原子的精细结构电子的自旋

第四章 原子的精细结构：电子的自旋

玻尔理论考虑了原子主要的相互作用即核与电子的静电作用，较为有效地解释了氢光谱。不过人们随后发现光谱线还有精细结构，这说明还需考虑其它相互作用即考虑引起能量变化的原因。本章在量子力学基础上讨论原子的精细结构。

本章先介绍原子中电子轨道运动引起的磁矩，然后介绍原子与外磁场的相互作用，以及原子部的磁场引起的相互作用。说明空间量子化的存在，且说明仅靠电子的轨道运动不能解释精细结构，还须引入电子自旋的假设，由电子自旋引起的磁相互作用才是产生精细结构的主要因素。 §4-1原子中电子轨道运动的磁矩 1.经典表示式

在经典电磁学中载流线圈的磁矩为n

iS ˆ=μρ。(若不取国际单位制，则n S c

i ρ

ρ

=μ)（S 为电流所围的面积，n ρ

是垂直于该积的单位矢量。这里假定电子轨道为圆形，可证明，对于任意形状的闭合轨道，其结果不变。）

电子绕核的运动必定有一个磁矩，设电子旋转频率为r

v

πν2=

，则原子中电子绕核旋转的磁矩为：L m e n vr m m e n r r v e

n r e S i e

e e ρρρρρρ22222-=-=-=-==ππνπμ 定义旋磁比

上式是原子中电子绕核运动的磁矩与电子轨道角动量之间的关系式。磁矩μρ

与轨道角动量L ρ反

向，这是因为磁矩的方向是根据电流方向的右手定则定义的，而电子运动方向与电流反向之故。

从电磁学知道，磁矩在均匀外磁场中不受力，但受到一个力矩作用，力矩为B ρ

ρρ

⨯=μτ

力矩的存在将引起角动量的变化，即B dt

L d ρρρρ

⨯==μτ 由以上关系可得B dt d ρρρ⨯-=μγμ，可改写为μωμρ

ρ

ρ

⨯=dt

d

拉莫尔进动的角速度公式B ρ中高速旋转的磁矩不向B ρ

靠拢，

而是以一定的ωρ

绕B ρ作进动。ωρ的方向与B ρ一致。进动角频率（or

2.量子化条件

此前的两个量子数中，主量子数n 决定体系的能量，角动量量子数l 决定轨道形状。

轨道平面方向的确定：当有一个磁场存在时，磁场B ρ

的方向即为参考方向，轨道平面的方向也

才有意义。 轨道角动量L ρ

垂直于轨道平面，它相对于磁场方向(定义为z)的角度α决定了轨道平面的方向，

如右图示。

此前得到角动量量子化条件为：Λη,,,l ,l L 321==

鉴于量子力学的本质，将此条件作一原则性改动，取由量子力学计算所得的结果

Λη,,,l ,)l (l L 2101=+=，

由此引入第三个量子化条件：l ,,l ,l m ,m L z --==Λη1 显然，对于一固定的l ，有(12+l )个m 值。 3.角动量取向量子化

根据轨道角动量及其分量的量子化条件⎪⎩⎪⎨⎧--===+=l

l l m m L l l l L z ,,1,,2,1,0,)1(ΛηΛ

η做出其矢量模型示意图(右

图)。其特点是L ρ

不能与z 方向重合，这正是对角动量量子化条件改动而产生的效果。

将以上量子化条件代入磁矩

μ和磁矩在z 方向投影的表达式z μ有：

⎪⎩⎪⎨

⎧-=-=-=+-=-=B

z z B

m m L l l L μγγμμγμη)1(

玻尔磁子，是轨道磁矩的最小单元。是原子物理学中的一个重要常数。

可改写为)ea (e e m c e e B 1

2222

1

21αμ==ηη，式中1371=α为精细结构常数，1a 是第一玻尔半径。此式说明磁相互作用至少比电相互作用小两个数量级。

4-2史特恩-盖拉赫实验（在外加非均匀磁场中原子束的分裂）

1921年，史特恩和盖拉赫首次作实验证实了电子自旋的存在，是对原子在外磁场中取向量子化的首次直接观察，是原子物理学中最重要的实验之一，实验装置如右图示。

从加热炉O 中发出一束氢原子蒸气（由于炉温不很高，故原子处于基态），原子速度满足于

kT mv 2

3

212=，

氢原子先后穿过两个狭缝后即得到沿x 方向运动的速度为v 的氢原子束。原子束穿过磁场区最后落在屏上。

为使氢原子束在磁场区受力，要求磁场在0

A 的线度围是非均匀磁场（实验的困难所在）。 沿x 方向进入磁场的原子束只在Z 方向上受力，z

B F Z

z

z ∂∂=μ 原子束在磁场区的运动方程为：⎪⎩

⎪

⎨⎧==2121t m F z vt x Z

原子经磁场区（长度为D ）后，与x 轴线的偏角为：211

)(mv

d F tg mv t F tg dx dz

tg z d z ---===α 当原子束落至屏上P 点时，偏离x 轴的距离为kT

dD z B z z z 32∂∂=μ。

式中βμμcos =z ，见右上图。

由以上讨论知，不仅μ呈量子化，μ在z 方向的投影也呈量子化，因为只有这样，2z 的数值才可能是分立的。故从实验测得2z 是分立的，反过来证明μ呈量子化。

此实验是空间量子化最直接的证明，它是第一次量度原子基态性质的实验。

以上只考虑了电子的轨道运动，现将电子的自旋也考虑进来，即原子的总磁矩是由轨道和自旋两部分磁矩合成的。只有全面考虑才能解释氢原子在非均匀磁场中的偶分裂现象。于是

kT dD z B z z z

32∂∂=μ中的B J J z g m μμ-=，即kT

dD

z B g m z Z B J J 32∂∂±=μ

在运用上式时须注意单位，kT 3的单位应取eV 。

由于J J J m J --=,,1,Λ共有)12(+J 个值，所以就有)12(+J 个分裂的2z 值，即在感光板上有)12(+J 个黑条，表明了)12(+J 个空间取向。由此得出一种通过实验确定g 因子的重要方法。

可据上式解释单电子或多电子体系的各种原子的史特恩-盖拉赫实验结果。对于氢（单电子），因氢原子处于基态，2

1

,210,21,0,1±==+==

==j m s j s l n ，进而可得出2=j g ，故有1

=J J g m 于是与具

体

实

验

参

数

相

对

应

的