实数知识点详细总结

第4章 实数

知识结构：

实数

1.平方根

（1）定义:如果x 2=a(a ≥0),那么x 叫做a 的平方根

（1）一个正数有两个平方根,它们互为相反数

（2）性质 （2）0的平方根是0

（3）负数没有平方根 （3）开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方

（4）算术平方根

（1）定义:正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根

（2）规定:0的算术平方根是0

（3）性质:√a 具有双重非负性,即√a ≥0,a ≥0 （5）意义:

(√a )2=a(a ≥0)

a(a ≥0)

√a 2=∣a ∣=

-a(a ＜0)

2.立方根

（1）定义:如果x 3=a,那么x 叫做a 的立方根

（2）性质

（1）正数的立方根是正数 （2）0的立方根是0 （3）负数的立方根是负数

（3）开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方

（4）意义

√a 33

=a

(√a 3

)3=a

3.实数

（1）实数的分类

1.按性质 （1）正实数 （2）0 （3）负实数

2.按概念

（1）有理数

（2）无理数-----无限不循环小数

（2）实数的性质

实数范围内的相反数、倒数、绝对值意义与有理数范围内完全一样 实数与数轴上的点是一一对应关系

有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用 与有理数的运算法则、运算律相同

4.近似数

定义：接近准确数而不等于准确数的数叫做近似数 精确度：常用四舍五入法对近似数进行精确

4.1平方根

一、平方根的概念及表示

拓展延伸：（1）由平方根的意义可知，x=±√a，把x=±√a代入x2=a，得（±√a）2=a（a≥0）.

（2）当a≥0时，我们说式子√a有意义，当a＜0时，式子√a无意义。

二、平方根的性质

1.正数有两个平方根，它们互为相反数。如果a＞0，那么a的平方根为±√a

2.0有一个平方根，就是0，即√0=0

3.负数没有平方根

三、开平方

注意：开平方是求一个非负数的平方根的运算，开平方与平方互为逆运算，只不过一个数的平方是一个数，而一个数（正数）的平方根是一对相反数。

四、算术平方根的概念及性质

算术平方根

（1）定义:正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根 （2）规定:0的算术平方根是0

（3）性质:√a 具有双重非负性,即√a ≥0,a ≥0 当a ≥0时，√a 2=a

五、算术平方根与平方根的区别与联系

联系：（1）具有包含关系；

（2）存在条件相同：被开方数为非负数； （3）0的平方根、算术平方根都是0.

4.2立方根

一、立方根的概念及表示

一般地，如果x 3=a,那么x 叫做a 的立方根，数a 的立方根记作“√a 3

”，读作“三次根号a ”，其中a 是被开方数，3是根指数（注意：根指数3不能省略）。

注意：理解x 3=a 时，要弄清a 是x 的立方，x 是a 的立方根，千万不要把a 与x 的意义弄反。

二、开立方

1.求一个数的立方根的运算叫做开立方。开立方与立方互为逆运算，因此，求一个数的立方根可以通过立方运算来求。

2.重要公式：（1） (√a 3

)3=√a 33

=a

（2）√−a 3

=-√a 3

求负数的立方根时，可先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再取它的相反数，即三次根号内的负号可以移到根号外面。例如：√−1253

=-√1253

=-5

三、立方根的性质

正数的立方根是正数； 负数的立方根是负数； 零的立方根是零。

注意：立方根的性质可以概括为立方根的唯一性，即一个数的立方根是唯一的。

4.3实数

一、无理数

无限不循环小数叫做无理数。

注意：（1）无理数可分为正无理数和负无理数，要判断一个数是不是无理数，一要看它是不

是无限小数，二要看它是不是不循环小数，只有同时满足“无限”和“不循环”这两个条件的小数才是无理数。

（2）无理数的常见形式有以下几种：

①开方开不尽的数的相应方根是无理数，如√2，√7，√53

等； ②圆周率π及一些含有π的数，如2π，3π+1等；

③以无限不循环小数形式写出的数，如0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）等。

二、实数的概念

有理数和无理数统称为实数。实数可以分类如下：

实数

有理数

正有理数

0 整数、有限小数或无限循环小数 负有理数

无理数

正无理数

无限不循环小数 负无理数

三、实数与数轴的关系

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数一一对应。

四、实数范围内的有关概念

五、实数的大小比较

有理数大小比较的方法在实数范围内仍然适用。

两实数的大小关系如下：正实数都大于0，负实数都小于0，正数大于一切负数；两个正实数，绝对值大的较大；两个负实数，绝对值大的反而小；在数轴上表示的两个实数，右边的

数总比左边的数大。

此外，还有如下方法：

（1）通过比较两数的平方（立方）后的大小，进而确定原来实数的大小关系，如比较√13与3的大小，由于（√13）2=13,32=9,13＞9，故√13＞3

（2）用估算的方法求无理数的近似值，然后再比较大小。

（3）利用计算器计算出它们的近似值，然后再比较大小。

六、实数的运算

在实数范围内，可以进行加、减、乘、除（除数不为零）、乘方及开立方运算，任何非负实数都可以进行开平方运算。有理数的运算性质和运算律在实数范围内仍然适用，实数混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序基本相同，先乘方、开方，再乘除，最后加减。同级运算按从左到右的顺序进行，有括号先算括号里的。在实数运算中，当遇到无理数时，可运用计算器进行求值。

4.4近似数

一、近似数与准确数

与实际接近的数称为近似数；与实际情况完全符合的数叫做准确数。实际生产生活中的许多数据都是近似数。例如：测量工具，计算时间、速度所得的结果都是近似数，且由于测量工具不同，测量的精确程度也不同。在实际计算中，对于像π这样的数，也常常取它的近似数。

二、近似数的取法

对较大的数取近似值时，结果一般要用科学记数法来表示。在一些计算或测量中，我们有时需要对近似值进行处理，通常应用四舍五入法对近似数进行精确。如果结果只取整数，那么就叫做精确到个位，如π≈3.如果结果取1位小数，那么就叫做精确到十分位（或精确到0.1），如π≈3.1.如果结果取2位小数，那么就叫做精确到百分位（或精确到0.01），如π≈3.14.

=3.333…，若要求精确到十分注意：对于“精确到哪一位”，是指四舍五入到哪一位。如31

3

≈3.3

位，是指四舍五入到十分位，则31

3