山东省泰安市新泰一中2019-2020学年高二下第一次质量检测考试数学试题
山东省新泰市第一中学2019届高三上学期第二次质量检测数学(文)试题(解析版)
新泰一中高三第二次质量检测文科数学试题一、选择题；本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．1.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【详解】∵函数，∴，解得，即x≤﹣1，∴f（x）的定义域为{x|x≤﹣1}．故选：C．【点睛】常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．(5)y＝a x(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.(6)y＝log a x(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．2.已知向量与的夹角为120°，且，那么的值为（）A. ﹣8B. ﹣6C. 0D. 4【答案】A【解析】【分析】先利用向量数量积的公式求得的值，然后展开来求得它的值.【详解】向量与的夹角为，且，可得，即有．故选：A．【点睛】本小题主要考查向量数量积的运算公式，考查向量数量积的分配律，属于基础题.3.若等差数列的前7项和，且，则（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】试题分析：由S7=21求得a4=3，结合a2=﹣1求出公差，再代入等差数列的通项公式求得答案．解：在等差数列{a n}中，由S7=7a4=21，得a4=3，2∴，∴a6=a4+2d=3+2×2=7．故选：C．4. 已知α，β为不重合的两个平面，直线m⊂α，那么“m⊥β”是“α⊥β”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：利用平面垂直的判定定理得到前者能推出后者；容易判断出后者推不出前者；利用各种条件的定义得到选项．解：∵平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则两平面垂直∴直线m⊂α，那么“m⊥β”成立时，一定有“α⊥β”成立反之，直线m⊂α，若“α⊥β”不一定有“m⊥β”成立所以直线m⊂α，那么“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件故选A5.直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位，所得到直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】B试题分析：∵直线绕原点逆时针旋转，∴直线斜率互为负倒数，∴直线变为，∵向右平移个单位，∴，即：，故选：B．考点：直线的方程.6.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则函数的大致图象为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由于函数是定义在上的偶函数，当时，，故在上，为减函数，且，结合所给的选项，故选C．考点：函数的奇偶性的应用．7.直线与圆的位置关系为（）A. 相离B. 相切C. 相交或相切D. 相交【答案】C【解析】【分析】由圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系即可．【详解】由已知得，圆的圆心为（0，0），半径为，圆心到直线的距离为，其中（a+b）2≤2（a2+b2），所以圆心到直线的距离为所以直线与圆相交或相切；故选：C．【点睛】此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握直线与圆位置关系的判别方法，属于基础题．8.直线、是异面直线，、是平面，若，，，则下列说法正确的是（）A. 至少与、中的一条相交B. 至多与、中的一条相交C. 与、都相交D. 与、都不相交【答案】A【解析】【分析】依题意可知，共面于，共面于.利用空间两条直线的位置关系，对选项举出反例进行排除，由此得出正确选项.【详解】解：由直线、是异面直线，、是平面，若，，，知：对于选项，可以与、都相交，交点为不同点即可，故选项不正确；对于选项，，，满足题意，故选项不正确；对于选项，与、都不相交，则与、都平行，所以，平行，与异面矛盾，故选项不正确；对于选项，由，、是错误的，可知正确.由于共面，共面，若与都平行，根据平行公理可知平行，这与已知异面矛盾，故选项正确.故本小题选.【点睛】本小题主要考查空间直线的位置关系，包括平行、相交、异面和平行公理的考查，属于基础题.9.已知函数，对于上的任意，，有如下条件：①；②；③；④，其中能使恒成立的条件个数共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】试题分析：∵，∴，∴当时，；当时，，函数在此区间上单调递减；当时，，函数在此区间上单调递增．∴函数在时取得最小值，．∵，都有，∴是偶函数．根据以上结论可得：①当时，则不成立；②当时，得，则，所以恒成立；③当时，则恒成立；④时，则恒成立．综上可知：能使恒成立的有②③④，故选：C．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的奇偶性．10.已知双曲线的左焦点是，离心率为，过点且与双曲线的一条渐近线平行的直线与圆在轴右侧交于点，若在抛物线上，则A. B. C. D.【答案】D【解析】双曲线的渐近线方程为，据题意，可设直线的斜率为，则直线的方程为：，解方程组得或．则点的坐标为．又点在抛物线上，得．可化为，可知．故本题答案选11.设变量，满足约束条件，则目标函数的最小值为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】作出约束条件所表示的可行域如图所示，可化为，作出直线，并且平移直线，由图可知，当直线经过时，纵截距最小，从而的值最小，将代入得．故选．点睛: 应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.12.对任意，不等式恒成立，则下列不等式错误的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，对其求导后利用已知条件得到的单调性，将选项中的角代入函数中，利用单调性化简，并判断正误，由此得出选项.【详解】解：构造函数，则，∵，∴，即在上为增函数，由，即，即，故A正确；，即，即，故B正确；，即，即，故C正确；由，即，即，即，故错误的是D．故选：D．【点睛】本小题考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法.构造函数法主要应用于题目所给已知条件中含有，也含有其导数的不等式，根据不等式的结构，构造出相应的函数.如已知是，可构造，可得.二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共计25分．13.若双曲线的一个焦点的坐标是，则______．【答案】【解析】试题分析：由题意可得双曲线的焦点在x轴上，将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，c，解k的方程可得所求值．解：由题意可得双曲线的焦点在x轴上，可得：双曲线的标准方程为﹣y2=1，（k＞0），即有a2=，b2=1，c2=1+，由一个焦点的坐标是（2，0），可得1+=4，解得k=．故答案为：．14.函数图象的对称中心的坐标为．【答案】【解析】试题分析：由题意得，因为对称中心为，所以函数的对称中心为．考点：函数的性质．15.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是．【答案】24+6．【解析】试题分析：作出棱锥的直观图，根据三视图数据和棱锥的结构特征计算各个面的面积．解：由三视图可知三棱锥P﹣ABC的底面ABC为直角三角形，AB⊥BC，侧棱PA⊥平面ABC，PA=AB=4，BC=3，图形如图∴BC⊥平面PAB，AC=5，PB=4，∴棱锥的表面积S=+++=24+6．故答案为24+6．16.若直线过点，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】将点的坐标代入直线方程，得到一个值为的表达式，用这个表达式去乘，化简后利用基本不等式求得最小值.【详解】∵直线过点，∴，故，当且仅当即时取等号，结合可解得且，故答案为：．【点睛】本小题主要考查点和直线的位置关系，考查“1”的代换在基本不等式中的用法，属于基础题.点在直线上，那么点的坐标满足直线方程.在基本不等式的应用中，要求最值的式子无法直接使用基本不等式求最值，可以通过乘以“1”后，化简为可以利用基本不等式来求最值的式子.利用基本不等式求最值，要注意等号成立的条件.三、解答题：本大题共6个小题，满分90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知向量，，，其中是的内角．（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，角，，所对的边分别为，，，，，求的面积．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用两个向量垂直的坐标表示进行运算，利用降次公式和辅助角公式化简后，可求得的大小.（2）利用余弦定理求得边的长，解有两个，根据三角形为锐角三角形排除其中一个，再根据三角形的面积公式求得三角形的面积.【详解】（1）向量，，，可得，即有，，，，可得；（2）在中，由余弦定理可得，，即为，解得或2，若，则为最大边，且，为钝角，不合题意；若，则为最大边，且，B为锐角，合题意，则的面积为．【点睛】本小题主要考查两个向量垂直的坐标表示，考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查余弦定理和三角形的面积公式，属于中档题.18.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为圆的圆心，直线与抛物线的准线和轴分别交于点、，且、的纵坐标分别为、．（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线恒与圆相切．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）求出圆心，即求得抛物线的焦点坐标，由此求得抛物线的方程.（2）利用两点式求得直线的方程，计算圆心到直线的距离，这个距离恰好等于半径，由此证得直线和圆相切.【详解】（1）圆心为，半径为，设抛物线的方程为，因为焦点为圆：的圆心，所以，因此抛物线的方程为；（2）由题意可知，，，则直线方程为：，即，圆心到直线的距离，因此直线恒与圆相切．【点睛】本小题主要考查圆的一般方程求圆心和半径，考查抛物线的焦点和抛物线方程的求解，考查直线和圆的位置关系，属于基础题.19.设数列的前项的和为．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，若对一切，均有，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用，求得数列的通项公式.（2）先求得的表达式，由此得到是等比数列，求出它的前项和，利用单调性求得的取值范围，根据子集的概念列出不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【详解】（1）∵，∴，，两式相减得：，又∵，∴数列是首项、公差均为2的等差数列，故其通项公式；（2）由（1）可知，∴数列是首项、公比均为的等比数列，故，∴，且，∴或，且或，故．【点睛】本小题主要考查数列已知求得方法，考查等比数列的识别以及等比数列前项和的求解，考查数列的单调性，考查一元二次不等式和分式不等式的解法，属于中档题. 已知求主要是根据来求得数列的通项公式，要注意验证和时的通项公式是否符合，如果符合就写成一个表达式，如果不符合就写成分段函数的形式.20.如图，三棱柱的侧面是矩形，侧面⊥侧面，且，，是的中点．（1）求证：∥平面；（2）求证：⊥平面．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）连结交于，取中点，连结，．通过证明四边形是平行四边形，来证得，从而证得平面.（2）利用余弦定理和勾股定理，计算证明证得；利用面面垂直的性质定理，证得；从而证得平面.【详解】证明：（1）连结交于，取中点，连结，．∵四边形是矩形，∴是的中点，∴，，∵四边形是平行四边形，是的中点，∴，，∴四边形是平行四边形，∴，即．又∵，，∴∥平面．（2）∵，是中点，∴，，∵，∴．∴，∴，∵侧面⊥侧面，侧面∩侧面=，，⊂平面，∴⊥平面，∵⊂平面，∴⊥，又∵⊂平面，⊂平面，，∴⊥平面．【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，还考查了面面垂直的性质定理的应用，属于中档题.21.设椭圆的对称中心为坐标原点，其中一个顶点为，右焦点与点的距离为2．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在经过点的直线，使直线与椭圆相交于不同的两点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据右焦点与点的距离列方程，解方程求得的值，结合的值及求得的值，从而求得椭圆方程.（2）利用斜截式设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简后写出韦达定理，并根据判别式求得直线的斜率的取值范围.根据可知在线段的垂直平分线上，求得中点坐标，利用斜率乘积等于建立方程，解方程求得的值，这个值在前面求出来的范围内，所以符合题意，并由此求得直线的方程.【详解】（1）依题意，设椭圆方程为，则其右焦点坐标为，由，得，即，故．又∵，∴，从而可得椭圆方程为．（2）由题意可设直线的方程为，由知点在线段的垂直平分线上，由消去得，即可得方程当方程的即时方程有两个不相等的实数根．设，，线段的中点，则，是方程的两个不等的实根，故有．从而有，．于是，可得线段的中点的坐标为又由于，因此直线的斜率为，由，得，即，解得，∴，∴综上可知存在直线：满足题意．【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.22.已知函数，．（1）当时，求函数的单调区间；（2）设，若函数在上为减函数，求实数的最小值；（3）若，使得成立，求实数的取值范围．【答案】（1）在递增，在递减．（2）（3）【解析】试题分析：（1）先求函数导数，确定导函数零点1，列表分析导函数符号变化规律，确定函数单调区间（2）由题意得在恒成立，即利用变量分离转化为对应函数最值：的最大值，而可视作一个二次函数，根据对称轴与定义区间位置关系得最值（3）不等式存在性问题，一般利用变量分离转化为对应函数最值问题：，设，则，所以，也可分类讨论试题解析：（1）时，，，令，解得，令，解得，∴在递增，在递减．（2）由已知得，函数的定义域为，函数在上为减函数，∴在恒成立，即在恒成立．令，则，得到在恒成立，得，即的最小值为．（3）若存在，使得成立，问题等价于：存在，使得成立，问题等价于：“当时，有”，且，∵，结合（2）知：当时，．①当时，在上恒成立，即在上单调递减，则，得到成立．②当时，不满足题意，综上考点：利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式有解问题【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题。
山东省泰安市2019-2020学年中考第一次质量检测数学试题含解析
山东省泰安市2019-2020学年中考第一次质量检测数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（）A．225B．9220C．324D．4252．某几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，其主视图与左视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体最少有（）A．4个B．5个C．6个D．7个3．若a+b=3，，则ab等于（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣14．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，﹣1），C（﹣2，﹣1），D（﹣1，1）．以A为对称中心作点P（0，2）的对称点P1，以B为对称中心作点P1的对称点P2，以C为对称中心作点P2的对称点P3，以D为对称中心作点P3的对称点P4，…，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（）A．（2010，2）B．（2010，﹣2）C．（2012，﹣2）D．（0，2）5．若一组数据2，3，，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为( )A．2 B．3 C．5 D．76．2012﹣2013NBA整个常规赛季中，科比罚球投篮的命中率大约是83.3%，下列说法错误的是A．科比罚球投篮2次，一定全部命中B．科比罚球投篮2次，不一定全部命中C．科比罚球投篮1次，命中的可能性较大D．科比罚球投篮1次，不命中的可能性较小7．如图的平面图形绕直线l旋转一周，可以得到的立体图形是（）A．B．C．D．8．若抛物线y＝x2－(m－3)x－m能与x轴交，则两交点间的距离最值是（）A．最大值2，B．最小值2 C．最大值22D．最小值229．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处．若AD=3，BC=5，则EF的值是（）A．15B．215C．17D．21710．某校120名学生某一周用于阅读课外书籍的时间的频率分布直方图如图所示．其中阅读时间是8~10小时的频数和频率分别是（）A．15，0.125 B．15，0.25 C．30，0.125 D．30，0.2511．如图，a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=40°，那么∠2的度数（）A．40°B．50°C．60°D．90°12．若关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值是（ ）A ．1B ．-1C ．1或-1D ．12二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．将抛物线y ＝2x 2平移，使顶点移动到点P （﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是_____． 14．一个不透明的袋子中装有5个球，其中3个红球、2个黑球，这些球除颜色外无其它差别，现从袋子中随机摸出一个球，则它是黑球的概率是_____． 15．计算：﹣1﹣2＝_____．16．如图为两正方形ABCD 、CEFG 和矩形DFHI 的位置图，其中D ，A 两点分别在CG 、BI 上，若AB=3，CE=5，则矩形DFHI 的面积是_____．17．如图，在△ABC 中，AB=5cm ，AC=3cm ，BC 的垂直平分线分别交AB 、BC 于D 、E ，则△ACD 的周长为 cm ．18．定义一种新运算：x*y=x y y +，如2*1=211+=3，则（4*2）*（﹣1）=_____． 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）某高科技产品开发公司现有员工50名，所有员工的月工资情况如下表： 员工 管理人员 普通工作人员 人员结构 总经理 部门经理 科研人员 销售人员 高级技工 中级技工 勤杂工 员工数（名）13 2 3 24 1 每人月工资（元） 2100084002025220018001600950请你根据上述内容，解答下列问题： （1）该公司“高级技工”有 名；（2）所有员工月工资的平均数x 为2500元，中位数为 元，众数为 元；（3）小张到这家公司应聘普通工作人员．请你回答右图中小张的问题，并指出用（2）中的哪个数据向小张介绍员工的月工资实际水平更合理些；（4）去掉四个管理人员的工资后，请你计算出其他员工的月平均工资y （结果保留整数），并判断y 能否反映该公司员工的月工资实际水平．20．（6分）已知Rt OAB ∆，90OAB ∠=︒，30ABO ∠=︒，斜边4OB =，将Rt OAB ∆绕点O 顺时针旋转60︒，如图1，连接BC ． （1）填空：OBC ∠= ︒；（2）如图1，连接AC ，作OP AC ⊥，垂足为P ，求OP 的长度；（3）如图2，点M ，N 同时从点O 出发，在OCB ∆边上运动，M 沿O C B →→路径匀速运动，N 沿O B C →→路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M 的运动速度为1.5单位/秒，点N 的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x 秒，OMN ∆的面积为y ，求当x 为何值时y 取得最大值？最大值为多少？21．（6分）随着交通道路的不断完善，带动了旅游业的发展，某市旅游景区有A 、B 、C 、D 、E 等著名景点，该市旅游部门统计绘制出2017年“五•一”长假期间旅游情况统计图，根据以下信息解答下列问题：2017年“五•一”期间，该市周边景点共接待游客 万人，扇形统计图中A 景点所对应的圆心角的度数是 ，并补全条形统计图．根据近几年到该市旅游人数增长趋势，预计2018年“五•一”节将有80万游客选择该市旅游，请估计有多少万人会选择去E 景点旅游？甲、乙两个旅行团在A 、B 、D 三个景点中，同时选择去同一景点的概率是多少？请用画树状图或列表法加以说明，并列举所用等可能的结果．22．（8分）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C 游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西55°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东35°方向行驶一段距离到达古（参考数据：tan55°≈1.4，镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B、C两地的距离（结果保留整数）tan35°≈0.7，sin55°≈0.8）23．（8分）如图，已知△ABC，分别以AB,AC为直角边，向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，∠EAB=∠DAC=90°，连结BD,CE交于点F，设AB=m，BC=n.（1）求证：∠BDA=∠ECA．（2）若m=2，n=3，∠ABC=75°，求BD的长.（3）当∠ABC=____时，BD最大，最大值为____（用含m，n的代数式表示）（4）试探究线段BF,AE,EF三者之间的数量关系。
山东省新泰一中2020年学年高中高二数学上学期期中试卷试题
山东省新泰一中2020学年高二数学上学期期中试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两卷，满分150分，测试时间120分钟，第Ⅰ卷将正确的选项填涂在答题卡的相应地点，第Ⅱ卷直接答在试卷上。
第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1．命题“存在x Z，使x22x m0”的否认是（）．A．存在x Z，使x22x m0B．不存在x Z，使x22x m0C．关于随意x Z，都有x22x m0D．关于随意xZ，都有x22x m02．等差数列｛a｝中，已知前15项的和S1590，则a8等于（）．nA．45B．12C．45D．6243、抛物线y216x的焦点坐标为（）A.(0,4)B.(4,0)C.(0,4)D.(4,0)4．在ABC中，“A”是“cosA 1”的（）23A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件5.已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比和项数分别为（）A．8，2B．2，4C．4，10D．2，86．已知m0,n0，则112mn的最小值是（）m nA．5B．4C．22D．27．若b a0，则以下不等式①ab ab；②|a||b|;③11；④b a2中，a b a b正确的不等式有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个8．已知F1(1,0),F2(1,0)是椭圆的两个焦点，过F1的直线l交椭圆于M,N两点，若MF2N 的周长为8，则椭圆方程为（）（A）x 2y21（B）y2x21（C）x2y21（D）y2x21434316151615 9.等差数列的前n项和为30，前2n项的和为100，则它前3n项的和为（）A.130 C.21010、探照灯反射镜的轴截面是抛物线y22pxx0)的一部分，光源位于抛物线的焦点处，(已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，则抛物线的焦点坐标为（）A、45,0B、45,0C、45,0D、45,0 2481611．数列{a n}的前n项和为s n，若，则s5等于（）A．1B．C．D．12、双曲线C的左右焦点分别为F1,F2，且F2恰巧为抛物线y24x的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）A、2B、12C、13D、23二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．若椭圆x2y21，则实数x的取值范围是. 5414．已知x＜0，则24的最大值等于. 3xx15．将全体正整数摆列成一个三角形数阵：依据以上摆列的规律，第16行从左向右的第3个数为．16、已知双曲线x2y21的一条渐近线和圆x2y24x30相切，则该双曲线的m离心率为三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出说明文字、演算式、证明步骤．（此题满分10分）等差数列a n的前n项和记为S n，已知a1030，a2050．（１）求通项a n；（2）若S n242，求n．18．（此题满分12分）若不等式a2x22a2x40对x R恒建立，务实数a的取值范围。
山东省泰安市新泰第一中学(新泰中学校区)2024-2025学年高二上学期期中考试历史试题
新泰中学2023级高二年级期中模拟考试历史试题第Ⅰ卷选择题一、选择题(本大题有15小题，每小题3分，共45分。
每题所列的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的。
)1．商朝拥有庞大的巫职机构，史职人员附属其下，天文历法、典籍史料充斥着迷信色彩。
西周祭祀、占卜、教育都由掌礼机构管理，巫的地位低，史官等政务官职机构扩大。
这一变化说明西周（）A．宗教信仰思想淡化B．治国理政观念调整C．礼乐制度影响扩大D．国家管理机构成熟2．下图为1913年马星驰发表的题为《政党之两面观》的漫画，自左往右看，此五个字为“政党之作用”，而从右往左看，则变成了“御用系之党”。
该漫画（）A．体现了民众缺乏对民主的了解B．反映了政党政治不符合国情C．讽刺了袁氏复辟帝制倒行逆施D．揭示了当时政治转型的艰难3．1898年9月26日，清廷下旨恢复被光绪帝裁撤的机构，禁止官民直接上奏朝廷，恢复被改为学堂的庙宇。
美国驻华公使康格在10月14日写给国务卿的信中指出：这些都是“皇太后决心将时钟往后扳的最有力的确证，过不了多久，进步的钟摆就会摆回到皇帝最近开始起步的地方，这是肯定的”。
这说明，康格（）A．反思近代中国的社会变迁B．承认维新变法的进步趋向C．其意图在于干预清廷内政D．强调戊戌变法失败的缘由4．东汉后期的官僚集团大多来自于世家大族培养、举荐的子弟与门生，时人称“举秀才，不知书；察孝廉，父别居。
寒素清白浊如泥，高第良将怯如鸡”。
据此可知，当时（）A．君主权力受到制约B．社会文化水平落后C．社会阶层流动加强D．察举制度弊端严重5．《奏定学堂章程》颁行后，朝廷无力应付社会对教科书需求数量、种类的激增。
因此政府鼓励私家编纂，许以经济利益以应学堂之需。
在一段时间内，呈现官修与私纂并存、以私纂为主的教科书流通的局面。
这表明（ ）A ．新式教育蓬勃发展B ．近代教育转型艰难C ．学堂选官获得认可D ．教育体制走向完备6．下表所示为魏晋时期的相关法律制度。
山东省新泰一中2019-2020学年高二上学期第二次单元考试(12月)数学试卷Word版含答案
山东省新泰一中2019-2020学年上学期第二次单元考试（12月）高二数学试卷一．选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．命题“∃x0∈R，2≥1”的否定是（）A．∃x0∈R，2＜1 B．∃x0∈R，2≤1C．∀x∈R，2x≥1 D．∀x∈R，2x＜12．若向量=（3，2，x），=（1，0，2），=（1，﹣1，4）满足条件（﹣）⊥，则实数x的值为（）A．﹣1 B．2 C．3 D．43．若2m＞2n，则下列结论一定成立的是（）A．m|m|＞n|n| B．＞C．2m﹣n＜1 D．ln（m﹣n）＞04．等差数列{a n}中，a2+a5+a8=12，那么关于x的方程x2+（a4+a6）x+10=0（）A．无实根B．有两个相等实根C．有两个不等实根D．不能确定有无实根5．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有（）A． 12种 B． 16种 C． 20种 D． 24种6．已知{a n}是单调递增的等比数列，满足a3•a5=16，a2+a6=17，则数列{a n}的前n项和S n=（）A．2B．2C．2D．27．已知关于x的一元二次不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，则a+b的值是（）A．4 B．3 C．6 D．58．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，则“S n的最大值是S8”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．抛物线y2=2px（p＞0）上一点P到焦点的距离为3，若点P的横坐标为2，则抛物线方程为（）A．y2=6x B．y2=4x C．y2=2x D．y2=x10．若，则（）A． B． C． D．11．设x＞0．y＞0，若是9x与3y的等比中项，则+的最小值为（）A．2B．8 C．9 D．1012．双曲线C1：（a＞0，b＞0）的焦点为F1（0，﹣c）、F2（0，c），抛物线C2：的准线与C1交于M、N两点，且以MN为直径的圆过F2，则椭圆的离心率的平方为（）A．B．C．D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸给定的横线上.）13．展开式的常数项为．14．已知向量，，若，则λ= ．15．随机变量ξ的分布列为P（ξ=k）=，k=1，2，3，4，其中c为常数，则P（ξ≥2）等于．16．已知P在椭圆上，是椭圆的两个焦点，，且的三条边长成等差数列，则椭圆的离心率e =___________.三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程）17．（10分）已知命题p：方程x2+y2﹣4x+2my+2m2﹣m+2=0表示圆；命题q：方程+=1表示焦点在y 轴上的椭圆．（I）若命题p为真命题时．求实数m的取值范围；（Ⅱ）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，已知3a n=2S n+3．（1）数列的通项公式a n；（2）已知b n=（2n﹣1）•a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）如图1，在直角△ABC中，∠ABC=90°，AC=4，AB=2，D，E分别为AC，BD中点，连接AE并延长交BC于点F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD如图2所示．（1）求证：AE⊥CD；（2）求平面AEF与平面ADC所成锐二面角的余弦值．20．（12分）支付宝作为一款移动支付工具，在日常生活中起到了重要的作用．（1）通过现场调查12位市民得知，其中有10人使用支付宝．现从这12位市民中随机抽取3人，求至少抽到2位使用支付宝的市民的概率；（2）为了鼓励市民使用支付宝，支付宝推出了“奖励金”活动，每使用支付宝支付一次，分别有，，的概率获得0.1，0.2，0.3元奖励金，每次支付获得的奖励金情况互不影响．若某位市民在一天内使用了2次支付宝，记X为这一天他获得的奖励金数，求X的概率分布和数学期望．21．（12分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元（a＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？22．（12分）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，离心率为，M，N分别是椭圆的上、下顶点，．（1）求椭圆E的方程；（2）若直线y=kx+m与椭圆E交于相异两点A，B，且满足直线MA，MB的斜率之积为，证明：直线AB恒过定点，并求定点的坐标．山东省新泰一中2019-2020学年高二上学期第二次单元考试（12月）数学试卷参考答案一．选择题DCACBD BCBCCC二．填空题13. ﹣160． 14. 1 15. 16.三．解答题17. 解：命题P：方程x2+y2﹣4x+2my+2m2﹣m+2=0即（x﹣2）2+（y+m）2=﹣m2+m+2表示圆，∴﹣m2+m+2＞0，解得﹣1＜m＜2，命题q：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆．∴5﹣a＞m﹣1＞0，解得1＜m＜6﹣a，（a＜5）．（Ⅰ）若命题p为真命题时．则实数m的取值范围是﹣1＜m＜2；（Ⅱ）若p是q的必要不充分条件，则q⇒p，∴1＜6﹣a≤2，解得4≤a＜5．∴实数a的取值范围是4≤a＜5．18．解：（1）3a n=2S n+3，可得3a1=2S1+3=2a1+3，解得a1=3，当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1，3an =2Sn+3，3an﹣1=2Sn﹣1+3，两式相减可得3an ﹣3an﹣1=2an，即an =3an﹣1，可得数列{an}为首项为3，公比为3的等比数列，可得an=3n，n∈N，（2）bn =（2n﹣1）•an=（2n﹣1）•3n，前n项和Tn=1•3+3•32+5•33+…+（2n﹣1）•3n，3Tn=1•32+3•33+5•34+…+（2n﹣1）•3n+1，两式相减可得﹣2Tn=3+2（32+33+…+3n）﹣（2n﹣1）•3n+1 =3+2•﹣（2n﹣1）•3n+1，化简可得T=3+（n﹣1）•3n+1．n19.解：（1）证明：由条件可知AB=AD，E为BD的中点，所以AE⊥BD，又面ABD⊥面BDC，面ABD∩面BCD=BD，且AE⊂面ABD，所以AE⊥面BCD，又因为CD⊂平面BCD，所以AE⊥CD．（2）以E为坐标原点O，EF，ED，EA所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，在直角三角形ABF中，可得BF=2tan30°=2，可得EF=2cos60°=1，可得E（0，0，0），A（0，0，3），D（0，，0），C（3，2，0），B（0，﹣，0），由BE⊥平面AEF，可得平面AEF的法向量为=（0，﹣，0），=（0，，﹣3），=（3，2，﹣3），设平面ADC的法向量为=（x，y，z），由，令y=，可取=（﹣1，，1），可得cos＜，＞===﹣，则平面AEF与平面ADC所成锐二面角的余弦值为．20.解：（1）至少抽到2位使用支付宝的市民的概率为：=．（2）X的概率分布如下：EX=0.2×+0.3×+0.4×+0.5×+0.6×=．21.解：（1）由题意，得10（1000﹣x）（1+0.2x%）≥10×1000，即x2﹣500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500名员工从事第三产业．（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元，则，所以≤，所以，即恒成立．因为，当且仅当，即x=500时等号成立，所以a≤5，又a＞0，所以0＜a≤5．所以a的取值范围为（0，5]．22（1）解：由题知F2（c，0），M（0，b），N（0，﹣b），可得，，∴，①由e=，得a=2c，②又a2﹣b2=c2，③由①②③联立解得：a2=4，b2=3，∴椭圆E的方程为；（2）证明：由椭圆E的方程得，上顶点M（0，），设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知，x1≠0，x2≠0．由，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0．∴，，又，．由，得，即：，∴，化简得：．解得：或m=，结合x1≠0，x2≠0，可得m=．即直线AB恒过定点（0，2）．。
新泰市高中2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷数学
新泰市高中2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（a＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（）A．f（x）=sin（3x+）B．f（x）=sin（2x+）C．f（x）=sin（x+）D．f（x）=sin（2x+）2．函数的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应该是（）A．10 B．11 C．12 D．133．在△ABC中，若A=2B，则a等于（）A．2bsinA B．2bcosA C．2bsinB D．2bcosB4．已知点M的球坐标为（1，，），则它的直角坐标为（）A．（1，，）B．（，，）C．（，，）D．（，，）5．设集合M={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}，N={（x，y）|x2﹣y=0，x∈R，y∈R}，则集合M∩N中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标系是( )。
ABCD7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．28．下列命题正确的是（）A ．已知实数,a b ，则“a b >”是“22a b >”的必要不充分条件B ．“存在0x R ∈，使得2010x -<”的否定是“对任意x R ∈，均有210x ->”C ．函数131()()2xf x x =-的零点在区间11(,)32内D ．设,m n 是两条直线，,αβ是空间中两个平面，若,m n αβ⊂⊂，m n ⊥则αβ⊥9． （理）已知tan α=2，则=（ ）A ．B ．C ．D ．10．下列命题中错误的是（ ）A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B ．圆锥的轴截面是所在过顶点的截面中面积最大的一个C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面D ．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形11．若直线L ：047)1()12(=--+++m y m x m 圆C ：25)2()1(22=-+-y x 交于B A ,两点，则弦长||AB 的最小值为（ ）A ．58B ．54C ．52D ．5 12．设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限二、填空题13．设抛物线24y x =的焦点为F ，,A B 两点在抛物线上，且A ，B ，F 三点共线，过AB 的中点M 作y 轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P ，若32PF =，则M 点的横坐标为 . 14．长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱AB=AD=4cm ，AA 1=2cm ，则点A 1到平面AB 1D 1的距离等于 cm ．15．设x ，y 满足的约束条件，则z=x+2y 的最大值为 ．16．已知()f x 是定义在R 上函数，()f x '是()f x 的导数，给出结论如下： ①若()()0f x f x '+>，且(0)1f =，则不等式()xf x e -<的解集为(0,)+∞；②若()()0f x f x '->，则(2015)(2014)f ef >； ③若()2()0xf x f x '+>，则1(2)4(2),n n f f n N +*<∈；④若()()0f x f x x'+>，且(0)f e =，则函数()xf x 有极小值0； ⑤若()()xe xf x f x x'+=，且(1)f e =，则函数()f x 在(0,)+∞上递增．其中所有正确结论的序号是 ．17．【泰州中学2018届高三10月月考】设二次函数()2f x ax bx c =++（,,a b c 为常数）的导函数为()f x '，对任意x R ∈，不等式()()f x f x ≥'恒成立，则222b ac +的最大值为__________．18．设全集______.三、解答题19．（本小题满分12分）已知在ABC ∆中，角C B A ，，所对的边分别为，，，c b a 且)3(s i n))(sin (sin c b C a b B A -=-+. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ） 若2a =，ABC ∆，求c b ,.20．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为1()16t ay -=（a 为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：（1）写出从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室。
山东省泰安第一中学2019-2020高二数学10月学情检测试题
2018-2019学年度第一学期阶段检测高二数学试题2018.10第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若数列的前4项分别是1111,,,2345--，则此数列的一个通项公式为（ ） A.1(1)1n n +-+ B.(1)1n n -+ C.(1)n n - D.1(1)n n-- 2. 已知实数,,,a b c d R ∈，且b a >，d c >，那么下列不等式一定正确的是（ ）A ．22ac bc >B ．bd ac >C ．d b c a ->-D ．c b d a ->-3. 关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的正实根，则实数m 的取值范围是（ ）A.2m <-B. 0m <C. 1m <D. 0m >4. 中国古代数学著作《张丘建算经》卷上二十三“织女问题”：今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何，其意思为：有一个女子很会织布，一天比一天织得快，而且每天增加的长度都是一样的，已知第一天织5尺，经过一个月（30天）后，共织布九匹三丈，问每天多织布多少尺？（注：1匹=4丈，1丈=10尺）.A ．390B ．1631 C. 1629 D ． 1329 5.关于x 的不等式22(4)(2)10a x a x -++-≥的解集是空集，则实数a 的范围为（ ） A.6(2,)5- B.6[2,)5- C.6[2,]5- D.6[2,){2}5-6. 若,,m n R ∈且0,m n +>则关于x 的不等式()()0m x n x -+>的解集为（ ）A ．{}x x n x m <->或B ．{}x n x m -<< C.{}x m x n -<< D.{}x x m x n <->或7.已知各项为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a 的一个等比中项为，则7112a a +的最小值为（ ）A.1 B ．4 C.D ．88. 若关于x 的不等式23ax -<的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则实数a =（ ）A.15 B ．-3 C.35 D ．35- 9. 已知数列为等差数列，若，且它们的前n 项和有最大值，则使得的n 的最大值为 A ．19 B. 20 C. 21 D. 2210.设}{n a 是等差数列，下列结论中正确的是（ ）A ．若031<+a a ，则021<+a aB ．若210a a <<，则312a a a >C.若031>+a a ，则021>+a aD.若01<a ，则0))((3212>--a a a a11.已知函数()5f x x =-，当19x ≤≤时，()1f x >恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．133m <B ．5m <C ．4m <D ．5m ≤12.定义函数()f x 如下表，数列{}n a 满足1()n n a f a +=，*n N ∈. 若12a =，则1232018++++=a a a a ⋅⋅⋅（ ）A. 7042B. 7058C. 7063D. 7262 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 函数)3(31>-+=x x x y 的最小值为 ． 14.已知正实数,a b 满足14+1a b =，则ab 的最小值为 ． 15.已知n S 是数列}{n a 的前n 项和，若12a =，+1=2n n S a ，*n N ∈.则6=S ．16．将等差数列1，4，7……，按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵.根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第3个数是三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）解下列关于x 的不等式：（1）321≥-+x x ； （2）)(0222R a a ax x ∈≤--.18. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且11a =-，11b =，222a b +=.（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式；（2）若321T =，求3S .19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S .其中12a =，24a =，且2n ≥时，有1122n n n S S S +-+=+成立.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列211n n b a ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是首项与公比均为2的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和为n T .20. （本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，212a =. 且对*n N ∈，有212n n a a +=. （1） 设212n n n b a a -=+，求证：数列{}n b 为等比数列，并求{}n b 的通项公式；（2） 求数列{}n a 的前2n 项和2n S .21. （本小题满分12分）一个生产公司投资A 生产线500万元，每万元可创造利润1.5万元.该公司通过引进先进技术，在生产线A 投资减少了x 万元，且每万元的利润提高了0.5%x ；若将少用的x 万元全部投入B 生产线，每万元创造的利润为131.5()1000a x -万元，其中0a >. （1）若技术改进后A 生产线的利润不低于原来A 生产线的利润，求x 的取值范围；（2）若生产线B 的利润始终不高于技术改进后生产线A 的利润，求a 的最大值.22. （本小题满分12分）设公差不为0的等差数列{}n a 的首项为1，且2514,,a a a 构成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式，并求数列+12n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ；（2）令+12cos(1)n n n c a a n π+=+，若221tn c c c n ≥+++ 对*N n ∈恒成立，求实数t 的取值范围.2018-2019学年度第一学期阶段监测高二数学试题 2018.10第Ⅰ卷（共60分） ADACBB DBABCC 13. 5 14.16 15. 24316 16.577三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.解：（I ）将原不等式化为0272≤--x x ，即),2(0)2)(72(≠≤--x x x ,272 ≤<∴x所以原不等式的解集7{2}2x x <≤ .（II ）当0a =时，不等式的解集为{0}；当0a ≠时，原不等式等价于()(2)0x a x a +-≤，因此 当0a >时，2a a -<， 2,a x a ∴-≤≤当0a <时，2a a ->， 2,a x a ∴≤≤-综上所述，当0a =时，不等式的解集为{0}，当0a >0a <时，18.解：设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则()111,,n n n a n d b q -=-+-=由222a b +=得：3d q += ①（1）由335a b +=得：226d q += ② 联立①和②解得3,0d q =⎧⎨=⎩（舍去），12d q =⎧⎨=⎩， 因此{}n b 的通项公式12n n b -=(2)由131,21b T ==得2200q q +-=解得5,4q q =-=当5q =-时，由①得8d =，则321S =.当4q =时， 由①得1d =-，则36S =-.19.解：（1 （2）∴- +122n +-20. 见步步高黄皮118页15题21.解：（1）由题意得：1.5(500)(10.5%) 1.5500x x -+≥⨯．…………………2分整理得：23000x x -≤， ……………………………………3分 故0300x <≤． ……………………………………4分（2）由题意知，生产线B 的利润为131.5()1000a x x -万元， …………………5分技术改进后，生产生A 的利润为1.5(500)(10.5%)x x -+万元，…………………6分 则131.5() 1.5(500)(10.5%)1000a x x x x -≤-+恒成立， ………………………7分 ∴235001252x ax x ≤++，且0x >， ∴50031252x a x ≤++． ………………………………………………………9分 ∵5004125x x+≥，当且仅当250x =时等号成立，………………………………11分 ∴0 5.5x <≤，∴a 的最大值为5.5． …………………………………………………12分22.（Ⅰ）21n a n =- 1， 12(-⨯n n ，-得(2)(21)(23)cos(1)n c n n n π=+++,当n 为奇数时，1)1cos(=+πn ，=+⨯+++⨯-⨯+⨯-⨯=+++)32()12(11997755321n n c c c n .7624)1)(82(415)12117(4532++=-+⨯+=++++⨯+⨯n n n n n , 2tn T n ≥ ,762 22tn n n ≥++∴当n 为偶数时，1)1cos(-=+πn ，=+⨯+-+⨯-⨯+⨯-⨯=+++)32()12(11997755321n n c c c n.62)121395(42n n n --=+++++⨯-, 2tn T n ≥ ,62 22tn n n ≥--∴,62 nt --≤∴.5 -≤∴t 综上所述， 5.t ≤-。
【精准解析】山东省泰安市新泰一中2019-2020学年高二上学期第二次质量检测考试数学试题
设 BC＝CA＝CC1＝2，则 AD 5 ，AF1 5 ，DF1 6 ,
在△DF1A 中，由余弦定理得 cos∠DF1A 30 ， 10
故选 B．
【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力， 属于基础题．
7.已知点 M 是抛物线 y2 4x 上的一点，F 为抛物线的焦点，点 A 在圆 C : (x 4)2 ( y 1)2 1 上，则 MA MF 的最小值为（ ）
因为 AB a, AD b , AA1 c ，
则
A1A1a121
AB bc
AD
即
2 BM
2 1
Hale Waihona Puke a1bc
，
22
故选：D.
【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.
a 3.在 R 上定义运算 b
c d
ad
bc
，若
x x
32 x1
0 成立，则 x 的取值范围是
且开口向左，其准线方程为 x 2 .
故选 B． 考点：抛物线的几何性质．
2.在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1 的交点，若
AB
a,
AD
b
,
AA1
c
，则与
BM
相等的向量是（
）
A
1
a
1
b
c
12a
12b
c
22
【答案】D
B.
1
a
1
b
c
使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要
利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意
山东省新泰一中2018_2019学年高二数学上学期第一次质量检测试题2019020201115
新泰一中2017级高二上学期第一次质量检测数学试题第I 卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共60分）1．已知等比数列的前项和为，，且满足成等差数列，则等于( )A ．B ．C ．D ． 2．下列结论正确的是（ ）A ． 当x ＞0且x ≠1时，lgx+≥2 B． 当x ＞1时，≥2C ． 当x ≥2时，x+有最小值2D ． 当0<x<2时，x ﹣有最大值3．已知等比数列的前n 项和为，若，且，，成等差数列，则A ． 10B ． 12C ． 18D ． 304．一同学在电脑中打出圆圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前2012个圈中的●的个数是 （ ）A ．B ．C ．D ．5．设函数，若对于，恒成立，则实数m 的取值范围为A ．B ．C ．D ．6．关于的不等式()的解集为,且,则( )A ．B ．C ．D ．7．已知a ，b ，c∈R，那么下列命题中正确的是( )A ． 若a>b ，则ac 2>bc 2B．若，则a>bC．若a3>b3且ab<0，则D．若a2>b2且ab>0，则8．若正数x,y满足x-4y+xy=0，则的最大值为( )A． B． C． D．9．等差数列{a n}的前4项和为30，前8项和为100，则它的前12项的和为( )A． 110 B． 200 C． 210 D． 26010．下列函数中，最小值为4的是（）A． B.C．（） D．11．等比数列的首项，前项和为，若，则数列的前项和为（）A． B． C． D．12．若是等差数列，首项，则使前项和成立的最大自然数n是( )A． 46 B． 47 C． 48 D． 49第II卷（非选择题）二、填空题（每小题5分共20分）13．记等差数列的前项和为，若，，则____．14．已知，，且，若恒成立，则实数m的取值范围是______．15．数列满足则______．16．数列是首项，公差为的等差数列，其前和为，存在非零实数，对任意有恒成立，则的值为__________．三、解答题（写出解题的必要步骤，第17题10分，其余的每题12分共70分）17．已知不等式（a R）.（1）当时，求此不等式的解集；（2）若不等式的解集非空，求实数a的取值范围．18．已知在等比数列中, ,且是和的等差中项.（1）求数列的通项公式;（2）若数列满足,求的前项和.19．已知是公差不为零的等差数列，的前项和为，若成等比数列，且.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求的值.20．设数列满足.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．21．甲、乙两地相距S km，汽车从甲地行驶到乙地，速度不得超过C km/h，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度x(km/h)的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元，（1）把全程运输成本(元)表示为速度()的函数，指出定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？22．已知数列的前项和.(I) 求证：数列为等差数列；(II) 求数列的前项和．新泰一中2017级高二上学期第一次质量检测数学试题答案选择题：CBACD CCACB AA（13）14 （14)－4<m （ 15）21- (16)1或21-17．(1);(2).【详解】（1）当时，不等式为，解得， 故不等式的解集为；（2）不等式的解集非空，则， 即，解得，或， 故实数的取值范围是．18．(1) (2)(1)设等比数列的公比为,则,, ∵是和的等差中项, ∴, 即, 解得, ∴. (2) , 则..19．（1）（2）30详解：（1）解：由题意知，，由于,整理得，代入，解得：，所以（2）解法一：由可知，即解法二：由可知，20．（1）；（2）.（1）（2）由（1），∴. 21．（1）,；（2）为使全程运输成本最小，当时，行驶速度应为；当时，行驶速度应为.详解：(1)由题知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，所以全程运输成本为，.（2）由题知,都为正数，故有，当且仅当，即时上式等号成立；若，则当时，全程运输成本最小；若，由题得函数在单调递减，所以当时，全程运输成本最小.综上：为使全程运输成本最小，当时，行驶速度应为；当时，行驶速度应为.22．（1）见解析（2）（I）解：由及得所以,又,所以,是以-1为首项，-1为公差的等差数列(II)由（I）得，所以（1）-（2）得所以.。
山东省新泰市第一中学老校区(新泰中学)2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题
新泰中学高二年级2020年第一次阶段性数学检测试题考试时间：120分钟 满分150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)一、单选题.(共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1. 已知向量()()1,1,01,0,2a b ==-，且2ka b a b +-与互相垂直，则k 的值是 ( ) A.75B. 2C.53D. 1【答案】A 【解析】 【分析】由向量垂直，可得对应向量数量积为0，从而可求出结果. 【详解】因为()()1,1,01,0,2a b ==-，，所以1a b =-，25a b ==，，又2ka b a b +-与互相垂直，所以()()20ka b a b +-=，即22220k a ka b a b b -+-=，即4250k k +--=，所以75k =;故选A【点睛】本题主要考查向量的数量积的坐标运算，属于基础题型.2. {},,a b c 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（ ）A. {},,a a b a b +-B. {},,b a b a b +-C. {},,c a b a b +-D. {},,2a b a b a b +-+【答案】C 【解析】直接利用基底的定义和共线向量的应用求出结果． 【详解】解：对于{a 、b 、}c 为空间的一组基底， 所以对于()()2a b a b a ++-=与a 共线，故选项A 错误． 对于()()2a b a b b +--=与b 共线，故选项B 错误．对于c 和a b a b +-与不共线向量，所以可以作为基底，故选项C 正确． 对于312()()22a b a b a b +=++-，所以不可以作为向量的基底，故选项D 错误． 故选：C ．【点睛】本题考查的知识要点：基底的定义，共线向量，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．3. 在空间直角坐标系O xyz -中，记点()1,2,3A 在xOz 平面内的正投影为点B ，则OB =（ ） 5101314【答案】B 【解析】 【分析】求出B 点坐标，然后计算OB ．【详解】点()1,2,3A 在xOz 平面内的正投影为点(1,0,3)B ，则2210310OB =++= 故选：B.【点睛】本题考查空间点在坐标平面上的投影，考查空间两点间距离．属于基础题． 4. 已知m 是实常数，若方程22240x y x y m ++++=表示的曲线是圆，则m 的取值范围为（ ） A. (),20-∞B. (),5-∞C. ()5,+∞D.()20,+∞【答案】B【分析】由方程表示的曲线为圆，可得出关于实数m 的不等式，解出即可.【详解】由于方程22240x y x y m ++++=表示的曲线为圆，则222440m +->，解得5m <.因此，实数m 的取值范围是(),5-∞. 故选：B.【点睛】本题考查利用圆的一般方程求参数，考查计算能力，属于基础题. 5. 已知点P (－1,1)与点Q (3,5)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A. x －y ＋1＝0 B. x －y ＝0 C. x ＋y －4＝0 D. x ＋y ＝0【答案】C 【解析】PQ 中点()1,3，直线斜率11PQk k =-=-，所以直线为()31y x -=--， 即40x y +-=，故选C ．6. 已知直线()1:21230l x a y a +-+-=，22:340l ax y a +++=，则“32a =”是“12l l //”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先根据直线12l l //求出a 的值,再判断充要关系即可. 【详解】若12l l //,则()213a a -=,解得32a =或1a =-.当1a =-时,直线1l 的方程为350x y --=,直线2l 的方程为350x y -++=,两直线重合,所以32a =,所以“32a =”是“12l l //”的充要条件.易错警示:很多考生根据12l l //求出32a =或1a =-后,直接得出结论,而忽略排除两直线重合的情况,从而错选A. 故选：C.【点睛】本题主要考查充要关系的判断、两直线平行,考查的数学核心素养是数学运算、逻辑推理.7. 直线2cos 30,63x y ππαα⎛⎫⎡⎤--=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的倾斜角的取值范围是（ ） A. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. ,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】根据直线方程求出直线的斜率2cos k α=，再由α的范围即可求解. 【详解】直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈3⎡⎣．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈3⎡⎣．又θ∈[0，π)，且正切函数在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为单调递增函数， 结合正切函数的图像可知 所以θ∈,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即倾斜角的取值范围是,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：B【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角，需熟记直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题. 8. 在如图的正方体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '中，AB ＝3，点M 是侧面BCC 'B '内的动点，满足AM ⊥BD '，设AM 与平面BCC 'B '所成角为θ，则tan θ的最大值为（ ）A.22B.2C.43D.34【答案】B 【解析】 【分析】构建以B 为原点，,,CB AB BB '分别为,,x y z 轴的正方向构建空间直角坐标系，根据正方体棱长标识,,,A B B D ''，令(,0,)M x z 结合AM ⊥BD '有3z x =+且30x -≤≤，而AM 与平面BCC 'B '所成角的平面角为AMB ∠，即有2||tan ||269AB MB x x θ==++，即可求tan θ的最大值.【详解】如下图，以B 为原点，,,CB AB BB '分别为,,x y z 轴的正方向构建空间直角坐标系，则有(0,3,0),(0,0,0),(0,0,3),(3,3,3)A B B D ''---，令(,0,)M x z ，∴(,3,)AM x z =，(3,3,3)BD '=--，又AM ⊥BD '，有3z x =+且30x -≤≤， AM 与平面BCC 'B '所成角为θ，即AMB θ∠=，而(,0,3)BM x x =+，∴22tan 392692()22x x x θ==++++，30x -≤≤， ∴当32x =-时，max (tan )2θ= 故选： B.【点睛】本题考查了利用空间向量求线面角的最值，综合应用了向量垂直的坐标公式，线面角，以及利用二次函数求最值.二、多选题(共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，至少有一个选项是符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分)9. 下面四个结论正确的是（ ）A. 向量(),0,0a b a b ≠≠，若a b ⊥，则0a b ⋅=．B. 若空间四个点P ，A ，B ，C ，1344PC PA PB =+，则A ，B ，C 三点共线． C. 已知向量()1,1,a x =，()3,,9b x =-，若310x <，则,a b 为钝角．D.任意向量a ，b ，c 满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅． 【答案】AB 【解析】 【分析】由向量垂直的充要条件可判断A ；由题意11334444PC PA PB PC -=-，即可判断B ；举出反例可判断C ；由向量的数量积运算不满足结合律可判断D.即可得解. 【详解】由向量垂直的充要条件可得A 正确；1344PC PA PB =+，∴11334444PC PA PB PC -=-即3AC CB =， ∴A ，B ，C 三点共线，故B 正确；当3x =-时，两个向量共线，夹角为π，故C 错误； 由于向量的数量积运算不满足结合律，故D 错误．故选：A 、B【点睛】本题考查了向量垂直的判定、利用向量证明点共线和向量数量积的应用，属于基础题.10. 已知直线l ：2(1)10a a x y ++-+=，其中a R ∈，下列说法正确的是（ ） A. 当a ＝－1时，直线l 与直线x ＋y ＝0垂直 B. 若直线l 与直线x －y ＝0平行，则a ＝0 C. 直线l 过定点(0，1)D. 当a ＝0时，直线l 在两坐标轴上的截距相等 【答案】AC 【解析】 【分析】利用两直线平行、垂直以及过定点和在两轴上的截距分析直线方程的特征，逐项分析，得到结果.【详解】对于A 项，当a ＝－1时，直线l 的方程为10x y -+=，显然与x ＋y ＝0垂直，所以正确；对于B 项，若直线l 与直线x －y ＝0平行，可知2(1)(1)1(1)a a ++⋅-=⋅-， 解得0a =或1a =-，所以不正确；对于C 项，当0x =时，有1y =，所以直线过定点(0,1)，所以正确； 对于D 项，当a ＝0时，直线l 的方程为10x y -+=， 在两轴上的截距分别是1,1-，所以不正确； 故选：AC.【点睛】该题考查的是有关直线的问题，涉及到的知识点有两直线平行，两直线垂直，直线过定点问题，直线在两轴上的截距的求解，属于简单题目. 11. 下列说法的正确的是 （ ） A. 经过定点的直线都可以用方程()00y y k x x -=-表示． B. 经过定点的直线都可以用方程y kx b =+表示．C. 不经过原点的直线都可以用方程表示．D. 经过任意两个不同的点的直线都可以用方程()()()()121121y y x x x x y y --=--表示．【答案】D 【解析】 【详解】 【分析】解：因为选项A 中缺少了斜率不存在的直线，因此错误 选项B 中，也是同上选项C 中，表示的缺少与x 轴平行和与y 轴平行的直线，因此错误，选D 12. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1DD 的中点，则（ ）A. 直线1//B C 平面1A BDB. 11B C BD ⊥C. 三棱锥11C B CE -的体积为13D. 异面直线1B C 与BD 所成的角为60︒【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一验证即可；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()10,0,1A ，()11,0,1B ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，()1B C 0,1,1=-，()11,1,1BD =-，()1,1,0BD =-，()11,0,1BA =-所以()111011110B C BD=-⨯+⨯+-⨯=，即11BC BD⊥，所以11B C BD⊥，故B正确；()11011101B C BD=-⨯+⨯+-⨯=，12B C=，2BD=，设异面直线1B C与BD所成的角为θ，则111cos2B C BDB C BDθ==，又0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3πθ=，故D正确；设平面1A BD的法向量为(),,n x y z=，则1·0·0n BAn BD⎧=⎨=⎩，即x yx z-+=⎧⎨-+=⎩，取()1,1,1n=，则()10111110n B C=⨯+⨯+⨯-=，即1Cn B⊥，又直线1B C⊄平面1A BD，所以直线1//B C平面1A BD，故A正确；111111111111113326C B CE B C CE C CEV B C SV-∆-===⨯⨯⨯⨯=⋅，故C错误；故选：ABD【点睛】本题考查空间向量法在立体几何中的应用，属于中档题.第II卷（非选择题)三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13 已知A（1，－2，11）、B（4，2，3）、C（x，y，15）三点共线，则xy=___________.【答案】2．【解析】试题分析：由三点共线得向量AB与AC共线，即AB k AC=，(3,4,8)(1,2,4)k x y-=-+，124348x y-+==-，解得12x=-，4y=-，∴2xy=．考点：空间三点共线．14. 已知圆C 的圆心在直线230x y --=上，且过点3(2,)A -，(2,5)B --，则圆C 的标准方程为_________【答案】22(1)(2)10x y +++= 【解析】 【分析】由圆心在直线230x y --=上有(23,)C m m +，设半径为r 结合所过点,A B 即可求圆C 的标准方程.【详解】圆C 的圆心在直线230x y --=上，令(23,)C m m +，半径为r ， ∴圆C 的方程为：222(23)()x m y m r --+-=，又3(2,)A -，(2,5)B --，有()()()()222222213{255m m r m m r+++=+++=，解得2210m r =-⎧⎨=⎩，有(1,2)C --， 故答案为：22(1)(2)10x y +++=；【点睛】本题考查了求圆的标准方程，根据圆心位置、所过的点求圆的方程，属于简单题. 15. 已知一个等腰三角形ABC 的一个顶点是A (4,2)，底边的一个端点B (3,5)，底边另一个端点C 的轨迹方程是___________.【答案】22(4)(2)10x y -+-=（去掉（3,5），（5,-1）两点） 【解析】 【分析】根据等腰三角形和已知顶点A (4,2)，一个端点B (3,5)，利用腰相等且能构成三角形即可求端点C 的轨迹方程；【详解】由题意知：设另一个端点(,)C x y ，腰长为22(34)(52)10r =-+-=∴C 的轨迹方程：22(4)(2)10x y -+-=，又由A 、B 、C 构成三角形，即三点不可共线，∴需要去掉重合点（3,5），反向共线点（5,-1），故答案为：22(4)(2)10x y -+-=（去掉（3,5），（5,-1）两点）【点睛】本题考查了轨迹方程，利用等要三角形的性质及三角形三点不共线求轨迹方程，属于基础题.16. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M ，N 分别是棱BC ，1CC 的中点，则二面角C AM N --的余弦值为__．若动点P 在正方形11BCC B （包括边界）内运动，且1//PA 平面AMN ，则线段1PA 的长度范围是__．【答案】 (1).23 (2). 3252⎡⎢⎣， 【解析】 【分析】 易知NQC ∠为二面角C AM N --的平面角，利用相似的性质可求得CQ ，进而求得NQ ，由此得解二面角C AM N --的余弦值；建立空间直角坐标系，可求得点P 的轨迹为经过1BB ，11B C 中点的线段，再根据对称性即可求得线段1PA 长度的最值，进而得到取值范围．【详解】解：延长AM 至Q ，使得CQ AQ ⊥，连接NQ ，如图，由于1111ABCD A B C D -为正方体，由三垂线定理易知NQC ∠为二面角C AM N --的平面角， 而2sin sin 521CQ AB CMQ AMB CM AM ∠=∠====+，故55CQ == ∴22()155NQ =+=， ∴2cos 3CQ NQC NQ ∠==； 以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设(P m ，2，)(0n m ，2)n ，(2A ，0，0)，(1M ，2，0)，(0N ，2，1)，1(2A ，0，2)，则(1,2,0),(2,2,1)AM AN =-=-，1(2,2,2)A P m n =--，设平面AMN 的一个法向量为(,,)v x y z =，则·20·220v AM x y v AN x y z ⎧=-+=⎨=-++=⎩， 故可取(2,1,2)v =，又1//PA 平面AMN ，∴12(2)22(2)30A P v m n m n =-++-=+-=， ∴点P 的轨迹为经过1BB ，11BC 中点的线段，根据对称性可知，当点P 在两个中点时，21||215max PA =+=，当点P 在两个中点的中点时，221232||(5)()22min PA =-=， 故选段1PA 的长度范围是32[,5]2． 故答案为：23，32[,5]2．四、解答题(共6小题，70分)17. 已知空间中三点(2,0,2)A -，(1,1,2)B -，(3,0,4)C -，设a AB =，b AC =.（1）求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；（2）若ka b +与2ka b -互相垂直，求实数k 的值.【答案】（1）1010-；（2）52k =-或2k =. 【解析】【分析】（1）先写出a ，b ，再根据空间向量的夹角公式直接求解即可；（2）根据空间向量垂直的坐标表示直接求解即可得答案.【详解】（1）∵()1,1,0a AB ==，()1,0,2b AC ==-，设a 与b 的夹角为θ，∴10cos 10|a ba b θ⋅===-∣； （2）∵()1,,2ka b k k +=-，()22,,4ka b k k -=+-且()()2ka b ka b +⊥-，∴2(1)(2)80k k k -++-=，即：52k =-或2k =. 【点睛】本题考查空间向量的夹角的计算，空间向量的垂直求参数，考查运算能力，是基础题.18. 如图，已知M 、N 分别为四面体ABCD 的面BCD 与面ACD 的重心，且G 为AM 上一点，且:1:3GM GA =，设AB a =，AC b =，AD c =，试用a ，b ，c 表示BG ，BN ．【答案】BG 311444a b c =-++；BN 1133b c a =+-． 【解析】【分析】根据向量的加减法计算即可．【详解】解：14BG BM MG BM AM =+=- 131()444BM AB BM BM a =-+=- 3211()4324BC BD a =⨯⨯+- 11()44b ac a a =-+-- 311444a b c =-++； 21()32BN AN AB AC AD AB =-=⨯+- 1133b c a =+-． 【点睛】本题主要考查向量的加减法和几何表示，属于基础题.19. 求过点(2,3)P ，且满足下列条件的直线方程：（1）倾斜角等于直线340x -+=的倾斜角的二倍的直线方程； （2）在两坐标轴上截距相等的直线方程．【答案】（13330x y -+-= ．（2）320x y -=或50x y +-= ．【解析】分析：（1）求出直线的倾斜角，利用点斜式求出直线方程；（2）分类讨论，可得在两坐标轴上截距相等的直线方程.详解：（1） 由题意，可知 3tan α=，所以 30α=， 则 tan2tan603k α=== )332y x --，33230x y -+-=．（2） 当直线过原点时方程为：32y x =，当直线不过原点时方程为：155x y +=． 故所求直线的方程为 320x y -= 或 50x y +-=．点睛：本题考查直线方程，考查分类讨论的数学思想.20. 已知ABC ∆的顶点(2,8)C -，直线AB 的方程为211y x =-+，AC 边上的高BH 所在直线的方程为320x y ++=（1）求顶点A 和B 的坐标；（2）求ABC ∆外接圆的一般方程.【答案】（1）()5,1和()7,3-；（2）2246120x y x y +-+-= 【解析】 【分析】（1）联立直线AB 与直线BH 的方程可得点B 的坐标，由AC BH ⊥，进而设出直线AC 的方程，将C 的坐标代入得方程，再与直线AB 方程联立即可得点A 的坐标；（2）由（1）知A ，B ，C 的坐标，设ABC ∆外接圆的一般方程，代入求解即可.【详解】（1）由211320y x x y =-+⎧⎨++=⎩可得顶点(7,3)B -, 又因AC BH ⊥得，13BH k =- 所以设AC 的方程为3y x b =+，将(2,8)C -代入得14b =-由211314y x y x =-+⎧⎨=-⎩可得顶点为(5,1)A 所以A 和B 的坐标分别为(5,1)和(7,3)-（2）设ABC ∆的外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，将(5,1)A 、(7,3)B -和(2,8)C -三点的坐标分别代入，得52607358028680D E F D E F D E F +++=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩，解得4612D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以ABC ∆的外接圆的一般方程为2246120x y x y +-+-=.【点睛】本题主要考查两直线交点的求法，待定系数法求圆的方程，属于基础题.21. 已知直线方程为()()221340m x m y m -++++=.（1）证明：直线恒过定点；（2）m 为何值时，点()3,4Q 到直线的距离最大，最大值为多少？（3）若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于,A B 两点，求AOB 面积的最小值及此时直线的方程.【答案】（1）证明见解析（2）47=m ；213（3）最小值为4；此时直线的方程240x y ++= 【解析】【分析】（1）证明：利用直线是直线系求出直线恒过定点，即可；（2）点(3,4)Q 到直线的距离最大，转化为两点间的距离，求出距离就是最大值．（3）若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于A ．B 两点，设出直线的方程，求出A ，B ，然后求出AOB ∆面积，利用基本不等式求出的最小值及此时直线的方程．【详解】（1）证明：直线方程为()()221340m x m y m -++++=，可化为()()24230x y m x y +++-++=，对任意m 都成立，所以230240x y x y -++=⎧⎨++=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，所以直线恒过定点()1,2--；（2）解：点()3,4Q 到直线的距离最大，可知点Q 与定点()1,2P --的连线的距离就是所求最大值， ()()223142213+++=423312PQ k +==+， ()()221340m x m y m -++++=的斜率为23-， 可得22321m m --=-+，解得47=m . （3）解：若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于,A B 两点，直线方程为()21y k x +=+，k 0<，则21,0A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,2B k -， ()121222121222242222AOB k k S k k k k k k --⎛⎫⎛⎫=--=--=++≥+⋅= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭△，当且仅当2k =-时取等号，面积的最小值为4.此时直线的方程240x y ++=.【点睛】本题考查直线系过定点，零点的距离公式，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想，属于中档题．22. 如图所示的几何体P ABCDE -中，ABP △和AEP △均为以A 为直角顶点的等腰直角三角形，AB AE ⊥，//AB CE ，//AE CD ，24CD CE AB ===，M 为PD 的中点.（1）求证：CE PE ⊥；（2）求二面角M CE D --的大小；（3）设N 为线段PE 上的动点，使得平面//ABN 平面MCE ，求线段AN 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）45︒；（32【解析】【分析】（1）根据题意，得出PA AB ⊥，PA AE ⊥，根据线面垂直的判定定理得出PA ⊥平面ABCDE ，则AB AE ⊥，建立以A 为原点，AB ，AE ，AP 为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系，利用向量法能证明CE PE ⊥；（2）求出平面MEC 的法向量和平面DEC 的一个法向量，利用向量法能求出二面角M CE D --的大小；（3）设PN PE λ→→=，[[0λ∈，1])，求出(0N ，2λ，22)λ-，令AN n →→⊥，则0AN n →→=，解得N 为PE 的中点，利用向量法能求出线段AN 的长．【详解】解：依题意得，ABP △和AEP △均为以A 为直角顶点的等腰直角三角形， 则PA AB ⊥，PA AE ⊥，所以PA ⊥面ABCDE ，又AB AE ⊥，可以建立以A 为原点，分别以AB →，AE →，AP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系（如图）， 可得()0,0,0A ，()2,0,0B ，()4,2,0C ，()4,6,0D ，()0,2,0E ，()002P ,,，()2,3,1M ，（1）证明：由题意，()4,0,0CE →=-，()0,2,2PE →=-，因为0CE PE →→⋅=，所以CE PE ⊥.（2）解：()2,1,1ME →=---，()2,1,1MC →=--，设(),,n x y z →=为平面MEC 的法向量，则 00n ME n MC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2020x y z x y z ---=⎧⎨--=⎩， 不妨令1y =，可得()0,1,1n →=-，平面DEC 的一个法向量()0,0,2AP →=，因此有2cos ,2n AP n AP n AP →→→→→→⋅==-，由图可得二面角M CE D --为锐二面角，所以二面角M CE D --的大小为45︒.（3）解：（方法一）设[]()0,1PN PE λλ→→=∈，(),,N x y z ，所以()(),,20,2,2x y z λ-=-，因此()0,2,22N λλ-， 令AN n →→⊥，即0AN n →→⋅=，解得12λ=，即N 为PE 的中点， 因为//AB 平面MCE ，//AN 平面MCE ，AB AN A =，所以当N 为PE 的中点时，平面//ABN 平面MCE ，此时即()0,1,1N ，2220112AN →=++=所以线段AN 2.（方法二）设[]()0,1PN PE λλ→→=∈，(),,N x y z ， 所以()(),,20,2,2x y z λ-=-，因此()0,2,22N λλ-，设(),,m x y z →=为平面ABN 的法向量，则00m AB m AN ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()402220x y z λλ=⎧⎨+-=⎩， 不妨令1y λ=-，可得()0,1,m λλ→=-，因为平面//ABN 平面MCE ，所以//m n →→，解得：12λ=， 此时即()0,1,1N ，2220112AN →=++=所以线段AN 2. 【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，以及利用空间向量法求出二面角和线段长，还涉及空间中线面的判定定理和性质，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是中档题．13、2 14.22(1)(2)10x y +++=15：22(4)(2)10x y -+-=（去掉（3,5），（5，-1）两点）。
山东省泰安市新泰一中2021-2022高二数学下第一次质量检测考试试题(含解析)
山东省泰安市新泰一中2021-2022高二数学下第一次质量检测考试试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1.已知集合{}2230A x x x =-->，集合{}2Z 4B x x x =∈≤，则()RA B =（ ）A. {}03x x ≤≤ B. {}1,0,1,2,3- C. {}0,1,2,3D. {}1,2【答案】C 【解析】集合{}2230A x x x =-->{}=31x x x <-或，{}{}2Z 44,3,2,1,0B x x x =∈≤={}|13RA x x =-≤≤ 故(){}0,1,2,3R AB ⋂=故答案为C ． 2.复数z =（其中i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法法则将复数z 化为一般形式，进而可求得复数z 的共轭复数，由此可得出复数z 的共轭复数在复平面对应的点所在的象限.【详解】21121z -====-++，则12z =-， 因此，复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C.【点睛】本题考查复数在复平面对应的点所在象限的判断，考查了复数的除法法则和共轭复数概念的应用，考查计算能力，属于基础题.3.已知随机变量X 的分布列如图所示，则(68)E X +=（ ）X123P0.20.40.4A. 13.2B. 21.2C. 20.2D. 22.2【答案】B 【解析】 试题分析：首先()10.220.430.4 2.2E X =⨯+⨯+⨯=，所以(68)6()86 2.2821.2E X E X +=+=⨯+=，故选择B.考点：随机变量的概率分布.4.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用（万元） 4 2 3 5 销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A. 63.6万元B. 65.5万元C. 67.7万元D. 72.0万元 【答案】B 【解析】【详解】试题分析：4235492639543.5,4244x y ++++++====，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4， ∴42=9．4×3．5+a ，∴ˆa=9．1， ∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5 考点：线性回归方程5.某次中俄军演中，中方参加演习的有4艘军舰、3架飞机；俄方有5艘军舰、2架飞机.从中俄两方中各选出2个单位（1艘军舰或1架飞机都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同），则选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有（ ） A. 180种 B. 160种 C. 120种 D. 38种【答案】A 【解析】 【分析】分两类进行，第一类，飞机来自中方得到方法数，第二类，飞机来自俄方得到方法数，然后两类求和.【详解】分两类，第一类，飞机来自中方，有112435120C C C ⋅⋅=种， 第二类，飞机来自俄方，有21145260C C C ⋅⋅=种，所以选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有180种.故选：A 【点睛】本题主要考查分类加法计数原理和组合问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6.函数4cos e xy x =-（e 为自然对数的底数）的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【详解】试题解析：函数为||4cos x y x e =-偶函数，图象关于y 轴对称，排除B 、D ， 0x =时，413,y =-=舍去C ，选A.考点：函数的奇偶性、单调性，函数的图象.7.设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和2222()(0)N μσσ>，的密度函数图像如图所示．则有（ ）A. 1212,μμσσ<<B. 1212,μμσσC. 1212,μμσσ><D. 1212,μμσσ>> 【答案】A 【解析】 根据正态分布函数的性质：正态分布曲线是一条关于对称，在处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A ．8.5名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有（ ）A. 5254A A 种B. 5255A A 种C. 5256A A 种D.76764A A -种【答案】A 【解析】首先5名大人先排队，共有55A 种，然后把两个小孩插进中间的4个空中，共有24A 种排法，根据乘法原理，共有5254A A 种，故选A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则其中正确命题的序号是（ ）A. 1a =B. 展开式中含6x 项的系数是-32C. 展开式中含1x -项D. 展开式中常数项为40【答案】AD 【解析】 【分析】根据512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，令1x =，解得 a ，判断A 的正误.再根据A 的结果，写出展开式中的通项公式()562521rr rr C x ---或()()54252rrr r C x ---，然后分别令626r -=或426r -=，令621r -=-或421r -=-，令620r -=或420r -=，判断BCD 的正误.【详解】因为512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，令1x =得，12a +=，所以1a =，故A 正确.此时5511122a x x x x x x x x =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，展开式中通项为()()5562551221r rr r r r r xC x C x x ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭或()()()5542551122rr r r r rr C x C x x x ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，令626r -=或426r -=解得0r =，所以含6x 项的系数是32，故B 错误.令621r -=-或421r -=-，都无解，故展开式中不含1x -项，故C 错误. 令620r -=或420r -=，解得3r =或2r ，所以展开式中常数项为40.故选：AD【点睛】本题主要考查二项式定理的展开式的系数及通项公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10.下列说法正确的是（ ）． A. 若0xy ≥，则||||||x y x y +>+ B. 若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠C. “2a bx +>是x > D. “0x ∀>，1x e x >+”的否定形式是“0x ∃≤，1x e x ≤+” 【答案】B 【解析】 【分析】对A ，举出反例判定即可.对B ，根据原命题的逆否命题判断即可. 对C ，举出反例判定即可.对D ，根据全称命题的否定判定即可.【详解】对A ，当0x y ==时满足0xy ≥，但||||||x y x y +=+，故A 错误.对B ，命题“若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠”的逆否命题为“若0x =且0y =，则220x y +=”为真命题，故原命题也为真命题.故B 正确.对C ，当0ab 时，“0x >是0x >”的充要条件，故C 错误.对D ，“0x ∀>，1x e x >+”的否定形式是“0x ∃>，1x e x ≤+”，故D 错误. 故选：B【点睛】本题主要考查了命题真假的判定、绝对值不等式与全称量词的否定等.属于基础题. 11.已知函数()e e xxf x -=-，()e exxg x -=+，则以下结论错误的是（ ）A. 任意的1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-B. 任意的1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()12120g x g x x x -<-C. ()f x 有最小值，无最大值D. ()g x 有最小值，无最大值 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据()e e xxf x -=-与()e exxg x -=+的单调性逐个判定即可.【详解】对A, ()e e xxf x -=-中e x y =为增函数,e x y -=为减函数.故()e e xxf x -=-为增函数.故任意的1x ,2x ∈R 且12x x ≠,都有()()12120f x f x x x ->-.故A 错误.对B,易得反例11(1)e e g -=+,11(1)(1)e e g g --=+=.故()()12120g x g x x x -<-不成立.故B 错误.对C, 当因为()e e x xf x -=-为增函数,且当x →-∞时()f x →-∞,当x →+∞时()f x →+∞.故()f x 无最小值,无最大值.故C 错误.对D, ()e e 2x x g x -=+≥=,当且仅当e e =x x -即0x =时等号成立. 当x →+∞时()g x →+∞.故()g x 有最小值,无最大值. 故选：ABC【点睛】本题主要考查了函数的单调性与最值的判定,需要根据指数函数的性质分析.属于基础题.12.已知函数()ln f x x x =，给出下面四个命题：①函数()f x 的最小值为1e-；②函数()f x 有两个零点；③若方程()f x m =有一解，则0m ≥；④函数()f x 的单调减区间为1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 则其中错误命题的序号是（ ）A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】BCD 【解析】 【分析】由函数()ln f x x x =，求导()1ln f x x '=+，当10x e<<时，()0f x '<，当1x e >时，()0f x '>，作出函数图象逐项判断.【详解】因为函数()ln f x x x =，所以()1ln f x x '=+当10x e<<时，()0f x '<，当1x e >时，()0f x '>所以当1x e =时， ()f x 的最小值为1e-；如图所示：当0x →时，()0f x →，当x →+∞时，()f x →+∞，所以函数()f x 有一个零点； 若方程()f x m =有一解，则0m ≥或1m e =-，函数()f x 的单调减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭. 故错误命题的序号是 ②③④ 故选：BCD【点睛】本题主要考查导数在函数的图象和性质中的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知复数()252z i =-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部是______. 【答案】20- 【解析】【分析】先利用复数的乘法，将复数()252z i =-化为：z a bi =+再求解. 【详解】因为复数()2215022z i i =-=-， 所以复数z 的虚部是20-. 故答案为：20-【点睛】本题主要考查复数的概念和运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14.从0，1，2，3，4，5六个数字中每次取3个不同的数字，可以组成________个无重复数字的3位偶数． 【答案】52 【解析】 【分析】由题意可知取出的3个数字组成的偶数有两类，一类是个位数字为0的三位数，另一类是个位数字是2或4的三位数，分别计算最后相加可得答案. 【详解】解：由题意得，若0在个位，则从1，2，3，4，5中选两个排在百位和十位上，有2520A =种；若0不在个位，则从2，4中选1个排在个位，从除了0之外的4个数中选一个排在百位上，再从剩下的4个数字中任选1个排在十位上，有11124432A A A =,由分类加法原理可得共有20+3252=个 故答案为：52【点睛】此题考查排列组合及简单计数问题，解题时要注意分类，属于基础题. 15.已知函数()2ln38f x x x =+，则()()121lim x f x f x∆→-∆-∆的值等于 ．【答案】20- 【解析】试题分析： 由题意，因为()2ln38f x x x =+，所以()2'8f x x=+，于是()'110f =，由导数的定义知，()()121lim x f x f x∆→-∆-∆()()()201212lim2'1202x f x f f x∆→-∆-=-=-=--∆，故答案为20-.考点：导数的定义. 16.若20172017012017(12)()x a a x a x x R -=+++∈，则0a =______，201712232018222a a a +++=______. 【答案】 (1). 1 (2). 12- 【解析】 【分析】 根据20172017012017(12)x a a x a x -=+++，0x =即可.两边同乘以x ，再令12x =求解. 【详解】因为20172017012017(12)x a a x a x -=+++，令0x =得，01a =.201722018012017(12)x a a x x x a x -=+++⨯，令12x =得：020171223201802222a a a a ++++=， 所以20171223201812222a a a +++=-. 故答案为： (1). 1 (2). 12-【点睛】本题主要考查二项展开式的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分． 17.已知0a >，1a ≠，()2:log 2119a p x x -+-有意义，:q 关于x 的不等式()22210x a x a a -+++<.（1）若p 是真命题，求x 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围.【答案】（1）91,2⎛⎫⎪⎝⎭；（2）71,2⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【解析】 【分析】（1）解不等式221190x x -+->，即可求得符合条件的实数x 的取值范围； （2）解不等式()22210x a x a a -+++<得出1a x a <<+，由题意得出(),1a a + 91,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围. 【详解】（1）因为p 是真命题，所以221190x x -+->，即221190x x -+<，解得912x <<. 故x 的取值范围为91,2⎛⎫⎪⎝⎭； （2）因为()22210x a x a a -+++<，即()()10x a x a --+<⎡⎤⎣⎦，所以1a x a <<+. 因为p 是q 的必要不充分条件，则(),1a a + 91,2⎛⎫⎪⎝⎭， 由于0a >且1a ≠，所以1912a a >⎧⎪⎨+≤⎪⎩，解得712a <≤.故a 的取值范围为71,2⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题考查利用命题的真假求参数，同时也考查了利用必要不充分条件求参数，涉及一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题.18.已知函数322()1f x x mx m x =+-+（m 为常数，且m >0）有极大值9. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若斜率为5-的直线是曲线()y f x =的切线，求此直线方程. 【答案】(Ⅰ) m ＝2. （Ⅱ）5x ＋y －1＝0，或135x ＋27y －23＝0. 【解析】【详解】（Ⅰ）322()1f x x mx m x =+-+，22()32(3)()f x x mx m x m x m '=+-=-+，令()0,f x x m '==-或,0,33m mx m m =>∴>-， ()0,f x x m '><-或,()0,33m mx f x m x >'<-<<，()f x ∴递增区间是(,),(,)3m m -∞-+∞，递减区间是(,)3mm -，,()x m f x ∴=-取得极大值为319,2m m +=∴=；（Ⅱ）设切线的切点坐标为00(,)x y ，由（1）得，322()241,()344f x x x x f x x x =+-+'=+-，依题意2000()3445f x x x '=+-=-，解得01x =-或013x =-， 所以切点坐标为(1,6)-或168(,)327-， 所求的切线方程为65(1)y x -=-+或6815()273y x -=-+， 即510x y +-=或13527230x y +-=19.某投资公司在2021年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利40%，也可能亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为35和25； 项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115．针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由． 【答案】投资项目一更合理，理由见解析 【解析】 【分析】根据题意，写出两个项目的获利的分布列，再根据离散型分布列分别写出期望1E ξ和2E ξ，再求出两个项目的获利的方差1D ξ和2D ξ，比较两个项目的期望和方差，利用期望和方差的意义，即可得出结论.【详解】解：由题意知，项目一：到年底可能获利40%，也可能亏损10%， 且这两种情况发生的概率分别为35和25， 若按“项目一”投资，设获利1ξ万元， 1ξ∴的分布列为：∴1)32400(10020505E ξ=⨯+-⨯=（万元）；而项目二：到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚， 且这三种情况发生的概率分别为35，13和115， 若按“项目二”投资，设获利2ξ万元，则2ξ的分布列为：∴2311500(300)02005315E ξ=⨯+-⨯+⨯=（万元）； 又2212(400200)(100200)60355000D ξ=-⨯+--⨯=，2222311(500200)(300200)(0200)1400005315D ξ=-⨯+--⨯+-⨯=，12E E ξξ∴=，12D D ξξ<，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥， 综上所述，该投资公司投资项目一更合理.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、期望和方差，以及运用这些知识解决实际问题的能力，考查运算能力.20.213nx ⎫⎪⎭的二项展开式中.（1）若第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是14:3，求展开式中的常数项； （2）若所有奇数项的二项式系数的和为A ，所有项的系数和为B ，且24364A B =，求展开式中二项式系数最大的项.【答案】（1）5； （2）52109x -，51027x -.【解析】 【分析】（1）根据第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是14:3，则有42:14:3n n C C =，求得n ，再利用通项公式求解.（2）根据所有奇数项的二项式系数的和为12n A -=，令1x =，得到所有项的系数和B ，代入24364A B =求得n ，若n 为偶数，则中间项二项式系数最大，若n 为奇数，则中间两项二项式系数最大.【详解】（1）依题意42:14:3n n C C =，化简得()()2356n n --=， 解得10n =或5n =-（舍去）， ∴()101052211010233r rrrr r r T C xxxC --+--=⋅⋅=，令10502r-=，解得2r ，∴常数项为第3项，2231035T C -==.（2）12n A -=，令1x =，得43nB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则122436443n nA B -==⎛⎫ ⎪⎝⎭，解得：5n =，则展开式中二项式系数最大的项是第3项和第4项，2523235211039T C x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，3325452110327T C xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查二项式定理的系数及通项公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21.某土特产超市为预估2021年元旦期间游客购买土特产的情况，对2021年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.（1）根据以上数据完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为p （每次抽奖互不影响，且p的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X （元）的分布列并求其数学期望.附：参考公式和数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.附表：【答案】(1)见解析，有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.(2)分布列见解析，数学期望75 【解析】 分析】（1）完善列联表，计算214403.841247K =>得到答案. （2）先计算13p =，分别计算()16527P X ==，()2709P X ==，()4759P X ==，()88027P X ==，得到分布列，计算得到答案. 【详解】（1）22⨯列联表如下：()22901220401814405 3.84130605238247K ⨯⨯-⨯==>>⨯⨯⨯，因此有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关. （2）X 可能取值为65，70，75，80，且10201903p +==. ()3331165327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()22312270339P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， ()21312475339P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()3032880327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 所以X 的分布列为12486570758075279927EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了列联表，分布列，意在考查学生的应用能力和计算能力.22.已知函数21()2ln (2)2f x x a x a x =+-+． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）是否存在实数a ，使函数34()()9g x f x ax x =++在(0,)+∞上单调递增？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()f x 的单调递增区间为(]0,1和[)2,+∞，单调递减区间为()1,2（2）存在,724a ≥【解析】 【分析】 （1）求出导函数'()f x ，由'()0f x >确定增区间，由'()0f x <确定减区间；（2）求出导函数'()g x ，假设存在，则'()0g x ≥在(0,)+∞上恒成立，而不等式恒成立，又可用分离参数法转化为求函数的最值． 【详解】（1）当1a =时，21()2ln 3(0)2f x x x x x =+->． 所以2()3f x x x '=+-=232(2)(1)x x x x x x-+--=令()0f x '≥，则01x <≤或2x ≥，令()0f x '<，则12x <<， 所以()f x 的单调递增区间为(]0,1和[)2,+∞，单调递减区间为()1,2（2）存在724a ≥，满足题设， 因为函数34()()9g x f x ax x =++=23142ln 229x a x x x +-+所以224()23a g x x x x '=+-+ 要使函数()g x 在0,∞（+）上单调递增，224()20,(0,)3a g x x x x x '=+-≥+∈+∞ 即3243660x x x a +-+≥，(0,)x ∈+∞⇔324366x x xa +-≥-，(0,)x ∈+∞令32436()6x x xh x +-=，(0,)x ∈+∞，则2()21(21)(1)h x x x x x '=+-=-+，所以当10,2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x'<，()h x在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当1,2x⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x'>，()h x在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，所以12x=是()h x的极小值点，也是最小值点，且17224h⎛⎫=-⎪⎝⎭，∴324366x x x+--在(0,)+∞上的最大值为724．所以存在724a≥，满足题设．【点睛】本题考查研究函数的单调性，研究函数的最值．一般情况下，我们用'()0f x>确定增区间，用'()0f x<确定减区间，另外用导数研究不等式恒成立问题，都是转化为求函数的最值，为此分离参数法用得较多．。
2019-2020学年山东省新泰市第一中学高一下学期期中考试数学试题(解析版)
山东省新泰市第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将『答案』正确填写在答题卡上一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．复数121z i z i =+=，，其中i 为虚数单位，则12z z 的虚部为（ ）A ．1-B ．1C ．iD ．i -2．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ） A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144+AB AC D ．1344+AB AC 3．某校共有学生3 000名,各年级男、女生人数如表所示,已知高一、高二年级共有男生1 120人,现用分层抽样的方法在全校抽取60名学生,则应在高三年级抽取的学生人数为( ) 高一年级 高二年级 高三年级 女生 456 424 y 男生 644xz A ．16B ．18C ．20D ．244．已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为( ) A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．15．(2015新课标全国I 理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛6．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===，1120BAD BAA ∠=∠=︒，160DAA ∠=︒，则1AC =（ ）A ．1B ．2C D7．在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）111ABC A B C -中，2AB =，E ，F 分别为11A C 和11A B 的中点，当AE 和BF 所成角的余弦值为710时，AE 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（ ）A ．5B C D 8．已知圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x 上，线段AB 为圆C 的直径，则PA PB ⋅的最小值为（ ） A ．2B ．52C ．3D ．72二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省新泰市第一中学高二数学上学期第一次月考试题 文
新泰一中高二上学期第一次大单元考试数学试题(文) 2015-10注意事项：1、 本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，时间120分钟.2、 答题前，考生务必将密封线内的项目填写清楚.答题前先将自己的姓名、考号、考试科目用2B 铅笔涂写在答题卡上.3、 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.4、 非选择题要写在答题纸对应的区域内，超出部分无效，严禁在试题或草稿纸上答题.第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1．在等差数列}{n a 中，352676a a a a ==+=，，则 （ ）A ．10B ．13C ．15D ．252．数列⋯--,924,715,58,1的一个通项公式是 （ ）A ．12)1(3++-=n nn a nnB ．12)3()1(++-=n n n a n nC ．121)1()1(2--+-=n n a nnD ．12)2()1(++-=n n n a nn3．在ABC ∆中，60A ∠=o，a =3b =，则ABC ∆解的情况 （ ）A ．无解B ．有一解C ．有两解D ．不能确定4．已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是 （ ） A ．135<<xB ．513<<xC ．52<<xD ．55<<x5．在ABC ∆中，若B b A a cos cos =，则ABC ∆的形状是 （ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 6．等比数列}{n a 中，233,9a a ==，若243=k a ，则k 等于 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．42 7．ABC ∆中，若603A a ∠==o，，则sin sin sin a b c A B C-+-+等于（ ）A ．2B ．21C ．3D ．238．△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别a 、b 、c ，且a cos C ,b cos B ,c cos A 成等差数列，则角B 等于( ) A ．30oB ．60oC ．90oD ．120o9．在等比数列{a n }中，4813S S ==，，则20191817a a a a +++的值是 （ ）A ．14B ．16C ．18D ．2010．已知nn a )31(=，把数列{}n a 的各项排列成如下的三角形状，记),n m A （表示第m 行的第n 个数，则）（12,10A = （ ） A ．9231）（ B ．9331）（ C ．9431）（ D ．11231）（ 第Ⅱ卷（共100分）二、填空题: （本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．在ABC ∆，如果4:3:2sin :sin :sin =C B A ，那么C cos 等于 .12．在ABC ∆中，已知50315030b c B ===o，，，则边长=a .13．在数列{}n a 中，其前n 项和227n S n n =-+，则n a = .14．ABC ∆中，a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，ABC S ∆=23，那么b = .15．两个等差数列{}{}n n a b 、，1212 (72)...3n n a a a n b b b n ++++=++++，则55b a =__________.三、解答题：（本大题共6题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 16．（本小题12分）已知：ABC ∆中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 且sin cos sin cos sin 2A B B A C ⋅+⋅=.(1)求角C 的大小；(2)若,,a c b 成等差数列，且18CA CB ⋅=u u u r u u u r，求c 边的长.17．（本小题12分）数列{}n a 满足112323(2)n n a a a n n -==-+≥，且. （1）求23a a ，，并证明数列{}n a n -是等比数列； （2）求n a .18．(本小题12分)已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若21sin sin cos cos =-C B C B ． （1）求A ； （2）若4,32=+=c b a ，求ABC ∆的面积．19．（本小题12分）已知{a n }为等差数列，且36a =-，60a =.(1) 求{a n }的通项公式；(2) 若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和n S ； (3) 求数列|}{|n a 的前n 项和n T .20．（本小题13分）一缉私艇发现在北偏东45°方向，距离12nmile 的海面上有一走私船正以10nmile/h 的速度沿东偏南15°方向逃窜.缉私艇的速度为14nmile/h ，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45°+α的方向去追，求追及所需的时间和α角的正弦值.21．（本小题13分）在等比数列｛a n ｝中，a n ＞0 (n ∈N ＊），公比q ∈(0,1)，且153528225,a a a a a a ++=35a a 与的等比中项为2.（1）求数列｛a n ｝的通项公式；（2）设b n ＝2log a n ，数列｛b n ｝的前n 项和为S n ，当1212n S S S n++•••+最大时，求n 的值. 新泰一中高二上学期第一次大单元考试 数学（文）试题 （参考答案）一、选择题：1—5：BDAAD 6—10：CABBB二、填空题：11. 41-12. 3503100或 13. 8,143,2n n n =⎧⎨-≥⎩ 31 15. 6512三、解答题：16．解：(1) ∵sin cos sin cos sin 2A B B A C ⋅+⋅=∴sin()sin 2A B C += ………………………………………………（2分） ∵,sin()sin A B C A B C π+=-∴+=∴sin sin 22sin cos C C C C == ………………………………………（4分） ∵0C π<< ∴sin 0C > ∴1cos 2C =∴.3C π= ………………………………………（6分）(2)由,,a c b 成等差数列，得.2b a c += …………………………（7分）∵18CA CB ⋅=u u u r u u u r，即.36,18cos ==ab C ab ……………………………………………（9分） 由余弦弦定理ab b a C ab b a c 3)(cos 22222-+=-+=，36,3634222=⨯-=∴c c c ，.6=∴c ……………………………………………………………（12分）17.解：12,532==a a …………………………………………（2分）Θ323.1+-=-n a a n n∴[])1(3333.11--=+-=---n a n a n a n n n ∴3)1(1=----n a na n n∴数列{}n a n -是等比数列 ………………………………………（8分）（2）13-+=n n n a ………………………………………………（12分）18．解:（1）21sin sin cos cos =-C B C B Θ 21)cos(=+∴C B 又π<+<C B 0Θ，3π=+∴C Bπ=++C B A Θ，32π=∴A ． …………………………………（8分） （2）由余弦定理A bc c b a cos 2222⋅-+= 得 32cos22)()32(22π⋅--+=bc bc c b 即：)21(221612-⋅--=bc bc ，4=∴bc323421sin 21=⋅⋅=⋅=∴∆A bc S ABC ……………………………（12分） 19. 解：（1）设等差数列{}n a 的公差d . 因为366,0a a =-=所以112650a d a d +=-⎧⎨+=⎩解得110,2a d =-=所以10(1)2212n a n n =-+-⋅=- ………………（4分） （2）设等比数列{}n b 的公比为q . 因为212324,8b a a a b =++=-=- 所以824q -=-即q =3.所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)4(13)1n n n b q S q-==-- ………（8分）(3)2211,61160,6n n n n T n n n ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩ ……………………………（12分）20．解：设A 、C 分别表示缉私艇、走私船的位置，设经过x 小时后在B 处追上 则有AB =14x ，BC =10x ，∠ACB =120°…………（2分） 222(14)12(10)240cos120x x x ∴=+-︒……………（8分） 22820x AB BC ∴===，，………………………（10分） sin12020sin12053sin 2814BC AB α︒︒∴===532sin 14α∴=所需时间小时，……………………（13分）21. 解：（1）153528225,a a a a a a ++=Q∴23a + 2a 3a 5 +25a ＝25350,5n a a a >∴+=Q …………………………………………（2分） 35a a Q 与的等比中项为2，35a a ∴＝4∵q ∈（0,1）， 353511,4,1,,162a a a a q a ∴>∴====…………（4分） ∴1511622n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭…………………………………………（6分）（2）21log 5,1n n n n b a n b b -==-∴-=-…………………………（8分） ∴{b n }是以4为首项，－1为公差的等差数列。
2023-2024学年山东省新泰市东高二下册第一次质量检测数学试题(含解析)
2023-2024学年山东省新泰市东高二下册第一次质量检测数学试题一、单选题1．设函数()ln 1f x x =+，则0(15)(1)lim x f x f x∆→+∆-=∆（）A ．1B ．5C ．15D ．0【正确答案】B【分析】由题意结合导数的运算可得()11'=f ，再由导数的概念即可得解.【详解】由题意1()f x x'=，所以()11'=f ，所以原式等于()()()Δ015Δ15lim 5155Δx f x f f x→'+-==.故选：B.2．设函数()cos f x x =，则'π3f⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（）A ．B ．2C ．12D ．0【正确答案】D【分析】cos 33f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭为常数，则其导数为0.【详解】因为ππcos 33f ⎛⎫= ⎪⎝⎭为常数，所以'π03f⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故选：D.3．为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有（）A ．120种B ．150种C ．210种D ．216种【正确答案】C【分析】用甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加的方法数，减去3名学生所选活动课程全部相同的方法数，从而求得正确答案.【详解】依题意，每名同学都有6种选择方法，所以这3名学生所选活动课程不全相同的选法有366210-=种.故选：C 4．已知ln 22a =，1eb =，ln 55c =，则以下不等式正确的是（）A ．c b a >>B ．a b c >>C ．b a c>>D ．b c a>>【正确答案】C 【分析】由于1ln e e e b ==，所以构造函数ln ()(0)xf x x x=>，然后利用导数判断函数的单调性，再利用单调性比较大小即可【详解】ln 22a =，1ln e e eb ==，ln 55c =，令ln ()(0)xf x x x=>，则21ln ()x f x x -'=，当0e x <<时，()0f x '>，当e x >时，()0f x '<，所以()f x 在(0,e)上递增，在(e )+∞，上递减，因为2e 5<<，所以(2)(e)f f <，(e)(5)f f >，因为ln 2ln 55ln 22ln 5ln 32ln 25(2)(5)0251010f f ---=-==>，所以(2)(5)f f >，所以b a c >>故选：C5．函数()1e xf x x-=的大致图像为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【分析】先求出函数的定义域，然后求导，判断单调性；另一方面，当0,0x x ><时，从函数值的正负性加以判断，最后选出答案.【详解】函数的定义域为{}0x x ≠，12e (1)()x x f x x --'=，当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增；当01x <<或0x <时，()0f x '<，所以()f x 在(,0)-∞和(0,1)上单调递减，显然当0x >时，()0f x >，当0x <时，()0f x <.故选：B.6．由于新冠肺炎疫情，现有五名社区工作人员被分配到三个小区做社区监管工作，要求每人只能去一个小区，每个小区至少有一个人，则不同的分配方法有（）A ．150种B ．90种C ．60种D ．80种【正确答案】A【分析】本题考查排列组合的不均匀分配问题.先进行分组按照人数“3，1，1”模式或者“2，2，1”模式进行分组，再进行分配（乘以33A ），即可求解.【详解】若分配的三组人数分别为3，1，1，则分配方法共有311352132260C C C A A ⨯=（种）；若分配的三组人数分别为2，2，1，则分配方法共有3213531322C C C A 90A ⨯=（种）；故共有6090150+=种不同的分配方法.故选：A.7．设函数()22ln f x x a x x=--在()1,2上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．[]4,5B ．()5,+∞C ．[)4,+∞D ．[)5,+∞【正确答案】D【分析】由函数单调递增，可得()2220af x x x'=+-≤在()1,2上恒成立，孤立参数22a x x ≥+，再设()22h x x x=+，确定()h x 的单调性求最值，即可得实数a 的取值范围.【详解】解：函数()22ln f x x a x x=--在()1,2上单调递减，则()2220af x x x '=+-≤在()1,2上恒成立，所以22a x x ≥+，在()1,2上恒成立，设函数()22h x x x=+，则()()()22222112222x x x h x x x x+--='=-=，所以()0h x '>在()1,2x ∈上恒成立，所以()h x 在()1,2上单调递增，所以()()25h x h <=，所以5a ≥，则实数a 的取值范围是[)5,+∞.故选：D.8．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()0xf x f x '+>，且()12f =，则()2e e xxf >的解集为（）A ．()0,+∞B ．()ln2,+∞C ．()1,+∞D ．()0,1【正确答案】A【分析】令()()g x xf x =，利用导数可判断其单调性，从而可解不等式()2e e xxf >.【详解】设()()g x xf x =，则()()()0g x xf x f x ''=+>，故()g x 为R 上的增函数，而()2e exx f >可化为()()e e 211x x f f >=⨯即()()g e 1x g >，故e 1x >即0x >，所以不等式()2e exx f >的解集为()0,+∞，故选：A.二、多选题9．（多选）下列命题正确的是（）A ．若()sin cos f x x x x =+，则()sin cos sin f x x x x x '=-+B ．设函数()ln f x x x =，若()02f x '=，则0ex =C ．已知函数()23e xf x x =，则()112ef '=D ．设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()232ln f x x xf x '=++，则()924f '=-【正确答案】BD【分析】利用基本初等函数的导数公式求解即可.【详解】对于选项A ,即()sin cos sin f x x x x x '=+-，则选项A 不正确；对于选项B ,即()ln 1f x x '=+,则()00ln 12f x x =+'=，解得0e x =，则选项B 正确；对于选项C ,即()26e 3e x xf x x x '=+，则()16e 3e 9e f '=+=，则选项C 不正确；对于选项D ,即()()1232f x x f x''=++，()()124322f f ''=++，解得()924f '=-，则选项D 正确.故选.BD10．下列等式正确的是（）A ．11C C 1mmn n m n ++=+B ．12111m m m n n n A A n A +-+--=C ．11A A m m n n n --=D ．1C (1)C C k k kn n nn k k +=++【正确答案】BCD【分析】根据排列组合数的计算公式依次对选项整理变形，分析可得答案.【详解】根据组合数公式得11!1(1)!1C !()!1(1)!()!1mm n n n m n m C m n m n m n m n +++++==⨯=-++-+，则A 错误；根据排列数公式得121(1)!!!A A (11)()!()!()!m mn n n n n n n n m n m n m +++-=-=+-=---．211(1)!A ()!m n n n n m ---=-，则B 正确；根据排列数公式得11!(1)!A A ()!()!mm n n n n n n n m n m ---==⋅=--，则C 正确；根据组合数公式得1(1)C k n k ++=!!(1)(1)![(1)]!![(1)]!n n k k n k k n k +⋅=+-+-+，!!C C ()!()!![(1)]!k kn n n n n k n k k n k k n k -=-⋅=--+，即1(1)k k k n n n nC k C kC +=++，则D 正确．故选：BCD11．定义在[]1,5-上的函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，函数()f x 的部分对应值如下表．下列关于函数()f x 的结论正确的是（）x 1-0245()f x 13132A ．函数()f x 的极大值点的个数为2B ．函数()f x 的单调递增区间为()()1,02,4-⋃C ．当[]1,x t ∈-时，若()f x 的最小值为1，则t 的最大值为2D ．若方程()f x a =有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是()1,2【正确答案】AD【分析】由导函数图象得原函数的单调性可判断AB ；由单调性结合函数值表可判断CD.【详解】由图知函数()f x 在区间[-1,0]上单调递增，在区间[0,2]上单调递减，在区间[2,4]上单调递增，在区间[4,5]上单调递减，所以在0,4x x ==处有极大值，故A 正确；单调区间不能写成并集，故B 错误；因为函数()()21,43f f ==，且()f x 在区间[2,4]上单调递增，所以存在[]02,4x ∈使得()02f x =，易知，当0t x =时，()f x 在区间[]1,t -的最小值为1，故C 不正确；由函数值表结合单调性作出函数草图可知D 正确.故选：AD12．已知函数()11ln x f x x x -=-+，下列结论成立的是（）A ．函数()f x 在定义域内无极值B ．函数()f x 在点()()2,2A f 处的切线方程为5ln 282y x =+-C ．函数()f x 在定义域内有且仅有一个零点D ．函数()f x 在定义域内有两个零点1x ，2x ，且121x x ⋅=【正确答案】ABD【分析】求出定义域与导函数可判断A ；利用导数的几何意义可判断B ；利用函数单调性以及零点存在性定理可判断C ；根据选项C 可判断D.【详解】A ，函数()11ln x f x x x -=-+定义域为()()0,11,+∞ ，()()()()2211112011x x f x x x x x --+'=-=>--，()f x \在()0,1和()1,+∞上单调递增，则函数()f x 在定义域内无极值，故A 正确；B ，由()()2121f x x x '=+-，则()()212522221f '=+=-，又()212ln 23ln 221f +=-=-+-，∴函数()f x 在点()()2,2A f 处的切线方程为()53ln 222y x +-=-即5ln 282y x =+-，故B 正确；C ，()f x 在()1,+∞上单调递增，又()112ln 10111e ef e e e e e ++-=-=-=<---，()22222222113ln 20111e e ef e e e e e ++-=-=-=---，所以函数()f x 在()2,e e 存在0x ，使()00001ln 01x f x x x +=-=-，又20111e x e <<，即0101x <<，且()0000000011111ln ln 0111x x f x f x x x x x +⎛⎫⎛⎫+=-=--=-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-，即1x 为函数()f x 的一个零点，所以函数()f x 在定义域内有两个零点,故C 错误.D ，由选项C 可得10201,x x x x ==，所以121x x ⋅=，故D 正确.故选：ABD三、填空题13．已知221C A 51n n ++=，则正整数n =___________.【正确答案】6【分析】根据组合数和排列数的运算即可求得答案.【详解】由题意，()()()()2115131020631702n n nn n n n n ++-=⇒--=⇒-+=，得6n =.故6.14．函数()219ln 2f x x x =-在[]11a a -+，上存在极值点，则a 的取值范围是______．【正确答案】()2,4【分析】求出函数的导函数，由题意得到关于a 的不等式，求解得答案．【详解】由()219ln 02f x x x x =->，，得()()()23399x x x f x x x x x+--'=-==，∴()()0,3,0x f x '∈<，函数()f x 单调递减，()()3,,0x f x '∈+∞>，函数()f x 单调递增，由函数()219ln 2f x x x =-在[]11a a -+，上存在极值点，可得131a a -<<+，∴24a <<，∴实数a 的取值范围是()2,4．故()2,4．15．古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式.”在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美.如图所示的是清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》，其以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，无论顺着读还是逆着读，皆成佳作.数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）.数学上把这样的对称数叫回文数，若两位数的回文数共有9个（11，22，…，99）.则所有四位数的回文数中能被3整除的个数是___________.【正确答案】30【分析】所有四位数的回文数中要能被3整除，这四个数的和是3的偶数倍数，分类讨论即可.【详解】要能被3整除，则四个数的和是3的偶数倍数.满足条件的回文数分为以下几类：和为6的回文数：1221+++，3003+++，此时有1213⨯+=个.和为12的回文数：3333+++，2442+++，1551+++，6006+++，此时有2226⨯+=个.和为18的回文数：1881+++，2772+++，3663+++，4554+++，9009+++，此时有4219⨯+=个.和为24的回文数：3993+++，4884+++，5775+++，6666+++，此时有3217⨯+=个.和为30的回文数：7887+++，6996+++，此时有224⨯=个.和为36的回文数：9999+++，此时有1个.故共有36974130+++++=个.故答案为.3016．我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为00型，比如：当0x →时，sin x x 的极限即为型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：()000sin sin cos lim lim lim 11x x x x x x x x →→→'==='，则0e e 2lim 1cos x x x x -→+-=-______．【正确答案】2【分析】根据题设对分子、分母分别求导再求极限即得.【详解】由题可得()()()()00000e e 2e e e e 2e e e e lim lim =lim lim =lim 21cos sin cos 1cos sin x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x -----→→→→→''+--+--+===-''-.故2.四、解答题17．（1）计算：()2973100100101C C A +÷；（2）计算：3333410C C C +++ ；（3）解方程.75589n nnA A A -=【正确答案】（1）16；（2）330；（3）15n =.【分析】(1)利用组合数的性质化简，再利用组合数、排列数公式计算即得；(2)利用组合数的性质依次化简计算即得；(3)利用排列数计算公式变形解方程即可得解.【详解】（1）原式()3233333101100100101101101101333311 6=+÷=÷=÷==CCACAA A A A .（2）原式43334334334451055106610=++++=+++=+++=C C C C C C C C C C 434101011=+=C C C 330=.（3）原方程可化为()()()()()()()()()()()2126124561112989124n n n n n n n n n n n n n n n n -------=---=-+=--- ，化简得211600n n --=，解得15n =或n =-4（舍去），故方程的解是15n =.18．已知函数2()(2)ln f x ax a x x =-++．(1)当2a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；(2)求函数()f x 的单调区间．【正确答案】(1)30x y --=(2)答案见解析【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义即可求解.（2）求出导函数，分情况求解不等式()0f x '>和()0f x '<即可得解.【详解】（1）当2a =时，2()24ln f x x x x =-+，0x >，()144f x x x'=-+，所以()11f '=，又()1242f =-=-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为21y x +=-，即30x y --=.（2）()2221(1)(21)()(0)ax a x ax x f x x x x-++--'==>，当0a ≤，令()0f x '=得12x =，由()0f x '>得102x <<，由()0f x '<得12x >，所以()f x 的单调递增区间为1(0,2，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭当0a >，令()0f x '=得1211,2x x a ==，当02a <<时，由()0f x '>得102x <<或1x a >，由()0f x '<得112x a<<，所以()f x 的单调递增区间为1(0,2和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当2a =时，()221()0x f x x '-=≥，所以()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间；当2a >时，由()0f x '>得10x a<<或12x >，由()0f x '<得112x a <<，所以()f x 的单调增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1(,)2+∞，单调递减区间为11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.19．从1到9这9个数字中取3个偶数和4个奇数，组成没有重复数字的七位数，试问：（1）能组成多少个这样的七位数？（2）3个偶数排在一起的七位数有多少个？（3）任意2个偶数都不相邻的七位数有多少个？【正确答案】（1）100800；（2）14400；（3）28800.【分析】（1）先选出符合要求的数，再全排列即可；（2）利用捆绑法计算可得；（2）先将4个奇数排好，再3个偶数插空，按照分步乘法计数原理计算可得；【详解】解：（1）分步完成：第一步，从4个偶数中取3个，有34C 种情况；第二步，从5个奇数中取4个，有45C 种情况；第三步，将取出的3个偶数和4个奇数进行全排列，有77A 种情况.所以符合题意的七位数的个数为347457100800C C A =.（2）由题意，3个偶数排在一起的七位数的个数为3345435514400C A C A =（3）由题意，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空隙中，则符合题意的七位数的个数为43354528800A C A =.20．2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行，拉开了冬奥会的帷幕．冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的广泛喜爱，达到一墩难求的地步．当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中某个挂件纪念品每件的成本为5元，并且每件纪念品需向税务部门上交5a +元(58)a ≤≤的税收，预计当每件产品的售价定为x 元(1317)x ≤≤时，一年的销售量为2(18)x -万件，(1)求该商店一年的利润L (万元)与每件纪念品的售价x 的函数关系式；(2)求出L 的最大值()Q a ．【正确答案】(1)2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈(2)()()348,5 6.5277,6.58a a Q a a a ⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤≤⎩【分析】（1）由题意，利用利润与销售量、售价、成本的关系写出函数关系式，注意定义域；（2）对L 求导，令0L '=得3823a x +=或18x =，讨论3823a +与区间[13,17]的位置情况判断L '的符号，进而确定L 的单调性，即可求得最大值．【详解】（1）由题意，预计当每件产品的售价为x 元(1317)x ≤≤，而每件产品的成本为5元，且每件产品需向税务部门上交(5)a +元(58)a ≤≤，所以商店一年的利润L (万元)与售价x 的函数关系式为：2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈．（2）∵2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈，∴(3823)(18)L a x x =+--'，令0L '=，解得：3823a x +=或18x =，而58a ≤≤，则38216183a +≤≤，①当38216173a +≤<，即5 6.5a ≤<时，当38213,3a x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0L >'，L 单调递增，当382,173a x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0L '<，L 单调递减，∴当3823a x +=时，L 取最大值34(8)27a -；②当38217183a +≤≤，即6.58a ≤≤时，当()13,17x ∈时，0L >'，L 单调递增，∴当17x =时，L 取最大值7a -，综上，()()348,5 6.5277,6.58a a Q a a a ⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤≤⎩21．定义：()()11C !m x x x x m m --+=为广义组合数，其中,x m ∈R 是正整数，且0C 1x =.这是组合数C (,m n n m 是正整数，且)m n ≤的一种推广.(1)计算：37C -与3288C C --+；(2)猜想并证明：1C C m m x x -+=__________（用C m x 的形式表示，其中,x m ∈R 是正整数）.【正确答案】(1)37C 84-=-，3288C C 84--+=-(2)11C C C m m m x x x -++=，证明见解析【分析】（1）根据广义组合数公式，计算即可求解．（2）结合(1)中的结果，根据广义组合数公式，化简等号左边的算式，即可得到结果.【详解】（1）()()3777172C 843!------==-()()38881828910C 1203!321------⨯⨯==-=-⨯⨯()2888189C 362!21----⨯===⨯所以3288C C 84--+=-（2）猜想：11C C C m m m x x x -++=1m =时，1011C C 1C x x x x ++=+=，猜想成立.2m ≥时，由()()()121C !m x x x x m x m m --+-+=得()()()112C 1!m x x x x m m ---+=- ()()()()()112112C C !!m m x x x x x m x m x x x m m m m ---+-+--++=+ ()()()()()()()1211221!!x x x m x x x x m x m x m m m m --++--+-+=-++= 又()()()()11122C !m x x x x x m x m m ++--+-+= 所以11C C C m m m x x x -++=.综上，11C C C m m m x x x -++=.22．设函数()ln f x ax x =，其中a R ∈，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线经过点()3,2.（1）求a 的值；（2）求函数()f x 的极值；（3）证明:()2x x f x e e->.【正确答案】（1）1a =；（2）极小值11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，没有极大值；（3）证明见解析.（1）由题意，结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程，代入已知点的坐标可求a ；（2）先对函数求导，结合导数与极值的关系即可求解；（3）由于()2x x f x e e ->等价于2ln 0x x x x e e -+>，结合（2）可得()1ln f x x x e=≥-，故只要证明10x x e e-≥即可，（需验证等号不同时成立）结合导数可证.【详解】解：（1）()ln f x a x a '+=，则()()10,1f f a '==，故()y f x =在()()1,1f 处的切线方程()1y a x =-，把点()3,2代入切线方程可得，1a =，（2）由（1）可得()ln 1,0f x x x '=+>，易得，当10x e <<时，()0f x '<，函数单调递减，当1x e>时,()0f x ¢>，函数单调递增，故当1=x e 时，函数取得极小值11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，没有极大值，证明：（3）()2x x f x e e ->等价于2ln 0x x x x e e-+>，由（2）可得()1ln f x x x e=≥-（当且仅当1=x e 时等号成立）①，所以21ln x xx x x x e e e e -+≥-，故只要证明10x x e e-≥即可，（需验证等号不同时成立）设()1x x g x e e =-，0x >则()1x x g x e-'=，当01x <<时，()0g x '<，函数单调递减，当1x >时，()0g x '>，函数单调递增，所以()()10g x g ≥=，当且仅当1x =时等号成立，②因为①②等号不同时成立，所以当0x >时，()2x x f x e e->.本题主要考查了导数的几何意义及导数与极值的关系，还考查了利用导数证明不等式，体现了转化思想的应用．。
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山东省泰安市新泰一中2019-2020学年高二下第一
次质量检测考试数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知集合，集合，则
（）
A．B．C．D．
2. 复数（其中为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3. 已知随机变量的分布列如图所示，则（）
A．B．C．D．
广告费用（万
4 2 3 5
元）
销售额（万
49 26 39 54
元）
根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元
5. 某次中俄军演中，中方参加演习的有4艘军舰、3架飞机；俄方有5艘军舰、2架飞机.从中俄两方中各选出2个单位（1艘军舰或1架飞机都作为一个
单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同），则选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有（）
A．180种B．160种C．120种D．38种
6. 函数（为自然对数的底数）的图象可能是（）
A．B．
C．D．
7. 设两个正态分布和的密度函数图像如图所示．则有（）
A．
B．
C．
D．
8. 名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有（）
A．种B．种C．种D．种
二、多选题
9. 的展开式中各项系数的和为2，则其中正确命题的序号是（）
A．B．展开式中含项的系数是-32 C．展开式中含项D．展开式中常数项为40
三、单选题
10. 下列说法正确的是（）．
A．若，则
B．若，则或
C．“是”的充分不必要条件
D．“，”的否定形式是“，”
四、多选题
11. 已知函数，，则以下结论错误的是（）A．任意的，且，都有
B．任意的，且，都有
C．有最小值，无最大值
D．有最小值，无最大值
12. 已知函数，给出下面四个命题：①函数的最小值为；
②函数有两个零点；③若方程有一解，则；④函数的
单调减区间为.
则其中错误命题的序号是（）
A．①B．②C．③D．④
五、填空题
13. 已知复数（为虚数单位），则复数的虚部是______.
14. 从0，1，2，3，4，5六个数字中每次取3个不同的数字，可以组成
________个无重复数字的3位偶数．
15. 已知函数，则的值等于________．
六、双空题
16. 若，则______，
______.
七、解答题
17. 已知，，有意义，关于的不等式
.
（1）若是真命题，求的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围.
18. 已知函数（m为常数，且m>0）有极大值9.
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若斜率为的直线是曲线的切线，求此直线方程.
19. 某投资公司在2020年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利40%，
也可能亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能
损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和．针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
20. 的二项展开式中.
（1）若第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是，求展开式中的常数项；
（2）若所有奇数项的二项式系数的和为，所有项的系数和为，且，求展开式中二项式系数最大的项.
21. 某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.
购买金额
（元）
人数10 15 20 15 20 10
（1）根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.
不少于60元少于60元合计
男40
女18
合计
（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为（每次抽奖互不影响，且的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数（元）的分布列并求其数学期望.
附：参考公式和数据：，.
2.072 2.706
3.841 6.635 7.879
0.150 0.100 0.050 0.010 0.005
22. 已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）是否存在实数，使函数在上单调递增？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．。