北师大版八年级数学第二章二次根式的乘除运算

二次根式的乘除运算

【学习目标】

1.掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.

2.能运用二次根式的有关性质进行分母有理化.

【要点梳理】

要点一、二次根式的乘法

1.乘法法则：

（a ≥0，b ≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 要点进阶：

(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a 、b 都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).

(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：

≥0，

≥0，…..≥0）.

(3)若二次根式相乘的结果能写成

的形式，则应化简，如. 要点二、二次根式的除法

1.除法法则： ()a a a b a b b b

=÷=÷或（a ≥0，b >0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.

要点进阶：

(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a 、b 的取值范围应特别注意，a ≥0，b >0，因为b 在分母上，故b 不能为0.

(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.

要点三、分母有理化

1.分母有理化

把分母中的二次根式化去叫做分母有理化.

2.有理化因式

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式.有理化因式确定方法如下：

①单项二次根式：利用a a a ⋅=来确定，如：a a 与，a b a b ++与，b a -与b a -等分别互为有理化因式.

②两项二次根式：利用平方差公式来确定.如a b +与a b -，a b a b +-与，a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式.

要点进阶：

分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式.

【典型例题】

类型一、二次根式的乘除运算

例1.（1） 21521)74181(213

3÷-⨯ （2）243)2()()(a a a -÷-⋅-

举一反三 【变式】b b a b a x x b a -÷+⋅-54336222

22

例2.化简：4x 2

．

举一反三：

【变式】已知，且x 为偶数，求(1+x)的值．

类型二、分母有理化

例3.把下列各式分母有理化：

2

(1)

5

22

(2)

a b

a b

-

-

(3)

a b

a b

-

+

举一反三：

【变式】阅读材料，并解决问题．

定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化．解：原式==+

运用以上方法解决问题：

（1）将分母有理化；

（2）比较大小：（在横线上填“＞”、“＜”或“=”）

（n≥2，且n为整数）

（3）化简：+++…+．

例4.已知

23

23

x

-

=

+

，

23

23

y

+

=

-

，求下列各式的值：（1）

x y

x y

+

-

；（2）22

3

x xy y

-+.

【巩固练习】

一.选择题

1.若20,(1)x x x <--化简的结果是（ ）. A ．-1 B.1 C .2x-1 D.1-2x

2. 下列计算正确的是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

3. 3.计算1(0,0)b ab a b a ab

÷⨯>>等于（ ）. A ．

21ab a b B.21ab ab C. 1ab b

D . b ab 4.把m

m 1-根号外的因式移到根号内，得（ ）． A ．m B ．m - C ．m -- D ．m -

5. 已知a=

，b=﹣2，则a ，b 的关系是（ ） A ．a=b

B ．a=﹣b

C ．a=

D ．ab=﹣1

6.若223(22)0a b a b --++-=,那么b a

的值是（ ）. A ．1 B.-1 C.526- D.265-

二、 填空题

7.计算：

=________.

8.

=________.

9.若20042004x x -+与互为相反数，则x=_____________. 10. 已知23565x x x +=++，则=___________.

11. 11.计算(-)(2)(0)b a x x

bx ab x a x a -->)（=___________________________.

12.使等式

=成立的实数a 的取值范围是 ．

三、综合题

13.若23324y x x x =

-+-+-，求x y 的值.

14.若9139-13,4312a b ab a b +---和的小数部分分别是和求的值.

15.已知x 为奇数，且

=，求•．