第二章-基本定理---第三讲-奇解包络

第三讲 奇解与包络（4课时）

目的要求：了解包络和奇解的定义，掌握包络和奇解的之间的关系，掌握奇解的求法。 重点：包络和奇解的求法。

难点：奇解及其求法。

教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法。

教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。

教学过程：

本节讨论常微分方程的奇解以及奇解的求法。

2.4.1奇解

在本章2.2节的例2中，我们已经看到方程233dy y dx

=的通解是3()y x C +，还有一解0y =，除解0y =外，其余解都满足唯一性，只有解0y =所对应的积分曲线上的点的唯一性都被破坏. 这样的解在许多方程中存在.

例1 求方程

21dy y dx

=- 的所有解.

解 该方程的通解是

sin()y x C =+

此外还有两个特解1y =和1y =-。由于该方程右端函数的根号前只取+号，故积分曲线如图2-13所示，

图 2-13

显然解1y =和1y =-所对应的积分曲线上每一点，解的唯一性均被破坏。 本节主要讨论一阶隐式方程

(,,)0F x y y '= (1.8)

和一阶显式方程 (,)dy f x y dx

= (1.9) 的解唯一性受到破坏的情形，显然这样的解只能存在于方程不满足解的存在唯一性定理条件的区域内。

对于方程(1.9)，由定理2.2，这样的区域可用

f y

∂∂无界去检验，而对于隐式方程(1.8)，一般来说，若能解出几个显式方程 (,),1,2,,i dy f x y i k dx

==

那么对每一个方程，应用定理2.2即可。 其次对于方程(1.8)，如果函数(,,)F x y y '对所有变量连续且有连续偏导数，并且在

000

(,,)x y y '的邻域内有 000000

(,,)0(,,)0y F x y y F x y y ''=⎧⎨''≠⎩ 成立，那么应用数学分析中的隐函数定理，可解得

(,)y f x y '=

其中函数(,)f x y 是连续的且有连续偏导数，特别有

y y F f y F '

'∂=-'∂ 这样一来，对方程(1.8)初值解的存在唯一性定理的条件也就清楚了。 因此，我们可以就方程(1.8)或(1.9)给出奇解的定义。

定义 2.3 如果方程存在某一解，在它所对应的积分曲线上每点处，解的唯一性都被破坏，则称此解为微分方程的奇解。奇解对应的积分曲线称为奇积分曲线。

由上述定义，可见2.2节例2中的解0y =是方程233dy y dx

=的奇解，而例1中的解1y =和1y =-

是方程dy dx

=的奇解。 2.4.2 不存在奇解的判别法 假设方程(1.9)的右端函数(,)f x y 在区域2D R ⊆上有定义，如果(,)f x y 在D 上连

续且(,)y f x y '在D 上有界(或连续)，那么由本章定理2.2，方程的任一解是唯一的，从而在D 内一定不存在奇解。

如果存在唯一性定理条件不是在整个(,)f x y 有定义的区域D 内成立，那么奇解只

能存在于不满足解的存在唯一性定理条件的区域上.进一步如果再能表明在这样的区域上不存在方程的解，那么我们也可以断定该方程无奇解。

例2 判断下列方程 (1)22dy x y dx =+ (2)2dy y x dx =-+ 是否存在奇解。

解 (1)方程右端函数22(,),2y f x y x y f y '=+=，均在全平面上连续，故方程(1)在全平面上无奇解。

(2) 方程右端函数(,)2f x y y x =-+在区域y x ≥上有定义且连续，1

12y f y x

'=-在y x >上有定义且连续，故不满足解的存在唯一性定理条件的点集只有y = x ，即若方程(2)有奇解必定是y = x ，然而y = x 不是方程的解，从而方程(2)无奇解。

2.4.3 包络线及奇解的求法

下面，我们从几何的角度给出一个由一阶方程(1.9)或(1.8)的通积分(,,)0x y C Φ=求它奇解的方法。

当任意常数C 变化时，通积分(,,)0x y C Φ=给出了一个单参数曲线族(C )，其中C 为参数，我们来定义(C )的包络线。

定义2.4 设给定单参数曲线族

():(,,)0C x y C Φ= (2.10)

其中C 为参数，对所有变量连续可微.如果存在连续可微曲线L ，其上任一点均有(C )中某一曲线与L 相切，且在L 上不同点，L 与(C )中不同曲线相切，那么称此曲线L 为曲线族(C )的包络线或简称包络。见图2-14

图 2-14

定理2.6 方程(1.9)的积分曲线族(C )的包络线L 是(1.9)的奇积分曲线。 证明 只须证明(C )的包络线L 是方程(1.9)的积分曲线即可。

设p (x ,y )为L 上任一点，由包络线定义，必有(C )中一曲线l 过p 点，且与L 相切，即l 与L 在p 点有公共切线。由于l 是积分曲线，它在p 点的切线应与方程(1.9)所定义的线素场在该点的方向一致，所以L 在p 点的切线也就与方程(1.9)在该点的方向一致了。这就表明L 在其上任一点的切线与方程(1.9)的线素场的方向一致，从而L 是(1.9)

的积分曲线。证毕。

有了这个定理之后，求方程(1.9)的奇解问题就化为求(1.9)的积分曲线族的包络线的问题了.下面我们给出曲线族包络线的求法。

定理2.7 若L 是曲线族(2.10)的包络线，则它满足如下的C -判别式

(,,)0(,,)0

C x y C x y C Φ=⎧⎨

'Φ=⎩ (2.11) 反之，若从(2.11)解得连续可微曲线 :(),()x C y C ϕψΓ==

且满足：22()()0C C ϕψ''+≠和22((),(),)((),(),)0x y C C C C C C ϕψϕψ''Φ+Φ≠,（称

为非退化条件），则Γ是曲线族的包络线.

证明 对L 上任取一点p (x ,y )，由包络线定义，有(C )中一条曲线l 在p 点与L 相切，设l 所对应的参数为C ，故L 上的点坐标x 和y 均是C 的连续可微函数，设为

(),()x x C y y C ==

又因为p (x ,y )在l 上，故有恒等式

((),(),)0x C y C C Φ= (2.12) L 在p 点的切线斜率为

()()

L y C k x C '=

' l 在p 点的切线斜率为 ((),(),)((),(),)

x l y x C y C C k x C y C C 'Φ=-'Φ 因为l 与L 在p 点相切，故有l L k k =，即有关系式

((),(),)()((),(),)()0x y x C y C C x C x C y C C y C ''''Φ+Φ= (2.13)

另一方面，在(2.12)式两端对C 求导得

((),(),)()((),(),)()((),(),)0x y C x C y C C x C x C y C C y C x C y C C '''''Φ+Φ+Φ= 此式与(2.13)比较，无论是在(),()x C y C ''和,x y ''ΦΦ同时为零，或不同时为零的情况下均有下式

((),(),)0C x C y C C 'Φ= (2.14) 成立。即包络线满足C -判别式(2.11).

反之，在Γ上任取一点q (C )=(Φ(C ),ψ(C )),则有