黑龙江省实验中学高二上期中考试理科数学试题
黑龙江省2020版高二上学期期中数学试卷(理科)(II)卷
黑龙江省2020版高二上学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二上·忻州期中) 直线x+ y﹣1=0的倾斜角为（）A . 30°B . 60°C . 120°D . 150°2. （2分）已知在平面直角坐标系中，圆的方程为，直线过点且与直线垂直.若直线与圆交于两点，则的面积为（）A . 1B .C . 2D .3. （2分）已知直线l过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数,则直线l的方程为（）A .B . 或C . 或D . 或4. （2分）圆x2+y2-2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，则a-b的取值范围是（）A .B .C .D .5. （2分）如图，三棱柱A1B1C1—ABC中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1 ，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）．A . AE、B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1B . AC⊥平面A1B1BAC . CC1与B1E是异面直线D . A1C1∥平面AB1E6. （2分） (2015高一上·深圳期末) 已知圆C的标准方程为x2+y2=1，直线l的方程为y=k（x﹣2），若直线l和圆C有公共点，则实数k的取值范围是（）A .B .C .D . [﹣1，1]7. （2分）过点P（﹣2，4）作圆O：（x﹣2）2+（y﹣1）2=25的切线l，直线m：ax﹣3y=0与直线l平行，则直线l与m的距离为（）A . 4B . 2C .D .8. （2分）在平面直角坐标系xOy中，直线与圆相交于A,B两点，则弦AB的长等于（）A .B .C .D . 19. （2分）已知直线l与函数f（x）=ln（ x）﹣ln（1﹣x）的图象交于P，Q两点，若点R（，m）是线段PQ的中点，则实数m的值为（）A . 2B . 1C .D .10. （2分） (2019高二上·张家口期中) 函数在点处的切线斜率为，则的最小值是（）A . 10B . 9C . 8D .11. （2分）(2017·晋中模拟) 已知实数x，y满足，若使得目标函数z=ax+y取最大值的最优解有无数个，则实数a的值是（）A . 2B . ﹣2C . 1D . ﹣112. （2分） (2015高二上·朝阳期末) 在圆x2+y2=16上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程是（）A .B . x2+y2=4C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，若此方程表示圆，则m的范围是________ ．14. （1分）(2018·广东模拟) 已知实数满足，则的最大值是________．15. （1分） (2020高一下·高安期中) 已知，满足则的取值范围是________.16. （1分） (2018高二上·平遥月考) 已知一圆经过两点，且它的圆心在直线上，则此圆的方程为________。
黑龙江省大庆市实验中学实验一部2024-2025学年高二上学期10月阶段性质量检测数学试题
黑龙江省大庆市实验中学实验一部2024-2025学年高二上学期10月阶段性质量检测数学试题一、单选题1．若直线经过()1,0A、(B 两点，则直线AB 的倾斜角为（ ） A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒2．已知向量()a =r，向量12b ⎛= ⎝⎭r ，则向量a r 在向量b r 上的投影向量为（ ） A．)B．()C．(D．14⎛ ⎝⎭3．已知方程224250x y x y c ++--=表示圆的方程，则c 的取值范围为（ ） A ．1c >- B ．1c ≥- C ．1c >D ．1c ≤4．已知(2,1,4),(1,1,2),(7,5,)a b c m =-=--=v v v，若,,a b c r r r 共面，则实数m 的值为（ ）A ．607B ．14C ．12D ．6275．如图，在四面体ABCD 中，DA ⊥平面ABC ，CA CB ⊥，CA CB AD ==，E 为AB 的中点，F 为DB 上靠近B 的三等分点，则直线DE 与CF 所成角的余弦值为（ ）ABC ．15D ．166．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===，113πBAD DAA BAA ∠=∠=∠=，M 为11AC 与11B C 的交点，若AB a u u u r r=，AD b =u u u r r ，1AA c =u u u r r ，下列说法正确的是（ ）A ．1122CM a b c =-++u u u u r r r rB ．13π,CM AC =u u u u r u u u u rC ．1BD =u u u u rD ．12AC CM ⋅=-u u u r u u u u r7．在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，EF 是正方体1111ABCD A B C D -外接球的直径，点P 是正方体1111ABCD A B C D -表面上的一点，则EP PF ⋅u u u r u u u r的取值范围是（ ）A ．9,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．5,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．90,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．已知正方体1111ABCD A B C D -边长为2，动点M 满足1AM xAB yAD z AA =++u u u u r u u u r u u u r u u u r（0x ≥，0y ≥，0z ≥），则下列说法正确的个数是（ ）①当1x y ==，12z =时，则直线AM ⊥平面1A BD②当14x =，0z =，[]0,1y ∈时，1B M MD +③当1x y +=，[]0,1z ∈时，AM 的取值范围为④当1x y z ++=，且AM =时，则点M A ．4B ．3C ．2D ．1二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．直线l 的方程为()22250mx m y +-+=，则不存在实数m ，使直线l 经过坐标原点()0,0B ．方程()32y k x -=+表示过点 −2,3 的所有直线C ．当点()3,2P 到直线120mx y m -+-=的距离最大时，m 的值为1-D ．已知直线l 过定点()1,0P 且与以()2,3A -，()3,2B --为端点的线段有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是(]1,3,2∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭10．已知正方形ABCD 在平面直角坐标系xOy 中，且AC ：210x y -+=，则直线AB 的方程可能为（）A ．310x y ++=B ．310x y -+=C ．310x y ++=D ．310x y -+=11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，若一点P 在底面ABCD 内（包括边界）移动，且满足11B P D E ⊥，则（ ）A ．1D E 与平面11CC D D 的夹角的正弦值为13B ．1A 点到1D E 的距离为3C ．线段1B P 的长度的最大值为D ．PA u u u r 与PE u u u r 的数量积的范围是4,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦三、填空题12．直线l 过点()2,1P -，且()1,2A -和()5,8B 两点到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为. 13．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，DAB ∠为直角，AB CD ∥，22AD CD AB ===，E ，F 分别为PC ，CD 的中点，()0PA m m =>，且二面角E BD C--的平面角大于60°，则m 的取值范围是.14．已知实数0m ≥，0n ≥，且满足42m n +=成立，则2m 的最小值与最大值的和是.四、解答题15．若三条直线1:320l x y -+=，2:230l x y ++=，3:0l mx y +=.(1)当3l 与1l 垂直时，1l 与3l 的交于点P ，2l 与3l 的交于点Q ，求PQ 和点P 到2l 的距离. (2)若三条直线不能构成三角形，求m 的值. 16．直线l 的方程为()1310a x y a +---=，R a ∈. (1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(2)若直线l 分别交x 轴、y 轴的正半轴于点,A B ，点O 是坐标原点. （ⅰ）若AOB V 的面积为16，求a 的值； （ⅱ）当AOB V 的面积最小时，求直线l 的方程. 17．ABC V 的三个顶点分别是()4,0A ，()0,2B ，()3,1C .(1)求边AB 上的中线所在直线1l 的方程，求边AB 上的高所在直线2l 的方程； (2)（ⅰ）求ABC V 的外接圆G （G 为圆心）的标准方程；（ⅱ）若点P 的坐标是()6,0，点Q 是圆G 上的一个动点，点M 满足13PM PQ =u u u u r u u u r，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，AB BC ⊥，E 为PD 的中点.(1)若EA EC =，证明：CD ⊥平面ACP ；(2)已知4=AD ，2BC =，1AB =，斜线PB 和平面ABCD 所成的角的正切值为2，求平面ACE 和平面PCD 的夹角的余弦值.19．如图，已知四边形ABCD为菱形，4AB=，π3DAB∠=，将菱形ABCD绕AD所在直线旋转到AEFD的位置，使得平面AEFD⊥平面ABCD，连接BE，CF，得到几何体ABE DCF-，M、N分别为AF、BD上的动点，且AMAFλ=，2BNBDλ=，其中01λ<≤.(1)求BE的长；(2)是否存在λ，使得直线//MN平面BCFE，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.(3)求MN的最小值，并求MN取最小值时，点M到平面BCFE的距离与点N到平面BCFE 的距离的比值.。
黑龙江省实验中学2020_2021学年高二数学上学期期中试题理
黑龙江省实验中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题 理考试时间：120分钟 总分：150分I 卷（选择题共60分）一、选择题（每题5分，共12小题） 1．直线10x -+=的倾斜角为（ ） A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°2. 若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是（ ）A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6, +∞）D ．[4, +∞）3．过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（ ） A ．()()22314x y -++= B ．()()22314x y ++-= C ．()()22114x y -+-=D ．()()22114x y +++=4．焦点在x 轴上的椭圆222125x y a += 焦距为8，两个焦点为12,F F ，弦AB 过点1F ，则2ABF 的周长为（ ） A ．20B ．28C．D．5．设点()2,3A -，()3,2B --，直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．34k ≥或4k ≤- B ．344k -≤≤C ．344k ≤≤ D ．以上都不对6．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为（ ） A．12-B．2C．12D17．若圆C ：x 2＋y 2－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2－6m ＋4＝0过坐标原点，则实数m 的值为( ) A ．2或1 B ．－2或－1 C ．2D ．18．设e 是椭圆2214x y k +=的离心率，且1,12e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则实数k 的取值范围是（ ）A ．()0,3B ．1633,⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,2D ．()160,3,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，25AB =，4=AD ，异面直线BD 与1AC 所成角的余弦值为115，则该长方体外接球的表面积为（ ）A ．50πB ．100πC ．400πD ．500π310．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，离心率22，过点F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（ ）A ．2B ．2-C ．12-D ．1211．已知半圆()()()221242x y y -+-=≥与直线(1)5y k x =-+有两个不同交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．55(22-B ．33[,]22-C ．53[]2D ．3553[,(,]22- 12．已知椭圆2222:1x y C a b +=，0a b >>，12,F F 分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C 上存在点()()000,0P x y x ≥使得1260PF F ∠=，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A ．22⎫⎪⎪⎣⎭B ．2⎛ ⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦II 卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，共4小题）13．已知直线1:10l ax y a -++=，直线()2:3430l x a y +-+=，若12//l l ，则实数a 的值为_______. 14．圆C 1：x 2+y 2+2x+2y=0和圆C 2：x 2+y 2﹣6x+2y+6=0的公切线有____ 条.15．点M 是椭圆221916x y +=上任意点，则点M 到直线70x y +-=的距离的最大值为____________.16．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，223PA AC ==，1AB =，60ABC ∠=︒，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为____________．三、解答题17．已知圆C ：()()221+11x y --=（1）求过点A ()24，且与圆C 相切的直线方程. （2）若(),P x y 为圆C 上的任意一点，求()()2223x y +++的取值范围.18．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3，短轴的一个端点到右焦点的距离为2．()1求椭圆C 的方程；()2设直线l ：12y x m =+交椭圆C 于A ，B 两点，且5AB =，求m 的值．19．已知多面体EF ABCD -中，正方形ADFE ⊥直角梯形ABCD ，//,45,5,1AB CD BCD FC AD ∠=︒==，P 为FD 的中点．（1）证明：//AP 平面BCF ；（2）求直线CD 与平面BCF 所成角的正弦值．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点(2,0)A ,过左焦点且垂直于x 轴的直线截椭圆C 得到的弦长为2,直线(1)y k x =-与椭圆C 交于不同的两点M ,N . (1)求椭圆C 的方程;(2)当AMN ∆的面积为10时,求实数k 的值. 21．如图，四棱锥P ABCD -，//AB CD ，90BCD ∠=︒，224AB BC CD ===，PAB ∆为等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，Q 为PB 中点.（1）求证：AQ ⊥平面PBC ； （2）求二面角B PC D --的余弦值.22．已知F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，点()1,P m 在C 上，且PF x ⊥轴，椭圆C 的离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线:2l y kx =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，且•2OA OB >（O 为坐标原点），求k 的取值范围.参考答案1．D直线x 3-+1＝0化为斜截式为y 3=33∴直线的倾斜角α满足tanα3=结合α∈[0°，180°），可得α＝30° 故选D ． 2．D 【解析】解：x 、y 满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y 经过C 点时，函数取得最小值， 由解得C （2，1），目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是[4，+∞）． 故选D ．3．C本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线20x y +-=上，排除B 、D ， 点()1,1B -在圆上，排除A 故选C 4．D解：因为焦点在x 轴上的椭圆222125x y a += 焦距为8，所以22254a -=，解得41a =如图，根据椭圆的定义可得122AF AF a +=，122BF BF a +=，所以22211224441ABF CAB AF BF AF BF AF BF a =++=+++==故选：D5．A根据题意，设直线l 的方程为1(x 1)y k -=-，即10kx y k -+-=， 直线l 过(1,1)P 且与线段AB 相交，则A 、B 在l 的两侧或在直线上， 则有(231)(321)0k k k k ++--++-，即(4)(43)0k k +-， 解得：34k或4k -， 故选：A ． 6．D解：在12F PF ∆中，122190,60F PF PF F ∠=∠=︒设2||PF m =，则12122,3c F F m PF m ===， 又由椭圆定义可知122(31)a PF PF m =+= 则离心率2312(31)c c e a a m====+， 故选D. 7．C若圆C ：x 2＋y 2－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2－6m ＋4＝0过坐标原点，则有22640m m +－＝且()()()222414142640m m m m +-+>－－－. 解得2m =.故选C. 8．D当焦点在x 轴时41,12k e k -⎛⎫=⎪⎝⎭， 4116,1,,43k k k -⎛⎫⎛⎫∴∈∴∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当焦点在y 轴时()41,10,32k e k -⎛⎫=∴∈ ⎪⎝⎭，所以实数k 的取值范围是()160,3,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：D. 9．B连AC 与BD 交于O 点，则O 为AC 中点， 取1CC 中点E ，连,BE OE ，则1//AC OE ，所以BD 与OE 所成的角即为异面直线BD 与1AC 所成的角， 设CE x =，则22216BE EC BC x =+=+，25AB =，4=AD ，2211120163222OC OB BD AB AD ===+=+=，2229OE OC CE x =+=+， 在△OBE 中，由余弦定理222cos 2OB OE BE EOB OB OE +-∠=⨯2222991606969x x x x++-+==>++，所以21cos 1569EOB x ∠==+， 解得4x =，则128CC x ==，所以长方体的体对角线长为20166410++=，则长方体的外接球的半径为5，该长方体外接球的表面积为24π5100π⨯=.故选：B. 10．C 由题得2222222242,4()2,2c c a a b a a b a =∴=∴-=∴=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，由题得1212+=2+=2x x y y ，，所以2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩， 两式相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=， 所以2212122()2a ()0b x x y y -+-=，所以221212()240()y y b bx x -+=-，所以1120,2k k +=∴=-. 故选C 11．D直线(1)5y k x =-+过定点M (1,5)， 如图：MP 、MQ 与圆切于P 、Q 两点，(1,2)A -，(3,2)B ，523112MA k -==-（-），523132MB k -==--，设过M 的圆的切线方程为5(1)y k x -=-，即50kx y k -+-=， 圆心(1,2)到直线50kx y k -+-=221k =+，解得5k =，所以5MP k =5MQ k =， 由图可知，352k -≤<532k <≤， 故选：D12．D设1PF m = ，22PF a m =-，若椭圆C 上存在点()()000,0P x y x ≥使得1260PF F ∠=，m a ∴≥ ，()2222422cos60a m m c m c ∴-=+-⋅⋅， 22224442a am m m c mc ∴-+=+-即224442a c m a c-=- ，222244424442a c a c a ca c aa c⎧-<+⎪⎪-∴⎨-⎪≥⎪-⎩ 12c a ⇒≤ ， 即12e ≤， 01e <<102e ∴<≤. 故选D 13．1或3已知直线1:10l ax y a -++=，直线()2:3430l x a y +-+=，若12//l l ，则()()43331a a a a ⎧-=-⎪⎨≠+⎪⎩，解得1a =或3a =. 故答案为：1或3. 14. 【答案】4根据题意，圆C 1：x 2+y 2+2x +2y =0的标准方程为（x +1）2+（y +1）2=2，其圆心坐标为C 1（–1，–1），半径RC 2：x 2+y 2–6x +2y +6=0的标准方程为（x –3）2+（y +1）2=4，其圆心坐标为C 2（3，–1），半径r =2，圆心距离C 1C 2=3–（–1），即两圆相外离，则公切线有4条，故答案为4． 15．设与直线70x y +-=平行的直线x y m +=与椭圆221916x y+=相切，联立221916x y x y m ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得，22251891440x mx m -+-=,则()22(18)42591440k k ∆=-⨯⨯-=， 解得5k =或5k =-，由椭圆和70x y +-=的位置关系，取离直线70x y +-=远的切线5x y +=，此时切点M 是椭圆221916x y +=上到直线70x y +-=的距离最大的点，等于两平行直线的距离226211d ==+，故答案为：62 16．16π解：如图，在△ABC 中，由正弦定理得sin sin AC AB B C= ⇒sinC=12，∵C＜B ，∴C=30°，∴A=90°，又∵PA⊥平面ABC ，AP ，AC ，AB 两两垂直，故可将此三棱锥放入一个长、宽、高分别1，3，23为的长方体内，三棱锥的四个顶点亦为长方体的顶点，其外接球为长方体外接球．易得外接球半径为2，故外接球表面积为4πR 2=16π． 故答案为16π．17．（1）2x =或4340x y -+=（2）[16,36]（1）圆C ：()()221+11x y --=的圆心为(1,1)C ，半径1r =，当经过点A ()24，的直线l 与x 轴垂直时，方程为x =2，恰好到圆心C 到直线的距离等于半径，此时直线l 与圆相切，符合题意；当经过点A ()24，的直线l 与x 轴不垂直时, 设直线l 为4(2)y k x -=-,即240kx y k --+=，由圆C 到直线的距离d =r ，得211k =+，解得43k =，此时直线的方程为44(2)3y x -=-，化简得4340x y -+=，综上圆的切线方程为2x =或4340x y -+=，（2）()()2223x y +++可以看作圆上动点(,)x y 与定点(2,3)--距离的平方，设圆心与点(2,3)--的距离为d ，则22(12)(13)5d =+++=，所以圆上动点与定点(2,3)--距离的最大值为6d r +=，最小值为4d r -=，故()()2223x y +++的最大值为36，最小值为16，即()()2223x y +++的取值范围[16,36].18．(1)22 14x y +=；(2) 1m =±.解：()1由题意可得2222232a b c ca ⎧=+=⎪⎨=⎪⎩，解得：2a =，1b =，∴椭圆C 的方程为2214x y +=；()2设()11,A x y ，()22,.B x y联立221244y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得222220x mx m ++-=，122x x m ∴+=-，21222x x m =-， 2221251488AB k x x m m ∴=+-=⨯-+2525m =⋅-=，解得1m =±．19．（1）证明见解析；（2）6.(1)如图，因为正方形ADFE ⊥直角梯形ABCD , FD AD ⊥,正方形ADFE 直角梯ABCD= AD ，所以FD ⊥平面ABCD ，所以FD CD ⊥,故222CD FC FD -=，又45BCD ∠=︒，解三角形可得1AB =,取FC 的中点Q ，连接PQ ，BQ ，则//PQ CD ,12PQ CD =,又因为//DC AB ,12AB CD =,所以//PQ AB ,PQ AB =,所以四边形ABQP 为平行四边形，所以//AP BQ ，因为BQ ⊂平面BCF ，AP ⊄平面BCF ,所以//AP 平面BCF（2）由1,5ADDF FC ===，则22512DC FC DF =-=-=如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DF 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(0,01)D C B F ,所以(0,2,0)CD →=，(1,1,0)BC →=-,(0,2,1)CF →=-,设平面BCF 的法向量n (x,y,z)→=，则00BC n CF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即020x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，令1y =，则1,2x z ==，所以(1,1,2)n →=， 故||6sin 626||||CD n CD n θ→→→→⋅===即直线CD 与平面BCF 620．(1)22:142x y C +=(2)1k =±.解:(1)∵2a =,222b a =,∴2b =椭圆22:142x y C +=(2)设()()1122,,,M x y N x y ,则由22(1)142y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消y,得()2222124240k x k x k +-+-=∵直线(1)y k x =-恒过椭圆内一点(1,0),∴>0∆恒成立.由根与系数的关系,得22121222424,1212k k x x x x k k-+==++ 121211122AMN S y y kx kx ∆=⨯⨯-=⨯-2||123k k ===+ 即427250k k --=,解得1k =±.21．（1）见解析；（2）14- （1）证明：因为//AB CD ，90BCD ∠=︒，所以AB BC ⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB ⋂平面ABCD AB =，所以BC ⊥平面PAB .又AQ ⊂平面PAB ，所以BC AQ ⊥，因为Q 为PB 中点，且PAB ∆为等边三角形，所以PB AQ ⊥.又PB BC B ⋂=，所以AQ ⊥平面PBC .（2）取AB 中点为O ，连接PO ，因为PAB ∆为等边三角形，所以PO AB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PO OD ⊥，由224AB BC CD ===，90ABC ∠=︒，可知//OD BC ，所以⊥OD AB .以AB 中点O 为坐标原点，分别以OA ，OD ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.所以()2,0,0A ，()0,2,0D ，()2,2,0C -，(0,0,23P ，()2,0,0B -， 所以(0,2,23DP =-，()2,0,0CD =，由（1）知，AQ 为平面PBC 的法向量，因为Q 为PB 的中点， 所以()1,0,3Q -， 所以(3AQ =-，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，由00n CD n DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得202230x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 取1z =，则()0,3,1n =. 所以23cos ,3331AQ n AQ n AQ n ⋅==+⋅+ 14=. 因为二面角B PC D --为钝角，所以，二面角B PC D --的余弦值为14-. 22．（1）22143x y +=；（2）2112,2222⎛⎫⎛--⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭（1）因为(c,0)F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，点()1,P m 在C 上，且PF x ⊥轴，所以1c =；又椭圆C 的离心率为12，所以2a =，因此222413b a c =-=-=， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y 由222143y kxx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得 22(34)1640k x kx +++=， 所以1221634kx x k +=-+，122434x x k =+， 故2212121212228(2)(2)2()4434k y y kx kx k x x k x x k -=++=+++=++， 由2OA OB •>，得12122x x y y +>，即224284234k k -+>+， 整理得212k <，解得k <<；又因2221616(34)0k k ∆=-+>，整理得214k >， 解得12k >或12k <-；综上，k的取值范围是11,2222⎛⎫⎛--⋃⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.。
黑龙江省实验中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题 理(扫描版)
黑龙江省高二数学上学期期中试题理（扫描版）一、 选择题BCBDCC CACABD 二、填空题13.10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭[]0,8 三、解答题17. 解：（1）设(),M x y ，因为2AM BM k k ⋅=-，所以()2111y yx x x ⋅=-≠±+-化简 得：()22221x y x +=≠± …………….4分（2）设()11,C x y ，()22,D x y 当直线l x ⊥轴时，直线l 的方程为12x =，则1,22C ⎛ ⎝⎭，1,2D ⎛ ⎝⎭，其中点不是N ，不合题意 设直线l 的方程为112y k x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭将()11,C x y ，()22,D x y 代入()22221x y x +=≠±得221122x y += （1） 222222x y += （2）（1）-（2） 整理得：()12121212221121x x y y k x x y y +-⨯==-=-=--+⨯直线l 的方程为112y x ⎛⎫-=--⎪⎝⎭，经检验符合0∆> 即所求直线l 的方程为2230x y +-= …………10分 18.解：（Ⅰ）连结1A C 交1AC 于点O ，连结OD1A C 交1AC 于点O ∴O 是1A C 的中点又D 是BC 的中点 ∴OD 是1A BC ∆的一条中位线∴ 1A B ∥OD 又 1OD ADC ⊂平面∴ 1A B ∥平面1ADC ………5分（Ⅱ）以点D 为坐标原点，DB 所在直线为X 轴，AD 所在直线为Y 轴，垂直于面ABC 的直线为Z 轴，建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），A （0，0），C （12-，0，0）11C 012-（，，） 在平面ADC 1中，DA=（0，0），1DC = 1012（，，）-设m=(,,)ｘｙｚ为平面ADC 1的一个法向量，则有1m?DA=0m?DC =0⎧⎪⎨⎪⎩，即0102y x z ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩不妨令2x =，则1z =，0y =，所以()2,0,1m =又1A 012⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，则()10,0,1A A →=- 设1A A 与平面1ADC 所成角为θ，则1sin cos ,m A A θ==11·m A A mA A⋅=5∴ 1A A 与平面1ADC 所成角的正弦值为5. ………………12分19. 解：（1）22194x y += ………4分（2）由题可知，直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为()6y k x =-，()0,0P x ， 则()()()()1212021010200660PM PN y y k k k x x x k x x x x x x x +=+=⇒--+--=--即()()12012026120x x x x x x -+++=①联立()()222222149108936360946x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+-+⨯-=⎨⎪=-⎩，且0∆>，则21222122108499363649k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⨯-⎪=⎪+⎩将其代入①得()()2220003546964902k kx x k x --+++=⇒=故0x 的值为32…………….12分 20. 解：（1）取AD 中点O ,连接,,OP OB BD . 因为PA PD =,所以PO AD ⊥.因为菱形ABCD 中,60BCD ∠=,所以AB BD =. 所以BO AD ⊥.因为BO PO O ⋂=,且,BO PO ⊂平面POB ,所以AD ⊥平面POB . 所以AD PB ⊥. ………………5分 （2）由（1）可知，BO AD ⊥，PO AD ⊥， 因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD底面ABCD AD =，所以PO ⊥底面ABCD ．以O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系O xyz -．则0()10D -，，，0()13E -，，，()001P ，，，0()23C -，，，()100A ，，， 设() 01PQ PC λλ=<<，(2)31PC -=-，，，(10)1PA =-，，．设(),,Q x y z ，则( ,),1PQ x y z =-，又因为 23()PQ PC λλλλ=--=，，，所以2 31x y z λλλ=-⎧⎪=⎨⎪=-+⎩，即1()23Q λλλ--+，，，( 0)30DE =，，， 1231()DQ λλλ--=，，， 131PE =--（，，）， 23PQ λλλ=--（，，）， 设平面DEQ 的法向量()1,,n x y z =，则1130 (12)(1)0n DE y n DQ x z λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩， 所以平面DEQ 的法向量为1 1021()n λλ--=，，， 设平面PEQ 的法向量为2( ),,n x y z =，则2220 0n PQ x y z nPE x z λλ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，取1y =，得2 n =（， 因为平面DEQ ⊥平面PEQ ，所以12 0110210n n λλ=⨯-+⨯-=⋅（）（），解得12λ=， 故Q 为PC 中点时，平面DEQ ⊥平面PEQ ． …………………12分 21. 解：(1)设AB 直线方程为1x ty =+，与24y x =联立得 2440y ty --=，0∆> 恒成立设()()1122,,,A x y B x y ， 124y y =-，1212111()2222AOB S y y y y ∆=-=+≥⨯= 所以面积最小值为2.当且仅当122y y =-= 时取得。
黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2022-2023学年高二上学期期中考试数学答案
参考答案：1．C 2．D 3．D 4．A 5．B 6．D 7．A 8．C9．AD 10．CD 11．ABD 12．BD13．1414．[2,6] 15． 16．417．（1）1m =-，（2）10x y -+=或2y x =【分析】（1）由题意可知0m ≠，所以可得2814m m m +-=≠-，从而可求出m 的值； （2）将点()1,P m 的坐标代入直线2l 的方程中，求出m 的值，从而可得点P 的坐标，然后设出直线l 方程，利用两坐标轴上的截距之和为0，列方程可求出直线方程【详解】解：（1）因为12l l //，所以0m ≠，且2814m m m +-=≠-， 由21m m m +=，得220m m --=，解得1m =-或2m =（舍去） 所以1m =-，（2）因为点()1,P m 在直线2l 上，所以40m m +-=，得2m =，所以点P 的坐标为(1,2)，所以设直线l 的方程为2(1)y k x -=-（0k ≠），令0x =，则2y k =-，令0y =，则21x k=-， 因为直线l 在两坐标轴上的截距之和为0， 所以2120k k-+-=，解得1k =或2k =， 所以直线l 的方程为10x y -+=或2y x =18．(1)（x －20）2＋（y －2＝100(2)有触礁的风险【分析】（1）过A 作y 轴垂线，垂足为B ，求出圆心（20，，进而求出圆的标准方程.（2）求出航行的直线方程：050)y x -=-，根据直线与圆的位置关系即可求解.(1)如图，过A 作y 轴垂线，垂足为B ，30AOB ∠=︒且OA ＝40∴AB＝20，BO ==20，设圆方程：（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2∴（x －20）2＋（y －2＝100(2)当船向东行驶50海里进B （50，0）则北偏西30°，直线的倾斜角120α=︒tan120k ∴=︒=则直线方程：050)y x -=-0y +-=圆心到直线距离d ===d r ==，有触礁的风险．19．（∴）见解析；（∴ 【详解】试题分析：（∴）取PB 的中点G ，连接EG 、FG ，由已知结合三角形中位线定理可得//DE FG 且DE FG =，得四边形DEGF 为平行四边形，从而可得//DF EG ，再由线面平行的判定可得//DF 平面PBE ；（∴）利用等积法可得：D PBE P BDE V V =﹣﹣，代入棱锥体积公式可得点F 到平面PBE 的距离．试题解析：（∴）证明：取点G 是PB 的中点，连接EG ，FG ，则//FG BC ，且12FG BC =， ∴//DE BC 且12DE BC =， ∴//DE FG 且DE FG =，∴四边形DEGF 为平行四边形，∴//DF EG ，∴//DF 平面PBE ．（∴）解：由（∴）知//DF 平面PBE ，所以点D 到平面PBE 的距离与F 到平面PBE 的距离是相等的，故转化为求点D 到平面PBE 的距离，设为d ．利用等体积法：D PBE P BDE V V --=，即1133PBE BDE S d S PD ∆∆⋅=⋅，112BDE S DE AB ∆=⨯⨯=，∴PE BE ==PB =∴PBE S ∆=∴d =点睛：本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题；在证明线面平行的过程中，常见的方法有：1、构造三角形的中位线；2、构造平行四边形；3、利用面面平行；在该题中利用的是构造平行四边形.求点到面的距离主要是利用等体积法.20．(1)1x =或158390x y +-= (2)223()(1)12x y -+-=【分析】（1）由直线l 被圆C截得的弦长为求得圆心到直线l 的距离为1d =，分直线l 的斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解.（2）设点(,)P x y ，11(,)N x y ，根据线段MN 的中点为P ，求得112123x x y y =-⎧⎨=-⎩，结合N 在圆C 上，代入即可求解.（1）解：由题意，圆22:(2)(1)4C x y -++=，可得圆心(2,1)C -，半径2r =，因为直线l 被圆C截得的弦长为则圆心到直线l的距离为1d =， 当直线l 的斜率不存在时，此时直线l 的方程为1x =，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为3(1)y k x -=-，即30kx y k --+=，1=，解得158k =-，即158390x y +-=， 综上可得，所求直线的方程为1x =或158390x y +-=.（2）解：设点(,)P x y ，11(,)N x y因为点(1,3)M ，线段MN 的中点为P ，可得111232x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得112123x x y y =-⎧⎨=-⎩， 又因为N 在圆C 上，可得()()222122314x y --+-+=，即223()(1)12x y -+-=， 即点P 的轨迹方程为223()(1)12x y -+-=. 21．(1)见解析【分析】（1）由题意，可取PC 中点M ，连接,EM FM ，则易知平面EMF ∴平面PAD ,由条件易证AB ⊥平面PAD ，则AB ⊥平面EMF ，又EF ⊂平面EMF ，根据线面垂直的定义，从而问题可得证；（2）由题意，采用坐标法进行求解，可取AD 中点O 为坐标原点，过O 点作平行于AB 的直线为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，分别算出平面BEF和平面EFC 的法向量，结合图形，二面角B EF C --为锐角，从而问题可得解.【详解】（1）取PC 中点M ，连结EM ，FM ，∴ABCD 是正方形，∴AB AD ⊥， 又∴1==PA AB，PB =∴AB PA ⊥，∴AB ⊥面PAD ，∴AB PD ⊥，又∴E ，F ，M 都是中点，∴//EM BC ，//MF PD ，∴AB ⊥面EMF ，∴AB EF ⊥；（2）建立如图空间直角坐标系，由题意得11,,02B⎛⎫-⎪⎝⎭，11,,02C⎛⎫⎪⎝⎭，11,,022F⎛⎫⎪⎝⎭，11,24E⎛-⎝⎭，则1,1,02BF⎛⎫=- ⎪⎝⎭，30,,4EF⎛=⎝⎭，1,0,02CF⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面BEF的法向量为()1111,,n x y z=，则11n BFn EF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11111234x yy⎧-+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，令11y=，则12x=，1z(1n =，同理得平面CEF的法向量为(2n =，∴1212122cos,2n nn nn n⋅==.【点睛】此题主要考查立体几何中异面直线垂直的证明，二面角的三角函数值的求解，以及坐标法在解决立体几何问题中的应用等有关方面的知识和技能，属于中档题型，也是常考题型.坐标法在解决立体几何中的一般步骤，一是根据图形特点，建立空间直角坐标系；二是将几何中的量转化为向量，通过向量的运算；三是将运算得到的结果翻译为几何结论. 22．(1)22143x y+=(2)λμ+为定值83-，理由见详解【分析】（1）根据题意列式求解,,a b c；（2）由题意知可知直线AB的斜率存在，设其方程为()()()11221,,,,y k x P x y Q x y=-，则()0,M k-，由已知向量等式可得,λμ，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系即可证明λμ+为定值.【详解】（1）由题意可得22212bceaa b c⎧=⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得21abc=⎧⎪⎨⎪=⎩故椭圆C的方程22143x y+=.（2）λμ+为定值83-，理由如下：由（1）可得()1,0F，由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l ：()()()11221,,,,y k x P x y Q x y =-，则()0,M k -，联立方程()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()22224384120k x k x k +-+-=， 则()()()()22222221212228412844341214410,,4343k k k k k k x x x x k k -∆=--+-=+>+==++， ()()()()11112222,,1,,,,1,MP x y k PF x y MQ x y k QF x y =+=--=+=--，∴MP PF λ=，MQ QF μ=，则()()112211x x x x λμ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，可得112211x x x x λμ⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩， ()()()22221212122212121222241282843438412111314343k k x x x x x x k k k k x x x x x x k k λμ--+-+++=+===-----++-+++（定值）. 【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题.定值问题在变化中所表现出来的不变的量，用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.。
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校高二上学期期中考试数学试题(解析版)
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知向量(1,3,2)a =-，(2,1,1)b =-，则|2|a b +=（ ）A ．50B ．14C ．D 【答案】C【解析】根据空间向量运算的坐标表示公式、空间向量模的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为向量(1,3,2)a =-，(2,1,1)b =-，所以222(0,5,5)20(5)5a b a b +=-∴+=+-+故选：C【点睛】本题考查了空间向量数乘运算、加法运算、模的坐标表示公式，考查了数学运算能力. 2．若直线l 的方程为sin 10x y θ++=，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A ．0,B ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πC ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】D【分析】结合直线方程可得sin [1,1]k θ=-∈-，再由tan [1,1]α∈-，求解即可. 【详解】由题意，sin 10sin 1x y y x θθ++=⇔=--， 即直线的斜率sin [1,1]k θ=-∈-，不妨记倾斜角为,[0,]ααπ∈，即tan [1,1]α∈-， 即30,,44ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故选：D3．已知圆22:450C x y x +--=，则过点(1,2)P 的最短弦所在直线l 的方程是( ) A ．3270x y +-= B ．240x y +-= C ．-230x y -= D ．-230x y +=【答案】D【分析】由题可知，当直线l 与直线CP 垂直时，所截得弦长最短，再由点斜式确定直线l 的方程. 【详解】由题可知，当直线l 与直线CP 垂直时，所截得弦长最短，P (1,2)，圆C ：x 2＋y 2－4x －5＝0，标准方程为22(2)9x y -+=，∴(2,0)C ，20212CP k -==--； ∴112=-=l CP k k ； 由点斜式得直线l 方程为：12(1)2y x -=-，即230x y -+=.故选D.【点睛】本题考查求解直线方程的点斜式法，考查直线与圆的位置关系和圆的弦长变化规律，以及互相垂直的两直线斜率关系，考查用几何法解决直线与圆的综合问题的能力.4．画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴､短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆22216x y b+=的蒙日圆为2210x y +=，则该椭圆的离心率为（ ）A B ．13C ．23D 【答案】A【分析】由题可得2610b +=，然后利用离心率公式即得. 【详解】由题可得2610b +=，∴24b =，即椭圆为22164x y +=，∴c e a ==故选：A.5．已知i ，j ，k 是三个不共面的向量，22AB i j k =-+，23BC i j k =+-，35CD i j k λ=+-，且A ，B ，C ，D 四点共面，则λ的值为（ ）．A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】B【分析】根据已知条件用i ，j ，k 表示AC ，AD ，再由空间共面向量定理设AD x AB y AC =+，再列方程组，解方程组即可求解.【详解】因为22AB i j k =-+，23BC i j k =+-，35CD i j k λ=+- 所以3AC AB BC i j k =+=-- ，()326A AC D CD i j k λ+==++-，由空间共面向量定理可知，存在实数,x y 满足AD x AB y AC =+， 即()()()326232i j k x i j k i j k y λ++-=-+-+-， 所以332262x y x y x y λ+=+⎧⎪=--⎨⎪-=-⎩，解得221x y λ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以λ的值为1，故选：B.6．一入射光线经过点(2,6)M ，被直线l ：30x y -+=反射，反射光线经过点(3,4)N -，则反射光线所在直线方程为（ ） A ．2130x y -+= B ．6220x y -+= C ．3150x y -+= D ．6270x y -+=【答案】D【分析】求得点(2,6)M 关于直线l ：30x y -+=的对称点M '的坐标，可得M N '的方程，即反射光线所在直线方程.【详解】解：因为点(2,6)M 关于l ：30x y -+=的对称点为(3,5)M '， 所以反射光线M N '的方程为6270x y -+=. 故选：D.7．已知圆221:20C x y x ++=，圆222:60C x y y +-=相交于P ，Q 两点，其中1C ，2C 分别为圆1C 和圆2C 的圆心.则四边形12PC QC 的面积为（ ）A ．3B ．4C ．6 D．【答案】A【分析】求得12,C C PQ ，由此求得四边形12PC QC 的面积. 【详解】圆1C 的圆心为()1,0-，半径11r =； 圆2C 的圆心为()0,3， 所以12C C ==由2220x y x ++=、2260x y y +-=两式相减并化简得30x y +=， 即直线PQ 的方程为30x y +=，()1,0-到直线PQ ，所以2216211010PQ ⎛⎫=-=⎪⎝⎭， 所以四边形12PC QC 的面积为121161032210C C PQ ⨯⨯=⨯⨯=. 故选：A8．如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C 的方程为2244x y +=，其左、右焦点分别是1F ，2F ，直线l 与椭圆C 切于点P ，且1||1PF =，过点P 且与直线l 垂直的直线'l 与椭圆长轴交于点M ，则12||:||F M F M =A 23B ．2C ．1:3D ．3【答案】C【详解】由椭圆的光学性质得到直线'l 平分角12F PF ，因为12111122221sin 21sin 2PMF PMF F P PM F PM S F M PF SF M PF F P PM F PM ∠===∠ 由11PF =，124PF PF +=得到23PF =，故12:F M F M = 1:3. 故答案为C.二、多选题9．已知空间中三点(0,1,0),(2,2,0),(1,3,1)A B C -，则下列结论正确的有（ ） A ．AB AC ⊥B ．与AB 共线的单位向量是(1,1,0)C ．AB 与AC 55D ．平面ABC 的一个法向量是(1,2,5)m =- 【答案】AD【分析】对于A ，通过计算AB AC ⋅来判断，对于B ，利用共线单位向量的定义求解，对于C ，利用向量的夹角公式求解，对于D ，利用法向量的定义求解.【详解】对于A ，因为(0,1,0),(2,2,0),(1,3,1)A B C -，所以(2,1,0),(1,2,1)AB AC ==-， 所以220AB AC ⋅=-+=，所以AB AC ⊥，所以A 正确， 对于B ，因为(2,1,0)AB =，所以与AB共线的单位向量为22AB AB⎫==⎪⎪⎝⎭， 或AB AB⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以B 错误， 对于C ，因为(2,1,0),(1,2,1)AB AC ==-， 所以2cos ,05AB AC AB AC AB AC⋅-===，所以C 错误，对于D ，因为(1,2,5)m =-，(2,1,0),(1,2,1)AB AC ==-， 所以2200,1450m AB m AC ⋅=-+=⋅=--+=，所以,m AB m AC ⊥⊥，所以平面ABC 的一个法向量是(1,2,5)m =-，所以D 正确， 故选：AD.10．已知直线l 的一个方向向量为31,62u ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且l 经过点(1,2)-，则下列结论中正确的是（ ） A ．l 的倾斜角等于150︒ B ．l 在x C ．l 320y -+=垂直D ．l 上不存在与原点距离等于18的点【答案】CD【分析】由已知得直线l的斜率1k ==可判断A 选项；得直线l 的方程为21)y x +=-，令0y =可判断B 320y -+=的斜率为可判断C 选项；求得原点到直线l 的距离可判断D 选项．【详解】由已知得直线l的斜率1k ==θ，则tan θ=，所以120θ︒=，故A 选项错误；直线l的方程为21)y x +=-20y ++-=，所以它在x轴上的截距等于1-故B 选项错误；320y -+=(1=-，所以两直线垂直，故C 选项正确； 原点到直线l的距离118d =>，即l 上的点与原点的最小距离大于18，故l 上不存在与原点距离等于18的点，D 选项正确．故选：CD.【点睛】本题考查直线的斜率、倾斜角、在x 轴上的截距，以及两直线垂直的条件，属于基础题. 11．已知圆221:230O x y x +--=和圆222:210O x y y +--=的交点为A ，B ，则（ ） A ．圆1O 和圆2O 有两条公切线 B ．直线AB 的方程为10x y -+=C ．圆2O 上存在两点P 和Q 使得||||PQ AB >D ．圆1O 上的点到直线AB的最大距离为2【答案】ABD【分析】A ：判断两圆相交可得切线条数；B ：两圆相交，做差可得公共弦方程；C ：判断弦AB 经过圆心，则弦为最长弦，不再存在比AB 更长的弦；D ：求圆心到直线的距离加半径即为到直线AB 的最大距离.【详解】解：对于A ，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故正确；对于B ，将两圆方程作差可得2220x y -+-=，即得公共弦AB 的方程为10x y -+=，故B 正确； 对于C ，直线AB 经过圆2O 的圆心(0,1)，所以线段AB 是圆2O 的直径，故圆2O 中不存在比AB 长的弦，故C 错误；对于D ，圆1O 的圆心坐标为(1,0)，半径为2，圆心到直线:10AB x y -+==以圆1O 上的点到直线AB的最大距离为2+D 正确. 故选：ABD.12．已知椭圆22:12520x y M +=的左、右焦点分别是1F ，2F ，左、右顶点分别是1A ，2A ，点P 是椭圆上异于1A ，2A 的任意一点，则下列说法正确的是（ ）A ．125PF PF +=B ．直线1PA 与直线2PA 的斜率之积为45-C ．存在点P 满足1290F PF ∠=︒D ．若12F PF △的面积为P的横坐标为【答案】BD【分析】根据椭圆的定义判断A ，设(,)P x y ，计算斜率之积，判断B ，求出当P 是短轴端点时的12F PF ∠后可判断C ，由三角形面积求得P 点坐标后可判断D ．【详解】由题意5,a b c ===1(F，2F ，1(5,0)A -，2(5),0A ，短轴一个顶点2B ，12210PF PF a +==，A 错；设(,)P x y ，则2212520x y +=，2220(1)25x y =-， 所以1222221420(1)552525255PA PA y y y x k k x x x x =⨯==-⨯=-+---，B 正确；因为22221tan 12OF OB F OB ∠===<，所以22045OB F ︒<∠<︒，从而12222290F B F OB F ∠=∠<︒，而P 是椭圆上任一点时，当P 是短轴端点时12F PF ∠最大，因此不存在点P 满足1290F PF ∠=︒，C 错； (,)P x y，1212132PF F P P S F F y y ===△4P y =，则21612520P x +=，P x =D 正确． 故选：BD ．【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的标准方程，椭圆的定义及椭圆的性质．有结论如下：椭圆上的点与两焦点连线的斜率为定值，椭圆上的点对两焦点的张角最大时，点为短轴端点．三、填空题13．如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，则EF BA ⋅=___________.【答案】14【分析】设,,AB a AC b AD c ===，然后以,,a b c 为基底向量将EF ，BA 表示出来，再由向量的数量积运算可得答案.【详解】设,,AB a AC b AD c ===，则1a b c ===且两两夹角为60︒ 所以12a b b c a c ⋅=⋅=⋅= ()11222c aEF BD AD AB -==-=，BA AB a =-=- 所以()()211224EF BA c a a c a a-⋅=-⋅-=⋅=-故答案为：1414．已知点(),P x y 是圆22:320C x y +-+=上一点，则31x +的范围是_____． 【答案】[2,6]【分析】求出圆心和半径，而31x +表示圆上的点到直线310x y +=的距离的2倍，所以求出圆到直线310x y +=的距离，从而可求得结果. 【详解】由222320x y y +-+=，得22(3)1x y +-=， 所以圆心3)C ，半径为1，31x +表示圆上的点到直线310x y +=的距离的2倍，因为圆心3)C 到直线310x y +=的距离为31213d +==+，所以圆上的点到直线310x y +=的距离的最小值为1，最大值为3， 所以31x y +的最小值为2，最大值为6， 所以31x y +的范围为[2,6]，故答案为：[2,6].15．已知圆()()22:114M x y ++-=，直线:40l x y --=，P 为直线l 上的动点，过P 做圆M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，则四边形PAMB 的面积的最小值为________【答案】214【分析】结合图形，根据直线与圆相切的性质，利用点到直线的距离、三角形的面积公式求解.【详解】由题知，⊙M ：()()22114x y ++-=，圆心为()1,1-，半径2r =， 圆心M 到直线:40l x y --=上的点P 的最短距离为221143211d ---=+，所以切线长22min 18414PA d r =-- 故四边形PAMB 的面积的最小值为222142PAMMA PAS S ⋅==⨯=故答案为：21416．已知F 是椭圆22:143x y C +=的左焦点，P 为椭圆C 上任意一点，点Q 坐标为(2,1) ，则||||PQ PF +的最大值为________．【答案】4224【分析】设椭圆右焦点(1,0)F '，根据椭圆的定义将||||PQ PF +转化为2PQ PF PQ a PF '+=+-，结合图形的几何性质，即可求得答案. 【详解】由22:143x y C +=可知2a = ， 设椭圆右焦点(1,0)F '，则24PQ PF PQ a PF QF ''+=+-≤+224(21)(10)42=-+-=当且仅当P ，Q ，F '共线时且当P 在QF '的延长线上时等号成立．||||PQ PF ∴+的最大值为42故答案为：42四、解答题17．已知直线1:(2)80l m x my ++-=与直线2:40,l mx y m R +-=∈． （1）若12l l //，求m 的值；（2）若点()1,P m 在直线2l 上，直线l 过点P ，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l 的方程． 【答案】（1）1m =-，（2）10x y -+=或2y x = 【分析】（1）由题意可知0m ≠，所以可得2814m m m +-=≠-，从而可求出m 的值； （2）将点()1,P m 的坐标代入直线2l 的方程中，求出m 的值，从而可得点P 的坐标，然后设出直线l 方程，利用两坐标轴上的截距之和为0，列方程可求出直线方程 【详解】解：（1）因为12l l //，所以0m ≠，且2814m m m +-=≠-， 由21m mm +=，得220m m --=，解得1m =-或2m =（舍去） 所以1m =-，（2）因为点()1,P m 在直线2l 上，所以40m m +-=，得2m =，所以点P 的坐标为(1,2)， 所以设直线l 的方程为2(1)y k x -=-（0k ≠），令0x =，则2y k =-，令0y =，则21x k =-，因为直线l 在两坐标轴上的截距之和为0， 所以2120k k-+-=，解得1k =或2k =， 所以直线l 的方程为10x y -+=或2y x =18．一艘科考船在点O 处监测到北偏东30°方向40海里处有一个小岛A ，距离小岛10海里范围内可能存在暗礁．(1)若以点O为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，写出暗礁所在区域边界的⊙A方程．(2)科考船先向东行驶了50海里到达B岛后，再以北偏西30°方向行驶的过程中，是否有触礁的风险？【答案】(1)（x－20）2＋（y－203）2＝100(2)有触礁的风险【分析】（1）过A作y轴垂线，垂足为B，求出圆心（20，203），进而求出圆的标准方程.（2）求出航行的直线方程：03(50)-=--，根据直线与圆的位置关系即可求解.y x【详解】（1）如图，过A作y轴垂线，垂足为B，AOB∠=︒且OA＝4030∴AB＝20，22BO=-=，圆心（20，203）4020203设圆方程：（x－a）2＋（y－b）2＝r2∴（x－20）2＋（y－203）2＝100（2）当船向东行驶50海里进B （50，0）则北偏西30°，直线的倾斜角120α=︒tan1203k ∴=︒=- 则直线方程：03(50)y x -=--35030x y ∴+-=圆心到直线距离20320350310353231d +-===+ 75100d r =<=，有触礁的风险．19．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD DC ==，点E ，F 分别为AD ，PC 的中点．(1)证明：//DF 平面PBE ；(2)求点F 到平面PBE 的距离．【答案】(1)见解析6【分析】(1) 取PB 的中点G ，连接EG ， FG ，则可证//DF EG ，进而由线面平行的判定定理即可得证；（2）//DF 平面PBE ，转化为点D 到平面PBE 的距离，再由等体积法求解.【详解】（1）取PB 的中点G ，连接EG ， FG ，如图，则//FG BC ，且12FG BC =， ∵//DE BC 且1=2DE BC ， ∴//DE FG 且DE FG =，∴四边形DEGF 为平行四边形，∴//DF EG ，EG ⊂平面PBE ，DF ⊄平面PBE ，//DF ∴平面PBE ；（2）因为//DF 平面PBE ，所以点D 到平面PBE 的距离与F 到平面PBE 的距离是相等的，故转化为求点D 到平面PBE 的距离，设为d ．利用等体积法： D PBE P BDE V V --=， 即1133PBE BDE S d S PD ⋅=⋅△△， 而112BDE S DE AB =⨯⨯=△， ∵在Rt ,Rt PDE BEA 中，5PE BE ==Rt PDB 中，3PB =∴()()221532362PBE S =-∴66d ==． 即点F 到平面PBE 620．已知点(1,3)M ，圆22:(2)(1)4C x y -++=.(1)若直线l 过点M ，且被圆C 截得的弦长为23l 的方程；(2)设O 为坐标原点，点N 在圆C 上运动，线段MN 的中点为P ，求点P 的轨迹方程.【答案】(1)1x =或158390x y +-=(2)223()(1)12x y -+-=【分析】（1）由直线l 被圆C 截得的弦长为23l 的距离为1d =，分直线l 的斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解.（2）设点(,)P x y ，11(,)N x y ，根据线段MN 的中点为P ，求得112123x x y y =-⎧⎨=-⎩，结合N 在圆C 上，代入即可求解.【详解】（1）解：由题意，圆22:(2)(1)4C x y -++=，可得圆心(2,1)C -，半径2r =， 因为直线l 被圆C 截得的弦长为23， 则圆心到直线l 的距离为2223()12d r =-=， 当直线l 的斜率不存在时，此时直线l 的方程为1x =，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为3(1)y k x -=-，即30kx y k --+=，则221311k kk ++-=+，解得158k =-，即158390x y +-=， 综上可得，所求直线的方程为1x =或158390x y +-=.（2）解：设点(,)P x y ，11(,)N x y因为点(1,3)M ，线段MN 的中点为P ，可得111232x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得112123x x y y =-⎧⎨=-⎩， 又因为N 在圆C 上，可得()()222122314x y --+-+=，即223()(1)12x y -+-=， 即点P 的轨迹方程为223()(1)12x y -+-=. 21．如图，四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是正方形，1PA PD AB ===，2PB PC ==，E ，F 分别是PB ，CD 的中点.（1）求证AB EF ⊥；（2）求二面角B EF C --的余弦值.【答案】(1)见解析2. 【分析】（1）由题意，可取PC 中点M ，连接,EM FM ，则易知平面EMF ∥平面PAD ,由条件易证AB ⊥平面PAD ，则AB ⊥平面EMF ，又EF ⊂平面EMF ，根据线面垂直的定义，从而问题可得证；（2）由题意，采用坐标法进行求解，可取AD 中点O 为坐标原点，过O 点作平行于AB 的直线为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，分别算出平面BEF 和平面EFC 的法向量，结合图形，二面角B EF C --为锐角，从而问题可得解.【详解】（1）取PC 中点M ，连结EM ，FM ，∵ABCD 是正方形，∴AB AD ⊥，又∵1==PA AB，PB =∴AB PA ⊥，∴AB ⊥面PAD ，∴AB PD ⊥，又∵E ，F ，M 都是中点，∴//EM BC ，//MF PD ，∴AB ⊥面EMF ，∴AB EF ⊥；（2）建立如图空间直角坐标系，由题意得11,,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,022F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,24E ⎛- ⎝⎭，则1,1,02BF ⎛⎫=-⎪⎝⎭，30,,4EF ⎛= ⎝⎭，1,0,02CF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设平面BEF 的法向量为()1111,,n x y z =，则1100n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111102304x y y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 令11y =，则12x =，1z =(1n =，同理得平面CEF 的法向量为(2n =， ∴1212122cos ,2n n n n n n ⋅==. 【点睛】此题主要考查立体几何中异面直线垂直的证明，二面角的三角函数值的求解，以及坐标法在解决立体几何问题中的应用等有关方面的知识和技能，属于中档题型，也是常考题型.坐标法在解决立体几何中的一般步骤，一是根据图形特点，建立空间直角坐标系；二是将几何中的量转化为向量，通过向量的运算；三是将运算得到的结果翻译为几何结论.22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，离心率为12，上顶点为(． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，与y 轴交于点M ，若MP PF λ=，MQ QF μ=，判断λμ+是否为定值？并说明理由．【答案】(1)22143x y += (2)λμ+为定值83-，理由见详解【分析】（1）根据题意列式求解,,a b c ；（2）由题意知可知直线AB 的斜率存在，设其方程为()()()11221,,,,y k x P x y Q x y =-，则()0,M k -，由已知向量等式可得,λμ，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系即可证明λμ+为定值.【详解】（1）由题意可得22212b c e a a b c ⎧⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 故椭圆C 的方程22143x y +=. （2）λμ+为定值83-，理由如下： 由（1）可得()1,0F ，由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l ：()()()11221,,,,y k x P x y Q x y =-，则()0,M k -，联立方程()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()22224384120k x k x k +-+-=， 则()()()()22222221212228412844341214410,,4343k k k k k k x x x x k k -∆=--+-=+>+==++， ()()()()11112222,,1,,,,1,MP x y k PF x y MQ x y k QF x y =+=--=+=--，∵MP PF λ=，MQ QF μ=，则()()112211x x x x λμ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，可得112211x x x x λμ⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩， ()()()22221212122212121222241282843438412111314343k k x x x x x x k k k k x x x x x x k k λμ--+-+++=+===-----++-+++（定值）. 【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题.定值问题在变化中所表现出来的不变的量，用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.。
2022-2023学年黑龙江省实验中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年黑龙江省实验中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．已知双曲线221y x m-=的虚轴长为4，则实数m 的值为（ ）AB ．2C ．4D ．16【答案】C【分析】由双曲线方程可知虚轴在y 轴上，从而确定m 的值． 【详解】由题意0,m >虚轴在y轴上，则4，则4m =． 故选：C ．2．已知直线1l ：50x ay ++=，2l ：70ax y ++=，若12l l ∥，则实数a 的值为（ ） A ．1或1- B ．1- C ．1 D ．0或1-【答案】A【分析】由两直线平行，得211a ⨯=，解得a ，然后检验两直线是否重合即可. 【详解】直线1l ：50x ay ++=，2l ：70ax y ++=，12l l ∥， 则211a ⨯=，解得1a =±，经经验，当1a =±时，两直线均不重合， 故实数a 的值为1或1-． 故选：A ．3．已知数列{}n a 满足13a =-，111n n n a a a +-=+，则2022a =（ ） A ．13B ．2C ．12-D ．3-【答案】B【分析】根据递推关系逐步代入可发现数列{}n a 是一个周期数列，即可得出答案． 【详解】13a =-，111n n n a a a +-=+， 121121a a a -∴==+，2321113a a a -==+，3431112a a a -==-+，454131a a a -==-+，⋯， ∴数列{}n a 是以4为周期的周期数列．又202245052=⨯+， 202222a a ∴==．故选：B ．4．若过点()2P --的直线与圆224x y +=有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是 A ．0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B【详解】试题分析：设直线l过点()2P --，直线l 的倾斜角为α，当2πα≠时，直线l 的斜率tan k α=，则直线l的方程可写成：(2y k x +=+即：20kx y -+-=，由直线l 与圆224x y +=2≤，(80k k ⇔≤，解得00tan 0,k ααπ≤≤≤≤≤<，03πα∴≤≤，故选B ．【解析】1.点到直线的距离；2.直线与圆的位置关系.5．已知直线370x y +-=与椭圆()2221039x y b b +=<<相交于A ，B 两点，椭圆的两个焦点分别是1F ，2F ，线段AB 的中点为()1,2C ，则12CF F △的面积为（ ）ABC．D．【答案】C【分析】根据线段AB 的中点为()1,2C ，利用点差法求得2b ，再利用三角形面积公式求解. 【详解】解：设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222221919x y b x y b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 所以()()2121212129b x x y y x x y y +-=--+， 即22126349b b -=-=⨯，， 解得2223c a b =-=，所以121222CF F Sc =⨯⨯= 故选：C6．在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.0R 一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数02R =，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到999大约需要的天数为（ ）（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……参考数据：lg20.3010≈） A ．42 B ．56 C ．63 D ．70【答案】C【分析】设第n 轮感染的人数为n a ，则数列{}n a 是12a =，公比2q 的等比数列，利用等比数列求和公式，结合lg20.3010≈，即可得到答案；【详解】设第n 轮感染的人数为n a ，则数列{}n a 是12a =，公比2q的等比数列，由()2121199912nn S ⨯-+=+=-，可得121000n +=，解得2500n =，两边取对数得lg 2lg500n =，则lg 23lg 2n =-，所以33118.979lg 20.3010n =-=-≈=， 故需要的天数约为9763⨯=. 故选：C7．已知P 是双曲线221x y -=上的动点，Q 是圆()2244x y -+=上的动点，则P ，Q 两点间的最短距离为（ ）A2 B 1 C 1 D ．2【答案】A【分析】求出圆的圆心坐标，求出圆心到(),P x y 的距离，再求min PQ 得出答案. 【详解】P 是双曲线221x y -=上的动点，Q 是圆()2244x y -+=上的动点，由已知圆()2244x y -+=的圆心为()4,0M ，半径为2，P ，Q 两点间的最短距离就是P 到圆的圆心的距离的最小值减去半径，设(),P x y ，可知221x y -=，即221y x =-，可得PM ==当2x =时取等号，所以P ，Q2， 故选：A.8．已知圆()()()22:140C x y m m ++-=>和两点()2,0A -，()10B ,，若圆C 上存在点P ，使得2PA PB =，则m 的取值范围是（ ）A ．[8，64]B ．[9，64]C ．[8，49]D ．[9，49]【答案】D【分析】设P 的坐标为(),x y ，由2PA PB =可得P 的轨迹为()2224x y -+=，又因为点P 在圆C上，所以两圆有公共点，从而求解即可.【详解】解：设P 的坐标为(),x y ，因为2PA PB =，()2,0A -，()10B ,，=()2224x y -+=，又因为点P 在圆()()()22:140C x y m m ++-=>上， 所以圆()2224x y -+=与圆C 有公共点，22≤且0m >，解得949m ≤≤， 故选：D ．二、多选题9．已知曲线C ：221mx ny +=，m 、n 为实数，则下列说法错误的是（ ） A ．曲线C 可能表示两条直线B ．若0m n >>，则C 是椭圆，长轴长为C ．若0m n =>，则C D ．若0m n ⋅<，则C 是双曲线，渐近线方程为y = 【答案】BD【分析】根据曲线C 的方程，结合直线，椭圆，双曲线的标准方程及其性质判断即可． 【详解】当0m =，0n >时，曲线C ：221mx ny +=即为y =，表示两条直线，选项A 正确； 当0m n >>，曲线C ：221mx ny +=可化为22111x y m n+=，此时110m n<<，曲线C 表示焦点在y 轴上B 错误； 若0m n =>，曲线C ：221mx ny +=可化为221x y m +=C 正确； 若0m n ⋅<，则C是双曲线，其渐近线方程为y =，选项D 错误． 故选：BD ． 10．已知抛物线212x y =的焦点为F ，()11,M x y ､()22,N x y 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）A ．点F 的坐标为1,08⎛⎫⎪⎝⎭B ．若直线MN 过点F ，则12116x x =-C ．若MF NF λ=，则MN 的最小值为1D ．若32MF NF +=，则线段MN 的中点P 到x 轴的距离为58【答案】BD【分析】由抛物线方程确定焦点坐标知A 错误；直线MN 与抛物线方程联立，利用韦达定理可知B 正确；根据MN 过焦点可知最小值为通径长，知C 错误；利用抛物线焦半径公式，结合中点坐标公式可求得P 点纵坐标，知D 正确.【详解】对于A ，由抛物线方程知其焦点在y 轴上，焦点为10,8F ⎛⎫⎪⎝⎭，A 错误；对于B ，由题意知：直线MN 斜率存在，设其方程为：18y kx =+，由21218x y y kx ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得：2110216x kx --=，12116x x ∴=-，B 正确；对于C ，若MF NF λ=，则直线MN 过焦点，MN ∴的最小值为抛物线的通径长12，C 错误； 对于D ，12113882MF NF y y +=+++=，1254y y ∴+=，即P 点纵坐标为12528y y +=，∴P 到x 轴的距离为58，D 正确.故选：BD.11．已知等差数列{}n a ，n S 为其前n 项和，下列说法正确的是（ ） A ．若48a a =，公差0d ≠，则110S = B ．若3614S S =，则61247S S =C ．若前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9∶8，且10170S =，则公差为2D ．若90S <，100S >，则n S 的最小值是5S 【答案】ACD【分析】对于A ：由{}n a 为等差数列，且48a a =，0d ≠，得480a a +=，再由等差数列的前n 项和，即可判断A 是否正确；对于B ：由{}n a 为等差数列，得3S ，63S S -，96S S -，129S S -为等差数列，设3S x =，由3614S S =，得64S x =，进而可得1216S x =，即可判断B 是否正确； 对于C ：根据题意可得奇数项的和为51357955252a a a a a a a ⨯++++==，偶数项的和为624681065252a a a a a a a ⨯++++==，进而可得6598a a =，设69a x =，58a x =，由10170S =，解得x ，即可判断C 是否正确；对于D ：由{}n a 为等差数列，且91000S S <⎧⎨>⎩，得55600a a a <⎧⎨+>⎩，当1n =，2，3，4，5时，0n a <，当6n ≥时，0n a >，即可判断D 是否正确．【详解】对于A ：因为{}n a 为等差数列，且48a a =，0d ≠，所以48a a =-，480a a +=， 所以()()11148111111022a a a a S ++===，故A 正确；对于B ：因为{}n a 为等差数列，所以3S ，63S S -，96S S -，129S S -为等差数列， 设3S x =，由3614S S =，得64S x =， 所以x ，3x ，94S x -，129S S -为等差数列，所以99S x =，1216S x =， 所以61241164S x S x ==，故B 错误； 对于C ：奇数项的和为()195135795552522a a a a a a a a a +⨯++++===， 偶数项的和为()21062468106552522a a a a a a a a a +⨯++++===，因为前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9∶8，所以6598a a =，设69a x =，58a x =， 因为10170S =，所以()110101702a a +=，即()56101702a a ⨯+=，所以517170x ⨯=，所以2x =，所以等差数列{}n a 的公差为2，故C 正确；对于D ：因为{}n a 为等差数列，且91000S S <⎧⎨>⎩，则191109()0210()02a a a a +⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩所以1911000a a a a +<⎧⎨+>⎩，即5560a a a <⎧⎨+>⎩，所以当1n =，2，3，4，5时，0n a <；当6n ≥时，0n a >， 所以n S 的最小值为5S ，故D 正确， 故选：ACD ．12．已知椭圆22162x y +=的左，右焦点分别为1F ，2F ，椭圆的上顶点和右顶点分别为A ，B ，若P 为椭圆上任意一点，且P ，Q 关于坐标原点对称，则（ ） A．22PF QF +B ．椭圆上存在无数个点M ，使得12π2F MF ∠>C ．直线AP 和AQ 的斜率之积为13-D ．PQB面积的最大值为【答案】BCD【分析】四边形12PFQF 为平行四边形，再利用定义可判断选项A ；由椭圆的性质可得(]12120F PF F AF ∠∈∠，，利用2tan 1∠>OAF 得出12π2F AF ∠>，可判断选项B ， 设()11P x y ，，则()11Q x y --，，求出AP AQ k k ⋅，又点在椭圆上联立可判断选项C ；设()00P x y ，，根据0y 的范围，利用2=+=PQBPOBQOBPOBSSSS可判断选项D ．【详解】对于选项A ，连接1PF ，2PF ，1QF ，2QF ，则四边形12PFQF为平行四边形，则2221PF QF PF PF +=+=A 错误；对于选项B ，由椭圆的性质可得(]12120F PF F AF ∠∈∠，，又22tan 1OF OAF OA ∠===>，即2π4OAF ∠>，即12π2F AF ∠>，即椭圆上存在无数个点M ，使得12π2MF F >∠，即选项B 正确，对于选项C ，设()11P x y ，，则()11Q x y --，，又()02A ，，则21112111222AP AQy y y k k x x x ----⋅=⋅=-，又2211162x y +=，则()221132x y =-， 所以()212121332AP AQy k k y -⋅==--，即选项C 正确；对于选项D ，设()00P x y ，，则022y -≤≤，则0122662232PQBPOBQOBPOBSSSSy =+==⨯⨯⨯≤⨯=，即选项D 正确；故选：BCD ．【点睛】关键点思路点睛：解题的关键点是熟练掌握椭圆的性质，同时还要掌握直线的斜率以及三角形的面积等知识，考查学生的运算求解能力，属中档题．三、填空题13．已知抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ，过F 且垂直于y 轴的直线与C 相交于,A B 两点，若(AOB O 为坐标原点)的面积为9，则p =______． 【答案】32【分析】首先得到抛物线的焦点坐标，将2py =代入抛物线方程，即可求出,A B ，再根据面积公式计算可得．【详解】抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，将2p y =代入22x py =可得x p =±，即有,,,22p p A p B p ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2AB p =，所以112922AOBSp p =⨯⨯=， 解得32p =． 故答案为：32．14．已知各项均为正数且单调递减的等比数列{}n a 满足3a ，432a ，52a 成等差数列，则6789a a a a ++=______． 【答案】4【分析】设等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠，由题意得43532a a a =+，即22310q q -+=，求出q ，结合通项公式即可得出答案．【详解】设等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠，3a ，432a ，52a 成等差数列，43532a a a ∴=+，则32411132q q q a a a +=，即22310q q -+=，解得12q =或1q =(不合题意，舍去)， 567172891(1)14(1)a a a q q a a a q q q ++∴===++． 故答案为：4．15．已知直线l ：4370x y -+=，抛物线28y x =上一动点()00P x y ，到直线l 的距离为d ，则0d x +的最小值是______． 【答案】1【分析】先求得抛物线的准线m ，过点P 作直线l 的垂线，交直线于点C ，过点P 作准线m 的分别交准线，y 轴于点,B A ，再结合图象，以及抛物线的定义，即可求解． 【详解】抛物线28y x =，∴抛物线的准线为2x =-，焦点()20F ，，过点P 作直线l 的垂线交于点C ，如图所示：由抛物线的定义可知，||||||2p PF PB PA ==+， 则||||||22pPA PF PF =-=-， 0||||||2,d x PC PF ∴+=+-当F ，P ，C 三点共线时，||||PC PF +取得最小值，即0||d x +取得最小值， (2,0),F0min |807|(||)215d x -+∴+=-=． 故答案为：1．16．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a 的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________． 【答案】364【分析】联立直线AB 和渐近线2:bl y x a=方程，可求出点B ，再根据||3||FB FA =可求得点A ，最后根据点A 在双曲线上，即可解出离心率． 【详解】过F 且斜率为4ba 的直线:()4b AB y xc a=+，渐近线2:b l y x a =， 联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率36e 4=. 故答案为：364．四、解答题17．在数列{}n a 中，14a =，1431n n a a n +=-+，*n ∈N ． (1)设n n b a n =-，求证：数列{}n b 是等比数列； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S ． 【答案】(1)证明见解析 (2)1(1)412n n n n S -+=+-【分析】（1）利用1431n n a a n +=-+，化简可知14n n b b +=，进而可知数列{}n b 是首项为3、公比为4的等比数列；（2）通过()1可知134n n a n -=+⨯，进而利用分组求和法计算即得结论．【详解】（1）证明：1431,n n a a n +=-+11(1)43114()4,n n n n n b a n a n n a n b ++∴=-+=-+--=-=又111413,b a =-=-=∴数列{}n b 是首项为3、公比为4的等比数列；（2）由（1）可知134n n a n --=⨯，即134n n a n -=+⨯，11(1)3(14)(1)412142n n n n n n n S --+-+∴=+=+--.18．已知圆C 过()2,2A -，()2,6B 两点，且圆心C 在直线30x y +=上． (1)求圆C 的方程；(2)若直线l 过点()0,5P 且被圆C截得的线段长为l 的方程． 【答案】(1)()()222616x y ++-=； (2)0x =或34200x y -+=.【分析】（1）设圆C 的圆心为(),a b ，半径为r ，结合题意得()()()()222222302226a b a b r a b r ⎧+=⎪⎪++-=⎨⎪-+-=⎪⎩，解出a 、b 、r 的值，将其值代入圆的方程即可得答案．（2）根据题意，分类讨论，斜率存在和斜率不存在两种情况：①当直线l 的斜率不存在时，满足题意，②当直线l 的斜率存在时，设所求直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为：5y kx -=，由点到直线的距离公式求得k 的值，即可得直线的方程，综合2种情况即可得答案．【详解】（1）根据题意，设圆C 的圆心为(),a b ，半径为r ，则圆C 方程为()()222x a y b r -+-=，又圆C 过()2,2A -，()2,6B ，且圆心C 在直线30x y +=上， ∴()()()()222222302226a b a b r a b r ⎧+=⎪⎪++-=⎨⎪-+-=⎪⎩，解得：2a =-，6b =，216r =， 故圆C 的方程为()()222616x y ++-=．（2）根据题意，设直线l 与圆C 交与MN两点，则MN = 设D 是线段MN 的中点，则CD MN ⊥，∴MD =4MC =． 在Rt MCD 中，可得2CD =．当直线l 的斜率不存在时，此时直线l 的方程为0x =，满足题意，当直线l 的斜率存在时，设所求直线l 的斜率为k ，则直线l 为：5y kx -=，即50kx y -+=． 由C 到直线MN2=，解得：34k =， 此时直线l 的方程为34200x y -+=．综上，所求直线l 的方程为0x =或34200x y -+=．19．设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且1122331a b a b a b ==-=-=． (1)求{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)设{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()1111n n n n n n n S a b S b S b +++++=-；(3)求211(1)nkk k k k a a b +=⎡⎤--⎣⎦∑．【答案】(1)121,2n n n a n b -=-=(2)证明见解析 (3)1(62)489n n +-+【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解； （2）由等比数列的性质及通项与前n 项和的关系结合分析法即可得证； （3）先求得212221212122(1)(1)k kk k k k k k a a b a a b ---+⎡⎤⎡⎤--+--⎣⎦⎣⎦，进而由并项求和可得114nk n k T k +==⋅∑，再结合错位相减法可得解.【详解】（1）设{}n a 公差为d ，{}n b 公比为q ，则11(1),n n n a n d b q -=+-=，由22331a b a b -=-=可得2112121d q d q d q +-=⎧⇒==⎨+-=⎩（0d q ==舍去）， 所以121,2n n n a n b -=-=；（2）证明：因为120,n n b b +=≠所以要证1111()n n n n n n n S a b S b S b +++++=-， 即证111()2n n n n n n n S a b S b S b ++++=⋅-，即证1112n n n n S a S S ++++=-， 即证11n n n a S S ++=-，而11n n n a S S ++=-显然成立，所以1111()n n n n n n n S a b S b S b +++++=⋅-⋅；（3）因为212221212122(1)(1)k kk k k k k k a a b a a b ---+⎡⎤⎡⎤--+--⎣⎦⎣⎦2221(4143)2[41(41)]224k k k k k k k k --=-+-⨯++--⨯=⋅，所以211(1)nkk k k k a a b +=⎡⎤--⎣⎦∑2122212121221[((1))((1))]nk k k k k k k k k a a b a a b ---+==--+--∑124nk k k ==⋅∑，设124nk n k T k ==⋅∑所以2324446424nn T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，则2341244446424n n n T +⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=，作差得()2341124(14)3244444242414n nn n n T n n ++⨯--=++++⋅⋅⋅+-⋅=-⨯-()126483n n +--=， 所以1(62)489n n n T +-+=，所以211(1)nkk k kk a a b +=⎡⎤--=⎣⎦∑1(62)489n n +-+. 20．已知抛物线E ：22(0)x py p =>上一点(),1M t 到焦点F 的距离为2， (1)求抛物线E 的方程；(2)若M 在第一象限，不过M 的直线l 与抛物线E 相交于A ，B 两点，且直线MA ，MB 的斜率之积为1，证明：直线l 过定点．【答案】(1)24x y = (2)答案见解析【分析】（1）根据抛物线的定义和已知条件可求出p 的值，即可求得抛物线的方程；（2）设出直线l 的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得124x x k +=，124x x b =-，再由1MA MB k k =整理()12122120x x x x ++-=，由此得到23b k =-，直线l 的方程为()23y k x =+-，从而求得定点()2,3--．【详解】（1）由抛物线方程可得，准线方程为2py =-， 因为抛物线E ：22(0)x py p =>上一点(),1M t 到焦点F 的距离为2， 所以122p+=，解得2p =， 所以抛物线的方程为：24x y =；（2）抛物线的方程为24x y =，(),1M t 在抛物线上，所以24t =， 因为M 在第一象限，故2t =，所以()2,1M ，依题意，直线l 的斜率存在(若不存在，则与抛物线只有一个交点)， 设直线l 的方程为y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立24x y y kx b ⎧=⎨=+⎩，消去y ，得2440x kx b --=，则216160k b ∆=+>，124x x k +=，124x x b =-， 因为直线MA ，MB 的斜率之积为1，即1MA MB k k =，故221212121212111122441222244MA MBx x y y x x k kx x x x ----++=⋅=⋅=⋅=----， 整理得()12122120x x x x ++-=， 所以48120b k -+-=，得23b k =-，故直线l 的方程为()2323y kx k k x =+-=+-，所以直线l 过定点()2,3--．21．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为12y x =，且双曲线C 过点()22,1.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过点M ()3,0的直线与双曲线C 的左右支分别交于A 、B 两点，是否存在直线AB ，使得10AM BM ⋅=成立，若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2214x y -=；(2)存在，直线AB 的方程为：330x y --=或330x y +-=.【分析】(1)根据给定的渐近线方程及所过的点列式计算作答.(2)假定存在符合条件的直线AB ，设出其方程，借助弦长公式计算判断作答. 【详解】（1）依题意，2212811b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得：2,1a b ==，所以双曲线C 的标准方程是2214x y -=.（2）假定存在直线AB ，使得10AM BM ⋅=成立，显然AB 不垂直于y 轴，否则5AM BM ⋅=，设直线AB ：3x my =+，由22344x my x y =+⎧⎨-=⎩消去x 并整理得：22(4)650m y my -++=， 因直线AB 与双曲线C 的左右支分别交于A 、B 两点，设1122(,),(,)A x y B x y ，于是得222212212240Δ3620(4)16(5)064504m m m m m y y m y y m ⎧-≠⎪=--=+>⎪⎪⎨+=--⎪⎪=>⎪-⎩，则有24m >，即2m <-或m>2， 因此，()()2222121225*********m AM BM m m my y m +⋅+-+-=+==-，解得3m =±，所以存在直线AB ，使得10AM BM ⋅=成立，此时，直线AB 的方程为：330x y --=或330x y +-=. 22．已知定点P，圆22:(16Q x y +=，N 为圆Q 上的动点，线段NP 的垂直平分线和半径NQ 相交于点M ． (1)求点M 的轨迹Γ的方程；(2)过P 的直线l 与轨迹Γ交于,A B 两点，若点D 满足QD QA QB =+，求四边形QADB 面积的最大值． 【答案】(1)2214x y +=(2)4【分析】（1）利用定义法求轨迹方程；（2）设直线l的方程为x my =+()22410m y++-=，利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出QAB 的面积最大值，从而可得四边形QADB 面积的最大值．【详解】（1）因为N 为圆Q 上的动点，线段NP 的垂直平分线和半径NQ 相交于点M ， 所以由线段垂直平分线的性质可得：||||MP MN =，所以||||||||4||MQ MP MQ MN PQ +=+=>=故点M 的轨迹是以P 、Q 为焦点的椭圆．其中2a =，c 所以222431b a c =-=-=，故点M 的轨迹Γ的方程为2214x y +=．（2）由题意，设直线l的方程为x my =()11A x y ，，()22B x y ，，联立2214x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理可得：()22410m y ++-=，所以22124(4)0m m ∆=++>，121221,4y y y y m+==-+ 所以212244|||,4m AB y y m +-==+点(Q 到直线l的距离d所以221144||224QABm SAB d m +=⋅=⨯=+2,===m =因为,QD QA QB =+ 所以24,QADB QABS S=≤所以四边形QADB 面积的最大值为4．。
黑龙江省实验中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
A. B. C. D.
1 ⃗ 4������
+ 3 ⃗ + 3⃗
������ ������
1 1 1
1
1
‒ 4 ⃗ + 3 ⃗ + 3⃗
������ ������ ������
‒ 4 ⃗ + 2 ⃗ + 2⃗
������ ������ ������
3 ⃗ 4������
3
1
1
+ 2 ⃗ + 2⃗
������ ������
3‒1
5
5‒1
A.
2
B.
2
C.
3
D.
2
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 已知椭圆 mx2+3y2-6m=0 的一个焦点为（0，2），则 m 的值是______．
������2 已知椭圆16 1
14.
+
������2 4
=1
的左、右两焦点 F1、F2，A 为椭圆上一点，且
1
������������
A. ������ =± ������
B. ������ =± 2������
C. ������ =± 3������
D. ������ =± 2������
11. 如图，过抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点 F 的直线交抛物 线于点 A、B，交其准线 l 于点 C，若点 F 是 AC 的中点， 且|AF|=4，则线段 AB 的长为（ ）
15 6 21 15
1
A.
7.
6
B.
6
C.
6
D.
3
如图，在所有棱长均为 a 的直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， D、E 分别为 BB1、A1C1 的中点，则异面直线 AD、CE 所成 角的余弦值为（ ）
黑龙江省2020版高二上学期期中数学试卷(理科)A卷
黑龙江省2020版高二上学期期中数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·辽宁模拟) 点到抛物线的准线的距离为6，则该抛物线的方程是（）A .B .C . 或D . 或2. （2分）下列抽样实验中,最适宜用系统抽样的是（）A . 某市的4个区共有2000名学生,且4个区的学生人数之比为3: 2 :8 :2,从中抽取200人入样B . 从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个入样C . 从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个入样D . 从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样3. （2分） (2019高二上·郑州期中) 给出如下四个命题：①若“ ”为假命题，则，均为假命题；②命题“若，则”的否命题为“若，则”；③“ ，”的否定是“ ，”；④在中，“ ”是“ ”的充要条件.其中正确的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分） (2019高二上·南昌月考) 在平面直角坐标系中，两点间的“L-距离”定义为则平面内与轴上两个不同的定点的“L-距离”之和等于定值（大于）的点的轨迹可以是（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高二下·顺德期末) 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高（单位：）与体重（单位：）数据如下表：1651651571701751651551704857505464614359若已知与的线性回归方程为，那么选取的女大学生身高为时，相应的残差为（）A .B . 0. 96C . 63. 04D .6. （2分）流程如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A . f（x）=x2B . f（x）=C . f（x）=lnx+2x﹣6D . f（x）=sinx7. （2分） (2019高三上·南宁月考) 已知点为双曲线的右焦点，直线与双曲线交于A，B两点，若，则的面积为（）A .B .C .D .8. （2分） (2020高一上·长沙期中) 已知，，则“ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件9. （2分） (2016高一下·邯郸期中) 下列是有关三角形ABC的几个命题，①若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC是锐角三角形；②若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形；③若（ + ）• =0，则△ABC是等腰三角形；④若cosA=sinB，则△ABC是直角三角形；其中正确命题的个数是（）A . .1B . .2C . 3D . 410. （2分） (2018高二上·榆林期末) 椭圆的长轴端点坐标为（）A .B .C .D .11. （2分）将正整数2，3，4，5，6随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高二下·江西期中) 已知圆：，圆：，是椭圆：的半焦距，若圆，都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知命题p：∀x∈R，ax2+2x+3＞0，如果命题￢p是真命题，那么实数a的取值范围是________．14. （1分） (2020高一下·广东月考) 设b和c分别是先后抛掷一颗骰子得到的点数，则方程x2﹣bx+c=0有实根的概率为________．15. （1分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________16. （1分）(2018·杨浦模拟) 若双曲线（）的左焦点在抛物线的准线上，则________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2016高一下·大连期中) 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m+2的概率．18. （10分）已知椭圆的右焦点F2与抛物线的焦点重合，左端点为（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆C1的右焦点且斜率为的直线l2被椭圆C1截得的弦AB，试求它的长度．19. （10分） (2020高一下·湖北期末) 某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表.百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级A B C D规定：A，B，C三级为合格等级，D为不合格等级.为了解该校高三年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计.按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示（1）根据频率分布直方图，求成绩的中位数（精确到0.1）；（2）在选取的样本中，从A，D两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研，求至少有一名学生是A等级的概率.20. （5分） (2019高二上·保定月考) 已知命题p：关于x的方程x2﹣2mx+1＝0有实数根，命题q：双曲线的离心率e∈（1，2），若￢q与p∧q均为假命题，求实数m的取值范围．21. （5分）已知直线y=ax+1与双曲线3x2﹣y2=1相交于A、B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，求a的值．22. （10分） (2018高三上·河北月考) 已知椭圆的离心率，原点到过点，的直线的距离是 .（1）求椭圆的方程；（2）如果直线交椭圆于不同的两点，且都在以为圆心的圆上，求的值.。
黑龙江省2021学年高二数学上学期期中试题 理
哈尔滨市第六中学2021学年度上学期期中考试高二理科数学试题一.选择题（每题5分，共60分） 1.已知双曲线的渐近线为22y x =±，实轴长为4，则该双曲线的方程为（ ） A ．22142x y -= B ．22142x y -=或22148y x -=C ． 221168x y -=D ．221168x y -=或2211632y x -=2.给出以下几个结论：(1)垂直于同一直线的两条直线互相垂直； (2)垂直于同一平面的两个平面互相平行；(3)若α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，且m α⊂，n β⊂，//m β，//n α，则αβ∥； (4)若 α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，,,m m n αβαβ⊥⋂=⊥，则n β⊥ (5)若α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，,,//,n m m n αβαβα⊥⋂=⊥，则m β⊥ 其中错误结论的个数为（ ）A.2B.3C.4D. 53.已知一个三棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形（如右图所示），则此三棱锥的体积为（ ） A. 22 B. 2 C.13D. 62 4.长方体1,3,ABCD A B C D BC BB '''''-==，平面AB C D ''与长方体的各个面所形成的二面角的大小中不正确的有( ) A ．3π B ．4π C ．6πD ．2π5.如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗实线和粗虚线画出了某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ） A ．7π B ．9π C ．11π D ．13π6.过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点1F 做x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为其右焦点，若1230F F P ∠=，则椭圆的离心率为（ ）A ．22B ．13C ．12D ．37.正三棱锥A BCD -，侧棱23AB =，棱2CD =，,E F 分别是,AB CD 的中点，则EF 与BC 成角为（ ）A.60B.90C. 30D.458.如图，在正四棱锥P ABCD -中，60APC ︒∠=，则二面角A PB C --的平面角的余弦值为（ ）A.17B.17- C.12 D.12-9.中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，2AD =，1ED =，若鳖臑P ADE -的体积为1，则阳马P ABCD -的外接球的表面积等于（ ）A ．17πB ．18πC ．19πD ．20π10.在四面体-A BCD 中，AD ⊥底面ABC ,5,8,6AB AC BC AD ====,G 为ABC ∆的重心, F 为线段AD 的一点，且//FG 平面BCD ，则线段FG 的长度是（ ） A. 32 B. 25 C. 23 D.411.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F 是棱11A D 上的动点．下列说法正确的是（ ） A ．对任意动点,F 在平面11ADD A 内不存在．．．与平面CBF 平行的直线 B ．对任意动点,F 在平面ABCD 内存在．．与平面CBF 垂直的直线 C ．当点F 从1A 运动到1D 的过程中，点D 到平面CBF 的距离逐渐变大．． D ．当点F 从1A 运动到1D 的过程中，二面角F BC A --的大小不变．．12.已知椭圆C 的焦点为121,0,0F F -()，(1)，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（ ）A ．22143x y +=B ．22154x y += C ．2212x y +=D ．22132x y +=二.填空题（共20分）13.双曲线224640x y -+=上的一点P 到它的一个焦点的距离等于1，那么点P 到另一个焦点的距离为___________________14. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为___________15.已知圆锥的底面半径为1，高为22，点P 是底面圆周上一点，若一动点从点P 出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P ，则绕行的最短距离为_________________16. 对于四面体A BCD -，给出下列四个命题：①若AB AC =，BD CD =，则BC AD ⊥；②若,,AB AC AB AD AC AD ⊥⊥⊥，则点A 在平面BCD 内的射影为BCD ∆的重心； ③若AB AC ⊥，BD CD ⊥，则BC AD ⊥； ④若AB CD ⊥，BD AC ⊥，则BC AD ⊥．⑤若AB AC AD ==，则点A 在平面BCD 内的射影为BCD ∆的外心 其中真命题的序号是________． 三.解答题（共70分）17.（共10分）如图，在正方体1111ABCD-A B C D 中，O 为AC 的中点． （1）求证：1OC //平面11AB D ； （2）求证：平面11A D C ⊥平面11AB D18.（共12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=︒，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ．（1）求证：AD PB ⊥．（2）若E 为BC 中点，试在PC 上找一点F ，使平面DEF ⊥平面ABCD ．19. （共12分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别是1,,AB CC AD 的中点。
黑龙江省实验中学2019-2020学年高二上学期期中数学试卷 (有解析)
黑龙江省实验中学2019-2020学年高二上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 抛物线4x 2+3y =0的准线方程为( )A. x =13B. y =13C. x =316D. y =3162. 已知点F 1(−10,0)、F 2(10,0)，P 是双曲线x 236−y 264=1上的一点，则|PF 1|−|PF 2|=( )A. 12B. −12C. −12或12D. 16或12 3. 若直线l 1：(2m +1)x −4y +3m =0与直线l 2：x +(m +5)y −3m =0平行，则m 的值为( )A. −92或−1 B. −92C. −192D. −14. 已知曲线C ：ax 2+by 2=1表示焦点在y 轴上的双曲线，则( )A. a ，b >0B. a >0，b <0C. a <0，b <0D. a <0，b >05. 若变量x,y 满足约束条件{2x −y ⩾0y ⩾x y ⩾−x +2，则z =2x +y 的最小值为( )A. 0B. 3C. 52D. 836. 若圆心在x 轴上、半径为√5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x +2y =0相切，则圆O 的方程是( )A. (x −√5)2+y2=5B. (x +√5)2+y2=5C. (x −5)2+y2=5D. (x +5)2+y2=57. 已知椭圆C ：y 2a 2+x 216=1(a >4)的离心率是√33，则椭圆C 的焦距是( ) A. 2√2B. 2√6C. 4√2D. 4√68. 已知点M 为抛物线y 2=6x 上的点，N 为抛物线的准线l 上的点，F 为抛物线的焦点，若FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则MN 的斜率为( )A. ±√2B. ±√3C. ±2D. ±19. 双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点F 到E 的渐近线的距离为√3a ，则E 的离心率是( )A. √2B. 32C. 2D. 310. 若实数x ，y 满足约束条件{x −3y +1≤0x +y −3≥0，则z =x +2y 的取值范围是( )A. (−∞,4]B. [4,+∞)C. [5,+∞)D. (−∞,+∞)11. 已知点A(2,0)，B(0,2)，点M 是圆x 2+y 2+2x +2y =0上的动点，则点M 到直线AB 的距离的最小值为( )A. 2√2−2B. √2C. 2D. 2√212. 已知椭圆C.x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，直线y =x 与椭圆相交于A ，B 两点，若椭圆上存在异于A ，B 两点的点P 使得k PA ⋅k PB ∈(−13,0)，则离心率e 的取值范围为( )A. (0,√63)B. (√63,1)C. (0,23)D. (23,1)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知直线的倾斜角α满足cos α=−12，则此直线的斜率是__________．14. 已知抛物线C ：y 2=8x ，x 轴上有一定点M(5,0).若点P 是抛物线C 上的一动点，则|PM|+|PF|的最小值为______．15. 过点(2√2,0)的直线与双曲线x 28−y 24=1仅有一个交点，则这样的直线有__________条．16. 过点(3,0)且斜率为45的直线被椭圆x 225+y 216=1所截线段的中点坐标为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 求直线l ：2x −y −2=0，被圆C ：(x −3)2+y 2=9所截得的弦长．18. 若P 为抛物线y 2=10x 上的动点，求点P 到直线x +y +5=0的距离的最小值．19. 已知椭圆C 1的方程为x 24+y 2=1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点，求双曲线C 2的方程．20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，焦距为2，点P(4,t)(t ≠0)为直线x =4上的一点． (1)求椭圆C 的方程；(2)若A 为椭圆的左顶点，直线PA 与椭圆交于点Q ，且|AQ|=|QP|，求直线PA 的方程．21. 如图，设抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离为|AF|−1(1)求p 的值；(2)已知B ，C 为抛物线上的动点，且OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，直线BC 与x 轴交于点P ，求|PC |·|PB |的最小值．22.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是√22，其左、右焦点分别为F1,F2，短轴顶点分别为A，B，如图所示，ΔABF2的面积为1．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P(−1,1)且斜率为k的直线l交椭圆C于M，N两点(异于A，B点)，证明：直线BM和BN的斜率和为定值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．化简抛物线方程为标准方程，然后求解准线方程．【解答】解：抛物线4x2+3y=0的标准方程为：x2=−34y，则抛物线开口向下，故准线方程y=316．故选：D．2.答案：C解析：解：双曲线x236−y264=1的a=6，b=8，c=10．则由双曲线的定义可得||PF1|−|PF2||=2a=12，则|PF1|−|PF2|=±12．故选C．求出双曲线的a，b，c，由双曲线的定义，即可得到．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查运算能力，属于基础题．3.答案：B解析：解：直线l1的斜率一定存在，为2m+14，但当m=−5时，l2的斜率不存在，两直线不平行．当m≠−5时，l2的斜率存在且等于2m+1−4=1m+5≠3m−3m=−1，解得m=−92，故选：B．直线l1的斜率一定存在，所以，当两直线平行时，l2的斜率存在，求出l2的斜率，利用它们的斜率相等解出m的值．本题考查两直线平行的条件，两直线平行时，它们的斜率相等或者都不存在．4.答案：D解析：解：根据题意，曲线C ：ax 2+by 2=1，变形可得x 21a+y 21b=1，若其表示焦点在y 轴上的双曲线，则有1a <0，1b >0， 则有a <0，b >0， 故选：D ．根据题意，将曲线方程变形为x 21a+y 21b=1，由双曲线的标准方程分析可得1a <0，1b>0，变形即可得答案．本题考查双曲线的标准方程，关键是掌握双曲线标准方程的形式．5.答案：D解析： 【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，进行平移即可得到结果． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：联立{y =−x +2y =2x ⇒{x =23y =43 故C 点的坐标为(23,43)， 由z =2x +y ，得y =−2x +z ， 平移直线y =−2x +z ，由图象可知当直线y =−2x +z 经过点C(23,43)时，z 取得最小值83．故选D ．6.答案：D解析：解：设圆心为(a,0)(a <0)，则r =√12+22=√5，解得a =−5，所以，所求圆的方程为：(x +5)2+y2=5，故选D.7.答案：C解析：解：椭圆C ：y 2a 2+x 216=1(a >4)的离心率是√33， 可得√a2−16a=√33，解得a =2√6．可得c =√24−16=2√2． 则椭圆C 的焦距是：4√2． 故选：C ．利用椭圆的离心率求出a ，然后求解焦距即可． 本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．8.答案：B解析：解：抛物线y 2=6x 可得F(32,0)，则N 的横坐标为：−32，点M 为抛物线y 2=6x 上的点，N 为抛物线的准线l 上的点，F 为抛物线的焦点，若FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 可得F 是MN 的中点，则M 的横坐标为：92，纵坐标为：±3√3． 则MN 的斜率：±3√392−32=±√3．故选：B ．求出抛物线的焦点坐标，利用向量相等，求出M 的坐标，即可得到则MN 的斜率． 本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．9.答案：C解析：解：根据题意，双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1的焦点在x 轴上，则其渐近线方程为y =±ba x ，即ay ±bx =0，设F(c,0)，F 到渐近线ay −bx =0的距离d =√a 2+b 2=|b×c|c=b ，又由双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1的一个焦点F 到E 的渐近线的距离为√3a ， 则b =√3a ，c =√a 2+b 2=2a ，故双曲线的离心率e =ca =2； 故选：C ．根据题意，求出双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得焦点F 到渐近线ay −bx =0的距离为b ，结合题意可得b =√3a ，由双曲线的几何性质可得c =√a 2+b 2=2a ，进而由双曲线离心率公式计算可得答案．本题考查双曲线的几何性质，注意“双曲线的焦点到其渐近线的距离为b ”．10.答案：B解析：解：画出实数x ，y 满足约束条件{x −3y +1≤0x +y −3≥0所示的平面区域，如图：将目标函数变形为−12x +z2=y ，则z 表示直线在y 轴上截距，截距越大，z 越大， 当目标函数过点A(2,1)时，截距最小为z =2+2=4，随着目标函数向上移动截距越来越大，故目标函数z =2x +y 的取值范围是[4,+∞)． 故选：B ．作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象判断目标函数z =x +2y 的取值范围．本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．11.答案：B解析： 【分析】本题考查了圆的方程，直线与圆的位置关系等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．首先将圆的方程整理为标准型，然后结合圆心到直线的距离整理计算即可求得最终结果． 【解答】解：圆的方程即：(x +1)2+(y +1)2=2， 直线AB 的方程为：x +y −2=0，圆心到直线的距离为：d=√12+12=2√2，据此可得：点M到直线AB的距离的最小值为2√2−√2=√2．故选B．12.答案：B解析：【分析】设P(x0,y0)，A(x1,y1)，则B(−x1,−y1)，求k PA⋅k PB的值得到a，b的不等式，再计算e的范围即可本题考查椭圆的简单几何性质，曲线对称性的考查，考查计算能力，是中档题【解答】解：设P(x0,y0)，A(x1,y1)，则B(−x1,−y1)，∴k PA⋅k PB=y0−y1x0−x1⋅y0+y1x0+x1=y02−y12x02−x12，又x02a2+y02b2=1，x12a2+y12b2=1，两式做差，得x02−x12a2+y02−y12b2=0，∴k PA⋅k PB=y02−y12x02−x12=−b2a2，故−13<−b2a2<0．所以e=√1−b2a2∈(√63,1)．故选：B．13.答案：−√3解析：【分析】本题考查了直线的倾斜角与斜率，根据已知条件求出sinα，则斜率可得．【解答】解：cosα=−12，又0°≤α<180°，∴sinα=√32，∴ k =tan α=sinαcosα=−√3．故答案为−√3．14.答案：7解析：解：设点P 在准线上的射影为D ， 则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|，要求|PM|+|PF|取得最小值，即求|PM|+|PD|取得最小 当D ，P ，M 三点共线时|PM|+|PD|最小，为5−(−2)=7． 故答案为：7．设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PM|+|PD|取得最小，进而可推断出当D ，P ，M 三点共线时|PM|+|PD|最小，答案可得．本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D ，P ，M 三点共线时|PM|+|PD|最小，是解题的关键15.答案：3解析：点(2√2,0)为双曲线的右顶点，当斜率存在，有一个交点，则直线需与渐近线平行；另外，过点(2√2,0)且垂直于x 的直线也满足要求．16.答案：(32,−65)解析：解：过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y =45(x −3)， 联立{y =45(x −3)x 225+y 216=1，得x 2−3x −8=0，△=9+32=41>0，设直线与椭圆交于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=3，y 1+y 2=45(x 1+x 2)−245=−125，∴直线被椭圆所截线段的中点坐标为(32,−65)． 故答案为：(32,−65)．过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y =45(x −3)，联立{y =45(x −3)x 225+y 216=1，得x 2−3x −8=0，由此利用韦达定理和中点坐标公式能求出结果．本题考查直线被圆所截线段的中点坐标的求法，是中档题，解题时要注意韦达定理和中点坐标公式的合理运用．17.答案：解：圆(x −3)2+y 2=9的圆心为C(3,0)，半径r =3，∵点C 到直线直线l ：2x −y −2=0的距离d =√22+1=4√55， ∴根据垂径定理，得直线l ：2x −y −2=0被圆(x −3)2+y 2=9截得的弦长为：l =2√r 2−d 2=2√32−(4√55)2=2√1455．解析：算出已知圆的圆心为C(3,0)，半径r =3.利用点到直线的距离公式，算出点C 到直线直线l 的距离d ，由垂径定理加以计算，可得直线l 被圆截得的弦长．本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题． 18.答案：5√24解析：设P(x,y)，则点P 到直线x +y +5=0的距离为d =√2=|y 210+y+5|√2=210√2，∴y =−5时，d 取最小值，为5√24． 19.答案：解：设双曲线C 2的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，则a 2=4−1=3，c 2=4，由a 2+b 2=c 2，得b 2=1．故C 2的方程为x 23−y 2=1．解析：设出双曲线的标准方程，根据根据椭圆方程求得双曲线的左右顶点和焦点，进而求得双曲线方程中的a 和b ，则双曲线方程可得．本题主要考查了椭圆、双曲线方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．20.答案：解：(1)设椭圆的半焦距为c ，则{c a =12,c =1,解得{a =2,c =1,则b 2=a 2−c 2=3， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1． (2)由(1)知椭圆方程为x 24+y 23=1，则A(−2,0)．设点Q(x 0,y 0)，由|AQ|=|QP|，得|AQ||AP|=x 0+26=12， 解得x 0=1．又∵点Q(x 0,y 0)在椭圆上，∴14+y 023=1，解得y 0=±32．P 为(1,±32)，直线AP 的斜率为±12，∴直线PA 的方程为y =12(x +2)或y =−12(x +2)．解析：本题考查椭圆的标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系，属于基础题．(1)由题意解得{a =2,c =1,则b 2=a 2−c 2=3，即可写出标准方程； (2)设点Q(x 0,y 0)，由|AQ|=|QP|，得|AQ||AP|=x 0+26=12，解得x 0=1． 又14+y 023=1，解得y 0=±32，即可得直线方程． 21.答案：解：(Ⅰ)∵抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离为|AF|−1，∴p 2=1，解得p =2．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，抛物线方程为y 2=4x ，设直线CB 的方程为：x =my +t ，C(y 124,y 1)，B(y 224,y 2)， 直线与抛物线联立：{x =my +t y 2=4x，得：y 2−4my −4t =0， 则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−4t ，∵k OC =4y 1，k OB =4y 2， ∴k OC ⋅k OB =16y 1y 2=16−4t =−1，则t =4，∴直线CB 过定点(4,0)，即P 点坐标为(4,0)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(y 124−4,y 1)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(y 224−4,y 2)， ∴PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =y 12y 2216−(y 12+y 22)+16+y 1y 2=−16m 2−16， ∴|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=16m 2+16≥16，当且仅当m =0时，|PC|⋅|PB|取最小值16．解析：本题抛物线方程的求法，考查两线段积的最小值的求法，考查抛物线性质、韦达定理、向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(Ⅰ)由抛物线上的点A 到y 轴的距离为|AF|−1，得p 2=1，由此能求出p ．(Ⅱ)由抛物线方程为y 2=4x ，设直线CB 的方程为：x =my +t ，直线与抛物线联立：{x =my +t y 2=4x，得：y 2−4my −4t =0，由此利用抛物线性质、韦达定理、向量的数量积公式能求出结果．22.答案：解：(1)ca =√22，a2=2c2，b2=c2，又bc=1，∴b=c=1,a=√2，所以椭圆的标准方程为x22+y2=1．(2)证明：如图所示：设直线l的方程为y=k(x+1)+1，M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立{y=k(x+1)+1x22+y2=1得(2k2+1)x2+4k(k+1)x+2k2+4k=0，∴x1+x2=−4k(k+1)2k2+1,x1x2=2k2+4k2k2+1，∴K BM+K BN=y1+11+y2+12=k(x1+1)+21+k(x2+1)+22=2k+k+2x1+k+2x2=2k+(k+2)(x1+x2)x1x2．=2k−(k+2)4k(k+1)2k2+4k=2k−2(k+1)=−2．∴直线BM与BN的斜率之和为定值．解析：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．(1)利用离心率以及三角形的面积，求解椭圆的几何量，得到椭圆方程．(2)联立直线与椭圆方程．设出MN的坐标，利用韦达定理，转化求解斜率，推出定值即可．。
黑龙江省齐齐哈尔市实验中学高二数学上学期期中试题
2015-2016学年度实验中学高二上学期期中考试题数学理试卷一．选择题（每小题5分）1.双曲线221412x y -=的焦点到渐近线的距离为 （ ）A ．23．2 C 3 D ．1 的值分别为（）与则若已知n m n m m ,//),2,12,6(),2,0,1(.2-=+= 21,51.A 21,51.--B 2,5.C 25.--，D 是（）且垂直极轴的直线方程），则过点，的极坐标为（已知点P P π1.31.=ρA θρcos .=B θρcos 1.—=C θρcos 1.=D 夹角的余弦值为（）与则向量，，，，，，，，已知C B A )413()101()122(.4-- 55.A 5555.B 1111.C 1155.D 的取值范围是（）倾斜角两点，则直线、相交于与曲线直线αl B A x y x x k y l )0(1)2(:.522>=--=)0.[π，A )432()24.(ππππ，，Y B )2,0.[πC ]432()24.[ππππ，，Y D6.设定点1(0,2)F ，2(0,2)F -，动点P 满足条件124(0)PF PF a a a+=+>，点P的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段的值为（）的正三角形，则是面积为在椭圆上，的左右焦点，点分别为椭圆如图，2222222131,.7b POF P by ax F F ∆=+3.A 32.B33.C 34.D（）则椭圆的离心率范围是，使得若椭圆上存在点的左右焦点分别为椭圆212122222,,1.8PF PF P F F by a x ==+)1,31.[A )1,31.(B )1,32.[C )1,32.(D 是（）为直角，则下述正确的折起，使得二面角现将，且中是等腰直角三角形，其如图，D BC A ABC BCD BC DB A ABC --∆︒=∠⊥︒=∠∆,30,90.9 ①0=⋅AC BD②的法向量垂直的法向量与平面平面ACD BCD ③︒60所成角为与异面直线AD BC ④︒30所成角为与平面直线ABC DCA. ①③B. ①④C. ①③④D.①②③④（）则对应参数分别为上的两个点为参数直线=⎩⎨⎧+=+=AB t t B A t bty y atx x 2100,,)(.1021.t t A - 2122.t t b a B -+ 2221.ba t t C +- 2221.ba t t D +-的取值范围是（），则所成角为与平面直线上，在线段的中点，设点为线段点如图，正方体ααsin ,.11111111BD A OP CC P BD O D C B A ABCD -]1,33.[A ]1,36.[B ]322,36.[C ]1,322.[D的取值范围（）则两点，设、交抛物线与作直线过的焦点为已知抛物线n m n FB m FA B A l F F x y ⋅===,,,8.122]4,0.（A ]14,0（B )4.[∞+，C )16.[∞+，D二．填空题：（每小题5分）_________13)0(2:.13122221的方程为则抛物线的一个焦点相同，—，与双曲线若抛物线C y x C p px y C =>=_______PF F ∠F 焦的149椭圆.14212122的横坐标的取值范围是为钝角，则点得为椭圆上任意一点，使，，点分别为左右P P F y x =+________1.1511111的取值范围上运动，则在线段，若动点的棱长为正方体AP DC BD P D C B A ABCD ⋅-_________,)0,0)(,(),12(,,159.16211211211100002122=-⋅=⋅>>=+∆∆PMF PMF S S F F MF F F PF MF PF y x y x P C M F F C y x 则满足上的点双曲线，已知点其左右焦点分别为顶点的双曲线的顶点为焦点，焦点为以椭圆三．解答题：.21)(sin cos 2,04sin -cos 17距离的最大值与最小值上的点到）求（的直角坐标方程与）写出（为参数的参数方程为：曲线的极坐标方程为：直线l C C l y x C l θθθθρθρ⎩⎨⎧===+所成角的正弦值与平面求直线）证明：（的中点为棱，点，底面中，如图，在四棱锥PBD BE DCBE PC E AB AP DC AD DC AB AB AD ABCD PA ABCD P )2(112,//,,.18⊥====⊥⊥-的最小值求，只有一个公共点且与曲线经过点上，直线在直线）若点（求此曲线的方程的轨迹为曲线）若点（满足动点，，已知点QM M C Q l y x l Q C P PB PA P B A 2103:2,12),03(),03(..19=++=-.,12)0210(.2122值的最小值及相应的求两点，交于的直线与曲线作倾斜角为，过点ααPN PM N M y x P ⋅=+1-5AACBB 6-10DABB 11-12BD 13.x y82= )553,553.(14-]1,0.[15 2.16 21024,21024)2(04)1.(17min max -=+==+-d d y x18.56656.19时，有最小值为或当παπα==204)2(16)5)(1.(21min 22==+-d y x .20 )0,63)[2(134)1.(2222-=+y x。
黑龙江省实验中学高二上期中考试理科数学试题
黑龙江省实验中学高二上期中考试理科数学试题高二数学试卷(文科)第一卷(选择题共60分)一、选择题1.抛物线22x y =的准线方程是 A.21-=x B.81-=x C.81-=y D.21-=y 2.假定实数k 满足，＜＜90k 那么曲线192522=--k y x 与曲线192522=--y k x 的 A.焦距相等 B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等 D.离心率相等3.如下图,三棱锥ABC O -中,，，，c OC b OB a OA ===且，，NC BN MA OM ==3那么=MN A.c b a 313141++ B.c b a 313141++- C.c b a 212143++- D.c b a 212143++ 4.直线0=+-m y x 与圆1:22=+y x O 相交于A 、B 两点,且△OAB 为正三角形,那么实数m 的值为 A.23 B.26 C.2323-或 D.2626-或 5.设21F F 、区分是双曲线154:22=-y x C 的左右焦点,点P 在双曲线C 的右支上,且，021=•PF PF =+ A.4 B.6 C.142 D.746.正方体 1111D C B A ABCD -的棱长为，a 点M 在1AC 上且121MC =N 为B B 1的中点,那为A.a 621B.a 66C.a 615D.a 315 7.如图,在一切棱长均为a 的直三棱柱111C B A ABC -中,D 、E 区分为111C A BB 、的中点,那么异面直线AD 、CE 所成角的余弦值为 A.21 B.23 C.51 D.54 8.在x 轴、y 轴上截距相等且与圆()()1232222=-++y x 相切的直线l 共有 A.2条 B.3条 C.4条 D.6条9.双曲线()001:2222＞，＞b a by a x C =-的左、右焦点区分是21F F 、,以2F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,假定21MF F △为等腰三角形,那么C 的离心率是 A.34 B.35 C.3 D.5 10.双曲线()0012222＞，＞b a by a x =-的两个顶点区分为A 、B,点P 为双曲线上除A 、B 外恣意一点,且点P 与点A 、B 连线的斜率区分为21k k 、,假定，321=k k 那么双曲线的渐进线方程为A.x y ±=B.x y 2±=C.x y 3±=D.x y 2±=11.如图,过抛物线()022＞p px y =的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B,交其准线l 于点C,假定点F 是AC 的中点,且|AF|=4,那么线段AB 的长为A.5B.6C.316D.320 12.椭圆()012222＞＞b a by a x =+的左顶点和上顶点区分为A 、B,左、右焦点区分是21F F 、,在直线AB 上有且只要一个点P 满足，21PF PF ⊥那么椭圆的离心率为 A.23 B.213- C.35 D.215-第二卷(非选择题共90分)二、填空题(20分)13.假定椭圆06322=-+k y kx 的一个焦点是(0,2),那么k 的值为________.14.椭圆141622=+y x 的左、右两焦点21F F 、,A 为椭圆上一点,且 ()()，，212121OF +=+==+________. 15.双曲线两渐近线为02=±y x ,焦点到渐近线的距离为2,那么此双曲线的规范方程为___________________.16.抛物线，x y C 4:2=直线l 过抛物线焦点F,l 与C 有两个交点A 、B,线段AB 的中点M 的纵坐标为1,那么直线l 的方程为___________.三、解(本大题共6个小题,合计70分17.(此题总分值10分)在平面直角坐标系xOy 中,圆，03710:22=+--+y mx y x C 圆C 上存在关于032=--y x 对称的两点。
黑龙江省实验中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
黑龙江省实验中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．直线320x ++=的倾斜角为（）A ．30B ．60C ．120D ．1502．抛物线22y x =的焦点坐标为（）A ．1(,0)8B ．1(0,)8C ．1(,0)2D ．1(0,)23．已知随机事件A ，B 满足()12P A =，()25P B =，()35P A B =U ，则()P A B ⋂=（）A ．15B ．310C ．38D ．134．已知双曲线C 的一条渐近线方程为2y x =，实轴长为4，则C 的方程为（）A ．221416x y -=B ．2211664x y -=C ．221416x y -=或2214y x -=D ．221416x y -=或221164y x -=5．已知圆()()22:125C x y +++=，点()2,2A ，若直线AM ，AN 分别切圆C 于M ，N 两点，则直线MN 的方程为（）A ．3460x y ++=B ．3470x y ++=C ．4360x y ++=D ．4370x y ++=6．已知ABC V 的两个顶点为−2,0，()2,0B ，且AC ，BC 的斜率之积等于()0k k ≠，则（）A ．当1k =-时，C 的轨迹为直线（去掉A ，B 两点）B ．当1k <-时，C 的轨迹为双曲线（去掉A ，B 两点）C ．当10k -<<时，C 的轨迹为椭圆（去掉A ，B 两点）D ．当0k >时，C 的轨迹为抛物线（去掉A ，B 两点）7．某航天器的运行轨道是以地心为一个焦点，且离心率为3139的椭圆.设地球半径为R ，若其近地点离地面的距离为13R ，则远地点离地面的距离为（）A ．323R B ．353R C ．12R D ．293R 8．已知椭圆221:1(2)2x y C m m +=>与双曲线222:1(0)2x y C n n -=>有公共的焦点1F 、2F ，P 是1C 和2C 的一个公共点，则12PF PF +=（）A ．B ．C ．D ．二、多选题9．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0A -，()2,0B ，P 是一个动点，则（）A ．若6PA PB +=，则点P 的轨迹为椭圆B ．若2PA PB -=，则点P 的轨迹为双曲线C ．若PA PB PA PB +=-，则点P 的轨迹为直线D ．若2PA PB = ，则点P 的轨迹为圆10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取一个球.事件M =“第一次取出的球的数字是1”，事件N =“第二次取出的球的数字是2”，事件P =“两次取出的球的数字之和是8”，事件Q =“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A ．M 与P 互斥B ．P 与Q 互斥C ．N 与P 相互独立D ．M 与Q 相互独立11．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l .设过F 且倾斜角为60 的直线与C 交于A ，B 两点，过A 作1AA l ⊥，1BB l ⊥，垂足分别为1A 和1B ，1A F ，1B F 与y 轴分别交于点M ，N ，AM 与BN 交于点P ，则（）A ．M 为1A F 的中点B ．1//A F BNC ．1132A PB P =D ．3PF p =三、填空题12．已知圆()()22:2113C x y -++=，则过点()3,1的圆C 的最短弦所在的直线方程为.13．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，长轴长为16，过2F 且C 在第一象限交于点M ，且21235MF F F =，则b =.14．已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，0,0是抛物线E 上异于原点O 的一点，过点P 且斜率为py 的直线l 与x 轴交于M 点，与y 轴交于N 点，则MNF ∠=.四、解答题15．甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.(1)写出甲、乙抽到牌的所有情况；(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3大的概率是多少？(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？16．已知圆22:2220C x y x y +---=.(1)求过点()3,2A -与圆C 相切的直线方程.(2)求过点()6,3B --与圆C 相交且弦长为.17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，离心率为12，且C 经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)求C 的方程；(2)已知11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭是椭圆内一点，过点M 任做一条直线与椭圆交于B 、C 两点，求以M 为中点的弦所在的直线方程.18．已知()2,0A 和()4,3P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上两点.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)求双曲线C 的离心率及渐近线方程；(3)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为6，求l 的方程.19．已知动圆Q 经过点(1,0)F 且与直线1x =-相切，记圆心Q 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)设过点F 且斜率为正的直线l 交曲线C 于,A B 两点（点A 在点B 的上方），AB 的中点为M ，①过,M B 作直线1x =-的垂线，垂足分别为11,M B ，试证明：11AM FB ∥；的面积为4，求直线l的方程．②设线段AB的垂直平分线交x轴于点P，若FPM。
黑龙江省实验中学高二(上)期中数学试卷含答案
A.
3 2
B. 3
C.
1 2
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 直线푥 + 푦−1 = 0的倾斜角为훼，则푐표푠훼 = ______．
D. 3 4
14. 顶点在坐标原点，焦点为퐹(0,1)的抛物线上有一动点 A，定点푀(−1,4)，则 |퐴푀| + |퐴퐹|的最小值为______．
A.
1 25
B.
3 40
C.
1 8
D.
3 5
8. 已知抛物线 C：푦2 = 4푥的焦点 F 和准线 l，过点 F 的直线交 l 于点 A，与抛物线的 一个交点为 B，且퐹퐴 = −3퐹퐵，则|퐴퐵| = ( )
A.
2 3
B.
4 3
C.
32 3
D.
16 3
9. 设点 F 和直线 l 分别是双曲线푎푥22−푦푏22 = 1(푎 > 0,푏 > 0)的一个焦点和一条渐近线，若 F 关于直线 l 的对称点恰好落在双曲线上，则该双曲线的离心率为( )
的方程．
第 5 页，共 17 页
1.【答案】B
答案和解析
【解析】解： ∵ 푦 = −18푥2， ∴ 푥2 = −8푦， ∴ 其准线方程是푦 = 2． 故选：B．
先把抛物线푦 = 푥 −1푥2转换为标准方程 2 = −8푦，然后再求其准线方程． 8
本题考查抛物线的基本性质，解题时要认真审题，仔细求解．
第 9 页，共 17 页
本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用三角形的中位线定理和双曲线的定义，考查 化简整理的运算能力，属于中档题．
10.【答案】B
【解析】解：作出不等式对应的平面区域如图， 퐴(2푎 + 2,푎)
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黑龙江省实验中学2019-2019学年度上学期高二年级期中考试
高二数学试卷(理科)
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题
1.抛物线22x y =的准线方程是 A.21-=x B.81-=x C.81-=y D.2
1-=y 2.若实数k 满足，＜＜90k 则曲线192522=--k y x 与曲线19
252
2=--y k x 的 A.焦距相等 B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等 D.离心率相等
3.如图所示,三棱锥ABC O -中,，，，c OC b OB a OA ===且，，NC BN MA OM ==3则=MN A.c b a 313141
++ B.c b a 313141++- C.c b a 212143++- D.c b a 2
12143++ 4.已知直线0=+-m y x 与圆1:22=+y x O 相交于A 、B 两点,且△OAB 为正三角形,则实数m 的值为 A.23 B.26 C.2323-或 D.2
626-或 5.设21F F 、分别是双曲线15
4:2
2=-y x C 的左右焦点,点P 在双曲线C 的右支上,且
，021=•PF PF = A.4 B.6 C.142 D.74
6.正方体 1111D C B A ABCD -的棱长为，a 点M 在1AC 上且，12
1MC AM =N 为B B 1的中点,则
为 A.a 621 B.a 66 C.a 615 D.a 3
15
7.如图,在所有棱长均为a 的直三棱柱111C B A ABC -中,D 、E 分别为111C A BB 、的中点,则异面直线AD 、CE 所成角的余弦值为 A.21 B.23 C.51 D.5
4 8.在x 轴、y 轴上截距相等且与圆()()123222
2=-++y x 相切的直线l 共有 A.2条 B.3条 C.4条 D.6条
9.已知双曲线()001:22
22＞，＞b a b
y a x C =-的左、右焦点分别是21F F 、,以2F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,若21MF F △为等腰三角形,则C 的离心率是 A.34 B.3
5 C.3 D.5 10.已知双曲线()00122
22＞，＞b a b
y a x =-的两个顶点分别为A 、B,点P 为双曲线上除A 、B 外任意一点,且点P 与点A 、B 连线的斜率分别为21k k 、,若，321=k k 则双曲线的渐进线方程为
A.x y ±=
B.x y 2±=
C.x y 3±=
D.x y 2±=
11.如图,过抛物线()022＞p px y =的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B,交其准线l 于点C,若点F 是AC 的中点,且|AF|=4,则线段AB 的长为
A.5
B.6
C.316
D.3
20 12.已知椭圆()0122
22＞＞b a b
y a x =+的左顶点和上顶点分别为A 、B,左、右焦点分别是21F F 、,在直线AB 上有且只有一个点P 满足，21PF PF ⊥则椭圆的离心率为 A.23 B.213- C.35 D.2
15- 第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(20分)
13.若椭圆06322=-+k y kx 的一个焦点是(0,2),则k 的值为________.
14.已知椭圆14
162
2=+y x 的左、右两焦点21F F 、,A 为椭圆上一点,且 ()()
，，212121OF OA OC OF OA OB +=+==+________. 15.已知双曲线两渐近线为02=±y x ,焦点到渐近线的距离为2,则此双曲线的标准方程为___________________.
16.已知抛物线，x y C 4:2=直线l 过抛物线焦点F,l 与C 有两个交点A 、B,线段AB 的中点M 的纵坐标为1,则直线l 的方程为___________.
三、解(本大题共6个小题,共计70分
17.(本题满分10分)
在平面直角坐标系xOy 中,已知圆，03710:22=+--+y mx y x C 圆C 上存在关于 032=--y x 对称的两点。
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线l 过点A(2,0),且与圆C 相切,求直线l 的方程。
18.(本题满分12分)
如图,在三棱柱111C B A ABC -中,C C AA 11是边长为4的正方形,面ABC ⊥面C C AA 11，AB=3，BC=5.
(1)求证:1AA ⊥平面ABC ；
(2)求底面三角形ABC 的重心G 到面11BC A 的距离.
19.(本题满分12分)
如图所示,四棱锥ABCD S -中,SA ⊥底面ABCD,SA=2,∠ABC=90°,AB=，3BC=1，AD=，32∠ACD=60°,E 为CD 的中点.
(1)求证:BC ∥平面SAE ；
(2)求直线SD 与平面SBC 所成角的正弦值.
20.(本题满分12分)
已知点A(-1,0),F(1,0),动点P 满足=•
(1)求动点P 的轨迹C 的方程；
(2)设点A 、B 为轨迹C 上异于原点O 的两点,且()，＞04a a k k OB OA -
=•若a 为常数,求证:直线AB 过定点M.
21.(本题满分12分)
四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 为菱形,∠DAB=，π3
△ADP 为等边三角形.
(1)求证:AD ⊥PB ；
(2)若AB=2,BP=，6求二面角A PC D --的余弦值.
22.(本题满分12分) 已知椭圆()01:22
22＞＞b a b
y a x E =+与y 轴的正半轴相交于点M,点21F F 、为椭圆的焦点,且21F MF △是边长为2的等边三角形,若直线:32:+=kx y l 与椭圆E 交于不同的两点A 、B.
(1)直线MA 、MB 的斜率之积是否为定值?若是,请求出该定值；若不是,请说明理由。
(2)求△ABM 的面积的最大值。