第三章 功和能

第三章 大学物理辅导 功与能

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第三章 功与能

一、教材系统的安排和教学目的 1、教材内容的安排：在牛顿运动定律的基础上，进一步讲授力对空间累积作用的规律，即功、能、动能定理、功能原理、机械能守恒及其应用。 2、教学目的：使学生理解功、保守力、动能、势能等概念，掌握动能原理、功能原理及机械能转换与守恒定律 二、教学要求 1、理解功的概念（它的定义、量值、单位、物理意义），会计算恒力做功和变力做功。要明确是哪个力对物体做功 2、理解势能与保守力的概念。明确势能是一种状态量，每种势能都和一种保守力相对应。势能表示物质具有潜在的做功本领 3、理解动能的概念，掌握动能原理 4、掌握功能原理和机械能转换与守恒定律，并能比较熟练地运用。 三、内容提要 1、功 定义 W F S F S =∙=⋅⋅⇒

cos α为恒力做功

W F dS S

=∙⇒⎰ 为变力做功

力、位移、力与位移之间夹角的余弦三者称为做功的三要素。

功的正负：力对物体做正功，是表明施力者消耗了本身的能量，反之，力对物体做负功，实际上是表明物体克服该力做功。 意义：功是物体能量变化的一种量度，是力对空间的累积作用，是个过程量。 2、保守力：凡做功与路径无关，而只与起点及终点位置有关的力，均称作保守力。它

的性质可表为

f dS S

⋅=⎰0，即保守力的环流为零。

3、耗散力：凡做功不仅与起点及终点位置有关，而且与路径也有关的力，称之为耗散

力（也叫非保守力）。耗散力的环流不等于零，即：

f dS S

⋅≠⎰0。

4、势能

定义： E mgh P =⇒重力势能，一般取地面为势能零点。

E kx P =

⇒12

2

弹性势能，一般取弹簧原长为势能零点。 意义：势能是描写物体系统内物体间相对位置（即状态）的物理量。它表明系统具有潜在的做功本领，是个状态量。 说明：势能是个相对量，为系统所具有，随零点势能选取的不同而不同，势能有正负。引进势能的前提条件是系统内存在有保守力。 5、动能原理：合外力对物体所做的功等于物体动能的增量。我们也把它叫做质点的动

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能定理，它可表示为：

W mv mv =

-1212

2212 利用动能原理解决动力学问题，特别是变速运动的动力学问题，要比利用牛顿运动定律方便得多。 6、功能原理：外力与非保守内力对系统做的功，等于系统机械能的增量。即： W E E E E P K P K =+-+()()2211 说明：在应用功能原理解决问题时，不要再计算保守力（象重力、弹力等）所做的功。

7、机械能转换与守恒定律：E E E E K P K P 1122+=+

应用条件：系统内只有保守内力做功，而其他力不做功，外力也不做功。 四、解题步骤 无论是利用动能原理、功能原理还是机械能转换与守恒定律去解题，它们的共同特点是“只顾两头，不管中间”即只考虑系统的初态与末态能量，而不考虑中间过程如何。 1、确定研究对象：质点或系统； 2、分析受力情况，计算合外力所做的功； 3、确定初态和终态的能量（动能或机械能）； 4、列出有关方程； 5、求解。 五、典型例题

例1、如图3-1所示，一质量为m 的摆锤与铅直线之间的夹角为θ，求（1）当夹角增加d θ时重力所做的功；（2）当摆锤从θ=0运动到θ=θ0时，重力所做的功，用功的定义计算。 解：（1）如图所示先求出重力所做的元功或微功：

dW P dS mgds =⋅=⋅

cos α上式中ds 为摆锤所通过的微分弧长，α角为此刻重力与元位移方向之间的夹角，元位移方向为顺时针，即向右摆为θ正。 但ds=l ·d θ，故cos cos()sin απθθ=-=- 所以dW mgl d =-⇒sin θθ由此已将元功表示为夹角的函数。

（2）总功W dW mgl d mgl ==

-=-⎰⎰sin (cos )θθθθ0

00

1

例2、一人从10米深的井中提水。开始时桶中装有10千克的水，由于

水桶漏水，每升高1米要漏去0.2kg 的水。求匀速地把水桶从井中提升到井口，人所做的功。

解：由题意知，人的拉力与水桶重量相等。选择铅直向上为坐标H 轴的正方向，井中水面处为坐标原点，则在任一时刻（即在位置Q 时），水桶的重量为（见图3-2） P=P 0－kh=mg-0.2gh k=0.2千克/米，是指每升高单位长度（1米）所漏去水的质量，但重力=mgh ，m=0.2，故kh=0.2gh 人对水桶的拉力为F P h N ==-(..)980196

图3-1

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则W dW F dh h dh J H

==

⋅=-=⎰⎰⎰ 0

10

980196882(..)

例3、倔强系数为100N ·m -1

的弹簧，铅直地放在地板上。一个25克的物体放在弹簧的顶端，但不系在弹簧上。若把弹簧压缩50厘米，然后物体从静止被释放出来。问此物可抛出比原弹簧高多少？

解：由题意作出示意图3-3。由题意知物体自释放达到最高点过程中只受到重力和弹力作用，所以此过程机械能守恒。依

示意图有 mgh k l mgh 1221

2

+

=()∆

∆∆h h h k l mg =-==⨯⨯⨯⨯⨯=-21222

3

21005102251098

051()()..米 自图3-3知，物体抛出后距原弹簧高度为 h h l =-=-=∆∆051005046...米。

例4、一小车沿图3-4所示的光滑弯曲轨道自A 点下滑，小车在A 点时的速度为零，轨道的园环部分有一对称的缺口BC 。已知园环的半径为R ，缺口的张角∠=BOC 2α。问A 点的高度h 应等于多少才能使小车越过缺口并能走完整个园环？

解：由题意知小车飞越BC 缺口时做斜抛运动，其射程BC=2Rsin α。设小车在B 点时的速度为v B ，欲使小车刚好越过BC ，要求满足22R v v g

B B sin cos sin ααα

=⋅⋅⋅这一条件。 由上式得：v gR

B 2

=

cos α

(1)

由机械能守恒得（A 点运动到B 点时）

mgh mg R R mv B =++(cos )α12

2

(2)

由式（1）与（2）得h R =++

⋅(cos cos )11

2αα

六、课堂练习题 1、判断题

（1）不管在何种情况下，摩擦力总是作负功（ ） （2）保守力做功的结果总是使系统的势能减少（ ）

（3）在应用功能原理解题时，不应再考虑保守内力做的功（ ）

（4）在弹性限度内，如果将弹簧的伸长量增加到原来的两倍，那么弹性势能也增加为原来的两倍（ ）

（5）重力势能仅为物体本身所具有，但它的大小却与距地面的高度有关（ ） 2、填空题

图3-4