伪随机序列

其中ai+p=ai(以 p 为周期)，以上两序列的对应项相乘然后相加， 利用所得的总和
a1 a j 1 a2 a j 2 a3 a j 3 a p a j p ai a j i
i 1
p
来衡量一个 m 序列与它的 j 次移位序列之间的相关程度，并把 它叫做m序列(a1,a2,a3,…,ap)的自相关函数。记作
1. 递推关系式又称为反馈逻辑函数或递推方程。设图10-1 所 示的线性反馈移位寄存器的初始状态为(a0 a1 …an-2 an-1)， 经一 次移位线性反馈，移位寄存器左端第一级的输入为
an c1an 1 c2an 2 cn 1a1 cn a0 ci an i
10.2.2 游程特性(游程分布的随机性)
我们把一个序列中取值(1 或 0)相同连在一起的元素合称 为一个游程。在一个游程中元素的个数称为游程长度。例如 图 10-2 中给出的m
{ak}= 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 …
在其一个周期的 15 个元素中，共有 8 个游程， 其中长
10.2.3 移位相加特性(线性叠加性)
m序列和它的位移序列模二相加后所得序列仍是该 m序列 的某个位移序列。 设mr是周期为p的m序列mp, r次延迟移位后 的序列， 那么
mp mr ms
其中ms为mp某次延迟移位后的序列。 例如， mp=0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1, … mp延迟两位后得mr, 再模二相加 mr=0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0, … ms=mp +mr=0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 , … 可见，ms=mp+mr为mp延迟 8 位后的序列。
a3
1
a2
2
a1
3
a0
4
ak
1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1
0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0
0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0
0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0
…
…
…
图 10-2 m序列产生器
(1) f(x)为既约多项式(即不能分解因式的多项式) (2) f(x)可整除(xp+1), p=2n-1; (3) f(x)除不尽(xq+1), q<p。 则称f(x)为本原多项式。
10.1.2 m序列产生器
现以n=4为例来说明m序列产生器的构成。用 4 级线性反 馈移位寄存器产生的 m序列，其周期为 p=24-1=15 ，其特征多
R( j ) ai a j i
i 1
p
当采用二进制数字 0 和 1 代表码元的可能取值时
A D A D R( j ) A D p
i 1
n
若经k次移位，则第一级的输入为
al ci al i
i 1
n
其中，l=n+k-1≥n, k=1,2,3,…
2. 用多项式f(x)来描述线性反馈移位寄存器的反馈连接状态：
f ( x ) c0 c1 x cn x ci x
n i 0
n
i
若一个n次多项式f(x)
10.2.4 自相关特性
m序列具有非常重要的自相关特性。在m序列中，常常用
+1代表 0，用-1代表 1。 此时定义：设长为 p的m序列， 记作
a1, a2 , a3 ,, a p ( p 2n 1)
经过j次移位后，m序列为
a j 1, a j 2 , a j 3 ,, a j p
输出序列为
{ak } a0a1 an1
输出序列是一个周期序列。其特性由移位寄存器的级数、
初始状态、反馈逻辑以及时钟速率(决定着输出码元的宽度)所 决定。当移位寄存器的级数及时钟一定时，输出序列就由移 位寄存器的初始状态及反馈逻辑完全确定。当初始状态为全 零状态时，移位寄存器输出全 0 序列。为了避免这种情况， 需设置全 0 排除电路。
项式f(x)是 4 次本原多项式，能整除(x15+1)。先将(x15+1)分解
因式，使各因式为既约多项式，再寻找f(x)。
x 15 1 ( x 1)(x 2 x 1)(x 4 x 1) ( x x 1)(x x x x 1)
4 3 4 3 2
＋
第10章 伪随机序列
10.1 m序列的产生 10.2 m序列的性质 10.3 m序列的应用
10.1 m序列的产生
10.1.1 线性反馈移位寄存器
＋ ＋ ＋
c0 ＝1 1 a n －1
c1 2 a n －2
c2 n －1 a1
cn －1 n
cn ＝1
a0
输出 a k
图 10-1 线性反馈移位寄存器
由于带有反馈，因此在移位脉冲作用下，移位寄存器各 级的状态将不断变化，通常移位寄存器的最后一级做输出，
度为 4 的游程一个， 即 1 1 1 1; 长度为 3 的游程 1 个， 即 0
0 0； 长度为 2 的游程2个， 即1 1 与 0 0； 长度为 1 的游程 4 个， 即 2 个 1 与 2 个 0。
m 序列的一个周期 (p=2n-1)中，游程总数为 2n-1 。其中长 度为 1 的游程个数占游程总数的 1/2；长度为 2 的游程个数 占游程总数的1/22=1/4；长度为 3 的游程个数占游程总数的 1/8……一般地，长度为k的游程个数占游程总数的 1/2k=2-k， 其中 1≤k≤(n-2)。而且，在长度为k 游程中，连 1游程与连 0 游程各占一半，长为(n-1)的游程是连 0 游程， 长为 n 的游 程是连 1 游程。
…
10.2 m 序列的性质
10.2.1 均衡特Байду номын сангаас(平衡性)
m序列每一周期中 1 的个数比 0 的个数多 1 个。 由于 p=2n-1 为奇数，因而在每一周期中 1 的个数为(p+1)/2=2n-1为 偶数，而0 的个数为(p-1)/2=2n-1-1 为奇数。上例中p=15, 1 的 个数为 8，0 的个数为 7。当p足够大时，在一个周期中 1 与 0 出现的次数基本相等。