一元二次方程根系关系
一元二次方程之根系关系及应用题
根系关系及应用题题型一：根与系数关系一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）若21,x x 是关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根，则方程的两个根21,x x 和系数c b a ,,有如下关系：ac x x a b x x =⋅-=+2121,. 【例1】 不解方程，求下列方程两根的积与和．⑴25100x x --= ⑵22710x x ++= ⑶23125x x -=+ ⑷()137x x x -=+【例2】 已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ．⑴求实数m 的取值范围；⑵当22120x x -=时，求m 的值．【例3】 已知一元二次方程2(1)230m x mx m +++-=有两个不相等的实数根，并且这两个根又不互为相反数. ⑴ 求m 的取值范围；⑵ 当m 在取值范围内取最小偶数时，方程的两根为12,x x ，求2123(14)x x -的值.【探究对象】根系关系的进一步应用 【探究方式】在做含参一元二次方程根系关系的问题时，先考虑二次项系数不为0→再判断∆→然后根据题意看是否有两根的特殊关系（如例3，已知中强调两根不互为相反数，则根据根系关系能够得出0m ≠）．在这里主要探讨一下根的正负性问题： 利用根与系数的关系，我们可以不直接求方程2++=0ax bx c 的根，而知其根的正、负性． 在2=40b ac ∆-≥的条件下，我们有如下结论：①当<0c a时，方程的两根必一正一负．若0ba -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若<0ba-，则此方程的正根小于负根的绝对值．①当>0c a时，方程的两根同正或同负．若>0b a -，则此方程的两根均为正根；若<0b a -，则此方程的两根均为负根．【探究1】已知关于x 的一元二次方程x 2－2ax +a 2－9=0 （1）a 为何值时，方程有两个正根？（2）a 为何值时，方程有一正根、一负根？【探究2】已知关于x 的一元二次方程（m +2）x 2+2mx +232m -=0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）若 362m <<，试判断方程两个实数根的符号，并证明你的结论．【探究3】已知方程22430x x k -+-=，k 为实数且k ≠0，证明：此方程有两个实数根，其中一根大于1，另一根小于1．题型二：一元二次方程的应用题列一元二次方程解应用题的时候，要注意检验得到的根是否符合题意．【引例】 ⑴某汽车销售公司2019年盈利1500万元， 2020年盈利2160万元，且从2019年到2020年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）．A ．()2150012160x += B ．2150015002160x x += C ．215002160x = D ．()()215001150012160x x +++=⑵某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为 ． （3）某厂一月份生产产品50台，计划二、三月份共生产产品120台，设 二、三月份平均每月增长率为x ，根据题意，可列出方程为（ ） A ．50（1+x ）2=60 B ．50（1+x ）2=120C ．50+50（1+x ）+50（1+x ）2=120D ．50（1+x ）+50（1+x ）2=120【例4】 某商品进价为40元的衬衫按50元售出时.每月能卖500件.这种衬衫每涨价1元，其销售量减少10件.如果商场计划每月赚8000元利润.售价应定为多少?练习1.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程是高中数学中的重要内容，它的解也是数学中的基础知识之一。
在本文中，我们将探讨一元二次方程的根与系数之间的关系。
一元二次方程的一般形式为： ax^2 + bx + c = 0 （其中，a、b、c为实数且a ≠ 0）这个方程中的根可以通过求解方程来得到。
一元二次方程的解可以分为三种情况，具体取决于判别式的值（Δ=b^2 - 4ac）。
1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。
这是最常见的情况，我们可以通过求解公式 x = (-b ± √Δ) / (2a) 来找到这两个根。
2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根。
这被称为方程的重根，解可以通过公式 x = -b / (2a) 求得。
3. 当Δ < 0时，方程没有实根。
在这种情况下，方程的解为复数根，我们可以用公式 x = (-b ± i√|Δ|) / (2a) 求得复数根，其中i是虚数单位。
根据以上三种情况，我们可以看出方程的根与系数之间的关系：1. 根与系数的和：根与系数的和是一个常数，可以通过视方程的一元一次项来确定。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的两个实根的和可以表示为 -b / a。
这是因为根的和可以通过展开方程 (x-α)(x-β) =0 和整理可得的公式(α + β) = -b / a 来求得。
2. 根与系数的积：根与系数的积也是一个常数，可以通过方程的常数项来确定。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的两个实根的积可以表示为 c / a。
这是因为根的积可以通过展开方程 (x-α)(x-β) = 0 和整理可得的公式(αβ) = c / a 来求得。
3. 系数的平方与根的乘积：系数的平方与根的乘积也是一个常数，它等于方程的常数项除以方程的二次项系数的平方。
即(α + β)(αβ) = c / a^2。
通过以上的分析，我们可以得出一元二次方程的根与系数之间的关系，并利用这些关系来推断方程的性质和求解方程。
中学数学《一元二次方程根与系数的关系》知识点精讲
知识点总结一、一元二次方程根与系数的关系（1）若方程ax2 bx c 0 (a≠0)的两个实数根是x1，x2，则x1+x2= -bc，x1x2= aa（2）若一个方程的两个根为x1,，x2，那么这个一元二次方程为ax2 x1 x2 x x1x2 0 (a≠0)（3）根与系数的关系的应用：① 验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；② 求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.③ 求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于x1和x2的代数式的值，如；④ 求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式.二、解一元二次方程应用题：它是列一元一次方程解应用题的拓展,解题方法是相同的。
其一般步骤为：1．设：即适当设未知数（直接设未知数，间接设未知数），不要漏写单位名称，会用含未知数的代数式表示题目中涉及的量；2．列：根据题意，列出含有未知数的等式，注意等号两边量的单位必须一致；3．解：解所列方程，求出解来；4．验：一是检验是否为方程的解，二是检验是否为应用题的解；5．答：怎么问就怎么答，注意不要漏写单位名称。
一元二次方程的练习题1、若关于x的二次方程(m+1)x-3x+2=0有两个相等的实数根，则m=__________22、设方程x 3x 4 0的两根分别为x1，x2，则x1+x2=________，x1·x2=__________ 2x1+x2=_________，（x1-x2）=__________，x1+x1x2+3x1=____________23、若方程x-5x+m=0的一个根是1，则m=____________24、两根之和等于－3，两根之积等于－7的最简系数的一元二次方程是_____________25、若关于x的一元二次方程mx+3x-4=0有实数根，则m的值为______________226、方程kx+1=x-x无实根，则k___________导学案【学习目标】1、学会用韦达定理求代数式的值。
一元二次方程根的判别式与根系关系
一元二次方程的判别式与根系关系【知识精讲】1.一元二次方程的根的判别式（1）根的判别式：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 是否有实根，由符号确定，因此我们把 叫做一元二次方程的根的判别式，并用△表示，即（2）一元二次方程根的情况与判别式的关系：△>0⇔方程有 的实数根；△=0方程有 的实数根；△<0方程 实数根；△≥⇔方程 实数根.注：①使用前应先将方程化为一般形式；②使用此性质要保证方程为一元二次方程，即0≠a ；③性质顺用、逆用均可；④不解方程，可判断根的情况；⑤根据方程的情况，可确定方程中字母系数的值或取值范围；⑥在函数图像的交点问题中可以判断交点的个数；2.根系关系（韦达定理）（1）对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根,,21x x 有ac x x a b x x =•=+2121,- （2）推论：如果方程02=++q px x 的两根是,,21x x 那么q x x x x =•=+2121,-p（3）常用变形：+=+2122122212-)(x x x x x x 21212214-)()-(x x x x x x += 注：①使用次性质要保证一元二次方程有两根，即0≠a 和△0≥；②不解方程，可计算代数式的值③根据两根之间的关系，可求方程中字母系数的值④与根的判别式一起使用，可确定根的符号问题【典型例题精讲】【例1】是否存在这样的非负数m ，使得关于x 的一元二次方程01-91-3(2-2=+m x m mx ）有两不相等的实数根，若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由。
【拓展练习】1.关于x 的方程01)2(2-)1-(22=++x m x m 有实根，求m 的取值范围。
2.求证不论m 取何值时，若关于x 的方程02)5(22=++++m x m x 恒有两个不相等的实根。
3.已知关于x 的方程042-)1(222=+++k kx x k ，求证：次方程没有实根。
第十二讲 一元二次方程的根系关系(提尖班)
第十二讲一元二次方程的根系关系一、直接应用【韦达定理】若1x 、2x 是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的两个根，则方程的两个根1x 、2x 和系数a 、b 、c[证明]使用求根公式，有：1b x a -=，22b x a --=故122222b bb b x x a a a a-+---+=+==-()22124b ac c x x --⋅==【示例】1x 、2x 是方程2560x x -+=的两个根，则12x x +=5，12x x ⋅=6。
1x 、2x 是方程22310x x -+=的两个根，则12x x += 1.5，12x x ⋅=0.5。
1x 、2x 是方程2810x x -++=的两个根，则12x x +=8，12x x ⋅=-1。
【题型】[已知一根，求另一根]已知5、a 是方程250x mx -+=的两个根，则a =_____，m =_____。
解：由韦达定理，得：555a m a +=⎧⎨=⎩，解得：16a m =⎧⎨=⎩。
[对称式]利用韦达定理求诸如：12x x +、12x x ⋅、2212x x +、221212x x x x +、1211x x +、2112x x x x +已知1x 、2x 是方程2310x x -+=的两个根，则2112x x x x +=_____。
解：由韦达定理，得：121231x x x x +=⎧⎨=⎩，故222221121212121212()232171x x x x x x x x x x x x x x ++--⨯+====[根据根系关系求参数的值或范围]已知1x 、2x 是方程22210x kx k ++-=的两个根，且()()12110x x ++=，则k =_____。
解：22(2)4(1)40k k ∆=-⨯-=>，故k 可以取任意值，由韦达定理，得：1221221x x k x x k +=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，故()()2121212111121x x x x x x k k ++=+++=--+，由题意，得：21210k k --+=，解得：0k =或2[补充题1]已知1x 、2x 是关于x 的方程()()23x x m --=的两个实数根，(1)求m 的取值范围；(2)若121210x x x x --+=，求m 的值。
一元二次方程系数与根的关系
一元二次方程系数与根的关系
一元二次方程是一种形如$ax^2+bx+c=0$的方程，其中
$a,b,c$ 都是实数且 $a
eq 0$。
它的解可以用求根公式来表示：
$$
x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}.
$$
我们可以发现，求根公式中的 $a,b,c$ 是方程的系数，而根则是方程的解。
因此，我们可以研究一元二次方程的系数与根的关系。
首先，我们来看 $a$ 的影响。
如果 $a>0$，则方程的开口向上，且当 $x$ 趋向无穷时，方程的值趋向于正无穷。
反之，如果 $a<0$，则方程的开口向下，且当 $x$ 趋向无穷时，方程的值趋向于负无穷。
这说明 $a$ 的符号决定了方程的开口方向和极值点的位置。
接下来，我们来看 $b$ 的影响。
如果 $b>0$，则方程的图像会向左平移，反之，如果 $b<0$，则方程的图像会向右平移。
这说明$b$ 的符号决定了方程的对称轴。
最后，我们来看 $c$ 的影响。
如果 $c>0$，则方程的图像会上移，反之，如果 $c<0$，则方程的图像会下移。
这说明 $c$ 的符号决定了方程的纵坐标平移。
综上所述，一元二次方程的系数与根的关系是非常密切的。
系数的不同取值会影响方程的开口方向、对称轴和极值点位置，从而决定方程的解的性质。
一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程是数学中一个最基本的问题，它的形式为ax2 + bx + c = 0，其中a，b，c为常数。
在解一元二次方程时，系数a，b，c之间存在一种特殊的关系，即它们与一元二次方程的根有关。
首先，一元二次方程的根可以通过一元二次方程的判别式来确定。
判别式的公式为D = b2 - 4ac，其中D为判别式的值，a，b，c分别为一元二次方程的系数。
它可以用来判断一元二次方程的根的个数，以及它们的性质。
如果D > 0，则一元二次方程有两个不同的实根；如果D = 0，则一元二次方程有两个相等的实根；如果D < 0，则一元二次方程有两个不同的虚根。
其次，在讨论一元二次方程的根与系数之间的关系时，我们还要考虑它们的取值范围。
如果a > 0，则实根的取值范围在[-b/2a，b/2a]之间；如果a < 0，则实根的取值范围在[b/2a，-b/2a]之间。
此外，虚根的取值范围为：+/-(√|D|/2a)。
最后，当a，b，c的值发生变化时，一元二次方程的根也会发生变化。
当a的值变大时，实根的取值范围会变小；当a的值变小时，实根的取值范围会变大；当b的值变大时，实根的取值范围会变大；当b的值变小时，实根的取值范围会变小；当c的值变大时，实根的取值范围会变小；当c的值变小时，实根的取值范围会变大。
综上所述，一元二次方程的根与系数之间存在一定的关系，即它们与一元二次方程的根有关。
它们有着特定的取值范围，当系数的值发生变化时，它们的取值范围也会发生变化。
此外，还可以通过判别式来判断一元二次方程的根的个数以及它们的性质。
一元二次方程根与系数的关系推导
一元二次方程根与系数的关系推导大家好！今天我们要聊聊一元二次方程的根与系数之间的关系。
别担心，这个话题看起来挺复杂，但我们一步步来，一定能搞明白。
其实，二次方程就像是一道谜题，找到它的根就像找到了通往答案的钥匙。
好了，我们从基础说起吧。
1. 一元二次方程的基本形式首先，让我们搞清楚什么是一元二次方程。
它的标准形式是：[ ax^2 + bx + c = 0 ]。
在这个方程中，a、b 和 c 都是常数，a 不能等于零，不然就不是二次方程了。
这个方程的根，也就是解，是让方程成立的 x 的值。
1.1 根的定义一元二次方程有两个根，可能是两个不同的实数根，或者是一个相同的实数根（这种情况我们称作“重根”），也有可能是两个不同的虚数根。
比如，方程 ( x^2 4 = 0 ) 的根是 ( x = 2 ) 和 ( x = 2 )。
1.2 系数的作用方程中的系数 a、b 和 c 影响了根的性质。
系数 a 决定了二次项的“力度”，b 决定了线性项的倾斜度，而 c 决定了方程的常数部分。
可以说，系数就是方程的“调味料”，它们的不同组合会影响到方程根的不同表现。
2. 根与系数的关系那么，根和系数之间究竟有啥关系呢？这可是个关键问题哦。
咱们要了解这个关系，得从一个很重要的公式说起——这是根与系数关系的“秘籍”。
2.1 求和公式假设方程的根是 ( alpha ) 和 ( beta )。
那么，这两个根的和，公式是：[ alpha + beta = frac{b}{a} ]。
这公式是怎么来的呢？其实，当你把一元二次方程展开时，会发现 ( b ) 是 x 的系数，这直接影响到根的和。
2.2 乘积公式另外，根的乘积公式也很重要：[ alpha cdot beta = frac{c}{a} ]。
这公式告诉我们，根的乘积与常数 c 以及系数 a 的比值有关。
换句话说，常数 c 代表了方程在 y 轴上的位置，它的值影响到根的乘积。
3. 实际应用与例子说到这儿，可能有小伙伴会觉得有点抽象。
一元二次方程两根关系问题
一元二次方程两根关系问题一元二次方程二个根的关系：设一元二次方程为ax^2+bx+c=0，两根为x1，x2则x1+x2=-b/a，x1x2=c/a这个就是韦达定理【扩展知识】一、一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。
②只含有一个未知数；③未知数项的最高次数是2。
二、一元二次方程一般形式ax²+bx+c=0(a≠0)其中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项；b是一次项系数；c是常数项。
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
三、一元二次方程变形式ax²+bx=0(a、b是实数，a≠0);ax²+c=0(a、c是实数，a≠0);ax²=0(a是实数，a≠0)。
四、一元二次方程解题方法1、公式法x=(-b±√(b^2-4ac))/2a求根公式2、十字相乘法x的平方+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）五、解法十字相乘法公式：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)例：1. ab+b²+a-b- 2=ab+a+b²-b-2=a(b+1)+(b-2)(b+1)=(b+1)(a+b-2)公式法：（可解全部一元二次方程）求根公式首先要通过Δ=b²-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根1.当Δ=b²-4ac<0时 x无实数根（初中）2.当Δ=b²-4ac=0时 x有两个相同的实数根即x1=x23.当Δ=b²-4ac>0时 x有两个不相同的实数根当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b²－4ac）}/2a来求得方程的根配方法：（可解全部一元二次方程）如：解方程：x²+2x－3=0解：把常数项移项得：x²+2x=3等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x²+2x+1=4因式分解得：（x+1)²=4解得：x1=-3,x2=1用配方法的小口诀：二次系数化为一分开常数未知数一次系数一半方两边加上最相当开方法：（可解部分一元二次方程）如：x²-24=1解：x²=25x=±5∴x1=5 x2=-5均值代换法：（可解部分一元二次方程）ax²+bx+c=0同时除以a，得到x²+bx/a+c/a=0设x1=-b/(2a)+m，x2=-b/(2a)-m (m≥0)根据x1·x2=c/a求得m。
一元二次方程根的判别式及根系关系
一元二次方程根的判别式及根系关系一.根的判别式的应用【基本常识】若方程20(0)ax bx c a ++=≠,24b ac =-Δ（1）△＞0, （2）△=0 （3） △＜0,【典范应用】1.不解方程,断定方程根的情形例1,断定下列方程根的情形（1）2312x x += （2）220x mx m -+-=（m 为常数） 演习1.求证方程()222412x m x m m --=+必定有两个不相等的实根 例2.依据m 的取值,断定关于x 的方程()228180mx m x m +-+=的根的情形演习2.已知方程2680x x m +-+=没有实数根求证：方程()22210x m x m -+++=有两个不相等的实根2.已知方程根的情形,求方程式中待定系数的值（取值规模） 例3.若关于x 的方程()222110m x m x --+=有两个实数根 求知足前提的最大整数m 的值演习3.若关于x 的方程()()2212210m x m x -+++=有实根求m 的取值规模留意：应用△时,必须在0a ≠的前提下进行二.根与系数的关系的应用【基本常识】若方程20(0)ax bx c a ++=≠,当△≥0时,方程有两根：1x =2x = ,则12x x += ;12x x = ;若10x =,则 ;若12,x x 互为相反数,则 ;若12,x x 互为倒数,则 ;若11x =,则 ;若11x =-,则【典范应用】1.已知方程的一根,求另一根及待定系数的值例4.已知方程250x kx -+=有一个根是2,求另一根及k 的值演习 4.已知方程230x x m ++=的一个根是另一个根的2倍,求m 的值及两根2.不解方程,求关于根的代数式的值例5.已知,m n 是方程227x x +=的两根,求下列各式的值（1）22m n +, （2）m n - （3）22331m m n n ++++（4）2234m n n ++演习5.若实数,a b 知足2850a a -+=,2850b b -+=,且a b ≠,求1111b a a b --+--的值3.已知方程两根知足某种关系,肯定方程中待定系数的值例6.已知关于x 的方程()241210x k x k +++-=（1）求证：此方程必定有两个不等实根（2）若12,x x 是方程的两根且()()122223x x k --=-,求k 的值演习6.已知关于x 的方程230x x k +-=的两根为12,x x ,且()221212149x x x x +++= 求k 的值例7.已知关于x 的方程2230x mx m -+=的两根为12,x x ,且()21216x x -=,假如关于x 的另一个方程22690x mx m -+-= 的两根都在12,x x 之间,求m 的值演习7.已知关于x 的方程()2121402x k x k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭,若等腰△ABC的边a =4,另双方的长,b c 恰为这个方程的两根,求△ABC 的周长。
一元二次方程根与系数的关系笔记
一元二次方程根与系数的关系笔记1. 引言说到一元二次方程，大家的第一反应可能是“哦，那就是ax² + bx + c = 0 的那个式子吧！”对，就是这个。
不过，今天我们来聊聊这个方程里的根和系数之间的那些关系。
别担心，我们不打算绕着弯子走，只希望你能把这些知识融入到脑海里，像在生活中记住别人的名字一样自然。
2. 一元二次方程的基本知识2.1 什么是一元二次方程？一元二次方程其实就是形如ax² + bx + c = 0 的方程，其中 a、b 和 c 是常数，x是未知数。
简单来说，x 需要满足这个方程等于零的条件。
2.2 根的定义根就是使方程成立的 x 值。
例如，在x² 3x + 2 = 0 这个方程中，x = 1 和 x = 2 就是它的根，因为把这两个值代入方程后，方程成立了。
3. 根与系数的关系3.1 根的和如果你知道了方程的根，比如x₁和x₂，那么这两个根的和其实和系数b 有关。
我们有一个公式叫“根的和公式”，即 x₁ + x₂ = b/a。
这听起来有点晦涩，但你可以这么理解：方程的根之和等于 b 除以 a。
就像你买了两种口味的冰淇淋，根的和就像是这两种口味加起来的数量。
3.2 根的积再来谈谈根的积。
公式是 x₁ * x₂ = c/a。
这个公式说明了，根的乘积等于常数项 c 除以 a。
换句话说，如果你把两个根乘起来，就能得到一个值，这个值就是 c 除以a。
就像你有两个不同的商品，乘积代表它们一起的“力量”。
4. 实际应用4.1 求解一元二次方程通过根与系数的关系，我们可以很方便地求解一元二次方程。
如果你知道了根，就能很快找到系数；反之，知道了系数也能推算根。
这种关系简直就是数学中的小秘密，掌握了它，你就像有了破解方程的钥匙。
4.2 检验根与系数的关系有时候我们需要检验自己解出的方程是否正确。
这个时候，利用根与系数的关系公式就能大显身手。
如果计算结果和我们用公式得出的结果一致，那就证明我们的计算没错。
一元二次方程的根与系数的关系
．
‘
．
ａ ＝２， ＝ Ｃ －１ ｂ ４， ＝－ ．
两 根 之 和 与 两 根 之 积 直 接 应 用
ｂ
ｊ ２ 帆 ＝—
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点 拔 利 用 两 根 的 和 与 积
利用 根 与 系数 的 关 系 ，求 一元 二次 方程 ２ Ｚ３ 一 ＝ ｘ＋ ｘ １ ０两
《一元二次方程的根与系数的关系》一元二次方程PPT赏析教学课件
3 2
2
2
1 2
13 ; 4
2 1
x1
1 x2
x1 x2 x1 x2
3 2
1 2
3.
设x1,x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:
（1）x1x2 1+x2x=22
4
1 , (2)x1·x2= 14
,
(3)( x1 x2 ) 2 12 ,
(4)
.
例4：设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，且x12
归纳
知1－导
方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： x1＋x2＝－p，x1x2＝q.
知识点
知1－导
思考2 一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二
次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数
又有怎样的关系呢？
归纳
知1－导
方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
b
c
x1 x2 a , x1 x2 a .
（来自《典中点》）
知2－练
2 等腰三角形三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元
二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为( )
A．9
B．10
C．9或10
D．8或10
（来自《典中点》）
知2－练
3 已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.
(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根； (2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
（来自《点拨》）
知2－讲
例4 方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的两个实数根x1，x2满 导引：足由xx1122＋＋xx2222＝＝4x，12＋则2kx的1·值x2＋为x_2_2_－k_＝_2_x1_1·_x．2＝(x1＋x2)2－2x1·x2
一元二次方程两个实数根的关系
一元二次方程两个实数根的关系1. 简单明了的介绍一元二次方程，听起来可能有点儿复杂，但其实就是一个形如 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 的方程。
这里的 ( a )、( b )、( c ) 是常数，而 ( x ) 是我们要找的根。
别担心，这种方程有两个实数根时，咱们可以用几个简单的规则来搞定它们的关系。
想了解这些规则，咱们就得先来看看根之间的关系，轻轻松松搞定！2. 两个实数根的基本关系2.1 根与系数的关系首先，一元二次方程的根和系数之间有个非常重要的关系。
假设方程的两个实数根是 ( x_1 ) 和 ( x_2 )，那么这两个根和方程的系数有着密切的联系。
具体来说，根的和( x_1 + x_2 ) 等于 ( frac{b}{a} )，而根的积 ( x_1 cdot x_2 ) 则等于 ( frac{c}{a} )。
你看，这些关系就像是根和系数之间的小秘密，揭示了它们之间的亲密无间！2.2 根的和与积这就像是方程的根在为它们的关系唱小曲儿。
根的和是方程的系数 ( b ) 的负数，而根的积则和系数 ( c ) 有关。
这样一来，只要知道了方程的系数，你就能轻松找出这两个根之间的关系，像个数学小侦探一样，真是太有趣了！3. 判别式的奥秘3.1 判别式的定义判别式，这个名字听上去挺吓人的，但其实它不过是一个简单的工具，帮我们确定方程的根是什么样的。
对于一元二次方程 ( ax^2 + bx + c = 0 )，它的判别式就是( Delta = b^2 4ac )。
这个小家伙可以告诉我们方程的根是否为实数，甚至还能揭示根的数量！3.2 判别式的实际应用当判别式 ( Delta > 0 ) 时，方程有两个不同的实数根。
换句话说，根在数学世界里碰面了，不会错过彼此。
若 ( Delta = 0 )，则方程有两个相同的实数根，根之间亲如一对双胞胎。
最后，若 ( Delta < 0 )，哎呀，方程就没实数根了，这俩根都去度假去了，留给我们的是虚数的世界。
一元二次方程根系关系公式
一元二次方程根系关系公式一元二次方程可是初中数学里的一个重要知识点呢，尤其是那根系关系公式，更是解决问题的利器。
咱们先来说说一元二次方程的一般形式：ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）。
在这个方程中，如果方程有两个根 x₁和 x₂，那么就有一个神奇的关系，这就是咱们今天的主角——根系关系公式。
根系关系公式是啥呢？就是 x₁ + x₂ = -b/a，x₁×x₂ = c/a 。
这两个公式看起来简单，但是用处可大啦！比如说，给你一个一元二次方程 x² - 5x + 6 = 0 ，那咱们可以通过因式分解得到 (x - 2)(x - 3) =0 ，所以方程的两个根就是 x₁ = 2 ，x₂ = 3 。
这时候用根系关系公式验证一下，x₁ + x₂ = 2 + 3 = 5 ，而 -b/a = -(-5)/1 = 5 ，完全符合！再看x₁×x₂ = 2×3 = 6 ，c/a = 6/1 = 6 ，也没错！我记得之前有个学生，叫小李，他刚开始学这部分知识的时候，总是搞不清楚这两个公式怎么用。
有一次做作业，遇到一道题：已知方程 2x² + 3x - 5 = 0 的一个根是 1 ，求另一个根。
小李就懵了，完全不知道从哪里下手。
我就提醒他，可以先把已知的根代入方程，求出系数之间的关系，再用根系关系公式来求另一个根。
小李听了之后，恍然大悟，赶紧动手算起来。
经过一番努力，终于算出了另一个根是-5/2 。
从那以后，小李对这部分知识的掌握就越来越好了。
在实际应用中，根系关系公式能帮我们解决很多问题。
比如，已知两个根的和与积，反过来求方程的系数；或者判断方程根的正负性；还能根据根的情况来确定系数的取值范围。
再比如说，有一道题是这样的：已知方程 x² + mx + n = 0 的两根之差的绝对值是 4 ，而且 x₁ + x₂ = -m ，x₁×x₂ = n 。
第12讲 一元二次方程的判别式及根系关系(教师版)
知识导航经典例题1当2已知关于3若关于1已知2已知知识导航经典例题1已知方程2已知关于1已知2设1已知关于2已知关于三、数学万花筒古代方程趣味题赏析我国古代历史悠久，特别是数学成就更是十分辉煌，在民间流传着许多趣味数学题，一般都是以朗朗上口的诗歌形式表达出来，以下几例供大家欣赏。
（一）周瑜的年龄大江东去浪淘尽，千古风流数人物 。
而立之年督东吴，早逝英年两位数 。
十比个位正小三，个位六倍与寿符 。
哪位学子算得快，多少年华属周瑜 ？解析：依题意得周瑜的年龄是两位数，且个位数字比十位数字大3，若设十位数字为x，则个位数字为（x+3），由“个位6倍与寿符”可列方程得：6(x+3)=10x+(x+3),解得x=3,所以周瑜的年龄为36岁 。
（二）壶中原有多少酒李白街上走 ，提壶去买酒 。
遇店加一倍 ，见花喝一斗 。
三遇店和花 ，喝光壶中酒 。
试问酒壶中 ，原有多少酒？解析：李白的壶中原有x斗酒，第一次遇到店加了x斗酒后变为2x斗酒，第一次赏花喝去1斗酒，此时还剩下（2x-1）斗酒，第二次遇到店时，壶中酒变为2（2x-1）斗酒，第二次赏花又喝去1斗酒，此时壶中还剩下【2（2x-1）-1】斗酒，第三次遇店时，壶中酒变为2【2（2x-1）-1】斗酒，第三次赏花时又喝去1斗酒，这是正好壶中的酒喝完。
因此可得到下面的方程：2【2（2x-1）-1】-1=0，解得x=7/8,所以壶中原有7/8斗酒。
（三）寺内多少僧人巍巍古寺在山林 ，不知寺内几多僧 。
三百六十四只碗 ，看看用尽不差争 。
三人共食一碗菜 ，四人共吃一碗羹 。
一元二次方程的根系关系
一元二次方程的根的判别式（一）二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．重点：会用判别式判定根的情况．2．难点：正确理解“当b2-4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实数根．”3．疑点：如何理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在实数范围内，当b2-4ac＜0时，无解．在高中讲复数时，会学习当b2-4ac＜0时，实系数的一元二次方程有两个虚数根．三、教学步骤（二）整体感知：在推导一元二次方程求根公式时，得到b2-4ac决定了一元二次方程的根的情况，称b2-4ac为根的判别式．一元二次方程根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也有利于进一步学习函数的有关内容，并且可以解决许多其它问题．在探索一元二次方程根的情况是由谁决定的过程中，从中体会转化的思想方法以及分类的思想方法，对思维全面性的考察起到了一个积极的渗透作用．（三）重点、难点的学习及目标完成过程1．复习提问（1）平方根的性质是什么？（2）解下列方程：①x2-3x＋2＝0；②x2-2x＋1＝0；③x2＋3＝0．问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用．问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用．2．任何一个一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）用配方法将（1）当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根．（3）当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？答：b2-4ac．3．①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用符号“△”表示．②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△＝0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根．注意以下几个问题：（1）∵ a≠0，∴ 4a2＞0这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用，即对上式开平方，随后有下面三种情况．正确得出三种情况的结论，需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解，所以，在课前进行了铺垫．在这里应渗透转化和分类的思想方法．（2）当b2-4ac＜0，说“方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根”比较好．有时，也说“方程无解”．这里的前提是“在实数范围内无解”，也就是方程无实数根”的意思．4．例1 不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）2x2＋3x-4＝0；（2）16y2＋9＝24y；（3）5（x2＋1）-7x＝0．解：（1）∵△＝32-4×2×（-4）＝9＋32＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．（2）原方程可变形为16y2-24y＋9＝0．∵△＝（-24）2-4×16×9＝576-576＝0，∴原方程有两个相等的实数根．（3）原方程可变形为5x2-7x+5=0．∵△＝（-7）2-4×5×5＝49-100＜0，∴原方程没有实数根．总结步骤，（1）化方程为一般形式，确定a、b、c的值；（2）计算b2-4ac的值；（3）判别根的情况．强调两点：（1）只要能判别△值的符号就行，具体数值不必计算出．（2）判别根的情况，不必求出方程的根．练习．不解方程，判别下列方程根的情况：（1）3x2+4x-2=0；（2）2y2+5=6y；（3）4p（p-1）-3＝0；4）（x-2）2＋2（x-2）-8＝0；（4）题可去括号，化一般式进行判别，也可设y＝x-2，判别方程y2＋2y-8=0根的情况，由此判别原方程根的情况．又∵不论k取何实数，△≥0，∴原方程有两个实数根．教师板书，引导学生回答．此题是含有字母系数的一元二次方程．注意字母的取值范围，从而确定b2-4ac的取值．练习：不解方程，判别下列方程根的情况．（1）a2x2-ax-1＝0（a≠0）；（3）（2m2＋1）x2－2mx＋1=0．学生板演、笔答、评价．教师渗透、点拨．（3）解：△＝（-2m）2-4（2m2＋1）×1＝4m2-8m2-4＝-4m2-4．∵不论m取何值，-4m2-4＜0，即△＜0．∴方程无实数解．由数字系数，过渡到字母系数，使学生体会到由具体到抽象，并且注意字母的取值．一元二方程的根的判别式（二）二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：运用判别式求出符合题意的字母的取值范围．2．教学难点：教科书上的黑体字“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△=0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根”可看作一个定理，书上的“反过来也成立”，实际上是指它的逆命题也成立．对此的正确理解是本节课的难点．可以把这个逆命题作为逆定理．三、教学步骤（二）整体感知：本节课是上节课的延续和深化，主要是在“明确目标”中所提的逆定理的应用．通过本节课的内容的学习，更加深刻体会到“定理”与“逆定理”的灵活应用．不但不求根就可以知道根的情况，而且知道根的情况，还可以确定待定的未知数系数的取值，本节课内容对学生严密的逻辑思维及思维全面性进行恰如其分的训练．1．复习提问（1）一元二次方程的一般形式？说出二次项系数，一次项系数及常数项．（2）一元二次方程的根的判别式是什么？用它怎样判别根的情况？2．将复习提问中的问题（2）的正确答案板书，反之，即此命题的逆命题也成立，即“一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果方程有两个不相等的实数根，则△＞0；如果方程有两个相等的实数根，则△=0；如果方程没有实数根，则△＜0．”即根据方程的根的情况，可以决定△值的符号，‘△’的符号，可以确定待定的字母的取值范围．请看下面的例题：例1 已知关于x的方程2x2-（4k+1）x+2k2-1＝0，k取什么值时（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（1）方程无实数根．解：∵ a＝2， b＝-4k-1，c＝2k2-1，∴ b2-4ac＝（-4k-1）2-4×2×（2k2-1）＝8k+9．方程有两个不相等的实数根．方程有两个相等的实数根．方程无实数根．本题应先算出“△”的值，再进行判别．注意书写步骤的简练清楚．练习1．已知关于x的方程x2＋（2t＋1）x＋（t-2）2＝0．t取什么值时，（1）方程有两个不相等的实数根？（2）方程有两个相等的实数根？（3）方程没有实数根？假设二项系数不是2，也不是1，而是k，还需考虑什么呢？如何作答？练习2．已知：关于x的一元二次方程：kx2+2（k+1）x+k=0有两个实数根，求k的取值范围．和学生一起审题（1）“关于x的一元二次方程”应考虑到k≠0．（2）“方程有两个实数根”应是有两个相等的实数根或有两个不相等的实数根，可得到△≥0．由k≠0且△≥0确定k的取值范围．解：∵△＝[2（k＋1）]2-4k2＝8k＋4．原方程有两个实数根．例求证：方程（m2＋1）x2-2mx＋（m2＋4）＝0没有实数根．分析：将△算出，论证△＜0即可得证．证明：△＝（-2m）2-4（m2+1）（m2+4）＝4m2-4m4-20m2-16＝-4（m4＋4m2＋4）＝-4（m2＋2）2．∵不论m为任何实数，（m2＋2）2＞0．∴ -4（m2＋2）2＜0，即△＜0．∴（m2＋1）x2-2mx＋（m2-4）＝0，没有实根．本题结论论证的依据是“当△＜0，方程无实数根”，在论证△＜0时，先将△恒等变形，得到判断．一般情况都是配方后变形为：a2，a2＋2，（a2＋2）2，-a2，-（a2＋2）2，-（a＋2）2，……从而得到判断．本题是一道代数证明题，和几何类似，一定要做到步步有据，推理严谨．此种题型的步骤可归纳如下：（1）计算△；（2）用配方法将△恒等变形；（3）判断△的符号；（4）结论．练习：证明（x-1）（x-2）=k2有两个不相等的实数根．提示：将括号打开，整理成一般形式．（四）总结、扩展1．本节课的主要内容是教科书上黑体字的应用，求符合题意的字母的取值范围以及进行有关的证明．须注意以下几点：（1）要用b2-4ac，要特别注意二次项系数不为零这一条件．（2）认真审题，严格区分条件和结论，譬如是已知△＞0，还是要证明△＞0．（3）要证明△≥0或△＜0，需将△恒等变形为a2＋2，-（a＋2）2……从而得到判断．2．提高分析问题、解决问题的能力，提高推理严密性和思维全面性的能力．2．当方程x2+2（a+1）x+a2+4a-5=0有实数根时，求a的正整数解．一元二次方程的根与系数的关系（一）二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：根与系数的关系及其推导．2．教学难点：正确理解根与系数的关系．3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系．三、教学步骤（一）明确目标：一元二次方程x2-5x+6=0的两个根是x1=2，x2=3，可以发现x1＋x2=5恰是方程一次项系数-5的相反数，x1x2＝6恰是方程的常数项．其它的一元二次方程的两根也有这样的规律吗？这就是本节课所研究的问题，利用一元二次方程的一般式和求根公式去推导两根和及两根积与方程系数的关系——一元二次方程根与系数的关系．（二）整体感知：一元二次方程的求根公式是由系数表达的，研究一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程的两根的和，两根的积与系数的关系．它是以一元二次方程的求根公式为基础．学了这部分内容，在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础．本节先由发现数字系数的一元二次方程的两根和与两根积与方程系数的关系，到引导学生去推导论证一元二次方程两根和与两根积与系数的关系及其应用．向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神．1．复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式．（2）解方程①x2-5x＋6＝0，②2x2＋x-3＝0．观察、思考两根和、两根积与系数的关系．得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）结论1．如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1我们就可把它写成x2+px+q=0．结论2．如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q．结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便．练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？（1）x2-2x＋1＝0；（2）x2-9x＋10＝0；（3）2x2-9x＋5＝0；（4）4x2-7x＋1＝0；（5）2x2-5x＝0；（6）x2-1＝0此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系．3．一元二次方程根与系数关系的应用．（1）验根．（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根．验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成标准型，（2）不要漏除二次项（2）已知方程一根，求另一根．例：已知方程5x2＋kx-6＝0的根是2，求它的另一根及k的值．此题的解法是依据一元二次方程根与系数的关系，设未知数列方程达到目的，还可以向学生展现下列方法，并且作比较．方法（二）∵ 2是方程5x2+kx-6=0的根，∴ 5×22＋k×2-6＝0，∴ k＝-7．∴原方程可变为5x2-7x-6=0比较，方法（二）不如方法（一）简单，从而认识到根与系数关系的应用价值．一元二次方程的根与系数的关系（二）二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：一元二次方程根与系数关系的应用．2．教学难点：某些代数式的变形．3．教学疑点：正确理解根与系数关系的作用．通过本节课的学习，能更深刻地理解根与系数关系给解决数学问题带来的方便．三、教学步骤（二）整体感知：本节课是上节课的延续和深化，一元二次方程根与系数关系的应用，充分显示了它的价值，求根公式为关系的得出立下功劳，但它的作用求根公式无法代替．它在求某些代数式的值时，大大化简了运算量．同时，已知一个有实根的一元二次方程，我们易求它的两个根．反之，已知两个数，以这两个数为根的一元二次方程是否能求出来，根与系数的关系解决了这个问题．所以它为数学问题的进一步研究和深化起了很大的作用．通过本节课的学习，学生不仅能更好地掌握一元二次方程根与系数的关系，而且能提高学生综合运用基础知识分析较复杂的数学问题的能力．1．复习提问（1）一元二次方程根与系数的关系及应用．2．本节课继续学习它的应用（1）不解方程，求某些代数式的值．例：不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两个根的（1）平方和；（2）倒数和．分析：若首先求出方程的两根，再求出两根的平方和、倒数和，问题可以解决，但此题要求不解方程，怎样做呢？如果设方程的两个根为x1、x2，则两个根的平方和便可表示为x12+x22，如果将此代数式用x1+x2，x1x2表示，再用根与系数的关系，问题便可以解决．解：设方程的两个根是x1，x2，那么（1）∵（x1+x2）2=x12+2x1x2+x22．总结以下两点：1．运用根与系数的关系，求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用x1+x2和x1x2表示的代数式．2．格式、步骤要求规范第一步：求出x1+x2，x1x2的值．第二步：将所求代数式用x1+x2，x1x2的代数式表示．第三步：将x1+x2，x1x2的值代入求值．练习：设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值：（1）（x1+1）（x2+1）；（2）x12x2+x1x22；（4）（x1-x2）2；（5）x13+x23．（2）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程．如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q，∴ p=-（x1+x2），q=x1x2．∴ x2-（x1+x2）x+x1x2=0．由此得到结论：以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2-（x1+x2）x+x1x2=0．解：所求方程是例已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数．分析：此题可以通过列方程求得．但学习了根与系数的关系，应启发引导学生用另外方法解决．设两个数分别为x1，x2，则x1+x2=8，x1x2=9．又∵方程x2-（x1+x2）x+x1x2=0的两个根为x1，x2．所以这两个数x1、x2是方程x2-8x+9=0的两个根．解此方程的两个根便是所求的两个数．解：根据根与系数的关系可知，这两个数是方程x2-8x+9=0的两个根．解这个方程，得以上两例，虽然解决的问题不同，但解题时都是直接应用根与系数的关系，前例是通过一元二次方程x2+px+q=0的根与系数的关系，以给出的两个根反过来确定方程的系数（p，q），后例是借助于根与系数的关系解决实际问题．通过例题的讲解，一则引导学生解决了每个例题中提出的问题，再则使学生对根与系数的关系较好地熟悉并掌握起来．。
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一元二次方程的根系关系
[教学目标]
1、知识目标：掌握一元二次方程根与系数的关系，并会根据条件和根与系数的关系不解方程确定相关的方程和未知的系数值。
2、过程与方法目标：经历探索根系关系的过程，理解方程思想和整体变换思想.
3、情感目标：
[知识要点]
对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠
若方程有实数根x 1，x 2时，则12b x x a +=-且12c x x a •= 特别对于方程20x px q ++=，若有两个实根αβ、时，
则p αβ+=-，q αβ•=
【例1】关于x 的方程10422=-+kx x 的一个根是－2，则方程的另一根是 ；k ＝ . 分析：设另一根为1x ，由根与系数的关系可建立关于1x 和k 的方程组，解之即得。
答案：2
5，－1 【例2】已知方程2310x x +-=的根为x 1，x 2，求下列各式的值
（1）2212x x + （2）3312x x + （3）212()x x -
（4）
2112
x x x x + （5）12x x - （6）12(2)(2)x x --
【例3】求做一个一元二次方程，使它的两个根为
【例4】已知：2710a a -+=，2710b b -+=，求
a b b a +的值。
【例5】已知关于x 的方程2
2220x mx m -+-=，求m 为和值时（1）方程有两实根一正、一负；（2）方程两根均为正。
【例6】已知：一元二次方程2(1)10mx m x --+=有有理数根。
求整数m 的值
【例7】已知：方程2(6)0x a x a +++=的两个根都是整数，求a 的值
【例8】已知关于x 的方程05)2(22
2=-+++m x m x 有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值。
分析：有实数根，则△≥0，且16212221+=+x x x x ，联立解得m 的值。
略解：依题意有： ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥--+=∆+=+-=+-=+0)5(4)2(416
5)2(22221222122121m m x x x x m x x m x x 由①②③解得：1-=m 或15-=m ，又由④可知m ≥49-
∴15-=m 舍去，故1-=m
探索与创新：
【问题一】已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。
解：由1632+-=∆m ≥0得m ≤21。
121+-=+m x x ，2214
1m x x =≥0 ∴1x 与2x 可能同号，分两种情况讨论：
（1）若1x ＞0，2x ＞0，则⎩⎨⎧>>+0
02121x x x x ，解得m ＜1且m ≠0∴m ≤21且m ≠0 （2）若1x ＜0，2x ＜0，则⎩⎨⎧><+0
02121x x x x ，解得m ＞1与m ≤21相矛盾 综上所述：当m ≤
2
1且m ≠0时，方程的两根同号。
【问题二】已知1x 、2x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根。
（1）是否存在实数k ，使23)2)(2(2121-
=--x x x x 成立？若存在，求出k 的值； 若不存在，请说明理由。
（2）求使21
221-+x x x x 的值为整数的实数k 的整数值。
解：（1）由k ≠0和△≥0⇒k ＜0
∵121=+x x ，k
k x x 4121+= ∴2122121219)(2)2)(2(x x x x x x x x -+=--
2349-=+-
=k k ∴5
9=k ，而k ＜0 ∴不存在。
（2）21221-+x x x x ＝4)(2
1221-+x x x x ＝14+-k ，要使14+-k 的值为整数， 而k 为整数，1+k 只能取±1、±2、±4，又k ＜0∴存在整数k 的值为－2、－3、－5
2、已知关于x 的方程032=++a x x 的两个实数根的倒数和等于3，关于x 的方程
023)1(2=-+-a x x k 有实根，且k 为正整数，求代数式2
1--k k 的值。