2019年北京大学自主招生试题解析

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2019年北京大学自主招生测试

1．若a ,b ∈R ，求满足不等式x 2-2 ax +a 2 +x 2-2 bx +b 2 ≤a 2+b 2 的x 取值范围.

解析:∵ P =x 2-2 ax +a 2 +x 2-2 bx +b 2

=x -2 2 a 2+0-2 2 a 2 +x -2 2 b 2+0-2 2

b

2

∴代数式的几何意义为:平面内x 轴上一点到两个动点A 2 2 a ,2 2 a

,B 2 2 b ,2 2

b

的距离之和,设B 关于x 轴的对称点为B ,则P ≥a 2+b 2 ,∵P ≤a 2+b 2

,∴此时x 为直线B 'A 与x 轴交点的横坐标,则

l B A :y =b +a b -a x -2 2 b

+2 2 b ,令y =0,解得:x =2 ab a +b ,∴x 的范围为x =2 ab a +b

2．复数z 1,z 2满足z 1-3i =2,z 2-8 =1，

则由复数z 1-z 2围成的面积是()A.4π

B.8π

C.10π

D.以上全错

解析:设z 1=x 1+y 1i ,z 2=x 2+y 2i ,

由题意可得:x 12

+y 1-3 2=4,x 2-8 2+y 22=1

令:x 1=2αcos y 1=2αsin +3

,x 2=βcos +8y 2=βsin ,x =x 1-x 2y =y 1-y 2 ,则x +8 2+y -3 2

=5-4α-β

cos ∴复数z 1-z 2围城的面积为一个圆环的面积 S =9-1 π=8π答案:B

3．从 1,2,3,4,5,6,7,8,9取出4个不同的数，分别记为a ,b ,c ,d ，求a +b 和 c +d 奇偶性相同的概率.解析:P =A 44+2A 24A 25+A 45+4C 15C 14C 14C 1

3

A 4

9 =1121 4．正方形 ABCD ，K 为△BCD 内一点，满足∠KDB =∠KBC =10°，则∠KAD =

A.45°

B.60°

C.70°

D.以上错误

解析:设正方形边长为1，在△BKD 中，

由正弦定理可知:DK

35°sin =2 135°

sin ,∴DK =2135°

sin 在△ADK 中,由余弦定理可得:AK 2=1+4235°sin -435°sin 55°cos =1,∴△DAK 为等腰三角形,∴∠KAD =70°.答案:C

5．设x ,y ∈Z ，若x 2+x +1 2+y 2+y +1 2为完全平方数，

则数对x ,y 有()组A.0

B.1

C.无穷多

D. 以上全错

解析:令A =x 2+x +1,B =y 2+y +1

当x 为奇数时,A 为奇数,当x 为偶数时,A 还是奇数,同理可得,B 也为奇数,∴两个奇数的平方和一定不会是完全平方数.

6．方程x sin =x

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的根的个数为(

)

A.3个

B.7个

C.1个

D.以上全错

解析:数形结合可知答案为B

7．设P 为椭圆x 225 +y 216

=1上一点，F 1,F 2为椭圆的左、右焦点， I

为△PF 1F 2的内心，若内切圆半径为1，求IP 的长度.

A

B C

D

K

博观而约取 厚积而薄发

解析:设内切圆半径为r ,∠F 1PF 2=α,∵r =2S △PF 1F 2

2a +2c ,∴S PF 1F 2

=8,又∵S PF 1F 2=b 2α2

tan ,∴α2 tan =12 ,∴α2 sin =5 5

,∴IP =r α2 sin =5 8．已知a n 数列满足:a k +1+a k =4k +3k =1,2,⋯ ,求a 2+a 2020.解析:∵a k +1+a k =4k +3∴a n +2-a n =4

当n 为偶数时,则a n =a 2+4n

2 -1 =2n +a 2-4

当n 为奇数时,则a n =a 1+4n +12

-1 =2n +a 1-2∴a 2+a 2020=4036+2a 2,∵a 2不确定,∴a 2+a 2020也不确定.