chapt5-2-清华大学半导体物理分析
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= ( np ni2 ) ( rann + rapp ) (5.81)
(5.81) 代入 n = n0+Δn、p = p0 +Δp，令Δn =Δp，分小信号和 大信号两种情况，导出带间俄歇复合决定的τ=?
小信号(Δn、Δp<<n0+p0 )
U = ( np ni2 ) ( rann + rapp )
其中1 、 2为方程
即方程
p Dp p 2 p E p 1 0
Lp E p E p
2 p 2
D p p E
1
0
(5.58)
的两个根。令：
(5.58)式写成
L Lp E 1 0
(5.58)
L Lp E 1 0
(5.70)
1 强n型： p ， rn0
大信号：Δn,Δp >> n0 + p0
1 强p型： n rp 0
Βιβλιοθήκη Baidu
当多子浓度↑时，少子寿命↓
n p
1 rp
(5.74)
τ n，τp不是常数，与注入相关
1 带间直接复合 n p r (n0 p0 p)
r 值：
(5.70)
Ge、Si （间接禁带），r 为 1014～10-15 (cm3s-1)
GaAs（直接禁带）， r 为 1010 (cm3s-1) 举例：300K，Si，r = 1.79 1015 (cm3s-1) 本征Si， n0 = p0 = ni = 1.5 1010 (cm-3) 小注入，τ= 1 / r (n0 + p0) 2 104 (sec)
5.2.4 扩散长度和牵引长度（两个稳态问题的例子） 考虑强 n型半导体，表面光注入， x=0处 Δn=Δp，体 内 δG=0 ，样品厚度 d 足够厚，求稳态过剩载流子分布 （Dn>Dp，E内建为+x方向）。 对于强杂质型半导体，过剩载流子的分布完全由少 子的扩散和漂移决定，本题只需求解双极输运方程：
en、ep 分别称为电子和空穴的产生系数
下面找出 rn 和 en、 rp 和 ep 之间的关系 热平衡， Gn0 = Rn0，
en nr 0 rn n0 ( N r nr 0 ) Nr en rn n0 ( 1) nr 0
式中nr0 为热平衡时复合中心占有电子浓度。可以利 用施主能级占有电子浓度的公式(3.34)：
U = ( np ni2 ) ( rann + rapp ) 大信号 (Δn、Δp >> n0 + p0 )
(5.81)
大信号，Δn=Δp >> n0 + p0 ，即n = p =Δp ；
令Δn=Δp，代入(5.81)式，得：
U (p ni )p(ran rap )
2
2
p p p * p * D E G 2 t x x
2
稳态： p / t = 0； 强n型：D*=Dp、μ*=μp；体内δG=0。
p p p Dp pE 0 (5.49) 2 x x p
2
扩散长度
考虑弱场情形，忽略漂移项， (5.49)式变成：
J n0 n n0 J p 0 n p 0
实验表明
J n0 n n0 J p0 n p0
引入比例系数 S
J n0 n S n0 J p0 n S p0
S 具有速度量纲 ，称为表面复合速度。如同 (Δn)0 或 (Δp)0 以速度S流出表面。 S 的大小取决与表面加工工艺、表面沾污等 存在表面复合时，过剩载流子的寿命由体内复合和 表面复合共同决定，用τeff 表示
1
eff
1
体
F
表面
体
F是一个与样品几何形状有关的量 S小、体积大、均匀注入，F=0， eff 1 1 2S S大、样品薄， eff 体 d S 越大，d 越小， τeff 越小
§5.3 复合过程与寿命计算
介绍半导体中主要的复合机构和各种复合机构所决 定的寿命的计算。 复合过程可分两大类：
U = R G0 = r ( np n0p0 ) = r ( n0 + p0 +Δp )Δp
由 Un=Δn /n， Up=Δp /p， 得
1 n p r (n0 p0 p)
(5.70)
带间直接复合
讨论： 小信号：Δn，Δp << n0 + p0
1 n p r (n0 p0 p)
p
式中
n p
1 p (ran rap )
2
大信号，τ与注入相关，不是常数。
5.3.3 通过复合中心的复合(间接复合)
——半导体中主要的复合机构 通过复合中心的复合：复合中心俘 获一个电子(或空穴)，再俘获一个空穴 (或电子)，实现电子-空穴对的复合。 复合中心通常是一些深能级杂质或缺陷，其能级用 Er表示。 Er位于禁带中央附近。
2 p 2
(5.58)
2 p
1 2 L p E 2Lp
L E 4 L
2 p
1取“+”，1>0；2取“”，2<0； 1、2取决于电场。 将 1、2 代入一般解
p( x) Ae
得： 稳态分布 A=0，B= (Δp)0
1x
Be
2 x
边界条件：x = 0 ，Δp = (Δp)0；x = d ，Δp = 0
n型Si， n0 = 1015 (cm-3)
τp = 1 / r n0 0.6 (sec)，比测量值大得多
带间直接复合不是Si的主要复合机构
5.3.2 带间俄歇复合 俄歇 (Auger) 复合必须有第三个粒 子参与，因此复合率 Ra 和载流子浓 度的关系为: Ra n2p 或： Ra np2
引入比例系数ran、rap
二电子一空穴过程:
二空穴一电子过程:
Ran = rann2p
Rap = rapnp2
(5.75)
(5.76)
ran、rap 称为俄歇复合系数。
与俄歇复合相反的电子-空穴对的产 生过程是碰撞电离，电子-空穴对的产 生率Ga ： Ga 高能粒子浓度
引入比例系数gan，gap，
p( x) (p)0 e
2 x
（2<0） (5.59)
过剩载流子分布指数衰减，衰减常数为1/ 2 。
弱场
Lp E p E p Lp
1 2 2 Lp E 2Lp
L E 4 L
2 p
2 p
1 Lp
单纯扩散
强场
Lp E p E p Lp
0
稳态：流向表面的粒子流密度＝表面复合率，即单 位时间、通过单位表面积复合掉的过剩载流子数。
n 为表面处的单位法线矢量； J n 0、J p 0为流向表面的粒子流密度。
表面复合率即单位时间、通过单位表面积复合掉的 过剩载流子数。 实验表明
或
表面复合率 J n0 n 表面复合率 J p0 n
(5.51)
稳态分布：
定义
p ( x ) ( p ) 0 e
Lp D p p
x D p p
(5.51)
p ( x ) ( p ) 0 e
x Lp
(5.53)
过剩载流子分布指数衰减，衰减常数Lp称为空穴扩散 长度。同理， Ln电子扩散长度
Ln Dn n
Ln、Lp的物理意义：可以证明，Ln、Lp代表了少子单纯 依靠扩散在其被复合之前在半导体中的平均透入深度。
带间复合 （图5.8） (a)带间直接复合；(b)、(c)带间俄歇复合。 通过复合中心复合 (间接复合) （图5.9） 复合中心是杂质或缺陷能级，用Er表示。
5.3.1 带间直接复合 假定复合率R∝np，引入比例系数 r
R = rnp
r 称为复合系数（与n、p无关） 热平衡: G0 = R0 = rn0p0 若Δn =Δp，则过剩载流子的净复合率：
Dn Ln Ln n
(5.55)式表明扩散可视为过剩载流子以速度 vd运动的 结果。
牵引长度
考虑电场不能忽略且为常数的情形，直接求解(5.49)式：
2 p p p Dp pE 0 2 x x p
一般解
(5.49)
p( x) Ae
2
1x
Be
2 x
1 1 2 2 2 2 Lp E Lp E 4Lp 2Lp L p E
Lp(E)的物理意义： Lp
单纯漂移
E p E p vDp p
Lp E p E p
Lp(E)代表过剩空穴在其寿命期间向体内漂移的平均距离 Lp(E)称为空穴牵引长度 Ln(E)称为电子牵引长度
Dp
p p 0 2 p x
2
(5.50)
(5.50)式称为扩散方程。一般解
x
p ( x ) Ae
D p p
Be
x D p p
边界条件: x=0，Δp=(Δp)0 ；x = 得： A=0，B= (Δp)0 稳态分布:
Δp = 0 ，
x D p p
p ( x ) ( p ) 0 e
Ln E n E n
5.2.6 表面复合速度 表面处周期场中断以及存在表面缺 陷，会在表面处的禁带中形成电子态( 能级)又称表面态（能级）。
E EC EV x
位于禁带中央附近的表面态，起复 合中心的作用。
表面处除了具有与体内一样的复合， 还有表面复合，载流子在表面处的复 合率比体内大得多。 即使均匀体注入，由于表面复合， 过剩载流子的分布也是不均匀的。 表面处过剩载流子浓度低于体内，过 剩载流子将流向表面,在表面被复合。
由(5.53)式
p ( x ) ( p ) 0 e
x Lp
(5.53)
少子扩散流 Jp 为：
dp( x) Dp J p Dp p vdp p (5.55) dx Lp
vdp Dp Lp Lp
式中
p
vdp称为空穴扩散速度 vdn称为电子扩散速度
同理可定义 v dn
设：复合中心能级为 Er ； 复合中心浓度为 Nr ； 复合中心对电子的俘获系数 rn ； 复合中心对空穴的俘获系数 rp ； 已填充电子的复合中心浓度 nr ； 未填充电子的复合中心浓度 Nr – nr
四种跃迁过程：
A：俘获电子。电子俘获率： Rn = rn n ( Nr – nr ) B：俘获空穴。空穴俘获率： Rp = rp p nr C：激发电子。电子热激发率： Gn = en nr D：激发空穴。空穴热激发率： Gp = ep ( Nr – nr )
U p[ ran n ( ran rap ) n rap p ]
2 0 2 i 2 0
p
1 式中 n p 2 2 2 ran n0 (ran rap )ni rap p0
p
n
n
(5.83)
τ n =τp 为带间俄歇复合所决定的过剩载流子寿命。 小信号时为常数。
由高能电子引起的电子-空穴对的产生率Gan ： Gan = gan n 由高能空穴引起的电子-空穴对的产生率Gap ： Gap = gap p (5.78) (5.77)
gan、gap 称为碰撞电离产生系数
下面讨论 ran、rap与gan、gap的关系。
讨论 ran、rap与gan、gap的关系。
由热平衡：
Ran0 = Gan0， 即：rann02p0 = gan n0
Rap0 = Gap0， 即：rapn0p02 = gap p0
得:
gan = ranni2
gap = rapni2
(5.79)
(5.80)
俄歇复合的净复合率：
U = Ran+ Rap Gan Gap
= rann2p + rapnp2 ranni2n rapni2p
1 n p 2 2 ran n0 (ran rap )ni2 rap p0
强n型：
强p型： 本征：
(5.83)
1 p 2 ran n0
1 n 2 rap p0
1 n p 2(ran rap )ni2
τ取决于 ran、rap、n0 和 p0 。当掺杂浓度较高时，俄 歇复合也可起主要作用
(5.81) 代入 n = n0+Δn、p = p0 +Δp，令Δn =Δp，分小信号和 大信号两种情况，导出带间俄歇复合决定的τ=?
小信号(Δn、Δp<<n0+p0 )
U = ( np ni2 ) ( rann + rapp )
其中1 、 2为方程
即方程
p Dp p 2 p E p 1 0
Lp E p E p
2 p 2
D p p E
1
0
(5.58)
的两个根。令：
(5.58)式写成
L Lp E 1 0
(5.58)
L Lp E 1 0
(5.70)
1 强n型： p ， rn0
大信号：Δn,Δp >> n0 + p0
1 强p型： n rp 0
Βιβλιοθήκη Baidu
当多子浓度↑时，少子寿命↓
n p
1 rp
(5.74)
τ n，τp不是常数，与注入相关
1 带间直接复合 n p r (n0 p0 p)
r 值：
(5.70)
Ge、Si （间接禁带），r 为 1014～10-15 (cm3s-1)
GaAs（直接禁带）， r 为 1010 (cm3s-1) 举例：300K，Si，r = 1.79 1015 (cm3s-1) 本征Si， n0 = p0 = ni = 1.5 1010 (cm-3) 小注入，τ= 1 / r (n0 + p0) 2 104 (sec)
5.2.4 扩散长度和牵引长度（两个稳态问题的例子） 考虑强 n型半导体，表面光注入， x=0处 Δn=Δp，体 内 δG=0 ，样品厚度 d 足够厚，求稳态过剩载流子分布 （Dn>Dp，E内建为+x方向）。 对于强杂质型半导体，过剩载流子的分布完全由少 子的扩散和漂移决定，本题只需求解双极输运方程：
en、ep 分别称为电子和空穴的产生系数
下面找出 rn 和 en、 rp 和 ep 之间的关系 热平衡， Gn0 = Rn0，
en nr 0 rn n0 ( N r nr 0 ) Nr en rn n0 ( 1) nr 0
式中nr0 为热平衡时复合中心占有电子浓度。可以利 用施主能级占有电子浓度的公式(3.34)：
U = ( np ni2 ) ( rann + rapp ) 大信号 (Δn、Δp >> n0 + p0 )
(5.81)
大信号，Δn=Δp >> n0 + p0 ，即n = p =Δp ；
令Δn=Δp，代入(5.81)式，得：
U (p ni )p(ran rap )
2
2
p p p * p * D E G 2 t x x
2
稳态： p / t = 0； 强n型：D*=Dp、μ*=μp；体内δG=0。
p p p Dp pE 0 (5.49) 2 x x p
2
扩散长度
考虑弱场情形，忽略漂移项， (5.49)式变成：
J n0 n n0 J p 0 n p 0
实验表明
J n0 n n0 J p0 n p0
引入比例系数 S
J n0 n S n0 J p0 n S p0
S 具有速度量纲 ，称为表面复合速度。如同 (Δn)0 或 (Δp)0 以速度S流出表面。 S 的大小取决与表面加工工艺、表面沾污等 存在表面复合时，过剩载流子的寿命由体内复合和 表面复合共同决定，用τeff 表示
1
eff
1
体
F
表面
体
F是一个与样品几何形状有关的量 S小、体积大、均匀注入，F=0， eff 1 1 2S S大、样品薄， eff 体 d S 越大，d 越小， τeff 越小
§5.3 复合过程与寿命计算
介绍半导体中主要的复合机构和各种复合机构所决 定的寿命的计算。 复合过程可分两大类：
U = R G0 = r ( np n0p0 ) = r ( n0 + p0 +Δp )Δp
由 Un=Δn /n， Up=Δp /p， 得
1 n p r (n0 p0 p)
(5.70)
带间直接复合
讨论： 小信号：Δn，Δp << n0 + p0
1 n p r (n0 p0 p)
p
式中
n p
1 p (ran rap )
2
大信号，τ与注入相关，不是常数。
5.3.3 通过复合中心的复合(间接复合)
——半导体中主要的复合机构 通过复合中心的复合：复合中心俘 获一个电子(或空穴)，再俘获一个空穴 (或电子)，实现电子-空穴对的复合。 复合中心通常是一些深能级杂质或缺陷，其能级用 Er表示。 Er位于禁带中央附近。
2 p 2
(5.58)
2 p
1 2 L p E 2Lp
L E 4 L
2 p
1取“+”，1>0；2取“”，2<0； 1、2取决于电场。 将 1、2 代入一般解
p( x) Ae
得： 稳态分布 A=0，B= (Δp)0
1x
Be
2 x
边界条件：x = 0 ，Δp = (Δp)0；x = d ，Δp = 0
n型Si， n0 = 1015 (cm-3)
τp = 1 / r n0 0.6 (sec)，比测量值大得多
带间直接复合不是Si的主要复合机构
5.3.2 带间俄歇复合 俄歇 (Auger) 复合必须有第三个粒 子参与，因此复合率 Ra 和载流子浓 度的关系为: Ra n2p 或： Ra np2
引入比例系数ran、rap
二电子一空穴过程:
二空穴一电子过程:
Ran = rann2p
Rap = rapnp2
(5.75)
(5.76)
ran、rap 称为俄歇复合系数。
与俄歇复合相反的电子-空穴对的产 生过程是碰撞电离，电子-空穴对的产 生率Ga ： Ga 高能粒子浓度
引入比例系数gan，gap，
p( x) (p)0 e
2 x
（2<0） (5.59)
过剩载流子分布指数衰减，衰减常数为1/ 2 。
弱场
Lp E p E p Lp
1 2 2 Lp E 2Lp
L E 4 L
2 p
2 p
1 Lp
单纯扩散
强场
Lp E p E p Lp
0
稳态：流向表面的粒子流密度＝表面复合率，即单 位时间、通过单位表面积复合掉的过剩载流子数。
n 为表面处的单位法线矢量； J n 0、J p 0为流向表面的粒子流密度。
表面复合率即单位时间、通过单位表面积复合掉的 过剩载流子数。 实验表明
或
表面复合率 J n0 n 表面复合率 J p0 n
(5.51)
稳态分布：
定义
p ( x ) ( p ) 0 e
Lp D p p
x D p p
(5.51)
p ( x ) ( p ) 0 e
x Lp
(5.53)
过剩载流子分布指数衰减，衰减常数Lp称为空穴扩散 长度。同理， Ln电子扩散长度
Ln Dn n
Ln、Lp的物理意义：可以证明，Ln、Lp代表了少子单纯 依靠扩散在其被复合之前在半导体中的平均透入深度。
带间复合 （图5.8） (a)带间直接复合；(b)、(c)带间俄歇复合。 通过复合中心复合 (间接复合) （图5.9） 复合中心是杂质或缺陷能级，用Er表示。
5.3.1 带间直接复合 假定复合率R∝np，引入比例系数 r
R = rnp
r 称为复合系数（与n、p无关） 热平衡: G0 = R0 = rn0p0 若Δn =Δp，则过剩载流子的净复合率：
Dn Ln Ln n
(5.55)式表明扩散可视为过剩载流子以速度 vd运动的 结果。
牵引长度
考虑电场不能忽略且为常数的情形，直接求解(5.49)式：
2 p p p Dp pE 0 2 x x p
一般解
(5.49)
p( x) Ae
2
1x
Be
2 x
1 1 2 2 2 2 Lp E Lp E 4Lp 2Lp L p E
Lp(E)的物理意义： Lp
单纯漂移
E p E p vDp p
Lp E p E p
Lp(E)代表过剩空穴在其寿命期间向体内漂移的平均距离 Lp(E)称为空穴牵引长度 Ln(E)称为电子牵引长度
Dp
p p 0 2 p x
2
(5.50)
(5.50)式称为扩散方程。一般解
x
p ( x ) Ae
D p p
Be
x D p p
边界条件: x=0，Δp=(Δp)0 ；x = 得： A=0，B= (Δp)0 稳态分布:
Δp = 0 ，
x D p p
p ( x ) ( p ) 0 e
Ln E n E n
5.2.6 表面复合速度 表面处周期场中断以及存在表面缺 陷，会在表面处的禁带中形成电子态( 能级)又称表面态（能级）。
E EC EV x
位于禁带中央附近的表面态，起复 合中心的作用。
表面处除了具有与体内一样的复合， 还有表面复合，载流子在表面处的复 合率比体内大得多。 即使均匀体注入，由于表面复合， 过剩载流子的分布也是不均匀的。 表面处过剩载流子浓度低于体内，过 剩载流子将流向表面,在表面被复合。
由(5.53)式
p ( x ) ( p ) 0 e
x Lp
(5.53)
少子扩散流 Jp 为：
dp( x) Dp J p Dp p vdp p (5.55) dx Lp
vdp Dp Lp Lp
式中
p
vdp称为空穴扩散速度 vdn称为电子扩散速度
同理可定义 v dn
设：复合中心能级为 Er ； 复合中心浓度为 Nr ； 复合中心对电子的俘获系数 rn ； 复合中心对空穴的俘获系数 rp ； 已填充电子的复合中心浓度 nr ； 未填充电子的复合中心浓度 Nr – nr
四种跃迁过程：
A：俘获电子。电子俘获率： Rn = rn n ( Nr – nr ) B：俘获空穴。空穴俘获率： Rp = rp p nr C：激发电子。电子热激发率： Gn = en nr D：激发空穴。空穴热激发率： Gp = ep ( Nr – nr )
U p[ ran n ( ran rap ) n rap p ]
2 0 2 i 2 0
p
1 式中 n p 2 2 2 ran n0 (ran rap )ni rap p0
p
n
n
(5.83)
τ n =τp 为带间俄歇复合所决定的过剩载流子寿命。 小信号时为常数。
由高能电子引起的电子-空穴对的产生率Gan ： Gan = gan n 由高能空穴引起的电子-空穴对的产生率Gap ： Gap = gap p (5.78) (5.77)
gan、gap 称为碰撞电离产生系数
下面讨论 ran、rap与gan、gap的关系。
讨论 ran、rap与gan、gap的关系。
由热平衡：
Ran0 = Gan0， 即：rann02p0 = gan n0
Rap0 = Gap0， 即：rapn0p02 = gap p0
得:
gan = ranni2
gap = rapni2
(5.79)
(5.80)
俄歇复合的净复合率：
U = Ran+ Rap Gan Gap
= rann2p + rapnp2 ranni2n rapni2p
1 n p 2 2 ran n0 (ran rap )ni2 rap p0
强n型：
强p型： 本征：
(5.83)
1 p 2 ran n0
1 n 2 rap p0
1 n p 2(ran rap )ni2
τ取决于 ran、rap、n0 和 p0 。当掺杂浓度较高时，俄 歇复合也可起主要作用