基本不等式及其应用

【知识梳理】

一、基本不等式的应用 基本不等式ab 2b a ,0b ,0a ≥+>>是证明不等式及求函数最值的重要工具，在新教材中 这一作用体现得更为明显。灵活使用基本不等式是成功解题的关键，使用时要注意“一正、二定、三相等”，下面介绍基本不等式的三种应用 。

（一）直接应用基本不等式

直接应用基本不等式是指题目中已有基本不等式的结构，且满足“一正、二定、三相等”，只需直接运用即可。

例1. 已知a ，R b ∈，求证：12b a 1b 1a 2

22

2++≤+⋅+。

（二）间接应用基本不等式

间接应用基本不等式是指题中没有基本不等式的结构，或不满足“一正、二定、三相等”，这时需要对已知条件作结构变换，构造基本不等式结构模型，然后再使用基本不等式解题。

例2. 设x>0，求证：231x 22x ≥++。 分析：由题意可知，若直接应用基本不等式，则无法证明，此时需对原不等式进行结构上的变换，创造条件使用基本不等式。

（三）两次应用基本不等式

连续两次应用不等式解题，使用时要注意等号要同时成立。

例3. 已知a ，+∈R b ，且a+b=1，求b 2a 1+的最小值。

例4. 设a>b>0，求

)b a (b 16a 2-+

的最小值。

变式题1：若x> -1则x 取什么值时x+11

+x 的值最小？最小值是多少？

变式题2：x>0时x x 1

2+的最小值为多少？何时取到？

变式题3：x>0，当x 为何值时，22+=x x

y 取到最大值？最大值是多少？

变式题4：x>-1，当x 为何值时，11

2+++x x x 的值最小？最小值是多少？

二、不等式的证明

1.证明不等式的基本依据：

（1）实数大小的比较原则；

（2）不等式的性质；

（3）几个重要不等式，特别是算术——几何平均值不等式

（4）已知函数的增减性；

（5）实系数一元二次方程的根的判别式.

2.证明不等式的常用的方法:

⑴比较法：

①作差比较，要点是：作差——变形——判断。

这种比较法是普遍适用的，是无条件的。

根据a －b >0⇔a >b ，欲证a >b 只需证a －b >0；

②作商比较，要点是：作商——变形——判断。

这种比较法是有条件的，这个条件就是“除式”的符号一定。

当b >0时，a >b ⇔b

a >1。比较法是证明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有时根据题设可转化为等价问题的比较（如幂、方根等）。

⑵分析法：就是不断寻找并简化欲证不等式成立的充分条件，到一个明显或易证其成立的充分条件为止。对于思路不明显，感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径。

这种方法的实质是“充分条件”的化简。分析法证明不等式的逻辑关系是：12n B B B B A ⇐⇐⇐⇐⇐.分析法的思维特点是：执果索因⑶综合法：就是从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形（恒等变形或不等变形）推导出要求证明的不等式。

用综合法证明不等式的关键是适当选择一个已知的不等式，从此出发推出所证结果，怎样选择已知的不等式就适当呢？一般有两条途径。（1）从分析法找思路，（2）从“重要不等式”，特别是基本不等式找思路。

用综合法证明不等式的逻辑关系是：12n A B B B B ⇒⇒⇒

⇒⇒.综合法的思维特点是：由因导果

例5、设22,,1a b R a b ab a b ∈+++>+求证：

变式练习：

三、不等式的应用题

例6、某村计划建造一个室内面积为2800m 的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地，当矩形室的变长各为多少时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积时多少？

变式吝惜某工厂第一年产量为A ，第二年增长率为a ，第三年增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则有 （ ）

（A ）

2

a b + （B ）2a b x +≤ （C ）2a b x +≥ （D ）2a b x +>

例7、建造一个容积为28m ，深为2m 的长方形无盖水池，如池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，求水池的最低造价。

例8、已知直角三角形的斜边为定值c ，求：（1）这个直角三角形面积的最大值；（2）这个直角三角形周长的最大值。

例9、现要建造一个面积为40平方米的矩形房子，已知围墙每米的造价500元，如何建造，才能使围墙的造价最低，最低造价是多少元？（精确到0.1）

例10、某造纸长拟建一座占地面积为200平方米的矩形二级污水处理池（如图），池的深度一定，池的外围周壁造价单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价为每平方米60元（池壁厚度忽略不计），污水处理池的长为多少米时，可使总造价最低？

【课堂总结】

1、 不等式的证明有哪些方法？都相应的要注意什么问题？

2、 基本不等式都有什么用图？

【课后练习】

1、均值不等式链

设a 、b R +∈，则22

2

1122a b a b ab a b ++≤≤≤+≤几何均值≤算术均值≤平方均值），当且仅当a b =时等号成立.

2、甲、乙两人同时从A 地出发，沿同一条路线行到B 地。甲在前一半时间的行走速度为a ，后一半时间的行走速度为b ；乙用速度a 走完前半段路程，用速度b 走完后半段路程；问：谁先到达B 地？

3、某村计划建造一个室内面积为8002m 的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少

4、已知0

x 432++的最大值是__ _______. 5、已知0,0>>y x ，且082=-+xy y x ，

求（1）xy 的最小值；（2）y x +的最小值。

6、求下列函数的最小值

（1）)1(1

1072->+++=x x x x y （2）已知0,0>>y x ，且,1243=+y x 求y x lg lg +的最大值及相应的x ，y 的值。