运筹学基础及应用_(第四章_整数规划与分配问题)
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运筹学——.整数规划与分配问题45页PPT
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
运筹学——.整数规划与分配问题 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽则殆。——孔子
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
运筹学——.整数规划与分配问题 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽则殆。——孔子
运筹学课件第4章_整数规划与分配问题
约束 : 少于10min到达各 消防站至少存在1个
街道1 街道2 街道3 街道4 街道5 街道6 10 20 30 30 20 街道1 0 0 25 35 20 10 街道2 10 25 0 15 30 20 街道3 20 35 15 0 15 25 街道4 30 20 30 15 0 14 街道5 30 10 20 25 14 0 街道6 20
40
24
在实际中，许多要求变量取整的 数学模型，称为整数规划。本章 将讨论整数规划求解的基本思路、 0-1变量的用法、分配问题及匈 牙利法，以及利用Excel, Lingo, WinQSB求解的演示。
设 x1,x2表示两种货物装载数量 (整数)，依题意有如下数学模型：
max z 5 x1 6 x2 3 x1 8 x2 ≤ 40 4 x 3 x ≤ 24 1 2 x1 , x2 ≥ 0 x , x 取整数 1 2
管理运筹学课件
2013年3月5日星期二
4.1.2 分枝定界法的基本思路*
0 1 2 3 4 5 6 7 8 x2
分枝定界法(Branch and Bound Method)用于求解整数规划问题 ，是在20世纪60年代初，由Land Doig和Dakin等人提出的。
【例4.1】 用图解法求解整数规划
x1 1 x1 令 x2 1 x2 x 1 x 3 3
目标系数升序排序 min w x2 x3 3x1 5 x1 0 2 x2 x3 x1 0 4 x2 x3 x1 2 解得 x2 1 s.t. x 0 x2 +x1 1 3 x1, x2 , x3 0或1
变量取整的 LP 整数规划
街道1 街道2 街道3 街道4 街道5 街道6 10 20 30 30 20 街道1 0 0 25 35 20 10 街道2 10 25 0 15 30 20 街道3 20 35 15 0 15 25 街道4 30 20 30 15 0 14 街道5 30 10 20 25 14 0 街道6 20
40
24
在实际中，许多要求变量取整的 数学模型，称为整数规划。本章 将讨论整数规划求解的基本思路、 0-1变量的用法、分配问题及匈 牙利法，以及利用Excel, Lingo, WinQSB求解的演示。
设 x1,x2表示两种货物装载数量 (整数)，依题意有如下数学模型：
max z 5 x1 6 x2 3 x1 8 x2 ≤ 40 4 x 3 x ≤ 24 1 2 x1 , x2 ≥ 0 x , x 取整数 1 2
管理运筹学课件
2013年3月5日星期二
4.1.2 分枝定界法的基本思路*
0 1 2 3 4 5 6 7 8 x2
分枝定界法(Branch and Bound Method)用于求解整数规划问题 ，是在20世纪60年代初，由Land Doig和Dakin等人提出的。
【例4.1】 用图解法求解整数规划
x1 1 x1 令 x2 1 x2 x 1 x 3 3
目标系数升序排序 min w x2 x3 3x1 5 x1 0 2 x2 x3 x1 0 4 x2 x3 x1 2 解得 x2 1 s.t. x 0 x2 +x1 1 3 x1, x2 , x3 0或1
变量取整的 LP 整数规划
运筹第四章整数规划与分配问题
x1 ≤ 4 + y1 M x2 ≥ 1 − y1 M x1 > 4 − y2 M x ≤ 3+ y M 2 2 y1 + y2 = 1
i=1,2
则问题可以表示为
4 用以表示含固定费用的函数 总费用
K j + c j x j ( x j > 0) Cj(xj ) = ( x j = 0) 0
则上述条件可以表示成
r n ∑ aij x j ≤ ∑ b; y + ... + y = 1 m 2 1
3、 两组条件中满足其中的一组 、
若 x1 ≤ 4, 则 x2 ≥ 1
若 x1 > 4, 则 x2 ≤ 3
定义
1 第i组条件不起作用 yi = 0 第i 组 条件 起作 用
0 0 X = 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
用矩阵形式表示为: 用矩阵形式表示为: 解矩阵
一般分配问题 设有n项任务 需有n个人去完成 项任务， 个人去完成， 设有 项任务，需有 个人去完成，每个人只能完成一 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第i人完成 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第 人完成 项任务需要的时间是a 第j 项任务需要的时间是 ij , 问如何分配才能使完成任 务的总时间最少？ 务的总时间最少？ 设
2. 整数规划问题的特征与性质
特征—变 特征 变量整数性要求 来源 问题本身的要求 引入的逻辑变量的需要 性质—可 性质—可行域是离散集合
3. 整数规划的分类
纯整数规划 要求全部决策变量的取值都为整数, 要求全部决策变量的取值都为整数 则称为纯整数规划 (All IP)； ； 混合整数规划 仅要求部分决策变量的取值为整数，则称为混合整数规 仅要求部分决策变量的取值为整数， 划(Mixed IP)； ； 0-1整数规划 整数规划 要求决策变量只能取0或 值 则称为0-1规划 规划(0-1 要求决策变量只能取 或1值，则称为 规划 Programming)。 。
i=1,2
则问题可以表示为
4 用以表示含固定费用的函数 总费用
K j + c j x j ( x j > 0) Cj(xj ) = ( x j = 0) 0
则上述条件可以表示成
r n ∑ aij x j ≤ ∑ b; y + ... + y = 1 m 2 1
3、 两组条件中满足其中的一组 、
若 x1 ≤ 4, 则 x2 ≥ 1
若 x1 > 4, 则 x2 ≤ 3
定义
1 第i组条件不起作用 yi = 0 第i 组 条件 起作 用
0 0 X = 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
用矩阵形式表示为: 用矩阵形式表示为: 解矩阵
一般分配问题 设有n项任务 需有n个人去完成 项任务， 个人去完成， 设有 项任务，需有 个人去完成，每个人只能完成一 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第i人完成 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第 人完成 项任务需要的时间是a 第j 项任务需要的时间是 ij , 问如何分配才能使完成任 务的总时间最少？ 务的总时间最少？ 设
2. 整数规划问题的特征与性质
特征—变 特征 变量整数性要求 来源 问题本身的要求 引入的逻辑变量的需要 性质—可 性质—可行域是离散集合
3. 整数规划的分类
纯整数规划 要求全部决策变量的取值都为整数, 要求全部决策变量的取值都为整数 则称为纯整数规划 (All IP)； ； 混合整数规划 仅要求部分决策变量的取值为整数，则称为混合整数规 仅要求部分决策变量的取值为整数， 划(Mixed IP)； ； 0-1整数规划 整数规划 要求决策变量只能取0或 值 则称为0-1规划 规划(0-1 要求决策变量只能取 或1值，则称为 规划 Programming)。 。
运筹学--第四章 整数规划与分配问题
一、整数线性规划问题的提出
引例：生产组织计划问题与选址问题 例4-1（生产组织计划问题）某工厂在一个计划期 内拟生产甲、乙两种大型设备。除了A、B两种部件 需要外部供应且供应受到严格限制之外，该厂有充 分的能力来加工制造这两种设备所需的其余零件， 并且所需原材料和能源也可满足供应。每种设备所 用部件数量和部件的供应限额以及设备的利润由表 3-1-1给出。问该厂在本计划期内如何安排甲、乙 设备的生产数量，才能获取最大利润？
例4-3某人有一背包可以装10公斤重、0.025m3的物
品。他准备用来装甲、乙两种物品，每件物品的重 量、体积和价值如表4-3-1所示。问两种物品各装 多少件，所装物品的总价值最大？
表4-3-1 物品 甲 乙 重量 （公斤/每件） 1.2 0.8 体积 （m3/每件） 0.002 0.0025 价值 (元/每件) 4 3
应寻找仅检查可行的整数组合的一部分，就能定出 分支定界法可用于解纯整数或混合整数线性规划问
最优的整数解的方法。分支定界解法就是其中之一。
题。
–20世纪60年代初由Land Doig和Dakin等提出，是 解整数线性规划的重要方法之一。
–由于这方法灵活且便于用计算机求解，所以现在
它已是解整数规划的重要方法。
了。 但这常常是不行的，因为化整后不见得是可行解； 或虽是可行解，但不一定是最优解。 因此，对求最优整数解的问题，有必要另行研究。
例4-4 说明整数规划问题的求解不能直接在单纯形
法最优解的基础上四舍五入 求下述整数规划问题的最优解（P105）
max z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 s.t. x1 0.5 x2 4.5 x , x 0, 且均取整数值 1 2
运筹学(第4章 整数规划与分配问题)(1)
运筹学基础及应用 ( Operations Research )
主讲：杨启明
第4章 整数规划与分配问题1Fra bibliotek2 3
整数规划的特点及应用
分配问题与匈牙利法
分枝定界法 割平面法 解0-1规划问题的隐枚举法
4
5
4.1.1 整数规划的模型分类 纯整数规划模型 0-1整数规划模型 混合整数规划模型 4.1.2 实例 投资决策问题 背包问题 4.1.3 解整数线性规划的困难性 4.1.4 逻辑变量在建模中的作用
令
x11 x23 x32 1其余的xij=0
问题： 如何产生并寻找这组位于不同行不同列的零元素？
匈牙利数学家克尼格(Konig)
基础： 两个基本定理 如果从分配问题效率矩阵[aij]的每一行元素中分别 减去(或加上)一个常数ui(被称为该行的位势), 从每一列分 别减去(或加上)一个常数vj(被称为该列的位势), 得到一个 新的效率矩阵[bij], 若其中bij=aij-ui-vj , 则[bij]的最优解等价 于[aij]的最优解 作用：
用图解法求出最优解为： x1＝3/2, x2 = 10/3，且有Z = 29/6
现求整数解(最优解):如用舍 入取整法可得到4个点即(1， 3),(2，3),(1，4),(2，4)。显然， 它们都不可能是整数规划的最优 解。 按整数规划约束条件，其可行 解肯定在线性规划问题的可行域 内且为整数点。故整数规划问题 的可行解集是一个有限集，如右 图所示。其中(2,2),(3,1)点的目 标函数值最大，即为Z=4。
xij 1(i 1,, m) 第i人完成
m
x1j
x2j
xi1 xi2 xij xi m-1 xim
主讲：杨启明
第4章 整数规划与分配问题1Fra bibliotek2 3
整数规划的特点及应用
分配问题与匈牙利法
分枝定界法 割平面法 解0-1规划问题的隐枚举法
4
5
4.1.1 整数规划的模型分类 纯整数规划模型 0-1整数规划模型 混合整数规划模型 4.1.2 实例 投资决策问题 背包问题 4.1.3 解整数线性规划的困难性 4.1.4 逻辑变量在建模中的作用
令
x11 x23 x32 1其余的xij=0
问题： 如何产生并寻找这组位于不同行不同列的零元素？
匈牙利数学家克尼格(Konig)
基础： 两个基本定理 如果从分配问题效率矩阵[aij]的每一行元素中分别 减去(或加上)一个常数ui(被称为该行的位势), 从每一列分 别减去(或加上)一个常数vj(被称为该列的位势), 得到一个 新的效率矩阵[bij], 若其中bij=aij-ui-vj , 则[bij]的最优解等价 于[aij]的最优解 作用：
用图解法求出最优解为： x1＝3/2, x2 = 10/3，且有Z = 29/6
现求整数解(最优解):如用舍 入取整法可得到4个点即(1， 3),(2，3),(1，4),(2，4)。显然， 它们都不可能是整数规划的最优 解。 按整数规划约束条件，其可行 解肯定在线性规划问题的可行域 内且为整数点。故整数规划问题 的可行解集是一个有限集，如右 图所示。其中(2,2),(3,1)点的目 标函数值最大，即为Z=4。
xij 1(i 1,, m) 第i人完成
m
x1j
x2j
xi1 xi2 xij xi m-1 xim
运筹学基础及应用第4章-整数规划与分配问题
整数规划的特点及应用
解：对每个投资项目都有被选择和不被选择两种可能，因此 分别用0和1表示，令xj表示第j个项目的决策选择，记为：
j投 资 1 对 项 目 xj ( j 1,2,..., n) j不 投 资 0 对 项 目
投资问题可以表示为：
max z
c
j 1
n
j
xj
n a j x j B j 1 x2 x1 s .t x 3 x4 1 x5 x6 x7 2 ） x j 0或者1 （j 1, 2, L n
B1 B2 B3 B4 年生产能力
A1
A2 A3 A4 年需求量
2
8 7 4 350
9
3 6 5 400
3
5 1 2 300
4
7 2 5 150
400
600 200 200
工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万或1500万元。 现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年的总费用最少。
0-1型整数线性规划：决策变量只能取值0或1的整数线性 规划。
整数规划的特点及应用
整数规划的典型例子
例4.1 工厂A1和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要 再建一家工厂。相应的建厂方案有A3和A4两个。这种物资的需求地 有B1,B2,B3,B4四个。各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各 需求地的单位物资运费cij，见下表：
例4.3 设整数规划问题如下
max Z x1 x 2 14x1 9 x 2 51 6 x1 3 x 2 1 x , x 0且 为 整 数 1 2
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问 题）。
运筹学基础及应用_(第四章_整数规划与分配问题)
号与7号必须同时开采；
（d） 8
（e）1号、
4号、6号、9号开采时不能超过两个，试表示上
述约束条件。
Next
基础教研室
（a）当x8=1 当x8=0 ∴ x8 x6
x6=1，x6≠0 x6=1，x6=0
（b）当x5 =1 当x5 =0 ∴ x5 + x3 1
x3=0， x3 ≠1 x3=0， x3 =1
基础教研室
【例1】求下述整数规划的最优解
Max z= 3x1 + 2x2 st . 2x1 + 3x2 14 x1 + 0.5x2 4.5 x10，x20，且为整数
基础教研室
x2 x1+0.5x2=4.5
4
(3.25, 2.5) 2 2x1+3x2=14
2
4
6
x1
3x1+2x2=6
二、整数规划的求解方法
1 －选择电网供应 设 y1 0 －不选择电网供应
10 d j x j f (1 y1 ) M j 1 10 0.3d j x j p (1 y2 ) M j 1 y1 y2 1 y1 , y2 0或1
基础教研室
【例3】投资决策问题 某公司准备1000万元资金在10个地点中选择若干个建立 工厂（工厂名称用地点名来命名），有关数据如下：
由于各个工厂之间有配套和协作关系，因此必须满足条件： 1、 建工厂1就必须同时建工厂2； 2、 若建工厂2就不允许建工厂3； 3、 工厂4和工厂5至少建一个； 4、 工厂6，7，8恰好建2个； 5、 工厂8，9，10最多建2个； 6、 建工厂4或者建工厂6，就不能建工厂8，反过来也一样； 7、 条件2，3，5最多满足2个。 问选择哪几个地点建厂最有利？ Next
（d） 8
（e）1号、
4号、6号、9号开采时不能超过两个，试表示上
述约束条件。
Next
基础教研室
（a）当x8=1 当x8=0 ∴ x8 x6
x6=1，x6≠0 x6=1，x6=0
（b）当x5 =1 当x5 =0 ∴ x5 + x3 1
x3=0， x3 ≠1 x3=0， x3 =1
基础教研室
【例1】求下述整数规划的最优解
Max z= 3x1 + 2x2 st . 2x1 + 3x2 14 x1 + 0.5x2 4.5 x10，x20，且为整数
基础教研室
x2 x1+0.5x2=4.5
4
(3.25, 2.5) 2 2x1+3x2=14
2
4
6
x1
3x1+2x2=6
二、整数规划的求解方法
1 －选择电网供应 设 y1 0 －不选择电网供应
10 d j x j f (1 y1 ) M j 1 10 0.3d j x j p (1 y2 ) M j 1 y1 y2 1 y1 , y2 0或1
基础教研室
【例3】投资决策问题 某公司准备1000万元资金在10个地点中选择若干个建立 工厂（工厂名称用地点名来命名），有关数据如下：
由于各个工厂之间有配套和协作关系，因此必须满足条件： 1、 建工厂1就必须同时建工厂2； 2、 若建工厂2就不允许建工厂3； 3、 工厂4和工厂5至少建一个； 4、 工厂6，7，8恰好建2个； 5、 工厂8，9，10最多建2个； 6、 建工厂4或者建工厂6，就不能建工厂8，反过来也一样； 7、 条件2，3，5最多满足2个。 问选择哪几个地点建厂最有利？ Next
运筹学 第4章 整数规划与分配问题
匈牙利法思路：若能在 [Cij] 中找出 n 个位于
不同行不同列的0元素(称为独立0元素)，则
令解矩阵[xij]中对应这n个独立0元素的元素
取值为 1 ，其他元素取值为 0 ，则它对应目
标函数zb=0是最小的。这就是以[Cij]为系数
矩阵分配问题的最优解，也得原问题的最
优解。
定理1 若从分配问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别减去 (或加上)一个常数ui(称为该行的位势)，从每一列分别减去 (或加上)一个常数vj(称为该列的位势)，得到一个新效率矩阵 [bij]，若其中bij=cij-ui-vj，则[bij]的最优解等价于[cij]的最优解
第1步：找出效率矩阵每行的最小元素，并分别从每行
中减去。
第2步：再找出矩阵每列的最小元素，并分别从各列中 减去。
2 10 9 7 2 15 4 14 8 4 13 14 16 11 11 4 15 13 9 4
0 8 7 5 11 0 10 4 0 3 5 0 0 11 9 5
表明m个约束条件中有(m-k)个的右端项为( bi+M )，不起约 束作用，因而，只有k个约束条件起作用。 ② 约束条件的右端项可能是r个值b1 , b2 ,, br 中的某一个 即： 定义：
n
aij x j b1 或b2或或br
j 1
1 假定约束右端项为 bi yi 否则 0
现用下例来说明： max z=40x1+90x2 9x1+7x2≤56 7x1+20x2≤70 x1，x2≥0 x1，x2整数 ① ② ③ ④ ⑤
解：先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划B,①～④(见图5-2)， 得最优解x1=4.81，x2=1.82，z0=356
运筹学第四章--整数规划和分配问题(新)aPPT课件
-
1
整数线性规划的一般形式: n max(或min)z cj xj j 1
n
aij xj ( 或 ）bi (i 1,2,...m)
j 1
xj 0( j 1,2,...n),且部分或全部取整数
例1.求下述整数规划问题的最优解
max z 3x1 2x2
2x1 3x2 14 x1 0.5x2 4.5
先不考虑整数解的限制，用单纯形法求 解其松弛问题，如果求得的解恰好是整数解， 则得整数规划最优解，停止计算。否则，将 松弛问题分解为两个子问题（也称后继问 题），每个子问题都是在原松弛问题的基础 上增加一个变量取整数的约束条件，这样就 缩小了原来的可行域，然后用单纯形法求解， 直至得到最终结果。
-
21
-
23
例.用分枝定界法求下述数整规划问题的最优
maxz 3x1 2x2
2x1 3x2 14 x1 0.5x2 4.5 x1, x2 0,且均取整数值
-
24
-
25
-
26
-
27
-
28
-
29
第四节 割平面法 一、割平面法的基本思想
先不考虑整数条件，用单纯形法求解其 松弛问题，若得整数解，即得整数规划最优 解。否则，增加线性约束条件（称为割平面 方程），将原问题的可行域切割掉一部分， 被切割掉的都是非整数解，再用单纯形法求 解新的线性规划问题，依次进行下去，直到 使问题的最优解恰好在可行域的某个具有整 数坐标的顶点上得到。
0.5 + 0.4 x4 + 0.4 x5≥ 1
-
35
2. 借助单纯形表法
对求解整数规划问题的松弛问题（LP问题）得到
最优单纯形表，设xi=bi 是最优解中取分数值（分数 部分最大）的基变量，则有
运筹学课件--第四章 整数规划
上述分枝过程可用下图表示
LP0:X=(3.57,7.14),Z0=35.7
x1≤3 x1≥4
LP1:X=(3,7.6) Z1=34.8
x2≤6
LP2:X=(4,6.5) Z2=35.5
x2≥7 无可行解 x1≥5 LP5:X=(5,5) Z5=35
OR:SM OR:SM
LP3:X=(4.33,6) Z3=35.33
10
OR:SM OR:SM
第二节 整数规划求解
【例3.5 】用分枝定界法求解例3.1
max Z 4 x 1 3 x 2 1 . 2 x 1 0 . 8 x 2 10 2 x 1 2 . 5 x 2 25 x 1 , x 2 0 , 且均取整数
【解】先求对应的松弛问题（记为LP0）：
7
OR:SM OR:SM
第二节 整数规划求解
一、舍入化整法
为了满足整数解的要求，自然想到“舍入”或“截尾”处理，以得到 与最优解相近的整数解。 这样做除少数情况外，一般不可行，因为化整后的解有可能超出 了可行域，成为非可行解；或者虽是可行解，却不是最优解。
不考虑整数约束则是一个LP问题,称为原整数规划的松弛问题 对于例1的数学模型，不考虑整数约束的最优解：
6
LP1 LP3
LP3:X=(4.33,6),Z3=35.33
C o
14
3
4
10
x1
OR:SM OR:SM
x2 ① ②
10 A
由于 Z 3 Z 1，选择 LP 3 进行分枝，增加约束 x 1 4 及 x 1 5，到线性规划 LP 4 及 LP 5：
max Z 4x1 3x2 LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8 1.2x1 0.8x2 10 2x1 2.5x2 25 LP4 : LP4:X=(4,6),Z4=34 x1 4，x2 6，x1 4 x1 , x2 0 即x1 4, 可行域是一条线段 max Z 4x1 3x2
LP0:X=(3.57,7.14),Z0=35.7
x1≤3 x1≥4
LP1:X=(3,7.6) Z1=34.8
x2≤6
LP2:X=(4,6.5) Z2=35.5
x2≥7 无可行解 x1≥5 LP5:X=(5,5) Z5=35
OR:SM OR:SM
LP3:X=(4.33,6) Z3=35.33
10
OR:SM OR:SM
第二节 整数规划求解
【例3.5 】用分枝定界法求解例3.1
max Z 4 x 1 3 x 2 1 . 2 x 1 0 . 8 x 2 10 2 x 1 2 . 5 x 2 25 x 1 , x 2 0 , 且均取整数
【解】先求对应的松弛问题（记为LP0）：
7
OR:SM OR:SM
第二节 整数规划求解
一、舍入化整法
为了满足整数解的要求，自然想到“舍入”或“截尾”处理，以得到 与最优解相近的整数解。 这样做除少数情况外，一般不可行，因为化整后的解有可能超出 了可行域，成为非可行解；或者虽是可行解，却不是最优解。
不考虑整数约束则是一个LP问题,称为原整数规划的松弛问题 对于例1的数学模型，不考虑整数约束的最优解：
6
LP1 LP3
LP3:X=(4.33,6),Z3=35.33
C o
14
3
4
10
x1
OR:SM OR:SM
x2 ① ②
10 A
由于 Z 3 Z 1，选择 LP 3 进行分枝，增加约束 x 1 4 及 x 1 5，到线性规划 LP 4 及 LP 5：
max Z 4x1 3x2 LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8 1.2x1 0.8x2 10 2x1 2.5x2 25 LP4 : LP4:X=(4,6),Z4=34 x1 4，x2 6，x1 4 x1 , x2 0 即x1 4, 可行域是一条线段 max Z 4x1 3x2
运筹学 第四章 整数规划与分配问题
第四章 整数规划与分配问题
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(4)
沈阳农业大学
第四章 整数规划与分配问题
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第二节 分配问题与匈牙利法
在实际中经常会遇到这样的问题，有n 项不同 的任务，需要n 个人分别完成其中的一项，但由 于任务的性质和各人的专长不同，因此各人去 完成不同的任务的效率（或花费的时间或费用） 也就不同。于是产生了一个问题，应指派哪个 人去完成哪项任务，使完成 n 项任务的总效率 最高（或所需时间最少），这类问题称为指派 问题或分配问题。
种下料方式可以得到各种零件的毛坯数以及每种
零件的需要量，如表所示。问怎样安排下料方式， 使得即满足需要，所用的原材料又最少？
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第四章 整数规划与分配问题
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设：xj 表示用Bj (j=1.2…n) 种方式下料根数模型：
x1 … xn
零件 方 个数 式 零件
A1 b1 Am am1 amn bm
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逻辑变量的应用
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(3)两组条件满足其中一组
若 x1 4，则 x2 1 ；否则（即 x1 4 时） 2 3 x
列的零元素，则只要令这些零元素位置的 xij 1 ，其 n n 余的 xij 0 ，则 z aij xij 就是问题的最优解．
i 1 j 1
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如效率 矩阵为
运筹学 第4章 整数规划
第四章整数规划整数规划（Integer Programming）主要是指整数线性规划。
一个线性规划问题，如果要求部分决策变量为整数，则构成一个整数规划问题，在项目投资、人员分配等方面有着广泛的应用。
整数规划是近二、三十年发展起来的数学规划的一个重要分支，根据整数规划中变量为整数条件的不同，整数规划可以分为三大类：所有变量都要求为整数的称为纯整数规划（Pure Integer Programming）或称全整数规划（All integer Programming）；仅有一部分变量要求为整数的称为混合整数规划（Mixed Integer Programming）；有的变量限制其取值只能为0或1，这类特殊的整数规划称为0－1规划。
本章主要讨论整数规划的分枝定界法、割平面法、0－1规划及指派问题。
第一节整数规划问题及其数学模型一、问题的提出在线性规划模型中，得到的最优解往往是分数或小数，但在有些实际问题中要求有的解必须是整数，如机器设备的台数、人员的数量等，这就在原来线性规划模型的基础上产生了一个新的约束，即要求变量中某些或全部为整数，这样的线性规划称为整数规划（Integer Programming）简称IP，是规划论中的一个分枝。
整数规划是一类特殊的线性规划，为了满足整数解的条件，初看起来，只要对相应线性规划的非整数解四舍五入取整就可以了。
当然在变量取值很大时，用上述方法得到的解与最优解差别不大，当变量取值较小时，得到的解与实际最优解差别较大，当变量较多时，如n＝10个，则整数组合有210＝1024个，而且整数解不一定在这些组合当中。
先来看下面的例子。
例4.1某工厂生产甲、乙两种设备，已知生产这两种设备需要消耗材料A、材料B，有关数据如下，问这两种设备各生产多少使工厂利润最大？表4－112量都要求为整数，建立模型如下：2123max x x z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+为整数21212121,0,5.45.01432x x x x x x x x 要求该模型的解，首先不考虑整数约束条件④，用单纯形法对相应线性规划求解，其最优解为：x 1＝3.25 x 2＝2.5 max z ＝14.75由于x 1＝3.25，x 2＝2.5都不是整数，不符合整数约束条件。
运筹学——.整数规划和分配问题45页PPT
运筹学——.整数规划和分配问题
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无依存的。——伯克
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无依存的。——伯克
谢谢你的阅读
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
第04章 整数规划与分配问题-运筹学(1)
2020/7/30
运筹学 第 12页
第4章 整数规划与分配问题
用图解法求出最优解 x1＝3/2, x2 = 10/3且有Z = 29/6 现求整数解（最优解）：如用“舍 入取整法”可得到4个点即(1，3) (2，3)(1，4)(2，4)。显然，它们都 不可能是整数规划的最优解。
x2
⑴
3
⑵ (3/2,10/3)
根据变量取整数的情况,将整数规划分为： （1）纯整数规划，所有变量都取整数. （2）混合整数规划，一部分变量取整数,一部分变量取实数 （3）0-1整数规划 ,所有变量均取0或1
2020/7考虑纯整数问题： 整数问题的松弛问题：
n
max Z c j x j j 1
此类问题数学模型的一般形式为：求一组变量X1,X2,…,Xn，使
n
MaxZ C jX j
j1
s.t
n
a ij X ij bi
(i 1,2,, m)
j1 Xj
0,
且皆为整数或部分为整
数
运筹学
2020/7/30
第 5页
第4章 整数规划与分配问题
运筹学
例4.2 某单位有5个拟选择的投资项目，其所需投资额与期望收益如下表。由于各项目之 间有一定联系，A、C、E之间必须选择一项且仅需选择一项；B和D之间需选择也仅需选 择一项；又由于C和D两项目密切相关，C的实施必须以D的实施为前提条件，该单位共 筹集资金15万元，问应该选择哪些项目投资，使期望收益最大？
n
max Z C j X j j 1
n
a X ij j j 1
bi
X j 0或1
(i 1,2,, m) ( j 1,2,, n)
2020/7/30
整数规划与分配问题
整数规划与分配问题第四章整数规划与分配问题§4.1整数规划的特点及作⽤⽤单纯形法求解线性规划的结果往往得到分数或⼩数解。
但在很多实际问题中，全部或部分变量的取值必须是整数，如⼈或者机器设备不可分割。
此外还有⼀些问题，如要不要在某地建设⼯⼚，可选⽤⼀个逻辑变量x ，令1x =表⽰在该地建⼚，0x =表⽰不在该地建⼚，逻辑变量也只允许取整数值的⼀类变量。
在⼀个整数规划中要求全部变量取整数值的，称纯整数线性规划或纯整数规划；只要求⼀部分变量取整数值的，称为混合整数（线性）规划；在纯整数规划问题中，若所有变量只允许取0，1两个值，则称其为0-1规划。
有⼈认为，对整数规划问题的求解可以先不考虑对变量的整数约束，作为⼀般线性规划问题来求解，当解为⾮整数时可⽤四舍五⼊或凑整数寻找最优解，其实这种⽅法是不可⾏的，原因有以下两点：⼀、⽤凑整的⽅法计算量很⼤，⽽况还不⼀定能找到最优解。
如某线性规划问题的最优解为()()12 4.6 5.5x x =，⽤凑整数的⽅法时需⽐较与12,x x 的上述数值最接近的四种组合：(4,5),(5,5),(4,6),(5,6)如果问题中有10个变量，就要⽐较1021024=个整数解组合，⽽且最优解还不⼀定在这些组合中。
⼆、放松约束也⽆法求出其最优解例12121212max 322314.0.5 4.5,0,z x x x x s t x x x x =++≤??+≤??≥?整数如果不考虑整数约束，称为上述线性规划问题的松弛问题，松弛问题的最优解为：123.25, 2.5x x ==取整以后123,2x x ==是可⾏解，但1212123,3;4,2;4,3x x x x x x ======都不是可⾏解，⽽123,2x x ==对应的⽬标函数值123213z x x =+=却不是最优解，然⽽最优解是12124,1,max 3214x x z x x ===+=。
直接对松弛问题进⾏求解都⽆法求得整数规划问题的最优解，这就需要对整数线性规划问题有特殊的求解⽅法。
运筹学：第4章 整数规划与分配问题
2021/4/18
17
资源 金属板（吨） 劳动力（人月） 机器设备（台月）
小号容器 2 2 1
中号容器 4 3 2
大号容器 8 4 3
解：设 x1, x2, x3 分别为小号容器、中号容器和大号容 器的生产数量。
0， 不生产j型号容器 y j 1， 生产j型号容器
建立如下的数学模型：
2021/4/18
为：
C
j
(x
j
)
K 0,
j
c
j
x
j
,
xj 0 xj 0
其中 K j 是与产量无关 的生产准备费用
n
目标函数： min z C j (x j )
j 1
定义
0 y j 1
则原问题可表示为
xj 0
xj 0
n
min z (c j x j K j y j ) j 1
s.t
0 x j Myj
y
j
0或1
2021/4/18
10
§2.2 应用举例
例1 东方大学计算机实验室聘用4名大学生（代号
1,2,3,4）和2名研究生（代号5,6）值班。已知各学生从 周一至周五每天可安排的值班时间及每人每小时报酬见下 表所示。
学生 代号
1 2 3 4 5 6
酬金 (元/h) 10.0 10.0
9.9 9.8 10.8 11.3
2021/4/18
29
（0） 8
2
5
11 （0） 5
4
2
3 （0） 0
0
11
4
5
根据上图，k=2，
周一 6 0 4 5 3 0
每天可安排的值班时间(h) 周二 周三 周四
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基础教研室
第四章 整数规划(Integer Programming) 与分配问题
§1 整数规划的特点及其作用
• 特点 • 求解方法 • 建模 利用0-1变量建立整数规划数学模型
基础教研室
一、特点
• 变量要求取整数
纯整数规划：全部变量要求取整数
混合整数规划：某一部分变量要求取整数
整数规划目前还仅限于整数线性规划
1 －选择自备柴油机发电 设 y 2 0 －不选择自备柴油机发电
采用电网供电 采用自备柴油机发电
M-----非常大的正数
基础教研室
ห้องสมุดไป่ตู้
3. 表示条件性约束
【例4】：若在开采时还需满足下述条件：（a） 若开采8号，则必须同时开采6号； 若开采5号，则不许开采3号； （b） （c） 2
号和4号至少开采一个；
min f ( x j ) k j y j c j x j x j y j M st. x j 0, y j 0或1
M—非常大的正常数
f (x j ) k j y j c j x j x j y j M y j xjM x 0, y 0或1 j j
1 －－选择开采第j个构造 设 xj 0 －－不选择开采第j个构造
max Z c j x j
10
10
－－年总收益
－－-投资额限制 a j x j b j 1 x 0或1( j 1,2, 10) j
j 1
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2. 表示选择性约束
【 例3】：上述例题中，如果在开采中需用电力，解决的方 案或由电网供电或由自备的柴油机发电。已知第j个构造开 采时每天耗电量为 dj 度，电网每天供电量限制为f 度。当使 用自备柴油机发电时，每度电平均耗油0.3公斤，而柴油供 应量限额为每天 p 公斤。试在模型中表示出该限制条件。
基础教研室
【例1】求下述整数规划的最优解
Max z= 3x1 + 2x2 st . 2x1 + 3x2 14 x1 + 0.5x2 4.5 x10，x20，且为整数
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x2 x1+0.5x2=4.5
4
(3.25, 2.5) 2 2x1+3x2=14
2
4
6
x1
3x1+2x2=6
二、整数规划的求解方法
基础教研室
【例3】投资决策问题 某公司准备1000万元资金在10个地点中选择若干个建立 工厂（工厂名称用地点名来命名），有关数据如下：
由于各个工厂之间有配套和协作关系，因此必须满足条件： 1、 建工厂1就必须同时建工厂2； 2、 若建工厂2就不允许建工厂3； 3、 工厂4和工厂5至少建一个； 4、 工厂6，7，8恰好建2个； 5、 工厂8，9，10最多建2个； 6、 建工厂4或者建工厂6，就不能建工厂8，反过来也一样； 7、 条件2，3，5最多满足2个。 问选择哪几个地点建厂最有利？ Next
（c） x2 + x4 1
（d） x8 = x7 （e） x1 + x4 + x6 + x9 2
Back
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4. 两组条件满足其中一组
若x1 4，则x21；否则x14，则x2 3。 设 yi=
1 第 i 组条件起作用
0
第 i 组条件不起作用
i=1,2
则
x1 4 (1 y1 ) M x2 1 (1 y1 ) M x1 4 (1 y2 )M x2 3 (1 y2 )M y1 y2 1 y1 , y2 0或1
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• 凑整法的局限性： 1 变量取值小时，误差大 2 变量数量大时，计算工作量大 3 有时不一定能得到整数规划问题的最优解 • 整数规划的求解方法 1 图解法 2 分枝定（限）界法 3 割平面法 4 匈牙利法 5 隐枚举法
基础教研室
三、 建模---- 利用0-1变量 建立整数规划数学模型
• 0-1规划问题的概念
• 在整数规划问题中，若变量取值为0或者1， 则为0-1规划问题。 • 0-1变量通常用来表示逻辑性选择的决策。
基础教研室
0-1变量的应用 1、表示选择性决策
【例2】：某油田在10个有油气构造处要选择若干个钻探 采油，设第j个构造开采时需投资aj元，投产后预计年收 益为cj元，若该油田投资的总限额为b元，问：应选择哪 几个构造开采最为有利？
解: 设 xj=
10
0 在第j个地点不投资建厂
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1 在第j个地点投资建厂
j 1
j=1,2,3, …, 10
x1 0 1 0 1 x2 0 0 1 1
Maxz c j x j
a1x1+ a2x2+…+ a10x10 ≤1000 x1 ≤ x2 x2 + x3 ≤1 +y1M M是任意大的正数 x4 + x5 ≥1 - y2M
M-----非常大的正数
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5. 分段函数线性表示
K j c j x j，x j 0时 将 min f ( x j )表示成 设有 f ( x j ) x j 0时 0 线性函数。 当x j 0 1 令y j 当x j 0 0 则 或为：
号与7号必须同时开采；
（d） 8
（e）1号、
4号、6号、9号开采时不能超过两个，试表示上
述约束条件。
Next
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（a）当x8=1 当x8=0 ∴ x8 x6
x6=1，x6≠0 x6=1，x6=0
（b）当x5 =1 当x5 =0 ∴ x5 + x3 1
x3=0， x3 ≠1 x3=0， x3 =1
x6 + x7 + x8=2 x8 + x9 + x10 ≤ 2 +y3M
x2
0 1 0
x3
0 0 1
x4 + x8 ≤ 1
x6 + x8 ≤ 1 y1+y2 +y3 ≥3-2
1
1
xj取0或1, yi取0或1,
j=1,2,3, …, 10, i=1,2,3
1 －选择电网供应 设 y1 0 －不选择电网供应
10 d j x j f (1 y1 ) M j 1 10 0.3d j x j p (1 y2 ) M j 1 y1 y2 1 y1 , y2 0或1
第四章 整数规划(Integer Programming) 与分配问题
§1 整数规划的特点及其作用
• 特点 • 求解方法 • 建模 利用0-1变量建立整数规划数学模型
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一、特点
• 变量要求取整数
纯整数规划：全部变量要求取整数
混合整数规划：某一部分变量要求取整数
整数规划目前还仅限于整数线性规划
1 －选择自备柴油机发电 设 y 2 0 －不选择自备柴油机发电
采用电网供电 采用自备柴油机发电
M-----非常大的正数
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3. 表示条件性约束
【例4】：若在开采时还需满足下述条件：（a） 若开采8号，则必须同时开采6号； 若开采5号，则不许开采3号； （b） （c） 2
号和4号至少开采一个；
min f ( x j ) k j y j c j x j x j y j M st. x j 0, y j 0或1
M—非常大的正常数
f (x j ) k j y j c j x j x j y j M y j xjM x 0, y 0或1 j j
1 －－选择开采第j个构造 设 xj 0 －－不选择开采第j个构造
max Z c j x j
10
10
－－年总收益
－－-投资额限制 a j x j b j 1 x 0或1( j 1,2, 10) j
j 1
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2. 表示选择性约束
【 例3】：上述例题中，如果在开采中需用电力，解决的方 案或由电网供电或由自备的柴油机发电。已知第j个构造开 采时每天耗电量为 dj 度，电网每天供电量限制为f 度。当使 用自备柴油机发电时，每度电平均耗油0.3公斤，而柴油供 应量限额为每天 p 公斤。试在模型中表示出该限制条件。
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【例1】求下述整数规划的最优解
Max z= 3x1 + 2x2 st . 2x1 + 3x2 14 x1 + 0.5x2 4.5 x10，x20，且为整数
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x2 x1+0.5x2=4.5
4
(3.25, 2.5) 2 2x1+3x2=14
2
4
6
x1
3x1+2x2=6
二、整数规划的求解方法
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【例3】投资决策问题 某公司准备1000万元资金在10个地点中选择若干个建立 工厂（工厂名称用地点名来命名），有关数据如下：
由于各个工厂之间有配套和协作关系，因此必须满足条件： 1、 建工厂1就必须同时建工厂2； 2、 若建工厂2就不允许建工厂3； 3、 工厂4和工厂5至少建一个； 4、 工厂6，7，8恰好建2个； 5、 工厂8，9，10最多建2个； 6、 建工厂4或者建工厂6，就不能建工厂8，反过来也一样； 7、 条件2，3，5最多满足2个。 问选择哪几个地点建厂最有利？ Next
（c） x2 + x4 1
（d） x8 = x7 （e） x1 + x4 + x6 + x9 2
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4. 两组条件满足其中一组
若x1 4，则x21；否则x14，则x2 3。 设 yi=
1 第 i 组条件起作用
0
第 i 组条件不起作用
i=1,2
则
x1 4 (1 y1 ) M x2 1 (1 y1 ) M x1 4 (1 y2 )M x2 3 (1 y2 )M y1 y2 1 y1 , y2 0或1
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• 凑整法的局限性： 1 变量取值小时，误差大 2 变量数量大时，计算工作量大 3 有时不一定能得到整数规划问题的最优解 • 整数规划的求解方法 1 图解法 2 分枝定（限）界法 3 割平面法 4 匈牙利法 5 隐枚举法
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三、 建模---- 利用0-1变量 建立整数规划数学模型
• 0-1规划问题的概念
• 在整数规划问题中，若变量取值为0或者1， 则为0-1规划问题。 • 0-1变量通常用来表示逻辑性选择的决策。
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0-1变量的应用 1、表示选择性决策
【例2】：某油田在10个有油气构造处要选择若干个钻探 采油，设第j个构造开采时需投资aj元，投产后预计年收 益为cj元，若该油田投资的总限额为b元，问：应选择哪 几个构造开采最为有利？
解: 设 xj=
10
0 在第j个地点不投资建厂
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1 在第j个地点投资建厂
j 1
j=1,2,3, …, 10
x1 0 1 0 1 x2 0 0 1 1
Maxz c j x j
a1x1+ a2x2+…+ a10x10 ≤1000 x1 ≤ x2 x2 + x3 ≤1 +y1M M是任意大的正数 x4 + x5 ≥1 - y2M
M-----非常大的正数
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5. 分段函数线性表示
K j c j x j，x j 0时 将 min f ( x j )表示成 设有 f ( x j ) x j 0时 0 线性函数。 当x j 0 1 令y j 当x j 0 0 则 或为：
号与7号必须同时开采；
（d） 8
（e）1号、
4号、6号、9号开采时不能超过两个，试表示上
述约束条件。
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（a）当x8=1 当x8=0 ∴ x8 x6
x6=1，x6≠0 x6=1，x6=0
（b）当x5 =1 当x5 =0 ∴ x5 + x3 1
x3=0， x3 ≠1 x3=0， x3 =1
x6 + x7 + x8=2 x8 + x9 + x10 ≤ 2 +y3M
x2
0 1 0
x3
0 0 1
x4 + x8 ≤ 1
x6 + x8 ≤ 1 y1+y2 +y3 ≥3-2
1
1
xj取0或1, yi取0或1,
j=1,2,3, …, 10, i=1,2,3
1 －选择电网供应 设 y1 0 －不选择电网供应
10 d j x j f (1 y1 ) M j 1 10 0.3d j x j p (1 y2 ) M j 1 y1 y2 1 y1 , y2 0或1