与函数有关的新定义题型 2

与函数有关的新定义题型

１.(2016长沙25题1０分）若抛物线Ｌ：ｙ＝aｘ２＋bx＋c(ａ,b,c是常数,abc≠０）与直线l都经过y轴上的一点P，且抛物线L的顶点Ｑ在直线l上,则称此直线l与该抛物线Ｌ具有“一带一路”关系．此时直线ｌ叫做抛物线Ｌ的“带线”,抛物线L叫做直线l的“路线”．

（1)若直线ｙ=mｘ+1与抛物线ｙ＝x２－2x+n具有“一带一路”关系，求ｍ,n的值；

(2)若某“路线＂L的顶点在反比例函数y＝错误!的图象上,它的“带线”ｌ的解析式为y=２x－４，求此“路线”L的解析式；

(3）当常数ｋ满足1

２

≤k≤２时，求抛物线L：y=ax２+（3ｋ2-２k+1)x+k的“带线”ｌ与ｘ轴,y轴所围成的三角形面积的取值范围.

2．（２０15长沙２５题10分）在直角坐标系中,我们不妨将横坐标、纵坐标均为整数．．．．的点．．

称之为“中国结". (1)求函数ｙ＝＼ｒ(３）x ＋2的图象上所有“中国结”的坐标；

(2)若函数y ＝k x

(k ≠0,k 为常数)的图象上有且只有两个“中国结",试求出常数k 的值与相应“中国结"的坐标;

（3)若二次函数ｙ＝(k 2-3ｋ+２)x 2+(２k 2－4k +１)x +k 2-k (k 为常数）的图象与x 轴相交得到两个不同的“中国结"，试问该函数的图象与x 轴所围成的平面图形中(含边界),一共包含有多少个“中国结”？

3.（2０14长沙25题10分)在平面直角坐标系中,我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”.例如点(－1,－１),(0，０），（错误!,错误!）,…都是“梦之点”,显然，这样的“梦之点”有无数个.

(1)若点P(2,m)是反比例函数y=＼f(n，x)(n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”,求这个反比例函数的解析式；

(2)函数y=3kx＋s-1（k，ｓ是常数)的图象上存在“梦之点”吗?若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若二次函数y＝ax２＋bｘ+１(ａ,b是常数,a>0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A(x1，x１)，Ｂ(x２，ｘ2）,且满足－2

4.(２０13长沙25题１0分）设a,b是任意两个不等实数,我们规定:满足不等式a≤x≤b 的实数x的所有取值的全体叫做闭区间,表示为[a,b]．对于一个函数,如果它的自变量ｘ与函数值y满足：当m≤x≤ｎ时,有ｍ≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[ｍ,n]上的“闭函数”.

（１)反比例函数ｙ＝２０1３

x是闭区间[1，２013]上的“闭函数＂吗？请判断并说明理

由;

(２)若一次函数ｙ＝ｋx+b（k≠０)是闭区间［m,ｎ]上的“闭函数”,求此函数的解析式;

(3)若二次函数y＝＼f（１，5）x2-错误!x－错误!是闭区间[ａ,b]上的“闭函数”,求实数

ａ，b的值．

ﻬ

５.（201７长沙２５题10分)若三个非零实数x，y,z满足:只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和,则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”.

(１）实数1,2，3可以构成“和谐三数组”吗？请说明理由;

（2）若M（t,ｙ1）,Ｎ(t＋1，y2），R（ｔ+3,y3)三点均在函数y=错误!（ｋ为常数,ｋ≠0）的图象上，且这三点的纵坐标ｙ１，y2,y３构成“和谐三数组”,求实数ｔ的值；

(3)若直线y＝2bx+2c(bc≠0)与ｘ轴交于点A(ｘ１，0),与抛物线y=ax2＋3bx+3c（a≠0)交于

B（x2，y2)，C(x３，ｙ3）两点．

①求证：Ａ，B,C三点的横坐标x1,ｘ２,x3构成“和谐三数组”;

②若a>２b＞３c,x2=1,求点P(错误!，错误!）与原点O的距离OP的取值范围．

ﻬ

6．（2011长沙２５题１０分）使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点.例如，对于函数ｙ＝x－1,令y=0，可得x＝1,我们就说1是函数y=x-1的零点.

已知函数y=x2-２mｘ-２(m+３）(m为常数).

(１)当ｍ=０时,求该函数的零点;

（2)证明:无论m取何值,该函数总有两个零点;

(３)设函数的两个零点分别为x１和x２,且错误!+错误!＝-错误!，此时函数图象与x轴的交点分别为Ａ、B(点A在点B左侧)，点M在直线y＝x-１０上,当MA+MＢ最小时，求直线ＡM的函数解析式．

7．（２01８长沙26题10分)我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．

(１)①在“平行四边形,矩形,菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有;

②在凸四边形ＡBCD中，AB＝AD且ＣB≠CＤ，则该四边形“十字形”．(填“是”或“不是”）

(2）如图１,Ａ,Ｂ，C，D是半径为1的⊙Ｏ上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点Ｅ，∠ADB﹣∠CDB=∠ABＤ﹣∠CＢD,当6≤AC２+BD2≤7时，求OＥ的取值范围；（3）如图2,在平面直角坐标系ｘOy中，抛物线ｙ＝ax2+ｂx+c(a，ｂ,ｃ为常数,a＞0,c<0)与x轴交于A，C两点（点Ａ在点C的左侧),B是抛物线与y轴的交点,点D的坐标为(0，﹣ac）,记“十字形”ABCD的面积为Ｓ，记△AOＢ,△CＯD，△ＡOD,△BOC的面积分别为Ｓ1，S2,S3，Ｓ４．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；

①=;②=;③“十字形”ABCD的周长为12.

５. (２017雅礼实验中学月考)已知y 是关于ｘ的函数,若其图象经过点Ｐ(t ，t ),则称点P 为函数图象上的“ｂｉngo 点",例如：y ＝2x －１上存在“b ｉngo 点”P (1，1).

（１)直线_＿__＿_______(填写直线解析式）上的每一个点都是“bi ｎgo 点”;双曲线ｙ＝1x

上的“bi ｎgo 点＂是__＿_＿___;

(２)若抛物线y ＝错误!x 2+(错误!ａ＋1)x -错误!a ２

-a ＋2上有“bingo 点＂,且“b ｉngo 点”A 、Ｂ(点A 和点B 可以重合）的坐标为Ａ（x 1，y 1),B (x 2，ｙ2),求x 错误!＋x 错误!的最小值； (３）若函数ｙ=错误!x 2+（n -k +1）x +m +k －1的图象上存在唯一的一个“b ｉngo 点”，且当－2≤n ≤1时，m 的最小值为k ,求k 的值.

ﻬ6。 (20１8原创）在平面直角坐标系内,若点Ｐ(x ,y)满足２x +ｙ=0,则称点P 是“反倍点"，例如点P （２，－4）就是一个反倍点．

（1)已知点A 是第二象限的一个“反倍点”，且点Ａ到x 轴的距离为2，求经过点A 的反比例函数y =＼f(k ，x ）的解析式;

(2)已知“反倍点”Ｂ在一次函数ｙ=mx +２图像上，且点B 的纵、横坐标均为整数,求点B 的坐标；

(3)已知二次函数y ＝－（ｘ－h)2＋c 的顶点D 是“反倍点"，当抛物线与ｙ轴的交点C 的纵坐标y Ｃ取得最大值时，在抛物线上及抛物线内共有几个“反倍点”,并求出这些点的坐标.