黑龙江省实验中学高二上期中考试理科数学试题

黑龙江省实验中学2019-2019学年度上学期高二年级期中考试

高二数学试卷(理科)

第Ⅰ卷(选择题共60分)

一、选择题

1.抛物线22x y =的准线方程是 A.21-=x B.81-=x C.81-=y D.2

1-=y 2.若实数k 满足，＜＜90k 则曲线192522=--k y x 与曲线19

252

2=--y k x 的 A.焦距相等 B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等 D.离心率相等

3.如图所示,三棱锥ABC O -中,，，，c OC b OB a OA ===且，，NC BN MA OM ==3则=MN A.c b a 313141

++ B.c b a 313141++- C.c b a 212143++- D.c b a 2

12143++ 4.已知直线0=+-m y x 与圆1:22=+y x O 相交于A 、B 两点,且△OAB 为正三角形,则实数m 的值为 A.23 B.26 C.2323-或 D.2

626-或 5.设21F F 、分别是双曲线15

4:2

2=-y x C 的左右焦点,点P 在双曲线C 的右支上,且

，021=•PF PF = A.4 B.6 C.142 D.74

6.正方体 1111D C B A ABCD -的棱长为，a 点M 在1AC 上且，12

1MC AM =N 为B B 1的中点,则

为 A.a 621 B.a 66 C.a 615 D.a 3

15

7.如图,在所有棱长均为a 的直三棱柱111C B A ABC -中,D 、E 分别为111C A BB 、的中点,则异面直线AD 、CE 所成角的余弦值为 A.21 B.23 C.51 D.5

4 8.在x 轴、y 轴上截距相等且与圆()()123222

2=-++y x 相切的直线l 共有 A.2条 B.3条 C.4条 D.6条

9.已知双曲线()001:22

22＞，＞b a b

y a x C =-的左、右焦点分别是21F F 、,以2F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,若21MF F △为等腰三角形,则C 的离心率是 A.34 B.3

5 C.3 D.5 10.已知双曲线()00122

22＞，＞b a b

y a x =-的两个顶点分别为A 、B,点P 为双曲线上除A 、B 外任意一点,且点P 与点A 、B 连线的斜率分别为21k k 、,若，321=k k 则双曲线的渐进线方程为

A.x y ±=

B.x y 2±=

C.x y 3±=

D.x y 2±=

11.如图,过抛物线()022＞p px y =的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B,交其准线l 于点C,若点F 是AC 的中点,且|AF|=4,则线段AB 的长为

A.5

B.6

C.316

D.3

20 12.已知椭圆()0122

22＞＞b a b

y a x =+的左顶点和上顶点分别为A 、B,左、右焦点分别是21F F 、,在直线AB 上有且只有一个点P 满足，21PF PF ⊥则椭圆的离心率为 A.23 B.213- C.35 D.2

15- 第Ⅱ卷(非选择题共90分)

二、填空题(20分)

13.若椭圆06322=-+k y kx 的一个焦点是(0,2),则k 的值为________.

14.已知椭圆14

162

2=+y x 的左、右两焦点21F F 、,A 为椭圆上一点,且 ()()

，，212121OF OA OC OF OA OB +=+==+________. 15.已知双曲线两渐近线为02=±y x ,焦点到渐近线的距离为2,则此双曲线的标准方程为___________________.

16.已知抛物线，x y C 4:2=直线l 过抛物线焦点F,l 与C 有两个交点A 、B,线段AB 的中点M 的纵坐标为1,则直线l 的方程为___________.

三、解(本大题共6个小题,共计70分

17.(本题满分10分)

在平面直角坐标系xOy 中,已知圆，03710:22=+--+y mx y x C 圆C 上存在关于 032=--y x 对称的两点。

(1)求圆的标准方程；

(2)若直线l 过点A(2,0),且与圆C 相切,求直线l 的方程。

18.(本题满分12分)

如图,在三棱柱111C B A ABC -中,C C AA 11是边长为4的正方形,面ABC ⊥面C C AA 11，AB=3，BC=5.

(1)求证:1AA ⊥平面ABC ；

(2)求底面三角形ABC 的重心G 到面11BC A 的距离.

19.(本题满分12分)

如图所示,四棱锥ABCD S -中,SA ⊥底面ABCD,SA=2,∠ABC=90°,AB=，3BC=1，AD=，32∠ACD=60°,E 为CD 的中点.

(1)求证:BC ∥平面SAE ；

(2)求直线SD 与平面SBC 所成角的正弦值.

20.(本题满分12分)

已知点A(-1,0),F(1,0),动点P 满足=•

(1)求动点P 的轨迹C 的方程；

(2)设点A 、B 为轨迹C 上异于原点O 的两点,且()，＞04a a k k OB OA -

=•若a 为常数,求证:直线AB 过定点M.

21.(本题满分12分)

四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 为菱形,∠DAB=，π3

△ADP 为等边三角形.

(1)求证:AD ⊥PB ；

(2)若AB=2,BP=，6求二面角A PC D --的余弦值.

22.(本题满分12分) 已知椭圆()01:22

22＞＞b a b

y a x E =+与y 轴的正半轴相交于点M,点21F F 、为椭圆的焦点,且21F MF △是边长为2的等边三角形,若直线:32:+=kx y l 与椭圆E 交于不同的两点A 、B.

(1)直线MA 、MB 的斜率之积是否为定值?若是,请求出该定值；若不是,请说明理由。

(2)求△ABM 的面积的最大值。