第二章-基本定理---第三讲-奇解包络
包络和奇解
0
x
-
的包络.
c)3 = 0,
则
ïì( y í
-
c)2
-
2 3
(x
-
c)3
=
0
(3.30)
ïî ( y - c) - (x - c)2 = 0 (3.31)
为了消去c, 把(3.31)代入(3.30)得
(x
-
c)4
-
2 3
(x
-
c)3
=
0
即
(x
-
c)3[( x
-
c)
-
2 3
]
=
0
从x - c = 0得
如果令 F(x, y, c) º xc + f (c) - y = 0,
则
F
' c
(
x,
y, c)
º
x+
f
' (c)
=
0,
因此, 求得此解的过程正好与从通解中求包络的手续一样.
易验证, 此参数曲线恰为通解的包络
结果:
Clairaut方程
y
=
x
dy dx
+
f
çæ è
dy dx
÷ö ø
的通解 y = cx + f (c) 是一直线族, 此直线族的包络
y=x
(x
-
c)3[( x
-
c)
-
2 3
]
=
0
(3.32)
从x
-
c
-
2 3
=
0得 y=x
-
2 9
(3.33)
因此c-判别曲线包括两条曲线(3.32)和(3.33),
常微分方程的奇解的求法
2011届本科毕业论文常微分方程的奇解的求法学院：数学科学学院专业班级：数学07-4（实验）班学生姓名：哈丽古丽.穆塔力菩指导教师：伊里夏提答辩日期：2011年5月10日新疆师范大学教务目录1 引言 (1)2 奇解的定义 (1)3 不存在奇解的判别法 (1)4 自然法 (2)5 拾遗法 (2)6 包络线及奇解的求法 (2)6.2 C-判别曲线 (3)6.3 P-判别曲线 (5)6.4 C-P判别法 (7)总结 (8)参考文献 (1)致谢 (2)常微分方程的奇解的求法摘要：该文章我们主要讨论的是常微分方程奇解的求法。
一个常微分方程有没有它的奇解，有了奇解怎么求是该文章的主要目的。
在这里我们讨论不存在奇解的判别法。
如果方程有了它的奇解，一般有五种方法可以求它的奇解，即自然法，拾遗法，C -判别曲线(C-消去法)，P-判别曲线（P-消去法），C-P判别法。
我们最常用的，方便的方法是后面的三个，在这里对这三个方法进行详细的讨论。
关键词：奇解，判别式，包络线。
1 引言我们看到对某些微分方程，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这方程的积分曲线族。
但是，在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和它在此点相切。
在几何学上，这条特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络。
在微分方程里，这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。
若一个微分方程它有奇解，那我们怎么求它的奇解是该文章主要讨论的问题。
2 奇解的定义定义 如果方程存在某一节，在它所对应的积分曲线上每一点处，解的唯一性都被破坏，则称此解为微分方程的奇解。
奇解对应的积分曲线称为奇积分曲线。
3 不存在奇解的判别法每一个微分方程都有它的奇解吗？答案是：不一定。
那我们怎么知道，微分方程有没有它的奇解呢？下面我们介绍不存在奇解的两种判别法。
方法1 假设方程(,)dyf x y dx= （1） 的右端函数2),(R D y x f ⊆在区域上有定义，如果),(y x f 在D 上连续且),(y x f y '在D 上有界（或连续），那么由解的存在唯一性定理，方程的任一解是唯一的，从而在D 内一定不存在奇解。
包络定理总结
讲义3-数学工具David Autor14.03 2004 秋季日程●最大化问题–单变量–多变量●隐函数和比较静态●包络定理限制和非限制●限制条件下最大化问题拉格朗日方法●对偶问题1 单变量最大化问题假定是某个利润函数我们选择最佳的使最大化一阶条件FOC问是最大化的必要条件吗 答是的一阶条件是必要的但不是利润最大化的充分条件。
因为这个满足一阶条件的点可能是一个最小值。
但是是利润最小点。
我们还必须考虑它的二阶条件这就可以保证是一个局部最大值。
当方程很不规则时这个方法就不是很适用。
例如我们通常遇到的比较规则的方程是连续的可导的和凹的。
因此我们就没必要太关注二阶导数。
2 多变量最大化问题给定一个函数同时给定所有的偏导最大化的一阶条件为例如两个变量的函数的最大化问题。
任何凹函数的最大值都在那个“水平点”。
定义1所有点都位于任何一个切面以下的函数就是凹函数。
例如一个单变量的函数总位于它的切线下面那么它就是凹的。
两个变量的函数取最大值的二阶条件如下3 凹函数这组函数满足凹函数的条件而下面这组函数就不满足凹函数的条件。
4 隐函数函数既可以写成隐函数形式也可以写成显函数形式。
例如1. ymxb 显式2. y-mx-b0 隐式3. fyxmb0 隐式函数2和3是隐性的因为变量之间的关系是隐含的而不是像函数Yfx有这样显明的形式。
在经济学中我们常常用隐函数外生变量和内生变量都是混合在一起。
我们可能没有这样的表现形式但是导数可能仍然存在而且这常常就是我们所需要的。
处理隐函数是很简单的。
注意可能不存在。
4.1 例子我们能够把函数写成方程形式如下我们能够对它进行微分并求出导数这个导数当y0时没有意义。
问在点处导数不存在意味着什么 答这时既可以是正的也可以是负的。
不确定。
我们能够看到这种情况是怎样出现的。
假定有一个方程有一个连续的解。
我们想要知道某个点的。
运用链式求导法。
导数存在的必要条件是隐函数定理这也说明这个条件是充分的。
试论常微分方程的奇解
试论常微分方程的奇解摘要: 一阶微分方程拥有含有一个任意常数的通解,另外可能还有个别不含于通解的特解,即奇解,利用P-判别法和C-判别法可以求出奇解,而这两种判别法是否适用于求每一个一阶微分方程的奇解?此文中举了几个例子来说明这个问题.并给出另外三种求奇解的方法.关键词: 一阶微分方程,奇解,P-判别式,C-判别式,C-P消去法,拾遗法,自然法.Discussing Singular Solution about First OrderDifferential EquationZHU Yong-wang(Class 1, Grade 2006, College of Mathematics and Information Science) Advisor: Professor LI Jian-minAbstract: First order differential equation has a general solution which contains an arbitrary constant, but sometimes it has specialsolution that is singular solution, which can be solved by the P-judgment method and C-judgment method(Whilewhether the two judgments can be applied to get every singularsolution to the first order differential equation? This paper intends to illustrate this problem with several examples(Key words: Singular solution, P-judgment, C-judgment, C-Pelimination method, The supplement method, Natural method.1(引言一般来说一阶常微分方程拥有任意常数的通解,另外还有个别不含于通解的特解.这种特解可以理解为通解的一种蜕化现象.它在几何上往往表现为解的唯一性遭到破坏.早在1649年莱布尼兹就已经观察到解族的包络也是一个解.克莱络和欧拉对奇解作了某些讨论,得出了P,判别式求奇解的方法.拉格朗日对奇解和通解的联系作了系统的研究,给出C,判别式求奇解的方法和奇解的积分曲线族的包络这一几何解释.2(奇解、包络、C-判别式、P-判别式的定义及问题出近几年许多学者对常微分方程这方面特别关注,在一阶常微分方程有奇解的条件、常微分方程奇解的求法、摆线的构成和奇解的联系、Cornwall不等式的应用及微分方程的奇解等方面有大量的文章发表,由此可见,人们对微分方程的奇解有了很深的认识.微分方程的奇解在常微分方程的解中具有特殊的地位.奇解的定义:微分方程的某一个解称为奇解,如果在这个解的每一个点上至少还有方程的另外一个解存在,也就是说奇解是这样的一个解,在它上面的每一个点唯一性都不成立,或者说奇解对应的曲线上每一个点至少有方程的两条积分曲线通过.,包络的定义:设在平面上有一条连续可微的曲线,.在曲线族q,,**,KCKCq中都有一条曲线通过点并在该点与相切,而且在VxyC,,0,，，，，，，,,q点的某一邻域内不同与,则称曲线为曲线族的一支包VxyC,,0,，，络.从奇解和包络的定义容易知道一阶微分方程的通解的包络(如果它存在的话)一定是奇解;反之,微分方程的奇解(若存在的话)也是微分方程的通解的包络.因而,为了求微分方程的奇解,可以先求出它的通解,然后求通解的包络.对于一阶微分方程,如果此方程有除了通解之外的奇解,则此奇解一定满足两个判别式,即P,判别式和C,判别式.1,,1定理:设函数F(x,y,p)对(x,y,p)G,是连续的,而且对y和p有连续的偏微'''Fxyy(,,)0,商和,若函数y= (x) (xJ),,是微分方程的一个奇解,并且FFyp 'x. (x). (x)G (xJ),,,,,则奇解y=(x)满足一个称之为P-判别式的联立方程，，'Fxyp(,,)0,py, , 其中. Fxyp,,0,，，p1,,'2Fxyy(,,)0,定理:设微分方程有通积分Vxyc(,,)0,又设积分曲线Vxyc(,,)0,y= (x),有包络为则奇解满足C,判别式的联y= (x) xJ,,，，'立方程 ,. Vxyc(,,)0,Vxyc(,,)0,c以上两个定理是奇解的必要条件,也就是说用C,判别式和P,判别式求出的解不一定是微分方程的解,如果是微分方程的解也不一定是奇解,但是在求一阶微分方程的奇解时通常都会采用这两个判别式.由中奇解部分的定理2和定理51,, 知,只要求解是微分方程的解,用P,判别式求出的解满足:',Fxyp(,,)0,y, , ,''Fxyp(,,)0,,pp,用C-判别式求出的解满足非蜕化条件:'',,,CC,0,0,，，，，，，，，, , ,''VV,0,0,，，，，,xy,则此解就是奇解,既然C,判别式和P,判别式是求奇解的方法,那么是不是这两个判别式(C,判别式和P,判别式)对所有一阶微分方程求奇解都有效? 3(几个例子利用P,判别式和C,判别式对一些一阶微分方程进行求解的运算,看看会出现什么样的结果?2'yyx，,,0【例1】: 求的奇解，，'yp, 解: 令,利用P,判别式:2,pyx，,,0; ,20p,,yx,yx,消去P得,但不是微分方程的解, 所以原方程无奇解.我们可以发现利用P,判别式求出的解不一定是奇解.那么利用C,判别式所求出的解是不是一定是方程的奇解呢?我们接着看下一个例子.2,3'3,yy【例2】: 求的奇解. 535解:原方程的通解为:yxc,，，，C,判别式为:3,5yxc,，,0，，, ; ,23,3,xc，,0，，5,消去C得y=0,但不是方程的解,所以原方程无奇解. y=0以上两个例子充分说明了C,判别式和P,判别式是求奇解的必要条件.2xy'，，yyye,,1【例3】: 求微分方程的奇解. ，，，，解: 原方程的P,判别式为:2xy2,ypye,,,10，，, ; ,2210py,,，，,,消去P得 y=0易知是微分方程的解. y=0而且:',Fxyp(,,)10,,,y, ,''Fxyp(,,)20,,,pp,所以y=0是微分方程的奇解.1,,24'，，【例4】: 求. yyy,,1，，，，9解: 首先我们不难求出微分方程的通积分:22xcyy,,,,30 (),，，，，由C,判别式:22,xcyy,,,,30，，，，,(其中C为任意常数) ,,,,20xc，，,,确定二支连续可微的曲线y,0和y,3,对他们分别作如下形式的参数表示式:,y,0 :xc, ,,,,,c，，1,y,3 : xc, ,,,,,c，，2,容易验证满足相应的非蜕化条件: 1'',,,CC,0,0,，，，，，，，，,, ,''VV,0,0,，，，，,xy,,因此是积分曲线族的一支包络,从而它是微分方程的奇解. (),1,,而不满足相应的非蜕化条件,所以还不能断言是否为包络,不过我们22(),,可以利用简单的作图得知不是曲线族的包络,因此它不是奇解,虽然它是2 微分方程的解.从例3、例4两题中,可以发现,如果利用P,判别式来求奇解可以直接从方程出发,而如果要用C,判别式需要求出通解,但是无论用哪一判别式要使求得的解为奇解,则此解一定满足:用P,判别式时满足:',Fxyp(,,)0,y,; ,''Fxyp(,,)0,,pp,用C,判别式时满足:'',,,CC,0,0,，，，，，，，，,. ,''VV,0,0,，，，，,xy,对于一些微分方程既能用P,判别式又能用C,判别式求奇解,我们接着看一道例题.5,,2dydy,,，,,xy0【例5】: 求的奇解( ,,dxdx,,dy解: 法一:令,则P-判别式: ,pdx2,pxpy，,,0 ; ,20px，,,2xy,,消去P得. 42ycxc,，法二:方程的通解为C,判别式:2,ycxc,,,0 ; ,xc，,20,2x消去C得y,,,满足非蜕化条件: 4'',,,CC,2,20,0,,,，，，，，，，，，，, ,''VVc,,10,0,,,，，，，，，,x y,2xy,,所以是奇解. 4由例5知:既然某些一阶微分方程既可用P,判别式来求奇解又可用C,判别式求奇解.那么能否将P,判别式和C,判别式联合起来求奇解呢? 4(新判别法在我们的教材和资料中我们通常采用P,判别式和C,判别式来求一阶微分方程的奇解,然而对于某些问题,P,判别式和C,判别式这两种方法求奇解比较困难.因此还有其他方法来求奇解,这些新方法用起来比较方便,通过查阅资料和文献,人们对新解法研究的比较少,在此介绍三种新的解法,方便对一阶微分方程求奇解.4.1. C,P消去法9,,2348''【例6】: 求的奇解. xyyy,,,，，，，927'yp,解: 令P,判别式:48,23xypp,,,,,927; ,82,pp,,0，，,9,消去P得:4yx,及 yx,,27方程的通解为:23ycxc,,, ，，，，C,判别式:23,ycxc,,,,0，，，，,; ,2230ycxc,,,,，，，，,,44消去C得.则为奇解. yx,,yx,,2727例6中介绍了一种新方法, C,P消去法::联合P-判别式和C-判别式,从P,判别式得到解和从P,判定义,xy,0,，，中寻得公共单因式,令其为零,一般就是奇解. 别式得到解,xy,0,，，4,,yxyx,,，,0在例6中,由P,判别式得到,由C,判别式得到，，,,27,,444,它们的公共单因式为,令其为零,即. yx,,yx,，,0yx,，,02727272xpxpy，,,20【例7】: 求的奇解.2xpxpy，,,20解: 从和中消去P得:y=-x 220xpx，,2yxpxp,，2再求通解,将方程写成112dxdypdypxdppdxxdp,,，，，(222) ppdxdp,,即 2xp2()4ycxc,,通积分为:从2()4ycxc,,,,,2()4ycc和中消去C得:yx,, 及 x,0yx,,按C,P消去法知是奇解.就特殊方程:dy ,fxy,，，dx假设连续.给出以下两种特殊的求奇解的方法.即自然法和拾遗法. fxy,，，6,,4.2. 自然法,,,f定义:当点集L,不是孤立点集,而是有分支时,则 yx,,(,)|xy,,，，,,,y,, 可能是奇解. yx,,，，,fdydy对于当连续,则只要有界,就能保证的,fxy,fxy,,fxy,，，，，，，,ydxdx,f解存在唯一,所以当时,他就可能破坏了解的唯一性. ,，,,y'2,yy,,1【例8】: 求 (|y|1)的奇解.,,fy2fxyy,1,,, 解: ，，2,y1,y,f当y,,1时, ,，,,y所以可能破坏解的唯一性,它可能是奇解. y,,1验证: (1) 显然是方程的解. y,,1,, (2) 由分离变量法求得通解是:yxc,，sin() (),,，,xc22,在y,1上任取一点通解表达式中有解 x,1yxxxx,，,,,sin()cos()，，0002 'y,0通过点且其上导数 ,即此解与y,1相切,故y,1是奇解. x,1，，0同理:y,,1也是方程的奇解.7,,4.3. 拾遗法dy定义:当方程在求通积分的过程中,经常遇到分离变量,方程两边,fxy,，，dx 需要同时除以不含导数的因式,则令这个因式等于零,可能得到奇解.因为方程两边同时除以含有x、y的因式时,原方程可能遗失了解,当然有可能遗失了方程的奇解.2x,1【例9】: 求的奇解. xxdydx10,,,，，2解: 除以因式得: xx1,dx dy,2xx1,积分后得通解:xyc,，ln|| 211，,x2但令消去因子为零,即得; xx10,,x,0x,,1验证: (1) 它们都是方程的解;xlimln||,,,(2) 有 2x,011，,xxxlimln||limln||0,, 22xx,,11,，1111，,，,xx前者说明通解表达式中没有解与相交; x,0后者说明通解表达式中有解与.相交,且从方程本身看出交点上的斜率x,,1'y,,,都是因此得结论:是正常解,是奇解. x,0x,,15(结论以上五种是判定奇解的方法,都需验证所得曲线是否真是奇解,这个验证步骤有时比较麻烦,若C,判别式和P,判别式容易求得时,,xy,0,,xy,0,，，，，方法C,P 削去法常是可取的.从以上的几个例子中,在利用两个判别式求一阶微分方程的奇解时,会出现以下几种情况:(1) P,判别式和C,判别式均可用来求奇解;(2) P,判别式与C,判别式联合可求方程的奇解;(3) 当一阶微分方程的一阶导数的次数为一次时,P,判别式不可求奇解,但C,判别式未必失效;(4) 当一阶微分方程的通解中常数C的次数为一次时,C,判别式不可求奇解,并且导致P,判别式也不可求奇解,此时只能另找他法.参考文献丁同仁、李承志.常微分方程教程.高等教育出版社,1991年. 1M,,,,钱祥征.常微分方程解题方法.湖南科学技术出版社,1984年. 2M,,,,王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松.常微分方程.高等教育出版,1978年 .3M,,,,何永葱.关于常微分方程奇解判别的注记.内江师范高等专科学校学4J,,,,报,2000年第15卷第2期:1,3.路畅、智婕.一阶微分方程奇解的两个判别式.科学教育论坛,2005年第5J,,,,24期:207,211.张维琪.浅谈奇解的求法.吉安师专学报,1989年第6期:5,10. 6J,,,,谷丽彦.微分方程奇解的求法及存在性的条件.河北师范学院学,1993年7J,,,,第3期:27,31.曾庆健.一类常微分方程奇解的求法.安徽电子信息职业技术学院学报 8J,,,, 2004第5、6期第225页.张少霞.常微分方程奇解的讨论J.工科数,第13卷第4期,1997年8月:1339,,,,,136.。
常微分方程期末复习提要(1)
常微分方程期末复习提要中央电大 顾静相常微分方程是广播电视大学本科开放教育数学与应用数学专业的统设必修课程．本课程的主要任务是要使学生掌握常微分方程的基本理论和方法，增强运用数学手段解决实际问题的能力．本课程计划学时为54，3学分，主要讲授初等积分法、基本定理、线性微分方程组、线性微分方程、定性理论简介等内容。
本课程的文字教材是由潘家齐教授主编、中央电大出版社出版的主辅合一型教材《常微分方程》．现已编制了28学时的IP 课件供学生在网上学习．一、复习要求和重点第一章 初等积分法1．了解常微分方程、常微分方程的解的概念，掌握常微分方程类型的判别方法．常微分方程与解的基本概念主要有：常微分方程，方程的阶，线性方程与非线性方程，解，通解，特解，初值问题。
2．了解变量分离方程的类型，熟练掌握变量分离方程解法．（1）显式变量可分离方程为：)()(d d y g x f x y = ； 当0≠g 时，通过积分⎰⎰+=C x x f y g y d )()(d 求出通解。
（2）微分形式变量可分离方程为： y y N x M x y N x M d )()(d )()(2211=；当0)()(21≠x M y N 时，通过积分 ⎰⎰+=C x x M x M y y N y N d )()(d )()(2112求出通解。
3．了解齐次方程的类型，熟练掌握齐次方程（即第一类可化为变量可分离的方程）的解法．第一类可化为变量可分离方程的一阶齐次微分方程为：)(d d x y g x y = ； 令x y u =，代入方程得xu u g x u -=)(d d ，当0)(≠-u u g 时，分离变量并积分，得⎰=-uu g u x C )(d 1e ，即)(e u C x ϕ=，用x y u =回代，得通解)(e x y C x ϕ=. 4．了解一阶线性方程的类型，熟练掌握常数变易法，掌握伯努利方程的解法．（1）一阶线性齐次微分方程为：0)(d d =+y x p xy 通解为：⎰=-x x p C y d )(e 。
包络定理及其应用
包络定理及其应用作者：陈颂闫晓芳来源：《新课程·中旬》2014年第09期摘要：包络在数学中是一个很基本的概念，在各个学科上都有自己独特的含义。
通过讨论包络在数学中的概念，研究和数学联系非常紧密的经济学中包络的应用。
关键词：包络；包络定理；克莱罗方程包络，形象地说就是许多椭圆形曲线交织，外观看起来是包起来的一样，故名包络。
它在数学、物理学、文学、经济学、地质学、传统中医学等上都有自己独特的含义。
本文主要讨论包络在数学中的概念，以及和数学联系非常紧密的经济学中的应用。
本文共分五个部分，具体如下：一、包络的概念在数学上，一族平面直线（或曲线）的“包络”（envelope）是指一条与这族直线（或曲线）中任意一条都相切的曲线。
假设这族平面曲线记为F（t，x，y），这里不同的t对应着曲线族中不同的曲线，则包络线上的每一点满足下面的两条方程：F（t，x，y）=0■（t，x，y）=0由这两条方程消去t后便可得出包络线的隐式表示。
类似地可以定义空间中一族平面（或曲面）的包络。
数学中包络线的例子很多。
例如，绣曲线是包络线；直线族（A-s）x+sy=（A-s）（s）（其中A是常数，s是直线族的变量）的包络线为抛物线。
二、包络在几何中的概念几何中有包络原理（the envelope principle），它的定义为：平面内，以A、B为顶点的一条线段的一侧有若干个点，与A，B相连构成一个凸多边形，则该图形除AB外所有边之和大于AB；若在该图形之外且在AB同侧有另外若干点与AB构成另一个凸多边形，则此多边形的周长大于上一图形的周长。
利用此原理，可证明一个圆的周长大于其内接凸多边形，小于其外切凸多边形，进而可以不断地缩小π的取值范围。
三、包络在微分方程中的概念在微分方程中，一阶微分方程的奇解是通解曲线族的包络。
例如，在常微分方程克莱罗（Clairaut）方程u=tu′+f（u）′中，两边对t取导数，得：u′=u′+tu′+f′（u′）u″整理得：（t+f′（u′））u″=0由此可知u″=0或u″=-t.当u″=0时，u=Ct+f（C），称为克莱罗方程的一般解。
常微分方程的几何解释
(2.2)
a x b, y ,
假设函数 f x, y在给定区域上连续且有界.于是
它在这个区域上确定了一个线素场.下面利用线素场
求出经过 x0, y0 的近似积分曲线.把
x0 ,b n 等分,其分点为:
xk x0 kh, k 0,1, , n
h b x0 , n
xn b
常微分方程
绵阳师范学院
先求出 f x0, y0
用经过 x0, y0 斜率为
y
x1
,
y1
x2
,
y2
f x0, y0 的直线段来近
y0
似积分曲线,其方程为
y y0 f x0, y0 x x0
x0 x1 x2
bx
求出直线上横坐标 x1 处的点的纵坐标
y1 y0 f x0, y0 x1 x0 y0 f x0, y0 h
如果 h 很小 x1, y1 就很接近积分曲线上的点 x1, y x1
因 f x, y 连续.于是由点 x1, y1 出发的斜率为
f x1, y1 的直线段又近似于原积分曲线.它的方程为
了线素场.
y k x
易见在点 x, y 的线素与
过原点与该点的射线重合.
常微分方程
绵阳师范学院
定理2.1 L为(2.1)的积分曲线的充要条件是: 在L 上任一点,L 的切线方向与(2.1)所确定的线 素场在该点的线素方向重合;即L在每间点均与 线素场的线素相切.
证明 必要性 设L为(2.1)的积分曲线,其方程为
20
若初值问题
dy dx
f ( x, y),的解是存在,是否唯一?
包络定理公式
包络定理公式
包络定理是一种基本的电路分析方法，它在电子工程中起着重要的作用。
它的公式可以用来描述电路中信号的传输和处理过程。
下面我将以人类的视角，用简单的语言来解释包络定理的原理和应用。
包络定理是一种分析电路中信号传输过程的方法，它的核心思想是将信号分解为两个部分：包络和载波。
包络是指信号的振幅随时间变化的曲线，而载波则是指信号的频率。
通过将信号分解为这两个部分，我们可以更好地理解信号在电路中的传输和处理过程。
在实际应用中，包络定理常常用于分析调幅（AM）电路。
调幅是一种将音频信号转换为无线电信号的过程，我们常见的广播电台就是通过调幅技术来传输音乐和新闻的。
在调幅电路中，包络定理可以帮助我们理解信号的传输过程，从而更好地调节和控制信号的质量。
除了调幅电路，包络定理还可以应用于其他领域，比如音频信号处理和图像处理等。
在音频信号处理中，我们可以利用包络定理来提取声音信号的包络，从而实现音频信号的增强和修复。
在图像处理中，包络定理可以帮助我们识别和提取图像中的边缘特征，从而实现图像的分割和识别。
包络定理是一种重要的电路分析方法，它可以帮助我们更好地理解信号在电路中的传输和处理过程。
通过应用包络定理，我们可以实现对信号的控制和优化，从而提高电路的性能和效果。
希望通过这
篇文章的介绍，读者能对包络定理有一个更深入的理解。
最简洁明了的讲解包络定理
以支出最小化为例：
Min e P1 x1 P 2 x 2
x1, x 2
s.t. U ( x1, x 2) u
x1, x 2,
Min L P1 x1 P 2 x 2 u ( x1, x 2) u
直接套用包络定理，就得到：
e( p1, p 2; u ) e( p1, p 2; u ) h1( p1, p 2; u ) 和 h 2( p1, p 2; u ) p1 p 2
x1* u * x 2* u * * * * ( ( ( p1 x1* p 2 x 2* M ) * * P1) P 2) M x1 M x 2 M
最后一个等式利用到了一阶条件。
L* u * u * x1* u* x 2* * x1* x 2* P2 ( P1 x1* P 2 x 2* M ) * ( x1* P1 ) P1 P1 x1 P1 x 2 P1 P1 P1 P1
求偏导数，特别注意它们是 g 和 h 在保持 x1 和 x2 于其最优值不变的条件下对 a 的导 数。包络定理的证明为一直接的计算。微分恒等式（2） ，得
dM g dx1 g dx 2 g da x1 da x 2 da a
运用一阶条件（1）进行替代，得
dM h dx1 h dx 2 g da x1 da x 2 da a
Max ( K , L) PQ ( K , L) wL rK
我们可以把利润函数看作是值函数， P , w 和 r 是外生参数，则最优利润对外生参数
* Q* ， 求导，就等于目标函数的偏导数在最优选择处取值，则直接可以得到 p
* * L* ， K * 这就是说所谓的 Hotelling Lemma。 w r
关于奇解的若干探讨
关于奇解的若干探讨摘要：对于一阶常微分方程奇解的有关问题，本文针对有关一阶常微分方程奇解的定义和求法进行了系统的归纳和总结，列举了求奇解的两类方法；并根据p-判别曲线求奇解的方法，讨论了克莱罗（Clairaut）微分方程和两类特殊类型的一阶常微分方程的奇解以及奇解存在的充分条件。
关键词：一阶常微分方程；奇解；包络；C-判别曲线；P-判别曲线1.引言求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解，也可以由通解的表达式了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。
后来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。
当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。
一个常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有几个呢？这是微分方程论中一个基本的问题，数学家把它归纳成基本定理，叫做存在和唯一性定理。
因为如果没有解，而我们要去求解，那是没有意义的；如果有解而又不是唯一的，那又不好确定。
因此，存在唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的。
而奇解是微分方程的一种特殊的解，类似微分几何中的包络，奇解对应的积分曲线上每一点还有方程的另一个解存在，则存在唯一性定理被破坏。
但是，并不是任何微分方程都有奇解，奇解存在的条件还有待进行更深入的探讨和研究。
2.奇解的定义及求法2.1 奇解的定义我们知道对某些微分方程，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这个方程的积分曲线族，但是，在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和它在此点相切。
在微分方程里，这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。
定义1：微分方程的一个解称为奇解，如果在这个解的每一个点上还有方程的另外一个解存在，也就是说奇解是这样的一个解，在它上面的每一个点唯一性都不成立。
或者说，奇解对应的曲线上每一点至少有方程的两条积分曲线通过。
包络定理
则最大值函数 (a) f (x(a),a)
5
包络定理的一个推论（证明）
对于最大值函数 (a) f (x(a),a)
两边关于 ai 求导，并在最优解处取值，可得
(a) f xj f g xj f
ai
j x j ai ai j x j ai ai
构造函数 L(x, p, m;) u(x1, x2 ) (m p1x1 p2x2 )
利用包络定理，可得
罗伊恒等式（Roy’s identity）
v( p, m)
m
x1
x1 (
p1,
p2 ,
m)
v( v(
p1, p1,
p2, m) p2, m)
/ /
p1 m
0 i 1,2,, n
xi x x(a)
因此，包络定理得证。不难看出，最小化问题亦然。
d(a) f (x, a)
da
a x x *
2
包络定理图示
d(a) f (x*, a)
, f
da
a
(a)
f (x, a)
a1
a
3
包络定理的一个推论
对于一个具有一般性的最优化问题
记对应参数值 a 的最大值点为 x (a)，假设它关于 a 可 微，则有
d(a) d f [x(a),a] [ n f (x, a) d xi (a) f (x, a)]
da
da
i1 xi
da
a x x(a)
由于 x (a) 是上述最大化问题的解，所以一阶条件成立
f (x, a)
对于约束条件 g(x, a) 0
包络排除方法及奇解排除定理
Ｏ（ ｘ， ， ｆ ）一 ０ （ １ ）
（ ｘ － ｃ 。 ［ ｃ Ｘ － Ｃ 一 号 ］ 一 ０ ．
由 ｚ— ｃ一 ０ ， 得到 判别 曲线
Ｘ— Ｃ ， — ｆ ， （ ６ ）
两 边对 ｚ取 导数 ， 得
ｏ ＇（ ｘ， Ｙ， ｃ ）＋
ｘ
或者
的奇 解 （ 利用 判别 曲线法 ） ．
（ ｚ— ｆ ） 一 Ｙ（ Ｙ一 ３ ） 。一 ０ ．
（ ８ ）
（ ９ ）
Ｙ本 身应有 的关 系 ｐ— ｄ ｙ
．
如果 户是不合 理 的 ， 也 即
判 别式 中的 Ｐ不 等于 由Ｐ 一判别 式得 到 的 Ｐ 一 判 别
解 将 导数 解 出并 分离 变量 ， 得 方程 的通 解 为 其中 Ｃ 为 任 意常 数 （ 一ｏ ｏ＜ Ｃ ＜＋。 。 ） ． 再 由相应 的 判别 式
Ｙ ＝ ＝ ＝Ｘ・
（ ｚ， Ｙ， ｃ ） ｄ
ｘ
０，
由 Ｘ— ｃ 一 ： ０ ， 得 到 判 别 曲线
或 者
： ：： 一
如
＝ 三！ ！ （ ， ， ｃ ） ‘
ｚ — 一 ｆ ＋ 十 ， ’ Ｙ — 一 ｃ ＋ 十 告 百 ， ’
或 者
（ ２ ）
（ — ｆ ） 。一 Ｙ（ Ｙ一 ３ ） 一 ０，
一
曲 线 Ｙ ＝ （ ｚ ） 的 导 数 ￡ ． 这 就 说 明 ， 不 存 在 使 得
一 ０的 点集Ｙ： （ ｚ ） ， 即在 任何 点上 Ｆ ≠０ ．因
不 满足 非蜕 化条 件 ， 不 能 肯定 （ ６ ） 是 否 是 包 络． 但由 于 与 同时为零 ， 故 判别 曲线 （ ６ ） 不 是包 络． 例２ Ｅ 试求 微分 方程
包络定理及其应用
课改探微新课程NEW CURRICULUM包络，形象地说就是许多椭圆形曲线交织，外观看起来是包起来的一样，故名包络。
它在数学、物理学、文学、经济学、地质学、传统中医学等上都有自己独特的含义。
本文主要讨论包络在数学中的概念，以及和数学联系非常紧密的经济学中的应用。
本文共分五个部分，具体如下：一、包络的概念在数学上，一族平面直线（或曲线）的“包络”（envelope ）是指一条与这族直线（或曲线）中任意一条都相切的曲线。
假设这族平面曲线记为F （t ，x ，y ），这里不同的t 对应着曲线族中不同的曲线，则包络线上的每一点满足下面的两条方程：F （t ，x ，y ）=0əF ət（t ，x ，y ）=0{由这两条方程消去t 后便可得出包络线的隐式表示。
类似地可以定义空间中一族平面（或曲面）的包络。
数学中包络线的例子很多。
例如，绣曲线是包络线；直线族（A -s ）x+sy =（A-s ）（s ）（其中A 是常数，s 是直线族的变量）的包络线为抛物线。
二、包络在几何中的概念几何中有包络原理（the envelope principle ），它的定义为：平面内，以A 、B 为顶点的一条线段的一侧有若干个点，与A ，B 相连构成一个凸多边形，则该图形除AB 外所有边之和大于AB ；若在该图形之外且在AB 同侧有另外若干点与AB 构成另一个凸多边形，则此多边形的周长大于上一图形的周长。
利用此原理，可证明一个圆的周长大于其内接凸多边形，小于其外切凸多边形，进而可以不断地缩小π的取值范围。
三、包络在微分方程中的概念在微分方程中，一阶微分方程的奇解是通解曲线族的包络。
例如，在常微分方程克莱罗（Clairaut ）方程u=tu ′+f （u ）′中，两边对t 取导数，得：u ′=u ′+tu ′+f ′（u ′）u ″整理得：（t +f ′（u ′））u ″=0由此可知u ″=0或u ″=-t .当u ″=0时，u=Ct+f （C ），称为克莱罗方程的一般解。
包络定理
包络定理
包络定理：考虑含参量a的函数f(x,a)的无条件极值问题（x是内生变量，a是外生变量）。
显然，一般地其最优解V是参量a的函数，即V(a)。
包络定理指出：V对a的导数等于f对a的偏导数（注意是f对“a所在位”变量的偏导数）。
包络定理在消费者理论与生产者理论中有广泛的应有。
例如，在导出需求函数的替代矩阵时就可以直接对成本函数用包络定理求出需求函数，再对需求函数求一阶导数就可以导出替代矩阵。
包络定理的应有分为无约束条件和约束条件下两种情况。
具体内容可以参看Varian的高级微观经济学
You can refeer to the Appendix of MWG
V(a)=Max F(x,a)
G(x,a)>=0
then:
x*(a) should satisfies
Fx(x,a)+rGx(x,a)=0
And
V'(a)=Fa(x*,a)+rGa(x*,a)
This is just the envolop theorem
推荐看《经济学的结构——数学分析》这本书，里面有详细的解释
我在蒋殿春老师的《高级微观经济学》。
浅谈常微分方程奇解与包络
浅谈常微分方程奇解与包络对常微分方程教科书中采用的不同方式来定义奇解，进行了讨论，指出了用包络定义奇解的不相容性，和用唯一性破坏定义奇解的合理性。
给出了求常微分方程以已知函数求奇解的多种方法，方法和实例表明，这对有奇解的常微分方程以及同一奇解的常微分方程都是非常多的.标签：常微分方程；定义；奇解；包络0 前言常微分方程，是一个有悠久历史发展迅速的学科，是一个理论和实际应用都很有价值的学科，它不但自身应用十分广泛，而且对其他学科都有非常大的帮助。
许多科学家都对微分方程有了不同程度的研究。
比如牛顿，莱布尼茨等。
常微分方程是17世纪和微积分同时诞生的一门理论性非常强，研究应用非常广泛的学科之一，常微分方程的发展分了四个发展阶段，这四个发展阶段对常微分方程非常关键。
牛顿和莱布尼茨创立的微积分是不严格的，18世纪的数学家们一方面努力探索微积分严格化的途径，一方面往往又不顾基础问题的困难而大胆前进，大大地扩展了微积分的应用范围，尤其是与力学的有机结合，当时几乎所有的数学家也是力学家.牛顿和莱布尼茨都处理过与常微分方程有关的问题. 微积分的产生的一个重要的动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求. 一般地，认识规律很难完全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观测到运动的全过程. 运动是服从一定的客观规律的，物质运动与瞬时变化率之间有着紧密的联系，而这种联系，用数学语言表述出来，即抽象为某种数学结构，其结果往往形成一个微分方程，一旦求出其解或研究清楚其动力学行为，运动规律就一目了然了。
为了便于讨论，现将第一种定义写出：1 奇解的定义在通常教科书中对奇解的定义采用两种方法：一种是用积分曲线族的包络（以下简称包络）定义奇解；另一种是用奇解的唯一性被破坏定义奇解.由下面的讨论可知，用第一种方法定义奇解将会产生混乱，甚至会出现不相容的情况.第二种定义则来源于微分方程本身内容，准确而不会产生歧义.为了便于讨论，现将第一种定义写出：1.1 定义1微分方程的一个解称为奇解，如果在这个解的每一点上还有方程的另外一些解存在，在它上面的每一点唯一性都不成立，奇解對应的曲线上每一点至少有方程的两条积分曲线通过[1]。
包络定理
2． 包络定理1在上图表示的最大值函数与目标函数的关系中，我们看到，当给定参数a 之后，目标函数中的选择变量x 可以任意取值。
如果x 恰好取到此时的最优值，则目标函数即与最大值函数相等。
而且，我们还可以注意到，当目标函数与最大值函数恰好相等时，相应的目标函数曲线与最大值函数曲线恰好相切，即它们对参数的一阶导数相等。
对这一特点的数学描述就是所谓的“包络定理”。
⑴ 包络定理：无约束模型设最大值函数为：()((),)V a f x a a =对参数a 求导有：(0)a x a a x dx V f f f f da=+== 其中，a f 在最优解处取值。
▼ 另一种表述设模型max (,)xf x a 的最优解为()x x a **=；代入原目标函数(,)f x a 即得最大值函数：()((),)V a f x a a *上式两边对参数a 求导得：[][((),)]a a x a a dx V f x a a f f f da ****⎡⎤==+=⎢⎥⎣⎦ 其中，方括号右边的下标“a ”表示对参数a 求导，上标“*”表示求导后的结果在最优解处取值。
由于是在最优解处取值，故由一阶必要条件可知0x f =。
于是有第三个等式。
第三个等式中的[]a f *表示原目标函数(,)f x a 对a 求导后在最优解处取值。
⑵ 包络定理：等式约束模型设最大值函数为：()((),(),)V a L x a a a λ=对参数a 求导有：(0)a x a a x dx d V L L L L L L da daλλλ=++=== 其中，a L 在最优解处取值。
▼ 另一种表述[][((),(),)]a a x a a dx d V L x a a a L L L L da da λλλ***⎡⎤==++=⎢⎥⎣⎦ ▼ 例子：效用最大化问题该问题的拉格朗日函数(,)()()L x u x y px λλ=+-是x 和λ的函数。
如果将最优解(,)x x p y **=和(,)p y λλ**=代入拉格朗日函数，则它就成为参数p 和y 的函数：(,)((,),(,),,)((,))(,)((,))V p y L x p y p y p y u x p y p y y px p y λλ*****==+- 其中，(,)(,,,)V p y L x p y λ**=可看作“间接”拉格朗日函数，参数p 和y 以两种方式影响它：一是直接影响，一是间接影响，即通过最优解x *和λ*来影响。
最简洁明了的讲解包络定理
最简洁明了的讲解包络定理包络定理是信号处理中的一条重要定理，它揭示了信号在时域或频域中的特性。
简单来说，包络定理指出一个信号的包络线（envelope）可以由其对应的包络函数来表示。
首先，让我们定义一些基本概念。
信号通常被表示为一个或多个变量的函数，例如时间或频率。
包络函数是一个与原始信号相关的函数，它描述了信号的最大值和最小值之间的范围。
在某些情况下，包络函数也可以被解释为信号的“边界”。
包络定理的主要内容是，对于任何实信号，其包络线可以由一个对应的包络函数来表示。
换句话说，如果我们知道了一个信号的包络函数，那么我们就可以确定信号的最大值和最小值，以及它们随时间或频率的变化情况。
这个定理的应用非常广泛。
例如，在通信系统中，信号往往包含多个频率成分。
通过使用包络定理，我们可以更好地理解这些频率成分是如何相互作用的，以及它们如何随时间变化的。
此外，在信号处理中，包络定理还可以用于提取信号的边界信息，例如在语音识别或图像处理中。
然而，要注意的是，包络定理并不适用于所有情况。
例如，对于一些复杂的信号，可能无法找到一个简单的包络函数来描述它们。
此外，在实际应用中，往往需要对信号进行更复杂的处理和分析，例如进行傅里叶变换或小波变换等。
总的来说，包络定理是一种强大的工具，它可以用于描述和理解信号在时域或频域中的特性。
然而，它并不是万能的，我们需要根据具体的问题和数据来选择最合适的方法和技术。
包络和奇解
包络和奇解
作者：李健
来源：《赤峰学院学报·自然科学版》 2012年第18期
李健
（内蒙古化工职业学院，内蒙古呼和浩特 010010）
摘要：给出了包络和奇解的定义及定理，可以用各种不同方法求解一阶隐式微分方程的奇解，包络.
关键词：微分方程；通解；奇解；包络
中图分类号：O175 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2012）09-0005-03
4 结论
一阶微分方程的通解的包络（如果它存在的话）一定是奇解，反之，微分方程的奇解
（若存在的话）也是微分方程的通解的包络，因此为了求微分方程的奇解，可以求出它的通解，然后求通解的包络.
参考文献：
〔1〕王高雄，周之铭，朱恩铭，王寿松.常微分方程[M].北京:高等教育出版社，2001. 〔2〕丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].北京:高等教育出版社，1991.
〔3〕东北师范大学微分方程教研室.常微分方程[M].北京:高等教育出版社，2001. 〔4〕都长清，焦宝聪，焦炳照.常微分方程[M].北京:首都师范大学出版社，1993. 〔5〕庄万.常微分方程习题解[M].济南:山东科学技术出版社，2003.
〔6〕南京大学数学系计算数学专业.常微分方程[M].北京:科学出版社，2005.。
常微分方程重点1
常微分方程重点第一章 初等积分法1、什么是微分方程：联系自变量，未知函数以及它们导数的关系式。
2、微分方程的分类''(,)f x y ⎧=⎪⎨⎪⎩显式方程：y 隐式方程：F(x,y,y ）=0。
3、解的分类1212,,...(,,,...)n n n n C C y x C C ϕ⎧⎪=⎨⎪⎩通解：阶常微分方程的含有个任意常数C 的解使C 。
特解：给通解中的任意常数以定值所得到的解。
4、初值问题：00(,)()dy f x y dx y x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩(也叫柯西问题)例1：求下列方程满足所给初始条件的解：2'2(1)20(0)1x y xy y ⎧-+=⎨=⎩5、变量可分离方程：()*(),()()()()0dy f x y dx M x N y dx P x Q y dy ϕ⎧=⎪⎨⎪+=⎩或例2：求解方程(1)2211y dy dx x -=- (2)22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 6、齐次方程：()dy y f dx x = (类似于11111****()()****dy a x b y c d a b f f dx a x b y c d a b ηξηξξη+++=⇒=+++) （变量代换）例3：求解1-3dy x y dx x y -+=+ 7、一阶线性微分方程：()*()dy p x y q x dx =+（采用常数变易法） ()()()0, y=c*e ()0, y=(()*)*e p x dx p x dx p x dx q x q x q x e c -⎧⎰=⎪⎨⎰⎰⎪≠+⎩⎰ 定积分形式：000()()0(()*)s s x x p d p s ds x x y q s e ds y e ττ-⎰⎰=+⎰例4：21*2(2)2(0)2dy y x dx x x ⎧=+-⎪-⎨⎪=⎩例5：（证明题）设函数f(t)在[0,]+∞上连续且有界，试证明：方程()dx x f t dt+=的所 有解解在[0,]+∞上有界。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三讲 奇解与包络（4课时）目的要求：了解包络和奇解的定义，掌握包络和奇解的之间的关系，掌握奇解的求法。
重点：包络和奇解的求法。
难点：奇解及其求法。
教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法。
教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
教学过程：本节讨论常微分方程的奇解以及奇解的求法。
2.4.1奇解在本章2.2节的例2中，我们已经看到方程233dy y dx=的通解是3()y x C +，还有一解0y =，除解0y =外，其余解都满足唯一性，只有解0y =所对应的积分曲线上的点的唯一性都被破坏. 这样的解在许多方程中存在.例1 求方程21dy y dx=- 的所有解.解 该方程的通解是sin()y x C =+此外还有两个特解1y =和1y =-。
由于该方程右端函数的根号前只取+号，故积分曲线如图2-13所示，图 2-13显然解1y =和1y =-所对应的积分曲线上每一点，解的唯一性均被破坏。
本节主要讨论一阶隐式方程(,,)0F x y y '= (1.8)和一阶显式方程 (,)dy f x y dx= (1.9) 的解唯一性受到破坏的情形，显然这样的解只能存在于方程不满足解的存在唯一性定理条件的区域内。
对于方程(1.9)，由定理2.2，这样的区域可用f y∂∂无界去检验，而对于隐式方程(1.8)，一般来说，若能解出几个显式方程 (,),1,2,,i dy f x y i k dx==那么对每一个方程，应用定理2.2即可。
其次对于方程(1.8)，如果函数(,,)F x y y '对所有变量连续且有连续偏导数，并且在000(,,)x y y '的邻域内有 000000(,,)0(,,)0y F x y y F x y y ''=⎧⎨''≠⎩ 成立，那么应用数学分析中的隐函数定理，可解得(,)y f x y '=其中函数(,)f x y 是连续的且有连续偏导数，特别有y y F f y F ''∂=-'∂ 这样一来，对方程(1.8)初值解的存在唯一性定理的条件也就清楚了。
因此，我们可以就方程(1.8)或(1.9)给出奇解的定义。
定义 2.3 如果方程存在某一解，在它所对应的积分曲线上每点处，解的唯一性都被破坏，则称此解为微分方程的奇解。
奇解对应的积分曲线称为奇积分曲线。
由上述定义，可见2.2节例2中的解0y =是方程233dy y dx=的奇解，而例1中的解1y =和1y =-是方程dy dx=的奇解。
2.4.2 不存在奇解的判别法 假设方程(1.9)的右端函数(,)f x y 在区域2D R ⊆上有定义，如果(,)f x y 在D 上连续且(,)y f x y '在D 上有界(或连续)，那么由本章定理2.2，方程的任一解是唯一的，从而在D 内一定不存在奇解。
如果存在唯一性定理条件不是在整个(,)f x y 有定义的区域D 内成立，那么奇解只能存在于不满足解的存在唯一性定理条件的区域上.进一步如果再能表明在这样的区域上不存在方程的解，那么我们也可以断定该方程无奇解。
例2 判断下列方程 (1)22dy x y dx =+ (2)2dy y x dx =-+ 是否存在奇解。
解 (1)方程右端函数22(,),2y f x y x y f y '=+=，均在全平面上连续，故方程(1)在全平面上无奇解。
(2) 方程右端函数(,)2f x y y x =-+在区域y x ≥上有定义且连续，112y f y x'=-在y x >上有定义且连续，故不满足解的存在唯一性定理条件的点集只有y = x ，即若方程(2)有奇解必定是y = x ，然而y = x 不是方程的解，从而方程(2)无奇解。
2.4.3 包络线及奇解的求法下面，我们从几何的角度给出一个由一阶方程(1.9)或(1.8)的通积分(,,)0x y C Φ=求它奇解的方法。
当任意常数C 变化时，通积分(,,)0x y C Φ=给出了一个单参数曲线族(C )，其中C 为参数，我们来定义(C )的包络线。
定义2.4 设给定单参数曲线族():(,,)0C x y C Φ= (2.10)其中C 为参数，对所有变量连续可微.如果存在连续可微曲线L ，其上任一点均有(C )中某一曲线与L 相切，且在L 上不同点，L 与(C )中不同曲线相切，那么称此曲线L 为曲线族(C )的包络线或简称包络。
见图2-14图 2-14定理2.6 方程(1.9)的积分曲线族(C )的包络线L 是(1.9)的奇积分曲线。
证明 只须证明(C )的包络线L 是方程(1.9)的积分曲线即可。
设p (x ,y )为L 上任一点，由包络线定义，必有(C )中一曲线l 过p 点，且与L 相切，即l 与L 在p 点有公共切线。
由于l 是积分曲线，它在p 点的切线应与方程(1.9)所定义的线素场在该点的方向一致，所以L 在p 点的切线也就与方程(1.9)在该点的方向一致了。
这就表明L 在其上任一点的切线与方程(1.9)的线素场的方向一致，从而L 是(1.9)的积分曲线。
证毕。
有了这个定理之后，求方程(1.9)的奇解问题就化为求(1.9)的积分曲线族的包络线的问题了.下面我们给出曲线族包络线的求法。
定理2.7 若L 是曲线族(2.10)的包络线，则它满足如下的C -判别式(,,)0(,,)0C x y C x y C Φ=⎧⎨'Φ=⎩ (2.11) 反之，若从(2.11)解得连续可微曲线 :(),()x C y C ϕψΓ==且满足：22()()0C C ϕψ''+≠和22((),(),)((),(),)0x y C C C C C C ϕψϕψ''Φ+Φ≠,（称为非退化条件），则Γ是曲线族的包络线.证明 对L 上任取一点p (x ,y )，由包络线定义，有(C )中一条曲线l 在p 点与L 相切，设l 所对应的参数为C ，故L 上的点坐标x 和y 均是C 的连续可微函数，设为(),()x x C y y C ==又因为p (x ,y )在l 上，故有恒等式((),(),)0x C y C C Φ= (2.12) L 在p 点的切线斜率为()()L y C k x C '=' l 在p 点的切线斜率为 ((),(),)((),(),)x l y x C y C C k x C y C C 'Φ=-'Φ 因为l 与L 在p 点相切，故有l L k k =，即有关系式((),(),)()((),(),)()0x y x C y C C x C x C y C C y C ''''Φ+Φ= (2.13)另一方面，在(2.12)式两端对C 求导得((),(),)()((),(),)()((),(),)0x y C x C y C C x C x C y C C y C x C y C C '''''Φ+Φ+Φ= 此式与(2.13)比较，无论是在(),()x C y C ''和,x y ''ΦΦ同时为零，或不同时为零的情况下均有下式((),(),)0C x C y C C 'Φ= (2.14) 成立。
即包络线满足C -判别式(2.11).反之，在Γ上任取一点q (C )=(Φ(C ),ψ(C )),则有((),(),)0((),(),)0C C C C C C C ϕψϕψΦ=⎧⎨'Φ=⎩ (2.15) 成立.因为,x y ''ΦΦ不同时为零，所以对(2.10)在q 点利用隐函数定理可确定一条连续可微曲线:()y h x γ=（或()x k y =），它在q 点的斜率为 ((),(),)((),(),)x y C C C k C C C γϕψϕψ'Φ=-'Φ (2.16) 另一方面，Γ在q 点的斜率为()()C k C ψϕΓ'=' (2.17) 现在，由(2.15)的第一式对C 求导得 ((),(),)()((),(),)()((),(),)0x y C C C C C C C C C C C C ϕψϕϕψψϕψ'''''Φ+Φ+Φ= 再利用(2.15)的第二式推出((),(),)()((),(),)()0x y C C C C C C C C ϕψϕϕψψ''''Φ+Φ= (2.18) 因为(),()C C ϕψ''和,x y ''ΦΦ分别不同时为零，所以，由(2.18)、(2.17)和(2.16)推出,即曲线族(2.10)中有曲线γ在q 点与曲线Γ相切.因此，Γ是曲线族(2.10)的包络线。
例3 求233dy y dx=的奇解. 解 在本章2.2节已解得方程通解为3()y x C =+由C -判别式32()03()y x C x C ⎧=+⎨=+⎩ 解得0y =. 由于10,()10y C ϕ''Φ=≠=-≠，所以0y =为原方程的奇解. 例4 求方程21dy y dx=- 的奇解。
解 由上面的例1，该方程的通解为sin()y x C =+，由C -判别式sin()0cos()y x C x C =+⎧⎨=+⎩ (2.19) 的第二式解出 ,0,1,2,2x C k k ππ=-++=±±代入第一式，得到1y =±。
因为10,()10y C ϕ''Φ=≠=-≠，故1y =±为方程的奇解。
例5 求克莱洛方程()y xy y ''=+ψ的奇解，其中ψ是二次可微函数且0''ψ≠。
解 由第1章1.6节的例2可知该方程的通解为()y Cx C =+ψC -判别式为()0()y Cx C x C =+ψ⎧⎨'=+ψ⎩(2.19) 因为10,()()0y C C ϕψ''''Φ=≠=-≠,故由(2.19)所确定的曲线必定是克莱洛方程的奇解.即克莱洛方程总有奇解。
本节要点：1.奇解的定义。
2.不存在奇解的判别方法。
（1）全平面上解唯一不存在奇解。
（2）不满足解唯一的区域上没有方程的解无奇解。
3.求奇解的包络线求法。
包络线满足C —判别式。
在非蜕化条件下，从C —判别式解出的曲线包络线。
作业： 练习2.4 1., 2., 3，。
作业：练习2.41．判断下列方程是否有奇解？如果有奇解，求出奇解，并作图．（1）dy y dx = （2）dy y x dx =-（3）22dy x x y dx=-+ 2．求一曲线，具有如下性质：曲线上任一点的切线，在,x y 轴上的截距之和为1．3．求一曲线，此曲线的任一切线在两个坐标轴间的线段长等于常数 a ．。