第6章 Z变换PPT课件

有限维LTI IIR离散时间系统
用线性常系数差分方程来描述的LTI离散时间系统：
N
M
dky[nk]pkx[nk]
k0
k0
其传输函数可以通过对方程两边同时取z变换得到：
M
H ( z)
Y (z) X (z)
k 0 N
pk zk dk zk
k 0
有限维LTI IIR离散时间系统
H(z)是关于z的有理函数：
定频率范围内很大程度地衰减信号，则需要在该 频率范围内将传输函数的零点放到距单位圆非常 接近的位置，或直接放在单位圆上。 频率增强设计：若需要在某个特定频率范围内很 大程度上强化信号，就需要在该频率范围内将传 输函数的极点放在与单位圆非常近的地方
FIR数字滤波器 有限维LTI IIR离散时间系统
FIR数字滤波器
冲激响应h[n]定义在区间N1≤n≤N2上，在区间 外有h[n]=0，传输函数为：
N2
H(z) h[n]zn nN1
对于因果FIR滤波器，0≤N1≤N2，所以所有极 点均在z平面的原点处
H(z)的收敛域是除了z=0的整个z平面 P267 例6.33
定义
由LTI数字离散时间系统，其冲激响应为h[n]，则 系统的输入输出关系为
y[n]h[k]x[nk] k
由z变换的卷积定理可知：
Y(z)H (z)X(z)
结论 LTI离散时间系统的传输函数H(z)是输出序列 y[n]的z变换Y(z)与输入序列x[n]的z变换X(z)之比
LTI离散时间系统传输函数的表示
l1 N
(z l )
l1
传输函数的频率响应
因式分解后，频率响应可以通过z=ejω代入得：
M
H(ej) p0 ej(NM) d0
(ej l)
l1
N
(ej l)
l1
M
幅度函数： 相位响应：
| H(ej) | p0 d0
(ej l )
l1
N
(ej l )
l1
aH re j g a d r p 0 0 g ( N M ) k M 1 ae r j g k ) (k N 1 ae r j g k )(
对于稳定的有理传输函数：
H (z) D P ( (z z ) )p d 0 0 p d 1 1 z z 1 1 p d M N 1 1 z z ( (M N 1 1 ) ) d p N M z z N M
M
因式分解：
H(z) z(NM) p0 d0
(z l )
左边无限长序列的z变换
N
vl(z) vl[n]zn n
序列定义于区间：-∞ ≤n≤ N 收敛域是z平面上某个圆的内部，该圆是以最
近的极点位置为半径的圆
双边无限长序列的z变换
1
w (z) w [n ]z n w [n ]z n w [n ]z n
n
n 0
n
序列定义于整个坐标轴
有用性质的证明
共轭性质 时间反转性质 线性性质 P258 例6.22
有限长序列卷积计算
线性卷积 圆周卷积
线性卷积
两序列x[n],h[n]的线性卷积和y[n] 的z变换 Y(z)可以由x[n]和h[n]的z变换相乘获得
例6.30 6.31
圆周卷积
仍可用多项式乘法来计算，但需引入模运算 步骤：
NM
N
g[nM]zNMn
G(z) g[n]znn0 nM
zN
z=∞处有M个极点，z=0处有N个极点
在z=0或z=∞处可能不收敛外，在z平面的其他 地方都收敛
右边无限长序列的z变换
Ul(z) ul[n]zn nM
序列定义于区间：M≤n≤ ∞ 收敛域是z平面上某个圆的外部，该圆是以最
远的极点位置为半径的圆
函数给出
定义和收敛域
对于给定的序列g[n]，其z变换G(z)定义为：
G(z) g[n]zn n
z变换可以看成是{g[n]r-n}的DFT 收敛域(ROC)：使z变换收敛的所有z的集合Rg z变换收敛的条件为：
g[n]rn
n
P243 例6.1
有理z变换
z变换是关于z-1的有理函数，即是关于z-1的 两个多项式之比
通过对分子和分母多项式进行因式分解可求得零点和极点 对于因果IIR滤波器，冲激响应是因果序列，则其传输函数
的收敛域在其经过原点最远的极点的圆的外部
z mkaxk
P268 例6.34
传输函数的频率响应
z变换与傅立叶变换的关系
建立LTI数字滤波器频率响应函数和传输函数的
关系： H ej H (z)|z ej
第6章 Z变换
主要内容
定义和收敛域 有理z变换 逆z变换 z变换的性质 有限长序列卷积的计算 传输函数
概述
z变换是离散时间傅立叶变换的推广形式 对于很多序列，其离散时间傅立叶变换不存
在，但其z变换存在 对于实值序列，其z变换是复数变量z的实有
理函数 z变换是数字滤波器设计和分析的重要工具 在z域中，LTI离散时间系统的表示由其传输
P270 例6.35 声门脉冲模型
频率响应的几何解释
频响表达式中的典型因式：
ejej
LTI数字滤波器传输函数 的幅度和相位响应的近似 图可以通过研究它的极点 和零点的位置得到。
频率响应的几何解释
当ω=φ是零点时，原式具有最小幅度值 当ω=φ是极点时，原式具有最大幅度值（∞） 频率衰减设计：若所设计的数字滤波器需要在特
零点和极点 z变换的收敛域
只有指出z变换的收敛域，其与原序列才有唯一 的对应关系
若序列的z变换的收敛域包括单位圆，则序列的 傅立叶变换可以简单的通过它在单位圆上的z变 换求得
各种序列的z变换收敛域
有限长序列的z变换 右边序列的z变换 左边序列的z变换 双边序列的z变换
有限长序列的z变换
收敛域是两个同心圆之间的环，该环在两个极 点上，没有极点在环内
例6.8：双边无限长序列不存在z变换
matlab计算
根据有理式形式的多项式确定z变换Fra Baidu bibliotek零极点 例6.9 程序6_1
根据零极点来确定有理式形式的多项式 例6.10 程序6_2
逆z变换
使用查表法计算逆z变换 使用部分分式展开法求逆变换 P253 例6.14
按线性卷积进行运算 按z的次数进行模运算
例6.32
传输函数
系统频率响应H(ejω)是系统冲激响应的 DTFT
频率响应函数是关于频率变量ω的复函数， 很难依据系统频响函数实现滤波器。
传输函数：系统冲击响应的z变换 对于实冲激响应，传输函数的系数为实数，
则滤波器的传输函数是z-1的实有理函数， 易于合成实现。