2018年线代期末试卷

r12r 3 r 3 2r 3
0 0
0 0
1 0
0 1
1 2 2 2
1 2 2 2
1 1 1 1 1 0
2 1 1
2 21
，
A1
1 1 1
1 1 0
2 1 1
2 1 2
（8
分）
13、（8 分）已知V 是由向量组 a1, a2 , a3, a4 张成的向量空间，即
V k1a1 k2a2 k3a3 k4a4 k1, k2 , k3, k4
1 2 5 6
1
2
3
1
r 4r1 r 5 r1
0 0
4 0
8 7
0
0
1 2 3 1
1 2 3 1
1 2 3 1
r2r4 0 1 2 3 r33r2 0 1 2
0
3
0 4
6 8
6
7
r
44r
2
0 0
0 0
0 0
3 3
r
45r 3
3
0 0
1 0
2 0
5 0 0 0
3 3 （6 分） 0
4、设 A 为 n 阶可逆方阵，A* 为 A 的伴随矩阵，若 A 的一个特征值为 ，则 A* 必 有一个特征值 A / 。
5、二次型 f (x1, x2 , x3 ) 5x12 x22 cx32 4x1x2 2x1x3 2x2 x3 为正定的，则 c 的取值
范围是 c＞2
。
6、已知 4 阶方阵 A 的第三列元素依次为 1，3，-2，2，它们的余子式的值分别 为 3，-2，1，1，则 A =（ A ）
(C) 若 A B 1，当且仅当 x 0 时， Ax Bx
(D)若 A2 B2 ，则 A B 或 A B 9、设 1, 2 是非其次线性方程组 Ax b 的两个解向量，则下列向量中仍为该方程
组解的是（ A ）
(A) 0.61 0.42
(B) 1 2
(C) 0.51 2
(D) 1 2
2018 年线性代数试卷
一 、填空题与选择题（每小题 3 分，共 30 分)
1、设 A 和 B 均为 5 阶方阵，且 A 0.5 ， B 2 ，则 B A1 -4 。
2、若 4 阶方阵 A 的秩为 2，则他的伴随矩阵 A* 的秩为 0
。
3、向量 (1,2,2,3) 与 (3,1,5,1) 的夹角为 或 45o 。 4
r32r2 1 0 2 0 0 1 2 0
r 4r 2 r3r 4
0 0
0 0
1 2
1 1
1 0 0 0 r42r31 0 2 0
1 1 0 0 0 1 2 0
0 1
1 2
0 1
10
r4 00
0 0
1 0
1 1
1 0 0 0 1 1 0 0
0 1
1 0
0 1
12
r3r4 1 0 0 0 0 1 0 0
（2）当方程组有解时求出它的通解。
2 4 2 1 4 a r1r3 1 2 1 1 1 0
答案：
4 1 1
8 2 2
3 1 0
3 1 3
1 1 4
2
0 b
r 24r1
r 3 2 r1 r 4r1
0
0 0
0 0 0
1 1 3 2
0 3 1 2
6 3
a b
1
r 4r 2
r 4r 3
3 5 45
P
2
3 2
3
1 5 0
4
45 5
45
（12 分）
18、（6 分）设 a1, a2 , a3, a4 线性相关， a2 , a3, a4 , a5 线性无关。
（1） a1 能否由 a2 , a3, a4 线性表示？证明你的结论。
（2） a5 能否由 a1, a2 , a3, a4 线性表示？证明你的结论。
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
a1, a2 , a4 是V 的一组基。
（8 分）
1 2 a
1 a 2
14、（8 分）已知 a 为常数，且矩阵 A1 3 0 可经初等变化为 B 0 1 1 。
2 7 a
1 1 1
求 a 的值。
1 2 答案： A 1 3
a 0
rr322r1r1
1 0
1r2 4
r16r 2
1 0 0
0
1 0
1 2 3 4 0
0
0 1
7
2
1 4
2
0 0 0 0 0
（6 分）
a1, a2 , a4 是一个最大无关组。
a3
a1 2
3 4
a2
，a5
7 2
a1
1 4
a2
2a4
1 2 2 17、（12 分）已知对称矩阵 A 2 2 4 ，求：
2 4 2
答案：（1）因为 a2 , a3, a4 , a5 线性无关，所以 a2 , a3, a4 线性无关，又因为 a1, a2 , a3, a4
线性相关，所以 a1 能由 a2 , a3, a4 线性表示。
（3 分）
（2）记 a1 l2a2 l3a3 l4a4 。假设 a5 能由 a1, a2 , a3, a4 线性表示，即
0
0 0
2 0 0 0
1 1 0 0
1 1 3 0
1 3 6 0
b
0 2 a 2
a
1r3 3
r 2
1
0
0
0
2 0 0 0
1 1 0 0
1 1 1
0
1 3 2
0
0
2
b
a 3
2
a
1 2 0 0 2 r1r3 0 0 1 0 1
2 a
2
r 2r 3 r1r 2
0 0
0 0
三、解答题与证明题（本题共 4 小题，满分 38 分）
2x1 4x2 2x3 x4 4x5 a
15、（10
分）已知线性方程组
4x1 8x2 3x3 3x4 x5 2 x1 2x2 x3 x4 x5 0
x1 2x2 3x4 4x5 b
求：
（1）当 a,b 取何值时方程组有解？
a5 k1a1 k2a2 k3a3 k4a4 ，则 a5 k1(l2a2 l3a3 l4a4 ) k2a2 k3a3 k4a4 ，这说明
a5 能由 a2 , a3, a4 线性表示，矛盾。所以 a5 不能由 a2 , a3, a4 线性表示。 （6 分）
5 6 1 5
3 1
4 0
r 3 r1
1 3 32
6 2 0 2
4 3 1 0
1 6 5 5
4 1 03
r 23r1
r 32 r1 r 43r1
1 0 00
6 20 12 16
4 15 9 12
1 9 7 8
4 13 1121
Байду номын сангаас
r 2r 4
1 0 00
6 4 4 3 12 9 16 12
1 1 7 8
k1, k2
（10 分）
16、（10 分）已知向量组 a1 (2,3,1,3) ， a2 (0,2,6,2) ， a3 (1,3,4,0) ，
a4 (5,6,1,5) ， a5 (3,1,4,0) ，求其一个最大无关组，并将其余向量用最大
无关组线性表示。
2 答案：133
0 2 6 2
1 3 4 0
0 0 1
0 1 1
，求
A1
。
1 0 2 0
答案：(
A,
I
)
1 11
1 2 1
0 0 1
0 1 1
1 0 0 0 r2r11 0 2 0
0 1 0 0 0 1 2 0
0 0
0 0
1 0
10
r 3r1 r 4r1
0 0
2 1
2 1
1 1
1 0 0 0
1 1 1
1 0 0
0 1 0
100（4 分）
2 1
a a
r33r 2
1 0
2 1
a a
2 7 a
0 3 3a
0 0 0
1 B 0
a 1
2 1
r3r1
1 0
a 1
2 1
r3(a1)r 2
1 0
a 1
2 1
1 1 1
0 a 1 3
0 0 2 a
（3 分） （6 分）
R( A) R(B) ， a 2
（8 分）
3
0 0
1 0
2 0
b
a 3
2
a
（6 分）
当 b a 2 时方程组有解。
（7 分）
x1
x2
通解为
x3
x4 x5
2k1 2k2 2
k1
k2 2
2k2
a 3
k2
a 3
2
0
2
a
3
0
a 3
2
1
k1
0
0
0
2
0
k
2
1
2
1
10、设 n 阶矩阵 A 满足 A2 A 2I ，则下列矩阵中哪个可能不可逆（ B ）
(A) A 2I
(B) A I
(C) A I
(D) A
二、计算题（本题共 4 小题，满分 32 分）
5123 11、（8 分）计算行列式 D 3 5 1 2 的值。
2351 1235
11 1 2 3 11 1 2
（6 分）
当
1
7
，解方程组
(1I
A) x
0
，得基础解系 1
(
1 2
,1,1)
。
当 2 3 2 ，解方程组 (2I A)x 0 ，得基础解系2 (2,1,0) 3 (2,0,1)
1 2
(2,1,0) ，2
3
3 ,1 1,1
1 (2,4,5) / 5 。
（10 分）
1 2 2
4 1 1121
r33r 2
r 44r 2
1 0 00
6 4 0 0
4 3 0 0
1 1 4 4
4 1 88
r 4r 3
1 0 00
6 4 0 0
4 3 0 0
1 1 4 0
4 081（ 5 分）
1r3 4
r1r 3 r 2r 3
1 0 00
6 4 0 0
4 3 0 0
0 0 1 0
2 1 02
（8 分） （10 分）
（1）矩阵 A 的特征值及对应的全部特征向量；
（2）正交矩阵 P ，使得 P1AP 为对角矩阵，并写出该对角矩阵。
1 答案： I A 2
2
2 2 4
2 0 4 0 2 2
2 4 2 4
0.5(2 6) 2 ( 7)( 2)2 2
特征值为 1 7, 2 3 2 。
(A) 5
(B) -5
(C) -3
(D) 3
7、设 A 和 B 均为 n 阶方阵， A 且 AB ，则一定有（ C ）
(A) B
(B) A 可逆
(C) R( A) R(B) n
(D) R( A) R(B) n
8、设 A 和 B 均为 n 阶方阵，则下列结论成立的是（ C ） (A) 若 A B 1，则 A B I (B) 若 A B 0 ，则 A B
其中 a1 (1,2,1,1,1) ，a2 (2,1,1,2,2) ，a3 (3,4,3,5,3) ，a4 (1,8,5,6,1) 。
求该向量空间的一组基。
1 2 3 1 2 1 4 8
1 2 3 1 r22r1 0 5 10 10
答案：
A
1
1
3
5
（2
分）
r 3 r1
0
3
6 6 （6 分）
c1c 2
r 2r1
3
c1
4
1
1
答案： D 11 5 1 2 0 4 1 1 112 3 2 （5 分）
11 c1c3
c1c 4
3
5
1 0 r3r1 r 4r1
2
3
2
11 2
11 2 3 5 0 1 1 2
11 39 429 （8 分）
1 0 2 0
12、（8
分）已知矩阵
A
1 11
1 2 1