2020高考数学小题专练8
2020高考数学核心突破《专题八 选考部分》(含往年真题分析)
专题八选考部分第1讲坐标系与参数方程①互化：a ．极坐标与直角坐标： 极坐标(方程)ρcos θ＝x ，ρsin θ＝yρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx直角坐标(方程)b ．参数方程与普通方程：参数方程消参确定范围选参、代入、整理普通方程②探求直线或圆的极坐标方程：建立极坐标系―→设动点―→在三角形中找边角关系题型一 曲线的极坐标方程的有关问题1．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4．(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． 突破点拨(1)求得|OP |和|OM |代入|OP |·|OM |＝16即可．(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)，求面积S △OAB ，利用三角函数知识求最大值． 解析 (1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)，由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ．由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)， 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)，由题设知 |OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积 S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·sin ⎝⎛⎭⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32≤2＋3．当α＝－π12时，S 取得最大值2＋3，所以△OAB 面积的最大值为2＋3．2．已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径． 突破点拨将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，进而利用圆方程的特征配方求半径． 解析 以极坐标系的极点为平面直角坐标的原点O ，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy ．圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ－4＝0， 化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0．则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6， 所以圆C 的半径为6．题型二 曲线的参数方程的有关问题1．(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a ． 突破点拨(1)化为普通方程，列方程求点的坐标．(2)求C 上的点(3cos θ，sin θ)到直线l 的距离，利用函数知识讨论． 解析 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1．当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425． (2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17．当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917． 由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117． 由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16．综上，a ＝8或a ＝－16．2．(2017·黑龙江哈尔滨模拟)已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．突破点拨(1)先参化普，然后联立直线与圆的方程求交点．(2)以角为参数，利用已知条件求出P 点的横纵坐标，x ＝φ(α)，y ＝g (α)． 解析 (1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1，联立方程得⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点坐标分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫12，－32．(2)依题意，C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0，则A 点的坐标为(sin 2α，－sin αcos α)， 当α变化时，P 点的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)，所以P 点轨迹的普通方程为⎝⎛⎭⎫x －142＋y 2＝116． 故P 点的轨迹是圆心为⎝⎛⎭⎫14，0，半径为14的圆． 题型三 极坐标方程与参数方程的综合应用1．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π．在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ．(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值． 突破点拨(1)将曲线C 2与C 3的极坐标方程都化为直角坐标方程，联立求解．(2)根据已知条件表示出A ，B 的极坐标，再利用极径的几何意义和三角函数的知识求解． 解析 (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0．联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32．(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π．因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为()23cos α，α．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3． 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4．2．已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5, 3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值． 突破点拨(1)利用极坐标和直角坐标的互化公式求解．(2)将直线l 的参数方程中的x ，y 代入曲线C 的直角坐标方程，利用参数t 的几何意义求解．解析 (1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ．①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0．②(2)将⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t 代入②，得t 2＋53t ＋18＝0．设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义即知，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18．极坐标方程与参数方程综合问题的处理方法极坐标方程与参数方程的综合问题，一般采用分别化为普通方程的方法，利用平面解析几何的知识解决．当涉及线段长度时，也可以利用极径的几何意义和直线参数方程中参数的几何意义求解．坐标系与参数方程中的范围与定值问题【预测】 已知在平面直角坐标系中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．(1)以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求椭圆C 的极坐标方程； (2)设M (x ，y )为椭圆C 上任意一点，求x ＋2y 的取值范围． 思维导航(1)利用参普互化公式即可求解．(2)将椭圆的直角坐标方程化为极坐标方程，利用直线与椭圆的位置关系讨论求解，注意直线过圆心的特点并充分利用．规范解答(1)由椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，消去θ得x 29＋y 24＝1，即4x 2＋9y 2－36＝0．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入椭圆方程，得 4ρ2cos 2θ＋9ρ2sin 2θ－36＝0． 所以所求的极坐标方程ρ2＝364＋5sin 2θ⎝⎛⎭⎫或ρ2＝369－5cos 2θ． (2)因为点M 在椭圆C 上，所以设M (3cos α，2sin α)(α∈[0,2π))，则x ＋2y ＝3cos α＋4sin α＝5sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝34． 由于α∈[0,2π)，故x ＋2y ＝5sin(α＋φ)的最大值为5，最小值为－5，因此x ＋2y 的取值范围为[－5,5]．【变式考法】 (2017·江西九江二模)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋4cos α，y ＝4sin α(α为参数)．把曲线C 向左平移2个单位长度，再将横坐标缩短为原来的22，纵坐标缩短为原来的一半，得到曲线C 1，直线l 的普通方程是3x ＋y －2＝0，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 和曲线C 1的极坐标方程；(2)记射线θ＝π6(ρ≥0)与C 1交于点A ，与l 交于点B ，求|AB |的值．解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得直线l 的极坐标方程为3ρcos θ＋ρsin θ－2＝0，即ρ＝23cos θ＋sin θ，即ρ＝1sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3．由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋4cos α，y ＝4sin α(α为参数)化为普通方程为(x －2)2＋y 2＝16．把曲线C 向左平移2个单位长度得到曲线x 2＋y 2＝16，再将横坐标缩短为原来的22，纵坐标缩短为原来的一半，得到曲线C 1：(2x )2＋(2y )2＝16，即x 28＋y 24＝1． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得(ρcos θ)28＋(ρsin θ)24＝1．∴曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝81＋sin 2θ．(2)设A (ρ1，θ1)，联立⎩⎨⎧ρ2＝81＋sin 2θ，θ＝π6，解得ρ1＝4105． 设B (ρ2，θ2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝1sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，θ＝π6，解得ρ2＝1．∴|AB |＝|ρ1－ρ2|＝4105－1．1．(教材回归)平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 是参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝14，求直线l 的倾斜角α的值． 解析 (1)由曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，∴曲线C 的直角坐标方程是x 2＋y 2＝4x ， 即(x －2)2＋y 2＝4．(2)将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)代入曲线C 的直角坐标方程，得(t cos α－1)2＋(t sin α)2＝4，化简得t 2－2t cos α－3＝0．设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝2cos α，t 1·t 2＝－3，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4cos 2α＋12＝14， ∴4cos 2α＝2，即cos α＝±22． 又α∈[0，π)，∴α＝π4或α＝3π4．2．已知直线l的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42(t 是参数)，⊙C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4． (1)求圆心C 的直角坐标；(2)试判断直线l 与⊙C 的位置关系． 解析 (1)因为ρ＝2cos θ－2sin θ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0． 所以圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫22，－22． (2)因为直线l 的普通方程为x －y ＋42＝0，⊙C 的半径R ＝1，圆心C 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪22＋22＋422＝5，所以d >R ．所以直线l 与⊙C 相离．3．(书中淘金)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ－4sin θ＝0，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，π2，在平面直角坐标系中，直线l 经过点P ，斜率为3．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求1|P A |＋1|PB |的值．解析 (1)曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2＝4y ， 点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，π2，化为直角坐标为P (0,3)， 直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos π3，y ＝3＋t sin π3，即⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝3＋32t (t 为参数)．(2)将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得14t 2＝12＋23t ，整理得t 2－83t －48＝0，显然有Δ>0，则t 1·t 2＝－48，t 1＋t 2＝83，|P A |·|PB |＝|t 1|·|t 2|＝|t 1·t 2|＝48，|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝86，所以1|P A |＋1|PB |＝|P A |＋|PB ||P A |·|PB |＝66．4．(考点聚焦)在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2．(1)分别写出C 1的普通方程，C 2的直角坐标方程；(2)已知M ，N 分别为曲线C 1的上、下顶点，点P 为曲线C 2上任意一点，求|PM |＋|PN |的最大值．解析 (1)曲线C 1的普通方程为x 24＋y 23＝1．曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4． (2)由曲线C 2：x 2＋y 2＝4，可得其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，设P 点坐标为(2cosα，2sin α)，又由题意可知M (0，3)，N (0，－3)，因此|PM |＋|PN |＝(2cos α)2＋(2sin α－3)2＋(2cos α)2＋(2sin α＋3)2＝7－43sin α＋7＋43sin α，所以(|PM |＋|PN |)2＝14＋249－48sin 2 α． 所以当sin α＝0时，(|PM |＋|PN |)2有最大值28． 因此|PM |＋|PN |的最大值为27．5．(2017·吉林长春模拟)已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝33cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l ：ρ(cos θ－3sin θ)＝12．(1)将直线l 的极坐标方程和曲线C 的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程； (2)设点P 在曲线C 上，求P 点到直线l 的距离的最小值．解析 (1)依题意可得直线l 的直角坐标方程为x －3y －12＝0，曲线C 的普通方程为x 227＋y 23＝1． (2)设P (33cos θ，3sin θ)，则点P 到直线l 的距离d ＝|33cos θ－3sin θ－12|2＝⎪⎪⎪⎪6cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6－122，故当cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1时，d min ＝3． 6．(母题营养)已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x ＋y ＝2，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆C 和直线l 的方程化为极坐标方程；(2)P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在射线OP 上且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程．解析 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入圆C 和直线l 的直角坐标方程得其极坐标方程为C ：ρ＝2，l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝2．(2)设P ，Q ，R 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)， 则由|OQ |·|OP |＝|OR |2得ρρ1＝ρ22． 又ρ2＝2，ρ1＝2cos θ＋sin θ，所以2ρcos θ＋sin θ＝4，故点Q 轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．(见对点特训P 33)1．(2017·河南焦作二模)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数，－π<α<0)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12－32t ，y ＝5＋3t (t 为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的普通方程；(2)射线θ＝－π4与曲线C 1的交点为P ，与曲线C 2的交点为Q ，求线段PQ 的长．解析 (1)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0． 故其轨迹为以(1,0)为圆心，1为半径的圆在x 轴下方的部分． 曲线C 2的普通方程为2x ＋y －6＝0．(2)由(1)知，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0． 设(ρ1，θ1)为点P 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2cos θ1，θ1＝－π4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2，θ1＝－π4. 设(ρ2，θ2)为点Q 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ2(2cos θ2＋sin θ2)＝6，θ2＝－π4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝62，θ2＝－π4.因为θ1＝θ2，所以|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝52， 所以PQ 的长为52．2．(2017·湖北孝感二模)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos φ，y ＝1＋t sin φ(t 为参数)．在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝4cos θ．(1)求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；(2)当φ∈(0，π)时，l 与C 相交于P ，Q 两点，求|PQ |的最小值．解析 (1)由直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos φ，y ＝1＋t sin φ(t 为参数)，消去参数t ，得(x －3)sin φ－(y －1)cos φ＝0，即直线l 的普通方程为(sin φ)x －(cos φ)y ＋cos φ－3sin φ＝0． 由圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，得ρ2－4ρcos θ＝0．(*)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，x 2＋y 2＝ρ2，代入(*)得，x 2＋y 2－4x ＝0， 即C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4．(2)方法一 将直线l 的参数方程代入(x －2)2＋y 2＝4， 得t 2＋2(cos φ＋sin φ)t －2＝0，则Δ＝4(cos φ＋sin φ)2＋8>0．设P ，Q 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则 t 1＋t 2＝－2(cos φ＋sin φ)，t 1t 2＝－2， 所以|PQ |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2 ＝23＋2sin φcos φ＝23＋sin 2φ．因为φ∈(0，π)，2φ∈(0,2π)，所以当φ＝3π4，sin 2φ＝－1时，|PQ |取得最小值22．方法二 由直线l 的参数方程知，直线l 过定点M (3,1)，当直线l ⊥CM 时，线段PQ 的长度最小．此时|CM |2＝(3－2)2＋1＝2，|PQ |＝2r 2－|CM |2＝2×4－2＝22，所以|PQ |的最小值为22．3．已知曲线C ：x 24＋y 2＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝2－3t(t 为参数)．(1)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的参数方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．解析 (1)直线l 的直角坐标方程为 3x ＋y －2＝0，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入方程整理得 直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π3＋θ＝1，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(2)曲线C 上的点P (2cos θ，sin θ)到直线l ：3x ＋y －2＝0的距离 d ＝|23cos θ＋sin θ－2|3＋1＝|23cos θ＋sin θ－2|2，则|P A |＝dsin 30°＝|13sin(θ＋α)－2|，其中tan α＝23．当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |max ＝13＋2； 当sin(θ＋α)＝21313时，|P A |min ＝0．4．(2018·湖北黄冈模拟)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝12t(t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；(2)设曲线C 与直线l 相交于P ，Q 两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积．解析 (1)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，即曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ．由⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，得y ＝13(x －5)，即直线l 的普通方程为x －3y －5＝0． (2)由(1)可知C 为圆，且圆心坐标为(2,0)，半径为2，则弦心距d ＝|2－3×0－5|1＋3＝32，弦长|PQ |＝222－⎝⎛⎭⎫322＝7，因此以PQ 为一条边的圆C 的内接矩形的面积 S ＝2d ·|PQ |＝37．5．已知在一个极坐标系中点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3． (1)求出以C 为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形； (2)在直角坐标系中，以圆C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，点P 是圆C 上任意一点，Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，当点P 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹的普通方程．解析 (1)设圆C 上任意一点A (ρ，θ)，则∠AOC ＝θ－π3或π3－θ．由余弦定理得4＋ρ2－4ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝4， ∴圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3． 作图如图．(2)在直角坐标系中，点C 的坐标为(1，3)，可设圆C 上任意一点P (1＋2cos α，3＋2sin α)，又令M (x ，y )，由Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，得M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝6＋2cos α2，y ＝2sin α2(α为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos α，y ＝sin α(α为参数)， ∴点M 的轨迹的普通方程为(x －3)2＋y 2＝1．6．在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α＋sin α，y ＝23sin αcos α－2sin 2α＋2(α为参数)，若以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22t (t 为参数)． (1)求曲线M 的普通方程和曲线N 的直角坐标方程； (2)若曲线N 与曲线M 有公共点，求t 的取值范围． 解析 (1)由x ＝3cos α＋sin α，得x 2＝(3cos α＋sin α)2＝2cos 2α＋23sin αcos α＋1， 所以曲线M 可化为y ＝x 2－1，x ∈[－2,2]． 由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22t ，得22ρsin θ＋22ρcos θ＝22t ， 所以ρsin θ＋ρcos θ＝t ，所以曲线N 可化为x ＋y ＝t ． (2)若曲线M ，N 有公共点，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝t ，y ＝x 2－1，得x 2＋x －1－t ＝0 在[－2,2]上有解，即t ＝x 2＋x －1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－54， 当t ∈[－2,2]时，t ∈⎣⎡⎦⎤－54，5 故t 的取值范围是⎩⎨⎧t ⎪⎪⎭⎬⎫－54≤t ≤5 ⎩⎨⎧t ⎪⎪⎭⎬⎫－54≤t ≤5 t ⎪⎪⎭⎬⎫－54≤t ≤5．第2讲 不等式选讲(见学生用书P91)题型一含绝对值的不等式的解法1．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|．(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．突破点拨(1)根据x的取值范围，去绝对值符号求解．(2)因为当x ∈[－1,1]时g (x )＝2，所以问题转化为当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2，则只需f (－1)≥2且f (1)≥2即可．解析 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0．① 当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1； 当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1<x ≤－1＋172．所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤－1＋172． (2)x ∈[－1,1]时，g (x )＝2．所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，等价于x ∈[－1,1]时，f (x )≥2．又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1．所以a 的取值范围为[－1,1]．2．已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|x |－2． (1)解不等式f (x )≥0；(2)若存在实数x ，使得f (x )≤|x |＋a ，求实数a 的取值范围． 突破点拨(1)由零点分段法去绝对值符号，注意结果为三种情况的并集．(2)将未知量x 的式子移项到一边，然后利用大于最小值即满足条件求解． 解析 (1)不等式f (x )≥0等价于①⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－12，－1－2x ＋x －2≥0或②⎩⎪⎨⎪⎧－12<x <0，2x ＋1＋x －2≥0或 ③⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x ＋1－x －2≥0， 解不等式组①得x ≤－3，不等式组②无解，解不等式组③得x ≥1，∴所求的不等式解集为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．(2)f (x )≤|x |＋a 即|2x ＋1|－2|x |≤2＋a ⇔⎪⎪⎪⎪x ＋12－|x |≤1＋a 2． 由绝对值的几何意义，知⎪⎪⎪⎪x ＋12－|x |的最小值为－12，故要满足题意，只需－12≤1＋a2⇒a ≥－3．3．(2017·齐鲁名校一模)设函数f (x )＝|3x －1|＋ax ＋3． (1)若a ＝1，解不等式f (x )≤4；(2)若f (x )有最小值，求实数a 的取值范围．突破点拨(1)利用零点分段讨论求解．(2)由函数的单调性写出有最小值的条件． 解析 (1)a ＝1时，f (x )＝|3x －1|＋x ＋3≤4，即 |3x －1|≤1－x ，x －1≤3x －1≤1－x ，且1－x ≥0， 解得0≤x ≤12，所以f (x )≤4的解集为⎣⎡⎦⎤0，12． (2)因为f (x )＝⎩⎨⎧(3＋a )x ＋2，x ≥13，(a －3)x ＋4，x <13.所以f (x )有最小值的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥0，a －3≤0，即－3≤a ≤3．即实数a 的取值范围是{a |－3≤a ≤3}． 题型二 不等式的证明1．设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1a ＋1b ．证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立． 突破点拨(1)用基本不等式证明． (2)利用反证法证明．证明 由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab ，a >0，b >0，得ab ＝1．(1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2．(2)假设a2＋a <2与b 2＋b <2同时成立，则由a 2＋a <2及a >0得0<a <1；同理，0<b <1，从而ab <1，这与ab ＝1矛盾．故a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．2．(2017·全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2，证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2． 突破点拨(1)展开配方．(2)证明(a ＋b )3≤8．证明 (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4．(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )34， 所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2．(1)不等式的证明常利用综合法、分析法、基本不等式和柯西不等式等，要根据题目特点灵活选用方法．(2)证明含绝对值的不等式主要有以下三种方法： ①去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明； ②用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |求证； ③转化为函数问题，利用数形结合求证．题型三 柯西不等式的应用1．已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数f (x )＝|x ＋a |－|x －b |＋c 的最大值为10． (1)求a ＋b ＋c 的值；(2)求14(a －1)2＋(b －2)2＋(c －3)2的最小值，并求出a ，b ，c 的值．突破点拨(1)由不等式的性质|m |－|n |≤|m －n |求解． (2)利用柯西不等式求解．解析 (1)∵f (x )＝|x ＋a |－|x －b |＋c ≤|b －(－a )|＋c ＝|b ＋a |＋c ， 当且仅当x ≥b 时等号成立，又a >0，b >0，∴|a ＋b |＝a ＋b ， ∴f (x )的最大值为a ＋b ＋c ．又已知f (x )的最大值为10， ∴a ＋b ＋c ＝10．(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝10，由柯西不等式得⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a －122＋(b －2)2＋(c －3)2×(22＋12＋12) ≥⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a －12×2＋(b －2)×1＋(c －3)×12＝(a ＋b ＋c －6)2＝16，即14(a －1)2＋(b －2)2＋(c －3)2≥83， 当且仅当a －14＝b －21＝c －31，即a ＝113，b ＝83，c ＝113时等号成立．2．(2017·安徽安庆模拟)已知a ，b ，c 为非零实数，且a 2＋b 2＋c 2＋1－m ＝0，1a 2＋4b 2＋9c 2＋1－2m ＝0．(1)求证：1a 2＋4b 2＋9c 2≥36a 2＋b 2＋c 2；(2)求实数m 的取值范围． 突破点拨用配凑法，注意柯西不等式的结构特征．解析 (1)证明：由柯西不等式得⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎫2b 2＋⎝⎛⎭⎫3c 2(a 2＋b 2＋c 2)≥⎝⎛⎭⎫1a ·a ＋2b ·b ＋3c ·c 2， 即⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎫2b 2＋⎝⎛⎭⎫3c 2(a 2＋b 2＋c 2)≥36， 所以1a 2＋4b 2＋9c 2≥36a 2＋b 2＋c2．(2)由已知得a 2＋b 2＋c 2＝m －1，1a 2＋4b 2＋9c 2＝2m －1．所以(m －1)(2m －1)≥36，即2m 2－3m －35≥0， 解得m ≤－72或m ≥5．又a 2＋b 2＋c 2＝m －1>0，1a 2＋4b 2＋9c 2＝2m －1>0，所以m ≥5，即实数m 的取值范围为[5，＋∞)．柯西不等式在解决多变量代数式的最值问题中有着重要的应用，运用柯西不等式求最值时，关键是进行巧妙的拼凑构造出柯西不等式的形式．题型四 含绝对值不等式的恒成立问题1．已知函数f (x )＝|2x ＋2|＋|2x －3|．(1)若存在x ∈R ，使得不等式f (x )＜m 成立，求m 的取值范围； (2)求使得不等式f (x )≤|4x －1|成立的x 的取值范围． 突破点拨(1)利用含绝对值不等式的性质|a |＋|b |≥|a －b |求解．(2)利用含绝对值不等式的性质推出f (x )≥|4x －1|，进而得到f (x )＝|4x －1|，从而可求x 的范围．解析 (1)因为f (x )＝|2x ＋2|＋|2x －3|＝2⎝⎛⎭⎫|x ＋1|＋⎪⎪⎪⎪x －32≥2⎪⎪⎪⎪(x ＋1)＋⎝⎛⎭⎫32－x ＝5， 当且仅当－1≤x ≤32时，等号成立，所以f (x )min ＝5．所以存在x ∈R ，使得不等式f (x )<m 成立的m 的取值范围是m >5． (2)因为f (x )＝|2x ＋2|＋|2x －3|≥|2x ＋2＋2x －3|＝|4x －1|， 所以|2x ＋2|＋|2x －3|≥|4x －1|，当且仅当(2x ＋2)(2x －3)≥0时等号成立，又因为f (x )≤|4x －1|，所以|2x ＋2|＋|2x －3|＝|4x －1|．所以x 的取值范围是(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞． 2．已知∃x 0∈R 使得关于x 的不等式|x －1|－|x －2|≥t 成立． (1)求满足条件的实数t 的集合T ；(2)若m >1，n >1，且对于∀t ∈T ，不等式log 3m ·log 3n ≥t 恒成立，试求m ＋n 的最小值． 突破点拨(1)利用含绝对值不等式的性质|a |＋|b |≥|a －b |或|a |－|b |≤|a －b |求解． (2)对于恒成立问题，考虑求最值，可利用函数性质或基本不等式求解． 解析 (1)|x －1|－|x －2|≤|x －1－x ＋2|＝1，∵∃x 0∈R 使得关于x 的不等式|x －1|－|x －2|≥t 成立， ∴t ∈(－∞，1]，∴T ＝(－∞，1]．(2)由(1)知，对于∀t ∈T ，不等式log 3m ·log 3n ≥t 恒成立， 只需log 3m ·log 3n ≥t max ，所以log 3m ·log 3n ≥1．又因为m >1，n >1，所以log 3m >0，log 3n >0．又1≤log 3m ·log 3n ≤⎝⎛⎭⎫log 3m ＋log 3n 22＝(log 3mn )24(当且仅当log 3m ＝log 3n 时取“＝”)， 所以(log 3mn )2≥4，即log 3mn ≥2，mn ≥9．故m ＋n ≥2mn ≥6，因此m ＋n 的最小值为6(此时m ＝n ＝3)．不等式选讲的综合应用问题12(1)求x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2的最小值；(2)求证：(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2． 思维导航(1)利用均值不等式直接求解．(2)可借助柯西不等式证明，也可先变形再利用均值不等式来证明． 规范解答(1)因为a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)， 所以x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2≥3·3x 1a ·x 2b ·2x 1x 2＝3·32ab≥3·32⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝3×38＝6，当且仅当x 1a ＝x 2b ＝2x 1x 2，a ＝b ，即a ＝b ＝12且x 1＝x 2＝1时，x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2有最小值6．(2)方法一 由a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1， x 1，x 2∈(0，＋∞)，及柯西不等式，可得 (ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)＝[(ax 1)2＋(bx 2)2]·[(ax 2)2＋(bx 1)2] ≥(ax 1·ax 2＋bx 2·bx 1)2 ＝(a x 1x 2＋b x 1x 2)2＝x 1x 2， 当且仅当ax 1ax 2＝bx 2bx 1，即x 1＝x 2时取得等号． 方法二 因为a ，b ∈(0，∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)， 所以(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)＝a 2x 1x 2＋abx 22＋abx 21＋b 2x 1x 2 ＝x 1x 2(a 2＋b 2)＋ab (x 22＋x 21)≥x 1x 2(a 2＋b 2)＋ab (2x 1x 2) ＝x 1x 2(a 2＋b 2＋2ab ) ＝x 1x 2(a ＋b )2＝x 1x 2，当且仅当x 1＝x 2时，取得等号．【变式考法】 已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a ． (1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3．解析 (1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立， 所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3． (2)证明：由(1)知p ＋q ＋r ＝3， 又因为p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3．1．(教材回归)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|． (1)求不等式f (x )≤6的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )＜|a －1|的解集非空，求实数a 的取值范围． 解析 (1)不等式f (x )≤6， 即|2x ＋1|＋|2x －3|≤6，所以①⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－2x －1＋(3－2x )≤6或②⎩⎪⎨⎪⎧ －12≤x ≤32，2x ＋1＋(3－2x )≤6或 ③⎩⎪⎨⎪⎧x >32，2x ＋1＋(2x －3)≤6，解①得－1≤x ＜－12，解②得－12≤x ≤32，解③得32<x ≤2，即不等式的解集为{x |－1≤x ≤2}．(2)因为f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4，即f (x )的最小值等于4， 所以|a －1|>4，解此不等式得a <－3或a >5． 故实数a 的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．2．(书中淘金)(1)设a ≥b ＞0，证明：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2； (2)证明：a 6＋8b 6＋127c 6≥2a 2b 2c 2．证明 (1)3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)＝3a 2(a －b )－2b 2(a －b )＝(a －b )(3a 2－2b 2)． 因为a ≥b >0，所以a －b ≥0,3a 2－2b 2>0． 所以(a －b )(3a 2－2b 2)≥0． 所以3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2． (2)因为a 6＋8b 6＋127c 6≥33827a 6b 6c 6 ＝3×23a 2b 2c 2＝2a 2b 2c 2，所以a 6＋8b 6＋127c 6≥2a 2b 2c 2．3．已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围． 解析 (1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2． 又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}， 所以当a ≤0时，不合题意． 当a >0时，－4a ≤x ≤2a ，得a ＝2．(2)记h (x )＝f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12，－1，x ≥－12，所以|h (x )|≤1，因此k ≥1． 所以k 的取值范围是[1，＋∞)．4．已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x ＋1|． (1)当a ＝1时，解不等式f (x )＜3； (2)若f (x )的最小值为1，求a 的值． 解析 (1)因为f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1－x ＋2，－1<x <12，且f (1)＝f (－1)＝3，3x ，x ≥12所以f (x )<3的解集为{x |－1<x <1}．(2)|2x －a |＋|x ＋1|＝⎪⎪⎪⎪x －a 2＋||x ＋1＋⎪⎪⎪⎪x －a 2≥⎪⎪⎪⎪1＋a 2＋0＝⎪⎪⎪⎪1＋a2 当且仅当(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x －a 2≤0且x －a2＝0时，取等号． 所以⎪⎪⎪⎪1＋a2＝1，解得a ＝－4或0． 5．设函数f (x )＝|x ＋2|－|x －2|． (1)解不等式f (x )≥2；(2)当x ∈R,0＜y ＜1时，证明：|x ＋2|－|x －2|≤1y ＋11－y ．解析 (1)由已知可得， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≥2，2x ，－2<x <2，－4，x ≤－2，所以，f (x )≥2的解集为{}x |x ≥1． (2)证明：由(1)知，|x ＋2|－|x －2|≤4， 1y ＋11－y＝⎝⎛⎭⎫1y ＋11－y [y ＋(1－y )]＝2＋1－y y ＋y 1－y ≥4(当且仅当y ＝12时取等号)，所以|x ＋2|－|x －2|≤1y ＋11－y．6．(考点聚焦)设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|． (1)解不等式f (x )>0；(2)若∃x ∈R ，使得|x ＋3|－|x －5|≥f (x －1)－t 2＋32t ＋3成立，求实数t 的取值范围．解析 (1)当x ≥4时，f (x )＝2x ＋1－(x －4)＝x ＋5>0，得x >－5，所以x ≥4；当－12≤x <4时，令f (x )＝2x ＋1＋x －4＝3x －3>0，得x >1，所以1<x <4；当x <－12时，令f (x )＝－x －5>0，得x <－5，所以x <－5．综上，原不等式的解集为{x |x >1或x <－5}．(2)|x ＋3|－|x －5|≥f (x －1)－t 2＋32t ＋3等价于|x ＋3|－|2x －1|≥－t 2＋32t ＋3，令g (x )＝|x ＋3|－|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－3，3x ＋2，－3<x <12，－x ＋4，x ≥12故g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝72，则有72≥－t 2＋32t ＋3， 即2t 2－3t ＋1≥0，解得t ≤12或t ≥1，即实数t 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[1，＋∞)．(见对点特训P 35)1．(2017·山东青岛模拟)已知a ，b ，c 均为正实数．求证：b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥cb a ＋ac b＋ba c． 证明 ∵a ，b ，c 均为正实数， ∴b 2a ＋c 2b≥2b 2a ·c 2b＝2c b a， 同理，c 2b ＋a 2c ≥2ac b ，a 2c ＋b 2a≥2b a c ， 三式相加可得b 2a ＋c 2b ＋a 2c≥cb a＋a c b＋b a c． 2．(2017·河南南阳二模)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x －4|． (1)解关于x 的不等式f (x )<9；(2)若直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象围成一个三角形，求实数m 的取值范围，并求围成三角形面积的最大值．解析 (1)f (x )＝|x ＋1|＋|2x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋3，x ≤－1，－x ＋5，－1<x <2，3x －3，x ≥2.①当x ≤－1时，由不等式－3x ＋3＜9，解得x ＞－2． ∴－2＜x ≤－1②当－1＜x ＜2时，由不等式－x ＋5＜9，解得x ＞－4． ∴－1＜x ＜2③当x ≥2时，由不等式3x －3＜9，解得x <4． ∴2≤x ＜4综上，原不等式的解集为{x |－2<x <4}．(2)由(1)可得，函数f (x )的图象是如图所示的折线图． 因为f (－1)＝6，f (x )min ＝f (2)＝3，故当3<m ≤6时，直线y ＝m 与曲线y ＝f (x )围成一个三角表，即m 的取值范围是(3,6]． 因为f (3)＝6，所以当m ＝6时，S max ＝12×(3＋1)×(6－3)＝6．3．(2017·山东青岛二模)已知f (x )＝|x ＋2|－|2x －1|，M 为不等式f (x )>0的解集． (1)求M ；(2)求证：当x ，y ∈M 时，|x ＋y ＋xy |<15．解析 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x <－2，3x ＋1，－2≤x ≤12，－x ＋3，x >12.当x <－2时，由x －3>0，得x >3，无解；当－2≤x ≤12时，由3x ＋1>0，得x >－13，即－13<x ≤12；当x >12时，由－x ＋3>0，得x <3，即12<x <3．综上，M ＝⎝⎛⎭⎫－13，3． (2)证明：∵x ，y ∈M ，∴|x |<3，|y |<3，∴|x ＋y ＋xy |≤|x ＋y |＋|xy |≤|x |＋|y |＋|xy |＝|x |＋|y |＋|x |·|y |<3＋3＋3×3＝15． 4．已知正数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝1，求3x ＋2y ＋1z 的最小值．解析 因为x ，y ，z >0，所以3x ＋2y ＋1z＝(x ＋2y ＋3z )·⎝⎛⎭⎫3x ＋ 2y ＋ 1z ≥⎝⎛⎭⎫x ·3x＋2y ·2y＋ 3 z ·1z 2＝(3＋2＋3)2＝16＋83． 当且仅当x 3x ＝2y 2y ＝3z1z ，即x y z ＝331时，等号成立．所以3x ＋2y ＋1z的最小值为16＋83．5．(2017·江西九江二模)已知f (x )＝x 2＋2x ＋1，g (x )＝|x －1|．(1)求不等式|f (x )－1|<2的解集；(2)当|a ＋b |－|a －b |>2|b |[f (x )－g (x )](b ≠0，a ，b ∈R )的解集非空时，求x 的取值范围． 解析 (1)∵f (x )＝x 2＋2x ＋1＝|x ＋1|， ∴|f (x )－1|<2，即||x ＋1|－1|<2， ∴－2<|x ＋1|－1<2． ∴－1<|x ＋1|<3，∴|x ＋1|<3． ∴－3<x ＋1<3，∴－4<x <2． ∴原不等式的解集为(－4,2)．(2)∵|a ＋b |－|a －b |>2|b |[f (x )－g (x )](b ≠0，a ，b ∈R )的解集非空， ∴|x ＋1|－|x －1|<⎝⎛⎭⎫|a ＋b |－|a －b |2|b |max ．∵|a ＋b |－|a －b |2|b |≤|(a ＋b )－(a －b )|2|b |＝1，∴|x ＋1|－|x －1|<1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x <－1，－x －1＋x －1<1或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤1，x ＋1＋x －1<1或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x ＋1－x ＋1<1，解得x <12，即x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，12． 6．已知函数f (x )＝|x －a |．(1)若f (x )≤m 的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a ，m 的值； (2)当a ＝2且0≤t ≤2时，解关于x 的不等式f (x )＋t ≥f (x ＋2)． 解析 (1)∵|x －a |≤m ， ∴－m ＋a ≤x ≤m ＋a ．∵⎩⎨⎧－m ＋a ＝－1，m ＋a ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，m ＝3.(2)f (x )＋t ≥f (x ＋2)可化为|x －2|＋t ≥|x |． 当x ∈(－∞，0)时，2－x ＋t ≥－x,2＋t ≥0， ∵0≤t ≤2，∴x ∈(－∞，0)；当x ∈[0,2]时，2－x ＋t ≥x ，x ≤1＋t 2，0≤x ≤1＋t 2，∵1≤1＋t 2≤2，∴0≤x ≤1＋t2；当x ∈(2，＋∞)时，x －2＋t ≥x ，t ≥2， 当0≤t <2时，无解， 当t ＝2时，x ∈(2，＋∞)．∴当0≤t <2时，原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，t 2＋1； 当t ＝2时，x ∈R ．正确求出基本事件总数和。
2020高考理科数学二轮考前复习方略练习：专题八 第1讲 数学文化练典型习题 提数学素养 Word版含解析
［练典型习题·提数学素养］ 一、选择题1．“干支纪年法”是中国自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．天干、地支互相配合，配成六十组为一周，周而复始，依次循环．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥为地支．如：公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公元1986年为农历丙寅年．则2049年为农历( )A ．己亥年B ．己巳年C ．己卯年D ．戊辰年解析：选B ．法一：由公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公元1986年为农历丙寅年，可知以公元纪年的尾数在天干中找出对应该尾数的天干，再将公元纪年除以12，用除不尽的余数在地支中查出对应该余数的地支，这样就得到了公元纪年的干支纪年.2049年对应的天干为“己”，因其除以12的余数为9，所以2049年对应的地支为“巳”，故2049年为农历己巳年．故选B ．法二：易知(年份－3)除以10所得的余数对应天干，则2 049－3＝2 046，2 046除以10所得的余数是6，即对应的天干为“己”．(年份－3)除以12所得的余数对应地支，则2 049－3＝2 046，2 046除以12所得的余数是6，即对应的地支为“巳”，所以2049年为农历己巳年．故选B ．2．北宋数学家沈括的主要成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积．设隙积共n 层，上底由a ×b 个物体组成，以下各层的长、宽依次增加一个物体，最下层(即下底)由c ×d 个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为s ＝n 6[(2a ＋c )b ＋(2c ＋a )d ]＋n6(c －a )，其中a 是上底长，b 是上底宽，c 是下底长，d 是下底宽，n 为层数．已知由若干个相同小球粘黏组成的隙积的三视图如图所示，则该隙积中所有小球的个数为( )A ．83B ．84C ．85D ．86解析：选C ．由三视图知，n ＝5，a ＝3，b ＝1，c ＝7，d ＝5，代入公式s ＝n6[(2a ＋c )b＋(2c ＋a )d ]＋n6(c －a )得s ＝85，故选C ．3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其意思为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，走了六天后(第六天刚好用完)到达目的地．”若将此问题改为“第6天到达目的地”，则此人第二天至少走了( )A ．96里B ．48里C ．72里D ．24里解析：选A ．根据题意知，此人每天行走的路程构成了公比为12的等比数列．设第一天走a 1里，则第二天走a 2＝12a 1(里)．易知a 1[1－⎝⎛⎭⎫126]1－12≥378，则a 1≥192.则第二天至少走96里．故选A ．4．《数术记遗》相传是汉末徐岳(约公元2世纪)所著，该书主要记述了：积算(即筹算)、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算、计数共14种计算方法．某研究性学习小组3人分工搜集整理该14种计算方法的相关资料，其中一人4种，其余两人每人5种，则不同的分配方法种数是( )A ．C 414C 510C 55A 33A 22B ．C 414C 510C 55A 22C 55A 33 C ．C 414C 510C 55A 22D ．C 414C 510C 55解析：选A ．先将14种计算方法分为三组，方法有C 414C 510C 55A 22种，再分配给3个人，方法有C 414C 510C 55A 22×A 33种．故选A ． 5．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(ɡuǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是( )A ．五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸解析：选B ．设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{a n }，公差为d ，a 1＝15，a 13＝135，则15＋12d ＝135，解得d ＝10.所以a 2＝15＋10＝25，所以小暑的晷长是25寸．故选B ．6．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是( )A ．π15B ．2π5C ．2π15D ．4π15解析：选C ．因为该直角三角形两直角边长分别为5步和12步，所以其斜边长为13步，设其内切圆的半径为r ，则12×5×12＝12(5＋12＋13)r ，解得r ＝2.由几何概型的概率公式，得此点取自内切圆内的概率P ＝4π12×5×12＝2π15.故选C ．7．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次符号为“”，其表示的十进制数是()A．33 B．34C．36 D．35解析：选B．由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B ．8．《九章算术》中有如下问题：“今有卖牛二、羊五，以买一十三豕，有余钱一千；卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足；卖六羊、八豕，以买五牛，钱不足六百，问牛、羊、豕价各几何？”依上文，设牛、羊、豕每头价格分别为x 元、y 元、z 元，设计如图所示的程序框图，则输出的x ，y ，z 的值分别是( )A ．1 3009，600，1 1203B ．1 200，500，300C ．1 100，400，600D ．300，500，1 200解析：选B ．根据程序框图得：①y ＝300，z ＝4603，x ＝6 4009，i ＝1，满足i <3；②y ＝400，z ＝6803，x ＝8 6009，i ＝2，满足i <3；③y ＝500，z ＝300，x ＝1 200，i ＝3，不满足i <3； 故输出的x ＝1 200，y ＝500，z ＝300.故选B ．9．(2019·洛阳市统考)如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影)，设直角三角形有一个内角为30°，若向弦图内随机抛掷200颗米粒(大小忽略不计，取3≈1.732)，则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为( )A ．20B ．27C ．54D ．64解析：选B ．设大正方形的边长为2，则小正方形的边长为3－1，所以向弦图内随机投掷一颗米粒，落入小正方形(阴影)内的概率为(3－1)24＝1－32，向弦图内随机抛掷200颗米粒，落入小正方形(阴影)内的米粒数大约为200×(1－32)≈27，故选B ． 10．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈7264L 2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A ．227B ．258C ．15750D ．355113解析：选A ．依题意，设圆锥的底面半径为r ，则V ＝13πr 2h ≈7264L 2h ＝7264(2πr )2h ，化简得π≈227.故选A ．11．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之．亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并，以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为( )A ．392B ．752C ．39D ．6018解析：选B ．设下底面的长为x ⎝⎛⎭⎫92≤x <9，则下底面的宽为18－2x 2＝9－x .由题可知上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，所以其体积V ＝16×3×[(3×2＋x )×2＋(2x ＋3)(9－x )]＝－x 2＋17x 2＋392，故当x ＝92时，体积取得最大值，最大值为－⎝⎛⎭⎫922＋92×172＋392＝752.故选B ．12．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，如图所示，鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选A ．如图，作PQ ⊥BC 于Q ，作QR ⊥BD 于R ，连接PR ，则PQ ∥AB ，QR ∥CD .因为PQ ⊥BD ，又PQ ∩QR ＝Q ，所以BD ⊥平面PQR ，所以BD ⊥PR ，即PR 为△PBD 中BD 边上的高．设AB ＝BD ＝CD ＝1，则CP AC ＝x 3＝PQ 1，即PQ ＝x3，又QR 1＝BQ BC ＝APAC ＝3－x 3，所以QR ＝3－x 3， 所以PR ＝PQ 2＋QR 2＝⎝⎛⎭⎫x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x 32＝332x 2－23x ＋3， 所以f (x )＝362x 2－23x ＋3＝66⎝⎛⎭⎫x －322＋34，故选A ．二、填空题13．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n ，3)＝12n 2＋12n ；正方形数 N (n ，4)＝n 2； 五边形数 N (n ，5)＝32n 2－12n ；六边形数 N (n ，6)＝2n 2－n ； ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10，24)＝________．解析：易知n 2前的系数为12(k －2)，而n 前的系数为12(4－k )．则N (n ，k )＝12(k －2)n 2＋12(4－k )n ，故N (10，24)＝12×(24－2)×102＋12×(4－24)×10＝1 000.答案：1 00014. (2019·湖南师大附中模拟)庄子说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话描述的是一个数列问题，现用程序框图描述，如图所示，若输入某个正整数n 后，输出的S ∈⎝⎛⎭⎫1516，6364，则输入的n 的值为________．解析：框图中首先给累加变量S 赋值0，给循环变量k 赋值1， 输入n 的值后，执行循环体，S ＝12，k ＝1＋1＝2.若2>n 不成立，执行循环体，S ＝34，k ＝2＋1＝3.若3>n 不成立，执行循环体，S ＝78，k ＝3＋1＝4.若4>n 不成立，执行循环体，S ＝1516，k ＝4＋1＝5.若5>n 不成立，执行循环体，S ＝3132，k ＝5＋1＝6.若6>n 不成立，执行循环体，S ＝6364，k ＝6＋1＝7.…由输出的S ∈(1516，6364)，可得当S ＝3132，k ＝6时，应该满足条件6>n ，所以5≤n <6，故输入的正整数n 的值为5.答案：515．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，莞草第1天长高1尺．以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2倍．问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第________天时，蒲草和莞草的高度相同．(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0)．解析：由题意得，蒲草的长度组成首项为a 1＝3，公比为12的等比数列{a n }，设其前n 项和为A n ；莞草的长度组成首项为b 1＝1，公比为2的等比数列{b n }，设其前n 项和为B n .则A n ＝3⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12，B n ＝2n －12－1，令3⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝2n －12－1，化简得2n ＋62n ＝7(n ∈N *)，解得2n ＝6，所以n ＝lg 6lg 2＝1＋lg 3lg 2≈3，即第3天时蒲草和莞草长度相等． 答案：316．刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方，得两堑堵．邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2∶1，这一结论今称刘徽原理．如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为________．解析：由三视图得阳马是一个四棱锥，如图中四棱锥P -ABCD ，其中底面是边长为1的正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD 且P A ＝1，所以PC ＝3，PC 是四棱锥P -ABCD 的外接球的直径，所以此阳马的外接球的体积为4π3⎝⎛⎭⎫323＝3π2.答案：3π2。
高考数学复习热点08 数列与不等式(原卷版)-2021年高考数学专练(新高考)
热点08 数列与不等式【命题趋势】在新高考卷的考点中，数列主要以两小和一大为主的考查形式，在小题中主要以等差数列和等比数列为主，大题中新高考比以往的考察有了很大的改变，以前是三角和数列在17题交替考查，现在作为主干知识必考内容，考察位置是17或18题，题型可以是多条件选择的开放式的题型。
由于三角函数与数列均属于解答题第一题或第二题的位置，考查的内容相对比较简单，这一部分属于必得分，对于小题部分，一般分布为一题简单题一道中等难度题目。
对于不等式内容新教材删除了线性规划和不等式选讲，新高考主要考察不等式性质和基本不等式。
基本不等式考察往往都是已基本不等式作为切入点形式出现，题目难度中等。
专题针对高考中数列、不等式等高频知识点，预测并改编一些题型，通过本专题的学习，能够彻底掌握数列，不等式。
请学生务必注意题目答案后面的名师点睛部分，这是对于本类题目的一个总结。
【满分技巧】1、等差、等比数列如果记住基本的通项公式以及求和公式和性质，基本上所有的等差、等比数列问题都可以解决。
2、数列求通项主要方法有：公式法、利用前n项和求通项、累加、累乘、构造等方法；这里要注意各个方法中递推关系的模型结构特点。
3、数列求和问题主要包含裂项求和，分组求和，绝对值求和，错位相减求和，掌握固定的求和方式即可快速得到答案；这里要注意各个方法中数列通项的结构模型；本专题有相应的题目供参考。
4、对于基本不等式类的题目应注意等号成立地条件和基本不等式的模型结构，对“1”的活用。
【考查题型】选择题、填空、解答题【常考知识】数列的概念、等差等比数列的概念和公式和性质、数列求通项的方法、数列求和的方法、不等式的性质、基本不等式【限时检测】（建议用时：90分钟）一、单选题1．（2020·云南省个旧市第一高级中学高三其他模拟（理））设等差数列的前项和为，且{}n a n n S ，则的值为（ ）1144S =378a a a ++A ．11B ．12C ．13D ．142．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设是等比数列，且，{}n a 1231a a a ++=，则（ ）234+2a a a +=678a a a ++=A ．12B ．24C ．30D ．323．（2018·陆川中学高三其他模拟（理））等差数列的前项和为,且，.设{}n a n n S 10a >500S =，则当数列的前项和取得最大值时, 的值为（ ）()*12n n n n b a a a n N ++=∈{}nb n nT n A ．23B ．25C ．23或24D ．23或254．（2020·广西高三一模（理））已知数列，，则（ ）21131322n n n a a a --=++12a =()25log 1a +=A ．B ．C ．D ．263log 331-231log 315-363log 231-331log 215-5．（2020年浙江省高考数学试卷）已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，公差d ≠0，．记b 1=S 2，11a d≤b n+1=S 2n+2–S 2n ，，下列等式不可能成立的是（ ）n *∈N A ．2a 4=a 2+a 6B ．2b 4=b 2+b 6C ．D ．2428a a a =2428b b b =6．（2020·江苏宝应中学高二期中）若a ，b 为正实数，且，则的最小值为（ ）1123a b +=3a b +A ．2B ．C ．3D ．4327．（2020·云南省个旧市第一高级中学高三其他模拟（理））已知数列的前项和为，且{}n a n n S ，，，则的通项公式为（ ）12n n S a n +=+-*n N ∈12a ={}n a A ．B ．C ．D ．121n n a -=-12n n a -=121n n a -=+2nn a =8．（2020·贵州高三其他模拟（理））已知是双曲线的半焦距，则的最c 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>a b c+大值是（ ）A BC D9．（2020·四川遂宁·高三零模（理））已知正项等比数列满足，，又为数{}n a 112a =2432a a a =+n S 列的前项和，则（ ）{}n a n 5S =A ． 或B ．312112312C ．D ．15610．（2020·河南焦作·高三一模（理））在等比数列中，，，则（{}n a 11a =427a =352a a +=）A ．45B ．54C ．99D ．8111．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））数列中，，，若{}n a 12a =m n m n a a a +=，则（ ）155121022k k k a a a ++++++=- k =A ．2B ．3C ．4D ．512．（2020·江西高三二模（理））已知等比数列的首项，公比为，前项和为，则“{}n a 10a >q n n S”是“”的（ ）1q >3542S S S +>A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13．（2020·浙江省东阳中学高三其他模拟）已知数列的前n 项和，则{}n a ()212,1n n S n a n a =≥=n a =（ ）A ．B ．C ．D ．()21n n +22(1)n +121n-121n -二、多选题14．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ）A ．B ．2212a b +≥122a b ->C ．D 22log log 2a b +≥-+≤15．（2020·广东湛江·高三其他模拟）已知数列{a n }满足：0＜a 1＜1，．则下列说()14n n n a a ln a +-=-法正确的是（ ）A ．数列{a n }先增后减B ．数列{a n }为单调递增数列C ．a n ＜3D ．202052a >三、填空题16．（2020年浙江省高考数学试卷）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列的前3项和是________．(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(N )n *∈17．（2020·广西高三一模（理））已知数列和满足，，，{}n a {}n b 12a =11b =1n n n a b b ++=.则＝_______.114n n n a b a +++=20211008b a 18．（2020·山东济宁·高三其他模拟）已知，若不等式对140,0,1m n m n >>+=24m n x x a +≥-++已知的及任意实数恒成立，则实数最大值为_________．,m n x a 19．（2020·福建莆田·高三其他模拟）在△ABC 中，三边a ，b ，c 所对应的角分别是A ，B ，C ，已知a ，b ，c 成等比数列.若，数列满足，前n 项和为，sin sin sin B A C ={}n a 32|cos |2nn a nB =n S 2nS =__________.20．（2020·四川遂宁·高三零模（理））已知均为实数，函数在时取,a b 1()(2)2f x x x x =+>-x a =得最小值，曲线在点处的切线与直线_____2ln(1)y x =+()0,0y bx =a b +=四、解答题21．（2020·福建莆田·高三其他模拟）在①；②为等差数列，其中成131n n n a a a +=+1{}n a 236111,1,a a a +等比数列；③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，然后解答2123111132n n na a a a -++++= 补充完整的题目.已知数列中，______.{}n a 11a =(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设为数列的前项和，求证：.1,n n n n b a a T +={}n b n 13n T <注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22．（2020·安徽高三其他模拟（理））已知公比大于的等比数列满足，，1{}n a 2312a a +=416a =.2log n n b a =（1）求数列、的通项公式；{}n a {}n b （2）若数列的前项和为，求的前项和.{}n b n n S ()()*12n nnn a c n S -=∈N n n T 23．（2020年天津高考数学卷）已知为等差数列，为等比数列，{}n a {}n b ．()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-（Ⅰ）求和的通项公式；{}n a {}n b （Ⅱ）记的前项和为，求证：；{}n a n n S ()2*21n n n S S S n ++<∈N （Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．n ()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数{}n c 2n 24．（2020年浙江省高考数学试卷）已知数列{a n }，{b n }，{c n }中，．1111121,,()nn n n n n n b a b c c a a c c n b +++====-=⋅∈*N （Ⅰ）若数列{b n }为等比数列，且公比，且，求q 与{a n }的通项公式；0q >1236b b b +=（Ⅱ）若数列{b n }为等差数列，且公差，证明：．0d >1211n c c c d +++<+*()n N ∈25．（2018·陆川中学高三其他模拟（理））已知数列为公差不为零的等差数列，且，{}n a 23a =1a 3a ，成等比数列.7a （1）求数列的通项公式；{}n a （2）若数列满足，记数列的前项和为，求证：.{}n b 110101n n n b a a +=+{}n b n n S 12n S <。
2020新课标Ⅱ年高考数学总复习专题立体几何分项练习含解析理8
专题10 立体几何一．基础题组1. 【2013课标全国Ⅱ，理4】已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l ⊥m，l⊥n，lα，lβ，则( )．A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l【答案】：D【解析】因为m⊥α，l⊥m，lα，所以l∥α.同理可得l∥β.又因为m，n为异面直线，所以α与β相交，且l平行于它们的交线．故选D.2. 【2012全国，理4】已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，122CC ，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为( )A．2 B．3 C．2 D．1【答案】 D又△AC C1为等腰直角三角形，∴CH=2.∴HM=1.3. 【2011新课标，理6】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为( )(正视图)(俯视图)【答案】D 【解析】4. 【2006全国2，理4】过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为 A.163B.169 C.83 D.329【答案】:A5. 【2006全国2，理7】如图,平面α⊥平面β,A ∈α,B ∈β,AB 与两平面α,β所成的角分别为4π和6π.过A ,B 分别作两平面交线的垂线,垂足为A ′,B ′,则AB ∶A ′B ′等于 A.2∶1B.3∶1C.3∶2D.4∶3【答案】:A6. 【2005全国3，理4】设三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且PA=QC 1，则四棱锥B —APQC 的体积为（ ） A ．16VB ．14VC ．13VD ．12V【答案】C【解析】连接11,BA BC ，在侧面平行四边形11AAC C 中，∵1PA QC =， ∴ 四边形APQC 的面积1S =四边形11PQA C 的面积2S ， 记B 到面11AAC C 的距离为h ，∴113B APQC V S h -=，11213B PQAC V S h -=， ∴11B APQC B PQA C V V --=，∵11113B A B C V V -=，∴11233B APQC B PQA C V V V V V --+=-=，∴3B APQC V V -=. 7. 【2005全国2，理2】正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、11B C 的中点．那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是（ ）(A) 三角形 (B) 四边形(C) 五边形(D) 六边形【答案】D8. 【2015高考新课标2，理6】一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A ．81 B ．71 C ．61 D ．51【答案】D【解析】由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，，设正方体棱【考点定位】三视图．9. 【2017课标II ，理4】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π 【答案】B 【解析】试题分析：由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积213436V =π⨯⨯=π，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积221(36)272V =⨯π⨯⨯=π，故该组合体的体积12362763V V V =+=π+π=π．故选B ．【考点】 三视图、组合体的体积【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．二．能力题组1. 【2014新课标，理6】如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A. 1727 B.59 C.1027D.13【答案】C2. 【2010全国2，理9】已知正四棱锥S—ABCD中，SA＝3它的高为( )A．3．2 D．3【答案】：C3. 【2011新课标，理15】已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC ＝23，则棱锥OABCD的体积为__________．【答案】83【解析】4. 【2015高考新课标2，理9】已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )A．36π B.64π C.144π D.256π【答案】C【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144SR ππ==，故选C ．BOAC【考点定位】外接球表面积和椎体的体积．5. 【2016高考新课标2理数】如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20（B ）24（C ）28（D ）32【答案】C【考点】三视图，空间几何体的表面积 【名师点睛】由三视图还原几何体的方法:6.【2016高考新课标2理数】α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）【答案】②③④【考点】空间中的线面关系【名师点睛】求解本题时应注意在空间中考虑线、面位置关系.7.【2017课标II，理10】已知直三棱柱111ABC A B C-中，120ABC∠=︒，2AB=，11BC CC==，则异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为A．3B．15C．10D．3【答案】C【解析】试题分析：如图所示，补成直四棱柱1111ABCD A B C D-，则所求角为21111,2,21221cos603,5 BC D BC BD C D AB∠==+-⨯⨯⨯︒===Q，易得22211C D BD BC=+，因此111210cos55BCBC DC D∠===，故选C．【考点】异面直线所成的角、余弦定理、补形的应用【名师点睛】平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]2，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围． 三．拔高题组1. 【2014新课标，理11】直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）A. 110B. 25C. 30D.2【答案】C2. 【2013课标全国Ⅱ，理7】一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．【答案】：A3. 【2010全国2，理11】与正方体ABCD—A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点( )A．有且只有1个 B．有且只有2个C．有且只有3个 D．有无数个【答案】：D【解析】经验证线段B1D上的点B，D，中点，四等分点均满足题意，故由排除法知应有无数个点．4. 【2005全国2，理12】将半径为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里．这个正四面体的高的最小值为（）326+(B)262(C)2644326+【答案】C【解析】由题意知，底面放三个钢球，上再落一个钢球时体积最小，于是把钢球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，26，且由正四面体的性质可知：正四面体的中心到底面的距离是高的14，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，∴小正四面体的中心到底面的距离是26164⨯=，正四面体的中心到底面的距离是61+（1即小钢球的半径），所以可知正四棱锥的高的最小值为626(1)44+⨯=+，故选 C ． 5. 【2012全国，理16】三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为__________．【答案】：666. 【2010全国2，理16】已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，AB ＝4，若OM ＝ON ＝3，则两圆圆心的距离MN ＝________.【答案】：3【解析】：∵|OM |＝|ON |＝3，∴圆M 与圆N 2243-7.取AB 中点C ，连结MC 、NC ，则MC ⊥AB ，NC ⊥AB ， |MC |＝|NC |22(7)2-3，易知OM 、CN 共面且OM ⊥MC ，ON ⊥NC ，|OC |223(3)+3，sin ∠OCM 233 ∴|MN |＝2|MC |·sin∠OCM ＝33＝3.7. 【2005全国2，理20】(本小题满分12分)如图，四棱锥P ABCD=，E、F分-中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD PD别为CD、PB的中点．(Ⅰ) 求证：EF⊥平面PAB；(Ⅱ) 设2=，求AC与平面AEF所成的角的大小．AB BC∵PB、FA为平面PAB内的相交直线∴EF⊥平面PAB方法二以D为坐标原点，DA的长为单位，建立如图所示的直角坐标系。
2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (88)
2020高考数学模拟试题（理科）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合A={x|-1＜x＜2}，，则A∩B=（）A. B. C. D.2.命题“∀x∈N*，x2∈N*且x2≥x”的否定形式是（）A. ,且B. ,或C. ,且D. ,或3.已知数列{a n}中，“a n+12=a n•a n+2”是“数列{a n}为等比数列”的什么条件（）A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要4.设函数，若，则b等于（）A. 2B. 1C.D.5.已知，则cos2α=（）A. B. C. D.6.设向量满足，且与的夹角为，则=（）A. 2B. 4C. 12D.7.已知等差数列{a n}中，a3+a5=π，S n是其前n项和．则sin S7等于（）A. 1B. 0C.D.8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则C等于（）A. B. C. 或 D. 或9.设f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+3）=f（x-1），若当x∈[-2，0]时，f（x）=2-x，记，，c=f（32），则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.10.已知函数f（x）=sin x-cos x，g（x）是f（x）的导函数，则下列结论中错误的是（）A. 函数的值域与的值域相同B. 若是函数的极值点,则是函数的零点C. 把函数的图象向右平移个单位,就可以得到函数的图象D. 函数和在区间上都是增函数11.在△ABC中，AC⊥AB，AB=2，AC=1，点P是△ABC所在平面内一点，，且满足，若，则2λ+μ的最小值是（）A. B. 5 C. 1 D.12.设函数，若存在f（x）的极值点x0满足，则m的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.已知曲线y=ax+ln x在点（1，a）处的切线过点（2，3），则a=______．14.已知函数f（x）=log a x+b（a＞0，a≠1）的定义域、值域都是[1，2]，则a+b= ______ ．15.由曲线，直线y=2x，x=2所围成的封闭的图形面积为______．16.用g（n）表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数，例如：6的因数有1，2，3，6，g（6）=3，9的因数有1，3，9，g（9）=9，那么g（1）+g（2）+g（3）+…+g （22019-1）=______．三、解答题（本大题共6小题）17.给定两个命题，p：对任意实数x都有x2+ax+1≥0恒成立；q：幂函数y=x a-1在（0，+∞）内单调递减；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．18.已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在区间上的最小值为1，求m的最小值．19.设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S4=16．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）当d＞1时，记，求数列{c n}的前n项和T n．20.已知函数，，（Ⅰ）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=3，且对任意的x1∈[-1，2]，总存在，使g（x1）-f（x2）=0成立，求实数m的取值范围．21.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=3，求△ABC的周长L的取值范围．22.已知函数，函数g（x）=-2x+3．（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）若-2≤a≤-1，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤t|g（x1）-g（x2）|恒成立，求实数t的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|-1＜x＜2}，={x|x≥0}，∴A∩B={x|0≤x＜2}=[0，2）．故选：C．分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：命题的全称命题，则否定是特称命题，即∃x0∈N*，x02∉N*或x02＜x0，故选：D．根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，结合全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础．3.【答案】B【解析】解：若数列{a n}为等比数列，则满足a n+12=a n•a n+2，当数列a n=0时满足a n+12=a n•a n+2，但此时数列{a n}为等比数列不成立，即“a n+12=a n•a n+2”是“数列{a n}为等比数列”的必要不充分条件，故选：B．结合等比数列的性质，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键．比较基础．4.【答案】B【解析】解：根据题意，函数，则f（）=4×-b=3-b，若b≤2，则3-b≥1，此时f（f（））=f（3-b）=23-b=4，解可得b=1；若b＞2，则3-b＜1，此时f（f（））=f（3-b）=4×（3-b）-b=12-5b=4，解可得b=，（舍）故b=1；故选：B．根据题意，由函数的解析式可得f（）=4×-b=3-b，按b的范围分情况讨论，代入函数的解析式，求出b的值，综合可得答案．本题考查分段函数的解析式，涉及函数值的计算，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：已知，所以，利用三角函数的定义，解得，故cos2α=1-2sin2α=．故选：A．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数关系式的变换，倍角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.【答案】D【解析】解：，∴，∴=．故选：D．根据条件可求出，进而求出，并且，从而根据进行数量积的运算即可求出的值．本题考查了根据向量得到坐标求向量的长度的方法，向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：等差数列{a n}中，a3+a5=π，∴==，∴sin S7==sin（-）=-sin=-1．故选：C．由等差数列{a n}中，a3+a5=π，得==，由此能求出sin S7．本题考查等差数列中前7项和的正弦值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】A【解析】解：由于，所以，解得A=，由于a=，c=1，所以，解得，由于c＜a，所以．故选：A．直接利用正弦定理余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.【答案】A【解析】解：∵f（x+3）=f（x-1），∴f（x+4）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，当x∈[-2，0]时，f（x）=2-x，则函数f（x）为减函数，即当x∈（0，2]时，f（x）为增函数，log2=-2，则=f（-2）=f（2），c=f（32）=f（9）=f（8+1）=f（1），∵1＜＜2，且当x∈（0，2]时，f（x）为增函数，∴f（1）＜f（）＜f（2），∴a＞b＞c，故选：A．根据f（x+3）=f（x-1），得到函数是周期为4的周期函数，结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．本题主要考查函数值的大小比较，结合条件求出函数的周期，结合函数的周期性，奇偶10.【答案】C【解析】解：函数f（x）=sin x-cos x，∴g（x）=f'（x）=cos x+sin x，对于A，f（x）=sin（x-），g（x）=sin（x+），两函数的值域相同，都是[-，]，A正确；对于B，若x0是函数f（x）的极值点，则x0+=kπ，k∈Z；解得x0=kπ+，k∈Z；，g（x0）=sin（kπ+-）=0，∴x0也是函数g（x）的零点，B正确；对于C，把函数f（x）的图象向右平移个单位，得f（x-）=sin（x-）-cos（x-）=-cos x-sin x≠g（x），∴C错误；对于D，x∈，时，x-∈（-，0），f（x）是单调增函数，x+∈（0，），g（x）也是单调增函数，D正确．故选：C．求出函数f（x）的导函数g（x），再分别判断f（x）、g（x）的值域、极值点和零点，图象平移和单调性问题．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了导数的应用问题，是中档题．11.【答案】D【解析】解：以A为原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），C（0，1），，，∴，∴点M满足：（x-1）2+（y-2）2=1，设M（1+cosθ，2+sinθ），则由得：（1+cosθ，2+sinθ）=（2λ，μ），∴，2λ+μ的最小值是3-．故选：D．建系，分别表示出，，进而表示出，再用参数方程，结合三角函数求出范围．本题考查平面向量基本定理，结合三角函数求范围是关键，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：函数，可得f′（x）=-，∵x0是f（x）的极值点，∴f′（x0）=0，即，得，k∈Z，即x0=mk，k∈Z，∴可转化为：，即k2m2+3＜m2，k∈Z，即，要使原问题成立，只需存在k∈Z，使成立即可，又k2的最小值为0，∴，解得或，故选：B．求出导函数f′（x）=-，利用f′（x0）=0，得到x0=mk，k∈Z，可转化为：k2m2+3＜m2，k∈Z，即要使原问题成立，只需存在k∈Z，使成立即可，转化求解表达式的最值即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值，以及成立条件的转化，考查计算能力，是中档题．13.【答案】1【解析】解：∵y=ax+ln x，∴y′=a+，则y′|x=1=a+1，∴曲线y=y=ax+ln x在点（1，a）处的切线方程为y-a=（a+1）（x-1），∵曲线y=ax+ln x在点（1，a）处的切线过点（2，3），解得：a=1．故答案为：1．求导函数，然后确定切线的斜率，可得切线方程，利用曲线y=ax+ln x在点（1，a）处的切线过点（2，3），建立等式，解之即可求出所求．本题考查了利用导数研究在曲线某点处的切线方程，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．14.【答案】或3【解析】【分析】本题考查对数函数的性质以及分类讨论的思想方法．分类讨论函数的单调性是正确解决本题关键．属于易错题．分类讨论a的取值范围，得到函数单调性，代入数据即可求解．【解答】解：当0＜a＜1时，易知函数f（x）为减函数，由题意有解得：a=，b=2，符合题意，此时a+b=；当a＞1时，易知函数为增函数，由题意有，解得：a=2，b=1，符合题意，此时a+b=3．综上可得：a+b的值为或3．故答案为：或3．15.【答案】3-2ln2【解析】解：依题意，由解得，∴封闭的图形面积为=（x2-2ln x）=3-2ln2．故答案为：3-2n2．求出曲线，直线y=2x的交点坐标，根据定积分的几何意义列式求解即可．本题考查了定积分的几何意义，定积分的求法，主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于基础题．16.【答案】【解析】解：由g（n）的定义易知g（n）=g（2n），且若n为奇数，则g（n）=n，令f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n-1），则f（n+1）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n+1-1）=1+3+…+（2n+1-1）+g（2）+g（4）+…+g（2n+1-2）==4n+f（n），即f（n+1）-f（n）=4n，分别取n为1，2，…n，并累加得：，又f（1）=g（1）=1，所以，从而，令n=2019，则所求为：．故答案为：．据题中对g（n）的定义，判断出g（n）=g（2n），且若n为奇数则g（n）=n，利用等差数列的前n项和公式及逐差累加的方法及等比数列的前n项和公式求出g（1）+g（2）+g（3）+…+g（22019-1）．本题考查等差数列的前n项和公式、等比数列的前n项和公式、逐差累加的方法，是中档题．17.【答案】解：对任意实数x都有x2+ax+1≥0恒成立⇔△=a2-4≤0⇔-2≤a≤2，幂函数y=x a-1在（0，+∞）内单调递减⇔a-1＜0⇔a＜1，当p真q假时，有-2≤a≤2且a≥1，得1≤a≤2，当p假q真时，有a＜-2或a＞2且a＜1，得a＜-2，综上，所求实数a的取值范围是（-∞，-2）∪[1，2]．【解析】通过两个命题是真命题求出a的范围，然后通过当p真q假时，当p假q真时，求解即可．本题考查命题的真假的判断与应用，函数恒成立条件的转化，是基本知识的考查．18.【答案】解：（Ⅰ）由已知，有，=，=，所以f（x）的最小正周期：．由得f（x）的单调递减区间是．（Ⅱ）由（1）知，因为，所以．要使f（x）在区间上的最小值为1，即在区间上的最小值为-1．所以，即．所以m的最小值为．【解析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．（Ⅱ）利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意有，即：，解得：或．故或．（Ⅱ）由d＞1，知a n=2n-1，，故．于是：①，②①-②得：，故．【解析】（Ⅰ）直接利用已知条件建立方程组，求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．20.【答案】解：（Ⅰ）令t=x2，则t∈[1，3]，记，问题转化为函数y=h（t）与y=a有两个交点，∵，可知当t∈（1，2）时，h′（t）＜0，可知当t∈（2，3）时，h′（t）＞0，∴函数h（t）在（1，2）递减，（2，3）递增，从而h（t）min=h（2）=4，，h（1）=5，由图象可得，当时，y=h（t）与y=a有两个交点，∴函数f（x）有两个零点时实数a的范围为：．（Ⅱ）由（1）知f（x）∈[1，2]，记A=[1，2]，当m＞0时，在[-1，2]上单调递增，∴，记，由题意得：B⊆A，∴且，解得：，当m＜0时，在[-1，2]上单调递减，∴，∴且，得，综上，所求实数m的取值范围为．【解析】（Ⅰ）令t=x2，则t∈[1，3]，记，问题转化为函数y=h（t）与y=a有两个交点，利用函数的导数判断函数的单调性求解函数的最小值然后求解实数a的范围．（Ⅱ）由（1）知f（x）∈[1，2]，记A=[1，2]，通过当m=0时，当m＞0时，当m＜0时，分类求实数m的取值范围，推出结果即可．本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）由已知得：，再由正弦定理得：，∵B=π-（A+C），∴sin B=sin（A+C）=sin A cos C+cos A sin C②又C∈（0，π），由①②得，，又A∈（0，π），∴．（Ⅱ）法一：由余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A得b2+c2-bc=9即：（b+c）2-3bc=9，而（当且仅当b=c=3时等号成立）从而，得b+c≤6，又b+c＞a=3，∴3＜b+c≤6，从而周长L∈（6，9]；法二：由正弦定理得：，∴，又，从而△ABC的周长L：=，，∴，∴，从而：L∈（6，9]．【解析】（Ⅰ）由条件可得，再结合正弦定理及三个角之间的关系可得，进而求出A；（Ⅱ）利用余弦定理再结合基本不等式可得3＜b+c≤6，则可求出周长L的范围．本题考查平面向量数量积的运算，设计到正、余弦定理，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）a=2时，f（x）=ln x-x2+x．∵．易知f（x）在（0，1）递增，（1，+∞）递减，∴f（x）极大值=f（1）=0，无极小值．（Ⅱ）．∴．①a≤0时，F′（x）＞0，恒成立，∴F（x）在（0，+∞）单调递增；②当a＞0，由F′（x）＞0得，F′（x）＜0得，所以F（x）在单调递增，在单调递减．综上：当a≤0时，F（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞0时，F（x）在单调递增，在单调递减．（Ⅲ）由题知t≥0，．当-2≤a≤-1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2．又g（x）单调递减，即f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2恒成立，记，则h（x）在[1，2]递减．对任意a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立．令．则在[1，2]上恒成立，则，而在[1，2]单调递增，∴，∴．【解析】（Ⅰ）当a=2时，f（x）=ln x-x2+x，求导得到增减区间，进而得到极值．（Ⅱ）.．①a≤0时，②当a＞0，讨论增减区间．（Ⅲ）当-2≤a≤-1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2．不等式等价于f（x2）-f（x1）≤t[g（x1）-g（x2）]．即：f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2恒成立，记，则h（x）在[1，2]递减．对任意a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立．转化变量研究H（a）最大值小于等于0，进而求出t的取值范围本题考查函数的单调性的判断，考查实数的最小值的求法，考查函数性质、导数性质、构造法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是难题．。
2020年高考数学(理)复习【空间点、线、面的位置关系】小题精练卷附答案解析
2020年高考数学（理）复习【空间点、线、面的位置关系】小题精练卷刷题增分练○27一、选择题1．下列说法正确的是()A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面答案：D解析：由异面直线的定义可知D正确．2．如图，正方体或四面体中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四点不共面的是()答案：D解析：A选项中，在正方体中，连接PS，QR，则PS∥QR，所以这四点共面；B选项中，在正方体中，连接PS，QR，则PS∥QR，所以这四点共面；C选项中，在四面体中，连接PS，QR，则PS∥QR，所以这四点共面；D选项中，在四面体中，连接PS，QR，则PS，QR异面，所以这四点不共面．故选D.3．[2019·益阳市、湘潭市调研]下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有()A．①③B．②③C．②④D．②③④答案：C解析：由题意，可知题图①中，GH∥MN，因此直线GH与MN共面；题图②中，连接GN，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；题图③中，连接MG，则GM∥HN，因此直线GH与MN共面；题图④中，连接GN，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，所以直线GH与MN 异面．故选C.4．[2019·银川模拟]已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m⊥α，n⊥β，且β⊥α，则下列结论一定正确的是()A．m⊥n B．m∥n C．m与n相交D．m与n异面答案：A解析：若β⊥α，m⊥α，则直线m与平面β的位置关系有两种：m⊂β或m∥β.当m⊂β时，又n⊥β，所以m⊥n；当m∥β时，又n⊥β，所以m⊥n.故m⊥n，选A.5．[2019·山西临汾模拟]已知平面α及直线a，b，下列说法正确的是()A．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行B．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直C．若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行D．若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直答案：D解析：若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不一定平行；若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线可能垂直；若直线a，b平行，这两条直线可能都和平面α相交(不平行)；若直线a，b垂直，则直线a，b不平行，而这两条直线与平面α都垂直等价于直线a，b平行，因此若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直．故选D.6．设l，m，n表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①若l⊥α，m⊥α，则l∥m；②若m⊂β，n是l在平面β内的射影，l⊥m，则n⊥m；③若m⊂α，n∥m，则n∥α；④若γ⊥α，γ⊥β，则α∥β.其中真命题为()A．①②B．①②③C．②③④D．①③④答案：A解析：由直线与平面垂直的性质定理可得，垂直于同一个平面的两条直线相互平行，所以①为真命题；易得②为真命题；根据直线与平面平行的判定定理，平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行，③中缺少条件n⊄α，所以得到的结论可能为n∥α，也可能为n⊂α，所以③为假命题；若α⊥γ，β⊥γ，则得到的结论可能为β∥α，也可能为β，α相交，所以④为假命题．7．[2019·成都市高中毕业班诊断性检测]已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是()A．若m⊂α，则m⊥βB．若m⊂α，n⊂β，则m⊥nC．若m⊄α，m⊥β，则m∥αD．若α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α答案：C解析：选项A中，若m⊂α，则直线m和平面β可能垂直，也可能平行或相交，故选项A不正确；选项B中，直线m与直线n的关系不确定，可能平行，也可能相交或异面，故选项B不正确；选项C 中，若m⊥β，则m∥α或m⊂α，又m⊄α，故m∥α，选项C正确；选项D中，缺少条件n⊂β，故选项D 不正确，故选C.8．[2019·宁夏银川一中模拟]已知P是△ABC所在平面外的一点，M，N分别是AB，PC的中点，若MN＝BC＝4，PA＝43，则异面直线PA与MN所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°答案：A解析：如图．取AC中点D，连接DN，DM，由已知条件可得DN＝23，DM＝2.在△MND中，∠DNM为异面直线PA与MN所成的角，则cos∠DNM＝16＋12－42×4×23＝32，∴∠DNM＝30°.二、非选择题9．[2019·湖南联考]已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β.其中正确的命题是________．答案：①④解析：对于①，若α∥β，m⊥α，l⊂β，则m⊥l，故①正确；对于②，若α⊥β，则m∥l或m⊥l或m 与l异面，故②错误；对于③，若m⊥l，则α⊥β或α与β相交，故③错误；对于④，若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l⊂β，所以α⊥β，故④正确．10．[2019·陕西西安模拟]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线；②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与MB 1是异面直线；④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________．答案：③④解析：A ，M ，C 1三点共面，且在平面AD 1C 1B 中，但C ∉平面AD 1C 1B ，C 1∉AM ，因此直线AM 与CC 1是异面直线，同理，AM 与BN 也是异面直线，AM 与DD 1也是异面直线，①②错，④正确；M ，B ，B 1三点共面，且在平面MBB 1中，但N ∉平面MBB 1，B ∉MB 1，因此直线BN 与MB 1是异面直线，③正确．11．如图所示，在三棱锥C －ABD 中，E ，F 分别是AC 和BD 的中点．若CD ＝2AB ＝4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角是______________．答案：30°解析：如图，取CB 的中点G ，连接EG ，FG .则EG ∥AB ，FG ∥CD ，∴EF 与CD 所成的角为∠EFG .又∵EF ⊥AB ，∴EF ⊥EG .在Rt △EFG 中，EG ＝12AB ＝1，FG ＝12CD ＝2，∴sin ∠EFG ＝12，∴∠EFG ＝30°，∴EF 与CD 所成的角为30°.12．[2019·日照模拟]如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，给出下列结论：①A、M、O三点共线；②A、M、O、A1不共面；③A、M、C、O共面；④B、B1、O、M共面．其中正确结论的序号为________．答案：①③解析：连接A1C1、AC，则A1C1∥AC，∴A1、C1、C、A四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1.∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O、A在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，∴A、M、O三点共线，故①正确．由①易知②错误，③正确．易知OM与BB1为异面直线，故④错误．刷题课时增分练○27一、选择题1．经过两条异面直线a，b外的一点P作与a，b都平行的平面，则这样的平面()A．有且仅有一个B．恰有两个C．至多有一个D．至少有一个答案：C解析：(1)当点P所在位置使得a，P(或b，P)确定的平面平行b(或a)时，过点P作不出与a，b都平行的平面；(2)当点P所在位置使得a，P(或b，P)确定的平面与b(或a)不平行时，可过点P作a′∥a，b′∥b.因为a，b为异面直线，所以a′，b′不重合且相交于点P.因为a′∩b′＝P，a′，b′确定的平面与a，b都平行，所以可作出一个平面与a，b都平行．综上，选C.2．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是()A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1答案：D解析：只有直线B1C1与直线EF在同一平面内，且两者是相交的，直线AA1，A1B1，A1D1与直线EF都是异面直线．3．将下面的平面图形(图中每个点是正三角形的顶点或边的中点)沿虚线折成一个正四面体后，直线MN与PQ是异面直线的是()A．①②B．②④C．①④D．①③答案：C解析：图②翻折后N与Q重合，两直线相交；图③翻折后两直线平行，因此选C.4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：①若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β；②若m∥α，α⊥β，则m⊥β；③若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；④若m∥α，m⊥β，则α⊥β.其中正确命题的序号是()A．①④B．②③C．②④D．③④答案：D解析：①α与β可能相交，m，n都与α，β的交线平行即可，故该命题错误；②当α⊥β，m∥α时，m ⊂β也可能成立，故该命题错误；③当m⊥α，m⊥n时，n⊂α或n∥α，又n⊥β，所以α⊥β，故该命题正确；④显然该命题正确．综上，选D.5．[2019·衡阳模拟]若直线l与平面α相交，则()A．平面α内存在直线与l异面B．平面α内存在唯一一条直线与l平行C．平面α内存在唯一一条直线与l垂直D．平面α内的直线与l都相交答案：A解析：当直线l与平面α相交时，这条直线与该平面内任意一条不过交点的直线均为异面直线，故A 正确；该平面内不存在与直线l平行的直线，故B错误；该平面内有无数条直线与直线l垂直，所以C 错误，平面α内的直线与l可能异面，故D错误，故选A.6．[2019·湖南常德模拟]一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中()A．AB∥CD B．AB与CD相交C．AB⊥CD D．AB与CD所成的角为60°答案：D解析：如图，把展开图中的各正方形按图(1)所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图(2)所示的直观图，可得选项A，B，C不正确．图(2)中，DE∥AB，∠CDE为AB与CD 所成的角，△CDE为等边三角形，∴∠CDE＝60°.∴正确选项为D.7．如图，过正方体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面CB1D1平行的直线有()A．18条B．20条C．21条D．22条答案：C解析：设各棱的中点如图所示(各点连线略)，其中与D1B1平行的有F1G1，E1H1，FG，EH，NL，共5条；与CD1平行的有G1M，GN，LE1，KE，H1F，共5条；与CB1平行的有F1M，FL，HK，NH1，GE1，共5条．分别取CB1，B1D1，CD1的中点如图，连接CO，D1P，B1T，与CO平行的有GH1，FE1，共2条；与D1P平行的有H1L，NF，共2条；与B1T平行的有E1N，GL，共2条．故与平面CB1D1平行的直线共有5＋5＋5＋2＋2＋2＝21(条)．8．[2019·内蒙古赤峰模拟]已知l，m，n为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB ．若m ⊥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥nC ．若α∩β＝l ，m ∥α，m ∥β，则m ∥lD ．若α∩β＝m ，α∩γ＝n ，l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α答案：C解析：对于选项A ，若m ∥α，n ∥α，则m 与n 可能平行，可能相交，也可能异面，故A 错误．对于选项B ，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，设平面ABCD 为平面α，平面CDD ′C ′为平面β，直线BB ′为直线m ，直线A ′B 为直线n ，则m ⊥α，n ∥β，α⊥β，但直线n 与m 不垂直，故B 错误．对于选项C ，设过m 的平面γ与α交于a ，过m 的平面θ与β交于b ，∵m ∥α，m ⊂γ，α∩γ＝a ，∴m ∥a ，同理可得m ∥b .∴a ∥b .∵b ⊂β，a ⊄β，∴a ∥β.∵α∩β＝l ，a ⊂α，∴a ∥l ，∴l ∥m .故C 正确．对于选项D ，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，设平面ABCD 为平面α，平面ABB ′A ′为平面β，平面CDD ′C ′为平面γ，则α∩β＝AB ，α∩γ＝CD ，BC ⊥AB ，BC ⊥CD ，但BC ⊂平面ABCD ，故D 错误．故选C.二、非选择题9．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP 与BD 所成的角为________．答案：π3解析：如图，将原图补成正方体ABCD －QGHP ，连接GP ，AG ，则GP ∥BD ，所以∠APG 为异面直线AP 与BD 所成的角，在△AGP 中，AG ＝GP ＝AP ，所以∠APG ＝π3.10．[2019·宜昌调研]如图，在棱长均相等的四棱锥P－ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论：①PC∥平面OMN；②平面PCD∥平面OMN；③OM⊥PA；④直线PD与MN所成角的大小为90°.其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)答案：①②③解析：如图，连接AC，易得PC∥OM，所以PC∥平面OMN，结论①正确．同理PD∥ON，所以平面PCD∥平面OMN，结论②正确．由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2＋BC2＝PA2＋PC2＝AC2，所以PC⊥PA，又PC∥OM，所以OM⊥PA，结论③正确．由于M，N分别为侧棱PA，PB的中点，所以MN∥AB，又四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD，又三角形PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°，所以直线PD 与MN所成的角即∠PDC，故④错误．故正确的结论为①②③.11．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF ＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线；(3)DE，BF，CC1三线交于一点．证明：(1)如图所示．因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体AC1中，设A1CC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．(3)∵EF∥BD且EF<BD，∴DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，点M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，∴M∈CC1.∴DE，BF，CC1三线交于点M.。
2020年高考数学导数压轴题每日一题 (8)
2020年高考数学导数压轴题每日一题例8（分类讨论，区间划分）已知函数3211()(0)32f x x ax x b a =+++≥,'()f x 为函数()f x 的导函数.(1)设函数f(x)的图象与x 轴交点为A,曲线y=f(x)在A 点处的切线方程是33y x =-,求,a b 的值;(2)若函数()'()axg x e f x -=⋅,求函数()g x 的单调区间.例8解:(Ⅰ)∵3211()(0)32f x x ax x b a =+++≥, ∴2'()1f x x ax =++∵()f x 在(1,0)处切线方程为33y x =-, ∴'(1)3(1)0f f =⎧⎨=⎩, ∴1=a ,611-=b . (各1分)(Ⅱ)'()()ax f x g x e=21axx ax e ++=()x R ∈. '()g x =22(2)(1)()ax axax x a e a x ax e e +-++2[(2)]ax x ax a e -=-+- ①当0a =时,'()2g x x =,g ②当0a >时,令'()0g x =,得0x =或2x a a=- (ⅰ)当20a->,即0a <<时,)()g x 的单调递增区间为2(0,)a a -,单调递减区间为(,0)-∞,2(,)a a-+∞; (ⅱ)当20a a-=,即a =,'()g x =2220xx e -=-≤,故()g x 在(,)-∞+∞单调递减; (ⅲ)当20a-<,即a >,()g x 在22(,0)a a -上单调递增,在(0,)+∞,22(,)a a--∞上单调递减 综上所述,当0a =时,()g x 的单调递增区间为(0,)+∞,单调递减区间为(,0)-∞;当0a <<,()g x 的单调递增区间为22(0,)a a-,单调递减区间为(,0)-∞ 当a =()g x 的单调递减区间为(,)-∞+∞当a >时,()g x 的单调递增区间为2(,0)a a-,单调递减区间为(0,)+∞、2(,)a a-∞-。
高考复习—高考数学专项练习与试卷：单元质检卷八 平面解析几何
单元质检卷八平面解析几何(时间:120分钟满分:100分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020四川宜宾第四中学高三月考)若点P(1,2)在双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线上,则该双曲线的离心率为()A.√32B.√52C.√3D.√52.已知圆x2+y2+2k2x+2y+4k=0关于直线y=x对称,则k的值为()A.-1B.1C.±1D.03.点A(cos θ,sin θ)到直线3x+4y-4=0的距离的最大值为()A.15B.45C.1D.954.(2020福建高三月考)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线C于A,B两点,y轴被以AB为直径的圆所截得的弦长为6,则|AB|=()A.5B.7C.10D.145.(2020广西桂平第五中学高三月考)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点,且∠F1PF2=60°,若坐标原点O到直线PF1的距离为√3a8,且椭圆C的焦距为2√7,则a=()A.8B.2C.4D.166.(2020北京,7)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l.P是抛物线上异于O的一点,过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线()A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP7.(2020四川棠湖中学高三月考)已知F为双曲线G:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点,l1,l2为双曲线的两条渐近线,过点F且垂直于l1的直线与l1,l2分别交于A,B两点,O为坐标原点,若△AOB的面积S△AOB=2ab,则双曲线G的离心率为()A.√153或√213B.√62或√2C.√62或√102D.√6或√1028.(2020重庆巴蜀中学高三月考)已知抛物线C:x2=2py(p>0),直线l1:y=kx+t与抛物线C交于A,B两点(点A在点B右侧),直线l2:y=kx+m(m≠t)与抛物线C交于M,N两点(点M在点N右侧),直线AM与直线BN交于点E,点E的横坐标为2k,则抛物线C的方程为()A.x2=yB.x2=2yC.x2=3yD.x2=4y二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.已知直线l1:x-y-1=0,动直线l2:(k+1)x+ky+k=0(k∈R),则下列结论正确的是()A.不存在k,使得l2的倾斜角为90°B.对任意的k,l1与l2都有公共点C.对任意的k,l1与l2都不重合D.对任意的k,l1与l2都不垂直10.已知P为椭圆E:x 28+y24=1上一点,F1,F2为椭圆E的左、右焦点,且△F1PF2的面积为3,则下列说法正确的是()A.点P的纵坐标为3B.∠F1PF2>π2C.△F1PF2的周长为4(√2+1)D.△F1PF2的内切圆的半径为32(√2-1)11.(2020海南高三大联考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线经过点M(-1,1),过抛物线C的焦点F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A,B两点,直线l2与抛物线C交于D,E两点,则下列结论正确的是()A.p=2B.|AB|+|DE|的最小值为16C.四边形ADBE的面积的最小值为64D.若直线l1的斜率为2,则∠AMB=90°12.(2020山东高三联考)已知F1,F2是双曲线C:y 24−x22=1的上、下焦点,点M是该双曲线的一条渐近线上的一点,并且以线段F1F2为直径的圆经过点M,则下列说法正确的是()A.双曲线C的渐近线方程为y=±√2xB.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2C.点M的横坐标为±√2D.△MF1F2的面积为2√3三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.直线l:y=2x+10过双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)一个焦点且与其一条渐近线平行,则双曲线方程为.14.(2020湖北高三月考)如图,AB是平面α的斜线段,A为斜足,点C满足|BC|=λ|AC|(λ>0),且在平面α内运动,则以下几个说法:①当λ=1时,点C的轨迹是抛物线;②当λ=1时,点C的轨迹是一条直线;③当λ=2时,点C的轨迹是圆;④当λ=2时,点C的轨迹是椭圆;⑤当λ=2时,点C的轨迹是双曲线.其中正确的是.(将所有正确说法的序号填到横线上)15.2020年是中国传统的农历“鼠年”,有学生在平面直角坐标系中用三个圆组成“动漫鼠”的形象,如图,M(0,-2)是圆M的圆心,坐标原点O在圆M上,点P,Q均在x轴上,圆P与圆Q的半径都等于1,且圆P,圆Q均与圆M外切.(1)若直线l过点(0,-1),且圆Q均与直线l相切,则圆M被直线l所截得的弦长为;(2)若直线l过原点,且圆P,圆Q,圆M被直线l所截得的弦长均为d,则d=.16.已知椭圆C1:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)和圆C2:x2+y2=b2,若椭圆C1上存在点P,过点P作圆C2的两条切线PA,PB(A,B为对应的切点),且满足∠APB=60°,则椭圆最圆时的离心率e=.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2020陕西绥德中学高三月考)设椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12,右焦点到直线p:x a +yb=1的距离d=√217,O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于A,B两点,若以AB为直径的圆过原点O,求点O到直线l的距离.18.(12分)(2020湖南株洲二中高三月考)已知椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(0,-√3),离心率为12.(1)求椭圆E的方程;(2)设A,F分别为椭圆的右顶点、右焦点,经过点F作直线交椭圆E于C,D两点,求四边形OCAD面积的最大值(O为坐标原点).19.(12分)(2020安徽高三月考)已知M为椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点,F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,且|F1F2|=2,∠F1MF2=π3,△F1MF2的面积为√3.(1)求椭圆C的方程;(2)直线l过椭圆C的右焦点F2,交椭圆C于A,B两点,AB的中点为Q,射线OQ交椭圆C于点P,记△AOQ的面积为S1,△BPQ的面积为S2,若S2=3S1,求直线l的方程.20.(12分)(2020江西高三月考)已知动点P 到定直线l :x=4的距离与到定点F (1,0)的距离之比为2. (1)求点P 的轨迹C 的方程.(2)已知点A (-2,0),在y 轴上是否存在一点M ,使得曲线C 上另有一点B ,满足|MA|=|MB|,且MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2516若存在,求出所有符合条件的点M 坐标;若不存在,请说明理由.21.(12分)(2020河南高三月考)已知O 为坐标原点,点F (0,1),M 为坐标平面内的动点,且2,|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OF⃗⃗⃗⃗⃗ 成等差数列. (1)求动点M 的轨迹方程.(2)设点M 的轨迹为曲线T ,过点N (0,2)作直线l 交曲线T 于C ,D 两点,试问在y 轴上是否存在定点Q ,使得QC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值?若存在,求出定点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.22.(12分)(2020云南昆明高三一模)椭圆规是画椭圆的一种工具,如图①所示,在十字形滑槽上各有一个活动滑标M ,N ,有一根旋杆将两个滑标连成一体,|MN|=4,D 为旋杆上的一点,且在M ,N 两点之间,且|ND|=3|MD|,当滑标M 在滑槽EF 内作往复运动,滑标N 在滑槽GH 内随之运动时,将笔尖放置于D 处可画出椭圆,记该椭圆为C.如图②所示,设EF 与GH 交于点O ,以EF 所在的直线为x 轴,以GH 所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系.(1)求椭圆C 的方程;(2)设A 1,A 2是椭圆C 的左、右顶点,P 为直线x=6上的动点,直线A 1P ,A 2P 分别交椭圆C 于Q ,R 两点,若四边形A 1QA 2R 面积为3√3,求点P 的坐标.参考答案单元质检卷八 平面解析几何1.D由题意可知ba =2,则e=c a=√1+b2a 2=√5.故选D .2.A 方程x 2+y 2+2k 2x+2y+4k=0可化为(x +k 2)2+(y+1)2=k 4-4k+1,故圆心坐标为(-k 2,-1).因为圆x 2+y 2+2k 2x+2y+4k=0关于直线y=x 对称,所以直线y=x 经过圆心,所以-k 2=-1,解得k=±1.当k=1时,k 4-4k+1<0,不合题意,舍去.所以k=-1.故选A .3.D 点A (cos θ,sin θ)到直线3x+4y-4=0的距离d=√3+4=|5sin (θ+φ)-4|5,其中φ满足tan φ=34.当sin(θ+φ)=-1时,d 取得最大值,最大值为95.故选D . 4.C 由题意可知抛物线C :y 2=4x 的焦点F (1,0),直线AB 的斜率一定存在,故设直线AB 的方程为y=k (x-1),点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由{y 2=4x ,y =k (x -1),得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0,则x 1+x 2=2k 2+4k 2=2+4k2, 故AB 中点的横坐标为x 1+x 22=1+2k 2,|AB|=x 1+x 2+p=4+4k2.由已知得(|AB |2)2=32+1+2k22,即2+2k22=32+1+2k22,解得k 2=23.所以|AB|=10.故选C .5.C 分别过点O ,F 2作直线PF 1的垂线,垂足分别为A ,B (图略),则OA ∥F 2B.由题意可知|OA|=√3a 8,又O 为F 1F 2的中点,所以|F 2B|=√3a4. 在Rt △PBF 2中,因为∠F 1PF 2=60°,所以|PF 2|=|F 2B |sin60°=a2.由椭圆的定义知|PF 1|=3a 2,在△PF 1F 2中,由余弦定理得,(2c )2=3a 22+a 22-2×3a2×a2×cos 60°,化简得16c 2=7a 2.又椭圆C 的焦距为2√7,所以c=√7,所以a=4.故选C .6.B 如图所示,因为线段FQ 的垂直平分线上的点到F ,Q 的距离相等,又点P 在抛物线上,根据抛物线定义可知,|PQ|=|PF|,所以线段FQ 的垂直平分线经过点P.7.C 不妨令直线l 1的方程为y=ba x ,直线l 2的方程为y=-ba x ,设过点F 且垂直于l 1的直线方程为y=-ab (x-c ),由{y =ba x ,y =-ab (x -c ),解得{x =a 2c ,y=ab c ,则点A a 2c ,ab c .同理点B a 2c a 2-b 2,abcb 2-a 2.当b>a>0时,如图①,S △AOB =S △BOF -S △AOF =12c ·abc b 2-a 2−12c ·abc =2ab ,整理得5a 2=2c 2,所以e=ca =√102.当a>b>0时,如图②,同理可得e=√62.故选C .8.D 由{x 2=2py ,y =y x +t ,消去y ,得x 2-2pkx-2pt=0,则x A +x B =2pk.同理x M +x N =2pk.设AB 的中点为P ,MN 的中点为Q ,所以x P =x Q =pk.由题意可知直线PQ 过点E ,所以x E =pk=2k ,所以p=2.所以抛物线C 的方程为x 2=4y.故选D .9.BD 对于动直线l 2:(k+1)x+ky+k=0(k ∈R ),当k=0时,斜率不存在,倾斜角为90°,故A 错误;联立{x -y -1=0,(k +1)x +ky +k =0,可得(2k+1)x=0,当k ≠-12时,此方程有解;当k=-12时,方程组有无数组解,此时l 1与l 2重合, 可得对任意的k ,l 1与l 2都有交点,故B 正确,C 错误;由于直线l 1:x-y-1=0的斜率为1,动直线l 2的斜率为k+1-k =-1-1k ≠-1(k ≠0),当k=0时,显然l 1与l 2不垂直,故对任意的k ,l 1与l 2都不垂直,故D 正确.故选BD . 10.CD 由已知得a=2√2,b=2,c=2,不妨设P (m ,n ),m>0,n>0,则S △F 1PF 2=12×2c×n=3,∴n=32,故A 错误;∵点P 在椭圆E 上, ∴m 28+(32)24=1,解得m=√142,∴P√142,32,∴|PF 1|2=√142+22+94=394+2√14,|PF 2|2=√142-22+94=394-2√14.∴|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|2=394×2-16=72>0,∴cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|>0,∴∠F 1PF 2<π2,故B 错误;由椭圆定义,可知△F 1PF 2的周长为2a+2c=4√2+4,故C 正确;设△F 1PF 2的内切圆半径为r ,则12r·(4√2+4)=3,∴r=32(√2-1),故D 正确.故选CD . 11.ABD 由题可知p2=1,所以p=2,故A 正确.设直线l 1的斜率为k (k ≠0),则直线l 2的斜率为-1k .设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),D (x 3,y 3),E (x 4,y 4),直线l 1:y=k (x-1),直线l 2:y=-1k (x-1).联立{y 2=4x ,y =k (x -1)消去y ,得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0,所以x 1+x 2=2k 2+4k2,x 1x 2=1.所以|AB|=x 1+x 2+p=2k 2+4k2+2=4+4k2.同理|DE|=x 3+x 4+p=2×1k 2+41k2+2=4+4k 2,从而|AB|+|DE|=8+41k2+k 2≥16,当且仅当k=±1时,等号成立,故B 正确.因为S 四边形ADBE =12|AB|·|DE|=81+1k2(1+k 2)≥32,当且仅当k=±1时,等号成立,故C错误.MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1-1)·(x 2+1,y 2-1)=x 1x 2+x 1+x 2+1+y 1y 2-(y 1+y 2)+1, 将x 1+x 2=3,x 1x 2=1,y 1+y 2=2,y 1y 2=-4代入上式,得MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以∠AMB=90°,故D 正确.故选ABD . 12.ACD由双曲线方程y 24−x 22=1知a=2,b=√2,焦点在y 轴上,渐近线方程为y=±ab x=±√2x ,故A 正确;因为c=√a 2+b 2=√6,所以以F 1F 2为直径的圆的方程是x 2+y 2=6,故B 错;由{x 2+y 2=6,y =√2x 得{x =√2,y =2或{x =-√2,y =-2,由对称性知点M 的横坐标是±√2,故C 正确;S △MF 1F 2=12|F 1F 2||x M |=12×2√6×√2=2√3,故D 正确.故选ACD .13.x 25−y 220=1由题意得{b a=2,-2c +10=0,c 2=a 2+b 2,解得a 2=5,b 2=20,∴双曲线的方程是x 25−y 220=1.14.②③ 当λ=1时,|BC|=|AC|,过AB 的中点作线段AB 的垂面β,则点C 在α与β的交线上,即点C 的轨迹是一条直线;当λ=2时,|BC|=2|AC|,设B 在平面α内的射影为D ,连接BD ,CD , 设|BD|=h ,|AD|=2a ,则|BC|=√CD 2+ℎ2.在平面α内,以AD 所在直线为x 轴,以AD 的中垂线为y 轴建立如图所示平面直角坐标系,设C (x ,y ),则有A (-a ,0),D (a ,0),则|CA|=√(x +a )2+y 2,CD=√(x -a )2+y 2, |CB|=√(x -a )2+y 2+ℎ2, 所以√(x -a )2+y 2+ℎ2 =2√(x +a )2+y 2, 化简得x+53a 2+y 2=16a 29+ℎ23.所以点C 的轨迹是圆.15.(1)2√3或8√23 (2)43 由题意圆P 与圆Q 关于原点对称,设Q (a ,0)(a>0),则√a 2+22=1+2,a=√5,即Q (√5,0),所以P (-√5,0).(1)设直线l 的方程为y+1=kx ,即kx-y-1=0,由√5k √k +1=1得k=0或k=√52,则l 的方程为y=-1或y=√52x-1,当l 的方程为y=-1时,圆心M 到l 的距离为1,所以弦长为2√22-12=2√3;当l方程为y=√52x-1时,圆心M到l的距离为√(√5)2+(-2)=23,所以弦长为2√22-(23)2=8√23.故圆M被直线l所截得的弦长为2√3或8√23.(2)因为直线l过原点,所以设直线l方程为kx-y=0,点M到直线l的距离为√1+k,直线截圆M所得弦长为d=2√4-41+k2=√1+k,点P到直线l的距离为√5k√1+k,直线截圆P所得弦长为d=2√1-5k 21+k2=2√1-4k21+k2,由题意√1+k=2√1-4k21+k2,解得k2=18,所以d=2√1-4×181+18=43.16.√32连接OA,OB,OP,依题意,O,P,A,B四点共圆,∵∠APB=60°,∴∠APO=∠BPO=30°,在直角三角形OAP中,∠AOP=60°,∴cos∠AOP=b|OP|=12,∴|OP|=2b,又b<|OP|≤a,∴2b≤a,∴4b2≤a2,由a2=b2+c2,即4(a2-c2)≤a2,∴3a2≤4c2,即e≥√32,又0<e<1,∴√32≤e<1,∴椭圆C的离心率的取值范围是√32≤e<1.∴椭圆最圆时的离心率e=√32.17.解(1)∵e=12,∴ca=12,∵右焦点(c,0)到直线xa+yb=1的距离d=√217,∴√a2+b =√217,又b2+c2=a2,∴a2=4,b2=3,∴椭圆C 的方程是x 24+y 23=1. (2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则{3x 2+4y 2-12=0,y =kx +m ,(4k 2+3)x 2+8kmx+4m 2-12=0, x 1+x 2=-8km4k 2+3,x 1·x 2=4m 2-124k 2+3.∵直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,以AB 为直径的圆过原点O ,∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB⃗⃗⃗⃗⃗ =0, ∴x 1x 2+y 1y 2=0.∴x 1x 2+(kx 1+m )(kx 2+m )=0,∴(k 2+1)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=0,(k 2+1)(4m 2-12)4k 2+3+-8k 2m 24k 2+3+m 2=0,化简得m 2k 2+1=127,即√k +1=2√217,故点O 到直线l 的距离为2√217.18.解(1)将点(0,-√3)代入椭圆方程0a 2+3b2=1,得b 2=3,又离心率c a =12,a 2=b 2+c 2,∴a 2=4,椭圆E 的方程为x 24+y 23=1;(2)设直线CD 方程为x=ky+1,C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),联立{x 24+y 23=1,x =ky +1,化简得(3k 2+4)y 2+6ky-9=0,∴y 1+y 2=-6k 3k 2+4,y 1y 2=-93k 2+4,四边形OCAD 面积为S=S △OCA +S △ODA =12×2×|y 1|+12×2×|y 2|=|y 1-y 2|=√(y 1+y 2)2-4y 1y 2=12√k 2+13k 2+4,令t=√k 2+1(t ≥1),∴S=12t 3t 2+1=123t+1t, ∵t ≥1,y=3t+1t 在[1,+∞)上单调递增,∴y ≥4, 故S=123t+1t≤3,当且仅当t=1,即k=0时,等号成立.故四边形OCAD 面积的最大值为3.19.解(1)因为|F 1F 2|=2,所以c=1,设|MF 1|=m ,|MF 2|=n ,m+n=2a ,因为∠F 1MF 2=π3,△F 1MF 2的面积为√3,所以S=12mn sin π3=√3,所以mn=4.在△MF 1F 2中,由余弦定理得4=m 2+n 2-2mn cos π3, 即4=(m+n )2-3mn ,解得m+n=4,所以a=2,b 2=3,所以椭圆C 的方程是x 24+y 23=1.(2)因为S 2=3S 1,所以12|QP||QB|sin ∠BQP=3×12|QA||QO|sin ∠AQO ,所以|QP|=3|QO|, 所以|OP|=4|OQ|. 所以x P =4x Q ,当直线l 的斜率不存在时,S 2=S 1,不合题意,当直线l 的斜率存在时,设直线方程为y=k (x-1),设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则{x 124+y 123=1,x 224+y 223=1,两式作差,得y 1-y 2x 1-x 2·y 1+y 2x 1+x 2=-34,即k AB ·k OP =-34,故直线OP 的方程为y=-34k x ,联立{y =-34k x ,x 24+y 23=1,解得x P 2=16k23+4k 2,联立{y =-34k x ,y =k (x -1),解得x Q =4k23+4k2,因为x P =4x Q ,√3+4k =4×4k23+4k2,即k 2=14,解得k=±12,所以直线l 的方程为y=±12(x-1). 20.解(1)设P (x ,y ),由题可得√(x -1)+y 2=2,化简得3x 2+4y 2=12,即x 24+y 23=1,所以曲线C 的方程为x 24+y 23=1.(2)假设在y 轴上存在符合题意的点M ,则点M 在线段AB 的中垂线上,由题意知直线AB 的斜率显然存在.当直线AB 的斜率为0时,则A (-2,0),B (2,0). 设M (0,t ),则MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-t ),MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-t ).由MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-4+t 2=-2516,解得t=±√394,此时M 0,±√394.当直线AB 的斜率不为0时,设直线AB 的方程为y=k (x+2).联立{y =k (x +2),x 24+y 23=1,得(3+4k 2)x 2+16k 2x+16k 2-12=0,则-2·x B =16k 2-123+4k2,解得x B =6-8k23+4k2,即B6-8k23+4k2,12k 3+4k2.AB 的中点为-8k 23+4k2,6k 3+4k2.线段AB 的中垂线的方程为y-6k3+4k2=-1k x+8k23+4k2,令x=0,得y=-2k 3+4k2,即M 0,-2k 3+4k2.所以MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2,2k3+4k2,MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6-8k23+4k2,14k 3+4k2,所以MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =64k 4+28k 2-36(3+4k 2)2=-2516.解得k 2=14,此时M 0,±14.综上可得M 0,±√394或M 0,±14.21.解(1)设M (x ,y ),由条件知|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·O y ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以√x 2+(y -1)2=1+y (y ≥-1).两边平方,得x 2+y 2-2y+1=y 2+2y+1,所以x 2=4y ,满足y ≥-1, 所以点M 的轨迹方程为x 2=4y.(2)由题意知直线l 的斜率存在.设l 的方程为y=kx+2,与x 2=4y 联立,得x 2-4kx-8=0, 所以Δ=16k 2+32>0,设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),则x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-8. 又设Q (0,y 0), 则QC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1-y 0),QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2-y 0),所以QC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+(y 1-y 0)(y 2-y 0) =x 1x 2+(kx 1+2-y 0)(kx 2+2-y 0)=(k 2+1)x 1x 2+k (2-y 0)(x 1+x 2)+(2-y 0)2=-8(k 2+1)+4k 2(2-y 0)+(2-y 0)2=(2-y 0)2-8-4y 0k 2为定值,从而得y 0=0,所以存在定点Q (0,0),使得QC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值-4. 22.解(1)由题得|MD|=1,|ND|=3,所以椭圆C 的长半轴长为3,短半轴长为1,故椭圆C 的方程为x 29+y 2=1.(2)当t>0时,设点P (6,t ),则直线A 1P 的方程为y=t 9(x+3),直线A 2P 的方程为y=t3(x-3).设Q (x 1,y 1),R (x 2,y 2).由{x 29+y 2=1,y =t9(x +3)消去x ,得(9+t 2)y 2-6ty=0,由于y A 1=0,则y 1=6t9+t 2.由{x 29+y 2=1,y =t3(x -3)消去x ,得(1+t 2)y 2+2ty=0,由于y A 2=0,则y 2=-2t1+t 2.所以四边形A 1QA 2R 的面积为S=12|A 1A 2|·|y 1-y 2|=36t 9+t 2+2t 1+t 2=24t (t 2+3)(9+t 2)(1+t 2)=24t (t 2+3)(t 2+3)2+4t 2=24t 2+3t +4t t 2+3.由于t>0,m=t 2+3t≥2√3,当且仅当t=√3时,等号成立,故S=24m+4m=3√3.解得m=2√3或m=2√33(舍去),即t=√3.当t<0时,由对称性可得t=-√3.综上,当点P (6,√3)或P (6,-√3)时,四边形A 1QA 2R 面积为3√3.。
2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (86)
2020高考数学模拟试题（理科）满分150分，考试时间120分钟一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}，若P∪M＝P，则a的取值范围是( ) A． (－∞，－1] B． [1，＋∞) C． [－1,1] D． (－∞，－1]∪[1，＋∞)2.下列命题错误的是( )A．命题“若xy＝0，则x，y中至少有一个为零”的否定是：“若xy≠0，则x，y都不为零”。
B．对于命题p：∃x 0∈R，使得＋x0＋1＜0，则p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0。
C．命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题为“若方程x2＋x －m＝0无实根，则m≤0”。
D．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件。
3.平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于( ) A． 2 B． 2 C． 12 D．4.函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是( )A．－ B． C．1 D．5．已知m,n是两条不同直线，α,β是两个不同平面．以下命题中正确命题的个数是（）①m,n相交且都在平面α,β外，m∥α, m∥β , n∥α, n∥β ,则α∥β;②若m∥α, m∥β , 则α∥β;③若m∥α, n∥β , m∥n, 则α∥β．A．0 B．1 C．2 D．36.函数cosxxye的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．7.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，12AB F F ⊥于2F ，4AB =，1223F F =，则椭圆方程为（ ）A ．2213x y +=B ．22132x y +=C ．22196x y +=D ．221129x y +=8．在各棱长均相等的直三棱柱111ABC A B C -中，已知M 是棱1BB 的中点，N 是棱AC 的中点，则异面直线1A M 与NB 所成角的正切值为（ ） A ．3 B ．1 C ．6D ．2 9.已知奇函数在R 上是增函数，．若，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.B.C .D.10.设函数f (x )＝cos(2x ＋ϕ)＋sin(2x ＋ϕ)，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在上为增函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在上为减函数C ．y ＝f (x )的最小正周期为，且在上为增函数D ．y ＝f (x )的最小正周期为，且在上为减函数11.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别|为1F 、2F ，点P 在C 上，且123PF PF b +=，1294PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率为（ ） A ．103B ．10C ．43 D ．5312．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且当[]1,2x ∈时，2()41814f x x x =-+-，若函数()()g x f x mx =-有三个零点，则正实数m 的取值范围为（ ）A ．3,184142⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()2,18414- C ．()2,3 D ．3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分) 13.计算＝________.14．已知命题p ：2,20x R x x m ∃∈++≤，命题q ：幂函数113()m f x x+-=在()0,∞+是减函数，若“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，则实数m 的取值范围是_________.15.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为_________.16．已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为_______.三、解答题：（共70分。
2020年高考数学 导数 解答题专项练习(含答案详解)
2020年高考数学导数解答题专项练习（含答案解析）1.已知函数f(x)=x2-mln x，h(x)=x2-x＋a.(1)当a=0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；(2)当m=2时，若函数k(x)=f(x)-h(x)在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．2.设函数已知函数f(x)=ae x-x+1.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若f(x)在(0,3) 上只有一个零点，求a的取值范围；3.已知函数f(x)=lnx+a(x-1)2(a>0).（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)在区间(0,1)内有唯一的零点x0，证明：.4.已知函数f(x)=ae2x+(a﹣2) e x﹣x.（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围.5.已知函数f(x)=2lnx-2mx+x2(m>0).（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）当时，若函数f(x)的导函数f/(x)的图象与x轴交于A,B两点，其横坐标分别为x1,x2(x1<x2)，线段AB的中点的横坐标为x0，且x1,x2恰为函数h(x)=lnx-cx2-bx的零点.求证：.6.已知函数，g(x)=mx.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a=0时，f(x)≤g(x)恒成立，求实数m的取值范围；(3)当a=1时，求证：当x>1时，.7.已知函数f(x)=x-alnx+a-1(a∈R)．(I)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若x∈[e a,+∞]时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．8.已知函数R.（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．9.已知函数f(x)=ln x－kx，其中k∈R为常数．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个相异零点x1，x2(x1<x2)，求证：ln x2>2－ln x1.10.已知函数f(x)=x-alnx,a∈R.（1）研究函数f(x)的单调性；（2）设函数f(x)有两个不同的零点x1,x2,且x1<x2.①求a的取值范围；②求证：x1x2>e2.11.设函数f(x)=ex-1-x-ax2.(1)若a=0，求f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．12.已知函数f(x)=lnx-mx2，g(x)=0.5mx2+x，mϵR,令F(x)=f(x)+g(x).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若关于x的不等式F(x)≤mx-1恒成立，求整数m的最小值.13.已知函数f(x)=lnx-mx(m为常数).(1)讨论函数f(x)的单调区间；(2)当时, 设g(x)=2f(x)+x2的两个极值点x1,x2(x1<x2)恰为h(x)=lnx-cx2-bx的零点, 求的最小值.14.设函数f(x)=(x－1)e x－kx2.(1)当k=1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，求实数k的取值范围．15.已知函数f(x)=ln x＋－1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设m∈R，对任意的a∈(－1，1)，总存在x0∈[1，e]，使得不等式ma－f(x0)<0成立，求实数m的取值范围．16.已知函数.(1)求的单调区间；(2)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.17.设函数f（x）=alnx﹣bx2．（1）当b=1时，讨论函数f（x）的单调性；（2）当a=1，b=0时，函数g（x）=f（x）﹣kx，k为常数，若函数g（x）有两个相异零点x1，x2，证明：．18.已知函数f（x）=axlnx﹣x+1（a≥0）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（3）证明：当m＞n＞1时，m n﹣1＜n m﹣1．19.已知函数在处的切线与轴平行，()(1)试讨论f(x)在上的单调性；(2)①设，求g(x)的最小值；②证明：.20.已知函数f(x)=(x﹣1)2+a(lnx﹣x+1)(其中a∈R，且a为常数)(1)当a=4时，求函数y=f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x∈(1，+∞)，都有f(x)＞0成立，求a的取值范围；(3)若方程f(x)+a+1=0在x∈(1，2)上有且只有一个实根，求a的取值范围．2020年高考数学 导数 解答题专项练习（含答案解析）答案解析1.解：(1)由f(x)≥h(x)，得m ≤x ln x 在(1，＋∞)上恒成立．令g(x)=x ln x ，则g ′(x)=ln x －1ln x 2，当x ∈(1，e)时，g ′(x)＜0；当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x)＞0，所以g(x)在(1，e)上递减，在(e ，＋∞)上递增．故当x=e 时，g(x)的最小值为g(e)=e.所以m ≤e.即m 的取值范围是(-∞，e]．(2)由已知可得k(x)=x-2ln x-a.函数k(x)在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x)=x-2ln x 与直线y=a 有两个不同的交点．φ′(x)=1-2x =x －2x ，当x ∈(1,2)时，φ′(x)＜0，φ(x)递减，当x ∈(2,3)时，φ′(x)＞0，φ(x)递增．又φ(1)=1，φ(2)=2-2ln 2，φ(3)=3-2ln 3，要使直线y=a 与函数φ(x)=x-2ln x 有两个交点，则2-2ln 2＜a ＜3-2ln 3.即实数a 的取值范围是(2-2ln 2,3-2ln 3)．2.解:3.解：4.解：5.解：6.解：7.解：8.解：9.解：10.解：11.解：(1)a=0时，f(x)=e x－1－x，f′(x)=e x－1.当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加(2)f′(x)=e x－1－2ax.由(1)知e x≥1＋x，当且仅当x=0时等号成立．故f′(x)≥x－2ax=(1－2a)x，从而当1－2a≥0，即a≤0.5时，f′(x)≥0(x≥0)，而f(0)=0，于是当x≥0时，f(x)≥0.由e x>1＋x(x≠0)得e－x>1－x(x≠0)，从而当a>时，f′(x)<e x－1＋2a(e－x－1)=e－x(e x－1)(e x－2a)，故当x∈(0，ln2a)时， f′(x)<0，而f(0)=0，于是当x∈(0，ln2a)时，f(x)<0，综上可得a的取值范围为(－∞，0.5]．12.解：13.解：14.15.16.17.18.19.解：20.解：。
2020版高考数学一轮复习加练半小时资料：专题8立体几何第64练向量法求解空间角理(含解析)
第64练 向量法求解空间角[基础保分练]1.如图所示，已知空间四边形OABC 中OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为________．2.如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP 与BD 所成的角为______．3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1D 1的中点，则异面直线DE 与AC 所成的角的余弦值为________．4．已知正四棱锥S －ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE ，SD 所成角的余弦值为________．5．(2019·无锡模拟)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为________．6.如图，在三棱锥O －ABC 中，OA ＝OB ＝OC ＝1，∠AOB ＝90°，OC ⊥平面AOB ，D 为AB 的中点，则OD 与平面OBC 所成的角为________．7．平面α的一个法向量为n ＝(1，－3，0)，则y 轴与平面α所成的角的大小为________． 8．(2019·江苏盐城中学期中)如图所示，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，则异面直线OA 与BC 所成的角的余弦值为________．9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1D 与CD 1所成的角为____________，二面角B －A 1C －D 的大小为________．10.如图，在三棱锥S －ABC 中，SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝π2，M ，N 分别是AB和SC 的中点．则直线SM 与平面SAC 所成角的大小为________．[能力提升练]1.如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长(包括底面边长)都是2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，则EF 与侧棱C 1C 所成角的余弦值是________．2．已知空间向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且a ，b 的夹角为π3，O 为空间直角坐标系的原点，点A ，B 满足OA →＝2a ＋b ，OB →＝3a －b ，则△OAB 的面积为________．3．过正方形ABCD 的顶点A ，引PA ⊥平面ABCD .若PA ＝BA ，则平面ABP 和平面CDP 所成二面角的大小是________．4.如图所示，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且MD ＝NB ＝1，E 为BC 的中点．则异面直线NE 与AM 所成角的余弦值为________．5．(2019·江苏南通中学月考)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于________． 6．已知△ABC 是边长为1的正三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA ＝1，若点A 关于直线PC 的对称点为D ，则直线AD 与BC 所成角的余弦值是________．答案精析基础保分练 1．0 2.60° 3.1010 4.33 5.30106．45°解析 以O 为原点，以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OC 为z 轴，建立空间直角坐标系，则O (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0,1,0)，D ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0，C (0,0,1)，由题意得OB ⊥OA ，OA ⊥OC ， ∴OA →是平面BOC 的法向量，设OD 与平面OBC 的夹角为θ，θ∈[0°，90°]， 则sin θ＝|cos 〈OA →，OD →〉|＝|OA →·OD →||OA →|·|OD →|＝22，∴θ＝45°，∴OD 与平面OBC 的夹角为45°. 7.π3解析 y 轴的一个方向向量为m ＝(0,1,0)， 设y 轴与平面α所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|.∵cos〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝－32×1＝－32，∴sin θ＝32，∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴θ＝π3.8.3－225解析 因为BC →＝AC →－AB →， 所以OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →|·|AC →|·cos〈OA →，AC →〉－|OA →|·|AB →|·cos〈OA →，AB →〉 ＝8×4×cos135°－8×6×cos120° ＝24－162，所以cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →|·|BC →|＝24－1628×5＝3－225.所以OA 与BC 的夹角的余弦值为3－225.9．60° 60°解析 以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1， 则A 1(1,0,1)，D (0,0,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，B (1,1,0)，A 1D →＝(－1,0，－1)，CD 1→＝(0，－1,1)，设异面直线A 1D 与CD 1所成的角为θ，θ∈(0°，90°]， 则cos θ＝|A 1D →·CD 1→||A 1D →|·|CD 1→|＝12·2＝12， ∴θ＝60°，∴异面直线A 1D 与CD 1所成的角为60°. DA 1→＝(1,0,1)，DC →＝(0,1,0)，CA 1→＝(1，－1,1)，CB →＝(1,0,0)，设平面DCA 1的法向量n ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝x 1＋z 1＝0，n ·DC →＝y 1＝0，取x 1＝1，得n ＝(1,0，－1)，设平面BCA 1的法向量m ＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CA 1→＝x 2－y 2＋z 2＝0，m ·CB →＝x 2＝0，取y 2＝1，得m ＝(0,1,1)，设二面角B －A 1C －D 的大小为α，α为锐角， 则cos α＝|m ·n ||m |·|n |＝12·2＝12，∴α＝60°，∴二面角B －A 1C －D 的大小为60°.10.π4解析 因为∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝π2，所以以S 为坐标原点，SA ，SB ，SC 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(图略)． 设SA ＝SB ＝SC ＝2，则M (1,1,0)，B (0,2,0)，N (0,0,1)，A (2，0,0)，C (0,0,2)， 所以SM →＝(1,1,0)，设平面SAC 的一个法向量为SB →＝(0,2,0)， 则由cos 〈SM →，SB →〉＝22·2＝22得〈SM →，SB →〉＝π4， 所以直线SM 与平面SAC 所成角的大小为π2－π4＝π4.能力提升练1.255 2.5343．45°解析 以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝1，易得平面APB 的一个法向量为n 1＝(0,1,0)，平面PCD 的一个法向量为n 2＝(0,1,1)，故平面ABP 与平面CDP 所成二面角的余弦值为|n 1·n 2||n 1||n 2|＝22，故所求二面角的大小是45°. 4.1010解析 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DM 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz .依题意得D (0,0,0)，A (1,0,0)，M (0,0,1)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，N (1,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，所以NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，－1，AM →＝(－1,0,1)，因为|cos 〈NE →，AM →〉|＝|NE →·AM →||NE →|·|AM →|＝1252×2＝1010. 所以异面直线NE 与AM 所成角的余弦值为1010.5.23解析 设A 1在底面ABC 内的射影为O ，过O 作OH ∥BC 交AB 于点H ，以O 为坐标原点，分别以OA →，OH →，OA 1→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)． 设△ABC 的边长为1，则A ⎝⎛⎭⎪⎫33，0，0，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，63， ∴AB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－536，12，63，平面ABC 的法向量n ＝(0,0,1)， 则AB 1与底面ABC 所成角α的正弦值sin α＝|cos 〈AB 1→，n 〉|＝637536＋14＋69＝23.6.24解析 如图，取AC 的中点O ，连结BO ，PO ，∵△ABC 是边长为1的正三角形， ∴BO ⊥AC ，∵PA ⊥平面ABC ，BO ⊂平面ABC ， ∴BO ⊥PA ，∵AC ∩PA ＝A ，AC ，PA ⊂平面PAC ， ∴BO ⊥平面APC ，如图，以A 为坐标原点，AC ，AP 所在直线分别为y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，易得AD 与PC 的交点H 为PC 中点，则A (0,0,0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，0，C (0,1,0)，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，AH→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12， BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0，cos 〈AH →，BC →〉＝0＋14＋01×22＝24.即直线AD 与BC 所成角的余弦值为24.。
2023年新高考数学一轮复习8-2 空间几何体的表面积和体积(真题测试)解析版
专题8.2 空间几何体的表面积和体积（真题测试）一、单选题1．（2020·天津·高考真题）若棱长为 ） A ．12π B ．24π C ．36π D ．144π【答案】C【解析】【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R =，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=.故选：C.2．（2020·北京·高考真题）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）． A ．63+ B ．623+ C ．123+ D ．1223+【答案】D【解析】【分析】首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.【详解】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：()1322222sin 60122S ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯︒=+ ⎪⎝⎭故选：D.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．3．（2022·浙江·高考真题）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．22πB ．8πC ．22π3D ．16π3【答案】C【解析】【分析】根据三视图还原几何体可知，原几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，即可根据球，圆柱，圆台的体积公式求出．【详解】由三视图可知，该几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，球的半径，圆柱的底面半径，圆台的上底面半径都为1cm ，圆台的下底面半径为2cm ，所以该几何体的体积(322214122ππ1π122π2π12333V =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=3cm ．故选：C ．4．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为面上，则该球的表面积为（ ）A ．100πB ．128πC ．144πD ．192π【答案】A【解析】【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，所以123432,260sin 60r r ==，即123,4r r ==，设球心到上下底面的距离分别为12,d d ，球的半径为R ，所以1d =2d =121d d -=或121d d +=，即1=1，解得225R =符合题意，所以球的表面积为24π100πS R ==． 故选：A ．5．（2021·浙江·高考真题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．32B ．3C ．2D ．【答案】A【解析】【分析】根据三视图可得如图所示的几何体，根据棱柱的体积公式可求其体积.【详解】几何体为如图所示的四棱柱1111ABCD A B C D -，其高为1，底面为等腰梯形ABCD ，1=故1111131222ABCD A B C D V -=⨯⨯=， 故选：A. 6．（2021·全国·高考真题（理））已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为（ ）A B C D A 【解析】【分析】由题可得ABC 为等腰直角三角形，得出ABC 外接圆的半径，则可求得O 到平面ABC 的距离，进而求得体积.【详解】,1AC BC AC BC ⊥==，ABC ∴为等腰直角三角形，AB ∴=，则ABC 1， 设O 到平面ABC 的距离为d ，则2d =所以11111332O ABC ABC V S d -=⋅=⨯⨯⨯= 故选：A.7．（2022·全国·高考真题（文））已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）A ．13B ．12CD 【答案】C【解析】【分析】先证明当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r ，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.【详解】设该四棱锥底面为四边形ABCD ，四边形ABCD 所在小圆半径为r ，设四边形ABCD 对角线夹角为α， 则2111sin 222222ABCD S AC BD AC BD r r r α=⋅⋅⋅≤⋅⋅≤⋅⋅= （当且仅当四边形ABCD 为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r又22r h 1+=则2123O ABCDV r h -=⋅⋅=当且仅当222r h =即h 时等号成立，故选：C8．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3l ≤≤ ） A ．8118,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．2781,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2764,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[18,27]【答案】C【解析】【分析】设正四棱锥的高为h ，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】∵ 球的体积为36π，所以球的半径3R =,设正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，则2222l a h =+，22232(3)a h =+-,所以26h l =，2222a l h =- 所以正四棱锥的体积42622411214()=333366936l l l V Sh a h l l ⎛⎫==⨯⨯=⨯-⨯- ⎪⎝⎭， 所以5233112449696l l V l l ⎛⎫⎛⎫-'=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当3l ≤≤0V '>，当l ≤0V '<，所以当l =V 取最大值，最大值为643，又3l =时，274V =，l =814V =, 所以正四棱锥的体积V 的最小值为274， 所以该正四棱锥体积的取值范围是276443⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 故选：C.二、多选题9．（2022·广东茂名·二模）某一时段内，从天空降落到地面上的液态或固态的水，未经蒸发，而在水平面上积聚的深度称为这段时间的降雨量．24h 降雨量的等级划分如下：在一次暴雨降雨过程中，小明用一个大容量烧杯（如图，瓶身直径大于瓶口直径，瓶身高度为50cm ，瓶口高度为3cm ）收集雨水，容器内雨水的高度可能是（ ）A ．20cmB ．22cmC ．25cmD ．29cm【答案】CD【解析】【分析】设降雨量为x ，容器内雨水高度为h,根据雨水的体积相等关系可得到h,x 之间的关系49h x =，结合题意可得4200400[,)999x ∈，由此判断出答案. 【详解】设降雨量为x ，容器内雨水高度为h,根据体积相等关系可得：22π100π150x h ⨯=⨯，解得49h x = ， 由于[50,100)x ∈ ，故4200400[,)999x ∈， 故20040020040020,22[,),25,29[,)9999∉∈故选：CD ．10．（2023·湖北·高三阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧,DE AC 所在圆的半径分别是3和9，且120ABC ∠=，则该圆台的（ ）A ．高为42B ．体积为5023π C ．表面积为34πD ．上底面积､下底面积和侧面积之比为1:9:22【答案】AC【解析】 【分析】设圆台的上底面半径为r ，下底面半径为R ，求出1,3r R ==，即可判断选项A 正确；利用公式计算即可判断选项BCD 的真假得解.【详解】解：设圆台的上底面半径为r ，下底面半径为R ，则11223,22933r R ππππ=⨯⨯=⨯⨯，解得1,3r R ==．圆台的母线长6l =，圆台的高为h ==，则选项A 正确；圆台的体积()22133113π=⨯+⨯+=，则选项B 错误； 圆台的上底面积为π，下底面积为9π，侧面积为()13624ππ+⨯=，则圆台的表面积为92434ππππ++=，则C 正确；由前面可知上底面积､下底面积和侧面积之比为1:9:24，则选项D 错误．故选：AC ．11．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，12O O ，为圆柱上下底面的圆心，O 为球心，EF 为底面圆1O 的一条直径，若球的半径2r =，则（ ）A ．球与圆柱的表面积之比为12：B ．平面DEF 截得球的截面面积最小值为165π C ．四面体CDEF 的体积的取值范围为3203⎛⎤ ⎥⎝⎦，D ．若P 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE PF +的取值范围为2⎡+⎣【答案】BCD【解析】【分析】利用球的表面积公式及圆柱的表面积公式可判断A ，由题可得O 到平面DEF 的距离为1d 平面DEF 截得球的截面面积最小值可判断B ，由题可得四面体CDEF 的体积等于12E DCO V -可判断C ，设P 在底面的射影为P '，设2t P E '=，PE PF +PE PF +的取值范围可判断D.【详解】由球的半径为r ，可知圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为2r ，则球表面积为24r π，圆柱的表面积222226r r r r πππ+⋅=， 所以球与圆柱的表面积之比为23，故A 错误；过O 作1OG DO ⊥于G ，则由题可得12OG == 设O 到平面DEF 的距离为1d ，平面DEF 截得球的截面圆的半径为1r ，则1d OG ≤，22221114164455r r d d =-=-≥-=， 所以平面DEF 截得球的截面面积最小值为165π，故B 正确； 由题可知四面体CDEF 的体积等于12E DCO V -，点E 到平面1DCO 的距离(0,4]d ∈， 又114482DCO S =⨯⨯=，所以123228(0,]33E DCO V d -=⨯∈，故C 正确； 由题可知点P 在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设P 在底面的射影为P '， 则2222222,2,2,16PP PE P E PF P F P E P F '''''==+=++=，设2t P E '=，则20,4t ⎡⎤∈⎣⎦，PE PF +所以()2224PE PF +==+2424⎡⎤=++⎣⎦，所以2PE PF ⎡+∈+⎣，故D 正确.故选：BCD.12．（2022·全国·高考真题）如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，,2FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为123,,V V V ，则（ ）A ．322V V =B ．31V V =C ．312V V V =+D ．3123V V =【答案】CD【解析】【分析】直接由体积公式计算12,V V ，连接BD 交AC 于点M ，连接,EM FM ，由3A EFM C EFM V V V --=+计算出3V ，依次判断选项即可.【详解】设22AB ED FB a ===，因为ED ⊥平面ABCD ，FB ED ，则()2311114223323ACD V ED S a a a =⋅⋅=⋅⋅⋅=， ()232111223323ABC V FB S a a a =⋅⋅=⋅⋅⋅=，连接BD 交AC 于点M ，连接,EM FM ，易得BD AC ⊥， 又ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则ED AC ⊥，又ED BD D =，,ED BD ⊂平面BDEF ，则AC ⊥平面BDEF ，又12BM DM BD ==，过F 作FG DE ⊥于G ，易得四边形BDGF 为矩形，则,FG BD EG a ===，则,EM FM ===，3EF a =，222EM FM EF +=，则EM FM ⊥，212EFM SEM FM =⋅=，AC =， 则33123A EFM C EFM EFM V V V AC S a --=+=⋅=，则3123V V =，323V V =，312V V V =+，故A 、B 错误；C 、D 正确.故选：CD.三、填空题 13．（2021·全国·高考真题（文））已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π则该圆锥的侧面积为________.【答案】39π【解析】【分析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.【详解】∵216303V h ππ=⋅=∴52h =∴132l =∴136392S rl πππ==⨯⨯=侧. 故答案为：39π.14．（2020·江苏·高考真题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半径为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是 ____ cm 3. 【答案】1232π-【解析】【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.【详解】正六棱柱体积为262⨯ 圆柱体积为21()222ππ⋅=所求几何体体积为2π故答案为： 2π15．（2019·天津·高考真题（文）若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________. 【答案】4π. 【解析】【分析】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径．【详解】借助勾股定理，2=，.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，圆柱的底面半径为12，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为1，故圆柱的体积为21124ππ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭． 16．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）在三棱锥P ABC -中，点P 在底面的射影是ABC 的外心，2,3BAC BC PA π∠===___________. 【答案】12548π 【解析】【分析】先由正弦定理得，ABC 外接圆的半径，再由勾股定理，即可求出半径,从而可得外接球体积.【详解】解：设ABC 的外心为1O ,连接1PO ,则球心O 在1PO 上，连接1O A ,则1O A 为ABC 外接圆的半径r ,连接OA ,设外接球的半径为R ,则OA OP R ==,在ABC 中，由正弦定理得2,BC r sin BAC ==∠解得1r =,即11O A =, 在1Rt PAO 中，12,PO =在1Rt AOO ,中22211OO AO AO +=,即()22221R R -+=,解得：54R =, 所以外接球的体积为：3344125334854R V πππ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭===， 故答案为：12548π 四、解答题17．（2022·安徽芜湖·高一期末）如图①，有一个圆柱形状的玻璃水杯，底面圆的直径为20cm ，高为30cm ，杯内有20cm 深的溶液.如图①，现将水杯倾斜，且倾斜时点B 始终不离开桌面，设直径AB 所在直线与桌面所成的角为α.要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，求α的最大值. 【答案】4π【解析】【分析】当水杯倾斜过程中，溶液恰好不溢出时，此时α最大；在这个临界条件下，结合溶液的体积不变，可以得到关于α的一个不等式，即可求出α的取值范围，得到最大值.【详解】如图所示，在Rt △CDE 中20tan DE α=，()2221020tan 103020tan 10202παπαπ⨯⨯⨯⨯-+≥⨯⨯解得tan 1α≤，即α的最大值4π. 18．（2022·全国·南宁二中高三期末（文））图1是由矩形ABGF ，Rt ADE △和菱形ABCD 组成的一个平面图形，其中2AB =，1==AE AF ，60BAD ∠=︒，将该图形沿AB ，AD 折起使得AE 与AF 重合，连接CG ，如图2.(1)证明：图2中的C ，D ，E ，G 四点共面；(2)求图2中三棱锥C BDG -的体积.【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得//AB FG ，//AB CD ，即可得到//AB GE ，从而得到//CD EG ，即可得证；（2）依题意可得AE AD ⊥、AE AB ⊥，即可得到AE ⊥平面ABCD 从而得到BG ⊥平面ABCD ，再根据13C BDG G BCD BCD V V BG S --==⋅计算可得；(1)证明：在矩形ABGF 和菱形ABCD 中，//AB FG ，//AB CD ，所以//AB GE ，所以//CD EG ，所以C 、D 、E 、G 四点共面；(2)解：在Rt ADE △中AE AD ⊥，矩形ABGE 中AE AB ⊥，AD AB A ⋂=，,AD AB ⊂平面ABCD ，所以AE ⊥平面ABCD ，又//BG EA ，所以BG ⊥平面ABCD ，又11sin 2222BCD S BC CD BCD =⋅⋅∠=⨯⨯=所以11133C BDG G BCD BCD V V BG S --==⋅=⨯ 19．（2022·山西吕梁·高一期末）如图是某种水箱用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的半径是2cm ，圆柱筒的高是2cm ．(1)求这种“浮球”的体积；(2)要在100个这种“浮球”的表面涂一层防水漆，每平方厘米需要防水漆0.5g ，共需多少防水漆？【答案】(1)356(cm)3π (2)1200g π【解析】【分析】（1）由球的体积公式和圆柱的体积公式求解即可；（2）由球的表面积公式和圆柱的侧面积公式求解即可.(1)因为该“浮球”的圆柱筒底面半径和半球的半径2cm r =，圆柱筒的高为2cm ，所以两个半球的体积之和为331432(cm)33V r ππ==， 圆柱的体积2328(cm)V r h ππ==，∴该“浮球”的体积是31256(cm)3V V V π=+=； (2)根据题意，上下两个半球的表面积是221416(cm)S r ππ==，而“浮球”的圆柱筒侧面积为2228(cm)S rh ππ==，∴“浮球”的表面积为21224(cm)S S S π=+=；所以给100个这种浮球的表面涂一层防水漆需要100240.51200g ππ⨯⨯=.20．（2022·全国·高三专题练习）如图1，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，∠BAD =90°，12AB BC AD a ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到图2中1A BE 的位置，使平面1A BE ⊥平面BCDE ，得到四棱锥1A BCDE -．当四棱锥1A BCDE -的体积为a 的值．【答案】6a =.【解析】【分析】在直角梯形ABCD 中，证明BE AC ⊥，在四棱锥1A BCDE -中，由面面垂直的性质证得1A O ⊥平面BCDE ，再利用锥体体积公式计算作答.【详解】如图，在直角梯形ABCD 中，连接CE ，因E 是AD 的中点，12BC AD a ，有//,AE BC AE BC =，则四边形ABCE 是平行四边形，又,90BAD AB BC ∠==，于是得ABCE 是正方形，BE AC ⊥，在四棱锥1A BCDE -中，1BE AO ⊥，因平面1A BE ⊥平面BCDE ，且平面1A BE 平面BCDE BE =，1A O ⊂平面1A BE ，因此1A O ⊥平面BCDE ，即1A O 是四棱锥1A BCDE -的高，显然112AO AO CO AC ====，平行四边形BCDE 的面积2S CO BE a =⋅==，因此，四棱锥1A BCDE -的体积为2311133V S AO a =⋅===6a =， 所以a 的值是6.21．（2022·北京·高一期末）《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑 (四个面均为直角三角形的四面体)．在如图所示的堑堵111ABC A B C -中，已知3AB =，4BC =，5AC =．当阳马111C ABB A -体积等于24时， 求：(1)堑堵111ABC A B C -的侧棱长；(2)鳖臑1C ABC -的体积；(3)阳马111C ABB A -的表面积．【答案】(1)6(2)12 (3)51313【解析】【分析】（1）设堑堵111ABC A B C -的侧棱长为x ，根据阳马111C ABB A -体积等于24求解即可；（2）根据棱锥的体积计算即可；（3）分别计算111C ABB A -的侧面积与底面积即可(1)因为3AB =，4BC =，5AC =，所以222AB BC AC +=．所以△ABC 为直角三角形．设堑堵111ABC A B C -的侧棱长为x ，则113A ABB S x 矩形，则111143243AA BB V x C ， 所以6x =，所以堑堵111ABC A B C -的侧棱长为6．(2)因为13462ABC S =⨯⨯=△， 所以1111661233ABC ABC V S CC C ． 所以鳖臑1C ABC -的体积为12．(3) 因为11113462A B C S，11164122BB C S ， 11165152AA C S ，1132133132ABC S ， 113618A ABB S 矩形，所以阳马111C ABB A -的表面积的表面积为612151831351313． 22．（2022·重庆市巫山大昌中学校高一期末）如图，AB 是圆柱OO '的一条母线，BC 过底面圆心O ，D 是圆O 上一点．已知5,3AB BC CD ===，(1)求该圆柱的表面积；(2)将四面体ABCD 绕母线AB 所在的直线旋转一周，求ACD △的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积．【答案】(1)75π2(2)15π【解析】【分析】（1）由题意求出柱的底面圆的半径即可求解；（2）ACD △绕AB 旋转一周而成的封闭几何体的体积为两个圆锥的体积之差，结合圆锥体积公式求解即可(1)由题意知AB 是圆柱OO '的一条母线，BC 过底面圆心O ，且5AB BC ==， 可得圆柱的底面圆的半径为52R =， 则圆柱的底面积为221525πππ24S R ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 圆柱的侧面积为252π2π525π2S Rl ==⨯⨯= 所以圆柱的表面积为12257522π25ππ42S S S =+=⨯+=． (2) 由线段AC 绕AB 旋转一周所得几何体为以BC 为底面半径，以AB 为高的圆锥，线段AD 绕AB 旋转一周所得的几何体为BD 为底面半径，以AB 为高的圆锥，所以以ACD △绕AB 旋转一周而成的封闭几何体的体积为：22221111πππ55π4515π3333V BC AB BD AB =⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=．。
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(直线与方程)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（直线与方程）练习一. 基础小题练透篇1．过点P (3 ，－23 )且倾斜角为135°的直线方程为( ) A ．3x －y －43 ＝0 B ．x －y －3 ＝0 C ．x ＋y －3 ＝0 D ．x ＋y ＋3 ＝02．直线l ：x ＋3 y ＋1＝0的倾斜角的大小为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°3．[2023ꞏ河北示范性高中开学考]“λ＝3”是“直线(2λ－3)x ＋(λ＋1)y ＋3＝0与直线(λ＋1)x －λy ＋3＝0互相垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4．[2023ꞏ广东韶关月考]过点M ()－1，－2 ，在两坐标轴上截距相等的直线方程为( ) A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y ＝0或x ＋y ＋3＝0C ．y ＝x －1D ．x ＋y ＋3＝0或y ＝x －15．[2023ꞏ湖北省质量检测]在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x ＋2y ＋1＝0和x ＋2y ＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x －4y ＋c 1＝0和3x －4y ＋c 2＝0，则|c 1－c 2|＝( )A ．23B ．25C ．2D ．46．[2023ꞏ杭州市长河高级中学期中]已知直线l 过点P ()2，4 ，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为( )A ．2x －y ＝0B ．2x ＋y －8＝0C ．2x －y ＝0或x ＋2y －10＝0D ．2x －y ＝0或2x ＋y －8＝07．经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线方程为________．8．[2023ꞏ宁夏银川月考]已知直线3x ＋4y ＋3＝0与直线6x ＋my －14＝0平行，则它们之间的距离是________．二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ江苏泰州调研]已知直线l ：x ＋()a －1 y ＋2＝0，l 2：3 bx ＋y ＝0，且l 1⊥l 2，则a 2＋b 2的最小值为( )A ．14B ．12C ．22 D ．13162．[2023ꞏ河北邢台市月考]下列四个命题中，正确的是( ) A ．直线3x ＋y ＋2＝0在y 轴上的截距为2 B ．直线y ＝0的倾斜角和斜率均存在C ．若两直线的斜率k 1，k 2满足k 1＝k 2，则两直线互相平行D ．若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等3．[2023ꞏ福建宁德质量检测]已知点A (－2，1)和点B 关于直线l ：x ＋y －1＝0对称，斜率为k 的直线m 过点A 交l 于点C .若△ABC 的面积为2，则实数k 的值为( )A ．3或13 B ．0C ．13 D ．34．[2023ꞏ云南大理检测]设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )(点P 与点A ，B 不重合)，则△P AB 面积的最大值是( )A ．25B ．5C ．52 D ．55．[2023ꞏ重庆黔江检测]在平面直角坐标系中，△ABC 的一个顶点是A (－3，1)，∠B ，∠C 的平分线所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程为________.6．[2023ꞏ云南楚雄期中]已知平面上一点M (5，0)，若直线l 上存在点P ，使|PM |＝4，则称该直线为点M 的“相关直线”，下列直线中是点M 的“相关直线”的是________．(填序号)①y ＝x ＋1；②y ＝2；③4x －3y ＝0；④2x －y ＋1＝0.三. 高考小题重现篇1.[2020ꞏ全国卷Ⅱ]若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( )A ．55 B ．255 C ．355 D ．4552．[2020ꞏ全国卷Ⅲ]点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 3．[北京卷]在平面直角坐标系中，记d 为点P (cos θ，sin θ)到直线x －my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．[2019ꞏ江苏卷]在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．四. 经典大题强化篇1.[2023ꞏ武汉调研]已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点． (1)若点A (5，0)到l 的距离为3，求l 的方程；(2)求点A (5，0)到l 的距离的最大值．2．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1，2)，求：(1)点A 和点C 的坐标； (2)△ABC 的面积．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：D答案解析：因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1， 所以直线方程为y ＋23 ＝－（x －3 ），即x ＋y ＋3 ＝0. 2．答案：D答案解析：由l ：x ＋3 y ＋1＝0可得y ＝－33 x －33 ，所以直线l 的斜率为k ＝－33 ，设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝－33，因为0°≤α<180°，所以α＝150°. 3．答案：A答案解析：∵直线（2λ－3）x ＋（λ＋1）y ＋3＝0与直线（λ＋1）x －λy ＋3＝0互相垂直，∴（2λ－3）（λ＋1）－λ（λ＋1）＝0，∴λ＝3或－1， 而“λ＝3”是“λ＝3或－1”的充分不必要条件，∴“λ＝3”是“直线（2λ－3）x ＋（λ＋1）y ＋3＝0与直线（λ＋1）x －λy ＋3＝0互相垂直”的充分不必要条件，故选A. 4．答案：B答案解析：当所求直线不过原点时，设所求直线的方程为x ＋y ＝a ， 因为直线过点M ()－1，－2 ，代入可得a ＝－3，即x ＋y ＋3＝0； 当所求直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，因为直线过点M ()－1，－2 ，代入可得k ＝2，即2x －y ＝0， 综上可得，所求直线的方程为2x －y ＝0或x ＋y ＋3＝0. 故选B. 5．答案：B答案解析：设直线x ＋2y ＋1＝0与直线3x －4y ＋c 2＝0的交点为A ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＝03x －4y ＋c 2＝0 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－c 2＋25y ＝c 2－310，故A （－c 2＋25 ，c 2－310 ），同理设直线x ＋2y ＋1＝0与直线3x －4y ＋c 1＝0的交点为B ，则B （－c 1＋25 ，c 1－310），设直线x ＋2y ＋3＝0与直线3x －4y ＋c 1＝0的交点为C ，则C （－c 1＋65 ，c 1－910），设直线x ＋2y ＋3＝0与直线3x －4y ＋c 2＝0的交点为D ，则D （－c 2＋65 ，c 2－910），由菱形的性质可知BD ⊥AC ，且BD ，AC 的斜率均存在，所以k BD ·k AC ＝－1，则c 1－310－c 2－910－c 1＋25－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2＋65 ·c 2－310－c 1－910－c 2＋25－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 1＋65 ＝－1，即36－（c 2－c 1）24[]16－（c 2－c 1）2 ＝－1，解得|c 1－c 2|＝25 .6．答案：D答案解析：若直线l 经过原点，满足条件，可得直线l 的方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0；若直线l 不经过原点，可设直线l 的方程为x a ＋y2a＝1()a ≠0 ，把点P ()2，4 代入可得2a ＋42a ＝1，解得a ＝4，∴直线l 的方程为x 4 ＋y8＝1，即2x ＋y －8＝0，综上可得直线l 的方程为2x －y ＝0或2x ＋y －8＝0. 故选D.7．答案：4x －3y ＋9＝0答案解析：方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－53，y ＝79即交点为（－53 ，79），∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直，∴所求直线的斜率为k ＝43.由点斜式得所求直线方程为y －79 ＝43 （x ＋53），即4x －3y ＋9＝0.方法二 由垂直关系可设所求直线方程为4x －3y ＋m ＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0， 可解得交点为（－53 ，79 ），代入4x －3y ＋m ＝0，得m ＝9，故所求直线方程为4x －3y ＋9＝0. 方法三 由题意可设所求直线方程为（2x ＋3y ＋1）＋λ（x －3y ＋4）＝0，即（2＋λ）x ＋（3－3λ）y ＋1＋4λ＝0 ① 又∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直，∴3（2＋λ）＋4（3－3λ）＝0，∴λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x －3y ＋9＝0.8．答案：2答案解析：∵直线3x ＋4y ＋3＝0与直线6x ＋my －14＝0平行，∴m ＝8，6x ＋8y －14＝0可化为3x ＋4y －7＝0.∴它们之间的距离为|3－（－7）|32＋42＝2.二 能力小题提升篇1．答案：A答案解析：l 1⊥l 2，则3 b ＋a －1＝0，∴a ＝1－3 b ， 所以a 2＋b 2＝()1－3b 2＋b 2＝4b 2－23 b ＋1，二次函数的抛物线的对称轴为b ＝－－232×4 ＝34，当b ＝34 时，a 2＋b 2取最小值14. 故选A. 2．答案：B答案解析：对于直线3x ＋y ＋2＝0，令x ＝0得y ＝－2，所以直线3x ＋y ＋2＝0在y 轴上的截距为－2，故A 错误；直线y ＝0的倾斜角为0，斜率为0，存在，故B 正确；若两直线的斜率k 1，k 2满足k 1＝k 2，则两直线互相平行或重合，所以C 错误；若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，所以D 错误．故选B. 3．答案：B答案解析：设点B （x ，y ），则⎩⎪⎨⎪⎧y －1x ＋2＝1，x －22＋y ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3， 则B （0，3）.由已知可得直线m 的方程为y －1＝k （x ＋2），与方程x ＋y －1＝0联立， 解得x ＝－2k k ＋1，y ＝3k ＋1k ＋1 ，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k ＋1，3k ＋1k ＋1 . 由已知可得直线AB 的方程为y －1＝x ＋2，即y ＝x ＋3，且|AB |＝22 ， 则点C 到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k k ＋1－3k ＋1k ＋1＋32 ＝|2－2k |2|k ＋1|， 所以S △ABC ＝12 ×22 ·|2－2k |2|k ＋1|＝2，即|1－k |＝|k ＋1|（k ≠－1），解得k ＝0. 4．答案：C答案解析：动直线x ＋my ＝0，令y ＝0，解得x ＝0，因此此直线过定点A （0，0）. 动直线mx －y －m ＋3＝0，即m （x －1）＋3－y ＝0，令x －1＝0，3－y ＝0，解得x ＝1，y ＝3，因此此直线过定点B （1，3）.当m ＝0时，两条直线分别为x ＝0，y ＝3，交点P （0，3），S △PAB ＝12 ×1×3＝32.当m ≠0时，两条直线的斜率分别为－1m ，m ，则－1m·m ＝－1，因此两条直线相互垂直．设|PA |＝a ，|PB |＝b ，∵|AB |＝12＋32 ＝10 ，∴a 2＋b 2＝10.又a 2＋b 2≥2ab ，∴ab ≤5，当且仅当a ＝b ＝5 时等号成立．∴S △PAB ＝12 |PA |·|PB |＝12 ab ≤52.综上，△PAB 的面积最大值是52.5．答案：2x －y －5＝0答案解析：因为∠B ，∠C 的平分线所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝x ，所以直线AB 与直线BC 关于直线x ＝0对称，直线AC 与直线BC 关于直线y ＝x 对称．则点A （－3，1）关于直线x ＝0对称的点A ′（3，1）在直线BC 上，点A （－3，1）关于直线y ＝x 对称的点A″（1，－3）也在直线BC上，所以由两点式得直线BC的方程为y＋31＋3＝x－13－1，即y＝2x－5.6．答案：②③答案解析：①点M到直线y＝x＋1的距离d＝|5－0＋1|12＋（－1）2＝32>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4成立，故①不是点M 的“相关直线”．②点M到直线y＝2的距离d＝|0－2|＝2<4，即点M与该直线上的点的距离的最小值小于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4成立，故②是点M的“相关直线”．③点M到直线4x－3y＝0的距离d＝|4×5－3×0|42＋（－3）2＝4，即点M与该直线上的点的距离的最小值等于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4成立，故③是点M的“相关直线”．④点M到直线2x－y＋1＝0的距离d＝|2×5－0＋1|22＋（－1）2＝1155>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4成立，故④不是点M的“相关直线”．三 高考小题重现篇1．答案：B答案解析：设圆心为P（x0，y0），半径为r，∵圆与x轴，y轴都相切，∴|x0|＝|y0|＝r，又圆经过点（2，1），∴x0＝y0＝r且（2－x0）2＋（1－y0）2＝r2，∴（r－2）2＋（r－1）2＝r2，解得r＝1或r＝5.①r＝1时，圆心P（1，1），则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝|2－1－3|22＋（－1）2＝255；②r＝5时，圆心P（5，5），则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝|10－5－3|22＋（－1）2＝255.2．答案：B答案解析：方法一 点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）的距离为d＝|k·0－（－1）＋k|k2＋1＝|k＋1|k2＋1，注意到k2＋1≥2k，于是2（k2＋1）≥k2＋2k＋1＝|k＋1|2，当且仅当k＝1时取等号．即|k＋1|≤k2＋1·2，所以d＝|k＋1|k2＋1≤2，故点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）距离的最大值为2.方法二 由题意知，直线l：y＝k（x＋1）是过点P（－1，0）且斜率存在的直线，点Q（0，－1）到直线l的最大距离在直线l与直线PQ垂直时取得，此时k＝1，最大距离为|PQ|＝2.3．答案：C答案解析：由题意可得d＝|cos θ－m sin θ－2|m2＋1＝|m sin θ－cos θ＋2|m2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m2＋1（mm2＋1sin θ－1m2＋1cos θ）＋2m2＋1＝|m2＋1sin （θ－φ）＋2|m2＋1（其中cos φ＝mm2＋1，sin φ＝1m2＋1），∵－1≤sin （θ－φ）≤1，∴|2－m 2＋1|m 2＋1 ≤d ≤m 2＋1＋2m 2＋1 ，m 2＋1＋2m 2＋1 ＝1＋2m 2＋1，∴当m ＝0时，d 取最大值3.4．答案：4答案解析：通解 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，x ＋4x ，x >0，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|x ＋x ＋4x |2＝2x ＋4x 2 ≥22x ·4x 2＝4，当且仅当2x ＝4x，即x ＝2 时取等号，故点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是4.优解 由y ＝x ＋4x （x >0）得y ′＝1－4x 2 ，令1－4x2 ＝－1，得x ＝2 ，则当点P 的坐标为（2 ，32 ）时，点P 到直线x ＋y ＝0的距离最小，最小值为|2＋32|2＝4. 四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）易知点A 到直线x －2y ＝0的距离不等于3，可设经过两已知直线交点的直线系方程为（2x ＋y －5）＋λ（x －2y ）＝0，即（2＋λ）x ＋（1－2λ）y －5＝0.由题意得|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2 ＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或12.∴l 的方程为4x －3y －5＝0或x ＝2.（2）由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点为P （2，1），如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A到l 的距离，则d ≤|PA |（当l ⊥PA 时等号成立）.∴d max ＝|PA |＝10 .2．答案解析：（1）由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0，解得点A （－1，0）.又直线AB 的斜率为k AB ＝1，且x 轴是∠A 的平分线，故直线AC 的斜率为－1，所以AC 所在的直线方程为y ＝－（x ＋1）. 已知BC 边上的高所在的直线方程为x －2y ＋1＝0，故直线BC 的斜率为－2，故BC 所在的直线方程为y －2＝－2（x －1）.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－（x ＋1），y －2＝－2（x －1）， 得点C 的坐标为（5，－6）.（2）因为B （1，2），C （5，－6），所以|BC |＝（1－5）2＋（2＋6）2＝45 ，点A（－1，0）到直线BC：y－2＝－2（x－1）的距离为d＝|2×（－1）－4|5＝65，所以△ABC的面积为12×45×65＝12.。
高考数学小题-比较大小专练
教案及讲义课题：比较大小专练一．选择题（共60小题）1．设a＝log54，则，c＝0.5﹣0.2，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b2．设a＝log5，b＝20.1，c＝log32，则（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b3．设a＝log32，b＝ln2，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a4．若a＝ln（ln）2，b＝2ln（ln2），c＝ln2，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜b＜c5．已知3a＝2b＝log2c＝6，则3a，2b，的大小关系为（）A．B．C．D．6．设a＝log23，b＝log34，c＝log48，则（）A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．a＜b＜c7．已知a＝21.2，b＝log54，，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a8．设a＝，b＝ln2，c＝，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a9．已知a＝log0.92，b＝log0.90.7，c＝0.70.9，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b10．已知a＝log30.3，b＝30.3，c＝0.31.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a11．已知，b＝log32，c＝log2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a12．令a＝60.7，b＝0.76，c＝log0.76，则a，b，c的大小顺序是（）A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b13．已知a＝log20.3，b＝30.2，c＝0.32，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a14．已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b15．设a＝logπ3，b＝+log23，c＝（），则（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a16．设a＝log35，b＝log49，c＝log57，则（）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b17．若x＝log50.3，y＝30.3，z＝0.32，则x，y，z的大小关系是（）A．y＞z＞x B．z＞y＞x C．z＞x＞y D．y＞x＞z18．已知a＝0.80.9，b＝ln，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a19．设a＝log34，b＝，c＝，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a20．若a＝0.54，b＝30.5，c＝ln0.5，则下列结论正确的是（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b21．已知，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a22．已知a＝ln3，b＝3﹣0.4，c＝3﹣0.5，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a23．已知实数a，b，c满足1.5a＝3.1，5b＝0.1，c＝，则（）A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a24．已知a＝log35，b＝π，c＝2﹣0.1，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b25．已知a＝e﹣0.5，b＝ln5，c＝log0.5e，则（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c26．已知a＝log0.20.02，b＝log660，c＝ln6，则（）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b27．已知a＝log0.20.05，b＝0.51.002，c＝4cos1，则下列判断正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．b＜a＜c28．下列不等式成立的是（）A．log3＜log23＜log25B．log3＜log25＜log23C．log23＜log3＜log25D．log23＜log25＜log329．已知a＝2，b＝log2，c＝π0，则（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a30．已知，b＝log32，c＝cos3，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b31．a＝sin1，b＝lg sin1，c＝10sin1，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a32．设a＝30.3，，c＝log0.60.8，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b33．已知，，c＝sin1，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b34．已知a＝ln2，，，则（）A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c35．已知a＝log2π，b＝ln，c＝π﹣2，则（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b36．已知a＝log52，b＝log83，c＝2﹣1，则下列判断正确的是（）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c37．若，，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a38．若，则（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a39．已知a＝ln3，b＝sin，c＝3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b40．以下四组数中大小比较正确的是（）A．log3.1π＜logπ3.1B．π﹣0.2＜π﹣0.1C．0.50.3＜0.40.3D．0.40.3＜0.10.741．设a＝30.2，b＝log0.23，c＝sin（﹣2021°），则（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c42．已知a，b，c均为正实数，且b≠1，若，则下列关系中可能成立的是（）A．a＝b＜c B．a＝c＜b C．a＜c＜b D．b＜c＜a43．三个数的大小关系是（）A．B．C．D．44．已知，b＝log92，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b45．已知a＝log0.30.5，b＝30.5，c＝cos3，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c46．已知，，b＝（sinα）α，c＝（cosα）α，则（）A．c＞a＞b B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．c＞b＞a47．设a＝log20.3，b＝0.4，c＝0.40.3，则三者大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b48．已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是（）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c49．已知a＝log1.10.9，b＝0.91.1，c＝1.10.9，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a50．已知a＝log65，b＝60.1，c＝log56，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a51．已知a＝log32，b＝ln2，c＝0.5﹣0.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b52．已知函数f（x）＝e﹣|x|，，，，则下述关系式正确的是（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c53．设a＝，b＝log0.30.4，c＝3ln2，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．a＜b＜c54．已知a＝log0.22，b＝30.3，c＝log32，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a55．已知函数f（x）＝2|x|，a＝f（（）），b＝f（log3），c＝f（log5），则a、b、c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b56．已知a＝（）﹣0.8，b＝，c＝40.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a57．已知2020a＝2021，2021b＝2020，c＝ln2，则（）A．log a c＞log b c B．log c a＞log c bC．a c＜b c D．c a＜c b58．已知a＝4ln3π，b＝3ln4π，c＝4lnπ3，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c59．已知a＝，b＝，c＝2ln，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b60．已知a＝log3，b＝2cosθ，c＝πe，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b。
2023年新高考数学创新题型微专题08 数列专题(新定义)(解析版)
专题08 数列专题（新定义）一、单选题1．（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）对于正项数列{}n a 中，定义：12323nn a a a na G n+++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“匀称值”已知数列{}n a 的“匀称值”为2n G n =+，则该数列中的10a =（ ） A ．83B ．125 C ．94D ．2110【答案】D【分析】确定()123223n n nG n n a a a na =+=+++⋅⋅⋅+，取10n =和9n =带入式子，相减得到答案. 【详解】123232nn a a a na G n n+++⋅⋅⋅+==+，即()123223n n nG n n a a a na =+=+++⋅⋅⋅+，故()12310231010102a a a a +++⋅⋅⋅+=⨯+；()1239239992a a a a +++⋅⋅⋅+=⨯+； 两式相减得101021a =，所以102110a =． 故选：D2．（2023春·浙江·高三开学考试）对任意正整数对(,)h k ，定义函数(,)f h k 如下：(1,)1f j =，()()()()11,,,i f i j j i f i j i ++=−≤，则（ ）A ．(1,)1f j j +=B ．1(,)2C i j f i j −=C ．()21(,)21jji j f i j j =⎡⎤⋅=⋅−⎣⎦∑D ．[]11(,)22jn nj i j f i j n ==⋅=+−∑∑【答案】C【分析】根据新定义得(1,)(,)1f i j j if i j i +−=+，令i j =即可判断A ，根据()()()()()()2,3,4,123,,,1,22,33,4f j f j f j j j j f j f j f j −−−===累乘可判断B ，利用二项式定理求得12C C C 21nnnnn+++=−，结合()211(,)21jji jji i j f i j j C j ==⎡⎤⋅==−⎣⎦∑∑判断C ，[]()111(,)21j n nj j i j j f i j ===⋅=−∑∑∑，结合等比数列的前n 项和公式判断D. 【详解】()()()()()()1,11,,,,1f i j j ii f i j j i f i j f i j i +−++=−∴=+，令i j =，则(1,)0(,)f j j f j j +=，(1,)0f j j ∴+=，A 错误；(2,)1(3,)2(4,)3,,,(1,)2(2,)3(3,)4f j j f j j f j j f j f j f j −−−===，(,)1,(1,)f i j j i f j i−+= 累乘得：(,)(1)(2)(3)(1)1C (1,)2345ij f i j j j j j i f j i j−−−−+==⨯⨯⨯⨯⨯，1(1,)1,(,)C ,()ij f j f i j i j j=∴=≤，令1i =，则B 错误； 因为()01211C C C C nnn n n n +=++++，所以12C C C 21n nn n n +++=−，()211(,)C 21jji jj i i jf i j j j ==⎡⎤⋅==−⎣⎦∑∑，则C 正确；[]()11112(12)(,)212212n jnnjn j i j j f i j n n +===−⋅=−=−=−−−∑∑∑，则D 错误． 故选：C ．3．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）定义：对于数列{}n a ，如果存在一个常数()*N T T ∈，使得对任意的正整数0n n ≥恒有n T n a a +=，则称数列{}n a 是从第0n 项起的周期为T 的周期数列．已知周期数列{}n b 满足：11b =，23b =，12n n n b b b −−=−（3n ≥），则2023b =（ ） A ．1− B ．3− C ．2− D ．1【答案】D【分析】写出周期数列{}n b 的前几项，发现周期为6，进而求得2023b 的值. 【详解】写出周期数列{}n b 的前几项：1，3，2，1−，3−，2−，1，3，2，1−，3−，2−，1，…， 发现周期数列{}n b 是周期为6的周期数列， ∴20233376111b b b ⨯+===． 故选：D ．4．（2023秋·福建南平·高二统考期末）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，nn S b n=，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“均值数列”．已知数列{}n b 是数列{}n a 的“均值数列”且n bn =，设数列⎧⎫的前n 项和为n T ，若()2132n m m T −<对*n ∈N 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[]1,2−B ．()1,2-C ．()(),12,−∞−⋃+∞D ．(][),12,−∞−⋃+∞【答案】B【分析】由新定义求得n S ，然后由1n n n a S S −=−求得n a ，从而可求得n T （裂项相消法）后得n T 的最小值，解相应不等式可得结论． 【详解】由题意nS n n=,即2n S n =, ∴2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n −=−=−−=−，又111a S ==，∴*n ∈N 时，21n a n =−，==2n n T +=+=， 易知1{}2是递增数列，∴1{}2的最小值是12（1n =时取得）， 由题意21(3)2m m −<，解得12m −<<．故选：B ．5．（2023秋·山西长治·高三校联考阶段练习）对于一个n 项数列()*1212:,,,,1,n k k A a a a S a a a k n k =+++≤≤∈N ，记A 的“Cesaro 平均值”为()121+++n S S S n，若数列121010,,,a a a 的“Cesaro 平均值”为2022，数列121010,,,,x a a a 的“Cesaro 平均值”为2046，则x =（ ）A ．24B ．26C ．1036D ．1541【答案】B【分析】先求出121010S S S +++的值，再根据Cesaro 平均值的求法列出等式，即可求出x 的值.【详解】因为数列121010,,,a a a 的“Cesaro 平均值”为12101020221010S S S +++=，所以12101020221010S S S +++=⨯. 因为121010,,,,x a a a 的“Cesaro 平均值”为()()()12101020461011x x S x S x S +++++++=，所以10112022101020461011x +⨯=，所以20202046x +=，解得26x =，故选:B.6．（2023春·湖北咸宁·高二校考开学考试）等比数列{}n a 中1512a =，公比12q =−，用12Π⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n a a a 表示它的前n 项之积，则1Π，2Π，…，n ∏中最大的是（ ） A ．11Π B ．10Π C ．9Π D ．8Π【答案】C【分析】根据题意分析,n n a ∏的符号，结合前n 项之积的性质运算求解.【详解】∵110,02a q >=−<，则当n 为奇数时，0n a >，当n 为偶数时，0n a <，∴当()43N n k k *=−∈或()4N n k k *=∈时，0n ∏>，当()42N n k k *=−∈或()41N n k k *=−∈时，0n ∏<，由题意可得：115122n n a −⎛⎫=− ⎪⎝⎭，令1151212n n a −⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，解得10n ≤，若n ∏取到最大，则3k =，9n =，即{}n ∏中最大的是9Π. 故选：C.7．（2022秋·北京·高二北京二中校考期末）如果数列{}n a 满足211n n n na a k a a +++−=（k 为常数），那么数列{}n a 叫做等比差数列，k 叫做公比差．下列四个结论中所有正确结论的序号是（ ） ①若数列{}n a 满足12n na n a +=，则该数列是等比差数列；②数列{}2nn ⋅是等比差数列；③所有的等比数列都是等比差数列； ④存在等差数列是等比差数列． A ．①②③ B ．①③④ C ．①②④ D ．②③④【答案】B【分析】根据比等差数列的定义211n n n na a k a a +++−=(k 为常数)，逐一判断①②③④是否是等比差数列即可可得到答案.【详解】①数列{}n a 满足12n na n a +=，则2112(1)22n n n na a n n a a +++−=+−=，满足等比差数列的定义，故①正确； ②数列{2}n n ⋅，+212111(2)2(1)2(1)22n n n n n nn n a a a a n n n n +++++−=+⋅+⋅−+⋅⋅ 2(2)2(1)22(1)(1)n n n n n n n ⋅+⋅−+⋅==−⋅+⋅+，不满足等比差数列的定义，故②错误； ③设等比数列的公比为q ，则2110n n n na a a a q q +++−==−，满足等比差数列，故③正确； ④设等差数列的公差为d ， 则22112()n n n n n n n n n n a a a a a d a d d a d a a a d +++−++−=−=++， 故当0d=时，满足2110n n n na a a a +++−=，故存在等差数列是等比差数列，即④正确；故答案为：①③④ 故选：B.8．（2019秋·北京·高三101中学校考阶段练习）定义在()(),00,∞−+∞U 上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，(){}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”．现有定义在()(),00,∞−+∞U 上的如下函数：①()2f x x =；②()2xf x =；③()1f x x=；④()ln f x x =，其中是“保等比数列函数”的序号为（ ） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④【答案】C【分析】根据新定义，结合等比数列性质221n n n a a a ++=，一一加以判断，即可得到结论．通过积的乘方，即可判断①；通过指数的幂的运算，即可判断②；通过积的运算即可判断③；由对数的运算法则，即可判断④．【详解】设{}n a 是等比数列，由等比数列性质知221n n n a a a ++=，对于①，()()()()222222211n n n n n n a a f a f a a f a ++++===，即(){}n f a 仍是等比数列，故正确；对于②，()()()22122212222n n n n n a a a a a n n n f a f a f a ++++++==≠=，即(){}n f a 不是等比数列，故不正确； 对于③，()()()221221111n n n n n n f a f a f a a a a ++++=⋅==，即(){}n f a 是等比数列，故正确；对于④，()()()()222211ln ln ln n n n n n n f a f a a a a f a ++++=≠=， 即(){}n f a 不是等比数列，故不正确； 故选：C ．9．（2023秋·吉林·高二吉林一中校考期末）若数列{}n a 满足1120n na a +−=，则称{}n a 为“必会数列”，已知正项数列{}n a 为“必会数列”，若453a a +=，则23a a +=（ ）. A ．19B ．1C ．6D ．12【答案】D【分析】根据数列新定义可得数列{}n a 是以12q =为公比的等比数列，利用等比数列通项公式，即可求得答案.【详解】由题意数列{}n a 满足1120n n a a +−=，可得112n n a a +=， 故正项数列{}n a 是以12q =为公比的等比数列， 则2322532341()()3,124a a a a a a a a q +===+∴=++，故选：D10．（2022秋·陕西渭南·高二统考期末）设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意的n *∈N ，均有n k n a a +>，则称{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数.若{}n b 是间隔递增数列，则数列{}n b 的通项不可能．．．是（ ）A ．92n b n n=−B ．31n n b =+C ．113n nb =−D ．()2nn b n =−−【答案】D【分析】根据间隔递增数列的定义求解即可. 【详解】对于A ：()()9922n k n b n k n b n k n ++−=−++−，化简得：()920n n kb k n b n k +⎡⎤=+>⎢⎥+−⎢⎥⎣⎦，存在正整数k ，使得对任意的n *∈N ，0n n k b b +>−恒成立，所以{}n b 是间隔递增数列；对于B ：()3131313n k n k nk n n b b ++=+−−−−=， 因为k 为正整数且n *∈N ，所以()3130k n−>，所以0n n k b b +>−，所以{}n b 是间隔递增数列； 对于C ：11111113333n k n k n nn k b b ++⎪−⎛⎫=−−+=− ⎝⎭， 因为k 为正整数且n *∈N ，所以111033n k ⎛⎫−> ⎪⎝⎭，所以0n n k b b +>−，所以{}n b 是间隔递增数列； 对于D ：()()()22n knn k n b n k n b ++−=−+−+−()()()22n kn n k ⎡⎤=−−+−⎣⎦，当k ∈正奇数，n *∈N 时，()()20kn n k −+−>，()2n−的正负由n 的奇偶性决定，此时0n n k b b +>−不恒成立，不符合间隔递增数列的定义；当k ∈正偶数，n *∈N 时，()()20kn n k −+−<，()2n−的正负由n 的奇偶性决定，此时0n n k b b +>−不恒成立，不符合间隔递增数列的定义； 故选：D.11．（2023·全国·高三专题练习）对于数列{}n a ，若存在正整数()2k k ≥，使得1k k a a −<，1k k a a +<，则称k a 是数列{}n a 的“谷值”，k 是数列{}n a 的“谷值点”．在数列{}n a 中，若98n a n n=+−，则数列{}n a 的“谷值点”为（ ） A ．2 B ．7C ．2，7D ．2，5，7【答案】C【分析】先求出12a =，232a =，32a =，474a =，565a =，612a =，727a =，898a =，再得到7n ≥，N n ∈，980n n+−>，结合数列的单调性以及谷值点的定义即可得求解．【详解】因为98n a n n=+−， 所以12a =，232a =，32a =，474a =，565a =，612a =，727a =，898a =，当7n ≥，N n ∈，980n n+−>，所以9988n a n n n n =+−=+−，因为函数98y x x=+−在[)7,+∞上单调递增， 所以7n ≥时，数列98n a n n=+−为单调递增数列， 所以21a a <，23a a <，76a a <，78a a <， 所以数列{}n a 的“谷值点”为2，7． 故选：C.12．（2023·全国·高二专题练习）若数列{}n a 满足121n n a a +=−，则称{}n a 为“对奇数列”．已知正项数列{}1n b +为“对奇数列”，且12b =，则n b =（ ） A ．123n −⨯ B ．12n − C ．12n + D ．2n【答案】D【分析】根据题意可得()11211n n b b ++=+−，进而可得{}n b 为等比数列，再求得通项公式即可.【详解】由题意得()11211n n b b ++=+−，所以12n n b b +=，又12b =，所以{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，所以1222n nn b −=⨯=．故选：D ．13．（2022春·辽宁葫芦岛·高二校联考阶段练习）设()n a Ω表示落在区间[],n n a 内的偶数个数.在等比数列{}n a n −中，14a=，211a =，则()4a Ω=（ ）A ．21B ．20C ．41D ．40【答案】C【分析】设{}n a n −的公比为q ，根据1a 和2a 求出q ，从而得n a 和4a ，再根据()n a Ω的定义可求出结果. 【详解】设{}n a n −的公比为q ，则2121123141a q a −−===−−， 所以111(1)(41)33n n n n a n a q−−−=−⋅=−⋅=，则3n n a n =+，所以445438a =+=.所以落在区间[]4,85内的偶数共有41个，故()441a Ω=. 故选：C14．（2023春·湖北·高三黄冈中学校联考开学考试）对于数列{}n a ，定义11222−=+++n n n A a a a 为数列{}n a 的“加权和”，已知某数列{}n a 的“加权和”12n n A n +=⋅，记数列{}+n a pn 的前n 项和为n T ，若5≤n T T 对任意的N n *∈恒成立，则实数p 的取值范围为（ ）A ．127,53⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦B ．167,73⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦C ．512,25⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦D ．169,74⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】根据n A 与n a 的关系求出n a ，再根据等差数列的求和公式求出n T ，将5≤n T T 化为216(5)06+⎛⎫−+≤ ⎪+⎝⎭n n p n 对任意的n N *∈恒成立，分类讨论n 可求出结果.【详解】由1112222n n n n A a a a n −+=+++=⋅，∴2n ≥时,212122(1)2n n n a a a n −−+++=−⋅，∴1122(1)2−+⋅=⋅−−⋅n n n n a n n ，∴22n a n =+，1n =时，14a =也成立，∴22n a n =+，∴数列{}+n a pn 的前n 项和为：12(12)n n T a a a p n =+++++++2(422)(1)(1)3222++++=+⋅=++⋅n n n n n n p n n p ，∵5≤n T T 对任意的n N *∈恒成立，∴225(1)56353522+⨯++⋅≤=+⨯+⨯n n n n p T p ， 即225335(1)5(51)022p pn n n n −+−⨯++−⨯⨯+≤， 即22225335(5)(5)022p pn n n n −+−⨯+−+−≤， 即5(5)(53)0222pn p p n n −+++++≤， 即(6)(5)(8)02p n n n +−++≤， 即216(5)06+⎛⎫−+≤ ⎪+⎝⎭n n p n 对任意的n N *∈恒成立，当14n ≤≤时，2164266+−≤=+++n p n n 对任意的n N *∈恒成立， 因为4412226465n +≥+=++，∴125−≤p ，所以125p ≥−，当5n =时，216(5)06n n p n +⎛⎫−+= ⎪+⎝⎭恒成立，R p ∈，当6n ≥时，2164266+−≥=+++n p n n 对任意的n N *∈恒成立， 因为447226663n +≤+=++，∴73−≥p ，所以73p ≤−，综上可得：实数p 的取值范围为127,53⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦．故选：A ．15．（2023·全国·高三专题练习）若数列{}n b 满足：若()*,m n b b m n ∈=N ，则11m n b b ++=，则称数列{}n b 为“等同数列”．已知数列{}n a 满足55a =，且()1+=−n n n a n a a ，若“等同数列”{}n b 的前n 项和为n S ，且114b a b ==，22b a =，510S a =，则2022S =（ ）A ．4711B ．4712C ．4714D ．4718【答案】D【分析】先对已知关系式变形，求出数列{}n a 的通项公式，再利用“等同数列”的定义与已知条件得{}n b 是周期数列，即可得2022S ． 【详解】由()1+=−n n n a n a a 得11n n a a n n+=+，则1251125n n n a a aa n n n −−=====−−， 故n a n =,所以111b a ==，222b a ==，411b a ==， 所以41b b =，所以522b b ==1010S a ==，所以3121210b ++++=，解得34b =，同理得634b b ==， 741b b ==，852b b ==，…，故数列{}n b 是以3为周期的数列，所以()202267431246744718S S ⨯==++⨯=， 故选:D ．16．（2022·全国·高三专题练习）设数列{}n a ，若存在常数t ，对任意小的正数s ，总存在正整数0n ，当0n n ≥时，n a t s −<，则数列{}n a 为收敛数列．下列关于收敛数列说法正确的是（ ） A ．若等比数列{}n a 是收敛数列，则公比()0,1q ∈ B ．等差数列不可能是收敛数列C ．设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是收敛数列D ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =，11n n S a +=+，则数列{}n a 是收敛数列 【答案】C【分析】根据题中定义，结合特殊的等差数列和等比数列、数列的周期性、等差数列前n 项和公式逐一判断即可.【详解】当数列为常数列（不为零），因此该数列是等差数列又是等比数列，显然该数列是收敛数列，因此选项AB 不正确；选项C ：设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0，所以1111(1)2n S na n n d =+−，当0d ≠时，当n →+∞时，10nS →， 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是收敛数列，因此本选项正确；选项D ：因为11a =，11n n S a +=+，所以可得21a =，当2,N n n *≥∈时，由1111n n n n S a S a +−=+⇒=+，两式相减，得11n n n a a a +−=−，所以345670,1,1,0,1a a a a a ==−=−==，所以该数列的周期为6，该数列不可能是收敛数列，因此本选项说法不正确， 故选：C【点睛】关键点睛：利用数列的周期性、常数列的性质是解题的关键.17．（2022春·安徽亳州·高三蒙城县第六中学校联考开学考试）设数列{}m A ：1a ，2a ，…，()2m a m ≥，若存在公比为q 的等比数列{}1m B +：1b ，2b ，…，1m b +，使得1k k k b a b +<<，其中1k =，2，…，m ，则称数列{}1m B +为数列{}m A 的“等比分割数列”.若数列{}10A 的通项公式为()21,2,,10nn a n ==，其“等比分割数列”{}11B 的首项为1，则数列{}11B 的公比q 的取值范围是（ ） A ．()9102,2 B ．()10112,2C ．()1092,2D ．()11102,2【答案】C【分析】由题意可得，()121,2,3,,10n n n qq n −<<=L ，从而可得2q >且()121,2,3,,10n n q n −<=L ，可得122nn q −<<，再根据指数函数的单调性求出12nn −的最小值即可【详解】由题意可得，()121,2,3,,10n n n qq n −<<=L ，所以2q >，且()121,2,3,,10n n qn −<=L ，当1n =时，12<成立；当2n =，3，…，10时，应有12nn q −<成立， 因为2x y =在R 上单调递增，所以111122nn n −−+=随着n 的增大而减小，故1092q <，综上，q 的取值范围是()1092,2. 故选：C.18．（2022春·江苏无锡·高二江苏省江阴市第一中学校考开学考试）若数列{an }满足21321111222n n a a a a a a −−<−<<−<……，则称数列{an }为“半差递增”数列.已知“半差递增”数列{cn }的前n项和Sn 满足*221()n n S c t n N +=−∈，则实数t 的取值范围是（ ）A ．1(,)2−∞B ．（-∞，1）C ．1(,)2+∞D ．（1， +∞）【答案】A【分析】根据*221()n n S c t n N +=−∈,利用递推公式求得数列{}n c 的通项公式.再根据新定义的意义,代入解不等式即可求得实数t 的取值范围.【详解】因为*221()n n S c t n N +=−∈所以当2n ≥时, 11221n n S c t −−+=−两式相减可得1220n n n c c c −+−=,即123n n c c −=,所以数列{}n c 是以公比23q =的等比数列 当1n =时,1213t c −=所以121233n n t c −−⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，则1221121221221223363183n n n n n t t t c c −−−−−−−⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=⋅−⋅=⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11112121212212233233183nn n n n t t t c c −−+−−−⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=⋅−⋅=⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由“差半递增”数列的定义可知21212212183183n n t t −−−−⎛⎫⎛⎫⋅<⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简可得()221213t t −<−⨯解不等式可得12t <即实数t 的取值范围为1,2⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭故选：A.19．（2022·浙江·高二学业考试）通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积6，得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为{}n a ，则1025a 的值是（ ） A ．6 B ．12 C ．18 D ．108【答案】A【分析】设数列经过第n 次拓展后的项数为n b ，因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则经过第1n +次拓展后增加的项数为1n b −，从而可得1121n n n n b b b b +=+−=−，从而可求出21nn b =+，从而可知经过11次拓展后在2与6之间增加的数为1021−，由此可得出经过11次拓展后6所在的位置，即可得出答案.【详解】解：设数列经过第n 次拓展后的项数为n b ，因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则经过第1n +次拓展后增加的项数为1n b −， 所以1121n n n n b b b b +=+−=−， 即()1121n n b b +−=−，即1121n n b b +−=−， 所以数列{}1−n b 是以12b =为首项，2为公比的等比数列，是以12nn b −=，所以21n n b =+，则经过11次拓展后在2与6之间增加的数为1021−，所以经过11次拓展后6所在的位置为第10102111211025−++=+=， 所以10256a =. 故选：A.二、多选题20．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）若数列{}n a 满足：对任意正整数{}1,n n n a a +−为递减数列，则称数列{}n a 为“差递减数列”．给出下列数列{}()*N n a n ∈，其中是“差递减数列”的有（ ） A ．2n n a = B ．2n a n =C ．n aD ．ln n a n =【答案】CD【分析】利用差递减数列的定义及函数的单调性即可求解.【详解】对A ，若2n n a =，则11222n n nn n a a ++−=−=，由函数2n y =在()0,∞+上单调递增，所以{}1n n a a +−为递增数列，故A 错误；对B ，若2n a n =，则221(1)21n n a a n n n +−=+−=+，由函数21y n =+在()0,∞+上单调递增，所以{}1n n a a +−为递增数列，故B 错误；对C ，若n a =1n n a a +−==y =()0,∞+上单调递减，所以{}1n n a a +−为递减数列，故C 正确；对D ，若ln n a n =，则()111ln 1ln ln ln 1n n n a a n n n ++⎛⎫−=+−==+ ⎪⎝⎭，由函数1ln 1y n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在()0,∞+上单调递减，所以{}1n n a a +−为递减数列，故D 正确． 故选：CD ．21．（2023春·江西新余·高二新余市第一中学校考阶段练习）若数列{}n a 满足：,A B ∃∈R ，0AB ≠，使得对于*n ∀∈N ，都有21n n n a Aa Ba ++=+，则称{}n a 具有“三项相关性”，下列说法正确的有（ ）. A ．若数列{}n a 是等差数列，则{}n a 具有“三项相关性” B ．若数列{}n a 是等比数列，则{}n a 具有“三项相关性” C ．若数列{}n a 是周期数列，则{}n a 具有“三项相关性”D ．若数列{}n a 具有正项“三项相关性”，且正数A ，B 满足1A B +=，12a a B +=，数列{}n b 的通项公式为n n b B =，{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，则对*n ∀∈N ，n n S T <恒成立【答案】ABD【分析】根据题目给出的“三项相关性”的定义，逐项验证即可.【详解】若{}n a 为等差数列，则有211n n n n a a a a +++−=−，212n n n a a a ++=−，A 正确；若数列{}n a 是等比数列，则21n n a qa ++=，1n n a qa +=，（0q ≠）,即()211n n n a q a qa ++=−+，易知1q ≠，显然成立，1q =时，21n n n a a a ++==，取12A B ==，有211122n n n a a a ++=+，也成立，所以B 正确； 对周期数列：0，0，1，0，0，1，⋅⋅⋅，所以1n =时，100A B =⨯+⨯，显然不成立，所以C 错误； 对D ，()211n n n a B a Ba ++=−+，即()211n n n n a a B a a ++++=+，12a a B += ∴121n n n n a a B BB −+++=⋅=，1B >，易知()211n n n n n a a B a a a ++++=+>，即n n b a >，*N n ∈，故n n S T <，D 正确； 故选：ABD22．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用n a 表示斐波那契数列的第n 项，则数列{}n a 满足：121a a ==，21n n n a a a ++=+，记121ni n i a a a a ==++⋅⋅⋅+∑，则下列结论正确的是（ ）A ．数列{}n a 是递增数列B ．()2123n n n a a a n −+=+≥C ．20222202220231i i a a a ==⋅∑D ．2021202311i i a a ==−∑【答案】BCD【分析】由数列的递推公式可判断A,B ；利用累加法计算可判断选项C,D.【详解】对A ，由21n n n a a a ++=+知，{}n a 的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55， 其中，第一二项相等，不满足递增性，故A 错误；对B ，根据递推公式12n n n a a a −−=+，得()21213n n n n n n n a a a a a a a n −−−++=++=+≥，故B 正确；对C ，2121a a a =⋅，()222312321a a a a a a a a =⋅−=⋅−⋅，()233423432a a a a a a a a =⋅−=⋅−⋅，……，()220222022202320212022202320222021a a a a a a a a =⋅−=⋅−⋅，∴22212202220222023a a aa a ++⋅⋅⋅=⋅，即20222202220231i i a a a ==⋅∑，故C 正确；对D ，由递推式，得321a a a −=，432a a a −=，…，202320222021a a a −=， 累加得324320232022122021a a a a a a a a a −+−+⋅⋅⋅+−=++⋅⋅⋅+， ∴20232122021a a a a a −=++⋅⋅⋅+， ∴1220212023220231a a a a a a ++⋅⋅⋅+=−=−， 即2021202311i i a a ==−∑，故D 正确；故选：BCD ．23．（2023秋·河北邯郸·高二统考期末）若{}n a 不是等比数列，但{}n a 中存在互不相同的三项可以构成等比数列，则称{}n a 是局部等比数列.下列数列中是局部等比数列的是（ ） A ．(){}28n−+ B ．137n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭C ．17122n n +⎧⎫−⎨⎬⎩⎭D ．{}225n +【答案】ABD【分析】对于ABD ，直接取特定项验证即可；对于C ，定义法可证为等比数列后即可判断.【详解】对于A ：若()28nn a =−+，则16a =，212a =，424a =，由212624=⨯，得1a ，2a ，4a 成等比数列，因为(){}28n−+不是等比数列，所以(){}28n−+是局部等比数列.故A 正确；对于B ：若137n a n =+，则1110a =，11140a =，511160a =，由21114010160⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，得1a ，11a ，51a 成等比数列，因为137n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭不是等比数列，所以137n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是局部等比数列. 故B 正确；对于C ：若117113222n n n n a ++=−=，则112n n a a +=，则{}n a 是等比数列，所以17122n n +⎧⎫−⎨⎬⎩⎭不是局部等比数列. 故C 错误；对于D ：若225n a n =+，则550a =，15250a =，351250a =，由250125050250=，得5a ，15a ，35a 成等比数列，因为{}225n +不是等比数列，所以{}225n +是局部等比数列. 故D 正确.故选：ABD.24．（2023春·安徽蚌埠·高二蚌埠二中校考阶段练习）已知数列{}n a 是各项均为正数且公比不等于1的等比数列()*N n ∈，对于函数()f x ，若数列(){}ln n f a 为等差数列，则称函数()f x 为“保比差数列函数”，则定义在()0,∞+上的如下函数中是“保比差数列函数”的有（ ） A ．()1f x x=为“保比差数列函数” B ．()2f x x =为“保比差数列函数”C ．()e xf x =为“保比差数列函数” D ．()f x =“保比差数列函数”【答案】ABD【分析】设数列{}n a 的公比为()1q q ≠，利用保比差数列函数的定义，结合等差数列的定义逐项验证即可. 【详解】设数列{}n a 的公比为()1q q ≠， 选项A ：()1ln lnn nf a a =， 所以()()11111ln ln lnln ln ln n n n n n n af a f a q a a a +++−=−==−是常数， 所以数列(){}ln n f a 为等差数列，A 满足题意；选项B ：()2ln ln n n f a a =，所以()()22221112ln ln ln ln ln ln 2ln n n n n nna f a f a aa q q a +++−=−===是常数，所以数列(){}ln n f a 为等差数列，B 满足题意；选项C ：()ln ln e n an n f a a ==，所以()()11ln ln n n n n f a f a a a ++−=−不是常数， 所以数列(){}ln n f a 不为等差数列，C 不满足题意； 选项D ：()ln n f a =所以()()11ln ln ln 2n n f a f a q +−==是常数，所以数列(){}ln n f a 为等差数列，D 满足题意； 故选：ABD25．（2022秋·福建福州·高二校联考期末）在数列{}n a 中，若221(2,,n n a a p n n p *−−=≥∈N 为常数），则称{}n a 为“平方等差数列”.下列对“平方等差数列”的判断，其中正确的为（ ）A ．{}(2)n−是平方等差数列B ．若{}n a 是平方等差数列，则{}2n a 是等差数列C ．若{}n a 是平方等差数列，则{}(,,,n ka b k b k b *+∈N 为常数）也是平方等差数列D ．若{}n a 是平方等差数列，则{}(,,,kn b a k b k b *+∈N 为常数）也是平方等差数列【答案】BD【分析】根据等差数列的定义，结合平方等差数列的定义逐一判断即可. 【详解】对于A ，当n 为奇数时，则()1n −为偶数，所以()()()11122223?2n n n n n −−−−−−=−+=−，当n 为偶数时，则()1n −为奇数，所以()()()11122223?2n n n n n −−−−−−=+=，即{}(2)n−不符合平方等差数列的定义，故错误；对于B ，若{}n a 是平方等差数列，则221(2,,n n a a p n n p *−−=≥∈N 为常数），即{}2n a 是首项为21a ，公差为p 的等差数列，故正确；对于C ，若{}n a 是平方等差数列，则221(2,,n n a a p n n p *−−=≥∈N 为常数）， 则()()()()222221112n n n n n n ka b ka b k a a kb a a −−−+−+=−+−，即()())222112n n n n ka b ka b k p kb a a −−+−+=+−，当{}n a 为等差数列时，1n n a a d −−=，则{}n ka b +为平方等差数列， 当{}n a 不为等差数列时，则{}n ka b +不为平方等差数列，故错误；对于D ，因为{}n a 是平方等差数列，所以()()222222121111+++++−−=−==−=kn kn kn kn kn k n a a a a a a p ，把以上的等式相加，得()()()()()222222121111+++++−−+−+⋯+−=kn kn kn kn k n k n a a a a a a kp ， 22(1)k n kn a a kp +∴−=，则()221kn b k n ba a kp +++−=，即数列{}knb a +是平方等差数列，故正确； 故选:BD26．（2023秋·山西吕梁·高二统考期末）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列1，4进行“美好成长”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4，L ，设第n 次“美好成长”后得到的数列为121,,,,,4k x x x L ，并记()412log 14n k a x x x =⨯⨯⨯⨯⨯L ，则（ ）A ．25a =B ．131n n a a +=−C ．21nk =+D ．数列{}n na 的前n 项和为()()13213218n n n n +−+++【答案】ABD【分析】对A ：由题意直接运算判断；对B ：根据第1n +次“美好成长”与第n 次“美好成长”的关系分析运算；对C ：根据题意分析可得：()1121n n b b ++=+，利用构造法结合等比数列分析运算；对D ：由131n n a a +=−，利用构造法结合等比数列可得312n n a +=，利用裂项相消结合分组求和运算求解.【详解】对A ：()()25144244log 144log 42,log 144164log 45a a =⨯⨯===⨯⨯⨯⨯==，A 正确；对B ：由题意可知：()()()(){}()()212141211241214log 1414log 1414k n k k k x x x a x x x x x x x x x x +⎡⎤⨯⨯⨯⨯⨯⎡⎤=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦⨯⎢⎥⎣⎦()()312441214log 3log 141314k k n x x x x x x a ⨯⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯−=−，故131n n a a +=−，B 正确；对C ：设第n 次“美好成长”后共插入n b 项，即n k b =，共有1n b +个间隔，且11b =， 则第1n +次“美好成长”后再插入1n b +项，则()1121n n n n b b b b +=++=+， 可得()1121n n b b ++=+，且1120b +=≠，故数列{}1n b +是以首项为2，公比为2的等比数列， 则11222n n n b −+=⨯=，故21n n k b ==−，C 错误；对D ：∵131n n a a +=−，则111322n n a a +⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，且113022a −=≠， 故数列12n a ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭是以首项为32，公比为3的等比数列，则11333222n n n a −−=⨯=，即312n n a +=，设()()()1313232332222n n n n n n n n nna An B A n B An A B +=+⋅−++⋅+=−−−⋅+=⨯+⎡⎤⎣⎦，则122320A A B ⎧−=⎪⎨⎪−−=⎩，解得1438A B ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故1321233882n n n n n nna +−−=⋅−⋅+， 设数列{}n na 的前n 项和为n S ， 则22311211133212122333333888888222n n n n n n n S a a na +⎡−−−−−⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=⨯−⨯+⨯−⨯++⋅−⋅++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L L()()1113122321322388218n n n n n n n n ++⎛⎫+ −++⎪−⎝⎭=−⋅++=， 即数列{}n na 的前n 项和为()()13213218n n n n +−+++，D 正确.故选：ABD. 【点睛】结论点睛：（1）构造法：()()110,1n n n n a ka m km k a a λλ++=+≠≠⇔+=+；（2）裂项构造：()()()11n n n kn b q An B q A n B q ++⋅=+⋅−++⋅⎡⎤⎣⎦.27．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第()*N n n ∈次得到数列1，1x ，2x ，3x ，…，k x ,2．记1212n k a x x x =+++⋅⋅⋅++，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．342a = B ．133n n a a +=− C ．()2332n a n n =+ D ．()133234n n S n +=+− 【答案】ABD【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可． 【详解】解：由题意可知，第1次得到数列1，3，2，此时1k =， 第2次得到数列1，4，3，5，2，此时3k =，第3次得到数列1，5，4，7，3，8，5，7，2，此时7k =，第4次得到数列1，6，5，9，4，11，7，10，3，11，8，13，5，12，7，9，2，此时15k =，第n 次得到数列1，1x ，2x ，3x ，L ，k x ，2，此时21n k =−， 由此可得133a =+，2339a =++，33392742a =+++=，故A 正确； 43392781a =++++，…，()112331333333333132n n nna +−+=++++⋅⋅⋅+=+=−，故C 错误； 由1332n n a ++=，可得2133332n n n a a +++==−，故B 正确；由()()()23411129131313333333232221324n n n n n n n S a a a n ++−=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++=⨯+=+−−，故D 正确．故选：ABD ．三、填空题28．（2022春·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中）对于数列{}n a ，若存在正整数m ，使得对任意正整数n ，都有n m n a a q +=（其中q 为非零常数），则称数列{}n a 是以m 为周期，以q 为周期公比的“类周期性等比数列”.若“类周期性等比数列”的前4项为1，1，2，3，周期为4，周期公比为3，则数列{}n a 前21项的和为__． 【答案】1090【分析】确定43n n a a +=，数列{}n a 从第二项起连续四项成等比数列，利用等比数列公式计算得到答案. 【详解】43n n a a +=，故513a a q ==，由题意得数列{}n a 从第二项起连续四项成等比数列， 234512339,3a a a a q +++=+++==，则数列{}n a 前21项的和为()5523451913()(1)11090113a a a a q a q ⨯−+++−+=+=−−． 故答案为：109029．（2022秋·福建泉州·高二统考期末）对于数列{}n a ，记：()()()()()()()1212311112n n n n n n n n n a a +++∆∆∆=∆=∆=∆∆，，，…，()()()111k k n n k n−+−∆∆=∆（其中*n ∈N ），并称数列(){}k n ∆为数列{}n a 的k 阶商分数列.特殊地，当(){}kn ∆为非零常数数列时，称数列{}n a 是k 阶等比数列.已知数列{}n a 是2阶等比数列，且20123220482a a a ===，，，若n m n a a −=，则m =___________. 【答案】23【分析】根据给定的定义，计算(1)(1)12,∆∆，进而求出数列(1){}n ∆的公比及通项，再借助累乘法求出数列{}n a 的通项即可推理计算作答.【详解】由数列{}n a 是2阶等比数列，得(2)(0)nq q ∆=≠，即(1)(2)1(1)n nnq +∆∆==∆， 且(1)(1)10(1)932212(1)12112,2,2a a q a a ∆∆==∆====∆，即数列(1){}n ∆是首项为102，公比为12的等比数列， 则有(1)10111112()()22n n n −−∆=⨯=，即1111()2n n n a a −+=，当2n ≥时， 22320109121(10)(9)(12)3221121111112()()()()()22222nn n n n n n aa a a a a a a −+−−−−+−+−++−−=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯==，而12a =满足上式，因此22320212n n n a −+⎛⎫= ⎪⎝⎭，由n m n a a −=得：222320()23()202211()()22nn m n m n −+−−−+=，即222320()23()20n n m n m n −+=−−−+，整理得(2)23(2)m n m n m −=−，又n 为小于m 的任意正整数，所以23m =. 故答案为：23【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.30．（2023·河南郑州·统考一模）“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”．例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为111221，…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项．则对于外观数列{}n a ，下列说法正确的有______． ①若13a =，则从4a 开始出现数字2；②若1a k =（1k =，2，3，…，9），则()*n a n ∈N 的最后一个数字均为k ；③{}n a 不可能为等差数列或等比数列； ④若1123a =，则()*n a n ∈N 均不包含数字4．【答案】②④【分析】对①，由外观数列定义列举判断； 对②，由外观数列定义判断； 对③，取反例，如122a =；对④，由反证法，结合外观数列定义判断.【详解】对①，12343,13,1113,3113a a a a ====，①错；对②，由外观数列的定义，每次都是从左到右描述，故一开始的k （1k =，2，3，…，9）始终在最右边，即最后一个数字，②对； 对③，取122a =，则2322a a ===，此时既为等差数列，也为等比数列，③错；对④，1234123,111213,31121113,1321123113a a a a ====，设数列()*,5k a k k N ∈≥首次出现数字4，则1k a −必出现了4个连续的相同数字m （1m =，2，3，…，9），而2k a −的描述必包含“1个m ，1个m ”，与1k a −的描述矛盾，故()*n a n ∈N 均不包含数字4，④对.故选：②④31．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n *∈N 都有1n n a a t ++=（t 为常数），则称该数列为“t 数列”，若数列{}n a 为“2数列”，且11a =−，则2023S =______. 【答案】2021【分析】利用并项求和即可.【详解】根据题意得到：2320222402532a a a a a a ++=+===，所以()()()202312345202220232101112021S a a a a a a a =+++++++=⨯−=.故答案为：2021.32．（2023秋·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期末）定义n 个正数12,,,n p p p ⋯的“均倒数”为12nnp p p ++⋅⋅⋅+，若各项均为正数的数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，则2023a 的值为______ 【答案】8091【分析】利用“均倒数”的概念求出(21)n S n n =+，再利用递推关系求出41n a n =−，再代入值即可. 【详解】由已知可得数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为 121,21n n n n a a a S n ==++⋯++可得(21)n S n n =+,则2n …时, 21[2(1)1](1)231n S n n n n −=−+−=−+141n n n a S S n −∴=−=−，当1n =时,113a S ==,满足41n a n =−, 202341,4202318091n a n a ∴=−=⨯−=.故答案为: 8091 .33．（2023秋·安徽淮北·高二淮北一中校考期末）对给定的数列{}()0n n a a ≠，记1n n na b a +=，则称数列{}n b 为数列{}n a 的一阶商数列；记1n n nb c b +=，则称数列{}n c 为数列{}n a 的二阶商数列；以此类推，可得数列{}n a 的P 阶商数列()P *∈N ，已知数列{}n a 的二阶商数列的各项均为e ，且121,1a a ==，则10a =___________．【答案】36e【分析】由题意可得1e n n n b c b +==，从而得1e n n b −=，即11e n n naa −+=，由累乘法即可求得10a 的值. 【详解】解：由数列{}n a 的二阶商数列的各项均为e ，可知1e n n nb c b +==， 而2111a b a ==， 故数列{}n b 是以1为首项，e 为公比的等比数列，即1e n n b −=，即11e ,n n na n a −*+=∈N ， 即283102412391,e,e ,,e a a a a a a a a ====． 所以()18828128363102421011239··11e e ?·e e =e=e a a a a a a a a a a +⋅+++=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=，故3610e a =．故答案为：36e34．（2022秋·上海·高二期中）定义:对于任意数列{}n a ,假如存在一个常数a 使得对任意的正整数n 都有n a a <,且lim n n a a →+∞=,则称a 为数列{}n a 的“上渐近值”．已知数列{}n a 有12,a a a p ==（p 为常数,且0p >）,它的前n 项和为n S ,并且满足()12n n n a a S −=,令2112n n n n n S S p S S ++++=+,记数列{}122n p p p n +++−的“上渐近值”为k ,则100coskπ的值为 _____． 【答案】12−##-0.5【分析】先根据n S 求解数列{}n a 的通项公式,得出等差数列后,利用等差数列求和方法求出n S ,代入n p 得出n p 的表达式,最后即可得出上渐近值． 【详解】解:当1n =时,()1111102a a S a ⨯−===,当2n ≥时,()()()1111122n n n n n n a a n a a a S S −−−−−=−=−,得到112n n n a a n −−=−, 根据累乘法:()212332123421n n n n a a n p n n n −−−=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=−−−−;满足n=1情况， 故而数列{}n a 是首项为0,公差为p 的等差数列,()12n n n pS −∴=,21122112222n n n n n S S n n p S S n n n n +++++⎛⎫∴=+=+=+− ⎪++⎝⎭, 122n p p p n ∴+++−=111111111221232435112n n n n n n ⎛⎫+−+−+−++−+−− ⎪−++⎝⎭11121212n n ⎛⎫=+−− ⎪++⎝⎭()()46312n n n +=−++,()()()1246li 231m l 32im n n n n p p p n n n →+∞→+∞⎛⎫+∴+++−=−= ⎪ ⎪++⎝⎭, 3k ∴=,10010021coscos cos 332k πππ⎛⎫∴==−=− ⎪⎝⎭. 故答案为:12−35．（2023·高二课时练习）定义：各项均不为零的数列{}n a 中，所有满足10i i a a +⋅<的正整数i 的个数称为这个数列{}n a 的变号数.已知数列{}n b 的前n 项和26n S n n a =−+（n *∈N ，5a ≠），令41n na b =−（n *∈N ），若数列{}n a 的变号数为2，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】()(),59,−∞+∞。
新高考2021届高考数学小题必练8圆锥曲线(含答案)
高考数学小题必练1．了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2．掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．3．了解圆锥曲线的简单应用；理解数形结合的思想．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．1．【2020全国Ⅰ卷理科】已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C上的点，且BF 垂直于x 轴，若AB 的斜率为3，则C 的离心率为． 【答案】2【解析】由题可知点B 的坐标为2,)b c a（，所以23AB b a k c a==-，且222b c a =-， 代入并化简可得222320320c ac a e e -+=⇒-+=解得2e =或1e =（舍弃）． 【点睛】主要考查双曲线的几何性质、直线的斜率等知识点．2．【2019全国Ⅰ卷理科】已知椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点． 若||2||22B F AF =，||||1BF AB =，则C 的方程为（）A ．1222=+y xB ．12322=+y xC ．13422=+y xD ．14522=+y x【答案】B【解析】由椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，可知1=c ， 又22||2||AF F B =，||||1BF AB =，可设m BF =||2，则m AF 2||2=，m AB BF 3||||1==，根据椭圆的定义可知a m m BF BF 23||||21=+=+，得a m 21=，所以a BF 21||2=，a AF =||2，可知),0(b A -， 根据相似可得)21,23(b B 代入椭圆的标准方程12222=+by a x ，得32=a ，2222=-=c a b ，∴椭圆C 的方程为12322=+y x ．【点睛】利用椭圆的定义及标准方程运算求解．一、单选题．1．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在C 的右支上，1MF 与y 轴交于点A ，2MAF △的内切圆与边2AF 切于点B ，若12||4||F F AB =，则C 的渐近线方程是（）A 0y ±=B ．0x ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=【答案】A【解析】设三角形2MAF 的内切圆的圆心为Q ，M 在第一象限，如图所示．作GQ AM ⊥交AM 于G ，2QN MF ⊥交2MF 于N ，连接QB ， 则||||MN MG =，||||AG AB =，22||||F N F B =． 根据双曲线的定义可知12||||2MF MF a -=，而122||||||||||||||||MF MF MF MN NF MF MG BF -=--=--1222||||||||||||||||2||AF AG BF AF BF AG AB AG AB =+-=-+=+=，所以2||2AB a =，||AB a =，12||4||F F AB =，即24c a =，2c a =，结合222c a b =+，得ba=所以双曲线C 0y ±=，故选A ．2．过双曲线2222:1x a C y b-=(0,0)a b >>的右焦点F 的直线l 交C 的右支于A ，B 两点，直线AO （O 是坐标原点）交C 的左支于点D ，若DF AB ⊥，且||2||BF DF =，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B C ．3D ．3【答案】C【解析】设左焦点为F '．因为直线AO 交C 的左支于点D ，所以A ，D 两点关于原点对称， 连接AF '，DF '，BF '，因为DF AB ⊥，且||||AF DF '=，||||AF DF '=， 所以四边形AFDF '为矩形．因为||2||BF DF =，所以令||DF t =，则||2BF t =，||AF t '=，||2AF t a =-，||22BF t a '=+，在ABF '△中，222||||||AF AB BF ''+=，即222(32)(22)t t a t a +-=+，解得103t a =，在AFF '△中，222||||||AF AF FF ''+=，即2221010()(2)433a a a c +-=，解得3e =，故选C ． 3．已知双曲线2222:1x a E y b-=(0,0)a b >>的左、右顶点分别为A ，B ，M 是E 上一点，且ABM △为，则双曲线E 的离心率为（）A B 1 C D 1+【答案】C 【解析】解法一：不妨设M 在第一象限，00(,)M x y ，因为ABM △是等腰三角形，所以结合图形可知，只能||||2AB BM a ==． 令MAB θ∠=，则AMB θ∠=，π2ABM θ∠=-，2MBx θ∠=，由正弦定理可得22sin aθ=，所以sin θ=则21cos 212sin 3θθ=-=，sin 2θ==，则052cos 23ax a a θ=+=，02sin 23y a θ==，即5(,)33a M ． 又点M 在双曲线上，所以222532199a b -⋅=，解得222b a=，则22213b e a=+=，则e =，故选C ．解法二：不妨设M 在第一象限，因为ABM △是等腰三角形，所以结合图形可知，只能||||2AB BM a ==． 令MAB θ∠=，则AMB θ∠=，π2ABM θ∠=-，2MBx θ∠=，由正弦定理可得22sin aθ=，所以sin θ=则cos 3θ=，sin tan cos θθθ==2MA k =，21cos 212sin 3θθ=-=，则s n 3i 2θ==，sin 2tan 2cos 2θθθ==，即MB k =根据222MA MBb k k a ⋅==，得22213b e a=+=，则e =C ．4．过抛物线2(:20)x py p C =>的焦点F 作直线与该抛物线交于A ，B 两点，若3||||AF BF =，O 为坐标原点，则||||AF OF =（） A ．43 B ．34C ．4D ．54【答案】A 【解析】解法一： 由题意，知(0,)2p F ，准线:2p l y =-， 作AE l ⊥于点E ，BG l ⊥与点G ，过点A 作AD BG ⊥于点D ，交y 轴于点H ， 设||AF x =，则||3BF x =．由抛物线的定义，知||||AE AF x ==，||||3BG BF x ==，||34AB x x x =+=，||32BD x x x =-=，||FH p x =-．由~AHF ADB △△，得||||||||AF FH AB BD =，即42x p x x x -=，解得23x p =， 所以2||43||32pAF p OF ==，故选A ．解法二：由题意，知(0,)2p F ，准线:2pl y =-，如图，作AM l ⊥于点M ， 设直线AB 的方程为2py kx =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，将2p y kx =+代入抛物线方程22x py =，得2220x pkx p --=，所以212x x p =-①．由3||||AF BF =，得3AF FB =，即11223(,)(,)22p px y x y --=-，所以213x x =-②．联立①②解得2213p x =，代入抛物线方程22x py =，解得16p y =．由抛物线的定义，知12||||23p AF AM y p ==+=，所以2||43||32pAF p OF ==，故选A ．5．已知1F ，2F 分别是双曲线22:1C y x -=的上、下焦点，P 是其一条渐近线上的一点，且以12F F 为直径的圆经过点P ，则12PF F △的面积为（）A．2B ．1 CD ．2【答案】C【解析】设00(,)P x y ，不妨设点P 在双曲线C 的过一、三象限的渐近线0x y -=上， 因此可得000x y -=．1F，2(0,F，所以12||F F =，以12F F 为直径的圆的方程为222x y +=，又以12F F 为直径的圆经过点P ，所以22002x y +=． 由00220002x y x y -=⎧⎨+=⎩，得0||1x =，于是1212011||||122PF F S F F x =⋅=⨯=△，故选C ． 6．已知抛物线2(:20)y px p C =>的焦点F 与双曲线224413x y -=的右焦点相同，过点F 分别作两条直线1l ，2l ，直线1l 与抛物线C 交于A ，B 两点，直线2l 与抛物线C 交于D ，E 两点，若1l 与2l 的斜率的平方和为1，则||||AB DE +的最小值为（） A ．16 B ．20 C ．24 D ．32【答案】C【解析】由双曲线方程知其右焦点坐标为(1,0)，所以12p=，即2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =．由题意可设直线1l 的方程为11(1)(0)y k x k =-≠，直线2l 的方程为22(1)(0)y k x k =-≠， 则22121k k +=， 于是由12(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去y ，得2222111(24)0k x k x k -++=， 所以2122112442A B k x x k k ++==+，同理可得2242D E x x k +=+． 因为F 为抛物线的焦点，所以由抛物线的定义可得||||()()2222A B D E p p p pAB DE x x x x +=+++++++ 22122222221212124()444222488D A B E k k x x x x p k k k k k k +=+++=++++=+=++ 222124824()2k k ≥+=+， 当且仅当221212k k ==时，||||AB DE +取得最小值24，故选C ． 7．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作直线l ，交抛物线于点M ，N ，交抛物线的准线于点P ， 若2PM PN =，则直线l 的斜率为（）A ．B ．2±C ．±D ．4±【答案】C【解析】解法一：由题意知直线l 的斜率存在且不等于0，抛物线的焦点(,0)2PF ． 设直线l 的方程为(0)2px ty t =+≠，代入抛物线的方程，得2220y pty p --=． 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则122y y pt +=，212y y p =-．抛物线的准线方程为2p x =-，则(,)2p p P t --． 由2PM PN =，得1212(,)2(,)22p p x p x y t p t y ++++=，所以122()p py y t t+=+，即122p y y t =+，代入122y y pt +=，得212(2)333p pt py pt t t =-=-，则124233p pt py y t t=+=+，又212y y p =-，所以242()()3333pt p pt p p t t+-=-，整理得428710t t +-=，解得218t =或21t =-（舍去），所以t =，所以直线l 的斜率为±． 解法二：如图，设点M 在第一象限，分别过M ，N 作抛物线准线的垂线，垂足为M '，N '． 由2PM PN =，得N 为MP 的中点． 设||MN t '=，则||2MN t '=，根据抛物线的定义得||3MN t =，所以||6MP t =，在PMM 'Rt △中，||PM '=，所以tan PMM '∠=l 的斜率为当点N 在第一象限时可得直线l 的斜率为-．综上，直线l 的斜率为±．8．已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为（） A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22431x y +=D ．22541x y +=【答案】B【解析】由题意设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，连接1F A ，令2||F B m =，则2||2AF m =，1||3BF m =．由椭圆的定义知，42m a =，得2am =，故21||||F A a F A ==，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点． 令2OAF θ∠=（O 为坐标原点），则1sin aθ=．在等腰三角形1ABF 中，12cos 2332aa θ==，所以21112()3a =-，得23a =．又21c =，所以2222b a c =-=，题意C 的方程为22132x y +=，故选B ．二、多选题．9．已知曲线22:1C mx ny +=．（）A ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若0m n =>，则CC ．若0mn <，则C是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若0m =，0n >，则C 是两条直线 【答案】ACD【解析】对于选项A ，∵0m n >>，∴110m n<<，方程221mx ny +=可变形为22111x y m n+=，∴该方程表示焦点在y 轴上的椭圆，正确；对于选项B ，∵0m n =>，∴方程221mx ny +=可变形为221x y n+=，错误；对于选项C ，∵0mn <，∴该方程表示双曲线，令220mx ny y +=⇒=，正确； 对于选项D ，∵0m =，0n >，∴方程221mx ny +=变形为21ny y =⇒= 正确， 综上选ACD ． 10．当3π(,44π)α∈时，方程22sin cos 1x y αα+=表示的轨迹可以是（） A ．两条直线 B ．圆C ．椭圆D ．双曲线【答案】ACD【解析】将α分为ππ(,)42α∈，π2α=，3π(,24π)α∈三种情况进行分类讨论，由此确定正确选项．当ππ(,)42α∈时，sin (2α∈，1sin α∈，cos (0,2α∈，1)cos α∈+∞110cos sin αα>>．方程22sin cos 1x y αα+=可化为22111sin cos x y αα+=，表示焦点在y 轴上的椭圆；当π2α=时，sin 1α=，cos 0a =，方程22sin cos 1x y αα+=化为21x =，1x =±，表示两条直线； 当3π(,24π)α∈时，sin (2α∈，1sin α∈，cos (2α∈-，1(,cos α∈-∞． 方程22sin cos 1x y αα+=可化为22111sin cos x y αα+=，表示焦点在x 轴上的双曲线，所以曲线不可能表示圆， 故选ACD ．11．已知1F ，2F 分别是双曲线22:1C x y -=的左右焦点，点P 是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量120PF PF ⋅=，则下列结论正确的是（）A ．双曲线C 的渐近线方程为y x =±B ．以12F F 为直径的圆的方程为221x y += C ．1F 到双曲线的一条渐近线的距离为1 D ．12PF F △的面积为1【答案】ACD【解析】A ．代入双曲线渐近线方程得y x =±，正确；B ．由题意得1F ，2(F ，则以12F F 为直径的圆的方程，不是221x y +=，错误；C ．1F ，渐近线方程为y x =，距离为1，正确；D ．由题意得1F ，2(F ，设44(,)P x y ，根据120PF PF ⋅=，解得0x =02y =± 则12PF F △的面积为1，正确， 故选ACD ．12．已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线为，过F 的直线与E 交于A ，B 两点，C ，D 分别为A ，B 在上的射影，且||3||AF BF =，M 为AB 中点，则下列结论正确的是（） A ．90CFD ∠=︒B ．CMD △为等腰直角三角形C ．直线AB 的斜率为D ．线段AB 的长为163【答案】ACD【解析】由题意由抛物线的对称性，焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-， 由题意可得直线AB 的斜率不为0，由题意设直线AB 的方程为1x my =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由题意可知1(1,)C y -，2(1,)D y -，将直线AB 与抛物线联立整理得2440y my --=，124y y m +=，124y y =-．A 中，因为1212(2,)(2,)(2)(2)440y y y F y C FD -⋅-=⋅-==-+=-，所以FC FD ⊥，即90CFD ∠=︒，所以A 正确；B 中，由A 正确，不可能CM DM ⊥，更不会C ∠或D ∠为直角，所以B 不正确； C 中，因为||3||AF BF =，所以3AF FB =，即123y y =-，124y y m +=，124y y =-，所以2222434y m y -=⎧⎨-=-⎩，解得213m =，m =， 所以直线AB的斜率为C 正确；D 中，由题意可得弦长||AB ===163=， 所以D 正确，故选ACD ．三、填空题．13．过抛物线28y x =焦点的直线l 与该抛物线相交于A ，B 两点，点0(4,)P y 是AB 的中点，则||AB 的值为_______．【答案】12【解析】由抛物线方程知28p =，4p =．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12248x x +=⨯=， 所以由抛物线的定义知1212||841222p p AB x x x x p =+++=++=+=． 14．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b ><，则双曲线的渐近线方程为______． 【答案】y x =±【解析】因为22222221()2c a b b e a a a +===+=，所以1b a =， 所以双曲线的渐近线方程为b y x x a=±=±． 15．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1x a C y b+=(0)a b >>的左、右焦点，A ，B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，2AF 的中点P 恰好落在y 轴上，若20BP AF ⋅=，则椭圆C 的离心率的值为______．【答案】3【解析】设2(,0)F c ，因为2AF 的中点P 在y 轴上，所以02A x c +=，解得A x c =-， 所以点A ，1F ，B 三点共线．因为20BP AF ⋅=，所以2BP AF ⊥，所以BP 垂直平分2AF ，所以2||||AB BF =．又由椭圆的对称性，知22||||AF BF =，所以2ABF △为等边三角形．因为12||2F F c =，所以由122|||F F AF =，得2||AF =，所以121||||2AF AF ==．由椭圆的定义，知12||||2AF AF a +=2a +==，所以3c e a ==． 16．能说明“若(2)0m n +≠，则方程2212x y m n +=+表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m ，n 的值是______．【答案】3,1(答案不唯一，满足要求即可)【解析】当20m n =+>且0m ≠，2n ≠-时，方程表示的曲线为圆，取1n =，则3m =(答案不唯一，满足要求即可)．。
2020年高考数学(文数)选择题强化专练——解析几何、立体几何、三角函数与解三角形、函数与导数含答案
（文数）选择题强化专练——解析几何、立体几何、三角函数与解三角形、函数与导数一、选择题（本大题共15小题，共75.0分）1.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则渐近线方程为（）A. y=±2xB. y=±xC. y=±xD. y=±x2.已知焦点为F的抛物线的方程为，点Q的坐标为（3,4），点P在抛物线上，则点P到y轴的距离与到点Q的距离的和的最小值为（）A. 3B.C.D. 73.过双曲线的左焦点作倾斜角为30°的直线l，若l与y轴的交点坐标为（0，b），则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.4.椭圆2x2-my2=1的一个焦点坐标为（0，），则实数m=（）A. B. C. D.5.在平面直角坐标系中，经过点P（2，-），渐近线方程为y=x的双曲线的标准方程为（）A. B. C. D.6.设m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，且m，n⊂α．则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的（）A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件7.已知四棱锥E-ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，ED=1，平面ECD⊥平面ABCD，当点C到平面ABE的距离最大时，该四棱锥的体积为（）A. B. C. D. 18.已知正方形ABCD的边长为2，CD边的中点为E，现将△ADE，△BCE分别沿AE，BE折起，使得C，D两点重合为一点记为P，则四面体P-ABE外接球的表面积是（）A. B. C. D.9.将函数向右平移个单位后得到函数，则具有性质A. 在上单调递增，为偶函数B. 最大值为1，图象关于直线对称C. 在上单调递增，为奇函数D. 周期为，图象关于点对称10.要得到函数y＝-sin3x的图象，只需将函数y＝sin3x＋cos3x的图象( )A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则b=( )A. B. C. D.12.在中，角的对边分别是，若，则的形状是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形13.函数f(x)＝|log2x|＋x－2的零点个数为()A. 1B. 2C. 3D. 414.已知函数f(x)＝(x<－1)，则()A. f(x)有最小值4B. f(x)有最小值－4C. f(x)有最大值4D. f(x)有最大值－415.若曲线y＝x2与曲线y＝a ln x在它们的公共点P处具有公共切线，则实数a等于()A. 1B.C. －1D. 2答案和解析1.【答案】C【解析】解：双曲线-=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得e==2，即有c=2a，由c2=a2+b2，可得b2=3a2，即b=a，则渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故选：C．运用双曲线的离心率公式和a，b，c的关系可得b=a，再由近线方程y=±x，即可得到所求方程．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用离心率公式和a，b，c的关系，考查运算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了抛物线的定义，属于中档题．利用抛物线的定义进行转化，可知当三点共线时满足题设最小要求．【解答】解：如图所示:抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线l：x=-1,过点P作PM⊥l，垂足为M,则|PM|=|PF|,因为Q（3，4）在抛物线外，因此当F、P、Q三点共线时，|PF|+|PQ|取得最小值,也即|PM|+|PQ|最小∴（|PM|+|PQ|）min=（|PF|+|PQ|）min=|QF|=.则点P到y轴的距离与到点Q的距离的和的最小值为．故选B．3.【答案】A【解析】解：直线l的方程为，令x=0，得．因为，所以a2=c2-b2=3b2-b2=2b2，所以．故选：A．求出直线方程，利用l与y轴的交点坐标为（0，b），列出关系式即可求解双曲线的离心率．本题考查直线与双曲线的位置关系以及双曲线的标准方程，考查运算求解能力．4.【答案】A【解析】【分析】利用椭圆的标准方程，结合焦点坐标，求解即可．本题考查了椭圆的标准方程，椭圆的性质及其几何意义的应用，是基本知识的考查，基础题．【解答】解：椭圆2x2-my2=1的标准方程为：，一个焦点坐标为（0，），可得，解得m=，故选：A．5.【答案】B【解析】解：根据题意，双曲线的渐近线方程为y=x，设双曲线方程为：，双曲线经过点P（2，-），则有8-1=a，解可得a=7，则此时双曲线的方程为：，故选：B．设出双曲线的方程，经过点P（2，-），求出a的值，即可得双曲线的方程．本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的标准方程的求法，注意双曲线离心率公式的应用．6.【答案】A【解析】解：当α∥β 时，因为m，n⊂α，故能推出m∥β且n∥β，故充分性成立．当m∥β且n∥β 时，m，n⊂α，若m，n是两条相交直线，则能推出α∥β，若m，n不是两条相交直线，则α与β 可能相交，故不能推出α∥β，故必要性不成立．故选：A．由面面平行的性质得，充分性成立；由面面平行的判定定理知，必要性不成立．本题考查平面与平面平行的判定和性质，充分条件、必要条件的定义域判断方法．7.【答案】B【解析】解：如图所示，由题意可得：ED⊥平面ABCD时，△ADE的面积最大，可得点C即点D到平面ABE的距离最大．此时该四棱锥的体积==．故选：B．如图所示，由题意可得：ED⊥平面ABCD时，△ADE的面积最大，可得点C即点D到平面ABE的距离最大．即可得出此时该四棱锥的体积．本题考查了空间线面位置关系、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：如图，PE⊥PA，PE⊥PB，PE=1，△PAB是边长为2的等边三角形，设H是△PAB的中心，OH⊥平面PAB，O是外接球的球心，则OH=，PH=，则．故四面体P-ABE外接球的表面积是S=．故选：C．由题意画出图形，找出四面体P-ABE外接球的球心，求得半径，代入球的表面积公式求解．本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．9.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三角函数平移、单调性、奇偶性、周期的知识，解答本题的关键是掌握相关知识，逐一分析，进行解答.【解答】解：将f（x）=2x的图象向右平移个单位，得g（x）=2（x-）=（2x-）=-2x，则g（x）为偶函数，在上单调递增，故A正确，g（x）的最大值为1，对称轴为2x=kπ，k∈Z，即x=，k∈Z，当k=1，图象关于x=对称，故B错误,由2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，函数g（x）单调递增，∴kπ≤x≤kπ+，k∈Z，∴g（x）在上不是单调函数，故C错误,函数的周期T=π，不关于点对称，故D错误 .故选A．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查三角函数的图象的平移变换，是基础题.由条件利用y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：因为，所以将其图象向左平移个单位长度，可得，故选C.11.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，两角和与差的三角函数公式，是基础题．先求出sin B，再根据正弦定理求解即可.【解答】解：在△ABC中，，，则，，=，，.故选B．12.【答案】D【解析】【分析】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理的应用与三角函数化简运算的能力，属于中档题．化简，得出A=或B=A，即可求解.【解答】解：∵c-a cos B=（2a-b）cos A，C=π-（A+B），∴由正弦定理得：sin C-sin A cos B=2sin A cosA-sin B cos A，∴sin A cos B+cos A sin B-sin A cos B=2sin A cosA-sin B cos A，∴cos A（sin B-sin A）=0，∴cos A=0，或sin B=sin A，∵在中，角的取值范围均为，∴A=或B=A或B=π-A（舍去），故选D．13.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的零点的求法，零点个数问题，考查数形结合以及计算能力，转化思想的应用．转化函数零点问题为方程的根的问题，通过两个函数的图象交点个数判断求解即可．【解答】解：函数f(x)＝|log2x|＋x－2的零点个数，就是方程|log2x|＋x－2＝0的根的个数．令h(x)＝|log2x|，g(x)＝2－x，画出两函数的图象，如图．由图象得h(x)与g(x)有2个交点，∴方程|log2x|＋x－2＝0的解的个数为2.故选B.14.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查利用基本不等式求函数最值的知识，属于中档题.利用“配凑”将函数化为基本不等式的形式，然后根据基本不等式进行计算即可.【解答】解：f(x)＝＝－＝－＝－＝－(x＋1)＋＋2，因为x<－1，所以x＋1<0，－(x＋1)>0，所以f(x)≥2＋2＝4，当且仅当－(x＋1)＝，即x＝－2时，等号成立．故f(x)有最小值4.故选A.15.【答案】A【解析】【分析】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，属于中档题.利用导数的几何意义求切线的斜率以及切线方程，即可得结论.【解答】解：∵曲线的导数为，∴在P（s，t）处的斜率为，又∵曲线y=a ln x的导数为，∴在P（s，t）处的斜率为,∴曲线与曲线y=a ln x在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，∴，并且，t=a ln s，即，∴，解得s2=e，∴a=1.故选A.。
三年 (2020-2022 ) 新高考数学真题汇编专题08计数原理及概率与统计
新高考专题08计数原理及概率与统计【2022年新高考1卷】1．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】D 【解析】 【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解. 【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有27C 21=种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：()()()()()()()2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8，共7种， 故所求概率2172213P -==. 故选：D.【2022年新高考2卷】2．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A ．12种 B ．24种C ．36种D ．48种【答案】B 【解析】 【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解 【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!2224⨯⨯=种不同的排列方式，故选：B【2021年新高考1卷】3．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）A ．甲与丙相互独立B ．甲与丁相互独立C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立【答案】B 【解析】 【分析】根据独立事件概率关系逐一判断 【详解】11561()()()()6636366P P P P =====甲，乙，丙，丁， ，1()0()()()()()36P P P P P P =≠==甲丙甲丙，甲丁甲丁， 1()()()()0()()36P P P P P P =≠=≠乙丙乙丙，丙丁丁丙， 故选：B 【点睛】判断事件,A B 是否独立，先计算对应概率，再判断()()()P A P B P AB =是否成立【2021年新高考2卷】4．某物理量的测量结果服从正态分布()210,N σ，下列结论中不正确的是（ ）A ．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B ．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等【解析】 【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，2σ为数据的方差，所以σ越小，数据在10μ=附近越集中，所以测量结果落在()9.9,10.1内的概率越大，故A 正确；对于B ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B 正确；对于C ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C 正确；对于D ，因为该物理量一次测量结果落在()9.9,10.0的概率与落在()10.2,10.3的概率不同，所以一次测量结果落在()9.9,10.2的概率与落在()10,10.3的概率不同，故D 错误. 故选：D.【2020年新高考1卷（山东卷）】5．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A ．120种 B ．90种 C ．60种 D ．30种【答案】C 【解析】 【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解. 【详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C ； 然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C ； 最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有126561060C C ⋅=⨯=种.【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题. 【2020年新高考1卷（山东卷）】6．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ） A ．62% B ．56% C ．46% D ．42%【答案】C 【解析】 【分析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，然后根据积事件的概率公式()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+可得结果. 【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅， 则()0.6P A =，()0.82P B =，()0.96P A B +=，所以()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+0.60.820.960.46=+-=所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%. 故选：C. 【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题. 【2020年新高考2卷（海南卷）】7．要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A ．2种 B ．3种C ．6种D ．8种【答案】C【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可. 【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有12323C C =种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有222A =种安排方法所以，不同的安排方法共有326⨯=种 故选：C 【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略. 【2021年新高考1卷】8．有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c=+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数，则（ ） A ．两组样本数据的样本平均数相同 B ．两组样本数据的样本中位数相同 C ．两组样本数据的样本标准差相同 D ．两组样本数据的样本极差相同 【答案】CD 【解析】 【分析】A 、C 利用两组数据的线性关系有()()E y E x c =+、()()D y D x =，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B 、D 的正误. 【详解】A ：()()()E y E x c E x c =+=+且0c ≠，故平均数不相同，错误；B ：若第一组中位数为i x ，则第二组的中位数为i i y x c =+，显然不相同，错误；C ：()()()()D y D x D c D x =+=，故方差相同，正确；D ：由极差的定义知：若第一组的极差为max min x x -，则第二组的极差为max min max min max min ()()y y x c x c x x -=+-+=-，故极差相同，正确；【2021年新高考2卷】9．下列统计量中，能度量样本12,,,n x x x 的离散程度的是（ ）A ．样本12,,,n x x x 的标准差B ．样本12,,,n x x x 的中位数C ．样本12,,,n x x x 的极差D ．样本12,,,n x x x 的平均数【答案】AC 【解析】 【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项. 【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度； 由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势； 由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度； 由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势； 故选：AC.【2020年新高考1卷（山东卷）】10．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑.（ ）A ．若n =1，则H (X )=0B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C ．若1(1,2,,)i p i n n==，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=，则H (X )≤H (Y ) 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A 选项，求得()H X ，由此判断出A 选项；对于B 选项，利用特殊值法进行排除；对于C 选项，计算出()H X ，利用对数函数的性质可判断出C 选项；对于D 选项，计算出()(),H X H Y ，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D 选项.【详解】对于A 选项，若1n =，则11,1i p ==，所以()()21log 10H X =-⨯=，所以A 选项正确. 对于B 选项，若2n =，则1,2i =，211p p =-， 所以()()()121121X log 1log 1H p p p p =-⋅+-⋅-⎡⎤⎣⎦， 当114p =时，()221133log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，当13p 4=时，()223311log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，两者相等，所以B 选项错误. 对于C 选项，若()11,2,,i p i n n==，则()222111log log log H X n n nn n ⎛⎫=-⋅⨯=-= ⎪⎝⎭，则()H X 随着n 的增大而增大，所以C 选项正确.对于D 选项，若2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ，且 ()21j m j P Y j p p +-==+（ 1,2,,j m =）.()2222111log log mmi i i i i iH X p p p p ===-⋅=⋅∑∑ 122221222122121111log log log log m m m mp p p p p p p p --=⋅+⋅++⋅+⋅. ()H Y =()()()122221212122211111log log log m m m m m m m m p p p p p p p p p p p p -+-++⋅++⋅+++⋅+++12222122212221221121111log log log log m m m m m mp p p p p p p p p p p p ---=⋅+⋅++⋅+⋅++++由于()01,2,,2i p i m >=，所以2111i i m i p p p +->+，所以 222111log log i i m ip p p +->+， 所以222111log log i i i i m ip p p p p +-⋅>⋅+， 所以()()H X H Y >，所以D 选项错误. 故选：AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.【2020年新高考2卷（海南卷）】11．我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;【答案】CD【解析】【分析】注意到折线图中有递减部分，可判定A错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小，可判定B错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD 正确.【详解】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误;由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确;由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D 正确; 【点睛】本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难点在于指数增量的理解与观测，属中档题. 【2022年新高考1卷】12．81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为________________（用数字作答）．【答案】-28 【解析】 【分析】()81y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭可化为()()88y x y x y x +-+，结合二项式展开式的通项公式求解. 【详解】因为()()()8881=y y x y x y x y x x ⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭，所以()81y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中含26x y 的项为6265352688C 28y x y C x y x y x -=-，()81y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为-28 故答案为：-28【2022年新高考2卷】13．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且(2 2.5)0.36P X <≤=，则( 2.5)P X >=____________． 【答案】0.14##750． 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出． 【详解】 因为()22,XN σ，所以()()220.5P X P X <=>=，因此()()()2.522 2.50.50.360.14P X P X P X >=>-<≤=-=．故答案为：0.14．【2022年新高考1卷】14．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．(|) (|)P B A P B A 与(|)(|)P B AP B A的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．（ⅰ）证明：(|)(|)(|)(|)P A B P A BRP A B P A B=⋅；（ⅰ）利用该调查数据，给出(|),(|)P A B P A B的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．附22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，【答案】(1)答案见解析(2)（i）证明见解析；(ii)6R=；【解析】【分析】(1)由所给数据结合公式求出2K 的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i ）结合已知数据求R . （1）由已知222()200(40906010)=24()()()()50150100100n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==++++⨯⨯⨯， 又2( 6.635)=0.01P K ≥，24 6.635>，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异. （2） (i)因为(|)(|)()()()()=(|)(|)()()()()P B A P B A P AB P A P AB P A R P B A P B A P A P AB P A P AB =⋅⋅⋅⋅，所以()()()()()()()()P AB P B P AB P B R P B P AB P B P AB =⋅⋅⋅ 所以(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅，(ii)由已知40(|)100P A B =，10(|)100P A B =，又60(|)100P A B =，90(|)100P A B =， 所以(|)(|)=6(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅【2022年新高考2卷】15．在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.【答案】(1)47.9岁；(2)0.89；(3)0.0014．【解析】【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；（2）设A={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，根据对立事件的概率公式=-即可解出；P A P A()1()（3）根据条件概率公式即可求出．（1）平均年龄(50.001150.002250.012350.017450.023x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 550.020650.017750.006850.002)1047.9+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（岁）． （2）设A ={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，所以()1()1(0.0010.0020.0060.002)1010.110.89P A P A =-=-+++⨯=-=．（3）设B =“任选一人年龄位于区间[40,50)”，C =“从该地区中任选一人患这种疾病”， 则由已知得：()()16%0.16,0.1%0.001,(|)0.023100.23P B P C P B C =====⨯=,则由条件概率公式可得从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，此人患这种疾病的概率为()(|)()()0.0010.23(|)0.00143750.0014()0.16P BC P C P B C C B P B B P P ⨯====≈．【2021年新高考1卷】16．某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）B 类． 【解析】 【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分X 的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答B 类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可． 【详解】（1）由题可知，X 的所有可能取值为0，20，100．()010.80.2P X ==-=； ()()200.810.60.32P X ==-=；()1000.80.60.48P X ==⨯=．所以X 的分布列为（2）由（1）知，()00.2200.321000.4854.4E X =⨯+⨯+⨯=．若小明先回答B 问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0，80，100．()010.60.4P Y ==-=； ()()800.610.80.12P Y ==-=； ()1000.80.60.48P X ==⨯=．所以()00.4800.121000.4857.6E Y =⨯+⨯+⨯=． 因为54.457.6<，所以小明应选择先回答B 类问题．【2021年新高考2卷】17．一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，()(0,1,2,3)i P X i p i ===．（1）已知01230.4,0.3,0.2,0.1p p p p ====，求()E X ；（2）设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于x 的方程：230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，求证：当()1E X ≤时，1p =，当()1E X >时，1p <；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义． 【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.【解析】 【分析】（1）利用公式计算可得()E X .（2）利用导数讨论函数的单调性，结合()10f =及极值点的范围可得()f x 的最小正零点. （3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明. 【详解】（1）()00.410.320.230.11E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）设()()3232101f x p x p x p x p =++-+，因为32101p p p p +++=，故()()32322030f x p x p x p p p x p =+-+++，若()1E X ≤，则123231p p p ++≤，故2302p p p +≤.()()23220332f x p x p x p p p '=+-++，因为()()20300f p p p '=-++<，()230120f p p p '=+-≤， 故()f x '有两个不同零点12,x x ，且1201x x <<≤，且()()12,,x x x ∈-∞⋃+∞时，()0f x '>；()12,x x x ∈时，()0f x '<； 故()f x 在()1,x -∞，()2,x +∞上为增函数，在()12,x x 上为减函数， 若21x =，因为()f x 在()2,x +∞为增函数且()10f =，而当()20,x x ∈时，因为()f x 在()12,x x 上为减函数，故()()()210f x f x f >==，故1为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，若21>x ，因为()10f =且在()20,x 上为减函数，故1为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，综上，若()1E X ≤，则1p =.若()1E X >，则123231p p p ++>，故2302p p p +>. 此时()()20300f p p p '=-++<，()230120f p p p '=+->， 故()f x '有两个不同零点34,x x ，且3401x x <<<，且()()34,,x x x ∈-∞+∞时，()0f x '>；()34,x x x ∈时，()0f x '<；故()f x 在()3,x -∞，()4,x +∞上为增函数，在()34,x x 上为减函数， 而()10f =，故()40f x <，又()000f p =>，故()f x 在()40,x 存在一个零点p ，且1p <.所以p 为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，此时1p <，故当()1E X >时，1p <.（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1. 【2020年新高考1卷（山东卷）】18．为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； （2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，【答案】（1）0.64；（2）答案见解析；（3）有. 【解析】 【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果； （2）根据表格中数据可得22⨯列联表； （3）计算出2K ，结合临界值表可得结论. 【详解】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数有32618864+++=天，所以该市一天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率为640.64100=； （2）由所给数据，可得22⨯列联表为：（3）根据22⨯列联表中的数据可得222()100(64101610)()()()()80207426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯36007.4844 6.635481=≈>，因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中 2.5PM 浓度与2SO 浓度有关. 【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善22⨯列联表，考查了独立性检验，属于中档题.。
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小卷专练（八）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合{}{}
20,0,1,2,3
M x x x N
=->=，则()
R
C M N
⋂=（）
A.{}
01
x x
≤≤ B.{}
0,1 C.{}
2,3 D.{}
1,2,3
2.复数
13
12
i
z
i
-
=
+
，则（）
A.2
z= B.z的实部为1 C.z的虚部为i- D.z的共轭复数为1i
-+
3.下列判断错误的是（）
A.“22
am bm
<”是“a b
<”的充分不必要条件
B.命题“32
,10
x R x x
∀∈--≤”的否定是“32
,10
x R x x
∃∈-->”
C.“若1
a=，则直线0
x y
+=和直线0
x ay
-=互相垂直”的逆否命题为真命题
D.若p q
∧为假命题，则,p q均为假命题
4.已知等比数列{}n a的前n项和为13
5
,,
2
n
S a a
+=且
24
5
4
a a
+=，则n
n
S
a
=（）
A.1
4n- B.41
n- C.1
2n- D.21
n-
5.函数1
()x
f x e-
=（e是自然对数的底数）的图像大致是（）
6.从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图所示.根据茎叶图，下列描述正确的是（）
A.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高
度，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐
B.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高
度，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐
C.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐
D.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，单甲种树苗比乙种树苗长得整齐
7.若,x y 满足不等式组30301x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩
，则3z x y =+的最大值为（ ）
A.11
B.11-
C.13
D.13-
8.执行如图所示的程序框图，输出的T =（ ）
A.29
B.44
C.52
D.62
9.在三棱锥D ABC -中，已知2,AC BC CD CD ===⊥平面
ABC ，90o ACB ∠=.若其直观图、正视图、俯视图如图所示，则
其侧视图的面积为（ ）
A.6
B.2
C.3
D.2
10.若函数cos 2y x =与函数sin()y x ϕ=+在0,
2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性相同，则ϕ的一个值为（ ）
A.6π
B.4π
C.3π
D.2
π 11.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线都与圆22:(2)1E x y -+=相切，
则双曲线C 的离心率是（ ）
A.3或62
B. 3或2
C. 233或2
D. 233或62
12.给出下列命题：（1）0.21
30.51log 323⎛⎫<< ⎪⎝⎭
；（2）函数4()log 2sin f x x x =-有5个零点；（3）函数4()ln 6x f x x -=-的图像以点5(5,)12
为对称中心；（4）已知0,0a b >>，函数2x y ae b =+的图像过点(0,1)，则11a b
+的最小值是42.其中正确命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填写在横线上）
13.已知向量(1,2),(,1),(3,2)a b m c =-=-=-r r r ，若()a b c -⊥r r r ，则m 的值是________.
14.2015年8月6日凌晨，马来西亚总理纳吉布在吉隆坡确认，7月29日在法属留尼汪岛发现的飞机残骸来自515天前失联的马航370MH .若一架侦察机以500米/秒的速度在留尼汪岛上空平行于底面匀速飞行时，发现飞机残骸在侦察机前方且俯角为30o 的地面上，半分钟后，侦察机发现飞机残骸仍在其前方俯角为75o 的地面上，则侦察机的飞行高度是____米（保留根号）.
15.四棱锥P ABCD -
的底面是边长为
16..设{n b。