江西省九江第一中学等差数列练习题(有答案)百度文库

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经典等差数列性质练习题(含答案)

经典等差数列性质练习题(含答案)让研究更高效以下是等差数列基础题选，附有详细解答。

一、选择题（共26小题）1.已知等差数列 {an} 中，a3=9，a9=3，则公差 d 的值为（）。

A。

6B。

1C。

-3D。

-122.已知数列 {an} 的通项公式是 an=2n+5，则此数列是（）。

A。

以7为首项，公差为2的等差数列B。

以7为首项，公差为5的等差数列C。

以5为首项，公差为2的等差数列D。

不是等差数列3.在等差数列 {an} 中，a1=13，a3=12，若 an=2，则 n 等于（）。

A。

23B。

24C。

25D。

264.等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，已知 S3=6，a4=8，则公差 d=（）。

A。

1B。

2C。

3D。

125.两个数 1 与 5 的等差中项是（）。

A。

1B。

3C。

2D。

66.一个首项为 23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）。

A。

-2B。

-3C。

-4D。

-57.（2012·福建）等差数列 {an} 中，a1+a5=10，a4=7，则数列 {an} 的公差为（）。

A。

1B。

2C。

3D。

48.数列的首项为 3，为等差数列且，若。

则 =（）。

A。

6B。

8C。

3D。

19.已知两个等差数列 5，8，11，…和 3，7，11，… 都有100 项，则它们的公共项的个数为（）。

A。

25B。

24C。

2D。

1910.设 Sn 为等差数列 {an} 的前 n 项和，若满足 an=an-1+2（n≥2），且 S3=9，则 a1=（）。

A。

5B。

3C。

-1D。

111.（2005·黑龙江）如果数列{an} 是等差数列，则（）。

A。

a1+a8＞a4+a5B。

a1+a8=a4+a5C。

a1+a8＜a4+a5D。

a1a8=a4a512.（2004·福建）设 Sn 是等差数列 {an} 的前 n XXX，若。

则（）。

A。

1B。

-1C。

2D。

等差数列练习题(教师版,附详细答案)

等差数列练习题1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

例1．根据数列前4项，写出它的通项公式：（1）1，3，5，7……；（2）2212-，2313-，2414-，2515-；（3）11*2-，12*3，13*4-，14*5。

解析：（1）n a =21n -；（2）n a = 2(1)11n n +-+；（3）n a = (1)(1)nn n -+。

点评：每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系，这对考生的归纳推理能力有较高的要求。

如（1）已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__ ；（2）数列}{n a 的通项为1+=bn ana n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为__ ；（3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围；2、等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。

例2．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，则{a n }是（）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列答案：B ；解法一：a n =⎩⎨⎧≥-==⇒⎩⎨⎧≥-=-)2( 12)1( 1)2( )1( 11n n n a n S S n S n n n∴a n =2n －1（n ∈N ）又a n+1－a n =2为常数，12121-+=+n n a a n n ≠常数 ∴{a n }是等差数列，但不是等比数列.解法二：如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n 的二次函数，则这个数列一定是等差数列。

等差数列练习题(有答案) 百度文库

一、等差数列选择题1．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{}n a ，已知11a =，22a=，且满足()211+-=+-nn n a a （n *∈N ），则该医院30天入院治疗流感的共有（）人A ．225B ．255C ．365D ．4652．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（） A ．45B ．50C ．60D ．803．设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+. 则8a 的值为（）．A ．65B ．16C ．15D ．144．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()12n n n S +=，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项的和为（） A ．89B ．910C ．1011D ．11125．已知数列{}n a 为等差数列，2628a a +=，5943a a +=，则10a =（） A ．29B ．38C ．40D ．586．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若936S S =，则612SS =（） A ．177B ．83 C ．143D ．1037．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则1215a b =（） A ．32B ．7059C ．7159D ．858．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（） A ．121B ．161C ．141D ．1519．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =（ )A ．1B ．8C ．4D ．2 10．在等差数列{a n }中，已知a 5=3，a 9=6，则a 13=（）A ．9B ．12C ．15D ．1811．在等差数列{}n a 中，520164a a +=，S ，是数列{}n a 的前n 项和，则S 2020=（） A ．2019B ．4040C ．2020D ．403812．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =.定义数列{}n b 如下：()*1m m b m m+∈N 是使不等式()*n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值，则13519 b b b b ++++=（）A ．25B ．50C ．75D ．100 13．设等差数列{}n a 的公差d ≠0，前n 项和为n S ，若425S a =，则99S a =（） A ．9B ．5C ．1D ．5914．设等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈，则必有（）A ．0m S <且10m S +>B ．0m S >且10m S +>C ．0m S <且10m S +<D ．0m S >且10m S +<15．在数列{}n a 中，11a =，且11nn na a na +=+，则其通项公式为n a =（） A ．211n n -+B ．212n n -+C ．221n n -+D ．222n n -+16．若数列{}n a 满足121()2n n a a n N *++=∈，且11a =，则2021a =（） A ．1010 B ．1011 C ．2020D ．202117．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310179a a a ++=，则19S =（） A ．51B ．57C ．54D ．7218．已知数列{}n a 的前n 项和()2*n S n n N =∈，则{}na 的通项公式为（）A ．2n a n =B ．21n a n =-C ．32n a n =-D ．1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩19．等差数列{}n a 中，若26a =，43a =，则5a =（） A ．32B ．92C ．2D ．920．设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237n n S n T n =+，则63a b 的值为（） A ．511B ．38C ．1D ．2二、多选题21．已知数列{}n a 满足0n a >，121n n n a na a n +=+-(N n *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A ．11a =B ．121a a =C ．201920202019S a =D ．201920202019S a >22．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则（） A ．若59S >S ，则150S > B ．若59S =S ，则7S 是n S 中最大的项 C ．若67S S >，则78S S >D ．若67S S >则56S S >.23．已知数列{}n a ：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．68S a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++= D ．2222123202020202021a a a a a a ++++=24．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减D ．数列{}n S 有最大值25．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==，则（） A ．25n a n =-B ．310na nC ．228n S n n =- D ．24n S n n =-26．公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．110S =B ．10n n S S -=（110n ≤≤）C ．当110S >时，5n S S ≥D ．当110S <时，5n S S ≥27．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论正确的是（） A ．0d D ．67n S S S 与均为的最大值28．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <29．无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（）A ．{}n a 可能为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列 30．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，6914a a ⋅=-．12n n n n b a a a ++=⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（）A ．320n a n =-B ．325n a n =-+C ．当4n =时，n T 取最小值D ．当6n =时，n T 取最小值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．B 【分析】直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和【详解】解：当n 为奇数时，2n n a a +=，当n 为偶数时，22n n a a +-=，所以13291a a a ==⋅⋅⋅==，2430,,,a a a ⋅⋅⋅是以2为首项，2为公差的等差数列，所以30132924301514()()1515222552S a a a a a a ⨯=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+⨯+⨯=，故选：B 2．C 【分析】利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解【详解】{}n a 是等差数列，3944a a a +=+，4844a a a ∴+=+，84a =1158158()15215156022a a a S a +⨯⨯====故选：C 【点睛】本题考查等差数列性质及前n 项和公式，属于基础题3．C 【分析】利用()12n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的通项公差，然后求解8a . 【详解】由21n S n =+得，12a =，()2111n S n -=-+，所以()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，所以2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，故828115a =⨯-=.故选：C. 【点睛】本题考查数列的通项公式求解，较简单，利用()12n n n a S S n -=-≥求解即可. 4．C 【分析】首先根据()12n n n S +=得到n a n =，设11111n n n b a a n n +==-+，再利用裂项求和即可得到答案. 【详解】当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()()11122n n n n n n n a S S n -+-=-=-=.检验111a S ==，所以n a n =. 设()1111111n n n b a a n n n n +===-++，前n 项和为n T ，则10111111101122310111111T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…. 故选：C 5．A 【分析】根据等差中项的性质，求出414a =，再求10a ; 【详解】因为{}n a 为等差数列，所以264228a a a +==, ∴414a =.由59410a a a a +=+43=,得1029a =, 故选：A. 6．D 【分析】由等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，结合已知条件得633S S =和31210S S =计算得结果. 【详解】已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，∴3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，所以()()633962S S S S S ⋅-=+-，且936S S =，化简解得633S S =.又()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，∴31210S S =，从而126103S S =. 故选：D 【点睛】思路点睛：（1）利用等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，（2）()()633962S S S S S ⋅-=+-，且936S S =，化简解得633S S =，（3）()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，化简解得31210S S =. 7．C 【分析】可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，进而求得n a 与n b 的关系式，即可求得结果．【详解】因为{}n a ，{}n b 是等差数列，且3221n n S n T n +=+，所以可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，又当2n 时，有1(61)n n n a S S k n -=-=-，1(41)n n n b T T k n -=-=-， ∴1215(6121)71(4151)59a kb k ⨯-==⨯-，故选：C ． 8．B 【分析】由条件可得127a =，然后231223S a =，算出即可. 【详解】因为31567a a a +=+，所以15637a a a =-+，所以1537a d =+，所以1537a d -=，即127a =所以231223161S a == 故选：B 9．B【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，所以27720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，所以33810371178b b b b b b b ===.故选：B. 10．A 【分析】在等差数列{a n }中，利用等差中项由95132a a a =+求解. 【详解】在等差数列{a n }中，a 5=3，a 9=6，所以95132a a a =+，所以139522639a a a =-=⨯-=，故选：A 11．B 【分析】由等差数列的性质可得52012016024a a a a +==+，则()15202020202016202010102a a a a S +=⨯=⨯+可得答案. 【详解】等差数列{}n a 中, 52012016024a a a a +==+()12020202052016202010104101040402a a a a S +===⨯=+⨯⨯ 故选：B 12．B 【分析】先求得21n a n =-，根据n a m ≥，求得12m n +≥，进而得到21212k k b --=，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，可得21n a n =-，因为n a m ≥，即21n m -≥，解得12m n +≥，当21m k =-，（*k N ∈）时，1m m b k m+=，即()()11212m m m mk m b m m +===++，即21212k k b --=，从而()13519113519502b b b b ++++=++++=.故选：B. 13．B 【分析】由已知条件，结合等差数列通项公式得1a d =，即可求99S a . 【详解】4123425S a a a a a =+++=，即有13424a a a a ++=，得1a d =，∴1999()452a a S d ⨯+==，99a d =，且0d ≠， ∴995S a =. 故选：B 14．D 【分析】由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意，1110,0m m a a a a ++>+<，所以1()02m m m a a S +=>，111(1)()02m m m a a S ++++=<. 故选：D. 15．D 【分析】先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=，再由累加法计算出2122n n n a -+=，进而求出n a .【详解】解：11nn na a na +=+， ()11n n n a na a ++=∴，化简得：11n n n n a a a a n ++=+，两边同时除以1n n a a +并整理得：111n nn a a +-=，即21111a a -=，32112a a -=，43113a a -=，…，1111(2,)n n n n n z a a --=-≥∈，将上述1n -个式子相加得：213243111111+a a a a a a --+-+ (1)11123n n a a -+-=+++…1n +-，即111(1)2n n n a a --=， 2111(1)(1)2=1(2,)222n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈，又111a =也满足上式， 212()2n n n n z a -+∴=∈， 22()2n a n z n n ∴=∈-+. 故选：D. 【点睛】易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现1n -，要注意检验首项是否符合. 16．B 【分析】根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解. 【详解】由121()2n n a a n N *++=∈，则11()2n n a a n N *+=+∈，即112n n a a +-=，所以数列{}n a 是以1为首项，12为公差的等差数列，所以()()11111122n n a a n d n +=+-=+-⨯=，所以2021a =2021110112+=. 故选：B 17．B 【分析】根据等差数列的性质求出103a =，再由求和公式得出答案.【详解】317102a a a += 1039a ∴=，即103a =()1191019191921935722a a a S +⨯∴===⨯=故选：B 18．B 【分析】利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式，然后验证1a 的值是否适合，最后写出n a 的式子即可. 【详解】2n S n =，∴当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==，上式也成立，()*21n a n n N ∴=-∈，故选：B. 【点睛】易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，算出之后一定要判断1n =时对应的式子是否成立，最后求得结果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题. 19．A 【分析】由2a 和4a 求出公差d ，再根据54a a d =+可求得结果. 【详解】设公差为d ，则423634222a a d --===--，所以5433322a a d =+=-=. 故选：A 20．C 【分析】令22n S n λ=，()37n T n n λ=+，求出n a ，n b ，进而求出6a ，3b ，则63a b 可得．【详解】令22n S n λ=，()37n T n n λ=+，可得当2n ≥时，()()221221221n n n a S S n n n λλλ-=-=--=-，()()()()137134232n n n b T T n n n n n λλλ-=-=+--+=+，当1n =，()11112,3710a S b T λλλ====+=，符合()221n a n λ=-，()232n b n λ=+故622a λ=，322b λ=，故631a b =. 【点睛】由n S 求n a 时，11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式求解．二、多选题21．BC 【分析】根据递推公式，得到11n n nn n a a a +-=-，令1n =，得到121a a =，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到1n n nS a +=，求出201920202019S a =，可得C 正确，D 错. 【详解】由121n n n a n a a n +=+-可知2111n n n n n a n n n a a a a ++--==+，即11n n nn n a a a +-=-，当1n =时，则121a a =，即得到121a a =，故选项B 正确；1a 无法计算，故A 错； 1221321111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1n n S a n +=，则201920202019S a =，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：由递推公式求通项公式的常用方法：（1）累加法，形如()1n n a a f n +=+的数列，求通项时，常用累加法求解；（2）累乘法，形如()1n na f n a +=的数列，求通项时，常用累乘法求解；（3）构造法，形如1n n a pa q +=+（0p ≠且1p ≠，0q ≠，n ∈+N ）的数列，求通项时，常需要构造成等比数列求解；（4）已知n a 与n S 的关系求通项时，一般可根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解.22．BC 【分析】根据等差数列的前n 项和性质判断．【详解】A 错：67895911415000S a a a a a S a S ⇒+++<>⇒+<⇒<；B 对：n S 对称轴为n =7；C 对：6770S S a >⇒<，又10a >，887700a S a d S ⇒⇒<<⇒<>；D 错：6770S S a >⇒<，但不能得出6a 是否为负，因此不一定有56S S >．故选：BC ．【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和性质，（1）n S 是关于n 的二次函数，可以利用二次函数性质得最值；（2）1n n n S S a -=+，可由n a 的正负确定n S 与1n S -的大小；（3）1()2n n n a a S +=，因此可由1n a a +的正负确定n S 的正负． 23．BCD 【分析】根据题意写出8a ，6S ，7S ，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误．【详解】对A ，821a =，620S =，故A 不正确；对B ，761333S S =+=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，202120222020a a a =-，可得135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故C 正确；对D ，该数列总有21n n n a a a ++=+，2121a a a =，则()222312321a a a a a a a a =-=-， ()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-， 22019a =2019202020192018a a a a -，220202020202120202019a a a a a =-，故2222123202*********a a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故D 正确．故选：BCD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对CD 的判断，即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形. 24．ABD 【分析】由10n n a a d +-=<可判断AB ，再由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，可判断CD. 【详解】根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<，所以数列{}n a 单调递减，A 正确；由数列{}n a 单调递减，可知数列{}n a 有最大值a 1，故B 正确；由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，所以数列{}n S 先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确. 故选：ABD. 25．AD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知得1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩，进而得13,2a d =-=，故25n a n =-，24n S n n =-.【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为450,5S a ==所以根据等差数列前n 项和公式和通项公式得：1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩，解方程组得：13,2a d =-=，所以()31225n a n n =-+-⨯=-，24n S n n =-.故选：AD. 26．BC 【分析】设公差d 不为零,由38a a =，解得192a d =-，然后逐项判断.【详解】设公差d 不为零, 因为38a a =，所以1127a d a d +=+，即1127a d a d +=--，解得192a d =-，11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=≠ ⎪⎝⎭，故A 错误；()()()()()()221101110910,10102222n n n n n n d dna d n n n a n n S S d ----=+=-=-+=-，故B 正确；若11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=> ⎪⎝⎭，解得0d >，()()22510525222n d d d n n S n S =-=--≥，故C 正确；D 错误；故选：BC 27．ABD 【分析】由1n n n S S a --=()2n ≥，判断6780,0,0a a a >=<，再依次判断选项. 【详解】因为5665600S S S S a <⇒->⇒>，677670S S S S a =⇒-==，788780S S S S a >⇒-=<，所以数列{}n a 是递减数列，故0d <，AB 正确；()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确；由以上可知数列{}n a 是单调递减数列，因为6780,0,0a a a >=<可知，67n S S S 与均为的最大值，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的最值，重点考查等差数列的性质，属于基础题型. 28．AD 【分析】利用等差数列的通项公式可以求70a >，80a <，即可求公差0d <，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确. 【详解】因为67S S <，所以7670S S a -=> ，因为78S S >，所以8780S S a -=<，所以等差数列{}n a 公差870d a a =-<，所以{}n a 是递减数列，故1a 最大，选项A 正确；选项B 不正确；10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>，所以310S S ≠，故选项C 不正确；当8n ≥时，80n a a ≤<，即0n a <，故选项D 正确；故选：AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和n S ，属于基础题. 29．ABC【分析】由2n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当1n =时，11a S a b c ==++．当2n ≥时，()()221112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+．当1n =时，上式＝+a b ．所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴= 所以当0c时，{}n a 是等差数列， 00a c b ==⎧⎨≠⎩时是等比数列；当0c ≠时，{}n a 从第二项开始是等差数列．故选：A B C 【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系，利用n S 求通项公式，属于基础题． 30．AC 【分析】由已知求出数列{}n a 的首项与公差，得到通项公式判断A 与B ；再求出n T ，由{}n b 的项分析n T 的最小值．【详解】解：在递增的等差数列{}n a 中，由5105a a +=，得695a a +=，又6914a a =-，联立解得62a =-，97a =，则967(2)3963a a d ---===-，16525317a a d =-=--⨯=-． 173(1)320n a n n ∴=-+-=-．故A 正确，B 错误；12(320)(317)(314)n n n n b a a a n n n ++==---可得数列{}n b 的前4项为负，第5项为正，第六项为负，第六项以后均为正．而5610820b b +=-=>．∴当4n =时，n T 取最小值，故C 正确，D 错误．故选：AC ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．。

等差数列练习题附答案

等差数列练习题附答案一、选择题1、已知等差数列{an}中，S10=120，那么a1+a10=（）A.12B.24C.36D.482、已知等差数列{an}，an=2n-19，那么这个数列的前n项和Sn（）A.有最小值且是整数B.有最小值且是分数C.有最大值且是整数 D.有最大值且是分数3、已知等差数列{an}的公差d=1/80，a2+a4+⋯+a100=80，那么S100=（）A.135B.160C.120D.1954、已知等差数列{an}中，a2+a5+a9+a12=60，那么S13=（）A.390B.195C.180D.1205、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（）A.90B.180C.3606、等差数列{an}的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为（）A.130B.170C.210D.2607、在等差数列{an}中，a2=-6，a8=6，若数列{an}的前n 项和为Sn，则（）A.S4<S5B.S4=S5C.S6<S5D.S6=S58、一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为（）A.13B.12C.11D.109、已知某数列前n项之和n，且前n个偶数项的和为n(4n+3)，则前n个奇数项的和为（）A.-3n(n+1)B.n(4n-3)C.-3nD.2n/310、若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边比为（）A.6B.8C.10D.12二、填空题1、等差数列{an}中，若a6=a3+a8，则S9=.2、等差数列{an}中，若Sn=3n+2n，则公差d=.3、在小于100的正整数中，被3除余2的数的和是.4、已知等差数列{an}的公差是正整数，且a3⋅a7=-12，a4+a6=-4，则前10项的和S10=.5、一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为项是.6、两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，则XXX=.一、选择题1、已知等差数列{an}中，S10=120，则a1+a10=（）A.12B.24C.36D.482、已知等差数列{an}，an=2n-19，则这个数列的前n项和Sn（）A.有最小值且是整数B.有最小值且是分数C.有最大值且是整数 D.有最大值且是分数3、已知等差数列{an}的公差d=1/80，a2+a4+⋯+a100=80，那么S100=（）A.135B.160C.120D.1954、已知等差数列{an}中，a2+a5+a9+a12=60，则S13=（）A.390B.195C.180D.1205、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（）A.90B.180C.3606、等差数列{an}的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为（）A.130B.170C.210D.2607、在等差数列{an}中，a2=-6，a8=6，若数列{an}的前n 项和为Sn，则（）A.S4<S5B.S4=S5C.S6<S5D.S6=S58、一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为（）A.13B.12C.11D.109、已知某数列前n项之和n，且前n个偶数项的和为n(4n+3)，则前n个奇数项的和为（）A.-3n(n+1)B.n(4n-3)C.-3nD.2n/310、若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边比为（）A.6B.8C.10D.12二、填空题1、等差数列{an}中，若a6=a3+a8，则S9=.2、等差数列{an}中，若Sn=3n+2n，则公差d=.3、在小于100的正整数中，被3除余2的数的和是.4、已知等差数列{an}的公差是正整数，且a3⋅a7=-12，a4+a6=-4，则前10项的和S10=.5、一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为项是.6、两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，则XXX=.1.在等差数列{an}中，已知a4=0.8，a11=2.2，求a51+a52的值。

经典等差数列性质练习题(含答案)讲解学习

等差数列基础习题选（附有详细解答）一．选择题（共26小题）1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（）A．B．1C．D．﹣12．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（）A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（）A．23 B．24 C．25 D．264．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（）A．一1 B．2C．3D．一25．两个数1与5的等差中项是（）A．1B．3C．2D．6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣57．（2012•福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．48．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（）A．0B．8C．3D．119．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（）A．25 B．24 C．20 D．1910．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若满足a n=a n﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（）A．5B．3C．﹣1 D．111．（2005•黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（）A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5 12．（2004•福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）A．1B．﹣1 C．2D．A．﹣1 B．1C．3D．714．在等差数列{a n}中，a2=4，a6=12，，那么数列{}的前n项和等于（）A．B．C．D．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（）A．6B．7C．8D．916．已知数列{a n}为等差数列，a1+a3+a5=15，a4=7，则s6的值为（）A．30 B．35 C．36 D．24 17．（2012•营口）等差数列{a n}的公差d＜0，且，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是（）A．5B．6C．5或6 D．6或718．（2012•辽宁）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．17619．已知数列{a n}等差数列，且a1+a3+a5+a7+a9=10，a2+a4+a6+a8+a10=20，则a4=（）A．﹣1 B．0C．1D．220．（理）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣8n，第k项满足4＜a k＜7，则k=（）A．6B．7C．8D．921．数列a n的前n项和为S n，若S n=2n2﹣17n，则当S n取得最小值时n的值为（）A．4或5 B．5或6 C．4D．522．等差数列{a n}中，a n=2n﹣4，则S4等于（）A．12 B．10 C．8D．423．若{a n}为等差数列，a3=4，a8=19，则数列{a n}的前10项和为（）A．230 B．140 C．115 D．9524．等差数列{a n}中，a3+a8=5，则前10项和S10=（）A．5B．25 C．50 D．10025．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于（）A．1B．2C．3D．4A．第10项B．第11项C．第10项或11项D．第12项二．填空题（共4小题）27．如果数列{a n}满足：=_________．28．如果f（n+1）=f（n）+1（n=1，2，3…），且f（1）=2，则f（100）=_________．29．等差数列{a n}的前n项的和，则数列{|a n|}的前10项之和为_________．30．已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式：（Ⅱ）若数列{a n}和数列{b n}满足等式：a n==（n为正整数），求数列{b n}的前n项和S n．参考答案与试题解析一．选择题（共26小题）1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（）A．B．1C．D．﹣1考点：等差数列．专题：计算题．分析：本题可由题意，构造方程组，解出该方程组即可得到答案．解答：解：等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，由等差数列的通项公式，可得解得，即等差数列的公差d=﹣1．故选D点评：本题为等差数列的基本运算，只需构造方程组即可解决，数基础题．A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列考点：等差数列．专题：计算题．分析：直接根据数列{a n}的通项公式是a n=2n+5求出首项，再把相邻两项作差求出公差即可得出结论．解答：解：因为a n=2n+5，所以a1=2×1+5=7；a n+1﹣a n=2（n+1）+5﹣（2n+5）=2．故此数列是以7为首项，公差为2的等差数列．故选A．点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用．如果已知数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项．3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（）A．23 B．24 C．25 D．26考点：等差数列．专题：综合题．分析：根据a1=13，a3=12，利用等差数列的通项公式求得d的值，然后根据首项和公差写出数列的通项公式，让其等于2得到关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值．解答：解：由题意得a3=a1+2d=12，把a1=13代入求得d=﹣，则a n=13﹣（n﹣1）=﹣n+=2，解得n=23故选A点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题．4．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（）A．一1 B．2C．3D．一2考点：等差数列．专题：计算题．分析：根据等差数列的前三项之和是6，得到这个数列的第二项是2，这样已知等差数列的；两项，根据等差数列的通项公式，得到数列的公差．解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S3=6，∴a2=2∵a4=8，∴8=2+2d∴d=3，故选C．点评：本题考查等差数列的通项，这是一个基础题，解题时注意应用数列的性质，即前三项的和等于第二项的三倍，这样可以简化题目的运算．5．两个数1与5的等差中项是（）A．1B．3C．2D．考点：等差数列．专题：计算题．分析：由于a，b的等差中项为，由此可求出1与5的等差中项．解答：解：1与5的等差中项为：=3，故选B．点评：本题考查两个数的等差中项，牢记公式a，b的等差中项为：是解题的关键，属基础题．6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5考点：等差数列．专题：计算题．分析：设等差数列{a n}的公差为d，因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以，结合公差为整数进而求出数列的公差．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，所以a6=23+5d，a7=23+6d，又因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以，因为数列是公差为整数的等差数列，所以d=﹣4．故选C．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式，并且结合正确的运算．7．（2012•福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．4考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：设数列{a n}的公差为d，则由题意可得2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．解答：解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，故选B．点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题．8．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（）A．0B．8C．3D．11考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：先确定等差数列的通项，再利用，我们可以求得的值．解答：解：∵为等差数列，，，∴∴b n=b3+（n﹣3）×2=2n﹣8∵∴b8=a8﹣a1∵数列的首项为3∴2×8﹣8=a8﹣3，∴a8=11．故选D点评：本题考查等差数列的通项公式的应用，由等差数列的任意两项，我们可以求出数列的通项，是基础题．9．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（）A．25 B．24 C．20 D．19考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（法一）：根据两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数求解，（法二）由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解方法来求解．解答：解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{a n}，则a1=11∵数列5，8，11，…与3，7，11，…公差分别为3与4，∴{a n}的公差d=3×4=12，∴a n=11+12（n﹣1）=12n﹣1．又∵5，8，11，…与3，7，11，…的第100项分别是302与399，∴a n=12n﹣1≤302，即n≤25.5．又∵n∈N*，∴两个数列有25个相同的项．故选A解法二：设5，8，11，与3，7，11，分别为{a n}与{b n}，则a n=3n+2，b n=4n﹣1．设{a n}中的第n项与{b n}中的第m项相同，即3n+2=4m﹣1，∴n=m﹣1．又m、n∈N*，可设m=3r（r∈N*），得n=4r﹣1．根据题意得1≤3r≤100 1≤4r﹣1≤100 解得≤r≤∵r∈N*从而有25个相同的项故选A点评：解法一利用了等差数列的性质，解法二利用了不定方程的求解方法，对学生的运算能力及逻辑思维能力的要求较高．10．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若满足a n=a n﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（）A．5B．3C．﹣1 D．1考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：根据递推公式求出公差为2，再由S3=9以及前n项和公式求出a1的值．解答：解：∵a n=a n﹣1+2（n≥2），∴a n﹣a n﹣1=2（n≥2），∴等差数列{a n}的公差是2，由S3=3a1+=9解得，a1=1．故选D．点评：本题考查了等差数列的定义，以及前n项和公式的应用，即根据代入公式进行求解．A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5考点：等差数列的性质．分析：用通项公式来寻求a1+a8与a4+a5的关系．解答：解：∵a1+a8﹣（a4+a5）=2a1+7d﹣（2a1+7d）=0∴a1+a8=a4+a5∴故选B点评：本题主要考查等差数列通项公式，来证明等差数列的性质．12．（2004•福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）A．1B．﹣1 C．2D．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，a1+a5=2a3，∴====1，故选A．点评：本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，已知等差数列{a n}的前n项和为S n，则有如下关系S2n﹣1=（2n﹣1）a n．13．（2009•安徽）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（）A．﹣1 B．1C．3D．7考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：根据已知条件和等差中项的性质可分别求得a3和a4的值，进而求得数列的公差，最后利用等差数列的通项公式求得答案．解答：解：由已知得a1+a3+a5=3a3=105，a2+a4+a6=3a4=99，∴a3=35，a4=33，∴d=a4﹣a3=﹣2．∴a20=a3+17d=35+（﹣2）×17=1．故选B点评：本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用．解题的关键是利用等差数列中等差中项的性质求得a3和a4．14．在等差数列{a n}中，a2=4，a6=12，，那么数列{}的前n项和等于（）A．B．C．D．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：计算题．分析：求出等差数列的通项，要求的和是一个等差数列与一个等比数列的积构成的数列，利用错位相减法求出数列的前n项的和．解答：解：∵等差数列{a n}中，a2=4，a6=12；∴公差d=；∴a n=a2+（n﹣2）×2=2n；∴；∴的前n项和，=两式相减得=∴故选B点评：求数列的前n项的和，先判断通项的特点，据通项的特点选择合适的求和方法．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（）A．6B．7C．8D．9考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由a2+a5=4，S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①，根据等差数列的前n项和公式可得，，联立可求d，a1，代入等差数列的通项公式可求解答：解：等差数列{a n}中，a2+a5=4，S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①根据等差数列的前n项和公式可得，所以a1+a7=6②②﹣①可得d=2，a1=﹣3所以a7=9故选D点评：本题主要考查了等差数列的前n项和公式及等差数列的性质的综合应用，属于基础试题．16．已知数列{a n}为等差数列，a1+a3+a5=15，a4=7，则s6的值为（）A．30 B．35 C．36 D．24考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：利用等差中项的性质求得a3的值，进而利用a1+a6=a3+a4求得a1+a6的值，代入等差数列的求和公式中求得答案．解答：解：a1+a3+a5=3a3=15，∴a3=5∴a1+a6=a3+a4=12∴s6=×6=36故选C点评：本题主要考查了等差数列的性质．特别是等差中项的性质．17．（2012•营口）等差数列{a n}的公差d＜0，且，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是（）A．5B．6C．5或6 D．6或7考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由，知a1+a11=0．由此能求出数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n．解答：解：由，知a1+a11=0．∴a6=0，故选C．点评：本题主要考查等差数列的性质，求和公式．要求学生能够运用性质简化计算．18．（2012•辽宁）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．176考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：根据等差数列的定义和性质得a1+a11=a4+a8=16，再由S11=运算求得结果．解答：解：∵在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，∴a1+a11=a4+a8=16，∴S11==88，故选B．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．A．﹣1 B．0C．1D．2考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：由等差数列得性质可得：5a5=10，即a5=2．同理可得5a6=20，a6=4，再由等差中项可知：a4=2a5﹣a6=0解答：解：由等差数列得性质可得：a1+a9=a3+a7=2a5，又a1+a3+a5+a7+a9=10，故5a5=10，即a5=2．同理可得5a6=20，a6=4．再由等差中项可知：a4=2a5﹣a6=0故选B点评：本题考查等差数列的性质及等差中项，熟练利用性质是解决问题的关键，属基础题．20．（理）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣8n，第k项满足4＜a k＜7，则k=（）A．6B．7C．8D．9考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：先利用公式a n=求出a n，再由第k项满足4＜a k＜7，建立不等式，求出k的值．解答：解：a n==∵n=1时适合a n=2n﹣9，∴a n=2n﹣9．∵4＜a k＜7，∴4＜2k﹣9＜7，∴＜k＜8，又∵k∈N+，∴k=7，故选B．点评：本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式a n=的合理运用，属于基础题．21．数列a n的前n项和为S n，若S n=2n2﹣17n，则当S n取得最小值时n的值为（）A．4或5 B．5或6 C．4D．5考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：把数列的前n项的和S n看作是关于n的二次函数，把关系式配方后，又根据n为正整数，即可得到S n取得最小值时n的值．解答：解：因为S n=2n2﹣17n=2﹣，又n为正整数，所以当n=4时，S n取得最小值．故选C点评：此题考查学生利用函数思想解决实际问题的能力，是一道基础题．A．12 B．10 C．8D．4考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：利用等差数列{a n}中，a n=2n﹣4，先求出a1，d，再由等差数列的前n项和公式求S4．解答：解：∵等差数列{a n}中，a n=2n﹣4，∴a1=2﹣4=﹣2，a2=4﹣4=0，d=0﹣（﹣2）=2，∴S4=4a1+=4×（﹣2）+4×3=4．故选D．点评：本题考查等差数列的前n项和公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意先由通项公式求出首项和公差，再求前四项和．23．若{a n}为等差数列，a3=4，a8=19，则数列{a n}的前10项和为（）A．230 B．140 C．115 D．95考点：等差数列的前n项和．专题：综合题．分析：分别利用等差数列的通项公式化简已知的两个等式，得到①和②，联立即可求出首项和公差，然后利用求出的首项和公差，根据公差数列的前n项和的公式即可求出数列前10项的和．解答：解：a3=a1+2d=4①，a8=a1+7d=19②，②﹣①得5d=15，解得d=3，把d=3代入①求得a1=﹣2，所以S10=10×（﹣2）+×3=115故选C．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题．24．等差数列{a n}中，a3+a8=5，则前10项和S10=（）A．5B．25 C．50 D．100考点：等差数列的前n项和；等差数列的性质．专题：计算题．分析：根据条件并利用等差数列的定义和性质可得a1+a10=5，代入前10项和S10 =运算求得结果．解答：解：等差数列{a n}中，a3+a8=5，∴a1+a10=5，∴前10项和S10 ==25，故选B．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，以及前n项和公式的应用，求得a1+a10=5，是解题的关键，属于基础题．25．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于（）A．1B．2C．3D．4考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：由S1，S2，S4成等比数列，根据等比数列的性质得到S22=S1S4，然后利用等差数列的前n项和的公式分别表示出各项后，代入即可得到首项和公差的关系式，根据公差不为0，即可求出公差与首项的关系并解出公差d，然后把所求的式子利用等差数列的通项公式化简后，把公差d的关系式代入即可求出比值．解答：解：由S1，S2，S4成等比数列，∴（2a1+d）2=a1（4a1+6d）．∵d≠0，∴d=2a1．∴===3．故选C点评：此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道综合题．26．设a n=﹣2n+21，则数列{a n}从首项到第几项的和最大（）A．第10项B．第11项C．第10项或11项D．第12项考点：等差数列的前n项和；二次函数的性质．专题：转化思想．分析：方法一：由a n，令n=1求出数列的首项，利用a n﹣a n﹣1等于一个常数，得到此数列为等差数列，然后根据求出的首项和公差写出等差数列的前n项和的公式，得到前n项的和与n成二次函数关系，其图象为开口向下的抛物线，当n=﹣时，前n项的和有最大值，即可得到正确答案；方法二：令a n大于等于0，列出关于n的不等式，求出不等式的解集即可得到n的范围，在n的范围中找出最大的正整数解，从这项以后的各项都为负数，即可得到正确答案．解答：解：方法一：由a n=﹣2n+21，得到首项a1=﹣2+21=19，a n﹣1=﹣2（n﹣1）+21=﹣2n+23，则a n﹣a n﹣1=（﹣2n+21）﹣（﹣2n+23）=﹣2，（n＞1，n∈N+），所以此数列是首项为19，公差为﹣2的等差数列，则S n=19n+•（﹣2）=﹣n2+20n，为开口向下的抛物线，当n=﹣=10时，S n最大．所以数列{a n}从首项到第10项和最大．方法二：令a n=﹣2n+21≥0，解得n≤，因为n取正整数，所以n的最大值为10，所以此数列从首项到第10项的和都为正数，从第11项开始为负数，则数列{a n}从首项到第10项的和最大．故选A点评：此题的思路可以先确定此数列为等差数列，根据等差数列的前n项和的公式及二次函数求最值的方法得到n 的值；也可以直接令a n≥0，求出解集中的最大正整数解，要求学生一题多解．二．填空题（共4小题）27．如果数列{a n}满足：=．考点：数列递推式；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：根据所给的数列的递推式，看出数列是一个等差数列，根据所给的原来数列的首项看出等差数列的首项，根据等差数列的通项公式写出数列，进一步得到结果．解答：解：∵根据所给的数列的递推式∴数列{}是一个公差是5的等差数列，∵a1=3，∴=，∴数列的通项是∴故答案为：点评：本题看出数列的递推式和数列的通项公式，本题解题的关键是确定数列是一个等差数列，利用等差数列的通项公式写出通项，本题是一个中档题目．28．如果f（n+1）=f（n）+1（n=1，2，3…），且f（1）=2，则f（100）=101．考点：数列递推式；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由f（n+1）=f（n）+1，x∈N+，f（1）=2，依次令n=1，2，3，…，总结规律得到f（n）=n+1，由此能够求出f（100）．解答：解：∵f（n+1）=f（n）+1，x∈N+，f（1）=2，∴f（2）=f（1）+1=2+1=3，f（3）=f（2）+1=3+1=4，f（4）=f（3）+1=4+1=5，…∴f（n）=n+1，∴f（100）=100+1=101．故答案为：101．点评：本题考查数列的递推公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．29．等差数列{a n}的前n项的和，则数列{|a n|}的前10项之和为58．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：先求出等差数列的前两项，可得通项公式为a n=7﹣2n，从而得到n≤3时，|a n|=7﹣2n，当n＞3时，|a n|= 2n﹣7．分别求出前3项的和、第4项到第10项的和，相加即得所求．解答：解：由于等差数列{an}的前n项的和，故a1=s1=5，∴a2=s2﹣s1=8﹣5=3，故公差d=﹣2，故a n=5+（n﹣1）（﹣2）=7﹣2n．当n≤3时，|a n|=7﹣2n，当n＞3时，|a n|=2n﹣7．故前10项之和为a1+a2+a3﹣a4﹣a5﹣…﹣a10=+=9+49=58，故答案为58．点评：本题主要考查等差数列的通项公式，前n项和公式及其应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．30．已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式：（Ⅱ）若数列{a n}和数列{b n}满足等式：a n==（n为正整数），求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（1）将已知条件a3a6=55，a2+a7=16，利用等差数列的通项公式用首项与公差表示，列出方程组，求出首项与公差，进一步求出数列{a n}的通项公式（2）将已知等式仿写出一个新等式，两个式子相减求出数列{b n}的通项，利用等比数列的前n项和公式求出数列{b n}的前n项和S n．解答：解（1）解：设等差数列{a n} 的公差为d，则依题设d＞0由a2+a7=16．得2a1+7d=16①由a3•a6=55，得（a1+2d）（a1+5d）=55 ②由①得2a1=16﹣7d 将其代入②得（16﹣3d）（16+3d）=220．即256﹣9d2=220∴d2=4，又d＞0，∴d=2，代入①得a1=1∴a n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1所以a n=2n﹣1（2）令c n=，则有a n=c1+c2+…+c n，a n+1=c1+c2+…+c n﹣1两式相减得a n+1﹣a n=c n+1，由（1）得a1=1，a n+1﹣a n=2∴c n+1=2，c n=2（n≥2），即当n≥2时，b n=2n+1又当n=1时，b1=2a1=2∴b n=＜BR＞于是S n=b1+b2+b3…+b n=2+23+24+…+2n+1=2+22+23+24+…+2n+1﹣4=﹣6，即S n=2n+2﹣6点评：求一个数列的前n项和应该先求出数列的通项，利用通项的特点，然后选择合适的求和的方法．。

等差数列练习题(有答案)百度文库

一、等差数列选择题1．在等差数列{}n a 中，10a >，81335a a =，则n S 中最大的是（） A ．21S B ．20SC ．19SD ．18S2．定义12nn p p p +++为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为12n ，又2n n a b =，则1223910111b b b b b b +++=（） A ．817 B ．1021C ．1123 D ．9193．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3518a S +=，633a a =+，则n a =（） A ．1n -B ．nC ．21n -D ．2n4．数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则通项公式是（） A ．32n -B ．322n - C ．3122n - D ．3122n + 5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =，56S S ≥，下列四个命题：①公差d 的最大值为2-；②70S <；③记n S 的最大值为M ，则M 的最大值为30；④20192020a a >.其真命题的个数是（） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若936S S =，则612SS =（） A ．177B ．83 C ．143D ．1037．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（） A ．121B ．161C ．141D ．1518．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<<m m m S S S ++，若0n S >，则n 的最大值为（） A ．2mB ．21m +C ．22m +D ．23m +9．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =（ )A ．1B ．8C ．4D ．210．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且71124a a -=，则5S =（） A ．15B ．20C ．25D ．3011．已知等差数列{}n a ，且()()35710133248a a a a a ++++=，则数列{}n a 的前13项之和为（） A ．24B ．39C ．104D ．5212．在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，则11S 的值是（） A ．60B ．11C ．50D ．5513．在等差数列{}n a 的中，若131,5a a ==，则5a 等于（） A ．25B ．11C ．10D ．914．在等差数列{}n a 中，()()3589133224a a a a a ++++=，则此数列前13项的和是（） A ．13B ．26C ．52D ．5615．已知递减的等差数列{}n a 满足2219a a =，则数列{}n a 的前n 项和取最大值时n =（）A ．4或5B ．5或6C ．4D ．516．已知数列{}n a 中，12(2)n n a a n --=≥，且11a =，则这个数列的第10项为（） A ．18B ．19C ．20D ．2117．已知数列{}n a 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列，其前n 项和为n S .若p m n q <<<且()*,,,p q m n p q m n N +=+∈，则下列判断正确的是（）A ．22p p S p a =⋅B ．p q m n a a a a >C ．1111p q m na a a a +<+ D ．1111p q m nS S S S +>+ 18．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（）A ．3、8、13、18、23B ．4、8、12、16、20C ．5、9、13、17、21D ．6、10、14、18、2219．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{},n a 则该数列共有（） A ．132项B ．133项C ．134项D ．135项20．设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237n n S n T n =+，则63a b 的值为（） A ．511B ．38C ．1D ．2二、多选题21．若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（） A ．2- B ．1- C ．1 D ．222．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．68a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 23．记n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若81535a a = 且10a >，则下列关于数列的描述正确的是（） A ．2490a a += B ．数列{}n S 中最大值的项是25S C ．公差0d >D ．数列{}na 也是等差数列24．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（） A ．1055a = B ．2020a 是偶数C ．2020201820223a a a =+D ．123a a a +++…20202022a a +=25．已知数列0,2,0,2,0,2,，则前六项适合的通项公式为（）A ．1(1)nn a =+-B ．2cos2n n a π= C ．(1)2sin2n n a π+= D ．1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--26．在数列{}n a 中，若22*1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}()*,kn a k Nk ∈为常数)也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 27．定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优值”2nn H =，前n 项和为n S ，则（）A ．数列{}n a 为等差数列B ．数列{}n a 为等比数列C ．2020202320202S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列28．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <29．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，120S >，70a <则（） A ．60a > B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列C ．0nS <时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 30．在下列四个式子确定数列{}n a 是等差数列的条件是（）A ．n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈）；B ．2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈）；C ．()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ； D ．{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈）.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．B 【分析】设等差数列的公差为d .由已知得()()1137512a d a d +=+，可得关系1392a d =-.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项. 【详解】设等差数列的公差为d .由81335a a =得，()()1137512a d a d +=+，整理得，1392a d =-. 又10a >，所以0d <，因此222120(20)2002222n d d d dS n a n n dn n d ⎛⎫=+-=-=-- ⎪⎝⎭，所以20S 最大. 故选：B. 2．D 【分析】由题意结合新定义的概念求得数列的前n 项和，然后利用前n 项和求解通项公式，最后裂项求和即可求得最终结果. 【详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，由题意可得：12n n S n=，则：22n S n =，当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，142n n n a S S n -=-=-，且14122a =⨯-=，据此可得 42n a n =-，故212nn a b n ==-，()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，据此有：12239101111111111233517191.21891919b b b b b b +++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⨯= 故选：D 3．B 【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程组，求解出首项和公差，则等差数列{}n a 的通项公式可求. 【详解】因为3518a S +=，633a a =+，所以11161218523a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，所以111a d =⎧⎨=⎩，所以()111n a n n =+-⨯=，故选：B. 4．C 【分析】根据题中条件，求出等差数列的公差，进而可得其通项公式. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则公差为31322a a d -==，因此通项公式为()33111222n a n n =+-=-. 故选：C. 5．B 【分析】设公差为d ，利用等差数列的前n 项和公式，56S S ≥，得2d ≤-，由前n 项和公式，得728S ≤，同时可得n S 的最大值，2d =-，5n =或6n =时取得，结合递减数列判断D ．【详解】设公差为d ，由已知110a =，56S S ≥，得5101061015d d ⨯+≥⨯+，所以2d ≤-，A 正确；所以7710217022128S d =⨯+≤-⨯=，B 错误；1(1)10(1)0n a a n d n d =+-=+-≥，解得101n d≤-+，11100n a a nd nd +=+=+≤，解得10n d≥-，所以10101n d d-≤≤-+，当2d =-时，56n ≤≤，当5n =时，有最大值，此时51010(2)30M =⨯+⨯-=，当6n =时，有最大值，此时61015(2)30M =⨯+⨯-=，C 正确．又该数列为递减数列，所以20192020a a >，D 正确．故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和，掌握等差数列的前n 和公式与性质是解题关键．等差数列前n 项和n S 的最大值除可利用二次函数性质求解外还可由10n n a a +≥⎧⎨≤⎩求得．6．D 【分析】由等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，结合已知条件得633S S =和31210S S =计算得结果. 【详解】已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，∴3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，所以()()633962S S S S S ⋅-=+-，且936S S =，化简解得633S S =.又()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，∴31210S S =，从而126103S S =.故选：D 【点睛】思路点睛：（1）利用等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，（2）()()633962S S S S S ⋅-=+-，且936S S =，化简解得633S S =，（3）()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，化简解得31210S S =. 7．B 【分析】由条件可得127a =，然后231223S a =，算出即可. 【详解】因为31567a a a +=+，所以15637a a a =-+，所以1537a d =+，所以1537a d -=，即127a =所以231223161S a == 故选：B 8．C 【分析】首先根据数列的通项n a 与n S 的关系，得到10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++，再根据选项，代入前n 项和公式，计算结果. 【详解】由21<<m m m S S S ++得，10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++==+，()()()1232322323<02m m m m a a S m a +++++==+， ()()()()1222212211>02m m m m m a a S m a a ++++++==++.故选:C. 【点睛】关键点睛：本题的第一个关键是根据公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，判断数列的项的正负，第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负. 9．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，所以27720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，所以33810371178b b b b b b b ===.故选：B. 10．B 【分析】设出数列{}n a 的公差，利用等差数列的通项公式及已知条件，得到124a d +=，然后代入求和公式即可求解【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由已知可得()()111261024a d a d a d +-+=+=，所以()5115455254202S a d a d ⨯=+=+=⨯= 故选：B 11．D 【分析】根据等差数列的性质计算求解．【详解】由题意()()357101341041073232236()1248a a a a a a a a a a ++++=⨯+⨯=+==，74a =，∴11313713()13134522a a S a +===⨯=．故选：D ． 12．D 【分析】根据题中条件，由等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】因为在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，所以()1111161111552a a S a +===.故选：D. 13．D 【分析】利用等差数列的性质直接求解．【详解】因为131,5a a ==，315529a a a a =+∴=，故选：D ．【分析】利用等差数列的下标性质，结合等差数列的求和公式即可得结果. 【详解】由等差数列的性质，可得3542a a a +=，891371013103a a a a a a a ++=++=，因为()()3589133224a a a a a ++++=，可得410322324a a ⨯+⨯=，即4104a a +=，故数列的前13项之和()()11341013131313426222a a a a S ++⨯====. 故选：B. 15．A 【分析】由2219a a =，可得14a d =-，从而得2922n d dS n n =-，然后利用二次函数的性质求其最值即可【详解】解：设递减的等差数列{}n a 的公差为d （0d <），因为2219a a =，所以2211(8)a a d =+，化简得14a d =-，所以221(1)9422222n n n d d d dS na d dn n n n n -=+=-+-=-，对称轴为92n =，因为n ∈+N ，02d<，所以当4n =或5n =时，n S 取最大值，故选：A 16．B 【分析】由已知判断出数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，求出通项公式后即可求得10a .【详解】()122n n a a n --=≥，且11a =，∴数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，通项公式为()12121n a n n =+-=-，10210119a ∴=⨯-=，17．D 【分析】利用等差数列的求和公式可判断A 选项的正误；利用作差法结合等差数列的通项公式可判断B 选项的正误；利用p q m n a a a a <结合不等式的基本性质可判断C 选项的正误；利用等差数列的求和公式结合不等式的基本性质可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，由于()()1221222p pp p p p a a Sp a a pa ++==+≠，故选项A 错误；对于B 选项，由于m p q n -=-，则()()p q m n m n m n a a a a a p m d a q n d a a ⋅-⋅=+-⋅+--⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()22m n m n m n a q n d a q n d a a q n a a d q n d =--⋅+--=----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()2220q n n m d q n d =-----<，故选项B 错误；对于C 选项，由于1111p q m n m n p q p q p q m n m na a a a a a a a a a a a a a a a ++++==>=+⋅⋅⋅，故选项C 错误；对于D 选项，设0x q n m p =-=->，则()()()20pq mn m x n x mn x n m x -=-+-=---<，从而pq mn <，由于222222p q m n p q pq m n mn +=+⇔++=++，故2222p q m n +>+.()()()()()()111111p q pq p q mn m n m n --=-++<-++=--，故()()22221122p q m n p q p q m n m nS S p q a d m n a d S S +--+--+=++>++=+.()()()()()221111112112224p q p p q q pq p q pq p q S S pa d qa d pqa a d d--+---⎡⎤⎡⎤⋅=+⋅+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()221121124mn m n mn p q mna a d d+---<++()()()221121124m n mn m n mn m n mna a d d S S +---<++=，由此1111p q m n p q p q m n m nS S S S S S S S S S S S +++=>=+，故选项D 正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列中不等式关系的判断，在解题过程中充分利用基本量来表示n a 、n S ，并结合作差法、不等式的基本性质来进行判断. 18．C【分析】根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则171,25a a ==，则712514716a a d --===-，则这5个数依次是5，9，13，17，21. 故选：C 19．D 【分析】由题意抽象出数列是等差数列，再根据通项公式计算项数. 【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{}n a ，则()8151157n a n n =+-=-，令1572020n a n =-≤，解得：213515n ≤，所以该数列的项数共有135项. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，本题的关键是读懂题意，并能抽象出等差数列. 20．C 【分析】令22n S n λ=，()37n T n n λ=+，求出n a ，n b ，进而求出6a ，3b ，则63a b 可得．【详解】令22n S n λ=，()37n T n n λ=+，可得当2n ≥时，()()221221221n n n a S S n n n λλλ-=-=--=-，()()()()137134232n n n b T T n n n n n λλλ-=-=+--+=+，当1n =，()11112,3710a S b T λλλ====+=，符合()221n a n λ=-，()232n b n λ=+故622a λ=，322b λ=，故631a b =. 【点睛】由n S 求n a 时，11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式求解．二、多选题21．ABC 【分析】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+a n-<恒成立，当n 为偶数时有12a n<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立，当n 为奇数时有：12+a n-<恒成立，由12+n 递减，且1223n <+≤，所以2a -≤，即2a ≥-，当n 为偶数时有：12a n<-恒成立，由12n -第增，且31222n ≤-<，所以32a <，综上可得：322a -≤<，故选：ABC . 【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题. 22．ABD 【分析】根据11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，计算可知,A B 正确；根据12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，累加可知C 不正确；根据2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，累加可知D 正确. 【详解】依题意可知，11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，312112a a a =+=+=，423123a a a =+=+=，534235a a a =+=+=，645358a a a =+=+=，故A 正确； 7565813a a a =+=+=，所以712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=，故B 正确；由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，可得13572019a a a a a +++++=242648620202018a a a a a a a a a +-+-+-++-2020a =，故C 不正确；2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，所以2222212342019a a a a a +++++122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+- 20192020a a =，所以22212201920202019a a a a a +++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题. 23．AB 【分析】根据已知条件求得1,a d 的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】依题意，等差数列{}n a 中81535a a =，即()()1137514a d a d +=+，1149249,2a d a d =-=-. 对于A 选项，24912490a a a d +=+=，所以A 选项正确. 对于C 选项，1492a d =-，10a >，所以0d <，所以C 选项错误. 对于B 选项，()()149511122n a a n d d n d n d ⎛⎫=+-=-+-=- ⎪⎝⎭，令0n a ≥得51510,22n n -≤≤，由于n 是正整数，所以25n ≤，所以数列{}n S 中最大值的项是25S ，所以B 选项正确. 对于D 选项，由上述分析可知，125n ≤≤时，0n a ≥，当26n ≥时，0n a <，且0d <.所以数列{}na 的前25项递减，第26项后面递增，不是等差数列，所以D 选项错误.故选：AB 【点睛】等差数列有关知识的题目，主要把握住基本元的思想.要求等差数列前n 项和的最值，可以令0n a ≥或0n a ≤来求解. 24．AC 【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，821a =，9211334a =+=，10213455a =+=，故A 正确；对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；对于C ，20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=，故C 正确；对于D ，202220212020a a a =+，202120202019a a a =+，202020192018a a a =+，32121,a a a a a ⋅⋅⋅=+=，各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++，所以202220202019201811a a a a a a =++⋅⋅⋅+++，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项. 25．AC 【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案．【详解】对于选项A ，1(1)nn a =+-取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；对于选项B ，2cos 2n n a π=取前六项得：0,2,0,2,0,2--，不满足条件；对于选项C ，(1)2sin2n n a π+=取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；对于选项D ，1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得：0,2,2,8,12,22，不满足条件；故选：AC 26．BCD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}n a 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确；对于C ，数列{}n a 中的项列举出来是，1a ，2a ，，k a ，，2k a ，数列{}kn a 中的项列举出来是，k a ，2k a ，3k a ，，()()()()2222222212132221k k k k k k k k aa a a a a a a p +++++--=-=-==-=，将这k 个式子累加得()()()()2222222212132221k kk k k k k k aa a a a a a a kp +++++--+-+-++-=，222k k a a kp ∴-=，()221kn k n a a kp +∴-=，{}*(,kn a k N ∴∈k 为常数)是等方差数列，故C 正确；对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题. 27．AC 【分析】由题意可知112222n n nn a a a H n-+++==，即112222n n n a a a n -+++=⋅，则2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，可求解出1n a n =+，易知{}n a 是等差数列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，判断C ，D 的正误. 【详解】解：由112222n n nn a a a H n-+++==，得112222n n n a a a n -+++=⋅，①所以2n ≥时，()211212212n n n a a a n ---+++=-⋅，②得2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，即2n ≥时，1n a n =+，当1n =时，由①知12a =，满足1n a n =+．所以数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 错，所以()32n n n S +=，所以2020202320202S =，故C 正确．25S =，414S =，627S =，故D 错，故选：AC ．【点睛】本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解，难度一般. 28．AD 【分析】由已知得到780,0a a ><,进而得到0d <,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为160a d +=，可知不一定成立，从而判定C 错误. 【详解】由已知得：780,0a a ><,结合等差数列的性质可知，0d <,该等差数列是单调递减的数列， ∴A 正确，B 错误，D 正确，310S S =,等价于1030S S -=,即45100a a a ++⋯+=,等价于4100a a +=，即160a d +=,这在已知条件中是没有的，故C 错误. 故选:AD. 【点睛】本题考查等差数列的性质和前n 项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系. 29．ACD 【分析】由已知得()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，可判断A ；由已知得出2437d -<<-，且()12+3n a n d =-，得出[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d =-，可得出1n a 在1,6n n N上单调递增，1na 在7nn N ，上单调递增，可判断B ；由()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，可判断C ；判断 n a ，n S 的符号， n a 的单调性可判断D ；【详解】由已知得311+212,122d a a a d ===-，()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，故A 正确；由7161671+612+40+512+3>0+2+1124+7>0a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪==⎨⎪==⎩，解得2437d -<<-，又()()3+312+3n a n d n d a =-=-，当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d=-，所以[]1,6n ∈时，1>0na ，7n ≥时，10n a <，所以1na 在1,6n n N上单调递增，1na 在7n n N ，上单调递增，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是递增数列，故B 不正确；由于()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，而120S >，所以0n S <时，n 的最小值为13，故C 选项正确；当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，当[]1,12n ∈时，>0n S ，13n ≥时，0nS <，所以当[]7,12n ∈时，0n a <，>0n S ，0nnS a <，[]712n ∈，时，n a 为递增数列，n S 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项，故D 正确；【点睛】本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题. 30．AC 【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列．【详解】A 选项中n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈），数列{}n a 的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，B 选项中2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误；C 选项中()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ，对于数列{}n a 符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确；D 选项{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈），不符合2n S An Bn =+，所以{}n a 不为等差数列．故错误．故选：AC 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．。

九江市第一中学2024年高三教学质量监测(三)数学试题

九江市第一中学2024年高三教学质量监测（三）数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．我国古代数学名著《九章算术》有一问题：“今有鳖臑(b iē naò)，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广；高七尺.问积几何？”该几何体的三视图如图所示，则此几何体外接球的表面积为( )A ．90π平方尺B ．180π平方尺C ．360π平方尺D ．13510π平方尺2．已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()282x g x f x =- ）A ．0,1B ．[]0,2 C ．[]1,2 D ．[]1,3 3．M 、N 是曲线y=πsinx 与曲线y=πcosx 的两个不同的交点,则|MN|的最小值为( )A ．πB 2πC 3πD ．2π 4．已知函数()(N )k f x k x+=∈，ln 1()1x g x x +=-，若对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，则k 的最大值是( )A ．3B ．2C ．4D ．55．如图，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别是()()12,0,,0,F c F c -直线2bc y a =与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,A B 两点.若12,3BF F π∠=则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．423C 2D 236．集合{2,1,1},{4,6,8},{|,,}A B M x x a b b B x B =--===+∈∈,则集合M 的真子集的个数是A ．1个B ．3个C ．4个D ．7个7．若数列{}n a 满足115a =且1332n n a a +=-，则使10k k a a +⋅<的k 的值为( )A ．21B ．22C ．23D ．248．已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点01,3P y ⎛⎫⎪⎝⎭，则cos2α等于（）A ．19 B ．79- C ．23- D ．139．已知等比数列{}n a 满足21a =，616a =，等差数列{}n b 中54b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则9S =（） A ．36 B ．72 C ．36- D ．36±10．设函数()()21ln 11f x x x =+-+，则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是（）．A ．()1,+∞B ．()(),11,-∞-+∞C ．()1,1-D ．()()1,00,1-11．设2,(10)()[(6)],(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩ ,则(5)f =( )A ．10B ．11C ．12D ．1312．已知复数11iz i +=-，则z 的虚部是（）A ．iB ．i -C ．1-D ．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

等差数列练习题(有答案) 百度文库

一、等差数列选择题1．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（）尺 A ．47B ．1629C ．815D ．452．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 2=8，38522a a a +=+，则a 1等于（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于（） A ．8B ．10C ．12D ．144．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且6210S S ，则34a a +=（）A ．2B ．3C ．4D ．55．定义12nnp p p +++为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为12n，又2n n a b =，则1223910111b b b b b b +++=（） A ．817 B ．1021C ．1123 D ．9196．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（） A ．45B ．50C ．60D ．807．设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+. 则8a 的值为（）．A ．65B ．16C ．15D ．148．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（） A ．160B ．180C ．200D ．2209．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =（ )A ．1B ．8C ．4D ．210．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（） A ．60B ．120C ．160D ．24011．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()11213n n n n S S a n +++=+-+，现有如下说法：①541a a =；②222121n n a a n ++=-；③401220S =. 则正确的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．312．已知数列{}n a 的前项和221n S n =+，n *∈N ，则5a =（）A ．20B ．17C ．18D ．19 13．在等差数列{a n }中，已知a 5=3，a 9=6，则a 13=（）A ．9B ．12C ．15D ．1814．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知58a =，36S =，则107S S -的值是（） A ．48B ．60C ．72D ．2415．设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，已知10100S =，则47a a +=（） A ．12B ．20C ．40D ．10016．已知递减的等差数列{}n a 满足2219a a =，则数列{}n a 的前n 项和取最大值时n =（）A ．4或5B ．5或6C ．4D ．517．在等差数列{}n a 中，25812a a a ++=，则{}n a 的前9项和9S =（） A ．36B ．48C ．56D ．7218．若数列{}n a 满足121()2n n a a n N *++=∈，且11a =，则2021a =（） A ．1010 B ．1011 C ．2020D ．202119．已知等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41a =，则12a 的值是（） A ．15B ．30C ．3D ．6420．已知等差数列{}n a 满足48a =，6711a a +=，则2a =（） A ．10B ．9C ．8D ．7二、多选题21．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是（）A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若2n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列C ．若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈也成等差数列22．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（） A ．01q <C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T23．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30S =，46a =，则（）A ．23n S n n =- B ．2392-=n n nSC ．36n a n =-D ．2n a n =24．等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（） A ．0d 时n 的最小值为825．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（） A ．4B ．5C ．7D ．826．已知数列0,2,0,2,0,2,，则前六项适合的通项公式为（）A ．1(1)nn a =+-B ．2cos2n n a π= C ．(1)2sin2n n a π+= D ．1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--27．已知数列{}n a 为等差数列，则下列说法正确的是（） A ．1n n a a d +=+（d 为常数） B ．数列{}n a -是等差数列 C ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 D ．1n a +是n a 与2n a +的等差中项28．设d 为正项等差数列{}n a 的公差，若0d >，32a =，则（） A ．244a a ⋅ D ．1524a a a a ⋅>⋅29．在数列{}n a 中，若22*1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}()*,kn a k Nk ∈为常数)也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列30．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（） A ．在数列{}n a 中，1a 最大B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．D 【分析】设该妇子织布每天增加d 尺，由等差数列的前n 项和公式即可求出结果【详解】设该妇子织布每天增加d 尺，由题意知2020192042322S d ⨯=⨯+=，解得45d =．故该女子织布每天增加45尺．故选：D 2．C 【分析】利用等差数列的下标和性质以及基本量运算，可求出1a ．【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则3856522a a a a a +=+=+，解得652d a a =-=，212112228S a a a d a =+=+=+=，解得13a =故选：C 3．C 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】 {a n }为等差数列，S 3＝12，即1232312a a a a ++==，解得24a =. 由12a =，所以数列的公差21422d a a =-=-=，所以()()112212n a a n d n n =+-=+-=，所以62612a =⨯=. 故选：C4．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差1d =，6210S S ，所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=，解得343a a +=. 故选：B. 5．D 【分析】由题意结合新定义的概念求得数列的前n 项和，然后利用前n 项和求解通项公式，最后裂项求和即可求得最终结果. 【详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，由题意可得：12n n S n=，则：22n S n =，当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，142n n n a S S n -=-=-，且14122a =⨯-=，据此可得 42n a n =-，故212nn a b n ==-，()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，据此有：12239101111111111233517191.21891919b b b b b b +++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⨯= 故选：D 6．C 【分析】利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解【详解】{}n a 是等差数列，3944a a a +=+，4844a a a ∴+=+，84a =1158158()15215156022a a a S a +⨯⨯====故选：C【点睛】本题考查等差数列性质及前n 项和公式，属于基础题 7．C 【分析】利用()12n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的通项公差，然后求解8a . 【详解】由21n S n =+得，12a =，()2111n S n -=-+，所以()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，所以2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，故828115a =⨯-=.故选：C. 【点睛】本题考查数列的通项公式求解，较简单，利用()12n n n a S S n -=-≥求解即可. 8．B 【分析】把已知的两式相加得到12018a a +=，再求20S 得解. 【详解】由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=，所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020()10181802S a a =+=⨯=. 故选：B 9．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，所以27720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，所以33810371178b b b b b b b ===.故选：B. 10．B 【分析】根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+，结合题意，可得出88a =，最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，得出()11515815152a a S a +==，从而可得出结果.【详解】解：由题可知，2938a a a +=+，由等差数列的性质可知2938a a a a +=+，则88a =，故()1158158151521515812022a a a S a +⨯====⨯=. 故选：B. 11．D 【分析】由()11213n n n n S S a n +++=+-+得到()11132n n n a a n ++=-+-，再分n 为奇数和偶数得到21262k k a a k +=-+-，22165k k a a k -=+-，然后再联立递推逐项判断. 【详解】因为()11213n n n n S S a n +++=+-+，所以()11132n n n a a n ++=-+-，所以()212621k k a a k +=-+-，()221652k k a a k -=+-，联立得：()212133k k a a +-+=，所以()232134k k a a +++=，故2321k k a a +-=，从而15941a a a a ===⋅⋅⋅=，22162k k a a k ++=-，222161k k a a k ++=++，则222121k k a a k ++=-，故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++，()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++，()()201411820622k k =+⨯=-==∑1220，故①②③正确. 故选：D 12．C 【分析】根据题中条件，由554a S S =-，即可得出结果．【详解】因为数列{}n a 的前项和2*21,n S n n N =+∈，所以22554(251)(241)18a S S =-=⨯+-⨯+=．故选：C ． 13．A 【分析】在等差数列{a n }中，利用等差中项由95132a a a =+求解. 【详解】在等差数列{a n }中，a 5=3，a 9=6，所以95132a a a =+，所以139522639a a a =-=⨯-=，故选：A 14．A 【分析】根据条件列方程组，求首项和公差，再根据107891093S S a a a a -=++=，代入求值. 【详解】由条件可知114832362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得：102a d =⎧⎨=⎩， ()10789109133848S S a a a a a d -=++==+=.故选：A 15．B 【分析】由等差数列的通项公式可得47129a a a d +=+，再由1011045100S a d =+=，从而可得结果. 【详解】解：1011045100S a d =+=，12920a d ∴+=， 4712920a a a d ∴+=+=.故选：B. 16．A 【分析】由2219a a =，可得14a d =-，从而得2922n d d S n n =-，然后利用二次函数的性质求其最值即可【详解】解：设递减的等差数列{}n a 的公差为d （0d <），因为2219a a =，所以2211(8)a a d =+，化简得14a d =-，所以221(1)9422222n n n d d d dS na d dn n n n n -=+=-+-=-，对称轴为92n =，因为n ∈+N ，02d<，所以当4n =或5n =时，n S 取最大值，故选：A 17．A 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，得出54a =，再由等差数列前n 项和公式，即可得出结果. 【详解】因为{}n a 为等差数列，25812a a a ++=，所以5312a =，即54a =，所以()1999983622a a S +⨯===. 故选：A . 【点睛】熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键. 18．B 【分析】根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解. 【详解】由121()2n n a a n N *++=∈，则11()2n n a a n N *+=+∈，即112n n a a +-=，所以数列{}n a 是以1为首项，12为公差的等差数列，所以()()11111122n n a a n d n +=+-=+-⨯=，所以2021a =2021110112+=. 故选：B 19．A 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列的通项公式列方程组，求出1a 和d 的值，12111a a d =+，即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则111681631a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩，即117831a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得：174174d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以12117760111115444a a d =+=-+⨯==，所以12a 的值是15，故选：A 20．A 【分析】利用等差数列的性质结合已知解得d ，进一步求得2a ．【详解】在等差数列{}n a 中，设公差为d ，由467811a a a =⎧⇒⎨+=⎩444812311a d a d a d =⎧⇒=-⎨+++=⎩，24210a a d ∴=-=. 故选：A二、多选题21．BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;选项C: ()11nn S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈是等差数列，故对; 故选：BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键. 22．AD【分析】分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】①671,1a a >>, 与题设67101a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意. ③671,1,a a <<与题设67101a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .∴B ，C ，错误.故选：AD. 【点睛】考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1*1n n a a q n N -=∈.23．BC 【分析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前n 项和公式【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为30S =，46a =，所以113230236a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得133a d =-⎧⎨=⎩，所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-，21(1)3(1)393222n n n n n n nS na d n ---=+=-+=，故选：BC 24．BD 【分析】由题意可知0d >，由已知条件753a a =可得出13a d =-，可判断出AB 选项的正误，求出n S 关于d 的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】由于等差数列{}n a 是递增数列，则0d >，A 选项错误；753a a =，则()11634a d a d +=+，可得130a d =-<，B 选项正确；()()()22171117493222224n n n d n n d n n d S na nd n d -⎡⎤--⎛⎫=+=-+==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当3n =或4时，n S 最小，C 选项错误；令0n S >，可得270n n ->，解得0n <或7n >.n N *∈，所以，满足0n S >时n 的最小值为8，D 选项正确.故选：BD. 25．BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差即每一层比上一层多的根数为1d =，设一共放()2n n ≥层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差为1d =，设一共放()2n n ≥层，则总得根数为：()()111110022n n n d n n S na na --=+=+= 整理得120021a n n=+-，因为1a *∈N ，所以n 为200的因数，()20012n n+-≥且为偶数，验证可知5,8n =满足题意. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的求和公式，解题的关键是分析题意，把题目信息转化为等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题. 26．AC 【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案．【详解】对于选项A ，1(1)nn a =+-取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；对于选项B ，2cos 2n n a π=取前六项得：0,2,0,2,0,2--，不满足条件；对于选项C ，(1)2sin2n n a π+=取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；对于选项D ，1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得：0,2,2,8,12,22，不满足条件；故选：AC27．ABD 【分析】由等差数列的性质直接判断AD 选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项. 【详解】A.因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，即1n n a a d +=+，所以A 正确；B. 因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，那么()()()11n n n n a a a a d ++---=--=-，所以数列{}n a -是等差数列，故B 正确；C.111111n n n n n n n n a a d a a a a a a ++++---==，不是常数，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是等差数列，故C 不正确；D.根据等差数列的性质可知122n n n a a a ++=+，所以1n a +是n a 与2n a +的等差中项，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列，属于基础题型. 28．ABC 【分析】由已知求得公差d 的范围：01d <<，把各选项中的项全部用d 表示，并根据01d <<判断各选项．【详解】由题知，只需1220010a d d d =->⎧⇒<<⎨>⎩，()()2242244a a d d d ⋅=-⋅+=-<，A 正确；()()2222415223644a a d d d d +=-++=-+>≥，B 正确； 21511111122221a a d d d+=+=>-+-，C 正确； ()()()()2152422222230a a a a d d d d d ⋅-⋅=-⋅+--⋅+=-<，所以1524a a a a ⋅<⋅，D 错误. 【点睛】本题考查等差数列的性质，解题方法是由已知确定d 的范围，由通项公式写出各项（用d 表示）后，可判断． 29．BCD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}n a 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n aa ---=---=是常数， {(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确；对于C ，数列{}n a 中的项列举出来是，1a ，2a ，，k a ，，2k a ，数列{}kn a 中的项列举出来是，k a ，2k a ，3k a ，，()()()()2222222212132221k k k k k k k k aa a a a a a a p +++++--=-=-==-=，将这k 个式子累加得()()()()2222222212132221k kk k k k k k aa a a a a a a kp +++++--+-+-++-=，222k k a a kp ∴-=，()221kn kn a a kp +∴-=，{}*(,kn a k N ∴∈k 为常数)是等方差数列，故C 正确；对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题. 30．AD 【分析】由已知得到780,0a a ><,进而得到0d <,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为160a d +=，可知不一定成立，从而判定C 错误. 【详解】由已知得：780,0a a ><,结合等差数列的性质可知，0d <,该等差数列是单调递减的数列， ∴A 正确，B 错误，D 正确，310S S =,等价于1030S S -=,即45100a a a ++⋯+=,等价于4100a a +=，即160a d +=,这在已知条件中是没有的，故C 错误. 故选:AD. 【点睛】本题考查等差数列的性质和前n 项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系.。

江西省九江市2024-2025学年高三上学期开学考试数学含答案

数学试卷（答案在最后）试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.96i2i i -+的虚部为（）A.7- B.6- C.7i- D.6i-2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2612a a +=，则7S =（）A.48B.42C.24D.213.已知一组数据：3,5,7,,9x 的平均数为6，则该组数据的40%分位数为（）A.4.5 B.5C.5.5D.64.定义运算：a b ad bc c d=-．已知()sin cos180sin 270cos tan60ααα=+，则tan α=（）A.2B.3C.2-D.3-5.已知某地区高考二检数学共有8000名考生参与，且二检的数学成绩X 近似服从正态分布()295,N σ，若成绩在80分以下的有1500人，则可以估计()95110P X ≤≤=（）A.532B.516C.1132 D.3166.已知函数()2122,1e ,1x x ax a x f x x x -⎧-+->=⎨--≤⎩在上单调递减，则a 的取值范围为（）A.[]2,4- B.[)4,+∞ C.(],4∞- D.0,47.已知圆台的上､下底面的面积分别为4π,25π，侧面积为35π，则该圆台外接球的球心到上底面的距离为（）A.278B.274C.378D.3748.已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到准线l 的距离为1，过点F 的直线1l 与C 交于,M N 两点，过点M 作C 的切线2l 与,x y 轴分别交于,P Q 两点，则PQ ON ⋅=（）A.12B.12-C.14D.14-二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()()π3sin ,3cos 232x x f x g x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为4πB.()f x 与()g x 有相同的最小值C.直线πx =为()f x 图象的一条对称轴D.将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后得到()g x 的图像10.已知函数()3223f x x x =-，则（）A.1是()f x 的极小值点B.()f x 的图象关于点11,22⎛⎫-⎪⎝⎭对称C.()()1g x f x =+有3个零点D.当01x <<时，()()211f x f x ->-11.已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为8，线段1,CC BC 的中点分别为,E F ，动点G 在下底面1111D C B A 内（含边界），动点H 在直线1AD 上，且1GE AA =，则（）A.三棱锥H DEF -的体积为定值B.动点G 的轨迹长度为5π2C.不存在点G ，使得EG ⊥平面DEFD.四面体DEFG 体积的最大值为1526三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量()()3,2,2,a b x =-=，若()2b a a -⊥ ，则x =______.13.定义：如果集合U 存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集1A ，()*2,,k A A k ∈N ，且12k A A A U =U U L U ，那么称子集族{}12,,,k A A A 构成集合U 的一个k 划分.已知集合{}2650I x x x =∈-+<N∣，则集合I 的所有划分的个数为__________.14.已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点M 在以2F 为圆心､2OF 为半径的圆上，且直线1MF 与圆2F 相切，若直线1MF 与C 的一条渐近线交于点N ，且1F M MN = ，则C 的离心率为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中23sin cos sin a B A b A =.（1）求A 的值；（2）若ABC V 36，求ABC V 的外接圆面积.16.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，45,,ASD ADS M N ∠∠== 分别在棱,SB SC 上，且,,,A D N M 四点共面.（1）证明：SA MN ⊥；（2）若SM BM =，且二面角S AD C --为直二面角，求平面SCD 与平面ADNM 夹角的余弦值.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，右焦点为F ，点23(,22-在C 上.（1）求C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，点A 在直线():0l y kx m k =+≠上，若直线l 与C 相切，且FA l ⊥，求OA 的值.18.已知函数()1ee xf x x x +=-.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程；（2）记（1）中切线方程为()y F x =，比较()(),f x F x 的大小关系，并说明理由；（3）若0x >时，()()ln 2e 1f x x a x -≥---，求a 的取值范围.19.已知首项为1的数列{}n a 满足221144n n n n a a a a ++=++.（1）若20a >，在所有{}()14n a n ≤≤中随机抽取2个数列，记满足40a <的数列{}n a 的个数为X ，求X 的分布列及数学期望EX ；（2）若数列{}n a 满足：若存在5m a ≤-，则存在{}(1,2,,12k m m ∈-≥ 且)*m ∈N ，使得4km aa -=.（i ）若20a >，证明：数列{}n a 是等差数列，并求数列{}n a 的前n 项和n S ；（ii ）在所有满足条件的数列{}n a 中，求使得20250s a +=成立的s 的最小值.数学试卷试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.96i2i i -+的虚部为（）A.7- B.6- C.7i- D.6i-【答案】A 【解析】【分析】根据复数的运算化简得67i --，再根据虚部的定义即可求解．【详解】2296i 9i 6i 2i 2i 69i 2i 67i i i--+=+=--+=--，则所求虚部为7-.故选：A ．2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2612a a +=，则7S =（）A.48B.42C.24D.21【答案】B 【解析】【分析】利用等差数列项的性质求出17a a +的值，再由等差数列的求和公式即可求得.【详解】因{}n a 为等差数列，故172612a a a a +==+，则1772)7(712422a a S +==⨯=.故选：B.3.已知一组数据：3,5,7,,9x 的平均数为6，则该组数据的40%分位数为（）A.4.5B.5C.5.5D.6【答案】C 【解析】【分析】由平均数及百分位数的定义求解即可.【详解】依题意，357965x ++++=，解得6x =，将数据从小到大排列可得：3,5,6,7,9，又50.42⨯=，则40%分位数为565.52+=.故选：C.4.定义运算：a b ad bc c d=-．已知()sin cos180sin 270cos tan60ααα=+，则tan α=（）A.2B.3C.2- D.3-【答案】D 【解析】cos cos ααα+=-，再根据同角三角函数的商数关系即可求解．cos cos ααα+=-2cos αα=-，故sin tan cos 3ααα==-.故选：D ．5.已知某地区高考二检数学共有8000名考生参与，且二检的数学成绩X 近似服从正态分布()295,N σ，若成绩在80分以下的有1500人，则可以估计()95110P X ≤≤=（）A.532B.516C.1132 D.316【答案】B 【解析】【分析】解法一，求出3(80)16P X <=，根据正态分布的对称性，即可求得答案；解法二，求出数学成绩在80分至95分的人数，由对称性，再求出数学成绩在95分至110分的人数，即可求得答案.【详解】解法一：依题意，得15003(80)800016P X <==，故()()135951108095(95)(80)21616P X P X P X P X ≤≤=≤≤=<-<=-；解法二：数学成绩在80分至95分的有400015002500-=人，由对称性，数学成绩在95分至110分的也有2500人，故()2500595110800016P X ≤≤==.故选：B.6.已知函数()2122,1e ,1x x ax a x f x x x -⎧-+->=⎨--≤⎩在上单调递减，则a 的取值范围为（）A.[]2,4- B.[)4,+∞ C.(],4∞- D.0,4【答案】D 【解析】【分析】由函数在R 上单调递减，列出相应的不等式组14222a a a ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤-⎩，即可求解.【详解】当(],1x ∞∈-时，()1ex f x x -=--，因为1e x y -=-和y x =-都是减函数，所以()f x 在−∞,1上单调递减，当()1,x ∈+∞时，()222f x x ax ax =-+-，要使其在()1,+∞上单调递减，则14a≤，所以14222a a a ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤-⎩，解得04a ≤≤，故D 正确.故选：D.7.已知圆台的上､下底面的面积分别为4π,25π，侧面积为35π，则该圆台外接球的球心到上底面的距离为（）A.278B.274C.378D.374【答案】C 【解析】【分析】由圆台的侧面积公式求出母线长，再由勾股定理得到高即可计算；【详解】依题意，记圆台的上､下底面半径分别为12,r r ，则2212π4π,π25πr r ==，则122,5r r ==，设圆台的母线长为l ，则()12π35πr r l +=，解得5l =，则圆台的高4h ==，记外接球球心到上底面的距离为x ，则()2222245x x +=-+，解得378=x .故选：C.8.已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到准线l 的距离为1，过点F 的直线1l 与C 交于,M N 两点，过点M 作C 的切线2l 与,x y 轴分别交于,P Q 两点，则PQ ON ⋅=（）A.12B.12-C.14D.14-【答案】C 【解析】【分析】通过联立方程组的方法求得,P Q 的坐标，然后根据向量数量积运算求得PQ ON ⋅.【详解】依题意，抛物线2:2C x y =，即212y x =，则1,0,2y x F ⎛⎫= ⎪⎝⎭'，设221212,,,22x x M x N x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线11:2l y kx =+，联立22,1,2x y y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得2210x kx --=，则121x x =-.而直线()21211:2x l y x x x -=-，即2112x y x x =-，令0y =，则12x x =，即1,02x P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，令0x =，则212x y =-，故210,2x Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则211,22x x PQ ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，故2212121244x x x x PQ ON ⋅=--=.故选：C【点睛】求解抛物线的切线方程，可以联立切线的方程和抛物线的方程，然后利用判别式来求解，也可以利用导数来进行求解.求解抛物线与直线有关问题，可以利用联立方程组的方法来求得公共点的坐标.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()()π3sin ,3cos 232x x f x g x ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为4πB.()f x 与()g x 有相同的最小值C.直线πx =为()f x 图象的一条对称轴D.将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后得到()g x 的图像【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ：根据正弦型函数的最小正周期分析判断；对于B ：根据解析式可得()f x 与()g x 的最小值；对于C ：代入求()πf ，结合最值与对称性分析判断；对于D ：根据三角函数图象变换结合诱导公式分析判断.【详解】因为()()π3sin ,3cos 232x x f x g x ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，对于选项A ：()f x 的最小正周期2π4π12T ==，故A 正确；对于选项B ：()f x 与()g x 的最小值均为3-，故B 正确；对于选项C ：因为()5π3π3sin362f ==≠±，可知直线πx =不为()f x 图象的对称轴，故C 错误；对于选项D ：将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后，得到()ππ3sin 3cos 3222x x f x g x ⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：ABD.10.已知函数()3223f x x x =-，则（）A.1是()f x 的极小值点B.()f x 的图象关于点11,22⎛⎫-⎪⎝⎭对称C.()()1g x f x =+有3个零点D.当01x <<时，()()211f x f x ->-【答案】AB 【解析】【分析】利用导数求函数极值点判断选项A ；通过证明()()11f x f x +-=-得函数图象的对称点判断选项B ；利用函数单调性和零点存在定理判断选项C ；利用单调性比较函数值的大小判断选项D.【详解】对于A ，函数()3223f x x x =-，()()26661f x x x x x =='--，令()0f x '=，解得0x =或1x =，故当(),0x ∞∈-时′>0，当∈0,1时，′<0，当∈1,+∞时′>0，则()f x 在(),0∞-上单调递增，在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，故1是()f x 的极小值点，故A 正确：对于B，因为()()3232322321232(1)3(1)2326623631f x f x x x x x x x x x x x x +-=-+---=-+-+--+-=-，所以()f x 的图象关于点11,22⎛⎫-⎪⎝⎭对称，故B 正确；对于C ，()()321231g x f x x x =+=-+，易知()(),g x f x 的单调性一致，而()10g =，故()()1g x f x =+有2个零点，故C 错误；对于D ，当01x <<时，21110x x -<-<-<，而()f x 在()1,0-上单调递增，故()()211f x f x -<-，故D 错误.故选：AB.11.已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为8，线段1,CC BC 的中点分别为,E F ，动点G 在下底面1111D C B A 内（含边界），动点H 在直线1AD 上，且1GE AA =，则（）A.三棱锥H DEF -的体积为定值B.动点G 的轨迹长度为5π2C.不存在点G ，使得EG ⊥平面DEFD.四面体DEFG 体积的最大值为1526【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，由题意可证1AD ∥平面DEF ，因此点H 到平面DEF 的距离等于点A 到平面DEF 的距离，其为定值，据此判断A ；对于B ，根据题意求出正方体边长及1C G 的长，由此可知点G 的运动轨迹；对于C ，建立空间直角坐标系，求出平面DEF 的法向量，假设点G 的坐标，求出EG 的方向向量，假设EG ⊥平面DEF ，则平面DEF 的法向量和EG 的方向向量共线，进而求出点G 的坐标，再判断点G 是否满足B 中的轨迹即可；对于D ，利用空间直角坐标系求出点G 到平面DEF 的距离，求出距离的最大值即可.【详解】对于A ，如图，连接1BC 、1AD ，依题意，EF ∥1BC ∥1AD ，而1AD ⊄平面,DEF EF ⊂平面DEF ，故1AD ∥平面DEF ，所以点H 到平面DEF 的距离等于点A 到平面DEF 的距离，其为定值，所以点H 到平面DEF 的距离为定值，故三棱维H DEF -的体积为定值，故A 正确；对于B ，因为正方体1111ABCD A B C D -的体积为8，故12AA =，则2GE =，而11EC =，故22113C G GE EC =-=故动点G 的轨迹为以1C 31111D C B A 内的部分，即四分之一圆弧，故所求轨迹长度为13π2π342⨯=，故B 错误；以1C 为坐标原点，11111,,C D C B C C 所在直线分别为,,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()2,0,2,0,0,1,0,1,2D E F ，故()()2,0,1,0,1,1DE EF =--=，设 =s s 为平面DEF 的法向量，则0,0,n EF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩故0,20,y z x z +=⎧⎨--=⎩令2z =，故()1,2,2n =--为平面DEF 的一个法向量，设()()0000,,00,0G x y x y ≥≥，故()00,,1EG x y =-，若EG ⊥平面DEF ，则//n EG uuu rr，则001122x y -==--，解得001,12x y ==，但22003x y +≠，所以不存在点点G ，使得EG ⊥平面DEF ，故C 正确；对于D ，因为DEF 为等腰三角形，故2211323222222DEFEF S EF DE ⎛⎫=⋅-== ⎪⎝⎭，而点G 到平面DEF 的距离0000222233EG n x y x y d n ⋅++++===，令03cos x θ=，则0π3sin ,0,2y θθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则()222333d θϕθθ+++++==≤，其中1tan 2ϕ=，则四面体DEFG 体积的最大值为13223236++⨯⨯=，故D 正确.故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量()()3,2,2,a b x =-=，若()2b a a -⊥ ，则x =______.【答案】10-【解析】【分析】利用向量的线性运算并由向量垂直的坐标表示列式即可求解.【详解】依题意，()24,4b a x -=-+，故()212280b a a x -⋅=---= ，解得10x =-.故答案为：10-13.定义：如果集合U 存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集1A ，()*2,,k A A k ∈N ，且12k A A A U =U U L U ，那么称子集族{}12,,,k A A A 构成集合U 的一个k 划分.已知集合{}2650I x x x =∈-+<N∣，则集合I 的所有划分的个数为__________.【答案】4【解析】【分析】解二次不等式得到集合I ，由子集族的定义对集合I 进行划分.【详解】依题意，{}{}{}2650152,3,4I x x x x x =∈-+<=∈<<=N N∣，I 的2划分为{}{}{}{2,3},{4},{2,4},{3},{3,4},{2}，共3个，I 的3划分为{}{}{}{}2,3,4，共1个，故集合I 的所有划分的个数为4.故答案为：414.已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点M 在以2F 为圆心､2OF 为半径的圆上，且直线1MF 与圆2F 相切，若直线1MF 与C 的一条渐近线交于点N ，且1F M MN = ，则C 的离心率为__________.【答案】2【解析】【分析】由题意可得21F M NF ⊥，由此求出1F M ，1230MF F ∠=o，即可求出N 点坐标，代入b y x a=，即可得出答案.【详解】不妨设点M 在第一象限，连接2F M ，则212,F M NF F M c ⊥=，故1F M ==，1230MF F ∠=o，设()00,N x y ，因为1F M MN =，所以M 为1NF 的中点，112NF F M ==，故0y =.0sin30,cos302x c c ==⋅-= ，将()2N c 代入b y x a =中，故32b a =，则2c e a ===.故答案为：72.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中2sin cos sin B A b A =.（1）求A 的值；（2）若ABC V 6，求ABC V 的外接圆面积.【答案】（1）π3A =（2）4π3【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，从而求得A .（2）根据三角形的面积公式、余弦定理等知识求得外接圆的半径，从而求得外接圆的面积.【小问1详解】2sin cos sin sinA B A B A=，因为sin,sin0A B≠sinA A=，则tan A=，因为()0,πA∈，故π3A=.【小问2详解】由题意13sin24ABCS bc A===，故4bc=.由余弦定理得222222cos()3(6)12a b c bc A b c bc a=+-=+-=--，解得2a=.故ABCV的外接圆半径2sinaRA==，故所求外接圆面积24ππ3S R==.16.如图，在四棱锥S ABCD-中，底面ABCD为正方形，45,,ASD ADS M N∠∠== 分别在棱,SB SC 上，且,,,A D N M四点共面.（1）证明：SA MN⊥；（2）若SM BM=，且二面角S AD C--为直二面角，求平面SCD与平面ADNM夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】【分析】（1）先证明线面平行再应用线面平行性质定理得出MN//AD，再结合SA AD⊥，即可证明；（2）应用面面垂直建系，应用空间向量法求出面面角的余弦值.【小问1详解】因为45ASD ADS ∠∠== ，故90SAD ∠= ，则SA AD ⊥，因为AD //,BC AD ⊄平面,SBC BC ⊂平面SBC ，故AD //平面SBC ，而平面ADNM 平面,SBC MN AD =⊂平面ADNM ，故MN //AD ，则SA MN ⊥.【小问2详解】因为二面角S AD C --为直二面角，故平面SAD ⊥平面ABCD .而平面SAD ⋂平面,ABCD AD SA =⊂平面,SAD SA AD ⊥，故SA ⊥平面ABCD ，又底面ABCD 为正方形，所以,,SA AB SA AD AB AD ⊥⊥⊥，以点A 为坐标原点，,,AB AD AS 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，不妨设2AB =，则()()()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,0,2,0,1,0,1A S C D M ，故()()()()2,2,2,0,2,2,0,2,0,1,0,1SC SD AD AM =-=-==，设平面ADNM 的法向量为()111,,n x y z =，则1110,20,n AM x z n AD y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 令11x =，可得()1,0,1n =- .设平面SCD 的法向量为()222,,m x y z =，则22222220,2220,m SD y z m SC x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ 令21y =，可得()0,1,1m = ，故平面SCD 与平面ADNM 夹角的余弦值1cos 2m n m n θ⋅== .17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，右焦点为F ，点23(,22-在C 上.（1）求C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，点A 在直线():0l y kx m k =+≠上，若直线l 与C 相切，且FA l ⊥，求OA 的值.【答案】（1）2212x y +=（2）OA =【解析】【分析】（1）根据椭圆离心率定义和椭圆上的点以及,,a b c 的关系式列出方程组，解之即得；（2）将直线与椭圆方程联立，消元，根据题意，由Δ0=推得2221m k =+，又由FA l ⊥，写出直线FA 的方程，与直线l 联立，求得点A 坐标，计算2||OA ，将前式代入化简即得.【小问1详解】设s 0，依题意，222222131,24c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得222,1,a b ==故C 的方程为2212x y +=.【小问2详解】如图，依题意1,0，联立22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得()222214220k x kmx m +++-=，依题意，需使()()2222Δ16421220k m k m =-+-=，整理得2221m k =+（*）.因为FA l ⊥，则直线FA 的斜率为1k-，则其方程为()11y x k =--，联立1(1),y x k y kx m ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩解得221,1,1km x kk m y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩即221,11km k m A k k -+⎛⎫ ⎪++⎝⎭故()()()()()2222222222222222211(1)()11||1111k m km k m k m k m mOA k k k k ++-++++++====++++，将（*）代入得，22221222,11m k k k++==++故OA =18.已知函数()1ee xf x x x +=-.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程；（2）记（1）中切线方程为()y F x =，比较()(),f x F x 的大小关系，并说明理由；（3）若0x >时，()()ln 2e 1f x x a x -≥---，求a 的取值范围.【答案】（1）e 1y x =--（2）()()f x F x ≥，理由见解析（3）(],0-∞【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求得答案；（2）令()()()1e1x m x f x F x x +=-=+，求出其导数，进而求得函数最值，即可得结论；（3）将原问题变为1e ln 2x x x x ax +---≥，即()ln 1eln 11x x x x ax ++-++-≥在()0,∞+上恒成立，同构函数，利用导数判断函数单调性，结合讨论a 的范围，即可求得答案.【小问1详解】依题意，()1e 1f -=-，而()()11e e x f x x +=+-'，故()1e,f '-=-故所求切线方程为()e 1e 1y x -+=-+，即e 1y x =--.【小问2详解】由（1）知()e 1F x x =--，结论；()()f x F x ≥，下面给出证明：令()()()1e1x m x f x F x x +=-=+，则()()11e x m x x +=+'，当1x <-时，()()0,m x m x '<在(),1∞--上单调递减，当1x >-时，()()0,m x m x '>在()1,-+∞上单调递增，故()()10m x m ≥-=，即()()f x F x ≥.【小问3详解】依题意得1e ln 2x x x x ax +---≥，则()ln 1eln 11x x x x ax ++-++-≥在()0,∞+上恒成立，令()e 1xg x x =--，则()e 1xg x '=-，令()0g x '=，得0x =，故当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，当()0,x ∞∈+时，()0g x '>，故()g x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,∞+上单调递增，则()()00g x g ≥=，当0a ≤时，10,e ln 20,0x x x x x ax +∀>---≥≤，此时10,e ln 2x x x x x ax +∀>---≥；当0a >时，令()ln 1h x x x =++，显然()h x 在区间()0,∞+上单调递增，又()221110,120e eh h ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，故存在021,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，则01000e ln 20x x x x +---=，而00ax >，不合题意，舍去.综上所述，a 的取值范围为(],0-∞.【点睛】不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③分类讨论参数.19.已知首项为1的数列{}n a 满足221144n n n n a a a a ++=++.（1）若20a >，在所有{}()14n a n ≤≤中随机抽取2个数列，记满足40a <的数列{}n a 的个数为X ，求X的分布列及数学期望EX ；（2）若数列{}n a 满足：若存在5m a ≤-，则存在{}(1,2,,12k m m ∈-≥ 且)*m ∈N ，使得4km aa -=.（i ）若20a >，证明：数列{}n a 是等差数列，并求数列{}n a 的前n 项和n S ；（ii ）在所有满足条件的数列{}n a 中，求使得20250s a +=成立的s 的最小值.【答案】（1）分布列见解析，1（2）（i ）证明见解析，22n S n n =-（ii ）1520【解析】【分析】（1）根据递推关系化简可得14n n a a +=+，或1,n n a a +=-写出数列的前四项，利用古典概型即可求出分布列及期望；（2）（i ）假设数列{}n a 中存在最小的整数()3i i ≥，使得1i i a a -=-，根据所给条件可推出存在{}1,2,,1k i ∈- ，使得41k i a a =+≤-，矛盾，即可证明；（ii ）由题意可确定1,5,9,,2017,2021,2025------ 必为数列{}n a 中的项，构成新数列{}n b ，确定其通项公式及5072025b =-，探求s a 与n b 的关系得解.【小问1详解】依题意，221144n n n n a a a a ++=++，故22114444a n n n a a a a ++-+=++，即()()22122n n a a +-=+，故14n n a a +=+，或1,n n a a +=-因为121,0a a =>，故25a =；则:1,5,9,13;:1,5,9,9;:1,5,5,5;:1,5,5,1n n n n a a a a ----，故X 的可能取值为0,1,2，故()()()21122222222444C C C C 1210,12C 6C 3C 6P X P X P X =========，故X 的分布列为X012P162316故1210121636EX =⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】（i ）证明：由（1）可知，当2n ≥时，1n n a a -=-或124,5n n a a a -=+=；假设此时数列{}n a 中存在最小的整数()3i i ≥，使得1i i a a -=-，则121,,,i a a a - 单调递增，即均为正数，且125i a a -≥=，所以15i i a a -=-≤-；则存在{}1,2,,1k i ∈- ，使得41k i a a =+≤-，此时与121,,,i a a a - 均为正数矛盾，所以不存在整数()3i i ≥，使得1i i a a -=-，故14n n a a -=+.所以数列{}n a 是首项为1､公差为4的等差数列，则()21422n n n S n n n -=+⋅=-.（ii ）解：由20250s a +=，可得2025s a =-，由题设条件可得1,5,9,,2017,2021,2025------ 必为数列{}n a 中的项；记该数列为{}n b ，有()431507n b n n =-+≤≤；不妨令n j b a =，则143j j a a n +=-=-或1447j j a a n +=+=-+，均不为141;n b n +=--此时243j a n +=-+或41n +或47n -或411n -+，均不为141s b n +=--.上述情况中，当1243,41j j a n a n ++=-=+时，32141j j n a a n b +++=-=--=，结合11a =，则有31n n a b -=.由5072025b =-可知，使得20250s a +=成立的s 的最小值为350711520⨯-=.【点睛】关键点点睛：第一问数列与概率结合，关键在于得出数列前四项的所有可能，即可按照概率问题求解，第二问的关键在于对于新定义数列，理解并会利用一般的抽象方法推理，反证，探求数列中项的变换规律，能力要求非常高，属于困难题目.。

高中数学专题突破练习《等差数列前n项和及其性质》含详细答案解析

4.2.2等差数列的前n项和公式第1课时等差数列前n项和及其性质基础过关练题组一求等差数列的前n项和1.已知等差数列{a n}满足a1=1,a m=99,d=2,则其前m项和S m等于()A.2300B.2400C.2600D.25002.在-20与40之间插入8个数,使这10个数成等差数列,则这10个数的和为()A.200B.100C.90D.703.设S n是等差数列{a n}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于()A.13B.35C.49D.634.(2020安徽合肥高三第一次教学质量检测)已知等差数列{a n}的前n 项和为S n,a1=-3,2a4+3a7=9,则S7等于()A.21B.1C.-42D.05.若数列{a n}为等差数列,S n为其前n项和,且a1=2a5-1,则S17等于()A.-17B.-172C.172D.176.(2019湖南师大附中高二上期中)在等差数列{a n}中,若a5,a7是方程x2-2x-6=0的两个根,则数列{a n}的前11项的和为()A.22B.-33C.-11D.117.已知等差数列{a n}.(1)若a6=10,a8=16,求S5;(2)若a2+a4=48,求S5.5题组二等差数列前n项和的性质8.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于()A.63B.45C.36D.279.在等差数列{a n}中,S n是其前n项和,且S2011=S2018,S k=S2008,则正整数k为()A.2019B.2020C.2021D.202210.含2n+1项的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为()A.2n+1n B.n+1nC.n-1n D.n+12n11.已知等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为S n,T n,若S nT n =3n2n+5,则a8b8=()A.87B.4837C.97D.1213题组三等差数列前n项和的应用12.数列{a n}为等差数列,它的前n项和为S n,若S n=(n+1)2+λ,则λ的值是()A.-2B.-1C.0D.113.(2020山东济南一中高二上期中)已知等差数列{a n}的前9项和为27,a10=8,则a100=()A.100B.99C.98D.9714.(2020山东青岛高二上期末)已知数列{a n}的前n项和为S n,若a n+1=a n+2,S5=25,n∈N*,则a5=()A.7B.5C.9D.315.(2020天津一中高二上期中)已知等差数列前3项的和为34,后3项的和为146,所有项的和为390,则这个数列的项数为()A.13B.12C.11D.1016.若数列{a n}的前n项和S n=2n2-3n(n∈N*),则a1+a7等于()A.11B.15C.17D.2217.(2019湖南怀化三中高二上期中)已知{a n}是首项为a1,公差为d的等差数列,S n是其前n项和,且S5=5,S6=-3.求数列{a n}的通项公式及S n.能力提升练题组一求等差数列的前n项和1.(2020湖南郴州高二上期中,)已知数列{a n}是等差数列且a n>0,设其前n项和为S n.若a1+a9=a52,则S9=()A.36B.18C.27D.92.(2020江西九江一中高二上期中,)等差数列{a n}的前n项和为S n,若a2+a7+a12=30,则S13等于()A.130B.65C.70D.753.(2019湖北黄冈高一下期末,)如图,将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有n(n≥2,n∈N*)个点,相应的图案中点的总数记为a n,则a2+a3+a4+…+a n等于()A.3n 22B.n(n+1)2C.3n(n-1)2D.n(n-1)24.(2020安徽阜阳高二上期末,)已知数列{a n}中,a1=1,a2=2,对任意正整数n,a n+2-a n=2+cos nπ,S n为{a n}的前n项和,则S100=.题组二等差数列前n项和的性质5.()已知数列{a n},{b n}均为等差数列,其前n项和分别记为A n,B n,满足A nB n =4n+12n+3,则a5b7的值为(深度解析)A.2117B.3729C.5329D.41316.()设等差数列{a n}的前n项和为S n,且S m=-2,S m+1=0,S m+2=3,则m=.7.(2019河北沧州一中高二期中,)在等差数列{a n}中,前m(m为奇数)项的和为135,其中偶数项之和为63,且a m-a1=14,则a100=.题组三等差数列前n项和的应用8.(2020河北正定中学高二期末,)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a5a3=59,则S9S5等于()A.1B.-1C.2D.129.(2019陕西西安一中高二上月考,)设S n(S n≠0,n∈N*)是数列{a n}的前n项和,且a1=-1,a n+1=S n·S n+1,则S n等于()A.nB.-nC.1n D.-1n10.()若数列{a n}的前n项和S n=n2-4n+2(n∈N*),则|a1|+|a2|+…+|a10|等于()A.15B.35C.66D.10011.(2020天津耀华中学高二上期中,)数列{a n}满足a n=1+2+3+…+nn (n∈N*),则数列{1a n a n+1}的前n项和为()A.nn+2B.2nn+2C.nn+1D.2nn+112.()已知数列{a n}的前n项和S n=n2+2n-1(n∈N*),则a1+a3+a5+…+a25=.13.()已知等差数列的前三项依次为a,3,5a,前n项和为S n,且S k=121.(1)求a及k的值;(2)设数列{b n}的通项公式为b n=S nn,求{b n}的前n项和T n.14.()在数列{a n}中,a1=8,a4=2,且满足a n+2-2a n+1+a n=0(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设T n=|a1|+|a2|+…+|a n|,求T n.深度解析答案全解全析基础过关练1.D 解法一:由a m =a 1+(m-1)d,得99=1+(m-1)×2,解得m=50, 所以S m =S 50=50×1+50×492×2=2 500.解法二:同解法一,得m=50, 所以S m =S 50=50(a 1+a 50)2=50×(1+99)2=2 500.故选D.2.B 设该等差数列为{a n },其前n 项和为S n ,则由题意可知,a 1=-20,a 10=40,所以S 10=10×(-20+40)2=100.3.C 由题意得,S 7=7(a 1+a 7)2=7(a 2+a 6)2=7×(3+11)2=49. 4.D 设等差数列{a n }的公差为d,则2a 4+3a 7=2(-3+3d)+3(-3+6d)=9,解得d=1,∴S 7=7a 1+7×62×d=7×(-3)+7×3×1=0,故选D.5.D 设等差数列{a n }的公差为d,∵a 1=2a 5-1,∴a 1=2(a 1+4d)-1,∴a 1+8d=1,即a 9=1,∴S 17=17×(a 1+a 17)2=17a 9=17.故选D.6.D 在等差数列{a n }中,若a 5,a 7是方程x 2-2x-6=0的两个根,则a 5+a 7=2, ∴a 6=12(a 5+a 7)=1,∴数列{a n }的前11项的和为11×(a 1+a 11)2=11a 6=11×1=11.故选D.7.解析设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d. (1)∵a 6=10,a 8=16,∴{a 1+5d =10,a 1+7d =16,解得{a 1=-5,d =3. ∴S 5=5a 1+5×42d=5.(2)解法一:∵a 2+a 4=a 1+d+a 1+3d=485,∴a 1+2d=245.∴S 5=5a 1+5×42d=5a 1+10d=5(a 1+2d)=5×245=24.解法二:∵a 2+a 4=a 1+a 5,∴a 1+a 5=485, ∴S 5=5(a 1+a 5)2=52×485=24.8.B 由等差数列前n 项和的性质可知,S 3,S 6-S 3,S 9-S 6构成等差数列,所以S 3+(S 9-S 6)=2(S 6-S 3),即S 9=3S 6-3S 3,又S 3=9,S 6=36,所以S 9=3×36-3×9=81,所以a 7+a 8+a 9=S 9-S 6=81-36=45.9.C 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数,所以由二次函数图象的对称性及S 2 011=S 2 018,S k =S 2 008,可得2 011+2 0182=2 008+k2,解得k=2 021,故选C.10.B 设该等差数列为{a n },其首项为a 1,前n 项和为S n ,则S 奇=(n+1)(a 1+a 2n+1)2,S 偶=n(a 2+a 2n )2,∵a 1+a 2n+1=a 2+a 2n ,∴S 奇S 偶=n+1n.11.C 由等差数列的性质知a 8b 8=15(a 1+a 15)215(b 1+b 15)2=S 15T 15=3×152×15+5=4535=97.故选C.12.B ∵等差数列前n 项和S n 的形式为S n =An 2+Bn(A,B 为常数),且S n =(n+1)2+λ=n 2+2n+1+λ,∴λ=-1.13.C 设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d,由等差数列{a n }的前9项和为27,a 10=8,得{9a 1+9×82d =9a 1+36d =27,a 1+(10-1)d =a 1+9d =8,解得{a 1=-1,d =1.故a 100=a 1+99d=98.故选C.14.C ∵a n+1=a n +2,即a n+1-a n =2,∴{a n }是公差为2的等差数列,设其首项为a 1, 则S 5=5a 1+5×42×2=25,解得a 1=1,∴a 5=1+(5-1)×2=9.15.A 设该等差数列为{a n },其前n 项和为S n .由题意得,a 1+a 2+a 3=34,a n-2+a n-1+a n =146,∴(a 1+a 2+a 3)+(a n-2+a n-1+a n )=(a 1+a n )+(a 2+a n-1)+(a 3+a n-2)=3(a 1+a n )=34+146,∴a 1+a n =60. 又S n =n(a 1+a n )2,∴390=n×602,解得n=13,故选A.16.D 由S n =2n 2-3n(n ∈N *)可知,数列{a n }为等差数列,所以S 7=7×(a 1+a 7)2=2×72-3×7,解得a 1+a 7=22,故选D.17.解析由S 5=5,S 6=-3,得{5a 1+5×42d =5,6a 1+6×52d =-3,解得{a 1=7,d =-3, ∴a n =7+(n-1)×(-3)=-3n+10(n ∈N *),S n =n[7+(-3n+10)]2=-32n 2+172n(n ∈N *).能力提升练1.B 由a 1+a 9=a 52得,2a 5=a 52,又a n >0,∴a 5=2,∴S 9=9(a 1+a 9)2=9×2a 52=18,故选B.2.A 解法一:设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d,则a 2+a 7+a 12=(a 1+d)+(a 1+6d)+(a 1+11d)=3a 1+18d=30,∴a 1+6d=10. ∴S 13=13a 1+13×122d=13(a 1+6d)=13×10=130,故选A.解法二:设等差数列{a n }的首项为a 1,∵a 2+a 7+a 12=30,∴3a 7 =30,即a 7 =10,∴S 13=13(a 1+a 13)2=13×2a 72=13a 7=130.故选A.3.C 由题图可知,a 2=3,a 3=6,a 4=9,a 5=12,依此类推,n 每增加1,图案中的点数增加3,所以相应图案中的点数构成首项为a 2=3,公差为3的等差数列,所以a n =3+(n-2)×3=3n-3,n ≥2,n ∈N *, 所以a 2+a 3+a 4+…+a n =(n -1)(3+3n -3)2=3n(n -1)2.故选C.4.答案 5 050解析当n 为奇数时,a n+2-a n =1,即数列{a n }的奇数项是以1为首项,1为公差的等差数列;当n 为偶数时,a n+2-a n =3,即数列{a n }的偶数项是以2为首项,3为公差的等差数列,所以S 100=(a 1+a 3+…+a 99)+(a 2+a 4+…+a 100)=(50×1+50×492)+50×2+50×492×3=5 050.5.B 由等差数列前n 项和的特征及An B n =4n+12n+3,可设A n =kn(4n+1),B n =kn(2n+3). ∴a 5=A 5-A 4=5×(4×5+1)k-4×(4×4+1)k=37k,b 7=B 7-B 6=7×(2×7+3)k-6×(2×6+3)k=29k. ∴a5b 7=37k 29k =3729.故选B.解题模板易错警示等差数列{a n }的前n 项和的表示形式为S n =an 2+bn(a,b 为常数),解题时可采用这种形式简化运算.本题要注意A n B n中有比例系数k,防止遗漏导致错误. 6.答案 4解析因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和,所以数列{Sn n }是等差数列,所以Sm m +S m+2m+2=2S m+1m+1,即-2m +3m+2=0,解得m=4.7.答案 101解析设等差数列{a n }的公差为d,前n 项和为S n ,由题意可知,S m =135,前m 项中偶数项之和S 偶=63,∴S 奇=135-63=72,∴S 奇-S 偶=a 1+(m -1)d 2=2a 1+(m -1)d 2=a 1+a m2=72-63=9.∵S m =m(a 1+a m )2=135,∴m=15,又∵a m -a 1=14,a m =a 1+(m-1)d, ∴a 1=2,d=a m -a 1m -1=14m -1=1,∴a 100=a 1+99d=101. 8.AS 9S 5=92(a 1+a 9)52(a 1+a 5)=92×2a 552×2a 3=9a 55a 3=95·a 5a 3=1.故选A.9.D ∵a n+1=S n+1-S n ,∴S n+1-S n =S n+1·S n , 又∵S n ≠0,∴1S n+1-1S n=-1.又S 1=a 1=-1,∴1S 1=-1,∴数列{1Sn}是以-1为首项,-1为公差的等差数列,∴1S n=-1+(n-1)×(-1)=-n,∴S n =-1n.故选D.10.C 由S n =n 2-4n+2①得,当n=1时,a 1=S 1=1-4+2=-1,当n ≥2时,S n-1=(n-1)2-4(n-1)+2②,①-②得,a n =2n-5(n ≥2,n ∈N *),经检验,当n=1时,不符合a n =2n-5,∴a n ={-1,n =1,2n -5,n ≥2,n ∈N *.∴|a 1|=1,|a 2|=1,a 3=1,令a n >0,则2n-5>0, ∴n ≥3.∴|a 1|+|a 2|+…+|a 10|=1+1+a 3+…+a 10=2+(S 10-S 2)=2+[(102-4×10+2)-(22-4×2+2)]=66.故选C. 11.B 依题意得,a n =n(1+n)2n=n+12, ∴1a n a n+1=4(n+1)(n+2)=4(1n+1-1n+2).∴1a 1a 2+1a 2a 3+…+1a n a n+1=4(12-13)+(13-14)+…+1n+1-1n+2=4(12-1n+2)=2nn+2,故选B. 12.答案 350解析当n=1时,a 1=S 1=12+2×1-1=2; 当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n+1, 经检验,当n=1时,不符合上式, ∴a n ={2,n =1,2n +1,n ≥2,n ∈N *,因此{a n }除第1项外,其余项构成以a 2=5为首项,2为公差的等差数列,从而a 3,a 5,…,a 25是以a 3=7为首项,4为公差的等差数列, ∴a 1+a 3+a 5+…+a 25 =a 1+(12a 3+12×112×4)=350.13.解析 (1)设该等差数列为{a n },首项为a 1,公差为d,则a 1=a,a 2=3,a 3=5a. 由已知得a+5a=6,得a=1, ∴a 1=1,a 2=3,a 3=5, ∴d=2,∴S k=ka1+k(k-1)2·d=k+k(k-1)2×2=k2.由S k=k2=121,得k=11(负值舍去).∴a=1,k=11.(2)由(1)得S n=n2,则b n=S nn=n,∴b n+1-b n=1,又b1=S11=1,∴数列{b n}是首项为1,公差为1的等差数列,∴T n=n 2+n 2.14.解析(1)∵a n+2-2a n+1+a n=0,∴a n+2-a n+1=a n+1-a n,∴数列{a n}是等差数列,设其公差为d,∵a1=8,a4=2,∴d=a4-a14-1=-2,∴a n=a1+(n-1)d=10-2n,n∈N*.(2)设数列{a n}的前n项和为S n,则由(1)可得,S n=8n+n(n-1)2×(-2)=9n-n2,n∈N*.由(1)知a n=10-2n,令a n=0,得n=5.∴当n>5时,a n<0,则T n=|a1|+|a2|+…+|a n|=a1+a2+…+a5-(a6+a7+…+a n)=S5-(S n-S5)=2S5-S n=2×(9×5-25)-(9n-n2)=n2-9n+40;当n ≤5时,a n ≥0, 则T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n | =a 1+a 2+…+a n =9n-n 2.∴T n ={9n -n 2,n ≤5,n ∈N *,n 2-9n +40,n ≥6,n ∈N *.解题反思求数列{|a n |}的前n 项和,关键在于分清哪些项为非负的,哪些项为负的,最终应化为去掉绝对值符号后的数列进行求和. 如果数列{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和,T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |,那么有: (1)若a 1>0,d<0,则存在k ∈N *,使得a k ≥0,a k+1<0, 从而有T n ={S n (n ≤k),2S k -S n (n >k);(2)若a 1<0,d>0,则存在k ∈N *,使得a k ≤0,a k+1>0, 从而有T n ={-S n (n ≤k),S n -2S k (n >k).。

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一、等差数列选择题1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为（） A ．21B ．20C ．19D ．19或202．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（） A ．3斤B ．6斤C ．9斤D ．12斤3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且6210S S ，则34a a +=（）A ．2B ．3C ．4D ．54．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S =（） A ．16 B ．-16 C ．4D ．-45．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（） A ．45B ．50C ．60D ．806．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为（） A ．34000米 B ．36000米 C ．38000米 D ．40000米 7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列 D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =，56S S ≥，下列四个命题：①公差d 的最大值为2-；②70S <；③记n S 的最大值为M ，则M 的最大值为30；④20192020a a >.其真命题的个数是（） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（） A ．161B ．155C ．141D ．13910．已知数列{}n a 为等差数列，2628a a +=，5943a a +=，则10a =（） A ．29B ．38C ．40D ．5811．已知{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且100S =，下列式子正确的是（） A ．450a a +=B ．560a a +=C ．670a a +=D ．890a a +=12．已知等差数列{}n a 中，前n 项和215n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（）A ．7B ．8C ．7或8D ．913．已知数列{}n a 中，132a =，且满足()*1112,22n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有n a nλ≥成立，则实数λ的最小值是（） A ．2B ．4C ．8D ．1614．设n S 是等差数列{}n a （*n N ∈）的前n 项和，且141,16a S ==，则7a =（） A ．7B ．10C ．13D ．1615．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132a a +=，422a a -=，则5S =（） A ．21B ．15C ．10D ．616．在等差数列{}n a 的中，若131,5a a ==，则5a 等于（） A ．25B ．11C ．10D ．917．已知递减的等差数列{}n a 满足2219a a =，则数列{}n a 的前n 项和取最大值时n =（）A ．4或5B ．5或6C ．4D ．518．在数列{}n a 中，11a =，且11nn na a na +=+，则其通项公式为n a =（） A ．211n n -+B ．212n n -+C ．221n n -+D ．222n n -+19．已知数列{}n a 中，12(2)n n a a n --=≥，且11a =，则这个数列的第10项为（） A ．18B ．19C ．20D ．2120．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()12n n n S +=，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项的和为（） A ．89B ．910C ．1011D ．1112二、多选题21．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（）A ．－4B ．－2C ．0D ．222．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（） A ．1055a = B ．2020a 是偶数C ．2020201820223a a a =+D ．123a a a +++…20202022a a +=23．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减D ．数列{}n S 有最大值24．已知等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（） A ．59823a a S +=B ．27S S =C ．5S 最小D ．50a =25．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <26．已知数列{}n a 为等差数列，则下列说法正确的是（） A ．1n n a a d +=+（d 为常数）B ．数列{}n a -是等差数列C ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列D ．1n a +是n a 与2n a +的等差中项27．设d 为正项等差数列{}n a 的公差，若0d >，32a =，则（） A ．244a a ⋅ D ．1524a a a a ⋅>⋅28．已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 25,n S n n =-则下列说法正确的是（）A ．{}n a 为等差数列B ．0n a >C ．n S 最小值为214-D ．{}n a 为单调递增数列29．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ()*n N ∈，公差0d ≠，690S=，7a 是3a 与9a 的等比中项，则下列选项正确的是（） A ．2d =-B ．120a =-C ．当且仅当10n =时，n S 取最大值D ．当0nS <时，n 的最小值为2230．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（）A ．a 6＞0B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．B 【分析】由题得出1392a d =-，则2202n dS n dn =-，利用二次函数的性质即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由11101921a a =得11102119a a =，则()()112110199a d a d +=+，解得1392a d =-，10a <，0d ∴>，()211+2022n n n dS na d n dn -∴==-，对称轴为20n =，开口向上， ∴当20n =时，n S 最小.故选：B. 【点睛】方法点睛：求等差数列前n 项和最值，由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值. 2．C 【分析】根据题意转化成等差数列问题，再根据等差数列下标的性质求234a a a ++. 【详解】由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为1a ，粗的一端的重量为5a ，可知12a =，54a =，根据等差数列的性质可知1533263a a a a +==⇒=，中间三尺为234339a a a a ++==. 故选：C 【点睛】本题考查数列新文化，等差数列的性质，重点考查理解题意，属于基础题型. 3．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差1d =，6210S S ，所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=，解得343a a +=. 故选：B. 4．A 【详解】由()()18458884816222a a a a S +⨯+⨯⨯====.故选A.5．C 【分析】利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解【详解】{}n a 是等差数列，3944a a a +=+，4844a a a ∴+=+，84a =1158158()15215156022a a a S a +⨯⨯====故选：C 【点睛】本题考查等差数列性质及前n 项和公式，属于基础题 6．B 【分析】利用等差数列性质得到21200a =，143600a =，再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为n a ，则123233600a a a a ++==，故21200a =，13141514310800a a a a ++==，故143600a =，则()()11521411151********n S a a a a =+⨯=+⨯=. 故选：B. 7．D 【分析】根据等差数列的性质，可判定A 、B 正确；当首项与公差均为0时，可判定C 正确；当首项为1与公差1时，可判定D 错误. 【详解】由题意，数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，根据等差数列的性质，可得而51051510,,S S S S S --，和24264,,S S S S S --构成等差数列，所以，所以A ，B 正确；当首项与公差均为0时，5101510,,S S S S +是等差数列，所以C 正确；当首项为1与公差1时，此时2426102,31,86S S S S S =+=+=，此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列，所以D 错误. 故选：D. 8．B 【分析】设公差为d ，利用等差数列的前n 项和公式，56S S ≥，得2d ≤-，由前n 项和公式，得728S ≤，同时可得n S 的最大值，2d =-，5n =或6n =时取得，结合递减数列判断D ．【详解】设公差为d ，由已知110a =，56S S ≥，得5101061015d d ⨯+≥⨯+，所以2d ≤-，A 正确；所以7710217022128S d =⨯+≤-⨯=，B 错误；1(1)10(1)0n a a n d n d =+-=+-≥，解得101n d≤-+，11100n a a nd nd +=+=+≤，解得10n d≥-，所以10101n d d-≤≤-+，当2d =-时，56n ≤≤，当5n =时，有最大值，此时51010(2)30M =⨯+⨯-=，当6n =时，有最大值，此时61015(2)30M =⨯+⨯-=，C 正确．又该数列为递减数列，所以20192020a a >，D 正确．故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和，掌握等差数列的前n 和公式与性质是解题关键．等差数列前n 项和n S 的最大值除可利用二次函数性质求解外还可由10n n a a +≥⎧⎨≤⎩求得．9．B 【分析】画出图形分析即可列出式子求解. 【详解】所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x ，根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得：3612107y x y -=⎧⎨-=⎩ ，解得15548x y =⎧⎨=⎩.故选：B. 10．A 【分析】根据等差中项的性质，求出414a =，再求10a ; 【详解】因为{}n a 为等差数列，所以264228a a a +==, ∴414a =.由59410a a a a +=+43=,得1029a =, 故选：A. 11．B 【分析】由100S =可计算出1100a a +=，再利用等差数列下标和的性质可得出合适的选项. 【详解】由等差数列的求和公式可得()110101002a a S +==，1100a a ∴+=，由等差数列的基本性质可得561100a a a a +=+=. 故选：B. 12．C 【分析】215n S n n =-看作关于n 的二次函数，结合二次函数的图象与性质可以求解．【详解】22152251524n S n n n ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭，∴数列{}n S 的图象是分布在抛物线21522524y x ⎛⎫=--⎪⎝⎭上的横坐标为正整数的离散的点．又抛物线开口向上，以152x =为对称轴，且1515|7822-=-|，所以当7,8n =时，n S 有最小值．故选：C 13．A 【分析】将11122n n n a a -=+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出22n n n a +=，从而得出()22n n n λ+≥，求出()max22nn n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值，即可得出答案. 【详解】因为2n ≥时，11122n n n a a -=+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{}2nn a 是首项为3公差为1的等差数列，故22nn a n =+，从而22n n n a +=. 又因为n a n λ≥恒成立，即()22nn n λ+≥恒成立，所以()max 22n n n λ+⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦. 由()()()()()()()1*121322,221122n n nn n n n n n n n n n n +-⎧+++≥⎪⎪∈≥⎨+-+⎪≥⎪⎩N 得2n = 所以()()2max2222222n n n +⨯+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A 14．C 【分析】由题建立关系求出公差，即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，141,16a S ==，41464616S a d d ∴=+=+=，2d ∴=，71613a a d ∴=+=.故选：C 15．C 【分析】根据已知条件得到关于首项1a 和公差d 的方程组，求解出1,a d 的值，再根据等差数列前n 项和的计算公式求解出5S 的值. 【详解】因为134222a a a a +=⎧⎨-=⎩，所以122222a d d +=⎧⎨=⎩，所以101a d =⎧⎨=⎩，所以5154550101102S a d ⨯=+=⨯+⨯=，故选：C. 16．D 【分析】利用等差数列的性质直接求解．【详解】因为131,5a a ==，315529a a a a =+∴=，故选：D ． 17．A 【分析】由2219a a =，可得14a d =-，从而得2922n d d S n n =-，然后利用二次函数的性质求其最值即可【详解】解：设递减的等差数列{}n a 的公差为d （0d <），因为2219a a =，所以2211(8)a a d =+，化简得14a d =-，所以221(1)9422222n n n d d d dS na d dn n n n n -=+=-+-=-，对称轴为92n =，因为n ∈+N ，02d<，所以当4n =或5n =时，n S 取最大值，故选：A 18．D 【分析】先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=，再由累加法计算出2122n n n a -+=，进而求出n a .【详解】解：11nn na a na +=+， ()11n n n a na a ++=∴，化简得：11n n n n a a a a n ++=+，两边同时除以1n n a a +并整理得：111n nn a a +-=，即21111a a -=，32112a a -=，43113a a -=，…，1111(2,)n n n n n z a a --=-≥∈，将上述1n -个式子相加得：213243111111+a a a a a a --+-+ (111)123n n a a -+-=+++…1n +-，即111(1)2n n n a a --=， 2111(1)(1)2=1(2,)222n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈，又111a =也满足上式， 212()2n n n n z a -+∴=∈， 22()2n a n z n n ∴=∈-+.故选：D. 【点睛】易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现1n -，要注意检验首项是否符合. 19．B 【分析】由已知判断出数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，求出通项公式后即可求得10a .【详解】()122n n a a n --=≥，且11a =，∴数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，通项公式为()12121n a n n =+-=-，10210119a ∴=⨯-=，故选：B. 20．C 【分析】首先根据()12n n n S +=得到n a n =，设11111n n n b a a n n +==-+，再利用裂项求和即可得到答案. 【详解】当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()()11122n n n n n n n a S S n -+-=-=-=. 检验111a S ==，所以n a n =. 设()1111111n n n b a a n n n n +===-++，前n 项和为n T ，则10111111101122310111111T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…. 故选：C二、多选题21．AB 【分析】由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n=-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++，则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111122a a -=-，上述式子累加可得：111n a a n n -=-，122n a n n∴=-<， ()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确；对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确；对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误；对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误，故选：AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题. 22．AC 【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，821a =，9211334a =+=，10213455a =+=，故A 正确；对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；对于C ，20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=，故C 正确；对于D ，202220212020a a a =+，202120202019a a a =+，202020192018a a a =+，32121,a a a a a ⋅⋅⋅=+=，各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++，所以202220202019201811a a a a a a =++⋅⋅⋅+++，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项. 23．ABD 【分析】由10n n a a d +-=<可判断AB ，再由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，可判断CD. 【详解】根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<，所以数列{}n a 单调递减，A 正确；由数列{}n a 单调递减，可知数列{}n a 有最大值a 1，故B 正确；由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，所以数列{}n S 先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确. 故选：ABD.24．BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件12a 、8S 、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系，可得出n a 、n S 的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则8118788282S a d a d ⨯=+=+，9119899362S a d a d ⨯=+=+，因为12a 、8S 、9S 成等差数列，则81922S a S =+，即11116562936a d a a d +=++，解得14a d =-，()()115n a a n d n d ∴=+-=-，()()219122n n n d n n d S na --=+=. 对于A 选项，59233412a a d d +=⨯=，()2888942d S d -⨯==-，A 选项错误；对于B 选项，()2229272d Sd -⨯==-，()2779772d Sd -⨯==-，B 选项正确；对于C 选项，()2298192224n d d S n n n ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.若0d >，则4S 或5S 最小；若0d <，则4S 或5S 最大.C 选项错误；对于D 选项，50a =，D 选项正确. 故选：BD. 【点睛】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n 项和n S 的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解. 25．AD 【分析】利用等差数列的通项公式可以求70a >，80a <，即可求公差0d <，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确. 【详解】因为67S S <，所以7670S S a -=> ，因为78S S >，所以8780S S a -=<，所以等差数列{}n a 公差870d a a =-<，所以{}n a 是递减数列，故1a 最大，选项A 正确；选项B 不正确；10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>，所以310S S ≠，故选项C 不正确；当8n ≥时，80n a a ≤<，即0n a <，故选项D 正确；故选：AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和n S ，属于基础题. 26．ABD 【分析】由等差数列的性质直接判断AD 选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项. 【详解】A.因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，即1n n a a d +=+，所以A 正确；B. 因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，那么()()()11n n n n a a a a d ++---=--=-，所以数列{}n a -是等差数列，故B 正确；C.111111n n n n n n n n a a d a a a a a a ++++---==，不是常数，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是等差数列，故C 不正确；D.根据等差数列的性质可知122n n n a a a ++=+，所以1n a +是n a 与2n a +的等差中项，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列，属于基础题型. 27．ABC 【分析】由已知求得公差d 的范围：01d <<，把各选项中的项全部用d 表示，并根据01d <<判断各选项．【详解】由题知，只需1220010a d d d =->⎧⇒<<⎨>⎩， ()()2242244a a d d d ⋅=-⋅+=-<，A 正确；()()2222415223644a a d d d d +=-++=-+>≥，B 正确； 21511111122221a a d d d +=+=>-+-，C 正确； ()()()()2152422222230a a a a d d d d d ⋅-⋅=-⋅+--⋅+=-<，所以1524a a a a ⋅<⋅，D 错误. 【点睛】本题考查等差数列的性质，解题方法是由已知确定d 的范围，由通项公式写出各项（用d 表示）后，可判断． 28．AD 【分析】利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列的通项公式，可对A ，B ，D 进行判断，对25,n S n n =-进行配方可对C 进行判断【详解】解：当1n =时，11154a S ==-=-，当2n ≥时，2215[(1)5(1)]26n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，当1n =时，14a =-满足上式，所以26n a n =-，由于()122n n a a n --=≥，所以数列{}n a 为首项为4-，公差为2的等差数列，因为公差大于零，所以{}n a 为单调递增数列，所以A ，D 正确，B 错误，由于225255()24n S n n n =-=--，而n ∈+N ，所以当2n =或3n =时，n S 取最小值，且最小值为6-，所以C 错误，故选：AD 【点睛】此题考查,n n a S 的关系，考查由递推式求通项并判断等差数列，考查等差数列的单调性和前n 项和的最值问题，属于基础题 29．AD 【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由0n S <解不等式可判断D ．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由7a 是3a 与9a 的等比中项，得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化为1100a d +=，②由①②解得120a =，2d =-，则202(1)222n a n n =--=-，21(20222)212n S n n n n =+-=-，由22144124n S n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，可得10n =或11时，n S 取得最大值110；由2102n S n n -<=，解得21n >，则n 的最小值为22.故选：AD 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比中项的性质，二次函数的最值求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题. 30．ABCD 【分析】S 12＞0，a 7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a 6+a 7＞0，a 6＞0．再利用a 3＝a 1+2d ＝12，可得247-＜d ＜﹣3．a 1＞0．利用S 13＝13a 7＜0．可得S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0.7≤n ≤12时，n n S a ＜0．n ≥13时，n n S a ＞0．进而判断出D 是否正确．【详解】∵S 12＞0，a 7＜0，∴()67122a a +＞0，a 1+6d ＜0．∴a 6+a 7＞0，a 6＞0．∴2a 1+11d ＞0，a 1+5d ＞0，又∵a 3＝a 1+2d ＝12，∴247-＜d ＜﹣3．a 1＞0． S 13＝()113132a a +＝13a 7＜0．∴S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0，7≤n ≤12时，n n S a ＜0，n ≥13时，n n S a ＞0．对于：7≤n ≤12时，nn S a ＜0．S n ＞0，但是随着n 的增大而减小；a n ＜0，但是随着n 的增大而减小，可得：nn S a ＜0，但是随着n 的增大而增大．∴n ＝7时，nnS a 取得最小值．综上可得：ABCD 都正确．故选：ABCD ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

经典等差数列练习题(含答案)

等差数列一、选择题：1.2005是数列7,13,19,25,31,,中的第（）项.A. 332B. 333C. 334D. 3352.已知等差数列首项为2，末项为62，公差为4，则这个数列共有（）A ．13项B ．14项C ．15项D ．16项3.已知等差数列的通项公式为为常数，a a n a n ,3+-=则公差d=（）4.首项为24-的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是（） A.83d > B.3d < C.833d ≤< D.833d <≤（）A ．第22项 B ．第21项 C ．第20项 D ．第19项6. 已知数列a ，-15，b ，c ，45是等差数列，则a+b+c 的值是( )A ．-5B ．0C ．5D ．10( )A ．45B ．48C ．52D ．558. 已知等差数列的首项1a 和公差d 是方程x 2-2x-3=0的两根，且知d ＞1a ，则这个数列的第30项是( ）A ．86B ．85C ．84D ．83( )A ．3B ．2C ．1D ．-110、若x ≠y ，且两个数列：x ，a 1，a 2，y 和x ，b 1，b 2，b 3，y 各成等差数列，那么=--31b y x a ( ) (A)43 (B)34 (C)32 (D)值不确定二填空题1．等差数列{}n a 中, ,33,952==a a 则{}n a 的公差为______________。

2．数列{n a }是等差数列，47a =，则7s =_________3.等差数列{}n a 中，3524a a +=，23a =，则6a = 21 .4．在等差数列}{n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则10122a a -=.5.在首项为31，公差为－4的等差数列中，与零最接近的项是6.如果等差数列{}n a 的第5项为5，第10项为5-，则此数列的第1个负数项是第项.7.已知}{n a 是等差数列，且,13,77,57146541074==++++=++k a a a a a a a a 若则k =8．在△ABC 中，A ，B ，C 成等差数列，则=++2tan 2tan 32tan 2tan C A C A . 三、解答题：1.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式。

等差数列练习题(有答案)百度文库

一、等差数列选择题1．在等差数列{a n }中，已知a 5=3，a 9=6，则a 13=（） A ．9B ．12C ．15D ．182．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为（） A ．34000米 B ．36000米 C ．38000米 D ．40000米3．数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则通项公式是（） A ．32n -B ．322n - C ．3122n - D ．3122n + 4．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（） A ．160B ．180C ．200D ．2205．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()12n n n S +=，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项的和为（） A ．89B ．910C ．1011D ．11126．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若936S S =，则612SS =（） A ．177B ．83 C ．143D ．1037．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（） A ．121B ．161C ．141D ．1518．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（） A ．60B ．120C ．160D ．2409．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足212n n n a a a ++=-，534a a =-，则7S =（） A ．7B ．12C ．14D ．2110．在等差数列{}n a 中，10a >，81335a a =，则n S 中最大的是（） A ．21SB ．20SC ．19SD ．18S11．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等差数列，则函数()y f x =的解析式可能是（） A ．3(4)f x x =+B ．2()4f x x =C ．3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．4()log f x x =12．设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，已知10100S =，则47a a +=（） A ．12B ．20C ．40D ．10013．设等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈，则必有（）A ．0m S <且10m S +>B ．0m S >且10m S +>C ．0m S <且10m S +<D ．0m S >且10m S +<14．已知递减的等差数列{}n a 满足2219a a =，则数列{}n a 的前n 项和取最大值时n =（）A ．4或5B ．5或6C ．4D ．515．在数列{}n a 中，11a =，且11nn na a na +=+，则其通项公式为n a =（） A ．211n n -+B ．212n n -+C ．221n n -+D ．222n n -+16．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若542S S =，248a a +=，则5a 等于（） A ．6B ．7C ．8D ．1017．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7916+=a a ，则15S =（） A ．60B ．120C ．160D ．24018．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，戊所得为（） A ．54钱 B ．43钱 C ．23钱 D ．53钱 19．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，对*n N ∀∈都有333122n n n a a a ++=+，则10a 等于（） A ．10BC ．64D ．420．在数列{}n a 中，129a =-，()*13n n a a n +=+∈N ，则1220a a a +++=（）A ．10B ．145C ．300D ．320二、多选题21．已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为,n S 且13522,a a S +=下列结论中正确的是（） A ．7S 最小B ．130S =C ．49S S =D ．70a =22．(多选)在数列{}n a 中，若221(2,,n n a a p n n N p *--=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（）A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列B ．(){}1n- 是等方差数列C ．{}2n是等方差数列.D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列23．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（） A ．100a = B ．911a a =C ．当9n =或10时，n S 取得最大值D ．613S S =24．题目文件丢失！25．若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（） A ．2- B ．1- C ．1 D ．226．已知数列{}n a 满足112a =-，111n na a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（）A ．2-B ．23C ．32D ．327．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且35a =，73a =，则（） A ．12d =B ．12d =-C ．918S =D ．936S =28．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15110,20,a a a 则（）A ．80a 的n 的最大值为1229．等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，151115,a S S ==，则以下正确的是（）A ．1d =-B ．413a a =C ．n S 的最大值为8SD ．使得0n S >的最大整数15n =30．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为21【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．A 【分析】在等差数列{a n }中，利用等差中项由95132a a a =+求解. 【详解】在等差数列{a n }中，a 5=3，a 9=6，所以95132a a a =+，所以139522639a a a =-=⨯-=，故选：A 2．B 【分析】利用等差数列性质得到21200a =，143600a =，再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为n a ，则123233600a a a a ++==，故21200a =，13141514310800a a a a ++==，故143600a =，则()()11521411151********n S a a a a =+⨯=+⨯=. 故选：B. 3．C 【分析】根据题中条件，求出等差数列的公差，进而可得其通项公式. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则公差为31322a a d -==，因此通项公式为()33111222n a n n =+-=-. 故选：C. 4．B 【分析】把已知的两式相加得到12018a a +=，再求20S 得解. 【详解】由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=，所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020()10181802S a a =+=⨯=. 故选：B 5．C 【分析】首先根据()12n n n S +=得到n a n =，设11111n n n b a a n n +==-+，再利用裂项求和即可得到答案. 【详解】当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()()11122n n n n n n n a S S n -+-=-=-=. 检验111a S ==，所以n a n =. 设()1111111n n n b a a n n n n +===-++，前n 项和为n T ，则10111111101122310111111T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…. 故选：C 6．D 【分析】由等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，结合已知条件得633S S =和31210S S =计算得结果. 【详解】已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，∴3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，所以()()633962S S S S S ⋅-=+-，且936S S =，化简解得633S S =.又()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，∴31210S S =，从而126103S S =. 故选：D 【点睛】思路点睛：（1）利用等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，（2）()()633962S S S S S ⋅-=+-，且936S S =，化简解得633S S =，（3）()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，化简解得31210S S =.7．B 【分析】由条件可得127a =，然后231223S a =，算出即可. 【详解】因为31567a a a +=+，所以15637a a a =-+，所以1537a d =+，所以1537a d -=，即127a =所以231223161S a == 故选：B 8．B 【分析】根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+，结合题意，可得出88a =，最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，得出()11515815152a a S a +==，从而可得出结果.【详解】解：由题可知，2938a a a +=+，由等差数列的性质可知2938a a a a +=+，则88a =，故()1158158151521515812022a a a S a +⨯====⨯=. 故选：B. 9．C 【分析】判断出{}n a 是等差数列，然后结合等差数列的性质求得7S . 【详解】∵212n n n a a a ++=-，∴211n n n n a a a a +++-=-，∴数列{}n a 为等差数列. ∵534a a =-，∴354a a +=，∴173577()7()1422a a a a S ++===. 故选：C 10．B 【分析】设等差数列的公差为d .由已知得()()1137512a d a d +=+，可得关系1392a d =-.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项. 【详解】设等差数列的公差为d .由81335a a =得，()()1137512a d a d +=+，整理得，1392a d =-. 又10a >，所以0d <，因此222120(20)2002222n d d d dS n a n n dn n d ⎛⎫=+-=-=-- ⎪⎝⎭，所以20S 最大. 故选：B. 11．D 【分析】把点列代入函数解析式，根据{x n }是等比数列，可知1n nx x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果为一个与n 无关的常数，可判断出{y n }是等差数列．【详解】对于A ，函数3(4)f x x =+上的点列{x n ，y n }，有y n ＝43n x +，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于B ，函数2()4f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝24n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝()222214441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于C ，函数3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ，y n }，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝133()()44n n x x+-＝33()()144n qx⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于D ，函数4()log f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝4log n x，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝114444log log loglog n n n nx x x x q ++-==为常数，故{y n }是等差数列；故选：D ．【点睛】方法点睛：判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法. 12．B【分析】由等差数列的通项公式可得47129a a a d +=+，再由1011045100S a d =+=，从而可得结果. 【详解】解：1011045100S a d =+=，12920a d ∴+=， 4712920a a a d ∴+=+=.故选：B. 13．D 【分析】由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意，1110,0m m a a a a ++>+<，所以1()02m m m a a S +=>，111(1)()02m m m a a S ++++=<. 故选：D. 14．A 【分析】由2219a a =，可得14a d =-，从而得2922n d dS n n =-，然后利用二次函数的性质求其最值即可【详解】解：设递减的等差数列{}n a 的公差为d （0d <），因为2219a a =，所以2211(8)a a d =+，化简得14a d =-，所以221(1)9422222n n n d d d dS na d dn n n n n -=+=-+-=-，对称轴为92n =，因为n ∈+N ，02d<，所以当4n =或5n =时，n S 取最大值，故选：A 15．D 【分析】先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=，再由累加法计算出2122n n n a -+=，进而求出n a .【详解】解：11nn na a na +=+， ()11n n n a na a ++=∴，化简得：11n n n n a a a a n ++=+，两边同时除以1n n a a +并整理得：111n nn a a +-=，即21111a a -=，32112a a -=，43113a a -=，…，1111(2,)n n n n n z a a --=-≥∈，将上述1n -个式子相加得：213243111111+a a a a a a --+-+ (1)11123n n a a -+-=+++…1n +-，即111(1)2n n n a a --=， 2111(1)(1)2=1(2,)222n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈，又111a =也满足上式， 212()2n n n n z a -+∴=∈， 22()2n a n z n n ∴=∈-+. 故选：D. 【点睛】易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现1n -，要注意检验首项是否符合. 16．D 【分析】由等差数列的通项公式及前n 项和公式求出1a 和d ，即可求得5a . 【详解】解：设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则由542S S =，248a a +=，得：111154435242238a d a d a d a d ⨯⨯⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭+++=⎧⎪⎨⎪⎩，即{1132024a d a d +-+=，解得：{123a d =-=，51424310a a d ∴=+=-+⨯=.故选：D. 17．B 【分析】利用等差数列的性质，由7916+=a a ，得到88a =，然后由15815S a =求解. 【详解】因为7916+=a a ，所以由等差数列的性质得978216a a a +==，解得88a =，所以()11515815151581202a a S a +===⨯=．故选：B 18．C 【分析】根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，然后再由五人钱之和为5，甲、乙的钱与与丙、丁、戊的钱相同求解. 【详解】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，则根据题意有(2)()()(2)5(2)()()(2)a d a d a a d a d a d a d a a d a d -+-+++++=⎧⎨-+-=++++⎩，解得116a d =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以戊所得为223a d +=，故选：C . 19．D 【分析】利用等差中项法可知，数列{}3n a 为等差数列，根据11a =，22a =可求得数列{}3n a 的公差，可求得310a 的值，进而可求得10a 的值. 【详解】对*n N ∀∈都有333122n n n a a a ++=+，由等差中项法可知，数列{}3n a 为等差数列，由于11a =，22a =，则数列{}3n a 的公差为33217d a a =-=，所以，33101919764a a d =+=+⨯=，因此，104a .故选：D.20．C【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-，结合分组求和法即可得解。

等差数列练习题及答案精选全文

可编辑修改精选全文完整版等差数列练习题一、选择题1、等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（）A. 12B. 24C. 36D. 482、已知等差数列{}n a ，219n a n =-，那么这个数列的前n 项和n s （） A.有最小值且是整数 B. 有最小值且是分数 C. 有最大值且是整数 D. 有最大值且是分数3、已知等差数列{}n a 的公差12d =，8010042=+++a a a ，那么=100S A ．80 B ．120C ．135D ．160．4、已知等差数列{}n a 中，6012952=+++a a a a ，那么=13S A ．390 B ．195 C ．180 D ．1205、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（）A. 0B. 90C. 180D. 360 6、等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( )A. 130B. 170C. 210D. 2607、在等差数列{}n a 中，62-=a ，68=a ，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A.54S S <B.54S S =C. 56S S <D. 56S S =8、一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为（）A. 13B. 12C. 11D. 109、记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562448a a S +==，，则{}n a 的公差为（）A ．1B ．2C ．4D ．810．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1+a 3+a 5=3，则S 5=（）A ．B ．5C ．7D ．9二．填空题1、等差数列{}n a 中，若638a a a =+，则9s = .2、等差数列{}n a 中，若232n S n n =+，则公差d = .3、在小于100的正整数中，被3除余2的数的和是4、已知等差数列{}n a 的公差是正整数，且a 4,126473-=+-=⋅a a a ，则前10项的和S 10=5、一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为252，偶数项的和为15，则这个数列的第6项是6、两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若337++=n n T S n n ，则88a b = .7.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．三．解答题1、在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求515280a a a +++.2、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312a =，12S >0，13S <0， ①求公差d 的取值范围； ②1212,,,S S S 中哪一个值最大？并说明理由.3、己知}{n a 为等差数列，122,3a a ==，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求：（1）原数列的第12项是新数列的第几项？（2）新数列的第29项是原数列的第几项？4、设等差数列}{n a 的前ｎ项的和为S n ,且S 4 =－62, S 6 =－75,求：（1）}{n a 的通项公式a n 及前ｎ项的和S n ；（2）|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+……+|a 14 |.5、n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2n n a a +n a 2=错误!未找到引用源。

等差数列练习题(有答案)doc

一、等差数列选择题1．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<<m m m S S S ++，若0n S >，则n 的最大值为（） A ．2mB ．21m +C ．22m +D ．23m +2．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（） A ．200B ．100C ．90D ．803．等差数列{}n a 的公差为2，若248,,a a a 成等比数列，则9S =（） A ．72B ．90C ．36D ．454．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且6210S S ，则34a a +=（）A ．2B ．3C ．4D ．55．在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（） A ．825两 B ．845两 C ．865两 D ．885两 6．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为（） A ．34000米 B ．36000米 C ．38000米 D ．40000米7．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，3456720a a a a a ++++=，则9S =（） A ．24B ．36C ．48D ．648．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若936S S =，则612SS =（） A ．177B ．83 C ．143D ．1039．题目文件丢失！10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（） A ．60B ．120C ．160D ．24011．在等差数列{}n a 中，520164a a +=，S ，是数列{}n a 的前n 项和，则S 2020=（） A ．2019B ．4040C ．2020D ．403812．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若5620a a +=，11132S =，则{}n a 的公差为（）A ．2B ．43C ．4D ．4-13．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（） A ．12尺布 B ．518尺布 C ．1631尺布 D ．1629尺布 14．已知数列{}n a 的前项和221n S n =+，n *∈N ，则5a =（）A ．20B ．17C ．18D ．1915．已知等差数列{}n a 中，161,11a a ==，则数列{}n a 的公差为（） A ．53B ．2C ．8D ．1316．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{} n a ，则5a =（） A ．103B ．107C ．109D ．10517．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132a a +=，422a a -=，则5S =（） A ．21B ．15C ．10D ．618．已知递减的等差数列{}n a 满足2219a a =，则数列{}n a 的前n 项和取最大值时n =（）A ．4或5B ．5或6C ．4D ．519．等差数列{}n a 中，若26a =，43a =，则5a =（） A ．32B ．92C ．2D ．920．设n S 是等差数列{}n a （*n N ∈）的前n 项和，且141,16a S ==，则7a =（） A ．7B ．10C ．13D ．16二、多选题21．题目文件丢失！22．(多选题)已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的值不可能为（） A ．2B ．5C ．3D ．423．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30S =，46a =，则（） A ．23n S n n =-B ．2392-=n n nSC ．36n a n =-D ．2n a n =24．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（）A ．11285a a a a +=+B ．56110a a a a <C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103a = D ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列 25．已知等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（） A ．59823a a S +=B ．27S S =C ．5S 最小D ．50a =26．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <27．设d 为正项等差数列{}n a 的公差，若0d >，32a =，则（） A ．244a a ⋅ D ．1524a a a a ⋅>⋅28．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <29．(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（）A ．若59S S =，则必有14S =0B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项C ．若67S S >，则必有78S S >D ．若67S S >，则必有56S S >30．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，120S >，70a <则（）A ．60a >B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列 C ．0n S <时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．C 【分析】首先根据数列的通项n a 与n S 的关系，得到10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++，再根据选项，代入前n 项和公式，计算结果. 【详解】由21<<m m m S S S ++得，10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++==+，()()()1232322323<02m m m m a a S m a +++++==+， ()()()()1222212211>02m m m m m a a S m a a ++++++==++.故选:C.【点睛】关键点睛：本题的第一个关键是根据公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，判断数列的项的正负，第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负. 2．C 【分析】先求得1a ，然后求得10S . 【详解】依题意120a a d =-=，所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选：C 3．B 【分析】由题意结合248,,a a a 成等比数列，有2444(4)(8)a a a =-+即可得4a ，进而得到1a 、n a ，即可求9S . 【详解】由题意知：244a a =-，848a a =+，又248,,a a a 成等比数列，∴2444(4)(8)a a a =-+，解之得48a =，∴143862a a d =-=-=，则1(1)2n a a n d n =+-=，∴99(229)902S ⨯+⨯==，故选：B 【点睛】思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量 1、由,,m k n a a a 成等比，即2k m n a a a =； 2、等差数列前n 项和公式1()2n n n a a S +=的应用. 4．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差1d =，6210S S ，所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=，解得343a a +=. 故选：B. 5．C 【分析】设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子，数列{}n a 是等差数列，8106100a S =⎧⎨=⎩利用等差数列的通项公式和前n 项和公式转化为关于1a 和d 的方程，即可求得长兄可分得银子的数目1a . 【详解】设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子，由题意可得设数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，则由题意得8106100a S =⎧⎨=⎩，即1176109101002a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得186585a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.所以长兄分得865两银子. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是能够读懂题意10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子构成公差0d <的等差数列，要熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式. 6．B 【分析】利用等差数列性质得到21200a =，143600a =，再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为n a ，则123233600a a a a ++==，故21200a =，13141514310800a a a a ++==，故143600a =，则()()11521411151********n S a a a a =+⨯=+⨯=. 故选：B. 7．B 【分析】利用等差数列的性质进行化简，由此求得9S 的值. 【详解】由等差数列的性质，可得345675520a a a a a a ++++==，则54a =19592993622a a aS +=⨯=⨯= 故选：B 8．D 【分析】由等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，结合已知条件得633S S =和31210S S =计算得结果. 【详解】已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，∴3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，所以()()633962S S S S S ⋅-=+-，且936S S =，化简解得633S S =.又()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，∴31210S S =，从而126103S S =. 故选：D【点睛】思路点睛：（1）利用等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，（2）()()633962S S S S S ⋅-=+-，且936S S =，化简解得633S S =，（3）()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，化简解得31210S S =.9．无10．B 【分析】根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+，结合题意，可得出88a =，最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，得出()11515815152a a S a +==，从而可得出结果.【详解】解：由题可知，2938a a a +=+，由等差数列的性质可知2938a a a a +=+，则88a =，故()1158158151521515812022a a a S a +⨯====⨯=. 故选：B. 11．B 【分析】由等差数列的性质可得52012016024a a a a +==+，则()15202020202016202010102a a a a S +=⨯=⨯+可得答案. 【详解】等差数列{}n a 中, 52012016024a a a a +==+()12020202052016202010104101040402a a a a S +===⨯=+⨯⨯ 故选：B 12．C 【分析】由等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可求得6a ，再由等差数列的公式即可求得公差. 【详解】解：()11111611111322a a S a+⨯===，612a ∴=，又5620a a +=，58a ∴=，654d a a ∴=-=.故选：C ． 13．D 【分析】设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，根据15a =，30390S =可求得d 的值. 【详解】设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，由题意可得30130293015015293902S a d d ⨯=+=+⨯=，解得1629d =.故选：D. 14．C 【分析】根据题中条件，由554a S S =-，即可得出结果．【详解】因为数列{}n a 的前项和2*21,n S n n N =+∈，所以22554(251)(241)18a S S =-=⨯+-⨯+=．故选：C ． 15．B 【分析】设公差为d ，则615a a d =+，即可求出公差d 的值. 【详解】设公差为d ，则615a a d =+，即1115d =+，解得：2d =，所以数列{}n a 的公差为2，故选：B 16．B 【分析】根据题意可知正整数能被21整除余2，即可写出通项，求出答案. 【详解】根据题意可知正整数能被21整除余2，21+2n a n ∴=，5215+2107a ∴=⨯=.故选：B. 17．C 【分析】根据已知条件得到关于首项1a 和公差d 的方程组，求解出1,a d 的值，再根据等差数列前n 项和的计算公式求解出5S 的值. 【详解】因为134222a a a a +=⎧⎨-=⎩，所以122222a d d +=⎧⎨=⎩，所以101a d =⎧⎨=⎩，所以5154550101102S a d ⨯=+=⨯+⨯=，故选：C. 18．A 【分析】由2219a a =，可得14a d =-，从而得2922n d d S n n =-，然后利用二次函数的性质求其最值即可【详解】解：设递减的等差数列{}n a 的公差为d （0d <），因为2219a a =，所以2211(8)a a d =+，化简得14a d =-，所以221(1)9422222n n n d d d dS na d dn n n n n -=+=-+-=-，对称轴为92n =，因为n ∈+N ，02d<，所以当4n =或5n =时，n S 取最大值，故选：A 19．A 【分析】由2a 和4a 求出公差d ，再根据54a a d =+可求得结果. 【详解】设公差为d ，则423634222a a d --===--，所以5433322a a d =+=-=. 故选：A20．C 【分析】由题建立关系求出公差，即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，141,16a S ==，41464616S a d d ∴=+=+=，2d ∴=， 71613a a d ∴=+=.故选：C二、多选题 21．无22．BD 【分析】利用递推关系可得1211n n a a n -=+-，再利用数列的单调性即可得出答案．【详解】解：∵23n n n S a +=， ∴2n ≥时，112133n n n n n n n a S S a a --++=-=-，化为：112111n n a n a n n -+==+--，由于数列21n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭单调递减，可得：2n =时，21n -取得最大值2． ∴1nn a a -的最大值为3．故选：BD ．【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 23．BC 【分析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前n 项和公式解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为30S =，46a =，所以113230236a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得133a d =-⎧⎨=⎩，所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-，21(1)3(1)393222n n n n n n nS na d n ---=+=-+=，故选：BC 24．AC 【分析】令1m =，则11n n a a a +-=，根据10a >，可判定A 正确；由256110200a a a a d -=>，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，根据02>d ，可判定D 错误. 【详解】令1m =，则11n n a a a +-=，因为10a >，所以{}n a 为等差数列且公差0d >，故A 正确；由()()22225611011119209200a a a a a a d daa d d -=++-+=>，所以56110a a a a >，故B错误；根据等差数列的性质，可得()213x x x -=+，所以13x =，213x -=，故1011109333a =+⨯=，故C 正确；由()111222nn n na dS d d n a nn -+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，因为02>d ，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列，故D 错误. 故选：AC . 【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法；1、作差比较法：根据1n n a a +-的符号，判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列；2、作商比较法：根据1(0n n na a a +>或0)n a <与1的大小关系，进行判定； 3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断.【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件12a 、8S 、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系，可得出n a 、n S 的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则8118788282S a d a d ⨯=+=+，9119899362S a d a d ⨯=+=+，因为12a 、8S 、9S 成等差数列，则81922S a S =+，即11116562936a d a a d +=++，解得14a d =-，()()115n a a n d n d ∴=+-=-，()()219122n n n d n n d S na --=+=. 对于A 选项，59233412a a d d +=⨯=，()2888942d S d -⨯==-，A 选项错误；对于B 选项，()2229272d Sd -⨯==-，()2779772d Sd -⨯==-，B 选项正确；对于C 选项，()2298192224n d d S n n n ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.若0d >，则4S 或5S 最小；若0d <，则4S 或5S 最大.C 选项错误；对于D 选项，50a =，D 选项正确. 故选：BD. 【点睛】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n 项和n S 的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解. 26．AD 【分析】利用等差数列的通项公式可以求70a >，80a <，即可求公差0d <，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确. 【详解】因为67S S <，所以7670S S a -=> ，因为78S S >，所以8780S S a -=<，所以等差数列{}n a 公差870d a a =-<，所以{}n a 是递减数列，故1a 最大，选项A 正确；选项B 不正确；10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>，所以310S S ≠，故选项C 不正确；当8n ≥时，80n a a ≤<，即0n a <，故选项D 正确；故选：AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和n S ，属于基础题. 27．ABC 【分析】由已知求得公差d 的范围：01d <<，把各选项中的项全部用d 表示，并根据01d <<判断各选项．【详解】由题知，只需1220010a d d d =->⎧⇒<<⎨>⎩， ()()2242244a a d d d ⋅=-⋅+=-<，A 正确；()()2222415223644a a d d d d +=-++=-+>≥，B 正确； 21511111122221a a d d d +=+=>-+-，C 正确； ()()()()2152422222230a a a a d d d d d ⋅-⋅=-⋅+--⋅+=-<，所以1524a a a a ⋅<⋅，D 错误. 【点睛】本题考查等差数列的性质，解题方法是由已知确定d 的范围，由通项公式写出各项（用d 表示）后，可判断． 28．AD 【分析】由已知得到780,0a a ><,进而得到0d <,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为160a d +=，可知不一定成立，从而判定C 错误. 【详解】由已知得：780,0a a ><,结合等差数列的性质可知，0d <,该等差数列是单调递减的数列， ∴A 正确，B 错误，D 正确，310S S =,等价于1030S S -=,即45100a a a ++⋯+=,等价于4100a a +=，即160a d +=,这在已知条件中是没有的，故C 错误. 故选:AD. 【点睛】本题考查等差数列的性质和前n 项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系. 29．ABC 【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案. 【详解】解：对于A.，若59S S =，则67890a a a a +++=，所以781140a a a a +=+=，所以()114141402a a S +==，故A 选项正确；对于B 选项，若59S S =，则780+=a a ，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故780,0a a ><，所以7S 是n S 中最大的项；故B 选项正确；C. 若67S S >，则70a <，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故80a <，6a 的符号不定，故必有78S S >，56S S >无法确定；故C 正确，D 错误．故选：ABC ．【点睛】本题考查数列的前n 项和的最值问题与等差数列的性质，是中档题． 30．ACD 【分析】由已知得()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，可判断A ；由已知得出2437d -<<-，且()12+3n a n d =-，得出[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d =-，可得出1n a 在1,6n n N上单调递增，1na 在7nn N ，上单调递增，可判断B ；由()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，可判断C ；判断 n a ，n S 的符号， n a 的单调性可判断D ；【详解】由已知得311+212,122d a a a d ===-，()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，故A 正确；由7161671+612+40+512+3>0+2+1124+7>0a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪==⎨⎪==⎩，解得2437d -<<-，又()()3+312+3n a n d n d a =-=-，当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d=-，所以[]1,6n ∈时，1>0na ，7n ≥时，10n a <，所以1na 在1,6n n N上单调递增，1na 在7n n N ，上单调递增，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是递增数列，故B 不正确；由于()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，而120S >，所以0n S <时，n 的最小值为13，故C 选项正确；当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，当[]1,12n ∈时，>0n S ，13n ≥时，0nS <，所以当[]7,12n ∈时，0n a <，>0n S ，0nnS a <，[]712n ∈，时，n a 为递增数列，n S 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项，故D 正确；【点睛】本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题.。

(完整版)等差数列练习题及答案.doc

等差数列1、已知等差数列a n满足 a1 a2 a101 0 ，则有（）A 、a1 a101 0 B 、a2a100 0 C、a3a990 D 、a51 512、等差数列a n 的前 n 项和记为 S n，若 a2 a4 a15得值是一个确定的常数,则数列S n 中也为常数的值为( )A 、S7 B、S8 C、S13 D 、S153、在等差数列a n 中 , a3 a9 ,公差d 0 ,则前n项和S n 取得最大值的 n 为( )A 、 4 或 5B 、 5 或 6 C、6 或 7 D、不存在4、等差数列a n 前 m 项和为30,前2m 项和为 100,则它的前 3 m项的和为( )A 、 130 B、 170 C、 210 D 、 2605、等差数列a n 的公差为 2 ，且 a1 a4 a7 a97 50，那么a3a6a9 a99_____.6、等差数列a n , a n=q， a m p ( m n) ，则 a k=________7、在－ 1 与 7 之间顺次插入三个数a, b, c ，使这五个数成等差数列，则这五个数为______8、已知数列a n 的前 n 项和为 S n= n2 2n 3 ,求数列 a n 的通项公式 ,并判断a n 是否为等差数列 ?9、若 x y, 两个数列 : x, a1 , a 2 , a 3 , y 和 x, b1 , b2 , b3 , b4 , y 都是等差数列 ,求a2 a1 的值b4 b310、已知公差大于0 的等差数列a n 的前n 项和为S n ,且满足a3 a4 117, a 2 a5 22.(1)求通项a n ; (2) 若数列 { b n } 是等差数列,且 b n =S n求非零常数 c n c答案1【答案】 C2【答案】 C【分析】设首项 a1 , 公差 da2 a4 a15 3(a1 6d )为定值,a713(a1 a13 )a1 6d 为定值,S13 13a7为定值23【答案】 B【分析】设首项 a1 , 公差 da3 a9a1 2d a1 8d ,即a1 5dS n na1 n(n 1)1 (n2 11n)d2d2当n5或6 时 , S n最大4. 【答案】 C【分析】S m , S2 m S m , S3m S2m成等差数列S3m S2m 110S3m 2105【答案】82【分析】 a3 a6 a9 a99a1 a4 a7a97 66d826、【解】从 a n与n的函数关系看,可以看作 a n是n的一次函数 ,因此 ,函数 a n的图象是共线离散的点.已知条件表明 , 点 (m, p), (n, q) 在 a n的图象上 , 问题是求与这两个点共线的点(k, x) 的纵坐标, 由共线条件知p q x q , x p(k n) q(m k) .m n k n m n7【解】设这几个数组成的等差数列为 a n ,知 a11, a5 7 .解得 d 2, 所求数列为1，1，3，5，78【解】解 :当 n 1时 , a1 2;当 n 2 时 , a n S n S n 1 2n 32(n1)a n2n 3(n2)显然 a n 1 a n2(n 2) 但 a2a1 1 21 2a n不是等差数列.9【解】设两个等差数列的公差分别为d1 , d2 即求 d1 ,由已知得d2y x 4d1 4d1 y x即y x 5d 2 5d2 y x解 d1 5 即 a2 a1 54 4d 2 b4 b310【解】 (1) a n 为等差数列 , a 3 a4 a2 a5 22, 又 a3 a4 117,a ,a4 是方程 x 2 22x 117 0 的两实根 .3又公差 d 0 a3 a4 a3 9, a 4 13 a1 2d 9 a1 1a n 4n 3a1 3d 13 d 4(2)、 (1)知S n n 1 n( n 1) 4 2n 2 n2b nS n 2n 2 nb11 6 15n c n c, b22, b33,1 c c cb n 为等差数列2b2 b1621 15b3 ,即1 c 3 c2 c2c2 c 0 , c1( c 0 舍去 ),故c 1 .2 2。

等差数列练习题(带解析)

等差数列练习题一、单选题（共10题；共0分）1.数列前项和为，，，，若，则＝（）A. B. C. D.2.在数列中，，则的值为（）A.−2B.C.D.3.数列，，，，的第14项是A. B. C. D.4.已知数列的前n项和为，且，则数列的通项公式为A. B. C. D.5.已知数列{a n}满足a1=1，，则254是该数列的（）A.第14项B.第12项C.第10项D.第8项6.等比数列｛a n｝的前n项和为S n，己知S2＝3，S4＝15，则S3＝( )A.7B.－9C.7或－9D.7.等差数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.8.《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布585尺，问每天增加的数量为多少尺?该问题的答案为（）A.尺B.尺C.尺D.尺9.将正整数按如图所示的规律排列下去，且用表示位于从上到下第行，从左到右n列的数，比如，若，则有（）A. B.C. D.10.世界上最古老的数学著作《莱茵德纸草书》中有一道这样的题目：把磅面包分给个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的是较小的三份之和，则最小的份为（）A.磅B.磅C.磅D.磅二、填空题（共10题；共0分）11.观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第个图案中正六边形的个数是.由，，，…，可推出________．12.两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，……，若按此规律继续下去，若，则________．13.某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度相等，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，……，依此规律得到n级分形图．则n级分形图中共有________条线段.14.已知圆的有条弦，且任意两条弦都彼此相交，任意三条弦不共点，这条弦将圆分成了个区域，（例如：如图所示，圆的一条弦将圆分成了2（即）个区域，圆的两条弦将圆分成了4（即）个区域，圆的3条弦将圆分成了7（即）个区域），以此类推，那么与之间的递推式关系为：________．15.如图，数表满足：第n行首尾两数均为n；（2）表中递推关系类似杨辉三角，记第n（n＞1）行第2个数为a（n）．根据表中上下两行数据关系，可以求得当n≥2时，a（n）=________．16.数列由，确定，则________.17.已知数列满足，，，则 ________．18.已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是________．19.（2018•北京）设是等差数列，且a1=3, a2+a5= 36，则的通项公式为________20.数列满足, ，数列的前项和为=________．三、解答题（共4题；共0分）21.已知等差数列的首项，公差，前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列前项和为，求.22.在数列中，，．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的前n项和．23.在数列中，，，设.（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；（2）求的前项和.24.设正项数列的前项和为，且满足，，.（1）求数列的通项公式；（2）若正项等比数列满足，，且，数列的前项和为，求证.等差数列练习题答案部分第 1 题:【答案】C【解析】【解答】由题意有：当时，，两式作差可得：，由于，故，即数列的奇数项、偶数项分别构成一个公差为3的等差数列，，据此可得，则数列的通项公式为：，，，加2后能被3整除，则.故答案为：C.【分析】本题利用对n进行分类讨论，再利用S求a的方法求出第k项，从而求出k的值。

等差数列概念练习含答案

数列2.2.1 等差数列概念一．选择题1、下列说法正确的是（）A 、一个数列的每一项和它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列B 、一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列C 、一个数列从它的第2项起，每一项与它的前一项的差等于一个常数，这个数列就叫做等差数列D 、一个数列从它的第2项起，一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列2、已知等差数列{}n a 中，首项14,a =公差2d =-，则通项公式n a 等于（）A 、42n -B 、21n -C 、62n -D 、26n -3、已知等差数列{}n a 的通项公式为n a n 290-=，则这个数列共有正数项（）A 、44项B 、45项C 、90项D 、无穷多项4、已知{}n a 为等差数列，且74321,0a a a -=-=，则公差d 等于（）A 、2-B 、12-C 、12D 、2 5、已知四个实数,,,2a x b x 成等差数列，则a b的值是（） A 、14 B 、13 C 、12 D 、23 6、1x +与1y -的等差中项为10，则x y +等于（）A 、0B 、10C 、20D 、不确定7、在等差数列{}n a 中，已知113a =，254a a +=，33,n a =则n =（） A 、48 B 、49 C 、50 D 、518、在等差数列{}n a 中，39,45852741=++=++a a a a a a ，则=++863a a a （）A 、39B 、20C 、33D 、239 二．填空题9、在等差数列{}n a 中，已知,10,3,21===n d a 则10a =__________10、已知a b ==,a b 的等差中项是__________ 11、一个等差数列{}n a 中，17,a =末项()1003n a n =≥，若公差为正整数，那么该项数n 的取值有_____种。

江西省九江市第一中学等差数列经典例题百度文库

一、等差数列选择题1．已知等差数列{}n a 中，前n 项和215n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（）A ．7B ．8C ．7或8D ．92．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（） A ．200B ．100C ．90D ．803．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（） A ．3斤B ．6斤C ．9斤D ．12斤4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（） A ．45B ．50C ．60D ．805．数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则通项公式是（） A ．32n -B ．322n - C ．3122n - D ．3122n + 6．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（） A ．160B ．180C ．200D ．2207．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且351024a a a ++=，则13S 的值为（） A ．8B ．13C ．26D ．1628．已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =+-，则13525a a a a ++++=（）A ．350B ．351C ．674D ．6759．数列{}n a 是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大212，则该数列的项数是（） A ．8B ．4C ．12D ．1610．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n nn S a b n =---⨯+，*n N ∈，则存在数列{}n b 和{}n c 使得（）A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列C ．·n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．·n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 11．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{},n a 则该数列共有（） A ．132项B ．133项C ．134项D ．135项 12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（） A ．121B ．161C ．141D ．15113．已知数列{}n a 中，132a =，且满足()*1112,22n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有n a nλ≥成立，则实数λ的最小值是（） A ．2B ．4C ．8D ．1614．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知58a =，36S =，则107S S -的值是（） A ．48B ．60C ．72D ．2415．已知等差数列{}n a 中，161,11a a ==，则数列{}n a 的公差为（） A ．53B ．2C ．8D ．1316．已知{}n a 是公差为2的等差数列，前5项和525S =，若215m a =，则m =（） A ．4B ．6C ．7D ．817．在等差数列{}n a 中，已知前21项和2163S =，则25820a a a a ++++的值为（）A ．7B ．9C ．21D ．4218．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若718a a a -<<-，则必定有（） A ．70S >，且80S C ．70S >，且80S >D ．70S <，且80S <19．在等差数列{}n a 中，520164a a +=，S ，是数列{}n a 的前n 项和，则S 2020=（） A ．2019B ．4040C ．2020D ．403820．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”.现恰有30人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520)，其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（） A ．32B ．33C ．34D ．35二、多选题21．(多选)在数列{}n a 中，若221(2,,n n a a p n n N p *--=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列B ．(){}1n- 是等方差数列C ．{}2n是等方差数列.D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 22．在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，前n 项和为n S ，则（） A ．4619a a a a >B ．130S >，140S <，则78a a >C ．若915S S =，则n S 中的最大值是12SD ．若2n S n n a =-+，则0a =23．题目文件丢失！24．题目文件丢失！25．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（） A ．4B ．5C ．7D ．826．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减D ．数列{}n S 有最大值27．（多选题）在数列{}n a 中，若221n n a a p --=，（2n ≥，*n N ∈，p 为常数），则称{}n a 为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（）A ．若{}n a 是等差数列，则{}2n a 是等方差数列B ．(){}1n-是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列28．{} n a 是等差数列，公差为d ，前项和为n S ，若56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（） A ．0d D ．170S <29．设d 为正项等差数列{}n a 的公差，若0d >，32a =，则（） A ．244a a ⋅ D ．1524a a a a ⋅>⋅30．下列命题正确的是（）A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B ．若等差数列{}n a 的公差0d >，则{}n a 是递增数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c可能成等差数列 D ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{}12++n n a a 也是等差数列【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．C 【分析】215n S n n =-看作关于n 的二次函数，结合二次函数的图象与性质可以求解．【详解】22152251524n S n n n ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭，∴数列{}n S 的图象是分布在抛物线21522524y x ⎛⎫=--⎪⎝⎭上的横坐标为正整数的离散的点．又抛物线开口向上，以152x =为对称轴，且1515|7822-=-|，所以当7,8n =时，n S 有最小值．故选：C 2．C 【分析】先求得1a ，然后求得10S . 【详解】依题意120a a d =-=，所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选：C 3．C 【分析】根据题意转化成等差数列问题，再根据等差数列下标的性质求234a a a ++. 【详解】由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为1a ，粗的一端的重量为5a ，可知12a =，54a =，根据等差数列的性质可知1533263a a a a +==⇒=，中间三尺为234339a a a a ++==. 故选：C 【点睛】本题考查数列新文化，等差数列的性质，重点考查理解题意，属于基础题型. 4．C 【分析】利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解【详解】{}n a 是等差数列，3944a a a +=+，4844a a a ∴+=+，84a =1158158()15215156022a a a S a +⨯⨯====故选：C 【点睛】本题考查等差数列性质及前n 项和公式，属于基础题 5．C 【分析】根据题中条件，求出等差数列的公差，进而可得其通项公式. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则公差为31322a a d -==，因此通项公式为()33111222n a n n =+-=-. 故选：C. 6．B 【分析】把已知的两式相加得到12018a a +=，再求20S 得解. 【详解】由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=，所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020()10181802S a a =+=⨯=. 故选：B 7．B 【分析】先利用等差数列的下标和性质将35102a a a ++转化为()410724a a a +=，再根据()11313713132a a S a +==求解出结果.【详解】因为()351041072244a a a a a a ++=+==，所以71a =，又()1131371313131132a a S a +===⨯=，故选：B. 【点睛】结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=；（2）当{}n a 为等比数列，则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.8．A 【分析】先利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，再利用通项公式求出13525a a a a ++++的值.【详解】当1n =时，21112112a S ==+⨯-=；当2n ≥时，()()()22121121121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+---+--=+⎣⎦.12a =不适合上式，2,121,2n n a n n =⎧∴=⎨+≥⎩.因此，()()3251352512127512235022a a a a a a ⨯+⨯+++++=+=+=；故选：A. 【点睛】易错点睛：利用前n 项和n S 求通项n a ，一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，但需要验证1a 是否满足()2n a n ≥.9．A 【分析】设项数为2n ，由题意可得()21212n d -⋅=，及6S S nd -==奇偶可求解．【详解】设等差数列{}n a 的项数为2n ，末项比首项大212， ()212121;2n a a n d ∴-=-⋅=① 24S =奇，30S =偶，30246S S nd ∴-=-==奇偶②．由①②，可得32d =，4n =，即项数是8，故选：A. 10．D 【分析】由题设求出数列{}n a 的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项. 【详解】解：(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---⨯+=+-⋅-+，∴当1n =时，有110S a a ==≠；当2n ≥时，有11()2n n n n a S S a bn b --=-=-+⋅，又当1n =时，01()2a a b b a =-+⋅=也适合上式，1()2n n a a bn b -∴=-+⋅，令n b a b bn =+-，12n n c -=，则数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列，故n n n a b c =，其中数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列；故C 错，D 正确；因为11()22n n n a a b bn --+=-⋅⋅，0b ≠，所以{}12n bn -⋅即不是等差数列，也不是等比数列，故AB 错. 故选：D. 【点睛】方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能力. 11．D 【分析】由题意抽象出数列是等差数列，再根据通项公式计算项数. 【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{}n a ，则()8151157n a n n =+-=-，令1572020n a n =-≤，解得：213515n ≤，所以该数列的项数共有135项. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，本题的关键是读懂题意，并能抽象出等差数列. 12．B 【分析】由条件可得127a =，然后231223S a =，算出即可. 【详解】因为31567a a a +=+，所以15637a a a =-+，所以1537a d =+，所以1537a d -=，即127a =所以231223161S a == 故选：B 13．A 【分析】将11122n n n a a -=+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出22n n n a +=，从而得出()22nn n λ+≥，求出()max22n n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值，即可得出答案. 【详解】因为2n ≥时，11122n n n a a -=+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{}2nn a 是首项为3公差为1的等差数列，故22nn a n =+，从而22n nn a +=. 又因为n a n λ≥恒成立，即()22nn n λ+≥恒成立，所以()max22n n n λ+⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦. 由()()()()()()()1*121322,221122n n nn n n n n n n n n n n +-⎧+++≥⎪⎪∈≥⎨+-+⎪≥⎪⎩N 得2n = 所以()()2max2222222n n n +⨯+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A【分析】根据条件列方程组，求首项和公差，再根据107891093S S a a a a -=++=，代入求值. 【详解】由条件可知114832362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得：102a d =⎧⎨=⎩， ()10789109133848S S a a a a a d -=++==+=.故选：A 15．B 【分析】设公差为d ，则615a a d =+，即可求出公差d 的值. 【详解】设公差为d ，则615a a d =+，即1115d =+，解得：2d =，所以数列{}n a 的公差为2，故选：B 16．A 【分析】由525S =求出1a ，从而可求出数列的通项公式，进而可求出m 的值【详解】解：由题意得15452252a ⨯+⨯=，解得11a =，所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-，因为215m a =，所以22115m ⋅-=，解得4m =，故选：A 17．C 【分析】利用等差数列的前n 项和公式可得1216a a +=，即可得113a =，再利用等差数列的性质即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()1212121632a a S +==，所以1216a a +=，即1126a =，所以113a =，所以()()()2582022051781411a a a a a a a a a a a ++++=++++++111111111122277321a a a a a =+++==⨯=，故选：C关键点点睛：本题的关键点是求出1216a a +=，进而得出113a =，()()()2582022051781411117a a a a a a a a a a a a ++++=++++++=即可求解.18．A 【分析】根据已知条件，结合等差数列前n 项和公式，即可容易判断. 【详解】依题意，有170a a +>，180a a +< 则()177702a a S +⋅=>()()188188402a a S a a +⋅==+<故选：A . 19．B 【分析】由等差数列的性质可得52012016024a a a a +==+，则()15202020202016202010102a a a a S +=⨯=⨯+可得答案. 【详解】等差数列{}n a 中, 52012016024a a a a +==+()12020202052016202010104101040402a a a a S +===⨯=+⨯⨯ 故选：B 20．D 【分析】设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ,由他们年龄依次相差一岁得出(1)(2)(28)1520n n n n m ++++++++=，结合等差数列的求和公式得出111429m n =-，再由[]90,100m ∈求出n 的值.【详解】根据题意可知，这30个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ，[]90,100m ∈，则有(1)(2)(28)294061520n n n n m n m ++++++++=++=则有291114n m +=，则111429m n =-，所以90111429100m ≤-≤ 解得34.96635.31n ≤≤，因为年龄为整数，所以35n =. 故选：D二、多选题21．BD【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可.【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}na 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确；对于C ，数列{}2n 中，()()22221112234n n n n n a a ----=-=⨯不是常数，{}2n ∴不是等方差数列，故C 错误；对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+，{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BD.【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义，利用定义进行判断.22．AD【分析】对于A ，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；对于B ，根据等差数列的前n 项和公式得到70a >和780a a +<，进而可得80a <，由此可知78||||a a <，故B 不正确；对于C ，由915S S =得到，12130a a +=，然后分类讨论d 的符号可得答案；对于D ，由n S 求出n a 及1a ，根据数列{}n a 为等差数列可求得0a =.【详解】对于A ，因为46191111(3)(5)(8)a a a a a d a d a a d -=++-+215d =，且0d ≠，所以24619150a a a a d -=>，所以4619a a a a >，故A 正确；对于B ，因为130S >，140S <，所以77713()1302a a a +=>，即70a >，787814()7()02a a a a +=+<，即780a a +<，因为70a >，所以80a <，所以7878||||0a a a a -=+<，即78||||a a <，故B 不正确；对于C ，因为915S S =，所以101114150a a a a ++++=，所以12133()0a a +=，即12130a a +=，当0d >时，等差数列{}n a 递增，则12130,0a a <>，所以n S 中的最小值是12S ，无最大值；当0d <时，等差数列{}n a 递减，则12130,0a a ><，所以n S 中的最大值是12S ，无最小值，故C 不正确；对于D ，若2n S n n a =-+，则11a S a ==，2n ≥时，221(1)(1)n n n a S S n n a n n a -=-=-+--+--22n =-，因为数列{}n a 为等差数列，所以12120a a =⨯-==，故D 正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式是解题关键.23．无24．无25．BD【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差即每一层比上一层多的根数为1d =，设一共放()2n n ≥层，利用等差数列求和公式，分析即可得解.【详解】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差为1d =，设一共放()2n n ≥层，则总得根数为：()()111110022n n n d n n S na na --=+=+= 整理得120021a n n =+-，因为1a *∈N ，所以n 为200的因数，()20012n n +-≥且为偶数，验证可知5,8n =满足题意.故选：BD.【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的求和公式，解题的关键是分析题意，把题目信息转化为等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题.26．ABD【分析】由10n n a a d +-=<可判断AB ，再由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，可判断CD.【详解】根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<，所以数列{}n a 单调递减，A 正确；由数列{}n a 单调递减，可知数列{}n a 有最大值a 1，故B 正确；由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，所以数列{}n S 先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确.故选：ABD.27．BCD【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误.【详解】对于A 选项，取n a n =，则()()()422444221111n n a a n n n n n n +⎡⎤⎡⎤-=+-=+-⋅++⎣⎦⎣⎦()()221221n n n =+++不是常数，则{}2n a 不是等方差数列，A 选项中的结论错误；对于B 选项，()()22111110n n +⎡⎤⎡⎤---=-=⎣⎦⎣⎦为常数，则(){}1n -是等方差数列，B 选项中的结论正确；对于C 选项，若{}n a 是等方差数列，则存在常数p R ∈，使得221n n a a p +-=，则数列{}2n a 为等差数列，所以()221kn k n a a kp +-=，则数列{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列，C 选项中的结论正确；对于D 选项，若数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则存在m R ∈，使得n a dn m =+，则()()()()2221112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++，由于数列{}n a 也为等方差数列，所以，存在实数p ，使得221n n a a p +-=，则()222d n m d d p ++=对任意的n *∈N 恒成立，则()2202d m d d p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得0p d ==，此时，数列{}n a 为常数列，D 选项正确.故选BCD.【点睛】本题考查数列中的新定义，解题时要充分利用题中的定义进行判断，也可以结合特殊数列来判断命题不成立，考查逻辑推理能力，属于中等题.28．ABD【分析】结合等差数列的性质、前n 项和公式，及题中的条件，可选出答案.【详解】由67S S =，可得7670S S a -==，故B 正确；由56S S <，可得6560S S a -=>，由78S S >，可得8780S S a -=<，所以876a a a <<，故等差数列{}n a 是递减数列，即0d <，故A 正确；又()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确；又因为等差数列{}n a 是单调递减数列，且80a <，所以90a <，所以()117179171702a a S a +==<，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列性质的应用，解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前n 项和的性质，本题要从题中条件入手，结合公式()12n n n a S S n --≥=，及()12n n n a a S +=，对选项逐个分析，可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.29．ABC【分析】由已知求得公差d 的范围：01d <<，把各选项中的项全部用d 表示，并根据01d <<判断各选项．【详解】由题知，只需1220010a d d d =->⎧⇒<<⎨>⎩， ()()2242244a a d d d ⋅=-⋅+=-<，A 正确；()()2222415223644a a d d d d +=-++=-+>≥，B 正确； 21511111122221a a d d d +=+=>-+-，C 正确； ()()()()2152422222230a a a a d d d d d ⋅-⋅=-⋅+--⋅+=-<，所以1524a a a a ⋅<⋅，D 错误.【点睛】本题考查等差数列的性质，解题方法是由已知确定d 的范围，由通项公式写出各项（用d 表示）后，可判断．30．BCD【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误.【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知0d >，{}n a 必是递增数列；C 选项：1a b c ===时，1111a b c===是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立； D 选项：数列{}n a 是等差数列公差为d ，所以11112(1)223(31)n n a a a n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列；故选：BCD【点睛】本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题.。

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一、等差数列选择题1．已知数列{}n a 的前项和221n S n =+，n *∈N ，则5a =（）A ．20B ．17C ．18D ．192．定义12nnp p p +++为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为12n ，又2n n a b =，则1223910111b b b b b b +++=（） A ．817 B ．1021C ．1123 D ．9193．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（） A ．11B ．12C ．23D ．244．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，3456720a a a a a ++++=，则9S =（） A ．24B ．36C ．48D ．645．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则12910a a a a ++⋅⋅⋅+=（） A ．278B ．52C ．3D ．46．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若936S S =，则612SS =（） A ．177B ．83 C ．143D ．1037．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则1215a b =（） A ．32B ．7059C ．7159D ．858．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（） A ．60B ．120C ．160D ．2409．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 2=8，38522a a a +=+，则a 1等于（） A ．1B ．2C ．3D ．410．已知等差数列{}n a 的公差d 为正数，()()111,211,n n n a a a tn a t +=+=+为常数，则n a =（）A ．21n -B ．43n -C ．54n -D ．n11．已知等差数列{}n a ，且()()35710133248a a a a a ++++=，则数列{}n a 的前13项之和为（） A ．24 B ．39 C ．104 D ．52 12．若等差数列{a n }满足a 2=20，a 5=8，则a 1=（）A ．24B ．23C ．17D ．1613．在数列{}n a 中，11a =，且11nn na a na +=+，则其通项公式为n a =（） A ．211n n -+ B ．212n n -+C ．221n n -+D ．222n n -+14．已知数列{}n a 中，12(2)n n a a n --=≥，且11a =，则这个数列的第10项为（） A ．18B ．19C ．20D ．2115．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310179a a a ++=，则19S =（） A ．51B ．57C ．54D ．7216．已知等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41a =，则12a 的值是（） A ．15B ．30C ．3D ．6417．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（）A ．3、8、13、18、23B ．4、8、12、16、20C ．5、9、13、17、21D ．6、10、14、18、2218．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7916+=a a ，则15S =（） A ．60B ．120C ．160D ．24019．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{},n a 则该数列共有（） A ．132项B ．133项C ．134项D ．135项20．设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237n n S n T n =+，则63a b 的值为（） A ．511B ．38C ．1D ．2二、多选题21．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（）A ．－4B ．－2C ．0D ．222．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，717S S =，则（） A ．0d C ．13n S S ≤D ．当且仅当0nS <时，26n ≥23．已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 25,n S n n =-则下列说法正确的是（）A ．{}n a 为等差数列B ．0n a >C ．n S 最小值为214-D ．{}n a 为单调递增数列24．数列{}n a 满足11,121nn n a a a a +==+，则下列说法正确的是（） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2n S n = C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =- D ．数列{}n a 为递减数列25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ()*n N ∈，公差0d ≠，690S=，7a 是3a 与9a 的等比中项，则下列选项正确的是（） A ．2d =-B ．120a =-C ．当且仅当10n =时，n S 取最大值D ．当0nS <时，n 的最小值为2226．下列命题正确的是（）A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B ．若等差数列{}n a 的公差0d >，则{}n a 是递增数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c可能成等差数列 D ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{}12++n n a a 也是等差数列27．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题，其中的真命题为（）. A ．数列{}n a 是递增数列 B ．数列{}n na 是递增数列 C ．数列{}na n是递增数列 D ．数列{}3n a nd +是递增数列28．在下列四个式子确定数列{}n a 是等差数列的条件是（）A ．n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈）；B ．2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈）；C ．()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ； D ．{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈）.29．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为2130．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，6914a a ⋅=-．12n n n n b a a a ++=⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（）A ．320n a n =-B ．325n a n =-+C ．当4n =时，n T 取最小值D ．当6n =时，n T 取最小值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．C 【分析】根据题中条件，由554a S S =-，即可得出结果．【详解】因为数列{}n a 的前项和2*21,n S n n N =+∈，所以22554(251)(241)18a S S =-=⨯+-⨯+=．故选：C ． 2．D 【分析】由题意结合新定义的概念求得数列的前n 项和，然后利用前n 项和求解通项公式，最后裂项求和即可求得最终结果. 【详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，由题意可得：12n n S n=，则：22n S n =，当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，142n n n a S S n -=-=-，且14122a =⨯-=，据此可得 42n a n =-，故212nn a b n ==-，()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，据此有：12239101111111111233517191.21891919b b b b b b +++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⨯= 故选：D 3．C 【分析】由题设求得等差数列{}n a 的公差d ，即可求得结果. 【详解】32153S a ==，25a ∴=， 12a =，∴公差213d a a =-=， 81727323a a d ∴=+=+⨯=，故选：C. 4．B 【分析】利用等差数列的性质进行化简，由此求得9S 的值. 【详解】由等差数列的性质，可得345675520a a a a a a ++++==，则54a =19592993622a a aS +=⨯=⨯= 故选：B 5．A 【分析】根据数列{}n a 是等差数列，且1109a a a +=，求出首项和公差的关系，代入式子求解. 【详解】因为1109a a a +=，所以11298a d a d +=+，即1a d =-，所以()11295101019927278849a a a a a d a a d d a d ++⋅⋅⋅+====++.故选：A 6．D 【分析】由等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，结合已知条件得633S S =和31210S S =计算得结果. 【详解】已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，∴3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，所以()()633962S S S S S ⋅-=+-，且936S S =，化简解得633S S =.又()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，∴31210S S =，从而126103S S =. 故选：D 【点睛】思路点睛：（1）利用等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，（2）()()633962S S S S S ⋅-=+-，且936S S =，化简解得633S S =，（3）()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，化简解得31210S S =. 7．C 【分析】可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，进而求得n a 与n b 的关系式，即可求得结果．【详解】因为{}n a ，{}n b 是等差数列，且3221n n S n T n +=+，所以可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，又当2n 时，有1(61)n n n a S S k n -=-=-，1(41)n n n b T T k n -=-=-， ∴1215(6121)71(4151)59a kb k ⨯-==⨯-，故选：C ． 8．B 【分析】根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+，结合题意，可得出88a =，最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，得出()11515815152a a S a +==，从而可得出结果.【详解】解：由题可知，2938a a a +=+，由等差数列的性质可知2938a a a a +=+，则88a =，故()1158158151521515812022a a a S a +⨯====⨯=.故选：B. 9．C 【分析】利用等差数列的下标和性质以及基本量运算，可求出1a ．【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则3856522a a a a a +=+=+，解得652d a a =-=，212112228S a a a d a =+=+=+=，解得13a =故选：C 10．A 【分析】由已知等式分别求出数列的前三项，由2132a a a =+列出方程，求出公差，利用等差数列的通项公式求解可得答案．【详解】11a =，()()1211n n n a a tn a ++=+,令1n =，则()()121211a a t a +=+，解得21a t =-令2n =，则()()2322121a a t a +=+，即()2311t a t -=-，若1t =，则20,1a d ==，与已知矛盾，故解得31a t =+{}n a 等差数列，2132a a a ∴=+，即()2111t t -=++，解得4t =则公差212d a a =-=，所以()1121n a a n d n =+-=-. 故选：A 11．D 【分析】根据等差数列的性质计算求解．【详解】由题意()()357101341041073232236()1248a a a a a a a a a a ++++=⨯+⨯=+==，74a =，∴11313713()13134522a a S a +===⨯=．故选：D ． 12．A 【分析】由题意可得5282045252a a d --===---，再由220a =可求出1a 的值【详解】解：根据题意，5282045252a a d --===---，则1220(4)24a a d =-=--=，故选：A. 13．D 【分析】先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=，再由累加法计算出2122n n n a -+=，进而求出n a .【详解】解：11nn na a na +=+， ()11n n n a na a ++=∴，化简得：11n n n n a a a a n ++=+，两边同时除以1n n a a +并整理得：111n nn a a +-=，即21111a a -=，32112a a -=，43113a a -=，…，1111(2,)n n n n n z a a --=-≥∈，将上述1n -个式子相加得：213243111111+a a a a a a --+-+ (111)123n n a a -+-=+++…1n +-，即111(1)2n n n a a --=， 2111(1)(1)2=1(2,)222n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈，又111a =也满足上式， 212()2n n n n z a -+∴=∈， 22()2n a n z n n ∴=∈-+.故选：D. 【点睛】易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现1n -，要注意检验首项是否符合. 14．B 【分析】由已知判断出数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，求出通项公式后即可求得10a .【详解】()122n n a a n --=≥，且11a =，∴数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，通项公式为()12121n a n n =+-=-，10210119a ∴=⨯-=，故选：B. 15．B 【分析】根据等差数列的性质求出103a =，再由求和公式得出答案. 【详解】317102a a a += 1039a ∴=，即103a =()1191019191921935722a a a S +⨯∴===⨯= 故选：B 16．A 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列的通项公式列方程组，求出1a 和d 的值，12111a a d =+，即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则111681631a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩，即117831a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得：174174d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以12117760111115444a a d =+=-+⨯==，所以12a 的值是15，故选：A 17．C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则171,25a a ==，则712514716a a d --===-，则这5个数依次是5，9，13，17，21. 故选：C 18．B 【分析】利用等差数列的性质，由7916+=a a ，得到88a =，然后由15815S a =求解. 【详解】因为7916+=a a ，所以由等差数列的性质得978216a a a +==，解得88a =，所以()11515815151581202a a S a +===⨯=．故选：B 19．D 【分析】由题意抽象出数列是等差数列，再根据通项公式计算项数. 【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{}n a ，则()8151157n a n n =+-=-，令1572020n a n =-≤，解得：213515n ≤，所以该数列的项数共有135项. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，本题的关键是读懂题意，并能抽象出等差数列. 20．C 【分析】令22n S n λ=，()37n T n n λ=+，求出n a ，n b ，进而求出6a ，3b ，则63a b 可得．【详解】令22n S n λ=，()37n T n n λ=+，可得当2n ≥时，()()221221221n n n a S S n n n λλλ-=-=--=-，()()()()137134232n n n b T T n n n n n λλλ-=-=+--+=+，当1n =，()11112,3710a S b T λλλ====+=，符合()221n a n λ=-，()232n b n λ=+故622a λ=，322b λ=，故631a b =. 【点睛】由n S 求n a 时，11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式求解．二、多选题21．AB 【分析】由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n=-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++，则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111122a a -=-，上述式子累加可得：111n a a n n -=-，122n a n n∴=-<，()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确；对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确；对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误；对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误，故选：AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.【分析】根据等差数列的性质及717S S =可分析出结果. 【详解】因为等差数列中717S S =，所以89161712135()0a a a a a a ++++=+=，又10a >，所以12130,0a a ><，所以0d <，12n S S ≤，故AB 正确，C 错误；因为125251325()2502a a S a +==<，故D 错误，故选：AB 【点睛】关键点睛：本题突破口在于由717S S =得到12130a a +=，结合10a >，进而得到12130,0a a ><，考查学生逻辑推理能力.23．AD 【分析】利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列的通项公式，可对A ，B ，D 进行判断，对25,n S n n =-进行配方可对C 进行判断【详解】解：当1n =时，11154a S ==-=-，当2n ≥时，2215[(1)5(1)]26n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，当1n =时，14a =-满足上式，所以26n a n =-，由于()122n n a a n --=≥，所以数列{}n a 为首项为4-，公差为2的等差数列，因为公差大于零，所以{}n a 为单调递增数列，所以A ，D 正确，B 错误，由于225255()24n S n n n =-=--，而n ∈+N ，所以当2n =或3n =时，n S 取最小值，且最小值为6-，所以C 错误，故选：AD 【点睛】此题考查,n n a S 的关系，考查由递推式求通项并判断等差数列，考查等差数列的单调性和前n 项和的最值问题，属于基础题 24．ABD首项根据11,121n n n a a a a +==+得到1112n n a a +-=，从而得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，再依次判断选项即可.【详解】对选项A ，因为121nn n a a a +=+，11a =，所以121112n n n n a a a a ++==+，即1112n na a +-= 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，故A 正确.对选项B ，由A 知：112121nn n a数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()21212n n n S n +-==，故B 正确.对选项C ，因为121n n a =-，所以121n a n =-，故C 错误. 对选项D ，因为121n a n =-，所以数列{}n a 为递减数列，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和，同时考查了递推公式，属于中档题. 25．AD 【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由0n S <解不等式可判断D ．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由7a 是3a 与9a 的等比中项，得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化为1100a d +=，②由①②解得120a =，2d =-，则202(1)222n a n n =--=-，21(20222)212n S n n n n =+-=-，由22144124n S n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，可得10n =或11时，n S 取得最大值110；由2102n S n n -<=，解得21n >，则n 的最小值为22.故选：AD 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比中项的性质，二次函数的最值求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题. 26．BCD 【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知0d >，{}n a 必是递增数列；C 选项：1a b c ===时，1111a b c===是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立； D 选项：数列{}n a 是等差数列公差为d ，所以11112(1)223(31)n n a a a n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列；故选：BCD 【点睛】本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题. 27．AD 【分析】根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项. 【详解】0d >，10n n a a d +-=> ，所以{}n a 是递增数列，故①正确，()()2111n na n a n d dn a d n =+-=+-⎡⎤⎣⎦，当12d a n d -<时，数列{}n na 不是递增数列，故②不正确， 1n a a d d n n -=+，当10a d -<时，{}n a n 不是递增数列，故③不正确， 134n a nd nd a d +=+-，因为0d >，所以{}3n a nd +是递增数列，故④正确，故选：AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题. 28．AC 【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列．【详解】A 选项中n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈），数列{}n a 的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，B 选项中2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误；C 选项中()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ，对于数列{}n a 符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确；D 选项{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈），不符合2n S An Bn =+，所以{}n a 不为等差数列．故错误．故选：AC 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 29．BC 【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由S n >0解不等式可判断D ．【详解】由公差60,90d S ≠=，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由a 7是a 3与a 9的等比中项，可得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化简得110a d =-，②由①②解得120,2a d ==-，故A 错，B 对；由()()22121441201221224n S n n n n n n ⎛⎫=+-⨯-=-=--+ ⎪⎝⎭ *n N ∈，可得10n =或11时，n S 取最大值110，C 对；由S n >0，解得021n <<，可得n 的最大值为20，D 错；故选：BC 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 30．AC 【分析】由已知求出数列{}n a 的首项与公差，得到通项公式判断A 与B ；再求出n T ，由{}n b 的项分析n T 的最小值．【详解】解：在递增的等差数列{}n a 中，由5105a a +=，得695a a +=，又6914a a =-，联立解得62a =-，97a =，则967(2)3963a a d ---===-，16525317a a d =-=--⨯=-． 173(1)320n a n n ∴=-+-=-．故A 正确，B 错误；12(320)(317)(314)n n n n b a a a n n n ++==---可得数列{}n b 的前4项为负，第5项为正，第六项为负，第六项以后均为正．而5610820b b +=-=>．∴当4n =时，n T 取最小值，故C 正确，D 错误．故选：AC ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．。

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