角形的相似判定方法可以由全 等判定方法进行类比得出
天元区第一中学九年级数学上册第22章相似形22.2相似三角形的判定第5课时判定两个直角三角形相似教案
22.2 相似三角形的判定第5课时判定两个直角三角形相似教学目标【知识与技能】使学生了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用.【过程与方法】1.类比证明两个直角三角形全等的方法,继续渗透和培养学生对类比思想的认识和理解.2.通过了解定理的证明方法培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力.【情感、态度与价值观】通过学习培养学生类比的意识,了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点.重点难点【重点】直角三角形相似定理的应用.【难点】了解直角三角形相似判定定理的证题方法与思路.教学过程一、复习引入师:我们学习了几种判定三角形相似的方法?学生回答:5种.师:哪5种?教师找一名学生回答,另一名或两名学生补充完善.师:其中判定定理1、2、3的证明思路是什么?生:作相似证全等或作全等证相似.师:同学们还记得什么是“勾股定理”吗?生:记得.师:请你叙述一下.学生回答.二、共同探究,获取新知1.推理证明.师:判定两个直角三角形是否全等时,除了用那些一般的方法外还可以用“HL”的方法,那么判定两个直角三角形相似是否也有类似的方法呢?教师多媒体课件出示:如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,=,判断Rt△ABC与Rt△A'B'C'是否相似,为什么?师:已知一个直角三角形的斜边、一条直角边与另一个直角三角形的斜边、一条直角边对应成比例,你能判断这两个直角三角形是否相似吗?学生思考、讨论后回答.师:我们知道了哪些条件?生甲:两个直角对应相等.生乙:两边对应成比例.师:你再添加什么条件就能证出这两个三角形相似呢?生:还有剩下的一边也是对应成比例的.师:为什么要这样添加呢?生:因为添加了这个条件,就可以根据三边对应成比例的两个三角形相似判定这两个三角形相似了.师:那么你怎么证明它们也是对应成比例的呢?学生思考.生:设==k,则AB=kA'B'.AC=kA'C'.根据勾股定理BC可以用含AB、AC的式子表示,进而可以用含A'B'的式子表示,再用勾股定理就得到BC=kB'C',所以就得到了三边对应成比例,这两个三角形相似.师:你回答得太好了!现在请同学们写出具体的步骤,然后与课本上的对照,将不完善的地方改正.学生证明并修改.证明:设==k,则AB=kA'B',AC=kA'C'.∵BC===k=kB'C',∴===k,∴△ABC∽△A'B'C'.师:所以我们得到了判定两个直角三角形相似的一个定理:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.2.例题.教师多媒体课件出示:【例】如图,∠ABC=∠CDB=90°,CB=a,AC=b.问当BD与a、b之间满足怎样的函数表达式时,以点A、B、C为顶点的三角形与以点C、D、B为顶点的三角形相似?解:∵∠ABC=∠CDB=90°,当=时,△ABC∽△CDB.即=,BD=.又当=时,△ABC∽△BDC,即=,CD=.BD2=a2-()2,BD=.答:当BD=或BD=时,以点A、B、C为顶点的三角形与以点C、D、B为顶点的三角形相似.三、练习新知师:请同学们看课本84页练习1后回答.生甲:△ABF和△ACE.生乙:△EDB和△FDC.师:下面请同学们完成第2题.证明:(1)∵△ADC和△ACB是直角三角形.∴∠A+∠ACD=90°,∠BCD+∠ACD=90°,∴∠A=∠BCD(同角的余角相等),又∠ADC=∠CDB=90°,∴△ADC∽△CDB(两角对应相等的两个三角形相似).∴=(相似三角形的对应边成比例).∵CD2=AD·BD(比例的基本性质).(2)∴∠B=∠B(公共角),∠ACB=∠CDB,∴△ABC∽△CBD(两角对应相等的两个三角形相似).∴=(相似三角形的对应边成比例).∵BC2=AB·BD(比例的基本性质).∴∠A=∠A(公共角).∠ACB=∠ADC,∴△ABC∽△ACD(两角对应相等的两个三角形相似).∴=(相似三角形的对应边成比例).∴AC2=AB·AD(比例的基本性质).师:很好!现在请同学们看第3题.学生计算后回答,然后集体订正得到:解:(1)相似.证明如下:∵BC===6,∴==,==,∴=,∴这两个直角三角形相似.(2)相似.证明如下:∵A'B'===15,∴==,==,∴=,∴这两个直角三角形相似.四、巩固提高师:经过刚才的了解,同学们掌握得怎么样呢?让我出几道题目来考考大家.1.小明在一次军事夏令营活动中进行打靶训练,在用枪瞄准点B时要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上,如图所示,在射击时,小明有轻微的抖动,致使准星A偏离到A'.若OA=0.2m,OB=40 m,AA'=0.0015m,则小明射击到的点B'偏离目标点B的长度BB'约为( )A.3m【答案】B2.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,D是AC上一点,DE⊥AB于E点,且CD=2,DE=1,则BC 的长为( )A.2B.C.2D.4【答案】B3.在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,下列条件不能判断它们相似的是( )A.∠A=∠B'B.AC=BC,A'C'=B'C'C.AB=3BC,A'B'=3B'C'D.△ABC中有两边长为3、4,△A'B'C'中有两边长为6、8【答案】D4.如图,在△ABC中,∠C=90°,E是AC的中点,且AB=5,AC=4,过点E作EF⊥AB于点F,则AF= .【答案】第4题图第5题图5.如图,正方形ABCD的边长为4,AE=MN=2,那么当CM= 时,Rt△ADE与Rt△MNC相似.(M为BC边上的动点,N为CD边上的动点)【答案】或6.如图,长梯AB靠在墙壁上,梯脚B距墙80cm,梯上点D距墙70cm,量得BD的长为55cm,请你求出梯子的长.【答案】设梯子的长AB为xcm,由Rt△ADE∽Rt△ABC,得=,∴=,解得x=440.∴梯子的长是440cm.五、课堂小结师:直角三角形相似的判定除了本节定理外,前面判定任意三角形相似的方法对直角三角形同样适用,所以在证明两个直角三角形相似时不要忘了用证任意三角形相似的方法,在做题时要灵活选用合适的方法.在证明四条线段之间的关系时我们可以考虑证它们所在的两个三角形相似.教学反思教师在讲解例题时,应指出要使△ABC∽△CDB,应有点A与C,B与D,C与B成对应点,对应边分别是斜边和一条直角边,还可提问:(1)当BD与a、b满足怎样的关系时,△ABC∽△BDC?(答案:当=时△ABC∽△BDC,即=,BD=.因此,当BD=时,△ABC∽△BDC)(2)当BD与a、b满足怎样的关系时,△ABC与△BDC相似(不指明对应关系)?(答案:当BD=时,△ABC∽△CDB;当BD=时,△ABC∽△BDC)探索性题目是已知命题的结论,寻找使结论成立的题设,是探索充分条件,所以有一定难度,教材中为了降低难度,在例4中给了探索方向,即“当BD与a、b满足怎样的关系式时”,这种题目体现分析问题的思维方法,对培养学生研究问题的习惯有好处,教师要给予足够重视,但由于有一定的难度,只要求学生了解这类问题的思考方法,不应提高要求或增加难度.第2课时何时获得最大利润1．经历探索商品销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，感受数学的应用价值．2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值．重点会根据实际问题列出二次函数关系式，并能运用二次函数的知识求出其最大(小)值．难点分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，正确地列出二次函数关系式．一、情境导入前面我们认识了二次函数，研究了二次函数的图象和性质，由简单的二次函数y＝x2开始，然后是y＝ax2，y＝ax2＋c，最后是y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k，y ＝ax2＋bx＋c，掌握了二次函数的三种表示方式．怎么突然转到了获取最大利润呢？看来这两者之间肯定有关系．那么究竟有什么样的关系呢？我们本节课将研究有关问题．二、探究新知1．课件出示：服装厂生产某品牌的T恤衫，每件的成本是10元．根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销 5 000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件．厂家批发单价是多少时，可以获利最多？设批发单价为x(0<x≤13)元，那么(1)销售量可以表示为____________；(2)销售额可以表示为____________；(3)所获利润可以表示为____________；(4)当批发单价是____元时，可以获得最大利润，最大利润是____．分析：获利就是指利润，总利润应为每件T恤衫的利润(批发价一成本)乘T恤衫的数量，设批发单价为x元，则降低了(13－x)元，每降低0.1元，可多售出500件，则可多售出5 000(13－x)件，因此共售出5 000＋5 000(13－x)件，若所获利润用y(元)表示，则y ＝(x－10)[5 000＋5 000(13－x)]．解：(1)销售量可以表示为5 000＋5 000(13 －x)＝70 000－5 000x.(2)销售额可以表示为x(70 000－5 000x)＝70 000x－5 000x2.(3)所获利润可以表示为(70 000x－5 000x2)－10(70 000－5 000x)＝－5 000x2＋120 000x－700 000.(4)设总利润为y元，则y＝－5 000x2＋120 000x－700 000＝－5 000(x－12)2＋20 000∵－5 000＜0 ，∴抛物线有最高点，函数有最大值．当x＝12元时，y最大＝20 000元．即当销售单价是12元时，可以获得最大利润，最大利润是20 000元．2．课件出示：某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满．经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间．不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？处理方式：让学生根据上面的利润问题的解法来解决这道题．三、举例分析例 1 还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗？我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式y＝(600－5x)(100＋x)＝－5x2＋100x ＋60 000.我们还曾经利用列表的方法得到一个猜测，现在验证一下你的猜测是否正确？你是怎么做的？与同伴进行交流．因为表达式是二次函数，所以求橙子的总产量y的最大值即是求函数的最大值．所以y＝－5x2＋100x＋60 000＝－5(x2－20x＋100－100)＋60 000＝－5(x－10)2＋60 500当x＝10时，y最大＝60 500.(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系．(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60 400个以上？①当x<10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加；当x>10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而减小．②由图可知，增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵，都可以使橙子总产量在60 400个以上．例2 已知一个矩形的周长是24 cm.(1)写出这个矩形的面积S与一边长a的函数表达式；(2)画出这个函数的图象；(3)当a长多少时，S最大？解：(1)S＝a(12－a)＝－a2＋12a＝－(a2－12a＋36－36)＝－(a－6)2＋36.(2)图象如下：(3)当a＝6时，S最大＝36.四、练习巩固1．关于二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象有下列命题：①当c ＝0时，函数的图象经过原点；②当c ＞0且函数图象开口向下时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个不等实根； ③当a ＜0，函数的图象最高点的纵坐标是4ac －b24a；④当b ＝0时，函数的图象关于y 轴对称． 其中正确命题的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．二次函数y ＝x 2－8x ＋c 的最小值为0，那么c 的值等于( ) A ．4 B ．8 C ．－4 D ．163．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8 元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？五、课堂小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．用二次函数解决实际问题有哪些步骤？ 六、课外作业1．教材第49页“随堂练习”．2．教材第50页习题2.9第1～3题．本节课是应用函数模型分析与解决最大利润问题．例题中的实际问题司空见惯，但学生没有亲身经历，在上课前可以让学生利用课余时间对学校的商店做一个简单的调查，锻炼学生的实践能力．数学教学不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律．强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展.二次函数与一元二次方程的关系教学目标【知识与技能】1.掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程两根的关系.2.理解二次函数图象与x轴的交点的个数与一元二次方程根的个数的关系.3.会用二次函数图象求一元二次方程的近似根.【过程与方法】经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会二次函数与方程之间的联系，进一步体会数形结合的思想.【情感态度】通过自主学习，小组合作，探索出二次函数与一元二次方程的关系，感受数学的严谨性，激发热爱数学的情感.教学重点①理解二次函数与一元二次方程的联系.②求一元二次方程的近似根.教学难点理解二次函数与一元二次方程的联系.教学过程一、情境导入，初步认识1.一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，就是二次函数y=ax2+bx+c，当 y=0 时，自变量x 的值，它是二次函数的图象与x轴交点的横坐标 .2.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式的关系：当b2-4ac＜0时，抛物线与x轴无交点；当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点；当b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点.学生回答，教师点评二、思考探究，获取新知探究1 求抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点例1 求抛物线y=x2-2x-3与x轴交点的横坐标.【分析】抛物线y=x2-2x-3与x轴相交时，交点的纵坐标y=0，转化为求方程x2-2x-3=0的根.解:因为方程x2-2x-3=0的两个根是x1=3，x2=-1，所以抛物线y=x2-2x-3与x轴交点的横坐标分别是3或-1.【教学说明】求抛物线与x轴的交点坐标，首先令y=0，把二次函数转化为一元二次方程，求交点的横坐标就是求此方程的根.探究2 抛物线与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系思考：（1）你能说出函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点个数的情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的个数有何关系？(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的个数由什么来判断？【教学说明】抛物线y=ax2+bx+c(a ≠0)与x轴的位置关系一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况b2-4ac的值有两个公共点有两个不相等的实数根b2-4ac＞0只有一个公共点有两个相等的实数根b2-4ac=0无公共点无实数根b2-4ac＜0探究3 利用函数图象求一元二次方程的近似根提出问题：同学们可以估算下一元二次方程x2-2x-6=0的较小的根是什么？学生回答：【教学点评】x1≈-1.7.三、运用新知，深化理解1.（广东中山中考）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有两个同号的实数根D.没有实数根2.若一元二次方程x2-mx+n=0无实根，则抛物线y=-x2+mx-n图象位于（）A.x轴上方B.第一、二、三象限C.x轴下方D.第二、三、四象限3.（x-1)(x-2)=m(m＞0)的两根为α，β，则α，β的范围为（）A.α＜1，β>2B.α＜1＜β＜2C.1＜α＜2＜βD.α＜1，β＞24.二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标为(1，0)，(3，0)，则方程ax2+bx+c=0的解为 .5.(湖北武汉中考)已知二次函数y=x2-(m+1)x+m的图象交x轴于A(x1，0)，B(x2，0)两点，交y轴的正半轴于点C，且x21+x22=10.(1)求此二次函数的解析式；（2）是否存在过点D（0，-）的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，使得点M、N关于点E对称？若存在，求出直线MN的解析式；若不存在，请说明理由.学生解答:【答案】1.D 2.C 3.D 4.x1=1，x2=35.解：（1）y=x2-4x+3 (2)存在 y=x-【教学说明】一元二次方程的根的情况和二次函数与x轴的交点个数之间的关系是相互的，根据根的情况可以判断交点个数，反之也成立.四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？2.在学生回答基础上，教师点评:①求二次函数自变量的值与一元二次方程根的关系；②抛物线与x轴交点个数与一元二次方程根的个数的关系.③用函数图象求“一元二次方程的近似根”；教学反思通过本节课的学习，让学生用函数的观点解方程和用方程的知识求函数，取某一特值时，把对应的自变量的值都联系起来了，这样对二次函数的综合应用就方便得多了，从中让学生体会到各知识之间是相互联系的这一最简单的数学道理.11。
人教版相似三角形性质PPT教学课件
2. 本实验的结论是什么？
植物吸收二氧化碳，产生氧气； 植物利用二氧化碳制造氧气； 植物的光合作用吸收二氧化碳，产生氧气； 二氧化碳和阳光是影响植物生长的因素。
实 验 一
植物光合作用产生氧气，吸收二氧化碳。
实 验 二
蜡烛燃烧产生的二氧化碳是光合作用 的条件。植物利用二氧化碳制造氧气。
真实的，那就是用心去看这个世界。”
下面请同学们自渎“阅读链接”中的内 容。
海伦·凯勒
世上除了用 眼睛看世界，还 有一种内在的视 觉,那可能是更真 实的，那就是 用 心去看这个世界。
课下延伸 1. 从文中找出自己喜欢的语句或段落，抄写下 来。 2.课下阅读《假如给我三天光明》，写读后感 想。
苏教版六年级上册科学
∴BG •CG=GH •GF
F
B
G
C
5.如图,直角梯形ABCD中, AD∥BC, ∠BCD=900, 对角线AC与BD交于点O,OE⊥CD于点E, 求证:∠1=∠2
A
D
O
1
2
E
B
C
人教新课标小学语文 四年级下册第五组
学习提示
• 1、安静靠什么捉住蝴蝶？你从哪些词句看 出来的？
• 2、作者对安静捉住蝴蝶的感觉是什么？从 哪句话看出来的？
• 品评人物,深化认识 说说通过仔细阅读,你对盲女孩安静有
了怎样的认识,或者说一说你觉得她是个怎 样的孩子?
安静有生活的权利,安静可以创 造一个属于自己的缤纷世界。
我有生活的权利，我可以创造一 个属于自己的缤纷世界。
你有生活的权利，你可以创造一 个属于自己的缤纷世界。
理解句子含义的方法： 1、联系上下文。 2、抓重点词语。 3、结合课文插图。
沪科九年级数学上册第22章2 第5课时 直角三角形相似的判定
C'
B'
之间满足怎样的函数表达式时，以点A，B，C为顶点的三角形与以
点C，D，B为顶点的三角形相似？ A
b
C
分析 (1)题中已知什么？
在RT△ABC与RT△CDB中， CB=a，AC=b. (2)求证的结论是什么？△ABC∽△CDB.
不确定对应点，需分类讨论： △ABC∽△CDB或△ABC∽△BDC
a
B
D
利用“HL” 判定方法寻找
∵ BC AB2 AC2 k 2 AB2 k 2 AC2
C
B
A'
k AB2 AC2 kBC，
∴
AB AB
AC AC
BC BC
k.
C'
B'
∴ △ABC∽△A'B'C'．
你还有其它的 证明方法吗？
归纳 判定两个直角三角形相似
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角 形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.
复习回顾
能否说出我们前面学过的相似三角形的3个判定定理？
定理1：两角分别相等的两个三角形相似．
定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
定理3：三边成比例的两个三角形相似．
A
A
B
A' C B
A' C
B'
C'
B'
C'
AA
SAS
SSS
思考
两个等腰三角形一定相似吗？ 不一定相似
B
E
40°
40°
A
CD
已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AABB
三角形相似(含方法步骤)
.相似三角形及相似条件1.【基础知识】1-1三角对应相等，三边对应成比例的三角形，叫相似三角形 1-2判定定理：定理1.两个角对应相等的两个三角形相似 定理2.三边对应成比例的两个三角形相似定理3.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似1-3相似性质：相似三角形对应高的比，对应角的角平分线的比对应边的比周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方2. 【知识应用】题目要直接证明相似，边成比例或求边的比值，周长，面积的比值 方法：2-1.从问题中找出要证明的两个三角形，若没有则需作辅助线构造三角形2-2.若条件中出现角相等或平行线，垂线的，优先考虑用定理1 2-3.若条件中出现边长或边的比，则考虑定理2和定理32-4再根据所选定的定理，看还差什么条件，到已知中去找或者到图形中去找隐含条件，如对顶角，公共角，直角，公共边等从而证明出相似注意：1.写对应边比例式时，要遵循“横纵一致原则”即，横向看所有处在分子位置的边必须是属于同一个三角形，处在分母位置的边亦然，纵向看分子分母必须是一组对应边 2.在证明边成比例时，如果按步骤2-1仍然无法找到符合的三角形，则一般情况考虑用两组相似三角形，找出一个比例中间量，利用中间量证明边成比例 3.【综合应用】题目问边长3-1.看已知边和要求边同时出现在哪些三角形中，从而确定出相似的两个三角形 3-2.根据【知识应用】的方法，证明相似3-3利用对应边的比例关系，列出等式，解出所求注意：列比例关系时，一定要是对应边，再者等式两边比的先后顺序也要一致 【基础训练】1. 对应角___________，对应边_____________的三角形，叫做相似三角形.2. 如果~'''A B C A B C ∆∆，对应边6,''3,AB cm A B cm ==那么A B C ∆与'''A B C ∆的相似比为________；'''A B C ∆与A B C ∆的相似比为__________________3. A B C ∆的各边长之比为2：5：6，与其相似的另一个'''A B C ∆的最大边为18,cm 那么它的最小边为___________.4. 两个相似三角形的面积比为4：3，则相似比为_____________.5. ~''',ABC A B C ∆∆A B C ∆的三边长分别为3、4、5，'''A B C ∆的最大边长为15，则'''A B C S ∆=________.6. 下列说法正确的个数是（ ） ① 相似三角形的对应角相等，对应边相等. ② 三角形全等是相似的特殊情况；③ 全等三角形是相似比等于1的相似三角形..0A .1B .2C .3D7. A B C ∆的三边长为3：4：5，与它相似的'''A B C ∆的最短边长为6，则'''A B C ∆的周长是（ ）.12A .18B .24C .36D8.两个相似多边形的相似比是2：3，它们的面积之差是302,cm 那么它们的面积之和为（ ）2.74A cm 2.76B c m 2.78C c m 2.80D c m9.下列说法错误的是（ ）.A 两个全等的三角形一定相似 .B 两个直角三角形一定相似.C 两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例 .D 相似的两个三角形不一定全等10. ~''',ABC A B C ∆∆如果0055,100,A B ∠=∠=则'C ∠的度数等于（ ）.A 055 .B 0100 .C 025 .D 030【典型例题】例1.①已知~,ABC ACD ∆∆且5,4,AD BD ==则A C D ∆与A B C ∆的相似比是________. ②在R t A B C ∆中，D 是A C 的中点，D E 垂直于斜边,AB 点E 为垂足，则~,ABC ADE ∆∆若10,4,AB AE ==则AD =___________.1题图 2题图 3题图 4题图③如图所示，G 为A B C ∆的重心，作//D G A C 交B C 于,D 作//E G A B 交B C 于,E 则G D E ∆的面积与A C B ∆的面积比为___________.④ 如图所示，在A B C ∆中，//,DE BC 且分A B C ∆为面积相等的两个部分，则:D E B C =_. ⑤如果111~,ABC A B C ∆∆且相似比为2,3111222~A B C A B C ∆∆且相似比为5,4则A B C ∆与222A B C ∆的相似比是（ ） 5.6A 6.5B 5.6C 或658.15D例2.如图所示，已知~,4,2,ACP ABC AC AP ∆∆==求A B 的长.例3、①一个三角形的三边长分别为5，12和13，与其相似的三角形的最大边长为39，那么较大三角形的周长是多少？两个三角形的周长比是多少？②已知一个三角形框架，其边长分别为4，5，6，现在要做一个与其相似的三角形框架，已知现有一根长为2的木条，则其他两根木条应取多长？例4.已知，边长为2的正三角形,//,:1:4,BC D ABC ABC D E BC S S ∆∆=求C E 的长.例5.如图，在A B C ∆中，,AB AC =B D 为腰A C 上的高.求证：212C D C A B C ⋅=例 6.①如图，梯形A B C D 中，0//,90,A B D C B E ∠=为B C 上一点，且,A E E D ⊥若12,BC =7,:1:2,DC BE EC ==求A B 的长.②已知如图，在梯形A B C D 中，0//,90,7,2,3,AD BC A AB AD BC ∠====在线段A B 上是否存在点P ，使得以,,P A D 为顶点的三角形与以,,P B C 为顶点的三角形相似？若不存在，说明理由；若存在，求出这样的P 点有几个，并计算出A P 的长度.例7.如图所示，在A B C ∆中，090,6C AC ∠==厘米，8B C =厘米，斜边10A B =厘米，点P 从点B 出发，沿B C 向点C 以2厘米秒的速度移动，点Q 从点C 出发，沿C A 向点A以1厘米秒的速度移动，如果,P Q 分别从,B C 同时出发.（1）经过多少秒时，~;CPQ CBA ∆∆（2）经过多少秒时，以,,C P Q 为顶点的三角形与A B C ∆相似.例8.如图，一个边长为3厘米、4厘米、5厘米的直角三角形的一个顶点与正方形顶点B 重合，另两个顶点分别在正方形的两条边,AD DC 上，那么这个正方形的面积是___平方厘米.【课堂练习】1、如果~,ABC FDE ∆∆则A ∠=_________,C ∠=_______，A B B C=___________.2、如图，~,10,13,8,ABC DCA AB BC AC ∆∆===则AD =_____,D C =______.3、如图A D 是A B C ∆的角平分线，,,12,20,BE AD CF AD CF BE ⊥⊥==64,AB AC +=则A B =_______.2题 3题4、直角三角形斜边上的高分斜边为3:2两段，斜边上的高为6,cm 则斜边上的中线长为____.5、已知~''',ABC A B C ∆∆且:''1:1,AB A B =则A B C ∆和'''A B C ∆的关系是________.6、已知~,ABC DEF ∆∆且3,2A B D E=则这两个三角形对应中线之比为________，面积之比为__________.7、在A B C ∆中，12,8,AB cm AC cm ==点,D E 分别在,AB AC 上，如果AD E ∆与A B C ∆能够相似，且4A D cm =时，则A E =______________cm .8、E 是平行四边形A B C D 的B C 边上一点，A E 交B D 于,F 且:4:5,BE EC =求B F F D和A F F E的值.9、在锐角A B C ∆中，F 是A C 上一点，且1,2A F G F C=是B F 中点，连结A G 并延长，交B C与.E （1）求B E E C的值。
相似三角形的判定AA课件
3、已知等腰△ABC和△A′B′C′中, ∠A、∠A ′ 分别是顶角,求证:
如果∠A=∠ A′, 那么△ABC∽△A′B′C′;
如果∠ B=∠B ′ (或
用一用
1、有一个锐角对应相等 的两个直角三角形相似 吗?为什么?
2、顶角相等的两个等腰三角 形是否相似?为什么?
议一议 根据上面的实践,回答下列问题:
１、由上面的实验说明了什么？
2、如果两个三角形有若干个角对应 相等，那么至少需要几个角对应相 等就能保证两个三角形相似呢？为 什么?
只有一对角对应相等的三角形不一定相似。
至少两对角对应相等就能 保证三角形相似。
猜一猜
如果一个三角形的两个角与另一个
三角形的两个角对应相等，那么这两个 三角形相似.
例题１ ∠B=80°，∠E=80°，∠F=80°．
求证：△ABC∽△DEF．
证明: ∵在△ABC中,∠A=40°.∠B=80°, ∴∠C=180°-40°-80°=60°. ∵在△DEF中,∠E=80°,∠F=60°. ∴∠B=∠E, ∠C=∠F.
∴△ABC∽△DEF (两角对应相等， 两三角形相似.)
实践出真知
画一个△ ABC,使得∠BAC =600.与同伴交流,你们 画得三角形相似吗?
与同伴合作，一人画△ ABC, 另一人 △A′B′C′, 使得∠A和∠A′都有等于给定的 ∠α(如300), ∠B和∠B′都等于给定的∠β (如450), 比较你们画的两个三角形,一个三角形的三个角分 别与另一个三角形的三个角对应相等吗?用刻度尺 量两个三角形的对应边，看看两个三角形的对应边 是否成比例?你能得出什么结论?它们相似吗?
∴△ABC∽△ A′B′C′.
三角形相似判定定理１
直角三角形相似
E
F
B
D
要证明AB•AF＝AC•AE，只要证明 ΔACF∽ΔＡＢＥ
证明
(1) C是 D 斜 A上 B边 的高 又 ∠CAE=∠EAB
AD A FC 9E 0 又 A A E D AA FC
ΔACF∽ΔABE
AE AC AF AD
AC AF AB AE
ΔAEC∽ΔAFD
AB•AF=AC•AE
直角三角形相似
初三数学组
序言
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AB
则△ABC≌ △A'B'C'
3）(SSS)
若
AB BCCA 1 A B BC C A
沪科版数学九年级上册22.2第5课时直角三角形相似的判定定理 课件(共16张PPT)
相似图形三角形的判定方法：通过定义（三边对应成比例，三角相等）. 平行于三角形一边的直线. 两角分别相等. 两边对应成比例且夹角相等. 三边对应成比例. 两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例.
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
拓展提升
1.已知在Rt△ABC中,CD⊥AB垂足为D,DF⊥AC,DG⊥BC, F，G分别为垂足.求证:CF·CA=CG·CB.证明：∵CD⊥AB,DF⊥AC, ∴CD²=CF·CA, ∵CD⊥AB,DG⊥BC, ∴CD²=CG·CB, ∴CF·CA=CG·CB.
◆三边对应成比例两三角形相似.
◆两边对应成比例并且夹角相等，两三角形相似.◆两角对应相等，两三角形相似.
创设情境
观察两副三角尺如图，其中同样角度(30°与60°，或45°与45°)的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的．一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？对于直角三角形，类似于判定三角形全等的HL方法，我们能不能通过两边来判断两个三角形相似呢？
第22章 相似形
22.2 相似三角形的判定
第5课时 直角三角形相似的判定定理
学习目标
学习重难点
重点
Байду номын сангаас难点
1.掌握直角三角形相似的判定.2.能熟练地运用直角三角形相似的判定定理.
直角三角形相似的判定方法，并能利用其解决相关问题.
直角三角形相似的特殊判定方法的证明方法.
回顾复习
1.全等三角形的判定方法有哪些？SSS,SAS,ASA,AAS,HL2.我们学过的相似三角形的判定有哪些？◆平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交，所得三角形与原三角形相似.
第5课时-直角三角形相似的判定方法
第5课时-直角三角形相似的判定方法4．如图22－2－30，已知△ABC与△ADE 中，∠C＝∠AED＝90°，点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC与△DAE相似的是()A．∠B＝∠DB. ABAC＝ADDEC．AD∥BCD. BCAC＝ADDE图22－2－305．现有下列说法：①所有的直角三角形都相似；②所有的等腰直角三角形都相似；③有一个锐角相等的两个直角三角形相似；④有两边成比例的两个直角三角形相似．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图22－2－31，已知AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，C是线段BD的中点，且ED ＝1，AC＝2 5，BD＝4.求证：△ABC∽△CDE.图22－2－31知识点3相似直角三角形在测量中的应用7．如图22－2－32，为估算某河的宽度，在河的对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20 m，EC＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB 等于()A．60 m B．40 mC．30 m D．20 m图22－2－328．为了测量校园内一棵树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图22－2－33所示的测量方案．把镜子放在离树(AB)8.7 m 的点E处，然后观测者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2.7 m，观测者目高CD＝1.6 m，则树高AB约是________m(精确到0.1 m)．图22－2－339．如图22－2－34是一个常见铁夹的侧面示意图，铁夹的侧面是轴对称图形，OA，OB表示铁夹的两个边，点C在轴线上，CD⊥OA于点D，已知AD＝15 mm，OD＝24 mm，CD＝10 mm，请求出A，B两点间的距离．图22－2－3410．如图22－2－35，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找到一点N(不与点A，B重合)，使得△CDM与△MAN相似？若能，找到点N的位置；若不能，请说明理由．图22－2－3511．在△ABC与△DEF中，∠C＝∠E＝90°，AC＝5，AB＝13，DF＝26，要使△ABC 与△DEF相似，DE的长可以是多少？12．如图22－2－36①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与点A，B重合)，分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把点E 叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：(1)如图①，∠A ＝∠B ＝∠DEC ＝45°，试判断点E 是不是四边形ABCD 的边AB 上的“相似点”，并说明理由；(2)如图②，在矩形ABCD 中，已知AB ＝2 3，BC ＝3，M 是AD 边上的一点，将矩形ABCD 沿CM 折叠，点D 恰好落在AB 边上的点E 处．求证：点E 是四边形ABCM 的边AB 上的一个“强相似点”．图22－2－361．10 [解析] 由A′B′15＝812，解得A′B′＝10. 2．A [解析] 假设△ABC ∽△CAD ，则CD AC＝AC AB ，即CD b ＝b c ，解得CD ＝b 2c.∴如果△ABC ∽△CAD ，那么CD ＝b 2c.故选A . 3．证明：∵AC·CD ＝BC·AD ，∴AC BC ＝AD CD. ∵CD 为△ABC 的高，∴∠ADC ＝∠CDB ＝90°，∴Rt△ACD∽Rt△CBD，∴∠ACD＝∠B.又∵∠DCB＋∠B＝90°，∴∠DCB＋∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°.4．D[解析] D项中，一个是直角三角形的两条直角边，一个是直角三角形的斜边和直角边．它们不符合直角三角形相似的判定定理．5．B6．[解析] 要证明△ABC与△CDE相似，通过已知并结合图形，观察可知这两个三角形已经具备一对对应角相等，即∠B＝∠D＝90°，那么再由已知条件求出两条直角边对应成比例即可．证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°.又∵C是线段BD的中点，BD＝4，∴BC＝CD＝2.∵AC＝2 5，BC＝2，∴AB＝AC2－BC2＝4，∴AB∶CD＝BC∶DE＝2∶1，∴△ABC∽△CDE.7．B8．5.2 [解析] 由CD⊥BD，AB⊥BE，得∠CDE＝∠ABE＝90°.由光的反射原理可知∠CED＝∠AEB，所以△CED∽△AEB，再利用对应边成比例就可以求出树高AB.9．解：如图，连接AB，同时连接OC并延长交AB于点E.∵铁夹的侧面是轴对称图形，∴直线OE是其对称轴，∴OE⊥AB，AE＝BE.∵∠COD＝∠AOE，∠CDO＝∠AEO＝90°，∴Rt△OCD∽Rt△OAE，∴OCOA＝CDAE.又∵OC＝OD2＋CD2＝242＋102＝26，∴2624＋15＝10AE，解得AE＝15(mm)，∴AB＝2AE＝30 mm.答：A，B两点间的距离为30 mm. 10．解：能找到．分两种情况讨论：①若△CDM∽△MAN，则DMAN＝CDAM.∵正方形ABCD的边长为a，M是AD的中点，∴CD＝a，DM＝AM＝a 2，∴AN＝1 4a.②若△CDM∽△NAM，则CDAN＝DMAM.∵CD＝a，DM＝AM＝a 2，∴AN＝a，即点N与点B重合，不合题意，舍去．综上可得，能在边AB上找到一点N(不与点A，B重合)，使得△CDM与△MAN相似．当AN＝14a时，点N的位置满足条件．11．解：若△ABC∽△DFE，则ABDF＝ACDE，即1326＝5DE，解得DE＝10；若△BAC∽△DFE，则ABDF＝BCDE，即1326＝132－52DE，解得DE＝24.综上可得，DE的长可以是10或24.12．解：(1)点E是四边形ABCD的边AB 上的“相似点”．理由如下：∵∠DEC＝45°，∴∠AED＋∠BEC＝135°.∵∠A＝45°，∴∠ADE＋∠AED＝135°，∴∠ADE＝∠BEC，∴△ADE∽△BEC，∴点E是四边形ABCD的边AB上的“相似点”．(2)证明：由题意可知DM＝EM，EC＝CD ＝AB＝2 3，∠A＝∠B＝∠MEC＝90°.由勾股定理，得BE＝CE2－BC2＝（2 3）2－32＝ 3.则AE＝ 3.∵∠A＝∠B＝∠MEC＝90°，∴∠AEM＋∠AME＝90°，∠AEM＋∠BEC＝90°，∴∠AME＝∠BEC.又∵∠A＝∠B，∴△AEM∽△BCE，∴AMBE＝AEBC，即AM3＝33，解得AM＝1.由勾股定理，得EM＝2.∵AEAM＝3，ECEM＝3，∴AEAM＝ECEM，即AEEC＝AMEM.又∵∠A＝∠CEM，∴△AEM∽△ECM.又∵△AEM∽△BCE，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴点E是四边形ABCM的边AB上的一个“强相似点”．。
相似三角形的判定(AA)PPT课件
AC ADCD BC CD BC AC ADCD AB AC BC BCBD AC AB BC CD
例：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，E是AC的中点，
过E作MN交AD于M，交BC于N，⑴求证：AM=CN；⑵若
∠CEN=90°，EN:AB=2:3，EC=3，求BC的长。
？
HL
-
3
观察你与老师的直角三角尺 (30O 与60,O会) 相似吗？
这两个三角形的三个内角的大小 有什么关系？
相
三个内角对应相等。
似
三个内角对应相等的两个三角形 一定相似吗？
已知:如图△ABC和△A’B’C’中 ,∠A=∠A’ ，∠B＝∠B’ .
求证:△ABC∽△A’B’C’.
证明:在△ABC的边AB上截取AD=A’B’ 过点D作DE∥BC交AC于点E.
思 考: 如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它
们是否一定相似？
-
6
相似三角形的判定
用数学符号表示：
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
B (两个角分别对应相等的两个三角形相似)
A
A'
C B' C'
例题欣赏
例1 如图所示，在两个直角三角形 A △ ABC 和 △ A′B′C′ 中 ， ∠ B＝∠B′＝ 90°，∠A＝∠A′，判断这两个三角形 A' 是否相似．
A C D C B D , B C B D C D ; C B D A B C , B C C D B D ,
A CC DA D
A BA CB C
A C D A B C , A C C D A D .
3.3 (第五课时)相似三角形的判定3(SAS)
A
P
B
C
中考 试题
例2 已知ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，
△DEF的一边长为4cm，当△DEF的另两边长是下列哪一
组时，这两个三角形相似（ C A. 2cm，3cm； C. 5cm，6cm；
）. B. 4cm，5cm； D. 6cm，7cm .
又 ∵∠A=∠A，
∴ △ADE∽△ACB．
例3.已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点，连结 CP．试增添一个条件使△ ACP∽△ABC． 【解析】 ⑴∵∠A=∠A， ∴当∠1= ∠ACB (或∠2= ∠B)时, P B 1 2 C
A
△ACP∽△ABC .
⑵ ∵∠A=∠A， ∴当AC:AP＝AB:AC时， △ ACP∽△ABC. 答：增添的条件可以是
数形结合
∴△ABC∽△ A B C .
2. 已知在Rt△ABC与Rt△ A B C 中，∠C =∠C′= 90°， AB=6cm，AC=4.8cm，A B =5cm，B C =3cm. 求证：△ A B C ∽△ABC.
证明： AB = 6 , AC = 4.8 = BC与Rt△ A B C 中，∠C =∠C′= 90°， AC=3cm，BC=2cm， C = 4.2cm，B C = 2.8cm. A 求证：△ A B C ∽△ABC.
∵ 证明： AC = 5 , BC = 5 . A C 7 B C 7 C = C = 90 ,
AC 3.5 D F E F . AC BC BC 2.5
∠F=∠C， ∠F是边FD与FE的夹角， ∠C是边CA与CB的夹角，
初三-相似三角形的判定
知识精要一、相似三角形的概念一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
对应边的比值叫做相似比。
即△AB C ∽△DEF ，我们可以得到：【注意事项1、2、】相似具有连贯性：即两个三角形分别与第三个三角形相似，那么这两个三角形也相似。
相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
（∥） 【请用所上节课所学习的知识+定义证明】基本图形之一：(请添加条件，使之相似)2、判定定理:(1)如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两三角形相似。
已知：∠A=∠A ’ ;∠B=∠B ’ 求证：△ABC ∽△A ’B ’C ’CBB'基本图形之二：(请给图标上字母，并写出所有的相似三角形)角1=角221角1=角221（2）如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两三角形相似。
已知：∠A=∠A ’ ;''''AB ACA B A C求证：△ABC ∽△A ’B ’C ’ CBB'基本图形之三：(请给图标上字母及条件，并写出所有的相似三角形)（3）如果一个三角形的三边与另外一个三角形的三边对应成比例，那么这两三角形相似。
（4）直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个三角形的斜边及直角边对应成比例，那么这两直角三角形相似。
（HL）【自己画图，写出已知、求证，并证明】【二、相似三角形的性质1、性质一：相似三角形对应角相等，对应边成比例相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比及周长比都等于相似比。
【要求自行证明】、【总结】2、性质二：相似三角形的面积的比等于相似比的平方 【自行证明】热身练习1、下列条件中，不能判断ABC ∆与DEF ∆相似的是（ ） A ．∠A=50°，∠B=70°，∠D=50°，∠F=70°B ．2,3AB BC ==,∠B=40°，4,9DE EF ==,∠E=40° C ．4,5,6,6,7.5,9AB BC AC DE EF DF ======D ．,AB AC =∠A=50°，DE DF =,∠E=50°2、下列命题正确的是（ ）A ．有一个角是40°的两个等腰三角形B ．有一个角是100°的两个等腰三角形C ．面积相等的两个直角三角形D ．两边之比为3:5的两个直角三角形3、如图：△ABC 中，∠ACB=90°,C D ⊥AB,垂足为D ，且 2.5,0.9AD cm DB cm ==，求： （1）CD 的长 （2）:ACD CBD S S ∆∆BD A4、如图：D 是△ABC 的AB 边上一个动点，D E ∥BC 交AC 于E ，D F ∥AC 交BC 于F ，已知AD:DB=1:2，求三角形ADE 、三角形DBF 、平行四边形DFCE 的面积之比BDA5、如图：平行四边形ABCD 中，E 是BA 延长线上一点，EC 交AD 于F ，已知:1:2EA AB =,2AEF S ∆=,求平行四边形ABCD 的面积BD6、梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，已知9,25AOF COB S S ∆∆==,求梯形ABCD 的面积CB7、已知梯形的两底边长分别为4和6，高是3，求梯形两腰的延长线的交点到较长底边的距离 【要求自己画图】精解名题1、已知等腰三角形ABC 中，AB=AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，且满足2AB DB CE =⋅(1)求证：△ADB ∽△EAC(2)若∠BAC=40°，求∠DAE 的度数B D2、已知G 是△AB C 的重心，且在中线AD 上，延长AD 到H ，使得DH=GD ，K 是BG 的中点 求证：△FK G ∽△GHC【析】注意从对应点所给于的信息。
相似三角形
相似三角形的判定--知识讲解【要点梳理】要点一、相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k 就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A 的对应点是A ′，点B 的对应点是B ′，点C 的对应点是C ′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的判定定理1．判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似. 3．判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.4．判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：1、三角形相似的性质【例1】如图，AD 是△ABC 的高，AD=h ，点R 在AC 边上，点S 在AB 边上，SR ⊥AD ，垂足为E.当SR=12BC 时，求DE 的长.如果SR=13BC 呢？练 1.△DEF ∽△ABC ，若相似比k ＝1，则△DEF ______△ABC ；若相似比k ＝2，则ACDF______，EFBC______． 练 2.若△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为k 1；△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，且相似比为k 2，则△ABC ______△A 2B 2C 2，且相似比为______．【例2】如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15 cm ．他准备了一支长为20 cm 的蜡烛，想要得到高度为5 cm 的像，蜡烛应放在距离纸筒多远的地方？练3.如图，AB 和CD 表示两根直立于地面的柱子，AD 和BC 表示起固定作用的两根钢筋，AD与BC 的交点为M ．已知AB = 10 m ，CD = 15 m ，求点M 离地面的高度MH ．练4.△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD 和A ′D ′是它们的对应角平分线．已知AD = 8 cm ，A ′D ′= 3 cm ，求△ABC 与△A ′B ′C ′对应高的比.2．相似三角形面积的比、周长比【例3】如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为 2，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比是多少？面积比呢？如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，那么你能求△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比和面积比吗？练5.等腰三角形ABC 的腰长为12，底的长为10，等腰三角形A′B′C′的两边长分别为5和6，且△ABC ∽△A′B′C′,则△A ‘B ′C ′的周长为（）。
22.2第5课时直角三角形相似的判定课件
故当 AB＝3 时，Rt△ABC∽Rt△ACD.
小林给出的解法你认为正确吗？为什么？若不正确，请给
出正确的解答过程．
22.2 第5课时 直角三角形相似的判定
解：不正确，考虑问题不全面，丢掉了一种情况．正确的解答过 程如下： 分两种情况考虑： (1)在 Rt△ABC 和 Rt△ACD 中， 若 Rt△ABC∽Rt△ACD，则AACB＝AADC， ∴AB6 ＝ 26，解得 AB＝3.
判定 思路
顶角相等， 等腰三角形，找一对底角相等，
底和腰对应成比例
22.2 第5课时 直角三角形相似的判定
几 种 常 见 的 图
注：对于第5条双垂图中有：①AB2＝BD·BC； 形 ②AC2＝CD·BC；③AD2＝BD·CD.
但对于第6条中仅有AC2＝CD·BC
22.2 第5课时 直角三角形相似的判定 反思
图22－2－14
22.2 第5课时 直角三角形相似的判定
[解析] 要说明△ABC与△CDE相似，通过已知并结合图形， 观察可知这两个三角形已经具备一对对应角相等，即∠B ＝∠D＝90°，那么再求出斜边和一条直角边对应成比例 即可．
22.2 第5课时 直角三角形相似的判定
解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°. 又∵C 是线段 BD 的中点，BD＝4， ∴BC＝CD＝2，∴CE＝ CD2＋DE2＝ 5. ∵AC＝2 5，BC＝2， ∴AC∶CE＝BC∶DE＝2∶1， ∴Rt△ABC∽Rt△CDE.
22.2 第5课时 直角三角形相似的判定
解：(1)Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.理由如下：
∵AA′CC′＝174＝2，BB′CC′＝63＝2，∴AA′CC′＝BB′CC′. 又∵∠C＝∠C′＝90°，∴△ABC∽△A′B′C′.
相似三角形的判定及有关性质复习 课件
(4)直角三角形相似的判定定理 定理1：如果两个直角三角形有一个锐角相等，那么它 们相似. 定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例， 那么它们相似. 定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另 一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那 么它们相似.
4.相似三角形的性质
性质定理1：相似三角形对应角相等，对应边成比例. 性质定理2：相似三角形对应边上的高、中线和它们的 周长的比都等于相似比. 性质定理3：相似三角形的面积比等于相似比的平方. 性质定理4：相似三角形外接圆或内切圆的直径比、周 长比等于相似比，外接圆或内切圆的面积比等于相似 比的平方.
题型一 构造法 添加辅助线是平面几何解决问题最常用的手段，添加辅 助线的目的是构造平行线、或三角形、或三角形的相似等 结构.
例 1 如图，梯形 ABCD 中，AB∥CD，CE 平分∠BCD，CE⊥AD 于 E，DE＝2AE， 若△CED 的面积为 1，求四边形 ABCE 的面积.
解 延长 CB，DA 交于点 F，又 CE 平分∠BCD，CE⊥AD. ∴△FCD 为等腰三角形，E 为 FD 的中点. ∴S△FCD＝12FD·CE＝12×2ED×CE＝2S△CED＝2，EF＝2AE. ∴FA＝AE＝14FD.又∵AB∥CD，∴∠FBA＝∠FCD， ∠FAB＝∠D，∴△FBA∽△FCD.∴SS△△FFCBDA＝FFAD2＝142＝116， ∴S△FBA＝116×S△FCD＝18. ∴S 四边形 ABCE＝S△FCD－S△CED－S△FBA＝2－1－18＝78.
1.平行线等分线段定理 (1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那 么在任一条(与这组平行线相交)直线上截得的线段也相等 推论1：经过三角形一边的中点且与另一边平行的直线必平 分第三边. 推论2：经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另 一腰. (2)中位线定理 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等 于它的一半. 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底 和的一半.
相似三角形的判定课件优秀课件
相似三角形的对应边成比例，对应 角相等，面积比等于相似比的平方。
判定条件
02
01
03
两角分别相等的两个三角形相似。 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 三边成比例的两个三角形相似。
相似比与相似度
相似比
相似三角形的对应边之间的比值称为 相似比。
相似度
用来衡量两个三角形相似的程度，通常 用相似比来表示。相似度越高，两个三 角形越相似。
THANK YOU
感谢聆听
构建相似三角形，利用比例关 系求解线段长度。
应用勾股定理和相似三角形的 性质，求解直角三角形中的线 段长度。
求解角度问题
利用相似三角形的对应角相等，通过已知角度求解未 知角度。
通过构建相似三角形，利用角度之间的和、差、倍、 半关系求解角度问题。
结合三角形的内角和性质，利用相似三角形求解复杂 的角度问题。
直角三角形相似判定
对于两个直角三角形，如果它们的一个锐角相等，则这两个三角形相似。这是因为直角三角 形的锐角决定了其余两个角的大小，因此一个锐角相等就意味着三个角都相等。
等腰三角形相似判定
对于两个等腰三角形，如果它们的顶角相等，则这两个三角形相似。这是因为等腰三角形的 顶角决定了其余两个底角的大小，因此顶角相等就意味着三个角都相等。
求解面积问题
利用相似三角形的面积比等于 相似比的平方，通过已知面积 求解未知面积。
通过构建相似三角形，利用面 积之间的比例关系求解面积问 题。
结合其他几何知识，如平行四 边形的面积公式等，利用相似 三角形求解复杂的面积问题。
04
相似三角形在代数问题中应用
利用相似三角形性质解方程
通过相似三角形的对 应边成比例，将几何 问题转化为代数方程。