差分法
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运方程
一阶波动方程 二阶波动方程
稳定场方程
问题1：散热片的横截面为矩形，他的一边 y b处于较高的 温度 U，其他三边则处于冷却介质中因而保持较低的温度 u0 。 讨论这个横截面上的稳定温度分布。 U 定解问题为：
u xx u yy 0 u | y b U u |x 0 u |x a u | y 0 u0
真实时间：
T t t
不同时间步下的温度分布
不满足稳定性条件时：
a 2 t
x
2
0.13 / 0.11/ 7.8 0.5 1 1.2 0.25 0.25 2
推进几步后温度就 出现负值，然后不 稳定性显著增长， 出现振荡
不同时间步下的温度分布
一阶波动方程
问题3：（1）方波传播 方波占据20个网格，位移为2.0，其他位移为0.5， 边界值也为0.5，传播速度为2.0。 （2）正弦波传播 正弦波占据20个网格，最大位移为1.5，其他位移 为0.5，边界值也为0.5，传播速度为2.0。
u 2 t C u 0 200 x / l , x l / 2 , u |t 0 f ( x ) 200 200 x / l , x l / 2 u |x 0 0, u |x l 0
取： l 2,
0.13,
C 0.11,
7.8
数值求解：
把杆分为8小段，空间步长dx = 2/8=0.25; 时间步长：dt = 0.01； 推进时间步为：100步 采用时间一阶，空间二阶的显格式进行离散，满足稳 定性条件：
a 2 t
x
2
0.13 / 0.11/ 7.8 0.01 1 0.024 0.25 0.25 2
显格式：
ui n 1 2ui n ui n 1
t
2
a
uin1 2uin uin1 2
x
2
取： u0 3
u0
b
U 10
a5
b 10
a
采用五点差分，
dx = a/50 = 0.1; 平均相对误差：0.001 dy = b/100 = 0.1; 初始值为零，迭代次数为：194次； 初始值为u0，迭代次数为：135次；
数值结果
解析结果
输运方程
问题2：细杆的初始温度为f(x)，两端的温度保持为零度， 讨论细杆上的温度随时间的变化情况 。 定解问题为：
正弦函数
差分格式的构造：
可以有Taylor展开得到。
边界条件的处理：
二、差分方程及求解
以热传导方程为例，介绍显式方法和隐式方法 差分格式的相容性，收敛性，稳定性 热传导方程差分格式的稳定性分析：von Neumann方法 一阶波动方程（对流方程）的差分格式
二阶波动方程的差分格式
Poisson方程的差分格式
正弦波传播
方波传播 MacCormack格式
正弦波传播
二阶波动方程
问题4：一列波，初位移为三角波，初速度为零，求其波动过程。 由d’Alembert解知道，其解为左右两列行波。
2u 2u a2 2 t 2 x
解的图象：
数值求解结果如下：
dx=0.1, dt=0.01, a*dt/dx=0.2;
u u a 0 t x
数值求解结果如下：
dx=0.1, dt=0.01, a*dt/dx=0.2;
方波传播
一阶显格式：Lax格式
正弦波传播
1.5 t=0 t=100 t=200
1
0.5 0
50
100
150
200
方波传播 一阶迎风（上风）格式
正弦波传播
方波传播 Lax-Wendroff格式
一、差分法
什么是差分？ 什么样的函数或物理量可以进行差分？
连续，可导，有界！
点电荷的电势：
1 4 0 r
r=0无界，因此差分时要特别注意！适时截断。
截断误差：
误差的来源有两种，截断误差和舍入误差。 舍入误差是计算机有限字长造成的； 而截断误差是差分格式（数值格式）造成的。
导数的差分精度举例：
一阶波动方程 二阶波动方程
稳定场方程
问题1：散热片的横截面为矩形，他的一边 y b处于较高的 温度 U，其他三边则处于冷却介质中因而保持较低的温度 u0 。 讨论这个横截面上的稳定温度分布。 U 定解问题为：
u xx u yy 0 u | y b U u |x 0 u |x a u | y 0 u0
真实时间：
T t t
不同时间步下的温度分布
不满足稳定性条件时：
a 2 t
x
2
0.13 / 0.11/ 7.8 0.5 1 1.2 0.25 0.25 2
推进几步后温度就 出现负值，然后不 稳定性显著增长， 出现振荡
不同时间步下的温度分布
一阶波动方程
问题3：（1）方波传播 方波占据20个网格，位移为2.0，其他位移为0.5， 边界值也为0.5，传播速度为2.0。 （2）正弦波传播 正弦波占据20个网格，最大位移为1.5，其他位移 为0.5，边界值也为0.5，传播速度为2.0。
u 2 t C u 0 200 x / l , x l / 2 , u |t 0 f ( x ) 200 200 x / l , x l / 2 u |x 0 0, u |x l 0
取： l 2,
0.13,
C 0.11,
7.8
数值求解：
把杆分为8小段，空间步长dx = 2/8=0.25; 时间步长：dt = 0.01； 推进时间步为：100步 采用时间一阶，空间二阶的显格式进行离散，满足稳 定性条件：
a 2 t
x
2
0.13 / 0.11/ 7.8 0.01 1 0.024 0.25 0.25 2
显格式：
ui n 1 2ui n ui n 1
t
2
a
uin1 2uin uin1 2
x
2
取： u0 3
u0
b
U 10
a5
b 10
a
采用五点差分，
dx = a/50 = 0.1; 平均相对误差：0.001 dy = b/100 = 0.1; 初始值为零，迭代次数为：194次； 初始值为u0，迭代次数为：135次；
数值结果
解析结果
输运方程
问题2：细杆的初始温度为f(x)，两端的温度保持为零度， 讨论细杆上的温度随时间的变化情况 。 定解问题为：
正弦函数
差分格式的构造：
可以有Taylor展开得到。
边界条件的处理：
二、差分方程及求解
以热传导方程为例，介绍显式方法和隐式方法 差分格式的相容性，收敛性，稳定性 热传导方程差分格式的稳定性分析：von Neumann方法 一阶波动方程（对流方程）的差分格式
二阶波动方程的差分格式
Poisson方程的差分格式
正弦波传播
方波传播 MacCormack格式
正弦波传播
二阶波动方程
问题4：一列波，初位移为三角波，初速度为零，求其波动过程。 由d’Alembert解知道，其解为左右两列行波。
2u 2u a2 2 t 2 x
解的图象：
数值求解结果如下：
dx=0.1, dt=0.01, a*dt/dx=0.2;
u u a 0 t x
数值求解结果如下：
dx=0.1, dt=0.01, a*dt/dx=0.2;
方波传播
一阶显格式：Lax格式
正弦波传播
1.5 t=0 t=100 t=200
1
0.5 0
50
100
150
200
方波传播 一阶迎风（上风）格式
正弦波传播
方波传播 Lax-Wendroff格式
一、差分法
什么是差分？ 什么样的函数或物理量可以进行差分？
连续，可导，有界！
点电荷的电势：
1 4 0 r
r=0无界，因此差分时要特别注意！适时截断。
截断误差：
误差的来源有两种，截断误差和舍入误差。 舍入误差是计算机有限字长造成的； 而截断误差是差分格式（数值格式）造成的。
导数的差分精度举例：