一元二次方程根系关系

一元二次方程的根系关系

[教学目标]

1、知识目标：掌握一元二次方程根与系数的关系，并会根据条件和根与系数的关系不解方程确定相关的方程和未知的系数值。

2、过程与方法目标：经历探索根系关系的过程，理解方程思想和整体变换思想.

3、情感目标：

[知识要点]

对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠

若方程有实数根x 1，x 2时，则12b x x a +=-且12c x x a •= 特别对于方程20x px q ++=，若有两个实根αβ、时，

则p αβ+=-，q αβ•=

【例1】关于x 的方程10422=-+kx x 的一个根是－2，则方程的另一根是 ；k ＝ . 分析：设另一根为1x ，由根与系数的关系可建立关于1x 和k 的方程组，解之即得。 答案：2

5，－1 【例2】已知方程2310x x +-=的根为x 1，x 2，求下列各式的值

（1）2212x x + （2）3312x x + （3）212()x x -

（4）

2112

x x x x + （5）12x x - （6）12(2)(2)x x --

【例3】求做一个一元二次方程，使它的两个根为

【例4】已知：2710a a -+=，2710b b -+=，求

a b b a +的值。

【例5】已知关于x 的方程2

2220x mx m -+-=，求m 为和值时（1）方程有两实根一正、一负；（2）方程两根均为正。

【例6】已知：一元二次方程2(1)10mx m x --+=有有理数根。求整数m 的值

【例7】已知：方程2(6)0x a x a +++=的两个根都是整数，求a 的值

【例8】已知关于x 的方程05)2(22

2=-+++m x m x 有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值。

分析：有实数根，则△≥0，且16212221+=+x x x x ，联立解得m 的值。

略解：依题意有： ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≥--+=∆+=+-=+-=+0)5(4)2(416

5)2(22221222122121m m x x x x m x x m x x 由①②③解得：1-=m 或15-=m ，又由④可知m ≥49-

∴15-=m 舍去，故1-=m

探索与创新：

【问题一】已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。

解：由1632+-=∆m ≥0得m ≤21。121+-=+m x x ，2214

1m x x =≥0 ∴1x 与2x 可能同号，分两种情况讨论：

（1）若1x ＞0，2x ＞0，则⎩⎨⎧>>+0

02121x x x x ，解得m ＜1且m ≠0∴m ≤21且m ≠0 （2）若1x ＜0，2x ＜0，则⎩⎨⎧><+0

02121x x x x ，解得m ＞1与m ≤21相矛盾 综上所述：当m ≤

2

1且m ≠0时，方程的两根同号。

【问题二】已知1x 、2x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根。

（1）是否存在实数k ，使23)2)(2(2121-

=--x x x x 成立？若存在，求出k 的值； 若不存在，请说明理由。

（2）求使21

221-+x x x x 的值为整数的实数k 的整数值。 解：（1）由k ≠0和△≥0⇒k ＜0

∵121=+x x ，k

k x x 4121+= ∴2122121219)(2)2)(2(x x x x x x x x -+=--

2349-=+-

=k k ∴5

9=k ，而k ＜0 ∴不存在。 （2）21221-+x x x x ＝4)(2

1221-+x x x x ＝14+-k ，要使14+-k 的值为整数， 而k 为整数，1+k 只能取±1、±2、±4，又k ＜0∴存在整数k 的值为－2、－3、－5

2、已知关于x 的方程032=++a x x 的两个实数根的倒数和等于3，关于x 的方程

023)1(2=-+-a x x k 有实根，且k 为正整数，求代数式2

1--k k 的值。