【红对勾】2016-2017学年高中数学必修二(人教A版)：模块综合测试

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【红对勾】高中数学(人教A版)必修二练习：1-1-2简单组合体的结构特征(含答案解析)

1．如图所示为一个空间几何体的竖直截面图形，那么这个空间几何体自上而下可能是()A．梯形、正方形B．圆台、正方形C．圆台、圆柱D．梯形、圆柱解析：空间几何体不是平面几何图形，所以应该排除A、B、D，所以选C.答案：C2．如图，将阴影部分图形绕图示直线l旋转一周所得的几何体是()A．圆锥B．圆锥和球组成的简单几何体C．球D．一个圆锥内部挖去一个球后组成的简单几何体解析：三角形绕轴旋转一周后形成的几何体是圆锥，圆绕直径所在直线旋转一周后形成的几何体是球，故阴影部分旋转一周后形成的几何体是一个圆锥内部挖去一个球后组成的简单几何体．答案：D3．如图所示是一个正方体的表面展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是()解析：在这个正方体的展开图中，与有圆的面相邻的三个面都有一条直线，当折成正方体后，这三条直线应该相互平行，故A、C错误；又D中正方体的三个面内都没有图形，与展开图矛盾，故D错误．所以B正确．答案：B4．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是________．①该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体；②该几何体有12条棱、6个顶点；③该几何体有8个面，并且各面均为三角形；④该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形．解析：平面ABCD可将该几何体分割成两个四棱锥，因此该几何体是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面，而不是一个面，故填④.答案：④5．下列组合体是由哪几种简单几何体组成的？答案：(1)是由一个圆柱和一个六棱柱组成的；(2)是由一个圆锥、一个圆柱和一个长方体组成的；(3)是由一个球和一个圆台组成的．课堂小结多面体与多面体的组合由两个或两个以上的多面体组合而成，如图(1)是一个正方体截去一个三棱锥的组合体．多面体与旋转体的组合由多面体和旋转体组合而成，如图(2)是一个六棱柱与一个圆柱的组合体．旋转体与旋转体的组合由两个或两个以上的旋转体组合而成，如图(3)是一个圆柱挖去一个圆锥的组合体。

人教A版2017年高中数学必修2单元检测试题含解析答案【共4份】

第一章《空间几何体》单元检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共计60分)1．过棱柱不相邻两条侧棱的截面是()．A ．矩形B ．正方形C ．梯形D ．平行四边形2．下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是()．A ．3B ．2C ．1D ．03．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()．A.13B.23C ．1D ．24．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如右图所示的直观图，其中1B O C O ''=''=，32A O ''=，那么原△ABC 是一个()．A ．等边三角形B ．直角三角形C ．三边中有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形5．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是()．A ．1∶2B ．2∶3C ．1∶3D ．1∶46．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()．A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④7．一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是()．A.1003πcm 3B.2083πcm 3C.5003πcm 3D.416133cm 38．一圆台上底面半径为5cm ，下底面半径为10cm ，母线AB 长为20cm ，其中A 在上底面上，B 在下底面上，从AB 中点M ，拉一条绳子，绕圆台的侧面一周转到B 点，则这条绳子最短长为()．A ．30cmB ．40cmC ．50cmD ．60cm9．圆台的母线长扩大到原来的n 倍，两底面半径都缩小为原来的1n，那么它的侧面积为原来的__________倍．()．A ．1B ．nC ．n 2D.1n10．设下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()．A ．9π＋42B ．36π＋18C.9122π+ D.9182π+11．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，右图是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()．A ．0B ．9C ．快D ．乐12．如图，在一个盛满水的圆柱形容器内的水面下有一个用细绳吊着的薄壁小球，小球下方有一个小孔，当慢慢地、匀速地将小球从水下面往上拉动时，圆柱形容器内水面的高度h 与时间t 的函数关系图象大致为()．二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．若球O1、O2表面积之比124SS=，则它们的半径之比12RR=__________.14．一个正四棱柱的各个顶点都在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为__________cm2.15．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是__________cm3.16．一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，如图所示，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中∠ABC＝__________.三、解答题(本题共6小题，满分74分)17．(12分)画出如图所示几何体的三视图．18．(12分)一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的侧面积．19．(12分)一个正三棱柱的三视图如图，求这个正三棱柱的表面积．20．(12分)如图所示是一个正方体，H 、G 、F 分别是棱AB 、AD 、AA 1的中点．现在沿△GFH 所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉部分的体积是原正方体体积的几分之几？21．(12分)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．求：(1)该几何体的体积V ；(2)该几何体的侧面面积S .22．(14分)如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中分离出来的．(1)∠DC 1D 1在图中的度数和它表示的角的真实度数都是45°，对吗？(2)∠A 1C 1D 的真实度数是60°，对吗？(3)设BC ＝1，如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛多少体积的水？答案与解析1.答案：D解析：侧棱平行且相等．2.答案：A解析：①正确，一直三棱柱，其中四边形BCC 1B 1与四边形BAA 1B 1是全等的矩形，且面BCC 1B 1⊥面BAA 1B 1，即满足要求．②正确，如图一正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1，即满足要求．③正确．横卧的圆柱即可．如图．3.答案：C解析：根据三视图可以推测出该物体应该为一个三棱柱，底面是直角三角形，因此1(21)212V Sh ==⨯=，选C.4.答案：A解析：依据斜二测画法的原则可得，2BC B C ''==，3232OA =⨯=∴AB ＝AC ＝2，故△ABC 是等边三角形．5.答案：B解析：设圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，依题意得l ＝2r ，而S 侧＝2πrl ，S 全＝2πr 2＋2πrl ，∴S 侧∶S 全＝2πrl ∶(2πr 2＋2πrl )＝2∶3，故选B.6.答案：D解析：正方体的三视图都是正方形，所以①不符合题意，排除A 、B 、C.7.答案：C解析：根据球的截面性质，截面小圆的圆心与球心的连线与截面垂直，因此球心到截面的距离、小圆半径与球的半径构成直角三角形．由勾股定理得球的半径为5cm ，故球的体积为34500533ππ⨯=cm 3.8.答案：C解析：画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，则扇形圆心角为90°，且圆锥的母线长为40cm 50=(cm)．9.答案：A解析：设改变之前圆台的母线长为l ，上底半径为r ，下底半径为R ，则侧面积为π(r ＋R )l ，改变后圆台的母线长为nl ，上底半径为r n ，下底半径为R n，则侧面积为(()r Rnl r R l nππ+=+，故它的侧面积为原来的1倍．10.答案：D解析：由三视图可知，该几何体是一个球体和一个长方体的组合体．其中，3439()322V ππ=⋅=球，V 长方体＝2×3×3＝18.所以9+182V π=总11.答案：B解析：本题考查了正方体的表面展开图，选B.12.答案：C解析：由球顶到球中心被拉出时，小球的体积越露越大，水面高度下降得快，所以曲线向上弯；当球从中心开始到整个球被拉出水面时，球的体积变化越来越小，水面高度下降得慢，所以曲线向下弯．在整个过程中，函数关系图象大致为C.13.答案：2解析：由S ＝4πR 2易知．14.答案：2＋解析：设正四棱柱的高为a ，由长方体与球相接的性质知4＝1＋1＋a 2，则a =，∴正四棱柱的表面积为S ＝1×1×2＋(2=＋cm 2.15.答案：144解析：由几何体的三视图知该几何体是正四棱台与长方体的组合体，所以几何体的体积为V ＝13×(4×4＋＋64)×3＋4×4×2＝144.16.答案：90°解析：如下图所示，折成正方体，很明显，点A 、B 、C 是上底面正方形的三个顶点，则∠ABC ＝90°.17.解：该几何体的上面是一个圆柱，下面是一个四棱柱，其三视图如图所示．18.解：如图所示，梯形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4，BC ＝5.作DM ⊥BC ，垂足为点M ，则DM ＝4，MC ＝5－2＝3，在Rt △CMD 中，由勾股定理得22345CD =+=在旋转生成的旋转体中，AB 形成一个圆面，AD 形成一个圆柱的侧面，CD 形成一个圆锥的侧面，设圆柱与圆锥的侧面积分别为S 1，S 2，则S 1＝2π×4×2＝16π，S 2＝π×4×5＝20π，故此旋转体的表面积为S ＝S 1＋S 2＝36π.19.解：由题意可知正三棱柱的高为2，底面三角形的高为23为a ，则332a =，∴a ＝4，∴22334344S a ===底.正三棱柱侧面积S 侧＝3×2×4＝24.∴正三棱柱表面积S 表＝S 侧＋2S 底＝24+83.20.解：设正方体的棱长为a ，则正方体的体积为a 3.三棱锥的底面是Rt △AGF ，即∠FAG 为90°，G 、F 又分别为AD 、AA 1的中点，所以AF ＝AG ＝12a .所以△AGF 的面积为211112228a a a ⨯⨯=.又因AH 是三棱锥的高，H 又是AB 的中点，所以12AH a =.所以锯掉的部分的体积为23111132848a a a ⨯⨯=.又因33114848a a ÷=，所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的148.21.解：由已知知该几何体是一个四棱锥，记P ABCD .如图所示，由已知，知AB ＝8，BC ＝6，高h ＝4.由俯视图知：底面ABCD 是矩形，连接AC ，BD 交于点O ，连接PO ，则PO ＝4，即为棱锥的高．作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥BC 于N ，连接PM ，PN ，因为PA ＝PB ＝PC ，M 、N 为AB 、BC 的中点，则PM ⊥AB ，PN ⊥BC .故2222435PM PO OM =++=，2222442PN PO ON =+=+(1)V ＝3Sh ＝3×(8×6)×4＝64.(2)S 侧＝2S △P AB ＋2S △PBC＝AB ·PM ＋BC ·PN＝8×5＋6×42222.解：(1)对．因为四边形DD 1C 1C 是正方形，且是正对的后面，即恰好是正投影．所以∠DC 1D 1在图中的度数和它表示的角的真实度数都是45°.(2)对．事实上，连接DA 1以后，△DA 1C 1的三条边都是正方体的面对角线，2a ，所以△DA 1C 1是等边三角形，所以∠A 1C 1D ＝60°.(3)如果用图示中的装置来盛水，那么最多能盛水的体积等于三棱锥C 1CB 1D 1的体积，111111111·36C CB D B C D V S CC == ，所以最多能盛水的体积为16.第二章《点、直线、平面之间的位置关系》单元检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共计60分)1．在空间内，可以确定一个平面的条件是()．A ．两条直线B ．三条直线，其中的一条与另外两条直线相交C ．三个点D ．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点2．下列命题中，正确的是()．A ．平面α内的一条直线和平面β内的无数条直线垂直，则平面α⊥平面βB ．过平面α外一点P 有且只有一个平面β和平面α垂直C ．直线l ∥平面α，直线l ⊥平面β，则α⊥βD ．垂直于同一个平面的两个平面平行3．设P 是△ABC 所在平面α外一点，H 是P 在α内的射影，且PA 、PB 、PC 与α所成的角相等，则H 是△ABC 的()．A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心4．已知二面角αl β的大小为60°，m 、n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m 、n 所成的角为()．A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°5．如图所示，点S 在平面ABC 外，SB ⊥AC ，SB ＝AC ＝2，E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长是()．A ．1C.2 D.126．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()．A ．若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥αB ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥αC ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥mD ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m7．若正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则A 1C 1到底面ABCD 的距离为()．A.3B ．18．如图，在斜三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在()．A ．直线AB 上B ．直线BC 上C ．直线AC 上D ．△ABC 内部9．已知二面角αAB β的平面角是锐角θ，面α内有一点C 到β的距离为3，点C 到棱AB的距离为4，那么tan θ＝()．A.34B.35 C.7D.710．下列命题中错误．．的是()．A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β11．如图所示，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点．将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为()．A ．90°B ．60°C ．45°D ．0°12．如图，若Ω是长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1D 1，则下列结论中不正确．．．的是()．A ．EH ∥FG B ．四边形EFGH 是矩形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)13．如图所示，A ，B ，C ，D 为不共面的四点，E ，F ，G ，H 分别在线段AB ，BC ，CD ，DA 上．(1)如果EH ∩FG ＝P ，那么点P 在直线__________上；(2)如果EF ∩GH ＝Q ，那么点Q 在直线__________上．14．已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过P 点的两条直线AC 、BD 分别交α于A 、B ，交β于C 、D ，且PA ＝6，AC ＝9，AB ＝8，则CD 的长为__________．15．已知菱形ABCD 中，AB ＝2，∠A ＝120°，沿对角线BD 将△ABD 折起使二面角A BD C 为120°，则点A 到△BCD 所在平面的距离为__________．16．已知m 、n 是直线，α、β、γ是平面，给出下列说法：①若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥α或n ⊥β；②若α∥β，α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，则m ∥n ；③若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内的无数条直线；④若α∩β＝m ，n ∥m 且n α⊄，n β⊄，则n ∥α且n ∥β.其中正确的说法序号是__________．(注：把你认为正确的说法的序号都填上)三、解答题(本大题共6个小题，共计74分)17．(12分)如图所示，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)若四边形EFGH 是矩形，求证：AC ⊥BD .18．(12分)如下图，在三棱锥P ABC 中，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ABC ＝90°，△PAC 是直角三角形，∠PAC ＝90°，∠ACP ＝30°，平面PAC ⊥平面ABC .(1)求证：平面PAB ⊥平面PBC ；(2)若PC ＝2，求△PBC 的面积．19．(12分)如图是一个棱长为1的正方体的表面展开图，MN 和PQ 是两条面对角线，请在图(2)的正方体中将MN 、PQ 画出来，并解答下列问题：(1)MN 和PQ 所成角的大小；(2)四面体M NPQ 的体积．20．(12分)如图，在四棱锥P PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，且DB 平分∠ADC ，E 为PC 的中点，AD ＝CD ＝1，22DB ＝(1)证明：PA ∥平面BDE ；(2)证明：AC ⊥平面PBD ；(3)求直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值．21．(12分)如图，四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，且CE ∥AB .(1)求证：CE ⊥平面PAD ；(2)若PA ＝AB ＝1，AD ＝3，2CD ＝，∠CDA ＝45°，求四棱锥P ABCD 的体积．22．(14分)如图所示，在正方体—A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．(1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．答案与解析1.答案：D解析：A 错，因为两条直线可能为异面直线，B 与A 相同也不正确，C 错，三点若在同一条直线上不行．2.答案：C解析：A ：若α∩β＝l ，且α与β不垂直时，在α内有一条直线α⊥l ，则a 也垂直于β内所有与l 平行的直线，故A 错误；B ：一本书竖直立在桌面上，过书脊上一点有很多平面与桌面垂直；D ：教室内相邻两面墙都与地面垂直，而这两个平面相交，故选C.3.答案：B解析：由题意知Rt △PHA ≌Rt △PHB ≌Rt △PHC ，得HA ＝HB ＝HC ，所以H 是△ABC 的外接圆圆心．4.答案：B解析：本题考查二面角的概念，易知m 、n 所成的角与二面角的大小相等，故选B.5.答案：B解析：取SA 的中点H ，连接EH 、FH .因为SB ⊥AC ，则EH ⊥FH ，在△EFH 中，应用勾股定理得2EF ＝6.答案：B解析：对于A ：若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊂α可能成立，l ⊥α不一定成立，A 错误，对于B ：若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α，正确．同理对于C 、D 可判定错误.7.答案：D解析：如图，AB ＝1，∠B 1AB ＝60°，B 1B ＝A 1A 3，直线A 1C 1与底面ABCD 的距离即为13A A ＝ D.8.答案：A解析：∵BA ⊥AC ，BC 1⊥AC ，BA ∩BC 1＝B ，∴AC ⊥平面ABC 1.∵AC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面ABC 1，且交线是AB .故平面ABC 1上一点C 1在底面ABC 上的射影H 必在交线AB 上．9.答案：D解析：如图，过C 作CE ⊥β，垂足为E ，作CF ⊥AB ，垂足为F ，连接EF ，则∠CFE ＝θ为二面角αAB β的平面角，且CE ＝3，CF ＝4.∴2277743tan CEEFθ===-＝.10.答案：D解析：A 选项正确，只需α内的直线平行于α与β的交线即平行于β；B 正确，根据面面垂直的判定定理，若α内存在直线垂直于β，则α⊥β；C 正确，设α内a ⊥r ，β内b ⊥r ，α∩β＝l ，则a ∥b ，所以a ∥β，根据线面平行的性质定理，所以a ∥l ，所以l ⊥r .D 错误，平面α内可以存在直线平行于交线而不垂直于平面β.11.答案：B解析：将三角形折成三棱锥如图所示，HG 与IJ 为一对异面直线，过点D 分别作HG 与IJ 的平行线，即DF 与AD ，所以∠ADF 即为所求．因此，HG 与IJ 所成角为60°.12.答案：D解析：∵EH ∥A 1D 1，A 1D 1∥B 1C 1，∴EH ∥B 1C 1.∴EH ∥平面BCGF .∵FG ⊂平面BCGF ，∴EH ∥FG ，故A 对．∵B 1C 1⊥平面A 1B 1BA ，EF ⊂平面A 1B 1BA ，∴B 1C 1⊥EF .则EH ⊥EF .由上面的分析知，四边形EFGH 为平行四边形，故它也是矩形，故B 对．由EH ∥B 1C 1∥FG ，故Ω是棱柱，故C 对，选D.13.答案：(1)BD (2)AC 解析：(1)若EH ∩FG ＝P ，那么点P ∈平面ABD ，P ∈平面BCD ，而平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，∴P ∈BD .(2)若EF ∩GH ＝Q ，则Q ∈平面ABC ，Q ∈平面ACD ，而平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，∴Q ∈AC .14.答案：20或4解析：若P 在α、β的同侧，由于平面α∥平面β，故AB ∥CD ，则PA ABPC CD，可求得CD ＝20；若P β之间，可求得CD ＝4.15.答案：2解析：设AC ∩BD ＝O ，则翻折后AO ⊥BD ，CO ⊥BD ，∴∠AOC 即为二面角的平面角，则∠AOC ＝120°，且AO ＝1，所以d ＝1×sin 60°＝2.16.答案：②④解析：①中n 可能只与α、β中的一个相交，但不垂直；③m 只要是斜线就有可能．17.证明：(1)如图所示，连接EF ，FG ，GH ，HE ，在△ABD 中，∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点．∴EH ∥BD ，同理FG ∥BD ，∴EH ∥FG ，∴E ，F ，G ，H 四点共面．(2)由(1)知EH ∥BD ，同理GH ∥AC .又∵四边形EFGH 是矩形，∴EH ⊥GH ，∴AC ⊥BD .18.(1)证明：∵平面PAC ⊥平面ABC ，且其交线为AC ，PA ⊥AC ，PA ⊂平面PAC ，∴PA ⊥平面ABC ，∵BC ⊂平面ABC ，∴PA ⊥BC .又∵AB ⊥BC ，AB ∩PA ＝A ，AB ⊂平面PAB ，PA ⊂平面PAB .∴BC ⊥平面PAB .而BC ⊂平面PBC ，∴平面PAB ⊥平面PBC .(2)解：由(1)得，BC ⊥平面PAB ，∴BC ⊥PB ，即∠PBC ＝90°，由已知PC ＝2，得AC 222BC AC ⨯=＝.在Rt △PBC 中，2PB ==.∴Rt △PBC 的面积1122224S PB BC ⨯⨯⨯=＝＝.19.解：如图：(1)如图，连接MC 、NC 、MN ，可得PQ ∥NC ，则∠MNC (或其补角)就是异面直线MN和PQ 所成的角，因为△MNC 是等边三角形，所以∠MNC ＝60°，即异面直线MN 和PQ 所成的角等于60°.(2)因为正方体的棱长为1，所以V 正方体＝1，所以·1136M NPQ Q PMN MNP V V S MQ ＝＝＝.20.(1)证明：连接AC ，设AC ∩BD ＝H ，连接EH ，在△ADC 中，∵AD ＝CD ，且DB 平分∠ADC ，∴H 为AC 的中点．又E 为PC 的中点，∴EH ∥PA ，又HE ⊂平面BDE ，PA BDE ⊄平面，∴PA ∥平面BDE .(2)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥AC ，由(1)知，BD ⊥AC ，PD ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面PBD .(3)解：由AC ⊥平面PBD 可知，BH 为BC 在平面PBD 内的射影，∴∠CBH 为直线BC 与平面PBD 所成的角．由AD ⊥CD ，AD ＝CD ＝1，DB ＝，可知DH ＝CH ＝2，2BH ＝.在Rt △BHC 中，t 13an C CBH H BH ∠=＝.即直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值为13.21.(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CE .因为AB ⊥AD ，CE ∥AB ，所以CE ⊥AD .又PA ∩AD ＝A ，所以CE ⊥平面PAD .(2)解：由(1)可知CE ⊥AD .在Rt △ECD 中，DE ＝CD ·cos45°＝1，CE ＝CD ·sin45°＝1.又因为AB ＝CE ＝1，AB ∥CE ，所以四边形ABCE 为矩形．所以·11522·21121ECD ABCD ABCE S S S AB AE CE DE ⨯⨯⨯ 四边形矩形＝＋＝＋＝＋＝.又PA ⊥平面ABCD ，PA ＝1，所以1151336·52P ABCD ABCD V S PA ⨯⨯=四棱锥四边形＝＝.22.解：(1)如图(a)所示，取AA 1的中点M ，连接EM ，BM .因为E 是DD 1的中点，四边形ADD 1A 1为正方形，所以EM ∥AD .又在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥平面ABB 1A 1，所以EM ⊥平面ABB 1A 1，从而BM 为直线BE 在平面ABB 1A 1上的射影，∠EBM 为BE和平面ABB 1A 1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM ＝AD ＝2，3BE =.于是，在Rt △BEM 中，s 23in E EBM M BE ∠=＝，即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23.(a)(b)(2)在棱C 1D 1上存在点F ，使B 1F ∥平面A 1BE .事实上，如图(b)所示，分别取C 1D 1和CD 的中点F ，G ，连接EG ，BG ，CD 1，FG .因A 1D 1∥B 1C 1∥BC ，且A 1D 1＝BC ，所以四边形A 1BCD 1是平行四边形，因此D 1C ∥A 1B .又E ，G 分别为D 1D ，CD 的中点，所以EG ∥D 1C ，从而EG ∥A 1B .这说明A 1，B ，G ，E 共面．所以BG ⊂平面A 1BE .因四边形C 1CDD 1与B 1BCC 1皆为正方形，F ，G 分别为C 1D 1和CD 的中点，所以FG ∥C 1C ∥B 1B ，且FG ＝C 1C ＝B 1B .因此四边形B 1BGF 是平行四边形．所以B 1F ∥BG .而11B F A BE ⊄平面，BG ⊂平面A 1BE ，故B 1F ∥平面A 1BE .第三章《直线与方程》单元检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本题共12个小题，每小题5分，共60分)1．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3y -=的倾斜角的2倍，则()．A ．m n ＝1B ．m n ＝－3C ．m n ＝－3D ．m n ＝12．直线ax ＋by ＋c ＝0(ab ≠0)在两坐标轴上的截距相等，则a ，b ，c 满足()．A ．a ＝b B ．|a |＝|b |且c ≠0C ．a ＝b 且c ≠0D ．a ＝b 或c ＝03．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是()．A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或24．点P (1，－3)到直线132x y+=的距离为()．A. B. C. D.5．点M (a ，b )与N (b －1，a ＋1)关于下列哪种图形对称()．A ．直线x －y ＋1＝0B ．直线x －y －1＝0C ．点11(,22-D ．直线x ＋y －a －b ＝06．直线y ＝mx ＋(2m ＋1)恒过一定点，则此定点是()．A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1，－2)D ．(－2,1)7．已知点A (3,2)，B (－2，a )，C (8,12)在同一条直线上，则a 的值是()．A ．0B ．－4C ．－8D ．48．已知直线l 的方程是y ＝2x ＋3，则l 关于y ＝－x 对称的直线方程是()．A ．x －2y ＋3＝0B ．x －2y ＝0C ．x －2y －3＝0D ．2x －y ＝09．等腰直角三角形ABC 的直角顶点为C (3,3)，若点A (0,4)，则点B 的坐标可能是()．A ．(2,0)或(4,6)B ．(2,0)或(6,4)C ．(4,6)D ．(0,2)10．已知直线l 1的方程是ax －y ＋b ＝0，l 2的方程是bx －y －a ＝0(ab ≠0，a ≠b )，则下列各示意图形中，正确的是()．11．直线l 过点P (1,3)，且与x ，y 轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是()．A ．3x ＋y －6＝0B ．x ＋3y －10＝0C ．3x －y ＝0D ．x －3y ＋8＝012．直线l 1，l 2分别过点M (－1,4)，N (3,1)，它们分别绕点M 和N 旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离d 的取值范围是()．A ．(0,5]B ．(0，＋∞)C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)二、填空题(本题共4小题，每小题4分，共16分)13．直线l 与两直线y ＝1、x －y －7＝0分别交于A 、B 两点，若直线AB 的中点是M (1，－1)，则直线l 的斜率为__________．14．若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________.15．若直线(2t －3)x ＋y ＋6＝0不经过第一象限，则t 的取值范围为__________．16．已知a ，b ，c 为某一直角三角形的三边长，c 为斜边，若点(m ，n )在直线ax ＋by ＋2c ＝0上，则m 2＋n 2的最小值为__________．三、解答题(本题共6小题，共计74分)17．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数()2f x x＝的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是多少？18．(12分)已知△ABC 的三个顶点坐标为A (－3,1)，B (3，－3)，C (1,7)．(1)求BC 边上的中线AM 的长；(2)证明：△ABC 为等腰直角三角形．19．(12分)正方形中心在C (－1,0)，一条边方程为：x ＋3y －5＝0，求其余三边所在的直线方程．20．(12分)(1)求与点P (3,5)关于直线l ：x －3y ＋2＝0对称的点P ′的坐标．(2)求直线y ＝－4x ＋1关于点M (2,3)的对称直线的方程．21．(12分)如图所示，已知A (－2,0)，B (2，－2)，C (0,5)，过点M (－4,2)且平行于AB 的直线l 将△ABC 分成两部分，求此两部分面积的比．22．(14分)为了绿化城市，要在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪，如右图所示，另外，△AEF 内部有一文物保护区不能占用，经测量AB ＝100m ，BC ＝80m ，AE ＝30m ，AF ＝20m ，应如何设计才能使草坪面积最大？答案与解析1.答案：D解析：依题意得33n -=-，tan 120mn-=︒∴m ，n ＝1.2.答案：D解析：分截距是否等于零讨论．当截距都不为零时，a ＝b ；当截距都为零时，此时直线过原点，c ＝0.故选D.3.答案：C解析：∵l 1∥l 2，∴－2(k －3)－2(k －3)(4－k )＝0，即(k －3)(5－k )＝0.∴k ＝3或5.4.答案：A解析：直线方程可化为2x ＋3y －6＝0，由点到直线的距离公式得所求距离为=5.答案：A解析：由题意，所求直线应与MN垂直，且MN的中点在所求直线上，又11MNab ak b+---＝＝－1，MN的中点为11(,)22a b a b+-++，所以选A.6.答案：D解析：y＝mx＋(2m＋1)＝m(x＋2)＋1，∴当x＝－2时，不论m取何值，y恒等于1.∴恒过点(－2,1)．7.答案：C解析：根据题意可知k AC＝k AB，即12228323a--=---，解得a＝－8.8.答案：A解析：将x＝－y，y＝－x代入方程y＝2x＋3中，得所求对称的直线为－x＝－2y＋3，即x－2y＋3＝0.9.答案：A解析：设B点坐标为(x，y)，根据题意知·1||||AC BCk kBC AC=-⎧⎨=⎩∴3431303yx--⎧⨯=-⎪--=解之，得2xy=⎧⎨=⎩或46.xy=⎧⎨=⎩10.答案：D解析：若a＞0，b＞0，则l2的斜率大于0，截距小于0，故A项不对；若a＞0，b＜0，则l2的斜率小于0，截距小于0，故B项不对；若a＜0，b＞0，则l2的斜率大于0，截距大于0，故C项不对．11.答案：A解析：设直线方程为1x ya b+=(a＞0，b＞0)，由题意有12131aba b=⎧⎪⎨+=⎪⎩∴26.ab=⎧⎨=⎩∴126x y+=.化为一般式为3x＋y－6＝0.12.答案：A解析：当两直线l1，l2与直线MN重合时，d最小且为0；当两直线l1，l2与直线MN垂直时，d 最大，且为5MN=＝.故d的取值范围是0＜d≤5.13.答案：23-解析：设A (x,1)、B (y ＋7，y )，因为AB 中点是M (1，－1)，所以x ＝－2，y ＝－3.所以112213AB k -(-)=---＝.14.答案：1解析：∵直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，∴1×2＋(－2)·m ＝0，即m ＝1.15.答案：[32，＋∞)解析：方程可化为y ＝(3－2t )x －6，恒过(0，－6)．故3－2t ≤0时即可，∴32t ≥.16.答案：4解析：点(m ，n )在直线ax ＋by ＋2c ＝0上，且m 2＋n 2为直线上的点到原点的距离的平方．当两直线垂直时，距离最小．故22c cd ===所以m ＋n 17.解：设过原点的直线方程为y ＝kx (k ＞0)．联立2y kx y x =⎧⎪⎨=⎪⎩得(Pk，(,Q k-．∴4PQ .当且仅当8k k=，即k ＝1时取等号．即PQ 长的最小值是4.18.(1)解：设点M 的坐标为(x ，y )，因为点M 为BC 的中点，所以3122x +=＝，3722y -+=＝，即点M 的坐标为(2,2)．由两点间的距离公式得AM =＝，所以BC 边上的中线AM .(2)AB =，BC =AC =＝所以|AB |＝|AC |，且|AB |2＋|AC |2＝|BC |2.所以△ABC 为等腰直角三角形．19.解：设x ＋3y －5＝0为l ，l 的对边为l 1，l 的两邻边为l 2、l 3，设l 1的方程为x ＋3y ＋m ＝0，∵C 点到l 的距离等于C 点到l 1的距离；=∴m ＝7或－5(舍)．∴l 1的方程为x ＋3y ＋7＝0，∴l 的斜率是1.3-又∵l 2⊥l ，l 3⊥l ，∴l 2，l 3的斜率为3.设l 2，l 3的方程为y ＝3x ＋b ，即3x －y ＋b ＝0.∵C 到l 2、l 3的距离等于C 到l 的距离，=⇒b ＝9或－3.∴l 2的方程为3x －y ＋9＝0，l 3的方程为3x －y －3＝0.20.解：(1)设P ′(x 0，y 0)，则0053PP y k x '--＝.PP ′中点为0035()22x y M ++，．根据对称关系x 0，y 0满足000051·133353·20.22y x x y -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪-+=⎪⎩解得0051.x y =⎧⎨=-⎩故点P 坐标为(5，－1)．(2)方法一：设(x ，y )是对称直线上任一点，则(x ，y )关于M (2,3)的对称点为(4－x,6－y )，根据对称关系，则(4－x,6－y )在直线y ＝－4x ＋1上．代入整理有y ＋4x －21＝0，即为所求直线方程．方法二：在直线y ＝－4x ＋1上任取两点(0,1)，(1，－3)，关于M 的对称点坐标分别为(4,5)，(3,9)．两点连线的直线方程为y ＋4x －21＝0即为所求直线方程．21.解：由已知可得12AB k ＝－，过点M (－4,2)且平行于AB 的直线l 的方程为x ＋2y ＝0.直线AC 的方程为5x －2y ＋10＝0，由方程组2052100x y x y +=⎧⎨-+=⎩得直线l 与AC 的交点坐标为55(36P -，，所以||||5||||6P A CP x CA x ==.所以两部分的面积之比为2225256511=-.22.解：由已知得E (30,0)，F (0,20)，则直线EF 的方程是13020x y +=(0≤x ≤30)．如右图所示，在EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于Q ，PR ⊥CD 于R ，设矩形PQCR 的面积为S ，则S ＝|PR |·|PQ |＝(100－m )·(80－n )．∵13020m n +=，∴n ＝20(1－30m )．∴S ＝(100－m )(80－20＋23m )2(5)21805033m ＝－－＋(0≤m ≤30)．∴当m ＝5时，S 有最大值．第四章《圆与方程》单元检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．直线y ＝x ＋10与曲线x 2＋y 2＝1的位置关系是()．A ．相交B ．相离C ．相切D ．不能确定2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()．A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝13．点P (x ，y ，z )满足2=，则点P 在()．A ．以点(1,1，－1)为半径的圆上B ．以点(1,1，－1)为棱长的正方体内C ．以点(1,1，－1)D ．无法确定4．圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则l 的方程是()．A ．x ＋y ＝0B ．x ＋y －2＝0C ．x －y －2＝0D ．x －y ＋2＝05．圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且只有()．A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6．把圆x 2＋y 2＋2x －4y －a 2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x －4y －4＝0相切，则实数a 的值为()．A ．－3B ．3C ．－3或3D ．以上都不对7．过点P (2,3)向圆x 2＋y 2＝1作两条切线PA 、PB ，则弦AB 所在直线的方程为()．A ．2x －3y －1＝0B ．2x ＋3y －1＝0C ．3x ＋2y －1＝0D ．3x －2y －1＝08．与圆x 2＋y 2－ax －2y ＋1＝0关于直线x －y －1＝0对称的圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋3＝0，则a 等于()．A ．0B ．1C ．2D ．39．圆x 2＋(y ＋1)2＝3绕直线kx －y －1＝0旋转一周所得的几何体的表面积为()．A ．36πB ．12πC ．D ．4π10．动圆x 2＋y 2－(4m ＋2)x －2my ＋4m 2＋4m ＋1＝0的圆心的轨迹方程是()．A ．2x －y －1＝0B ．2x －y －1＝0(x ≠1)C ．x －2y －1＝0(x ≠1)D ．x －2y －1＝011．若过定点M (－1,0)且斜率为k 的直线与圆x 2＋4x ＋y 2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是()．A ．0k <<B ．0k <<C ．0k <<D ．0＜k ＜512．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若MN ≥k的取值范围是()．A ．3[,0] 4-B ．(－∞，34-]∪[0，＋∞)C ．[]33-D ．2[,0]3-二、填空题(本题共4小题，，每小题4分，共16分)13．过直线l ：y ＝2x 上一点P 作圆C ：(x －8)2＋(y －1)2＝2的切线l 1，l 2，若l 1，l 2关于直线l 对称，则点P 到圆心C 的距离为__________．14．点P为圆x2＋y2＝1上的动点，则点P到直线3x－4y－10＝0的距离的最小值为__________．15．已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________．16．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为l垂直的直线的方程为________．三、解答题(本题共6小题，共74分)17．(12分)一圆和直线l：x＋2y－3＝0切于点P(1,1)，且半径为518．(12分)求平行于直线3x＋3y＋5＝0且被圆x2＋y2＝20截得长为的弦所在的直线方程．19．(12分)点A(0,2)是圆x2＋y2＝16内的定点，B，C是这个圆上的两个动点，若BA⊥CA，求BC中点M的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．20．(12分)圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B.(1)求线段AB的垂直平分线的方程；(2)求线段AB的长．21．(12分)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．(1)证明：不论m为何值时，直线和圆恒相交于两点；(2)求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程．22．(14分)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．答案与解析1.答案：B解析：1=>.2.答案：A解析：方法一(直接法)：设圆心坐标为(0，b)，1=，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.方法二(数形结合法)：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为(0,2)，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.方法三(验证法)：将点(1,2)代入四个选择支，排除B，D，又由于圆心在y轴上，排除C.3.答案：C解析：根据两点间距离公式的几何意义，动点(x，y，z)满足到定点(1,1，－1)的距离恒等于2.4.答案：D解析：∵两圆圆心分别为(0,0)和(－2,2)，∴中点为(－1,1)，两圆圆心连线斜率为－1.∴l的斜率为1，且过点(－1,1)．∴l的方程为y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.5.答案：B解析：⊙C11)2＋(y＋1)2＝4，⊙C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4，124C C=<＝，∴只有2条公切线．∴应选B.6.答案：C解析：圆的方程可变为(x＋1)2＋(y－2)2＝a2＋7，圆心为(－1,2)，1=-，解得a＝±3.7.答案：B解析：圆x2＋y2＝1的圆心为坐标原点O，以OP为直径的圆的方程为2231324(1)()x y－＋－＝.显然这两个圆是相交的，由22221313124x yx y⎧+=⎪⎨(-)+(-)=⎪⎩得2x＋3y－1＝0，这就是弦AB所在直线的方程．8.答案：C解析：两圆的圆心分别为(,1)2aA，B(2,0)，则AB的中点1(1,)42a+在直线x－y－1＝0上，即111042a+--=，解得a＝2，故选择C.9.答案：B解析：由题意，圆心为(0，－1)，又直线kx－y－1＝0恒过点(0，－1)，所以旋转一周所得的几何体为球，球心即为圆心，球的半径即是圆的半径，所以S＝)2＝12π.10.答案：C解析：圆心为(2m＋1，m)，r＝|m|(m≠0)．不妨设圆心坐标为(x，y)，则x＝2m＋1，y＝m，所以x－2y－1＝0.又因为m≠0，所以x≠1.因此选择C.11.答案：A解析：圆x2＋4x＋y2－5＝0可变形为(x＋2)2＋y2＝9，如图所示．当x＝0时，y±＝，结合图形可得A，∵1AMk=＝∴(0k∈．12.答案：A解析：圆心(3,2)到直线y＝kx＋3的距离d，MN≥＝∴304k-≤≤.13.答案：解析：圆心C的坐标为(8,1)，由题意，得PC⊥l，∴PC的长是圆心C到直线l的距离．即PC=14.答案：1解析：∵圆心到直线的距离为1025d=＝，∴点P到直线3x－4y－10＝0的距离的最小值为d－r＝2－1＝1.15.答案：(x－2)2＋y2＝10解析：由题意，线段AB中点M(3,2)，12ABk＝－12ABk＝－，∴线段AB中垂线所在直线方程为y－2＝2(x－3)．由223y xy-=(-)⎧⎨=⎩得圆心(2,0)．则圆C的半径r=故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.16.答案：x＋y－3＝0解析：设圆心(a,0)，∴222|1|a+＝－,∴a＝3.∴圆心(3,0)．∴所求直线方程为x＋y－3＝0.17.解：设圆心坐标为C(a，b)，圆的方程即为(x－a)2＋(y－b)2＝25.∵点P(1,1)在圆上，则(1－a)2＋(1－b)2＝25.①又l为圆C的切线，则CP⊥l，∴121ba-=-.②联立①②解得11ab⎧=+⎪⎨=+⎪⎩112ab⎧=-⎪⎨=-⎪⎩即所求圆的方程为(x－1－)2＋(y－1－)2＝25或(x－1＋)2＋(y－1＋)2＝25.18.解：设弦所在的直线方程为x＋y＋c＝0.①则圆心(0,0)到此直线的距离为||2d c=.因为圆的半弦长、半径、弦心距恰好构成直角三角形，所以2220+＝.由此解得c＝±2，代入①得弦的方程为x＋y＋2＝0或x－y－2＝0.19.解：设点M(x，y)，因为M是弦BC的中点，故OM⊥BC.又∵∠BAC＝90°，∴|MA|＝12|BC|＝|MB|.∵|MB|2＝|OB|2－|OM|2，∴|OB|2＝|MO|2＋|MA|2，即42＝(x2＋y2)＋[(x－0)2＋(y－2)2]，化简为x2＋y2－2y－6＝0，。

【红对勾】高中数学(人教A版)必修二练习：3-1-1倾斜角与斜率(含答案解析)

1．已知直线l 的倾斜角α＝30°，则其斜率k 的值为( )A ．0 B.33C.3 D ．1 解析：k ＝tan30°＝33. 答案：B2．若直线l 经过点M(2,3)，N(2，－1)，则直线l 的倾斜角为( )A ．0°B ．30°C ．60°D ．90°解析：M ，N 的横坐标相同，所以l 的倾斜角为90°.答案：D3．已知直线l 的斜率k 满足－1≤k<1，则它的倾斜角α的取值范围是( )A ．－45°<α<45°B ．－45≤α<45°C ．0°<α<45°或135°<α<180°D ．0°≤α<45°或135°≤α<180°答案：D4．已知点P(3,2)，点Q 在x 轴上，若直线PQ 的倾斜角为150°，则点Q 的坐标为________．解析：设Q(x,0)，则由tan150°＝－2x －3＝－33可求之．答案：(3＋23，0)5．如图，已知△ABC 三个顶点坐标A(－2，1)，B(1,1)，C(－2，4)，求三边所在直线的斜率，并根据斜率求这三条直线的倾斜角．解：由斜率公式知直线AB 的斜率k AB ＝1－11－－＝0.直线BC 的斜率k BC ＝4－1－2－1＝－1.由于点A，C的横坐标均为－2，所以直线AC的倾斜角为90°，其斜率不存在．又∵α∈[0°，180°)时，tan0°＝0，∴AB的倾斜角为0°，∴tan135°＝－tan45°＝－1，∴BC的倾斜角为135°.∴直线AB的斜率为0，倾斜角为0°；直线BC的斜率为－1，倾斜角为135°，直线AC 的斜率不存在，倾斜角为90°.课堂小结。

【红对勾】2016-2017学年高中数学必修二(人教A版)课件：3-3-1、2两条直线的交点坐标两点间的距离

方法 2：∵直线 l 过两直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交点，
∴设直线 l 的方程为 2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0，即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0. ∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行， ∴λ＋3 2＝λ－1 3≠2－λ－13，解得 λ＝121. 从而所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
两点间的距离公式
[填一填]
1．公式：点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|
x2－x12＋y2－y12
＝
.
2．文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标
之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．
名师点拨：坐标平面内两点间的距离公式是数轴上两点
间距离公式的推广．
[答一答]
3．两点间的距离公式中点 P1，P2 的位置有先后之分么？提示：点 P1，P2 的位置没有先后之分，即距离公式也可以写为|P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22. 4．对于两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当 P1P2 平行于 x 轴时，如何求 P1，P2 的距离，当 P1P2 平行于 y 轴时，如何求 P1，P2 的距离？提示：当 P1P2 平行于 x 轴时，|P1P2|＝|x2－x1|. 当 P1P2 平行于 y 轴时，|P1P2|＝|y1－y2|.
温馨提示
请做：课堂达标练经典
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请做：课时作业 23
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[变式训练 5] 已知两点 A(3，－3)，B(5,1)，直线 l：y＝x，在直线 l 上求一点 P 使|PA|＋|PB|最小．
解：如图，作点 A 关于直线 l 的对称点 A′，易知 A′(－ 3,3)．连接 BA′交直线 l 于点 P，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB| ＝

高中数学模块综合检测2(含解析)新人教A版选择性必修第二册-新人教A版高二选择性必修第二册数学试题

模块综合检测(二)(满分：150分时间：120分钟)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知f (x )＝ln x 2x ，则lim Δx →0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx Δx ＝( ) A ．－2－ln 2B ．－2＋ln 2C ．2－ln 2D ．2＋ln 2A [由题意，函数f (x )＝ln x 2x ，则f ′(x )＝1x ·2x －(2x )′ln x (2x )2＝2x －12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12ln x 2x ，则lim Δx →0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx Δx ＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2＋ln 22×12＝－2－ln 2，故选A.] 2．等比数列{a n }是递减数列，前n 项的积为T n ，若T 13＝4T 9，则a 8a 15＝( )A ．±2B ．±4C ．2D ．4C [∵T 13＝4T 9，∴a 1a 2…a 9a 10a 11a 12a 13＝4a 1a 2…a 9，∴a 10a 11a 12a 13＝4.又∵a 10·a 13＝a 11·a 12＝a 8·a 15，∴(a 8·a 15)2＝4，∴a 8a 15＝±2.又∵{a n }为递减数列，∴q >0，∴a 8a 15＝2.]3．已知公差不为0的等差数列{a n }的前23项的和等于前8项的和．若a 8＋a k ＝0，则k ＝( )A ．22B ．23C ．24D ．25C [等差数列的前n 项和S n 可看做关于n 的二次函数(图象过原点)．由S 23＝S 8，得S n 的图象关于n ＝312对称，所以S 15＝S 16，即a 16＝0，所以a 8＋a 24＝2a 16＝0，所以k ＝24.]4．已知函数f (x )＝(x ＋a )e x 的图象在x ＝1和x ＝－1处的切线相互垂直，则a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2A [因为f ′(x )＝(x ＋a ＋1)e x ，所以f ′(1)＝(a ＋2)e ，f ′(－1)＝a e －1＝a e ，由题意有f (1)f ′(－1)＝－1，所以a ＝－1，选A.]5．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 10＝( )A ．15B ．19C ．21D ．30B [由S 3＝a 22得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3.由S 1，S 2，S 4成等比数列可得S 22＝S 1·S 4，又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )，化简得3d 2＝2a 2d ，又d ≠0，∴a 2＝3，d ＝2，a 1＝1，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴a 10＝19.]6．若函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在与直线x ＋2y －4＝0垂直的切线，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－2，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(2，＋∞)D [因为函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在与直线x ＋2y －4＝0垂直的切线，所以函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在斜率为2的切线，故k ＝f ′(x )＝a －1x ＝2有解，所以a ＝2＋1x ，x ＞0有解，因为y ＝2＋1x ，x ＞0的值域为(2，＋∞)．所以a ∈(2，＋∞)．]7．已知等差数列{}a n 的前n 项为S n ，且a 1＋a 5＝－14，S 9＝－27，则使得S n 取最小值时的n 为( )A ．1B ．6C ．7D ．6或7B [由等差数列{a n }的性质，可得a 1＋a 5＝2a 3＝－14⇒a 3＝－7，又S 9＝9(a 1＋a 9)2＝－27⇒a 1＋a 9＝－6⇒a 5＝－3，所以d ＝a 5－a 35－3＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 3＋(n －3)d ＝－7＋(n －3)×2＝2n －13，令a n ≤0⇒2n －13≤0，解得n ≤132，所以数列的前6项为负数，从第7项开始为正数，所以使得S n 取最小值时的n 为6，故选B.]8．若方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( )A ．4B ．6C ．4.5D ．8A [设底面边长为x ，高为h ，则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x 2.∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋4×256x ，∴S ′(x )＝2x －4×256x 2. 令S ′(x )＝0，解得x ＝8，∴当x ＝8时，S (x )取得最小值．∴h ＝25682＝4.]二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．设数列{}a n 是等差数列，S n 是其前n 项和，a 1＞0，且S 6＝S 9，则( )A ．d <0B ．a 8＝0C ．S 5＞S 6D ．S 7或S 8为S n 的最大值ABD [根据题意可得a 7＋a 8＋a 9＝0⇒3a 8＝0⇒a 8＝0，∵数列{}a n 是等差数列，a 1＞0，∴公差d <0，所以数列{}a n 是单调递减数列，对于A 、B ，d <0，a 8＝0，显然成立；对于C ，由a 6>0，则S 5<S 6，故C 不正确；对于D ，由a 8＝0，则S 7＝S 8，又数列为递减数列，则S 7或S 8为S n 的最大值，故D 正确．故选ABD.]10．如图是y ＝f (x )导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是( )A ．f (x )在(－2，－1)上是增函数B ．当x ＝－1时，f (x )取得极小值C ．f (x )在(－1，2)上是增函数，在(2，4)上是减函数D ．当x ＝3时，f (x )取得极小值BC [根据图象知当x ∈(－2，－1)，x ∈(2，4)时，f ′(x )＜0，函数单调递减；当x ∈(－1，2)，x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数单调递增．故A 错误；故当x ＝－1时，f (x )取得极小值，B 正确；C 正确；当x ＝3时，f (x )不是取得极小值，D 错误．故选BC.]11．已知等比数列{}a n 的公比q ＝－23，等差数列{}b n 的首项b 1＝12，若a 9>b 9且a 10>b 10，则以下结论正确的有( )A ．a 9a 10<0B ．a 9>a 10C ．b 10>0D ．b 9>b 10AD [∵等比数列{}a n 的公比q ＝－23，∴a 9和a 10异号，∴a 9a 10<0 ，故A 正确；但不能确定a 9和a 10的大小关系，故B 不正确；∵a 9和a 10异号，且a 9>b 9且a 10>b 10，∴b 9和b 10中至少有一个数是负数，又∵b 1＝12>0 ，∴d <0，∴b 9>b 10 ，故D 正确，∴b 10一定是负数，即b 10<0 ，故C 不正确. 故选AD.]12．已知函数f (x )＝x ln x ，若0＜x 1＜x 2，则下列结论正确的是( )A ．x 2f (x 1)＜x 1f (x 2)B ．x 1＋f (x 1)＜x 2＋f (x 2)C ．f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0 D ．当ln x ＞－1时，x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞2x 2f (x 1)AD [设g (x )＝f (x )x ＝ln x ，函数单调递增，则g (x 2)＞g (x 1)，即f (x 2)x 2＞f (x 1)x 1，∴x 1f (x 2)＞x 2f (x 1)，A 正确；设h (x )＝f (x )＋x ∴h ′(x )＝ln x ＋2不是恒大于零，B 错误；f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1不是恒小于零，C 错误；ln x ＞－1，故f ′(x )＝ln x ＋1＞0，函数单调递增．故(x 2－x 1)(f (x 2)－f (x 1))＝x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)－x 2f (x 1)－x 1f (x 2)＞0，即x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 2f (x 1)＋x 1f (x 2)．f (x 2)x 2＝ln x 2＞f (x 1)x 1＝ln x 1，∴x 1f (x 2)＞x 2f (x 1)，即x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞2x 2f (x 1)，D 正确．故选AD.]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＋1＝11－a n(n ∈N *)，a 1＝2，则S 50＝________. 25[因为a n ＋1＝11－a n (n ∈N *)，a 1＝2，所以a 2＝11－a 1＝－1，a 3＝11－a 2＝12，a 4＝11－a 3＝2，∴数列{a n }是以3为周期的周期数列，且前三项和S 3＝2－1＋12＝32， ∴S 50＝16S 3＋2－1＝25.]14．将边长为1 m 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则s 的最小值是________． 3233[设AD ＝x (0<x <1)，则DE ＝AD ＝x ，∴梯形的周长为x＋2(1－x )＋1＝3－x .又S △ADE ＝34x 2，∴梯形的面积为34－34x 2，∴s ＝433×x 2－6x ＋91－x 2(0<x <1)，则s ′＝－833×(3x －1)(x －3)(1－x 2)2. 令s ′＝0，解得x ＝13.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，s ′<0，s 为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1时，s ′>0，s 为增函数．故当x ＝13时，s 取得极小值，也是最小值，此时s 的最小值为3233.]15．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.32[由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2相减可得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，同除以a 2可得2q 2－q －3＝0，解得q ＝32或q ＝－1.因为q >0，所以q ＝32.]16．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ＞0时，xf ′(x )＞f (x )，若f (2)＝0，则2f (3)________3f (2)(填“＞”“＜”)不等式x ·f (x )＞0的解集为________．(本题第一空2分，第二空3分)＞ (－2，0)∪(2，＋∞)[由题意，令g (x )＝f (x )x ，∵x ＞0时，g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2＞0.∴g (x )在(0，＋∞)单调递增，∵f (x )x 在(0，＋∞)上单调递增，∴f (3)3＞f (2)2即2f (3)＞3f (2)．又∵f (－x )＝f (x )，∴g (－x )＝－g (x )，则g (x )是奇函数，且g (x )在(－∞，0)上递增，又g (2)＝f (2)2＝0，∴当0＜x ＜2时，g (x )＜0，当x ＞2时，g (x )＞0；根据函数的奇偶性，可得当－2＜x ＜0时，g (x )＞0，当x ＜－2时，g (x )＜0. ∴不等式x ·f (x )＞0的解集为{x |－2＜x ＜0或x ＞2}．]四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在等差数列{}a n 中，已知a 1＝1，a 3＝－5.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若数列{}a n 的前k 项和S k ＝－25，求k 的值．[解](1)由题意，设等差数列{}a n 的公差为d ，则a n ＝a 1＋()n －1d ，因为a 1＝1，a 3＝－5，可得1＋2d ＝－5，解得d ＝－3，所以数列{}a n 的通项公式为a n ＝1＋()n －1×()－3＝4－3n .(2)由(1)可知a n ＝4－3n ，所以S n ＝n [1＋(4－3n )]2＝－32n 2＋52n ，又由S k ＝－25，可得－32k 2＋52k ＝－25，即3k 2－5k －50＝0，解得k ＝5或k ＝－103，又因为k ∈N *，所以k ＝5.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2.(1)求f (x )的单调区间；(2)函数g (x )＝23x 3－16(x ＞0)，求证：a ＝1时f (x )的图象不在g (x )的图象的上方．[解](1)f ′(x )＝a x ＋x (x ＞0)，若a ≥0，则f ′(x )＞0，f (x )在 (0，＋∞)上单调递增；若a ＜0，令f ′(x )＝0，解得x ＝±－a ，由f ′(x )＝(x －－a )(x ＋－a )x ＞0，得x ＞－a ，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜－a .从而f (x )的单调递增区间为(－a ，＋∞)，单调递减区间为(0，－a )． (2)证明：令φ(x )＝f (x )－g (x )，当a ＝1时，φ(x )＝ln x ＋12x 2－23x 3＋16(x ＞0)，则φ′(x )＝1x ＋x －2x 2＝1＋x 2－2x 3x ＝(1－x )(2x 2＋x ＋1)x. 令φ′(x )＝0，解得x ＝1.当0＜x ＜1时，φ′(x )＞0，φ(x )单调递增；当x ＞1时，φ′(x )＜0，φ(x )单调递减．∴当x ＝1时，φ(x )取得最大值φ(1)＝12－23＋16＝0，∴φ(x )≤0，即f (x )≤g (x )．故a ＝1时f (x )的图象不在g (x )的图象的上方．19．(本小题满分12分)已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若数列{}b n 满足b n ＝log 3a n ＋1，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n .[解](1)由2S n ＝3a n －1()n ∈N ＋得，2S n －1＝3a n －1－1()n ≥2.两式相减并整理得，a n ＝3a n －1()n ≥2.令n ＝1，由2S n ＝3a n －1()n ∈N ＋得，a 1＝1.故{}a n 是以1为首项，公比为3的等比数列，因此a n ＝3n －1()n ∈N ＋.(2)由b n ＝log 3a n ＋1，结合a n ＝3n －1得，b n ＝n .则1b n b n ＋1＝1n ()n ＋1＝1n －1n ＋1 故T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋1n －1n ＋1＝n n ＋1. 20．(本小题满分12分)某旅游景点预计2019年1月份起前x 个月的旅游人数的和p (x )(单位：万人)与x 的关系近似地满足p (x )＝12x (x ＋1)(39－2x )(x ∈N *，且x ≤12)．已知第x 个月的人均消费额q (x )(单位：元)与x 的近似关系是q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 35－2x (x ∈N *，且1≤x ≤6)，160x (x ∈N *，且7≤x ≤12).(1)写出2019年第x 个月的旅游人数f (x )(单位：万人)与x 的函数关系式；(2)问2019年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？[解](1)当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37，当2≤x ≤12，且x ∈N *时，f (x )＝p (x )－p (x －1)＝12x (x ＋1)(39－2x )－12(x －1)x (41－2x )＝－3x 2＋40x ，验证x ＝1也满足此式，所以f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且1≤x ≤12)．(2)第x 个月旅游消费总额(单位：万元)为g (x )＝⎩⎨⎧ (－3x 2＋40x )(35－2x )(x ∈N *，且1≤x ≤6)，(－3x 2＋40x )·160x (x ∈N *，且7≤x ≤12)，即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧6x 3－185x 2＋1 400x (x ∈N *，且1≤x ≤6)，－480x ＋6 400(x ∈N *，且7≤x ≤12). (i)当1≤x ≤6，且x ∈N *时，g ′(x )＝18x 2－370x ＋1 400，令g ′(x )＝0，解得x ＝5或x ＝1409(舍去)．当1≤x ＜5时，g ′(x )＞0，当5＜x ≤6时，g ′(x )＜0，∴当x ＝5时，g (x )max ＝g (5)＝3 125.(ii)当7≤x ≤12，且x ∈N *时，g (x )＝－480x ＋6 400是减函数，∴当x ＝7时，g (x )max ＝g (7)＝3 040.综上，2019年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3 125万元．21．(本小题满分12分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，在等差数列{b n }中，b n >0，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列．(1)求数列{a n b n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .[解](1)∵a n ＝3n －1，∴a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9.∵在等差数列{b n }中，b 1＋b 2＋b 3＝15，∴3b 2＝15，则b 2＝5.设等差数列{b n }的公差为d ，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，∴(1＋5－d )(9＋5＋d )＝64，解得d ＝－10或d ＝2.∵b n >0，∴d ＝－10应舍去，∴d ＝2，∴b 1＝3，∴b n ＝2n ＋1.故a n b n＝(2n＋1)·3n－1.(2)由(1)知T n＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)3n－2＋(2n＋1)3n－1，①3T n＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n，②①－②，得－2T n＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)×3n ＝3＋2×(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)×3n＝3＋2×3－3n1－3－(2n＋1)×3n＝3n－(2n＋1)×3n＝－2n·3n.∴T n＝n·3n.22．(本小题满分12分)设函数f (x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求f (x)的极值点；(2)若关于x的方程f (x)＝a有3个不同实根，某某数a的取值X围；(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f (x)≥k(x－1)恒成立，某某数k的取值X围．[解](1)f ′(x)＝3(x2－2)，令f ′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝ 2.当x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，f ′(x)＞0，当x∈(－2，2) 时，f ′(x)＜0，因此x1＝－2，x2＝2分别为f (x)的极大值点、极小值点．(2)由(1)的分析可知y＝f (x)图象的大致形状及走向如图所示．要使直线y＝a 与y＝f (x)的图象有3个不同交点需5－42＝f (2)＜a＜f (－2)＝5＋4 2.则方程f (x)＝a有3个不同实根时，所某某数a的取值X围为(5－42，5＋42)．(3)法一：f (x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)，因为x＞1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x2＋x－5，由二次函数的性质得g(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)＞g(1)＝－3，所以所求k的取值X围是为(－∞，－3]．法二：直线y＝k(x－1)过定点(1，0)且f (1)＝0，曲线f (x)在点(1，0)处切线斜率f ′(1)＝－3，由(2)中图知要使x∈(1，＋∞)时，f (x)≥k(x－1)恒成立需k≤－3.故实数k的取值X围为(－∞，－3]．。

高中数学必修二模块综合测试卷(2)

高中数学必修二模块综合测试卷(二)一、选择题：（共10小题，每小题5分）1、若直线经过((1,0),A B 两点，则直线AB 的倾斜角为（） A 、30︒ B 、45︒ C 、60︒ D 120︒ 2、下列图形中不一定是平面图形的是（）A 、三角形B 、平行四边形C 、梯形D 、四边相等的四边形 3、已知圆心为(1,2)C -，半径4r =的圆方程为（） A 、()()22124x y ++-= B 、()()22124x y -++= C 、()()221216x y ++-= D 、()()221216x y -++= 4、直线134x y+=与,x y 轴所围成的三角形的周长等于（） A 、6 B 、12 C 、24 D 、605、ABC 的斜二侧直观图如图所示，则ABC 的面积为（A 、1B 、2CD6、下列说法正确的是（）A 、//,//a b b a αα⊂⇒B 、,a b b a αα⊥⊂⇒⊥C 、,//a b a b αα⊥⊥⇒D 、,a a αββα⊥⊂⇒⊥ 7、如图，AB 是O 的直径，C 是圆周上不同于,A B 的任意一点，PA ⊥平面ABC ，则四面体P ABC -的四个面中，直角三角形的个数有（）A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个8、已知圆221:1O x y +=与圆()()222:3416O x x -++=，则圆1O 与圆2O 的位置关系为（）A 、相交B 、内切C 、外切D 、相离9、如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中AB 与CD 的位置关系为（）A 、相交B 、平行ADC 、异面而且垂直D 、异面但不垂直10、对于任意实数a ，点(),2P a a -与圆22:1C x y +=的位置关系的所有可能是（）A 、都在圆内B 、都在圆外C 、在圆上、圆外D 、在圆上、圆内、圆外二、填空题：（共4小题，每小题5分） 11、已知一个球的表面积为236cm π，则这个球的体积为 3cm 。

红对勾45分钟RJ数学A版必修2综合测评(一)

必修二模块综合测评(一)限时：120分钟满分：150分答题表1．下列说法中正确的是()A．棱柱的侧面可以是三角形B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱C．所有的几何体的表面都能展成平面图形D．棱柱的各条棱都相等2．在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段()A．平行且相等B．平行不相等C．相等不平行D．既不平行也不相等3．菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，则P A与对角线BD的位置关系是()A．平行B．相交但不垂直C．垂直相交D．异面垂直4.已知M、N分别是正方体AC1的棱A1B1、A1D1的中点，如图是过M、N、A和D、N、C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正视图为()5．设长方体的对角线长是4，过每一顶点有两条棱与对角线的夹角都是60°，则此长方体的体积是()A.39B．8 2C．8 3 D．16 36．已知点A、B、C、D为同一球面上的四点，且AB＝AC＝AD ＝2，AB⊥AC，AC⊥AD，AD⊥AB，则这个球的表面积是() A．16π B．20πC．12π D．8π7．一圆过圆x2＋y2－2x＝0与直线x＋2y－3＝0的交点，且圆心在y轴上，则这个圆的方程是()A．x2＋y2－4x－4y＋6＝0B．x2＋y2＋4y－6＝0C．x2＋y2－2x＝0D ．x 2＋y 2＋4x －6＝08．设直线过点(0，a )，其斜率为1，且与圆x 2＋y 2＝2相切，则a 的值为( )A ．±4B ．±2 2C ．±2D ．±29．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值等于( )A.14B.34C.32D ．210．圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11.在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，BB 1＝4，长为1的线段PQ 在棱AA 1上移动，长为3的线段MN 在棱CC 1上移动，点R 在棱BB 1上移动，则四棱锥R －PQMN 的体积是( )A ．12B ．10C ．6D ．不确定12．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞二、填空题(每小题5分，共20分)13．如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是半径为2的半圆，俯视图是半径为2的圆，则该几何体的体积等于________．答案1．B 2.A3．D 菱形ABCD 中，AC ⊥BD .又PC ⊥平面α. ∴PC ⊥BD ，∴BD ⊥平面P AC . 又P A ⊂平面P AC ，∴BD ⊥P A .显然P A 与BD 异面，故P A 与BD 异面垂直． 4．B 由正视图的性质知，几何体的正投影为一正方形，正面有可见的一棱和背面有不可见的一棱，故选B.5．B 设长方体的过一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，并且长为a ，b 的两条棱与对角线的夹角都是60°，则a ＝4cos60°＝2，b ＝4cos60°＝2.根据长方体的对角线性质，有a 2＋b 2＋c 2＝42，即22＋22＋c 2＝42.∴c ＝2 2.因此长方体的体积V ＝abc ＝2×2×22＝8 2.6．C 把这四点再补四点可作为一个正方体的顶点，则这八个顶点都在球面上，球为正方体的外接球，所以23＝2R ，R ＝3，S ＝4πR 2＝12π，故选C.7．B 设所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋λ(x ＋2y －3)＝0，即x 2＋y 2＋(λ－2)x ＋2λy －3λ＝0.依题意，－λ－22＝0，λ＝2. 故圆的方程为x 2＋y 2＋4y －6＝0. 8．C9．B y －2x －1表示圆x 2＋y 2＝1上的点P (x ，y )与A (1,2)连线的斜率．由A (1,2)作圆的两条切线，较小的斜率即为所求．10．C 圆心(3,3)到直线3x ＋4y －11＝0的距离为d ＝|3×3＋4×3－11|5＝2，圆的半径是3. ∴圆上的点到直线3x ＋4y －11＝0的距离为1的点有3个． 11．C 设四棱锥R －PQMN 的高为d ，则d ＝322，S四边形PQMN＝12(1＋3)×32＝62，V R －PQMN ＝13S 四边形PQMN ·d ＝13×62×322＝6，故选C.12．B ∵y (y －mx －m )＝0， ∴y ＝0或y －mx －m ＝0.当y ＝0时，显然与圆x 2＋y 2－2x ＝0有两个不同的交点，要使两曲线有四个不同的交点，只需y －mx －m ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0有两个不同的交点，且m ≠0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －mx －m ＝0，x 2＋y 2－2x ＝0，消去y ，得关于x 的一元二次方程，再令Δ>0，解得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33.13.16π3解析：由三视图知该几何体是半径为2的半球，所以其体积为12×43π×23＝16π3.14.直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点且|AB |＝23，则实数a ＝________.15．一个横放的圆柱形水桶，桶内的水漫过底面周长的四分之一，那么当桶直立时，水的高度与桶的高度的比为________．16.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1垂直于底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是________．①CC1与B1E是异面直线；②AC⊥平面ABB1A1；③AE与B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1；④A1C1∥平面AB1E.三、解答题(写出必要的计算步骤，解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)17．(10分)已知一个组合体的三视图，如图所示，请根据具体的数据，计算该组合体的体积．18．(12分)在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠BAC 的角平分线所在的直线方程为y ＝0.若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．答案14.0解析：因为圆的圆心坐标为(1,2)，半径r ＝2，且|AB |＝23，故圆心到直线的距离d ＝r 2－(|AB |2)2＝4－(3)2＝1，即|a －2＋3|a 2＋1＝1，所以|a ＋1|＝a 2＋1，平方得a 2＋2a ＋1＝a 2＋1，解得a ＝0.15．(π－2)4π解析：设圆柱形水桶的底面半径为R ，高为h ，桶直立时，水的高度为x .横放时水桶底面在水内的面积为(14πR 2－12R 2)，水的体积为V 水＝(14πR 2－12R 2)h .直立时水的体积不变，则有V 水＝πR 2x ， ∴x h ＝(π－2)4π. 16．③解析：①中，直线CC 1与B 1E 都在面BCC 1B 1中，不是异面直线；②中，面ABC ⊥面ABB 1A 1，而AC 与AB 不垂直，则AC 与平面ABB 1A 1不垂直；③中，AE 与B 1C 1不平行也不相交，是异面直线，又由已知得面ABC ⊥面BCC 1B 1，由△ABC 为正三角形，且E 为BC 的中点知AE ⊥BC ，所以AE ⊥面BCC 1B 1，则AE ⊥B 1C 1；④中，A 1C 1与平面AB 1E 相交，故错误．17．解：由三视图可知此组合体的结构为：上部是一个圆锥，中部是一个圆柱，下部也是一个圆柱，由题图中的尺寸可知：V 圆锥＝13πr 2h 1＝13π×22×2＝8π3，V 圆柱＝πr 2h 2＝π×22×10＝40π，V 圆柱′＝πr 2h 3＝π×42×1＝16π，所以此组合体的体积为V ＝8π3＋40π＋16π＝1763π.18．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0.所以点A 的坐标为(－1,0)．所以直线AB 的斜率k AB ＝1，又x 轴是∠BAC 的角平分线，所以k AC ＝－1，则AC 边所在直线的方程为y ＝－(x ＋1)． ① 又已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，故直线BC 的斜率k BC ＝－2，所以BC 边所在的直线方程为 y －2＝－2(x －1)． ②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－6，即点C 的坐标为(5，－6)．19.(12分)已知圆C 经过A (2,4)、B (3,5)两点，且圆心C 在直线2x －y －2＝0上．(1)求圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋3与圆C 总有公共点，求实数k 的取值范围．20．(12分)如图，AA 1B 1B 是圆柱的轴截面，C 是底面圆周上异于A 、B 的一点，AA 1＝AB ＝2.(1)求证：平面A 1AC ⊥平面BA 1C ；(2)求VA 1－ABC 的最大值．答案19.解：(1)由于AB 的中点坐标为(52，92)，k AB ＝1，则线段AB 的垂直平分线的方程为y ＝－x ＋7，圆心C 是直线y ＝－x ＋7与直线2x －y －2＝0的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋7，2x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，即圆心C (3,4)，又半径为|CA |＝(2－3)2＋(4－4)2＝1，故圆C 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝1.(2)圆心C (3,4)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|3k －4＋3|1＋k2，由题意d ≤1，化简得4k 2－3k ≤0，解得0≤k ≤34. 20．解：(1)证明：∵C 是底面圆周上异于A 、B 的一点，且AB 为底面圆的直径，∴BC ⊥AC .又AA 1⊥底面ABC ，∴BC ⊥AA 1，∴BC ⊥平面A 1AC .由面面垂直的判定定理知，平面A 1AC ⊥平面BA 1C .(2)在Rt △ACB 中，设AC ＝x ，则BC ＝AB 2－AC 2＝4－x 2(0<x <2)．故VA 1－ABC ＝13S △ABC ×AA 1＝13×12AC ×BC ×AA 1＝13x 4－x 2(0<x <2)．VA 1－ABC ＝13x 4－x 2＝13x 2(4－x 2) ＝13－(x 2－2)2＋4.∵0<x <2，∴0<x 2<4.∴当x 2＝2，即x ＝2时，VA 1－ABC 的值最大，即(VA 1－ABC )max ＝23.21.(12分)已知动点M 到点A (2,0)的距离是它到点B (8,0)的距离的一半，求：(1)动点M 的轨迹方程；(2)若N 为线段AM 的中点，试求点N 的轨迹．22．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．(1)求证：PB∥平面ACM；(2)求证：AD⊥平面P AC；(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．答案21.解：(1)设动点M (x ，y )为轨迹上任意一点，则点M 的轨迹就是集合P ＝{M ||MA |＝12|MB |}．由两点间距离公式，点M 适合的条件可表示为(x －2)2＋y 2＝12(x －8)2＋y 2.平方后再整理，得x 2＋y 2＝16.可以验证，这就是动点M 的轨迹方程．(2)设动点N 的坐标为(x ，y )，M 的坐标是(x 1，y 1)．由于A (2,0)，且N 为线段AM 的中点，所以x ＝2＋x 12，y ＝0＋y 12.所以有x 1＝2x －2，y 1＝2y .①由(1)知，M 是圆x 2＋y 2＝16上的点，所以M 的坐标(x 1，y 1)满足x 21＋y 21＝16.②将①代入②整理，得(x －1)2＋y 2＝4.所以N 的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆．22．解：(1)证明：连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点．又M 为PD 的中点，所以PB ∥MO .因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ，所以PB ∥平面ACM .(2)证明：因为∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1，所以∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC .又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥AD .而AC ∩PO ＝O ，所以AD ⊥平面P AC .(3)取DO 的中点N ，连接MN ，AN .因为M 为PD 的中点，所以MN ∥PO ，且MN ＝12PO ＝1.由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以∠MAN 即是直线AM 与平面ABCD 所成的角．在Rt △DAO 中，AD ＝1，AO ＝12，所以DO ＝52，从而AN ＝12DO ＝54.在Rt △ANM 中，tan ∠MAN ＝MN AN ＝154＝455，即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为455.。

红对勾45分钟RJ数学A版必修2第三章单元质量评估

第三章单元质量评估限时：120分钟满分：150分答题表1．直线x ＝tan π6的倾斜角是( ) A ．0 B.π6 C.π3D.π22．下列命题：①若两直线平行，则其斜率相等；②若两直线垂直，则其斜率之积为－1；③垂直于x 轴的直线平行于y 轴．其中正确命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3 3．已知P (－1,0)在直线l ：ax ＋by ＋c ＝0上的射影为点Q (－2，3)，则直线l 的倾斜角是( ) A ．60° B ．30° C ．120°D ．150°4．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y ＝1平行，则m 的值为( )A ．0B ．－8C ．2D ．105．若a ＋b ＝0(a ≠0，b ≠0)，则在同一直角坐标系中，直线y ＝ax ＋1与y ＝bx －1的图象表示正确的是( )6．已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a 等于( )A ．2B ．1C ．0D ．－17．一条线段的长是5个单位，它的一个端点是A (2,1)，另一个端点B 的横坐标是－1，则点B 的纵坐标是( )A ．－3B ．5C ．－3或5D ．－1或－38．方程y －ax －1a ＝0表示的直线可能是( )9．若实数m ，n 满足2m －n ＝1，则直线mx －3y ＋n ＝0必过定点( )A ．(2，13)B ．(－2，13)C ．(2，－13) D ．(－2，－13)10．已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A 、B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为( )A.12 B ．1 C.32D ．211．当直线y ＝kx 与曲线y ＝|x |－|x －2|有三个公共点时，实数k 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)12．已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1－22，12) C ．(1－22，13]D ．[13，12)二、填空题(每小题5分，共20分)13．a ，b ，c 是两两不等的实数，则经过P (b ，b ＋c )、C (a ，c ＋a )两点的直线的倾斜角为________．14．过点P (1,3)的直线分别与两坐标轴交于A ，B 两点，若P 为AB 的中点，则直线的方程为________．15．光线自点M (2，－3)射到y 轴上的点N (0，－1)后被y 轴反射，则反射光线所在直线与x 轴的交点坐标为________．答案1．D 本题主要考查直线倾斜角的概念．因为直线x ＝tan π6＝33与x 轴垂直，所以它的倾斜角为π2，故选D.2．A ①两直线斜率不存在时，也可以平行，故不对；②两直线一条不存在斜率，另一条斜率为0，此时也垂直，故不对．③垂直于x 轴的直线不一定平行于y 轴，可以与y 轴重合，故不对．3．B 因l ⊥PQ ，又k PQ ＝3－0－2－(－1)＝－3，故k l ＝33.∴直线l 的倾斜角为30°.4．B 由两直线平行，得斜率关系式m －4－2－m ＝－2，得m ＝－8.5．B 本题主要考查直线方程的图象表示．由a ＋b ＝0(a ≠0，b ≠0)知两直线的斜率互为相反数，所以排除C 、D ；又两直线在y 轴上的截距分别为1和－1，所以排除A ；当a <0时可知B 正确，故选B.6．D 由题知(a ＋2)a ＝－1，即a 2＋2a ＋1＝(a ＋1)2＝0. ∴a ＝－1，故选D.7．C 设B 点的纵坐标为y ，则B (－1，y )． ∵|AB |＝5，∴(2＋1)2＋(y －1)2＝25. ∴y ＝－3，或y ＝5.8．B 将方程变形为y ＝ax ＋1a ，则a 为直线的斜率，1a 为直线在y 轴上的截距．因为a ≠0，所以a >0，或a <0.当a >0时，四个图形都不可能是方程表示的直线；当a <0时，图形B 是方程表示的直线．9．D 本题主要考查直线恒过定点问题．由已知得n ＝2m －1，代入直线mx －3y ＋n ＝0得mx －3y ＋2m －1＝0，即(x ＋2)m ＋(－3y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，－3y －1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－13，所以此直线必过定点(－2，－13)，故选D.10．A 本题主要考查直线的截距式方程和一元二次函数的最值问题．直线x ＋2y ＝2可化为x2＋y ＝1，则直线与x 轴的交点为A (2,0)，与y 轴的交点为B (0,1)．由动点P (a ，b )在线段AB 上可知a ＋2b ＝2且0≤b ≤1，从而a ＝2－2b .于是ab ＝(2－2b )b ＝－2b 2＋2b ＝－2(b －12)2＋12，因为0≤b ≤1，所以当b ＝12时，ab 取最大值12，故选A.11．A本题主要考查斜率变化的动直线与已知图象交点个数的判断．依题意得，当x <0时，y ＝－x ＋(x －2)＝－2；当0≤x ≤2时，y ＝x ＋(x －2)＝2x －2；当x >2时，y ＝x －(x －2)＝2.在直角坐标系中画出该函数的图象(如图所示)，将x 轴绕着原点沿逆时针方向旋转，在旋转到直线恰好经过点(2,2)的过程中，相应的直线(不包括过点(2,2)的直线)与该函数的图象都有三个不同的交点，继续旋转，相应的直线与该函数的图象都不再有三个不同的交点，因此满足题意的k 的取值范围是(0,1)，故选A.12．B 本题主要考查当动态直线分三角形面积时探求参数的取值范围问题．线段BC 所在的直线方程为x ＋y ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b ，消去x ，得y ＝a ＋b a ＋1.当a >0时，直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点(－ba ，0)，结合图形可知12×a ＋b a ＋1×(1＋b a )＝12，化简得(a ＋b )2＝a (a ＋1)，则a ＝b 21－2b ，因为a >0，所以b 21－2b >0，解得b <12.考虑极限位置，当a ＝0时，结合图形可求得b ＝1－22，可知b 的取值范围是(1－22，12)，故选B.13．45°解析：k ＝c ＋a －(b ＋c )a －b ＝a －b a －b ＝1，∴直线的倾斜角为45°. 14．3x ＋y －6＝0解析：设A (m,0)，B (0，n )．由P (1,3)是AB 的中点可得m ＝2，n ＝6，即A ，B 的坐标分别为(2,0)，(0,6)．由两点式直接得方程y －06－0＝x －20－2，即3x ＋y －6＝0.15．(1,0) 解析：本题主要考查光的反射性质在直线方程中的应用与利用点斜式求直线的方程．如图，点M (2，－3)关于直线l NP ：y ＝－1的对称点为M ′(2,1)，于是反射光线所在的直线方程的斜率为k M ′N ＝1－(－1)2－0＝1，故所求直线方程为y －(－1)＝1×(x －0)，即x －y －1＝0.令y ＝0得x ＝1，所以反射光线所在直线与x 轴的交点坐标为(1,0)．16.若直线m被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是：①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°.其中正确答案的序号是________．三、解答题(写出必要的计算步骤，解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)17．(10分)设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＝2m －6，根据下列条件确定实数m的值．(1)直线l在x轴上的截距是－3；(2)l的斜率为－1.18．(12分)求经过点P(－2,3)，且满足下列条件的直线方程：(1)在x轴，y轴上的截距之和等于6；(2)在x轴，y轴上的截距分别为a，b，且满足b＝2a.答案16.①⑤解析：因为l 1∥l 2，所以直线l 1，l 2间的距离d ＝|1－3|2＝ 2.设直线m 与直线l 1，l 2分别相交于点B ，A ，则|AB |＝22，过点A 作直线l 垂直于直线l 1，垂足为C ，则|AC |＝d ＝2，则在Rt △ABC 中，sin ∠ABC ＝|AC ||AB |＝222＝12，所以∠ABC ＝30°，又直线l 1的倾斜角为45°，所以直线m 的倾斜角为45°＋30°＝75°或45°－30°＝15°.17．解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3≠0，2m －6m 2－2m －3＝－3，⇒m ＝－53.(2)⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －1≠0，m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1，⇒m ＝43.18．解：(1)方法一设直线方程为y －3＝k (x ＋2)(k ≠0)，当x ＝0时，y ＝3＋2k ；当y ＝0时，x ＝－3k －2. 依题意，有3＋2k －3k －2＝6，即2k 2－5k －3＝0，解得k ＝－12或3.于是所求直线方程为y －3＝－12(x ＋2)或y －3＝3(x ＋2)，即x ＋2y －4＝0或3x －y ＋9＝0.方法二设直线方程为x a ＋y6－a ＝1，因为直线过点P (－2,3)，所以－2a ＋36－a＝1，整理得a 2－a －12＝0，解得a ＝－3或4.于是所求直线方程为x －3＋y 9＝1或x 4＋y2＝1，即3x －y ＋9＝0或x＋2y －4＝0.(2)①当a ≠0时，设直线方程为x a ＋y2a ＝1，将P (－2,3)代入，得－2a ＋32a ＝1，解得a ＝－12，此时直线方程为x －12＋y－1＝1，即2x ＋y ＋1＝0.②当a ＝0时，直线过点(0,0)和(－2,3)，所以直线的斜率为－32，此时直线的方程为y ＝－32x ，即3x ＋2y ＝0.综上可知，所求直线方程为2x ＋y ＋1＝0或3x ＋2y ＝0.19.(12分)已知两条直线l 1：ax ＋by －2＝0，l 2：(a ＋1)x －y －2b ＝0，求分别满足下列条件的a ，b 的值：(1)直线l 1过点(－2,1)，并且直线l 1与l 2垂直；(2)直线l 1与l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等．20．(12分)已知直线l ：3x －2y ＋5＝0，点A (1，－2)，求下列问题：(1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线l 关于点A (1，－2)对称的直线l ′的方程．答案19.解：(1)因为l 1⊥l 2，所以a ·(a ＋1)＋b ·(－1)＝0，即a 2＋a －b＝0. ①又点(－2,1)在直线l 1上，所以－2a ＋b －2＝0. ②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝6.故所求a ，b 的值为a ＝－1，b ＝0或a ＝2，b ＝6.(2)因为l 1∥l 2且l 2的斜率为a ＋1，所以l 1的斜率也存在，且－a b ＝a ＋1，即b ＝－aa ＋1. ③故l 1和l 2的方程可分别表示为l 1：(a ＋1)x －y －2(a ＋1)a ＝0，l 2：(a ＋1)x －y ＋2aa ＋1＝0.因为原点到l 1与l 2的距离相等，所以|2(a ＋1)a |＝|2a a ＋1|，解得a ＝－12.将a ＝－12代入③，求得b ＝1.故所求a ，b 的值为a ＝－12，b ＝1.20．解：(1)设A ′(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧ y 0＋2x 0－1×32＝－1，3×x 0＋12－2×y 0－22＋5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0＋3y 0＋4＝0，3x 0－2y 0＋17＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－5913，y 0＝2213.所以对称点A ′的坐标为(－5913，2213)．(2)方法一设P (x ，y )为直线l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (1，－2)的对称点为P ′(2－x ，－4－y )，且点P ′在直线l 上．所以3(2－x )－2(－4－y )＋5＝0，即3x －2y －19＝0.故所求直线l ′的方程为3x －2y －19＝0.方法二由于直线l ′与直线l ：3x －2y ＋5＝0平行，则可设直线l ′的方程为3x －2y ＋b ＝0.由点A (1，－2)到两直线距离相等，得 |3＋4＋5|32＋(－2)2＝|3＋4＋b |32＋(－2)2，解得b＝5(舍去)或b＝－19，故所求直线l′的方程为3x－2y－19＝0.21.(12分)设x＋2y＝1，求x2＋y2的最小值；若x≥0，y≥0，求x2＋y2的最大值．22．(12分)当0<a<2时，直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y ＝2a2＋4与坐标轴围成一个四边形，要使四边形面积最小，a应取何值？答案21.解：在直角坐标系中，x ＋2y ＝1表示直线．记d 2＝x 2＋y 2，它表示直线上的点到原点的距离的平方，显然原点到直线x ＋2y ＝1的距离的平方即为所求的最小值，即d 2min ＝(|－1|12＋22)2＝15.若x ≥0，y ≥0，则问题即为求线段AB 上的点到原点的距离的平方的最大值(如右图所示)，显然d 2max ＝|OA |2＝1.22．解：直线l 1：ax －2y ＝2a －4可化为a (x －2)＋(－2y ＋4)＝0. ∵a 可取(0,2)上的任意值，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，－2y ＋4＝0，∴l 1过点A (2,2)．同理可得l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，也过点A (2,2)．又kl 1＝a 2>0，kl 2＝－2a 2<0，l 1与y 轴的交点为D (0,2－a )，l 2与x轴的交点为B (a 2＋2,0)，∴S 四边形ABOD ＝S △AOD ＋S △ABO＝12(2－a )×2＋12(a 2＋2)×2＝a 2－a ＋4＝(a －12)2＋154，∴当a ＝12时，S 四边形ABOD 的最小值为154.。

【红对勾】2016-2017学年高中数学必修二(人教A版)课件：1-3-1柱体、锥体、台体的表面积与体积

柱体、锥体、台体的体积
[填一填] 1．柱体的体积：V 柱体＝ Sh (S 表示柱体的底面面积， h 表示柱体的高)．
1 2．锥体的体积：V 锥体＝ 3Sh (S 表示锥体的底面面积， h 表示锥体的高)．
3．台体的体积：V台体＝ 13(S′＋ S′S＋S)h (S′， S分别表示台体的上、下底面面积，h表示台体的高)．
[解] 将四边形ABCD绕AD边所在的直线旋转一周形成一个被挖去一个圆锥的圆台，如图(2)．
由题意可得CD＝2 2 ，AD＝2，CE＝ED＝2，AB＝5， AE＝4，BC＝5，所以S＝π·EC·DC＋π(EC＋AB)·BC＋π·AB2＝ 4 2π＋35π＋25π＝60π＋4 2π，V＝13π(CE2＋AB2＋CE·AB)·AE －13π·CE2·DE＝52π－83π＝1438π.
[答一答] 3．柱体的体积与哪些量有关？提示：柱体的体积仅与它的底面积和高有关，而与底面的形状以及是斜棱柱或直棱柱无关． 4．对于三棱锥在求体积时，底面固定吗？怎样确定哪个面为底面？提示：不固定，三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面，关键是哪个底面的面积和相应的高容易求出，就选哪个面为底面．
EA1B＝13·a42·a＝1a23 ，所以VA1－EBFD1＝2×1a23 ＝a63.
3．构造法对于某些几何体性质的探究较困难时，我们可以将它放置在我们熟悉的几何体中，如正方体等这些对称性比较好的几何体，以此来研究所求几何体的性质．
[典例3] 如下图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2CD＝2， ∠DAB＝60°，E是AB的中点，将△ADE，△BEC分别沿ED， EC向上折起，使A，B重合于点P，求三棱锥P－CDE的体积．
解析：作出长、宽、高分别为2、1、1的长方体，该四面体是如图所示的三棱锥P—ABC，表面积为 12 ×1×2×2＋ 43×( 2)2×2＝2＋ 3.

红对勾45分钟RJ数学A版必修2综合测评(二)

模块综合测评(二)限时：120分钟满分：150分答题表题号123456789101112 答案1．如图所示的几何体中是棱柱的有()A．6个B．5个C．4个D．3个2．若直线l经过原点与点(－1，－1)，则它的倾斜角是()A．45°B．135°C．45°或135°D．0°3．与直线2x－y＋1＝0平行，且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是()A．2x－y＋5＝0B．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0C．2x－y－5＝0D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝04．已知点A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，则A，B两点间距离的最小值是()A.55 B.355C.555 D.1155．设圆C：x2＋y2＋2x＋23y－5＝0与x轴交于A，B两点，则弦AB的长是()A. 3 B．2 3C. 6 D．2 66．若M(x0，y0)为圆x2＋y2＝a2(a>0)内异于圆心的一点，则直线x0x＋y0y＝a2与该圆的位置关系为()A．相切B．相交C．相离D．相切或相交7．在空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为(0,0,2)，(2,2,0)，(0,2,0)，(2,2,2)．画该四面体三视图中的正视图时，以平面xOz为投影面，则得到的正视图可以为()8．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是()A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD ．若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β9．已知二面角α－l －β是锐二面角，直线AB ⊂α，AB 与l 所成的角为45°，AB 与平面β成30°角，则二面角α－l －β的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°10．过点P (－3,4)作圆x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．3x ＋4y －7＝0B ．3x －4y ＋25＝0C ．3x －4y ＋4＝0D ．3x －4y ＝011．已知点A (2,1)，B (3，－2)，点P 是直线l ：2x ＋y －1＝0上的动点，则|P A |2＋|PB |2的最小值为( )A.9110 B.9310 C.9710D.991012．一个多面体的直观图、正视图、侧视图、俯视图如下，M 、N 分别为A 1B 、B 1C 1的中点．下列结论中正确的个数为( )①直线MN 与A 1C 相交；②MN ⊥BC ；③MN ∥平面ACC 1A 1；④三棱锥N －A 1BC 的体积为VN －A 1BC ＝16a 3.A ．4B ．3C ．2D ．1答案1．D 根据棱柱的定义可知，①③⑥所示的几何体是棱柱，共3个．故选D.2．A 易知直线l 的斜率为－1－0－1－0＝1，设倾斜角为α，则tan α＝1，∵α∈[0°，180°)，∴α＝45°.3．B 因为该切线与直线2x －y ＋1＝0平行，所以可设切线方程为2x －y ＋C ＝0，则圆心到切线的距离d ＝|C |22＋12＝5，解得C ＝±5，所以切线方程为2x －y ±5＝0，故选B.4．B |AB |＝(1－t －2)2＋(1－t －t )2＋(t －t )2 ＝(t ＋1)2＋(2t －1)2＋0 ＝5t 2－2t ＋2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95. 当t ＝15时，|AB |min ＝355.5．D 易知圆心C (－1，－3)到x 轴的距离为3，圆C 的半径r ＝3.由勾股定理可得|AB |＝232－(3)2＝26，故选D.6．C 由圆的方程可知圆心为(0,0)，半径r ＝a ，由M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝a 2内，可得x 20＋y 20<a 2，又x 20＋y 20≠0，则圆心到直线x 0x ＋y 0y ＝a 2的距离d ＝a 2x 20＋y 20>a 2a ＝a ＝r ，所以直线与圆相离．7．A 如图所示，题中四面体设为ABCD ，将该四面体放到棱长为2的正方体中，以平面xOz 为投影面，则正视图为正方形HODN ，且BC 的投影为实线，AD 的投影为虚线，所以选A.8．C 选项A ，B ，D 均可能出现l ∥β，故选C.9．B 如图，作AO ⊥l 于O ，作AC ⊥β于C ，连接BC ，OC .在Rt △AOB 中，∠ABO ＝45°，设AB ＝1，则AO ＝22.∵在Rt △ACB 中，∠ABC ＝30°，∴AC ＝12AB ＝12，∴在Rt △ACO 中，sin ∠AOC ＝AC AO ＝1222＝22，∴∠AOC ＝45°.10．C 以PO (O 为原点)为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋(y －2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522，即x 2＋y 2＋3x －4y ＝0，将两圆方程相减得3x －4y ＋4＝0，因为这条直线经过两圆的交点(即切点A ，B )，所以3x －4y ＋4＝0就是直线AB 的方程，故选C.11．D 设点P 的坐标为(x,1－2x )，则|P A |2＋|PB |2＝(x －2)2＋(1－2x －1)2＋(x －3)2＋(1－2x ＋2)2＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫x －11102＋9910≥9910，则|P A |2＋|PB |2的最小值为9910，故选D.12．B 由题图可知，此几何体为直棱柱，底面是以C 为直角顶点的等腰直角三角形，连接AC 1，AB 1，则A 1B ∩AB 1＝M ，易知MN ∥AC 1，AC 1与A 1C 相交，所以直线MN 与A 1C 异面，故①错；BC ⊥平面ACC 1A 1，所以BC ⊥AC 1，所以BC ⊥MN ，因为MN ∥AC 1，所以MN ∥平面ACC 1A 1，所以②③正确；VN －A 1BC ＝VA 1－NBC ＝13×12×a ×a ×a ＝16a 3，所以④正确．故选B.学生用书第106页二、填空题(每小题5分，共20分)13．过点P (1,2)引圆x 2＋y 2＝1的两条切线，则这两条切线与x 轴和y 轴围成的四边形的面积是________．14．在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的A 点与坐标原点重合，边AB 在x 轴上，边AD 在y 轴的正半轴上，且AB ＝2，AD ＝1.将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上，若折痕所在直线的斜率为2，则折痕所在直线的方程为________．15．如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水，若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则Rr ＝________.16．下列命题中正确的是________．(填序号)①空间中三个平面α，β，γ，若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ； ②球O 与棱长为a 的正四面体各面都相切，则该球的表面积为π6a 2；③三棱锥P －ABC 中，P A ⊥BC ，PB ⊥AC ，则PC ⊥AB . 三、解答题(写出必要的计算步骤，解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)17．(10分)已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34. (1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．18．(12分)如图1，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝1，BC ＝PC ＝2.作如图2折叠：折痕EF ∥DC ，其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF .(1)证明：CF ⊥平面MDF ； (2)求三棱锥M －CDE 的体积．答案13.138解析：由题意易知直线x ＝1是该圆的一条切线，设另一条切线的斜率为k ，则切线方程为kx －y ＋2－k ＝0，那么|2－k |1＋k 2＝1，解得k ＝34，所以切线方程为3x －4y ＋5＝0，当x ＝0时，y ＝54，则这两条切线与x 轴和y 轴所围成的四边形的面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋54×12＝138.14．y ＝2x ＋52解析：设将矩形折叠后A 点落在线段CD 上的点为G (a,1)，则点A 与点G 关于折痕所在的直线对称，则k AG ·2＝－1，即1a ·2＝－1，解得a ＝－2，故点G 的坐标为(－2,1)，从而折痕所在的直线与AG 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，则折痕所在直线的方程为y －12＝2(x ＋1)，即y＝2x ＋52.15.233解析：根据题意得43πr 3＝πR 2r ，化简可得R r ＝233. 16．②③解析：①中α与γ也可能相交，①错误；②中可得球的半径为r＝612a ，故球的表面积为4πr 2＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫612a 2＝π6a 2，②正确；③中由P A⊥BC ，PB ⊥AC ，得点P 在底面ABC 上的投影为△ABC 的垂心，故PC ⊥AB ，③正确．17．解：(1)由直线方程的点斜式，得y －5＝－34(x ＋2)，整理得所求直线方程为3x ＋4y －14＝0.(2)由直线m 与直线l 平行，可设直线m 的方程为3x ＋4y ＋C ＝0，由点到直线的距离公式得|3×(－2)＋4×5＋C |32＋42＝3，即|14＋C |5＝3，解得C ＝1或C ＝－29，故所求直线方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0. 18．解：(1)证明：∵ED ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴ED ⊥AD .又∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ⊥CD . ∵ED ∩CD ＝D ，∴AD ⊥平面CDEF .∵CF ⊂平面CDEF ，∴MD ⊥CF . 又∵CF ⊥MF ，MD ∩MF ＝M ， ∴CF ⊥平面MDF .(2)在Rt △PCD 中，CD ＝1，PC ＝2， ∴PD ＝22－1＝3，∠CPD ＝30°. 由(1)知CF ⊥平面MDF ， ∴CF ⊥DF ，∴在Rt △PDF 中，DF ＝PD sin30°＝32，PF ＝PD cos30°＝32.∵EF ∥CD ，PD ⊥CD ，∴PE ⊥EF .∴在Rt △PEF 中，PE ＝PF cos30°＝334， ∴ED ＝PD －PE ＝3－334＝34，ME ＝PE ＝334. ∴在Rt △MED 中， MD ＝EM 2－DE 2＝2716－316＝32，∴V M －CDE ＝13S △CDE ·MD ＝16CD ·DE ·MD ＝16×1×34× 32＝216.∴三棱锥M －CDE 的体积为216.19.(12分)如图所示，圆锥的轴截面为等腰直角三角形SAB，Q为底面圆周上一点．(1)若QB的中点为C，OH⊥SC，求证OH⊥平面SBQ；(2)如果∠AOQ＝60°，QB＝23，求此圆锥的全面积．20．(12分)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.求动圆圆心的轨迹C的方程．答案19.解：(1)证明：连接OC，∵OQ＝OB，C为QB的中点，∴OC⊥QB，∵SO⊥平面ABQ，BQ⊂平面ABQ，∴SO⊥BQ，又SO∩OC＝O，可得BQ⊥平面SOC.∵OH⊂平面SOC，∴BQ⊥OH.∵OH⊥SC，SC，BQ是平面SBQ内的相交直线，∴OH⊥平面SBQ.(2)连接AQ，则∠AQB＝90°.∵∠AOQ＝60°，QB＝23，∴Rt△ABQ中，∠ABQ＝30°，可得AB＝QBcos∠ABQ＝4.∵圆锥的轴截面为等腰直角三角形SAB，∴圆锥的底面半径为2，高SO＝2，可得母线SA＝22，因此，圆锥的侧面积为S侧＝π×2×22＝42π，∴此圆锥的全面积为S侧＋S底＝42π＋π×22＝(4＋42)π.20．解：如图，设动圆圆心O1(x，y)，由题意，知|O1A|＝|O1M|.当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，∴|O1M|＝x2＋42，又|O1A|＝(x－4)2＋y2，∴(x－4)2＋y2＝x2＋42，化简得y2＝8x(x≠0)．当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0,0)，满足方程y2＝8x.∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.21.(12分)如图，在Rt△AOB中，∠OAB＝30°，斜边AB＝4，将△AOB绕直线AO旋转得到△AOC，且二面角B－AO－C是直二面角，动点D在边AB上．(1)求证：平面COD⊥平面AOB；(2)当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的正切值；(3)求CD与平面AOB所成角的正切值的最大值．22．(12分)已知圆C的方程：x2＋y2－2x－4y＋m＝0，其中m<5.(1)若圆C与直线l1：x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且|MN|＝455，求m的值；(2)在(1)条件下，是否存在直线l：x－2y＋c＝0，使得圆上有四点到直线l的距离为55，若存在，求出c的范围，若不存在，说明理由．答案21.解：(1)证明：由题意可知CO⊥AO，BO⊥AO，∴∠BOC是二面角B－AO－C的平面角．又二面角B－AO－C是直二面角，∴CO⊥BO.又AO∩BO＝O，∴CO⊥平面AOB.又CO⊂平面COD，∴平面COD⊥平面AOB.(2)作DE⊥OB，垂足为E，连接CE，∵DE∥AO，∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角．∵∠OAB＝30°，AB＝4，∴OB＝2，OA＝2 3.在Rt△COB中，CO＝BO＝2，OE＝BE＝1，∴CE＝CO2＋OE2＝ 5.又∵OA＝23，∴DE＝12OA＝3，∴在Rt△CED中，tan∠CDE＝CEDE＝53＝153，即异面直线AO与CD所成角的正切值是15 3.(3)由(1)知，CO⊥平面AOB，∴∠CDO是CD与平面AOB所成的角，且tan∠CDO＝OCOD＝2OD.∴当OD最小时，tan∠CDO最大，令OD ⊥AB ，则OD ＝OA ·OB AB ＝3，此时OD 最小，tan ∠CDO ＝233，即CD 与平面AOB 所成角的正切值的最大值是233.22．解：(1)圆的方程化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，圆心C (1,2)，半径r ＝5－m ，则圆心C (1,2)到直线l 1：x ＋2y －4＝0的距离为d ＝|1＋2×2－4|12＋22＝15，由于|MN |＝45，则12|MN |＝25，又r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12|MN |2， ∴5－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋⎝ ⎛⎭⎪⎫252，解得m ＝4. (2)假设存在直线l ：x －2y ＋c ＝0，使得圆上有四点到直线l 的距离为55，由于圆心C (1,2)，半径r ＝1，则圆心C (1,2)到直线l ：x －2y ＋c＝0的距离为d ＝|1－2×2＋c |12＋22＝|c －3|5<⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－15，解得4－5<c <2＋5.。

【红对勾】2016-2017学年高中数学必修二(人教A版)课时作业12平面与平面平行的判定 Word版含解析

课时作业12平面与平面平行的判定——基础巩固类——1．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作()A．1个或2个B．0个或1个C．1个D．0个解析：若过两点的直线与平面α相交，则经过这两点不能作平面与平面α平行；若过该两点的直线与平面α平行，则有唯一一个过该直线的平面与平面α平行．故选B.答案：B2．已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么()A．α∥β B．α与β相交C．α与β重合D．α∥β或α与β相交解析：这无数条直线可能平行，如果改为“平面α内任意一条直线都与平面β平行”，则α∥β.答案：D3．已知α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可确定α∥β的是()A．α，β都平行于直线lB．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线，且l∥β，m∥β，l∥α，m∥α解析：对选项D：∵l∥β，m∥β，∴在β有两条直线l′，m′满足l′∥l，m′∥m，又l∥α，m∥α，∴l′∥α，m′∥α，又l与m异面，所以l′与m′相交，所以α∥β.答案：D4．已知m、n、a、b是四条直线，α，β是两个平面．有以下命题：①m α，n α且直线m与n相交，a β，b β且直线a与b相交，m∥a，n∥b，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确命题的个数是() A．0 B．1C．2 D．3解析：把符号语言转换为文字语言或图形语言，可知①正确；②③中平面α、β还有可能相交，所以选B.答案：B5．正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G解析：正方体中E1F∥H1G，E1G1∥EG，从而可得E1F∥平面EGH1，E1G1∥平面EGH1，所以平面E1FG1∥平面EGH1，故选A.答案：A6．六棱柱的面中，互相平行的面最多有________对．解析：当底面六边形是正六边形时，侧面中有3对互相平行，加上下底面平行，故最多可以有4对互相平行的面．答案：47．平面α内任意一条直线均平行于平面β，则平面α与平面β的位置关系是________．解析：由于平面α内任意一条直线均平行于平面β，则平面α内有两条相交直线平行于平面β，所以α∥β.答案：平行8．已知P是 ABCD所在平面外一点，E，F，G分别是PB，AB，BC的中点．求证：平面PAC∥平面EFG.证明：因为EF是△PAB的中位线，所以EF∥PA.又EF 平面PAC，PA 平面PAC，所以EF∥平面PAC.同理得EG∥平面PAC.又EF 平面EFG，EG 平面EFG，EF∩EG＝E，所以平面PAC∥平面EFG.——能力提升类——9．下列四个正方体图形中，A，B，C为正方体所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是()解析：B中，可证AB∥DE，BC∥DF，故可以证明AB∥平面DEF，BC∥平面DEF.又AB∩BC＝B，所以平面ABC∥平面DEF.故选B.答案：B10．如图所示的是正方体的平面展开图．有下列四个命题：①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.其中，正确命题的序号是________．解析：展开图可以折成如图(1)所示的正方体．在正方体中，连接AN，如图(2)所示，因为AB∥MN，且AB＝MN，所以四边形ABMN是平行四边形．所以BM∥AN.因为AN 平面DE，BM 平面DE，所以BM∥平面DE.同理可证CN∥平面AF，所以①②正确；如图(3)所示，可以证明BM∥平面AFN，BD∥平面AFN，进而得到平面BDM∥平面AFN，同理可证平面BDE∥平面NCF，所以③④正确．答案：①②③④11．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个面的中心，求证：平面EFG∥平面HMN.证明：连接AB1，AD1，B1D1，CB1，CD1，由三角形中位线定理，易得FG∥B1D1，NH∥B1D1，于是FG∥HN.因为HN 平面HMN，FG 平面HMN，所以FG∥平面HMN.同理可证EF∥平面HMN.又因为FG 平面EFG，EF 平面EFG，且FG∩EF＝F，所以平面EFG∥平面HMN.12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P 是DD1的中点，设Q是CC1上的动点，问Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?解：如图，设平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，点M在AA1上，由于平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，所以由面面平行的性质定理可得BQ∥D1M.因为平面D1BQ∥平面PAO，平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面ADD1A1＝AP，所以AP∥D1M，所以BQ∥D1M∥AP.因为P为DD1的中点，所以M为AA1的中点，所以Q为CC1的中点．故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.。

【红对勾】高中数学(人教A版)必修二练习：3-1-2两条直线平行与垂直的判定(含答案解析)

1．下列说法正确的有( )①若两直线斜率相等，则两直线平行；②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； ④若两直线斜率都不存在，则两直线平行．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：当k 1＝k 2时，l 1与l 2平行或重合，①不成立；②中斜率不存在时，不正确；④同①也不正确．只有③正确．答案：A2．已知A(2,0)，B(3,3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率k 等于( )A ．－3B ．3C ．－13 D.13解析：因为直线l ∥AB ，所以k ＝k AB ＝3－03－2＝3. 答案：B3．已知直线l 1的斜率为0，且l 1⊥l 2，则l 2的倾斜角为( )A ．0°B ．135°C ．90°D ．180°解析：∵kl 1＝0且l 1⊥l 2，∴kl 2不存在，直线l 2的倾斜角为90°.答案：C4．直线l 1的斜率为2，直线l 2上有三点M(3,5)，N(x,7)，P(－1，y)，若l 1⊥l 2，则x ＝________，y ＝________.解析：∵l 1⊥l 2，且l 1的斜率为2，则l 2的斜率为－12， ∴7－5x －3＝y －5－1－3＝－12，∴x ＝－1，y ＝7. 答案：－1 75．已知的三个顶点的坐标分别是A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，求顶点D 的坐标．解：设D(m ，n)，由题意，得AB ∥DC ，AD ∥BC ，则有k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 0－11－0＝3－n 4－m ，n －1m －0＝3－04－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝4. 所以顶点D 的坐标为(3,4)．课堂小结 1.代数方法判定两直线平行或垂直的结论：若直线l 1、l 2存在斜率k 1、k 2，则l 1∥l 2k 1＝k 2(其中l 1，l 2不重合)；若l 1、l 2可能重合，则k 1＝k 2l 1∥l 2或l 1与l 2重合．l 1⊥l 2k 1·k 2＝－1.。

【红对勾】2016-2017学年高中数学必修二(人教A版)第2章单元检测试题 Word版含解析

第二章检测试题时间：90分钟分值：120分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．下列推理不正确的是()A．A∈b，A∈β，B∈b，B∈β b βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β α∩β＝直线MNC．直线m不在α内，A∈m A αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线 α与β重合解析：由空间中点线面的位置关系知选C.答案：C2．下列说法中正确的是()A．经过三点确定一个平面B．两条直线确定一个平面C．四边形确定一个平面D．不共面的四点可以确定4个平面解析：考查确定平面的公理二及其推论，易知选D.答案：D3．如图，α∩β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C l，则平面ABC与平面β的交线是()A．直线AC B．直线ABC．直线CD D．直线BC解析：D∈l，l β，∴D∈β，又C∈β，∴CD β；同理，CD 平面ABC，∴平面ABC∩平面β＝CD.答案：C4．设a、b为两条直线，α、β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是()A．若a、b与α所成的角相等，则a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a α，b β，a∥b，则a∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b解析：A中a、b可以平行、相交或异面；B中a、b可以平行或异面；C中α、β可以平行或相交．答案：D5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面() A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β解析：A项，当m∥α，n∥α时，m，n可能平行，可能相交，也可能异面，故错误；B项，当m∥α，m∥β时，α，β可能平行也可能相交，故错误；C项，当m∥n，m⊥α时，n⊥α，故正确；D项，当m∥α，α⊥β时，m可能与β平行，可能在β内，也可能与β相交，故错误．故选C.答案：C6．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是()A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E解析：由已知AC＝AB，E为BC中点，故AE⊥BC，又∵BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，C正确．答案：C6题图7题图7．如上图，ABCD －A 1B 1C 1D 1是长方体，AA 1＝a ，∠BAB 1＝∠B 1A 1C 1＝30°，则异面直线AB 与A 1C 1所成的角、AA 1与B 1C 所成的角分别为( )A ．30°，30°B ．30°，45°C ．45°，45°D ．60°，45°解析：∵AB ∥A 1B 1，∴∠B 1A 1C 1是AB 与A 1C 1所成的角，∴AB 与A 1C 1所成的角为30°.∵AA 1∥BB 1，∴∠BB 1C 是AA 1与B 1C 所成的角，又BB 1＝a ，AB 1＝A 1C 1＝2a ，AB ＝3a ，∴B 1C 1＝BC ＝a ，则BB 1C 1C 是正方形，∴∠BB 1C ＝45°.答案：B8．在三棱锥P －ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠PCA ＝90°，△ABC 是边长为4的正三角形，PC ＝4，M 是AB 边上的一动点，则PM 的最小值为( )A ．2 3B ．27C ．4 3D ．47解析：连接CM ，则由题意知PC ⊥平面ABC ，可得PC ⊥CM ，所以PM ＝PC 2＋CM 2，要求PM 的最小值只需求出CM 的最小值即可，在△ABC 中，当CM ⊥AB 时CM 有最小值，此时有CM ＝4×32＝23，所以PM的最小值为27.答案：B9．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M为棱DD1上的一点．当A1M＋MC取得最小值时，B1M的长为()A. 3B. 6C．2 3 D．26题图答图解析：将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90°展开，与侧面ADD1A1共面(如图)，连接A1C′，当A1，M，C′共线时，A1M＋MC取得最小值．由AD＝CD＝1，AA1＝2，得M为DD1的中点．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，B1A1⊥平面A1D1DA，则B1A1⊥A1M，又A1M ＝2，故B1M＝B1A21＋A1M2＝12＋(2)2＝ 3.故选A.答案：A10．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n等于()A．8 B．9C．10 D．11解析：取CD的中点H，连接EH，HF.在四面体CDEF中，CD⊥EH，CD⊥FH，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，所以正方体的左、右两个侧面与EF平行，其余4个平面与EF相交，即n＝4.又因为CE与AB在同一平面内，所以CE与正方体下底面共面，与上底面平行，与其余四个面相交，即m＝4，所以m＋n＝4＋4＝8.答案：A11．正方体ABCD－A1B1C1D1中，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.以下结论中，错误的是()A．点H是△A1BD的垂心B．AH⊥平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成的角为45°解析：因为AH⊥平面A1BD，BD 平面A1BD，所以BD⊥AH.又BD⊥AA1，且AH∩AA1＝A，所以BD⊥平面AA1H.又A1H 平面AA1H.所以A 1H ⊥BD ，同理可证BH ⊥A 1D ，所以点H 是△A 1BD 的垂心，A 正确．因为平面A 1BD ∥平面CB 1D 1，所以AH ⊥平面CB 1D 1，B 正确．易证AC 1⊥平面A 1BD.因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC 1和AH 重合．故C 正确．因为AA 1∥BB 1，所以∠A 1AH 为直线AH 和BB 1所成的角．因为∠AA 1H ≠45°，所以∠A 1AH ≠45°，故D 错误．答案：D12．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：如图所示，P为正三角形A1B1C1的中心，设O为△ABC 的中心，由题意知：PO⊥平面ABC，连接OA，则∠PAO即为PA与平面ABC所成的角．在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝3，则S＝34×(3)2＝334，V ABC－A1B1C1＝S×PO＝94，∴PO＝ 3.又AO＝33×3＝1，∴tan∠PAO＝POAO＝3，∴∠PAO＝π3.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共60分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知PA垂直平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，平行四边形ABCD一定是________．解析：如图，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.∵PC⊥BD，∴BD⊥平面PAC.∴AC⊥BD.答案：菱形14．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN等于________．解析：∵B1C1⊥平面A1ABB1，MN 平面A1ABB1，∴B1C1⊥MN，又∠B1MN为直角，∴B1M⊥MN而B1M∩B1C1＝B1.∴MN⊥平面MB1C1，又MC1 平面MB1C1，∴MN⊥MC1，∴∠C1MN＝90°.答案：90°15．如图，圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝2，P 为SB 的中点．则异面直线SA 与PD 所成角的正切值为________．(题图) (答图)解析：连接PO ，则PO ∥SA ，PO ＝SA 2＝2，∴∠OPD 即为异面直线SA 与PD 所成的角，且△OPD 为直角三角形，∠POD 为直角，∴tan ∠OPD ＝OD OP ＝22＝ 2. 答案： 216．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，给出下列四个结论：①P 在直线BC 1上运动时，三棱锥A －D 1PC 的体积不变；②P 在直线BC 1上运动时，直线AP 与平面ACD 1所成角的大小不变；③P 在直线BC 1上运动时，二面角P －AD 1－C 的大小不变； ④M 是平面A 1B 1C 1D 1上到点D 和C 1距离相等的点，则M 点运动的路线是过D1点的直线．其中正确结论的编号是________(写出所有真命题的编号)．解析：因为BC1∥AD1，所以BC1∥平面ACD1，BC1上任意一点到平面ACD1的距离为定值，所以V A－D1PC＝VP－ACD1为定值，①正确；因为P到平面ACD1的距离不变，但AP的长度在变化，所以AP与平面ACD1所成角的大小是变量，②错误；平面PAD1即平面ABC1D1，又平面ABC1D1与平面ACD1所成二面角的大小不变，故③正确；M点运动的路线为A1D1，④正确．答案：①③④三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共40分)17．(10分)如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．(1)求证：DE∥平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形．证明：(1)因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE∥PC.又DE 平面BCP，所以DE∥平面BCP.(2)因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF，所以四边形DEFG为平行四边形．又PC⊥AB，所以DE⊥DG.所以四边形DEFG为矩形．18．(10分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.证明：(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.因为DE 平面AA1C1C，AC 平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC 平面ABC，所以AC⊥CC1.因为AC⊥BC，CC1 平面BCC1B1，BC 平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.因为BC1 平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C 平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.因为AB1 平面B1AC，所以BC1⊥AB1.19．(10分)如图，在三棱锥V－ABC中，平面V AB⊥平面ABC，△V AB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，V A的中点．(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面V AB；(3)求三棱锥V－ABC的体积．证明：(1)如图，因为O，M分别为AB，V A的中点，所以OM∥VB.因为VB 平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB. 因为平面V AB⊥平面ABC，且OC 平面ABC，所以OC⊥平面V AB.所以平面MOC⊥平面V AB.(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝2，所以AB＝2，OC＝1，所以S△V AB＝3，又因为OC⊥平面V AB，所以V C－V AB＝13OC·S△V AB＝33.因为三棱锥V－ABC的体积与三棱锥C－V AB的体积相等，所以三棱锥V－ABC的体积为3 3.20．(10分)如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC ＝3，BC＝25，AA1＝7，BB1＝27，点E和F分别为BC和A1C 的中点．(1)求证：EF∥平面A1B1BA；(2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1；(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．解：(1)证明：如图，连接A1B.在△A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EF∥BA1.又EF 平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA.(2)证明：因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，所以BB1⊥平面ABC，从而BB1⊥AE.又BC∩BB1＝B，所以AE⊥平面BCB1，又AE 平面AEA1，所以平面AEA1⊥平面BCB1.(3)取BB1的中点M和B1C的中点N，连接A1M，A1N，NE.因为N和E分别为B1C和BC的中点，所以NE∥B1B，NE＝12B1B，故NE∥A1A且NE＝A1A，所以A1N∥AE，且A1N＝AE.因为AE⊥平面BCB1，所以A1N⊥平面BCB1，从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角．在△ABC中，可得AE＝2，所以A1N＝AE＝2.因为BM∥AA1，BM＝AA1，所以A1M∥AB，A1M＝AB，由AB⊥BB1，有A1M⊥BB1.在Rt△A1MB1中，可得A1B1＝B1M2＋A1M2＝4.在Rt△A1NB1中，sin∠A1B1N＝A1NA1B1＝1 2，因此∠A1B1N＝30°.所以直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°.。

【红对勾】2016-2017学年高中数学必修二(人教A版)第4章单元检测试题 Word版含解析

第四章检测试题时间：90分钟分值：120分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．以点A(1，－2)，B(3,4)为直径端点的圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝10 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝10 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝10 D ．(x －2)2＋(y －1)2＝10解析：圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，－2＋42，即(2,1)，r ＝12|AB|＝10，故方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.答案：D2．圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－6x ＋8y －24＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相离 C ．内切D ．外切解析：圆x 2＋y 2＝4的圆心为A(0,0)，半径为r ＝2，圆x 2＋y 2－6x ＋8y －24＝0的圆心为B(3，－4)，半径为R ＝7，因为|AB|＝5＝R －r ＝7－2，故两圆内切．答案：C3．点P(1，－2,5)到坐标平面xOz 的距离为( )A．1 B．2C．5 D．－2解析：因为空间一点到平面xOz的距离等于|y|，所以点P(1，－2,5)到坐标平面xOz的距离为2.故选B.答案：B4．要使圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与x轴的两个交点分别位于原点的两侧，则有()A．D2＋E2－4F>0，且F<0B．D<0，F>0C．D≠0，F≠0D．F<0解析：令y＝0，则x2＋Dx＋F＝0.设两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1x2＝F<0，且x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时D2＋E2－4F>0.答案：A5．圆x2＋y2－4x－2y－20＝0的斜率为－43的切线方程是()A．4x＋3y－36＝0B．4x＋3y＋14＝0C．4x＋3y－36＝0或4x＋3y＋14＝0 D．不能确定解析：由直线与圆的位置关系可知，一定有两条斜率都为－4 3的平行直线与圆相切．答案：C6．如图，等腰梯形ABCD 的底边长分别为2和14，腰长为10，则这个等腰梯形的外接圆E 的方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝53B ．x 2＋(y －2)2＝64C ．x 2＋(y －1)2＝50D ．x 2＋(y －1)2＝64解析：由题图易知，等腰梯形的高为102－62＝8，显然，外接圆的圆心E 一定在y 轴上，设圆心E 到下底边的距离为a ，则72＋a 2＝12＋(8－a)2，解得a ＝1.故外接圆E 的圆心为(0,1)，半径为72＋12＝52，故所求外接圆E 的方程为x 2＋(y －1)2＝50.答案：C7．若曲线x 2＋y 2＋a 2x ＋(1－a 2)y －4＝0关于直线y －x ＝0的对称曲线仍是其本身，则实数a 等于( )A ．±12 B ．±22 C.12或－22D ．－12或22解析：将(y ，x)代入曲线方程，得y 2＋x 2＋a 2y ＋(1－a 2)x －4＝0. 于是1－a 2＝a 2，解得a ＝±22. 答案：B8．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：设圆C 2的圆心为(a ，b)．因为圆C 1的圆心坐标为(－1，1)，所以⎩⎨⎧a －12－b ＋12－1＝0，b －1a ＋1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.又因为圆C 2的半径与圆C 1的半径长相等，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 答案：B9．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN|＝23，则k 的值是( )A ．－34 B ．0 C ．0或－34D.34解析：圆心(3,2)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|3k ＋1|k 2＋1，则|MN|＝24－(3k ＋1)2k 2＋1＝23，解得k ＝0或k ＝－34.答案：C10．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0，直线l ：3x －4y ＋m ＝0，圆上存在两点到直线l 的距离为1，则m 的取值范围是( )A ．(－17，－7)B ．(3,13)C ．(－17，－7)∪(3,13)D ．[－17，－7]∪[3,13]解析：当圆心到直线的距离d 满足r －1<d<r ＋1时，圆上存在两个点到直线的距离为1，即满足1<|2＋m|5<3，解得m ∈(－17，－7)∪(3,13)．答案：C11．设点M(x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 C ．[－2，2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22解析：点M(x 0,1)在直线y ＝1上，而直线y ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切．据题意可设点N(0,1)，如图，则只需∠OMN ≥45°即可，此时有tan ∠OMN ＝|ON||MN|≥tan45°，得0<|MN|≤|ON|＝1，即0<|x 0|≤1.当M 位于点(0,1)时，显然在圆上存在点N 满足要求．综上可知，－1≤x 0≤1.答案：A12．已知线段AB 的端点B 的坐标为(m ，n)，端点A 在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，且线段AB 的中点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝⎛⎭⎪⎫y －322＝1，则m ＋n 等于( )A ．－1B ．7C ．1D ．－7解析：设点M ，A 的坐标分别为(x ，y)，(x 0，y 0)，因为点M 是线段AB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －m ，y 0＝2y －n ，又点A 在圆C 上，所以(2x －m＋1)2＋(2y －n)2＝4，即⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－m 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －n 22＝1，即为中点M 的轨迹方程，又中点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝⎛⎭⎪⎫y －322＝1，比较得⎩⎨⎧1－m 2＝－32，－n 2＝－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝3.所以m ＋n ＝7.故选B.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共60分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．点M(4，－3,5)到x 轴的距离为m ，到xOy 坐标平面的距离为n ，则m 2＋n ＝________.解析：由题意，得m 2＝(－3)2＋52＝34，n ＝5，所以m 2＋n ＝39. 答案：3914．若P(2,1)是圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________．解析：由圆的方程得圆心坐标为O(1,0)，所以k PO ＝12－1＝1.则直线AB 的斜率为k ＝－1，由点斜式方程得x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝015．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．解析：将圆的方程化为标准形式为(x －3)2＋(y －4)2＝25，过点(3,5)的最长弦为直径，所以AC ＝10，最短弦为与AC 垂直的弦，所以BD ＝46，所以四边形ABCD 的面积为12AC·BD ＝20 6.答案：20 616．如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.(1)圆C的标准方程为________；(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________．解析：(1)过点C作CM⊥AB于M，连接AC，则|CM|＝|OT|＝1，|AM|＝12|AB|＝1，所以圆的半径r＝|AC|＝|CM|2＋|AM|2＝2，从而圆心C(1，2)，即圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2.(2)令x＝0得，y＝2±1，则B(0，2＋1)，所以直线BC的斜率为k＝(2＋1)－20－1＝－1，由直线与圆相切的性质知，圆C在点B处的切线的斜率为1，则圆C在点B处的切线方程为y－(2＋1)＝1×(x－0)，即y＝x＋2＋1，令y＝0得x＝－2－1，故所求切线在x轴上的截距为－2－1.答案：(1)(x－1)2＋(y－2)2＝2(2)－2－1三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共40分)17．(10分)已知一圆经过点A(2，－3)和B(－2，－5)，且圆心C 在直线l：x－2y－3＝0上，(1)求此圆的标准方程；(2)判断点M1(0,1)，M2(2，－5)与该圆的位置关系．解：(1)如图，因为点A(2，－3)，B(－2，－5)，所以线段AB 的中点D 的坐标为(0，－4)．又k AB ＝－5－(－3)－2－2＝12，所以线段AB 的垂直平分线的方程是y＝－2x －4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －3＝0，y ＝－2x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.所以圆心坐标为C(－1，－2)，半径 r ＝|CA|＝(2＋1)2＋(－3＋2)2＝10. 所以此圆的标准方程是(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.(2)将点M 1(0,1)，M 2(2，－5)分别代入(x ＋1)2＋(y ＋2)2中，得值分别为10,18，故点M 1(0,1)在圆上，点M 2(2，－5)在圆外．18．(10分)自点A(－3,3)发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线L 所在的直线方程．解：已知圆的标准方程是(x －2)2＋(y －2)2＝1，它关于x 轴对称的圆的方程是(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 设光线L 所在直线方程是y －3＝k(x ＋3)．由题设知对称圆的圆心C ′(2，－2)到这条直线的距离等于1，即d ＝|5k ＋5|1＋k2＝1. 整理得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－34或k ＝－43.故所求的直线方程是y －3＝－34(x ＋3)或y －3＝－43(x ＋3)，即3x ＋4y －3＝0或4x ＋3y ＋3＝0.19．(10分)已知点P(2,0)及圆C ：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋4＝0. (1)若直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1，求直线l 的方程． (2)设直线ax －y ＋1＝0与圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点P(2,0)的直线l 2垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设直线l 的斜率为k(k 存在)，则方程为y －0＝k(x －2)，即kx －y －2k ＝0.又圆C 的圆心为(3，－2)，半径r ＝3，由|3k ＋2－2k|k 2＋1＝1，解得k ＝－34. 所以直线方程为y ＝－34(x －2)，即3x ＋4y －6＝0.当l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，经验证x ＝2也满足条件． (2)把直线y ＝ax ＋1代入圆C 的方程，消去y ，整理得(a 2＋1)x 2＋6(a －1)x ＋9＝0.由于直线ax －y ＋1＝0交圆C 于A ，B 两点，故Δ＝36(a －1)2－36(a 2＋1)>0，解得a<0.则实数a 的取值范围是(－∞，0)．设符合条件的实数a 存在．由于l 2垂直平分弦AB ，故圆心C(3，－2)必在l 2上．所以l 2的斜率k PC ＝－2.而k AB ＝a ＝－1k PC，所以a ＝12. 由于12 (－∞，0)，故不存在实数a ，使得过点P(2,0)的直线l 2垂直平分弦AB.20．(10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l 过点A(4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．解：(1)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k(x －4)，即kx －y －4k ＝0，所以圆心C 1(－3,1)到直线l 的距离d ＝4－(232)2＝1，由点到直线的距离公式得|－3k －1－4k|k 2＋1＝1，化简得24k 2＋7k ＝0，解得k ＝0或k ＝－724.所以直线l 的方程为y ＝0或y ＝－724(x －4)，即y ＝0或7x＋24y －28＝0.(2)设点P 的坐标为(m ，n)，直线l 1，l 2的方程分别为y －n ＝k 1(x－m)，y －n ＝－1k 1(x －m)，即k 1x －y ＋n －k 1m ＝0，－1k 1x －y ＋n ＋1k 1m ＝0.因为直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，两圆半径相等，由垂径定理，得：圆心C 1(－3,1)到直线l 1的距离与圆心C 2(4,5)到直线l 2的距离相等，故|－3k 1－1＋n －k 1m|k 21＋1＝|－4k 1－5＋n ＋1k 1m|1k 21＋1，化简得(2－m －n)k 1＝m －n －3或(m －n ＋8)k 1＝m ＋n －5，关于k 1的方程有无穷多解，有⎩⎪⎨⎪⎧ 2－m －n ＝0m －n －3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ m －n ＋8＝0m ＋n －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝52n ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－32n ＝132，故点P 的坐标为(52，－12)或(－32，132)．。

【世纪金榜】2016-2017学年人教版高中数学必修二检测：模块质量评估(A卷) Word版含解析

模块质量评估（A卷）(第一至第四章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.(2016·石家庄高一检测)如图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4,腰长为4的等腰梯形,则该几何体的侧面积是( )A.6πB.12πC.18πD.24π2.(2016·广州高一检测)一个球的内接正方体的表面积为54,则球的表面积为( ) A.27π B.18πC.19πD.54π3.(2014·浙江高考)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面( )A.若m⊥n,n∥α,则m⊥αB.若m∥β,β⊥α,则m⊥αC.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥αD.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α4.(2016·大连高一检测)若直线(2a+5)x+(a-2)y+4=0与(2-a)x+(a+3)y-1=0互相垂直,则a的值为( )A.2B.-2C.2,-2D.2,0,-25.如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成四面体A-BCD,则在四面体A-BCD中,下列说法正确的是( )A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABD6.与直线y=-2x+3平行,且与直线y=3x+4交于x轴上的同一点的直线方程是( ) A.y=-2x+4 B.y=x+C.y=-2x-D.y=x-7.若直线+=1与圆x2+y2=1有公共点,则( )A.a2+b2≤1B.a2+b2≥1C.+≤1D.+≥18.(2016·厦门高一检测)若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是( )A.(x-3)2+=1B.(x-2)2+(y-1)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.+(y-1)2=19.已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为( )A. B.4π C.2π D.10.(2016·武汉高一检测)如图,在长方体ABCD-AC1D1中,M,N分别是棱BB1,B1C1的中点,若∠CMN=90°,则异面直线AD1和DM所成角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°11.若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上的点到直线4x-3y-2=0的最近距离等于1,则半径r的值为( )A.4B.5C.6D.912.(2016·烟台高一检测)若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx-y-9=0的两个交点恰好关于y轴对称,则k等于( )A.0B.1C.2D.3二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2016·长春高一检测)若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°,半径为l的扇形,则这个圆锥的表面积与侧面积之比是.14.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ= .15.过点P(2,3),并且在两坐标轴上截距相等的直线方程是.16.(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)如图所示(单位:cm),四边形ABCD是直角梯形,求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积.18.(12分)直线l经过两直线l1:2x-y+4=0与l2:x-y+5=0的交点,且与直线x-2y-6=0垂直.(1)求直线l的方程.(2)若点P(a,1)到直线l的距离为,求实数a的值.19.(12分)(2016·长沙高一检测)已知圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l经过点D(-2,0),且斜率为k.(1)求以线段CD为直径的圆E的方程.(2)若直线l与圆C相离,求k的取值范围.20.(12分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,M,N分别为棱DD1,AB,BC的中点.(1)求二面角B1-MN-B的正切值.(2)求证:PB⊥平面MNB1.21.(12分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点.求证:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)直线A1F∥平面ADE.22.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在x轴上,半径为2的圆C位于y轴右侧,且与直线x-y+2=0相切.(1)求圆C的方程.(2)在圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1相交于不同的两点A,B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由.答案解析1.B 因为正视图和侧视图都是等腰梯形,俯视图是一个圆环,所以该几何体是一个圆台,且圆台的上、下底半径分别为1和2,母线为4,所以S侧=π(r+r')l=π·(1+2)×4=12π.2.A 设正方体的棱长为a,球的半径为r,则6a2=54,所以a=3.又因为2r=a,所以r=a=,所以S表=4πr2=4π×=27π.3.C 对A若m⊥n,n∥α,则m⊂α或m∥α或m⊥α,故A选项错误;对B若m∥β,β⊥α,则m⊂α或m∥α或m⊥α,故B选项错误;对C若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α,故C选项正确;对D若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊂α或m∥α或m⊥α,故D选项错误. 【补偿训练】已知m,n是两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面,下列命题中正确的是( )A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βC.若m∥α,m∥β,则α∥βD.若m⊥α,n⊥α,则m∥nD A中还可能m,n相交或异面,所以A不正确;B,C中还可能α,β相交,所以B,C不正确,很明显D正确.4.【解题指南】利用l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0求a的值.C 因为两直线垂直,所以(2a+5)(2-a)+(a-2)(a+3)=0,即a=±2.5.D 因为AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,所以∠ABD=∠ADB=45°,所以∠BDC=90°,即BD⊥CD,又因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,CD⊂平面BCD,所以CD⊥平面ABD,又CD ⊂平面ADC,所以平面ADC⊥平面ABD.6.C 直线y=3x+4与x轴的交点坐标为,故所求直线方程为y-0=-2=-2x-.【延伸探究】本题中的条件“与直线y=-2x+3平行”若换为“与直线y=-2x+3垂直”其他条件不变,其结论又如何呢?【解析】直线y=3x+4与x轴的交点坐标为,故所求直线方程为y-0=,即y=x+.7.D 直线+=1与圆x2+y2=1有公共点,因此圆心(0,0)到直线bx+ay-ab=0的距离应小于等于1.所以≤1,所以+≥1.8.B由已知设所求圆的圆心坐标为:C(a,b)(a>0且b>0),由已知有:⇒所以所求圆的方程为:(x-2)2+(y-1)2=1.9.D 正四棱柱的外接球的球心为上下底面的中心连线的中点,所以球的半径r==1,球的体积V=r3=.故选D.10.D 因为MN⊥DC,MN⊥MC,DC∩MC=C,所以MN⊥平面DCM.所以MN⊥DM.因为MN∥AD1,所以AD1⊥DM,即所求角为90°.11.A 由圆的方程可知圆心为(3,-5),圆心(3,-5)到直线4x-3y-2=0的距离为d===5,由题意得d-r=1,即r=d-1=5-1=4.12.A 将两方程联立消去y后得(k2+1)x2+2kx-9=0,由题意知此方程两根之和为0,故k=0.13.【解析】设圆锥的底面半径为r,则有l=2πr,故l=3r,所以==.答案:4∶314.【解析】因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面ABCD∩平面PQNM=PQ,平面A1B1C1D1∩平面PQNM=NM,所以MN∥PQ,又因为MN∥AC,所以PQ∥AC.又因为AP=,所以===,所以PQ=AC=.答案:15.【解析】若截距为0,过P点和原点的直线方程为y=x,即3x-2y=0; 若截距不为0,设所求直线方程为+=1,由P(2,3)在直线上,可得a=5,则所求直线方程为x+y-5=0,因此满足条件的直线方程为3x-2y=0或x+y-5=0.答案:3x-2y=0或x+y-5=0【补偿训练】已知直线l经过点(1,3),且与圆x2+y2=1相切,直线l的方程为.【解析】当斜率存在时,设切线的斜率为k,则切线方程为y-3=k(x-1),由圆心到切线的距离等于半径得=1,解得k=,切线方程为4x-3y+5=0;当斜率不存在时,直线x=1也符合题意.答案:x=1或4x-3y+5=0【误区警示】本题易忽视斜率不存在的情况,只写出一条切线方程. 16.【解题指南】点(1,0)到直线mx-y-2m-1=0(m∈R)的最大距离即为所求圆的半径,利用点到直线的距离公式表示出此距离并求出最大值,代入圆的标准方程即可.【解析】点(1,0)到直线mx-y-2m-1=0的距离d==,当m>0时,d===.因为m>0,所以m+≥2=2,当且仅当m=1时上式成立,所以d≤.当m≤0时,d≤仍然成立.所以最大圆的半径是,标准方程为(x-1)2+y2=2.答案:(x-1)2+y2=217.【解析】由题意,知所成几何体的表面积等于圆台下底面积、圆台的侧面积与半球面面积的和,又S半球面=×4π×22=8π(cm2),S 圆台侧=π(2+5)=35π(cm2),S圆台下底=π×52=25π(cm2),所以所成几何体的表面积为8π+35π+25π=68π(cm2).又V圆台=×(22+2×5+52)×4=52π(cm3),V半球=××23=(cm3).所以所成几何体的体积为V圆台-V半球=52π-=(cm3).18.【解析】(1)由得交点为(1,6),又直线l垂直于直线x-2y-6=0,所以直线l的斜率为k=-2.故直线l的方程为y-6=-2(x-1),即2x+y-8=0.(2)由于P(a,1)到直线l的距离等于,则=,解得a=1或a=6.19.【解析】(1)将圆C的方程x2+y2-8y+12=0配方得标准方程为x2+(y-4)2=4,则此圆的圆心为C(0,4),半径为2.所以CD的中点E(-1,2),|CD|==2,所以r=,故所求圆E的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.(2)直线l的方程为y-0=k(x+2),即kx-y+2k=0.若直线l与圆C相离,则有圆心C到直线l的距离>2,解得k<.20.【解析】(1)连接BD交MN于F,连接B1F,连接AC.因为平面DD1B1B⊥平面ABCD,交线为BD,AC⊥BD,所以AC⊥平面DD1B1B.又因为AC∥MN,所以MN⊥平面DD1B1B.因为B1F,BF⊂平面DD1B1B,所以B1F⊥MN,BF⊥MN.因为B1F⊂平面B1MN,BF⊂平面BMN,则∠B1FB为二面角B1-MN-B的平面角.在Rt△B1FB中,设B1B=1,则FB=,所以tan∠B 1FB=2.(2)过点P作PE⊥AA1,则PE∥DA,连接BE.又DA⊥平面ABB1A1,所以PE⊥平面ABB1A1,即PE⊥B1M.又BE⊥B1M,所以B1M⊥平面PEB.所以PB⊥MB1.由(1)中MN⊥平面DD1B1B,得PB⊥MN,所以PB⊥平面MNB1.21.【证明】(1)因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱, 所以CC1⊥平面ABC.又因为AD⊂平面ABC,所以CC1⊥AD.因为AD⊥DE,CC1,DE⊂平面BCC1B1,且CC1∩DE=E,所以AD⊥平面BCC1B1.又因为AD⊂平面ADE,所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)方法一:因为A1B1=A1C1,F为B1C1的中点, 所以A1F⊥B1C1.又因为CC1⊥平面A1B1C1,且A1F⊂平面A1B1C1,所以CC1⊥A1F.又因为CC1,B1C1⊂平面BCC1B1,且CC1∩B1C1=C1,所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知,AD⊥平面BCC1B1,所以A1F∥AD.又因为AD⊂平面ADE,A1F⊄平面ADE,所以直线A1F∥平面ADE.方法二:由(1)知,AD⊥平面BCC1B1,因为BC⊂平面BCC1B1,所以AD⊥BC.因为A1B1=A1C1,所以AB=AC.所以D为BC的中点.连接DF(图略),因为F是B1C1的中点,所以DF BB1AA1.所以四边形ADFA1是平行四边形.所以A1F∥AD.因为AD⊂平面ADE,A1F⊄平面ADE,所以A1F∥平面ADE.22.【解析】(1)设圆心是(x0,0)(x0>0),它到直线x-y+2=0的距离是d==2,解得x0=2或x0=-6(舍去),所以所求圆C的方程是(x-2)2+y2=4(x≠0).(2)存在.理由如下:因为点M(m,n)在圆C上,所以(m-2)2+n2=4,n2=4-(m-2)2=4m-m2且0≤m≤4.又因为原点到直线l:mx+ny=1的距离h==<1,解得<m≤4,而|AB|=2,所以S △OAB=|AB|·h===,因为≤<1,所以当=,即m=时,S△OAB取得最大值,此时点M的坐标是或,△OAB的面积的最大值是.关闭Word文档返回原板块。

【红对勾】2016-2017学年高中数学必修二(人教A版)课件：4-2-2、3圆与圆的位置关系直线与圆的方程的应用

判断两圆的位置关系有几何法和代数法两种，几何法比代数法简便，因此解题时常用几何法，用几何法判断两圆位置关系的步骤如下：
1将两圆的方程化为标准方程. 2求出两圆的圆心距 d 和半径 r1，r2. 3根据 d 与|r1－r2|、r1＋r2 的大小关系作出判断.
[变式训练 1] 圆 x2＋y2＋4x－4y＋7＝0 与圆 x2＋y2－ 4x＋10y＋13＝0 的公切线的条数是( )
[变式训练 2] 已知圆 O：x2＋y2＝25 和圆 C：x2＋y2－4x －2y－20＝0 相交于 A，B 两点，求公共弦 AB 的长．
解：两圆方程相减得弦 AB 所在直线的方程为 4x＋2y－5＝ 0.圆 O：x2＋y2＝25 的圆心到直线 AB 的距离 d＝|－250|＝ 25，所以公共弦 AB 的长为|AB|＝2 r2－d2＝2 25－54＝ 95.
[答一答] 1．如果两个圆没有公共点，那么它们一定外离；如果两个圆只有一个公共点，那么它们一定外切，这种说法是否正确？提示：这种说法不正确．如果两个圆没有公共点，那么它们外离或内含，这两种位置关系统称为相离；如果两个圆只有一个公共点，那么它们外切或内切，这两种位置关系统称为相切．
2．两圆的公切线条数与两圆位置关系有何联系？能否根据公切线条数判断两圆位置关系？
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：两圆的圆心距 d＝－2－22＋2＋52＝ 65，半径 r1＝1，r2＝4，所以 d>r1＋r2，所以两圆相离，故有 4 条公切线，故选 D.
答案：D
两圆相交问题
[例 2] 已知圆 C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0 与圆 C2：x2 ＋y2－4x－4y－2＝0 相交于两点．
[变式训练 3] 一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西 70 km 处，受影响的范围是半径为 30 km 的圆形区域．已知港口位于台风中心正北 40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

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模块综合试题
时间：120 分钟分值：150 分
第Ⅰ卷(选择题，共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1．下列命题正确的是( )
A．四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形 B．一条直线和两条平行直线都相交，则三条直线共面 C．两两平行的三条直线一定确定三个平面 D．和两条异面直线都相交的直线一定是异面直线解析：此题主要考查三个公理及推论的应用，两条平行线确定一个平面，第三条直线与其相交，由公理 1 可知，这三条直线共面，故 B 正确．答案：B 2．已知直线(a－2)x＋ay－1＝0 与直线 2x＋3y＋5＝0 平行，则 a 的值为( A．－6 4 C．－5 ) B．6 4 D.5
21． (12 分)如图，在直角梯形 ABCD 中， ∠A＝∠D＝90° ， AB<CD， SD⊥平面 ABCD，AB＝AD＝a，SD＝ 2a. (1)求证：平面 SAB⊥平面 SAD. CD (2)设 SB 的中点为 M，当AB为何值时，能使 DM⊥MC？请给出证明．解：(1)证明：∵∠BAD＝90° ，∴AB⊥AD. 又∵SD⊥平面 ABCD，AB平面 ABCD，∴SD⊥AB. 又∵SD∩AD＝D，∴AB⊥平面 SAD. 又∵AB平面 SAB，∴平面 SAB⊥平面 SAD. CD (2)当AB＝2 时，能使 DM⊥MC.
解析：直线方程为 y＝ 3x，圆的标准方程为 x2＋(y－2)2＝4，圆心(0,2)到直线 y＝ 3x 的距离 d＝ 2 22－12＝2 3. 答案：D 6．如图，在三棱锥 S－ABC 中，G1，G2 分别是△SAB 和△SAC 的重心，则直线 G1G2 与 BC 的位置关系是( A．相交 C．异面 B．平行 D．以上都有可能 ) | 3×0－2| 32＋－12 ＝1.故所求弦长 l＝
A．120° B．90° C．75° D．60° 解析：根据异面直线所成角的定义知 α＋β＝90° . 答案：B 11．已知点 P(x，y)是直线 kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB
是圆 C：x2＋y2－2y＝0 的两条切线，A，B 是切点．若四边形 PACB 的最小面积是 2，则 k 的值为( )
题图
答图
解析：连接 SG1，SG2 并延长分别交 AB 于点 M，交 AC 于点
SG1 SG2 N.∵G M＝G N，∴G1G2∥MN. 1 2 ∵M，N 分别为 AB，AC 的中点， ∴MN∥BC.故 G1G2∥BC. 答案：B 7．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为 S1，S2，S3，则( A．S1<S2<S3 C．S2<S1<S3 B．S3<S2<S1 D．S1<S3<S2
A．3x－y－5＝0 C．3x＋y＋13＝0
解析：当 l⊥AB 时，符合要求． 4－2 1 ∵kAB＝＝，∴l 的斜率为－3， 3＋3 3 ∴直线 l 的方程为 y－4＝－3(x－3)，即 3x＋y－13＝0. 答案：D 5．过原点且倾斜角为 60° 的直线被圆 x2＋y2－4y＝0 所截得的弦长为( A. 3 C. 6 ) B．2 D．2 3

)
S 2 解析：设棱锥的底面面积为 S.由截面的性质，可知S ＝12S1
1
1 S 2 1 ＝4S；S ＝1S2＝2S； 2
1 S 3 2 ＝ S3＝ S，故 S1<S2<S3. S3 1 3 4
答案：A 8．在圆的方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 中，若 D2＝E2>4F，则圆的位置满足( )
2 线垂直于直线 3x－2y＋4＝0，故所求直线的斜率 k＝－3.由点斜式得 2 所求直线方程为 y－2＝－3(x＋2)，即 2x＋3y－2＝0. 答案：2x＋3y－2＝0 14．长方体被一平行于棱的平面截成体积相等的两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，则长方体的体积为________．
解析：由三视图可知这个长方体的长、宽、高分别为 3,4,4，所以长方体的体积为 3×4×4＝48. 答案：48 15．侧棱长为 a 的正三棱锥 P－ABC 的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．解析：侧棱长为 a 的正三棱锥 P－ABC 其实就是棱长为 a 的正方
A．截两坐标轴所得弦的长度相等 B．与两坐标轴都相切 C．与两坐标轴相离 D．上述情况都有可能解析：在圆的方程中令 y＝0 得 x2＋Dx＋F＝0. ∴圆被 x 轴截得的弦长为|x1－x2|＝ D2－4F. 同理得圆被 y 轴截得的弦长为 E2－4F＝ D2－4F.故选 A.
答案：A 9．在如图所示的空间直角坐标系 O－xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①，②，③， ④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )
A．①和②
B．③和①
C．④和③
D．④和②
解析：由三视图可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形 (三个顶点坐标分别是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2))且内有一虚线(一直角顶点与另一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图在底面射影是一个斜三角形，三个顶点坐标分别是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图是②.故选 D. 答案：D 10．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是正方形 ADD1A1 和正方形 ABCD 的中心，G 是 CC1 的中点，设 GF，C1E 与 AB 所成的角分别为 α，β，则 α＋β 等于( )
据，计算该组合体的体积．
解：由三视图可知此组合体的结构为：上部是一个圆锥，中部是一个圆柱，下部也是一个圆柱，由题图中的尺寸可知：上部圆锥的体积V
圆锥
1 8π ＝3π×22×2＝ 3 ，中部圆柱的体积 V
圆柱
＝π×22×10＝40π，
8π 下部圆柱的体积 V′圆柱＝π×42×1＝16π，故此组合体的体积 V＝ 3 ＋ 176π 40π＋16π＝ 3 . 19．(12 分)求过点 A(－2，－4)且与直线 l：x＋3y－26＝0 相切于点 B(8,6)的圆的方程．解：设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， D E 则圆心 C(－ 2 ，－ 2 )．∴kCB＝ E 6＋ 2
21 A. 2 B. 2 C．2 2 D．2 解析：圆心 C(0,1)到 l 的距离 d＝ 5 . k2＋1
1 ∴四边形面积的最小值为 2(2×1× d2－1)＝2， ∴k2＝4，即 k＝± 2.又 k>0，∴k＝2. 答案：D 12．在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝3，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B － AC － D ，则四面体 ABCD 的外接球的体积为 ( ) 125π 125π 125π 125π A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 解析：取 AC 的中点 O. 由 O 到各顶点距离相等，知 O 是球心． 5 设外接球的半径为 R，则 2R＝5，R＝2. 4 5 125π 故外接球的体积 V 球＝3π23＝ 6 .
D. 8＋ 2
1 ∵kCB· kl＝－1，∴ D· (－3)＝－1.① 8＋ 2 又有(－2)2＋(－4)2－2D－4E＋F＝0，② 82＋62＋8D＋6E＋F＝0，③ 所以解①②③可得 D＝－11，E＝3，F＝－30. ∴所求圆的方程为 x2＋y2－11x＋3y－30＝0.
E 6＋ 2
20．(12 分)如图，四棱锥 P－ABCD 中，△PAB 是正三角形，四边形 ABCD 是矩形，且平面 PAB⊥平面 ABCD，PA＝2，PC＝4. (1)若点 E 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 BDE； (2)若点 F 在线段 PA 上，且 FA＝λPA，当三棱锥 B－AFD 的体积 4 为3时，求实数 λ 的值．解：(1)证明：如图(1)，连接 AC，设 AC∩BD＝Q，连接 EQ. 因为四边形 ABCD 是矩形，所以点 Q 是 AC 的中点．又点 E 是 PC 的中点，则在△PAC 中，中位线 EQ∥PA，又 EQ平面 BDE，PA平面 BDE，所以 PA∥平面 BDE.
a－2 2 解析：由题意可知两直线的斜率存在，且－ a ＝－3， 2a，母线与轴的夹角为 30° ，一个底面的半径是另一个底面半径的 2 倍．求两底面的面积之和是( A．3πa2 C．5πa2 B．4πa2 D．6πa2 )
解析：设圆台上底面半径为 r，则下底面半径为 2r，如图所示， ∠ASO＝30° ，在 Rt△SA′O′中， ∴SA′＝2r. 2r 在 Rt△SAO 中，SA＝sin30° ， ∴SA＝4r.∴SA－SA′＝AA′，即 4r－2r＝2a，r＝a. ∴S＝S1＋S2＝πr2＋π(2r)2＝5πr2＝5πa2. 答案：C 4．若直线 l 过点 A(3,4)，且点 B(－3,2)到直线 l 的距离最远，则直线 l 的方程为( ) B．3x－y＋5＝0 D．3x＋y－13＝0 r ＝sin30° ， SA′

答案：C 第Ⅱ卷(非选择题，共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13．经过两条直线 2x＋y＋2＝0 和 3x＋4y－2＝0 的交点，且垂直于直线 3x－2y＋4＝0 的直线方程为________．
3x＋4y－2＝0，解析：由方程组得交点 A(－2,2)．因为所求直 2x＋y＋2＝0，
证明：连接 BD， ∵∠BAD＝90° ，AB＝AD＝a，
∴BD＝ 2a，∠BDA＝45° ， ∴SD＝BD. 又∵M 为 SB 的中点， ∴DM⊥SB.① 设 CD 的中点为 P，连接 BP， ∴DP∥AB，且 DP＝AB. 故四边形 ABPD 是平行四边形． ∴BP∥AD.故 BP⊥CD. 因而 BD＝BC. 又∵∠BDC＝90° －∠BDA＝45° ， ∴∠CBD＝90° ，即 BC⊥BD. 又∵BC⊥SD，BD∩SD＝D，∴BC⊥平面 SBD. 又∵DM平面 SBD，∴DM⊥BC.② 由①②知 DM⊥平面 SBC，又∵MC平面 SBC，∴DM⊥MC.