两条异面直线所成角ppt课件
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异面直线所成的角求法课件
答案解析
答案一解析
首先，由于AB和CD为异面直线，且AB ⟂ CD，我们可以知道异面直线AB与CD所成的 角为∠BAC。因为∠BAC = 60°，所以异面直线AB与CD所成的角也为60°。
答案二解析
首先，找到与AB和AD₁都平行的平面或线段。在长方体中，这样的平面或线段是A₁D和 A₁B₁。然后，利用平移将异面直线AB和AD₁平移到同一个起点，例如点A。最后，利用 余弦公式计算异面直线AB与AD₁所成角的余弦值。具体计算过程涉及长方体的边长和
常见误区
列举了在求解过程中可能出现 的常见错误和误区，并给出了
正确的解释和纠正方法。
展望
01
02
03
04
进一步研究
鼓励学习者在掌握基本方法的 基础上，深入研究异面直线所 成的角的更多性质和应用。
与其他知识的结合
提倡将异面直线所成的角与其 他几何知识进行结合，形成更
完整的知识体系。
实际应用拓展
强调将所学知识应用于实际问 题解决中，培养解决实际问题
在空间向量中的应用
异面直线所成的角在空间向量中也有着重要的应用。向量 的数量积、向量的模长以及向量的夹角都可以通过异面直 线所成的角来表示。
在解决空间向量的加法、数乘以及向量的模长和夹角等问 题时，常常需要利用异面直线所成的角来建立向量关系， 从而得到向量的具体表示和运算结果。
在物理问题中的应用
成的角的余弦值等于 $frac{overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b}}{|overset{lon
grightarrow}{a}| cdot
利用向量的夹角公式求异面直线所成的角
要点一
异面直线所成的角求法课件
解：首先计算$\vec{a}$和$\vec{b}$的点积，$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 2 + 2 \times 1 + 3 \times 0 = 4$；
然后求出$\vec{a}$和$\vec{b}$的模， $|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$， $|\vec{b}|=\sqrt{2^2+1^2+0^2}=\sqrt{5}$；
异面直线所成的角求法 课件
目录
• 引入 • 向量法求解异面直线所成角 • 几何法求解异面直线所成角 • 坐标法求解异面直线所成角 • 实际应用与拓展 • 总结与回顾
01
引入
异面直线的定义
定义 判定定理
异面直线所成角的概念
定义
范围
两条异面直线所成角的范围是(0°,90°]， 若两条异面直线互相垂直，则说它们 所成的角是90°；若两条异面直线所成 的角是锐角或直角，则就按照锐角或 直角来度量。
求解异面直线所成角的意义
实际应用
拓展思维
02
向量法求解异面直线所成角
向量点积与夹角关系
点积定义
夹角与点积关系
利用向量点积求解异面直线所成角步骤
01
02
03
04
典型例题解析
例1：已知两异面直线上的向量分别为$\vec{a}=(1,2,3)$和 $\vec{b}=(2,1,0)$，求异面直线所成的角。
05
实际应用与拓展
异面直线所成角在实际问题中的应用
建筑设计 机器人路径规划 航空航天
拓展：其他空间几何角的求解方法
向量法
三角函数法
06
然后求出$\vec{a}$和$\vec{b}$的模， $|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$， $|\vec{b}|=\sqrt{2^2+1^2+0^2}=\sqrt{5}$；
异面直线所成的角求法 课件
目录
• 引入 • 向量法求解异面直线所成角 • 几何法求解异面直线所成角 • 坐标法求解异面直线所成角 • 实际应用与拓展 • 总结与回顾
01
引入
异面直线的定义
定义 判定定理
异面直线所成角的概念
定义
范围
两条异面直线所成角的范围是(0°,90°]， 若两条异面直线互相垂直，则说它们 所成的角是90°；若两条异面直线所成 的角是锐角或直角，则就按照锐角或 直角来度量。
求解异面直线所成角的意义
实际应用
拓展思维
02
向量法求解异面直线所成角
向量点积与夹角关系
点积定义
夹角与点积关系
利用向量点积求解异面直线所成角步骤
01
02
03
04
典型例题解析
例1：已知两异面直线上的向量分别为$\vec{a}=(1,2,3)$和 $\vec{b}=(2,1,0)$，求异面直线所成的角。
05
实际应用与拓展
异面直线所成角在实际问题中的应用
建筑设计 机器人路径规划 航空航天
拓展：其他空间几何角的求解方法
向量法
三角函数法
06
2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配北师大版)课件4.3第1课时空间中的角
如图:
名师点睛
不要将两直线所成的角与其方向向量的夹角等同起来,因为两直线所成角
π
的范围是 0, ,而两个向量夹角的范围是[0,π],事实上,两直线所成的角与
2
其方向向量的夹角是相等或互补的关系.
思考辨析
怎样用向量法求两条异面直线所成的角的余弦值?
提示 设两条异面直线a与b的夹角为θ,直线a,b的方向向量分别为a,b,且其
知识点2 直线与平面所成的角 指直线和它在平面内的投影所成角
设向量l为直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,则直线l与平面α
所成的角θ∈
π
0, 2
,且
π
θ= -<l,n>(如图
2
π
θ=<l,n>- (如图
2
2),
sin θ=sin < , >
π
-2
1)或
故sin θ=|cos<l,n>|.
π
π
3.若<l,n>是一个锐角,则θ= -<l,n>;若<l,n>是一个钝角,则θ=<l,n>- .
2
2
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)直线与平面所成的角等于直线的方向向量与该平面法向量夹角的余
角.( × )
(2)直线与平面所成的角可以是钝角.( × )
2.已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cos<m,n>=则l与α所成的角为( A )
目录索引
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
1.理解两异面直线所成的角与它们的方向向量之间的关系,会用
异面直线所成的角课件
空间中如果两个角的两边分别平行， 4、等角定理：__________________________ ， 、等角定理： 空间中如果两个角的两边分别平行 那么这两个角相等或互补。 那么这两个角相等或互补。 ___________________________
问题1：正方体 问题 ：正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为BC的中 为 的中 与直线AB 点，判断直线A1C1、B1C1、C1E、C1C与直线 判断直线 、 与直线 的位置关系。 的位置关系。
b’
a
b
问题4：能否将上述结论推广到空间两直线？ 问题 ：能否将上述结论推广到空间两直线？
异面直线所成角的定义： 异面直线所成角的定义： 直线a 直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引 是异面直线，经过空间任意一点O 直线a’//a，b’//b，把直线a 所成的锐角（或直角） 直线a’//a，b’//b，把直线a’和b’所成的锐角（或直角） 叫直线a 所成的角。 叫直线a和b所成的角。 b a’ a
课堂小结： 课堂小结：
1、异面直线所成角的定义、范围及其求解。在求解中， 异面直线所成角的定义、范围及其求解。在求解中， 一定要紧扣定义中点O的任意性，恰当选择。 一定要紧扣定义中点O的任意性，恰当选择。 2、计算角的大小，要遵循“作——证——算——答” 计算角的大小，要遵循“ ——证——算——答 四步骤。 四步骤。 3、求解异面直线所成的角的方法是“平移法”，也即 求解异面直线所成的角的方法是“平移法” “化异面为共面”，“化空间为平面”，它突出体现 化异面为共面” 化空间为平面” 了转化化归的数学思想与方法。在计算的过程中， 了转化化归的数学思想与方法。在计算的过程中，若 直观性不强，则要懂得将平面图形单独分离，有利于 直观性不强，则要懂得将平面图形单独分离， 计算的直观性。 计算的直观性。作答时要注意异面直线所成的角的范 围的约束。 围的约束。
第二课时 异面直线所成的角PPT全文课件
D′ A′
D
C′ B′
C
第二课时 异面直线所成的角PPT名师课件
A
B
*
第二课时 异面直线所成的角PPT名师课件
例2 如图，在四面体ABCD中，E，F分 别是棱AD，BC上的点,且 AE BF 1
ED FC 2
已知AB=CD=3，EF 3 ,求异面直线AB和
CD所成的角.
A
E
M
第二课时 异面直线所成的角PPT名师课件
b bˊ
a
o
*
b a α
b'
a' o
对于两条异面直线a，b，经过空间 任一点O作直线a′∥a， b′∥b，则 a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异 面直线a与b所成的角(或夹角)
*
思考5:若点O的位置不同，则直线a′与
b′的夹角大小发生变化吗？为什么？为
了作图方便，点O宜选在何处？
b
b'
O
a
a' o
•
6.抓住课文中的主要内容和重点句子 ，引导 学生从 “摇花 乐”中 体会到 作者对 童年生 活的和 对家乡 的怀念 之情。
•
7.桂花是没有区别的，问题是母亲不 是在用 嗅觉区 分桂花 ，而是 用情感 在体味 它们。 一亲一 疏，感 觉自然 就泾渭 分明了 。从中 ，我们 不难看 出，家 乡在母 亲心中 的分量 。
•
2.许地山这样说，也是这样做的，他 长大后 埋头苦 干，默 默奉献 ，成为 著名的 教授和 作家， 他也因 此取了 个笔名 叫落花 生，这 就是他 笔名的 由来。
•
3.在伟大庄严的教堂里，从彩色玻璃 窗透进 一股不 很明亮 的光线 ，沉重 的琴声 好像是 把人的 心都洗 淘了一 番似的 ，我感 到了我 自己的 渺小。
高考数学大一轮复习 第二节 第一课时 空间角的求法课件 理 苏教版
解析：如图所示，以点A为坐标原点，建 立空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0,0)， P(0,0,2)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)．∵ AM⊥PD，PA＝AD，
第十页，共40页。
∴M为PD的中点，∴M的坐标为(0,1,1)．
∴ AC ＝(1,2,0)， AM ＝(0,1,1)，CD＝(－1,0,0)． 设平面ACM的一个法向量为n＝(x，y，z)，
第二十一页，共40页。
(2)由(1)知， AD1 ＝(0,3,3)， AC ＝( 3，1,0)， B1C1 ＝(0,1,0)． 设 n＝(x，y，z)是平面 ACD1 的一个法向量，则
n·AC ＝0，
n·AD1 ＝0，
即 3y3＋x＋3zy＝＝00. ，
令 x＝1，则 n＝(1，－ 3， 3)．
设直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角为 θ，则
连结 AB1，易知△AB1D 是直角三角形，且 B1D2＝BB12＋ BD2＝BB21＋AB2＋AD2＝21，即 B1D＝ 21.
在 Rt△AB1D 中，cos∠ADB1＝BA1DD＝
3＝ 21
721，即 cos(90°
－θ)＝
721.从而 sin θ＝
21 7.
即直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值为
第三页，共40页。
1．求异面直线所成角时，易求出余弦值为负值而盲目得出答案而
忽视了夹角为0，π2. 2．求直线与平面所成角时，注意求出夹角的余弦值的绝对值应为
线面角的正弦值． 3．利用平面的法向量求二面角的大小时，二面角是锐角或钝角由
图形决定．由图形知二面角是锐角时cos
θ＝
|n1·n2| |n1||n2|
∴cos〈
第十页，共40页。
∴M为PD的中点，∴M的坐标为(0,1,1)．
∴ AC ＝(1,2,0)， AM ＝(0,1,1)，CD＝(－1,0,0)． 设平面ACM的一个法向量为n＝(x，y，z)，
第二十一页，共40页。
(2)由(1)知， AD1 ＝(0,3,3)， AC ＝( 3，1,0)， B1C1 ＝(0,1,0)． 设 n＝(x，y，z)是平面 ACD1 的一个法向量，则
n·AC ＝0，
n·AD1 ＝0，
即 3y3＋x＋3zy＝＝00. ，
令 x＝1，则 n＝(1，－ 3， 3)．
设直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角为 θ，则
连结 AB1，易知△AB1D 是直角三角形，且 B1D2＝BB12＋ BD2＝BB21＋AB2＋AD2＝21，即 B1D＝ 21.
在 Rt△AB1D 中，cos∠ADB1＝BA1DD＝
3＝ 21
721，即 cos(90°
－θ)＝
721.从而 sin θ＝
21 7.
即直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值为
第三页，共40页。
1．求异面直线所成角时，易求出余弦值为负值而盲目得出答案而
忽视了夹角为0，π2. 2．求直线与平面所成角时，注意求出夹角的余弦值的绝对值应为
线面角的正弦值． 3．利用平面的法向量求二面角的大小时，二面角是锐角或钝角由
图形决定．由图形知二面角是锐角时cos
θ＝
|n1·n2| |n1||n2|
∴cos〈
异面直线及其夹角 PPT课件 6 人教课标版
D
C
点 C 平A面 1B A 1B .
A
B
∴直线AC与A1B为异面直线．
练习2:
已知α∩β＝a，b⊂β，且b∩a＝A，c⊂α，且c∥a.求证：b 和c是异面直线．
证明：证法1：如右图，因为α∩β＝a，b∩a＝A， 所以A∈α，又c⊂α，c∥a. 所以A∉c，在直线b上任取一点B (不同于A)，则B∉α.所以b，c是异面直线．
2
AF 3 a, AP 2EC 3a.
2
P
PA中 F应用余 ,得 c弦 o sP定 A理 F2.
3
∴异面直线AF、CE所成角的余弦值是
2 3
E D
C
课堂练习1：如图，P为Δ ABC所在平面外一点，
PC⊥AB，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中点。
（1）求证：EF与PC为异面直线；
不能理解为:“分别在两个平面内的两直线为异面 直线”.
演示
练习1、
１.下面两条直线是异面直线的是（C）
A.不同在一个平面内的两条直线； B.分别在某两个平面内的两条直线； C.既不平行又不相交的两条直线； D.平面内的一条直线和平面外的一条直线
2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现 它们不共面的特点。常借 助一个或两个平面来衬托.
如图：
a
b
A
a
(1)
a
b
(2)
b
(3)
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例1.如果相异点A、B和相异点C、D分别在异面直
线a，b上，那么正确的结论是（ C ）
A．直线AC与BD可能相交 B．直线AD和BC可能相交 C．AC与BD，AD与BC都是异面直线 D．AC与BD，AD与BC不一定都是异面直线
新版高中数学北师大版必修2课件1.4.2等角定理与异面直线所成的角
这两个角互补. ( × ) (5)两条异面直线所成角的范围为[0°,90°). ( ×)
-7-
第2课时 等角定理与异面直线所成的角
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Z H 自主预习 IZHUYUXI
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D当堂检测 ANGTANG JIANCE
探究一
探究二
一题多解
探究一等角定理的应用
【例1】 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱 AD和A1D1的中点.求证:
-12-
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探究一
探究二
一题多解
解:(1)所在直线与BC'是异面直线的棱
有:AA',DD',A'B',DC,AD,A'D'.
(2)因为AD'∥BC',所以AD'与B'C所成的角就是BC'与B'C所成的角.
探究一
探究二
一题多解
解法1(直接平移法)如图所示.
连接A1C1,B1D1交于点O,取DD1的中点G, 连接GA1,GC1,OG,则OG∥B1D,EF∥A1C1,故∠GOA1或其补角就是 异面直线DB1与EF所成的角. ∵GA1=GC1,O为A1C1的中点,∴GO⊥A1C1. ∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
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2.异面直线所成的角
如图所示,过空间任意一点P分别引两条异面直线a,b的平行线 l1,l2(a∥l1,b∥l2),这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线 a,b所成的角.如果两条异面直线所成的角是直角,我们称这两条直 线互相垂直.记作:a⊥b.
-7-
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一题多解
探究一等角定理的应用
【例1】 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱 AD和A1D1的中点.求证:
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探究一
探究二
一题多解
解:(1)所在直线与BC'是异面直线的棱
有:AA',DD',A'B',DC,AD,A'D'.
(2)因为AD'∥BC',所以AD'与B'C所成的角就是BC'与B'C所成的角.
探究一
探究二
一题多解
解法1(直接平移法)如图所示.
连接A1C1,B1D1交于点O,取DD1的中点G, 连接GA1,GC1,OG,则OG∥B1D,EF∥A1C1,故∠GOA1或其补角就是 异面直线DB1与EF所成的角. ∵GA1=GC1,O为A1C1的中点,∴GO⊥A1C1. ∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
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2.异面直线所成的角
如图所示,过空间任意一点P分别引两条异面直线a,b的平行线 l1,l2(a∥l1,b∥l2),这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线 a,b所成的角.如果两条异面直线所成的角是直角,我们称这两条直 线互相垂直.记作:a⊥b.
必修2《异面直线所成角》课件ppt(优秀课件)
所成的角是多少？
1. A1B与D1C1 2. A1B与C1C 3. A1B与CD
45° 45° 45°
D1
C 1 4. A1B与° B 1 6. B1B与AD 90°
D
C 7. A1B与B1C 60°
A
B
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14
练习2：如图，在正方体中，与A1B成 45 °角的棱有（ D ）条
呵护儿童健康成长
讲课人：优质老师
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1
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2
空间两条直线的位置关系
共面直线 异面直线
相交直线 平行直线
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3
如图所示：正方体的棱所在的 直线中，与直线BC1异面的直线 有哪些？
D
C 答案：
A
B A1B1、CD、AA1、
D1
C1 DD1、AD、A1D1
A1
B1
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4
练习:
1.垂直于同一条直线的两条直线的位
A、无数条 C、至多有两条
B、两条 D、一条
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17
练习5：在四面体ABCD中，AD=BC， 且AD⊥BC，EF分别为AB、CD的中 点，则EF与BC所成角为多少度？
A
45°
E B
D F C
课件在线
18
练习6：已知异面直线a，b所成角为 50°，P为空间一点，则过P点与a，b 所成角都是30 °直线有几条？
2条
课件在线
19
作业：课本51页第6、7、8题 B组1、2、3 课外作业:名家指路相关练习
课件在线
20
请看图: D
C
A D1
B
c1
看图得出:
A1
B1 ADC A1D1C1
高二数学异面直线成的角PPT优秀课件
问题：什么叫异面直线？
想一想：我们可以从哪些方面研究两条异面 直线的位置关系？
1.异面直线所成角
2.异面直线之间距离
▪ 看书第12页，思考下列问题： ▪ 1.什么叫异面直线所成角？ ▪ 2.异面直线所成角范围是什么？ ▪ 3.书中所谓“空间点O”的位置怎样？
直线a、b是异面直线，经过空间任意一点 O ,分别 引直线a′∥a , b′∥ b。我们把直线a′和b′所成的锐角 (或直角)叫做异面直线a和b所成的角.
例2.在四面体S-ABC中，异面直线SA与BC所成
角为90度, E, F分别为SC、AB 的中点，SA＝2，BC ＝4，求异面直线EF 与SA 所成的角.
S
E A
D
F
C
B
S
E
AGD C NhomakorabeaF B1.求异面直线所成角的基本思想是什么？
化“异面”为“共面”，通过解三角形求 角.体现了化归的数学思想。
2.求异面直线所成角的步骤有哪些？
）
2
▪ 2. 已知两条异面直线分别平行于一个150度角的两
边，那么这两条异面直线所成角为___3_0__0 ___
练习二
正 方 体ABCD- A1B1C1D1 中 , AC、BD 交 于 O, 则 OB1与A1C1所成的角的度数为 900
B1 A1
C1 D1
D O
A
C B
思考题： 长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2
异面直线所成角的范围是
（0，π2 ]
b′
b
O
a
a′
“空间点O”的位置 任意
例1.指出下面正方体中两条异面直线
所成角，说说理由。空间点选在哪？
（ 1） AB与 CC1 （ 2） A B与 D 1B1(3)AD1与 A1B
想一想：我们可以从哪些方面研究两条异面 直线的位置关系？
1.异面直线所成角
2.异面直线之间距离
▪ 看书第12页，思考下列问题： ▪ 1.什么叫异面直线所成角？ ▪ 2.异面直线所成角范围是什么？ ▪ 3.书中所谓“空间点O”的位置怎样？
直线a、b是异面直线，经过空间任意一点 O ,分别 引直线a′∥a , b′∥ b。我们把直线a′和b′所成的锐角 (或直角)叫做异面直线a和b所成的角.
例2.在四面体S-ABC中，异面直线SA与BC所成
角为90度, E, F分别为SC、AB 的中点，SA＝2，BC ＝4，求异面直线EF 与SA 所成的角.
S
E A
D
F
C
B
S
E
AGD C NhomakorabeaF B1.求异面直线所成角的基本思想是什么？
化“异面”为“共面”，通过解三角形求 角.体现了化归的数学思想。
2.求异面直线所成角的步骤有哪些？
）
2
▪ 2. 已知两条异面直线分别平行于一个150度角的两
边，那么这两条异面直线所成角为___3_0__0 ___
练习二
正 方 体ABCD- A1B1C1D1 中 , AC、BD 交 于 O, 则 OB1与A1C1所成的角的度数为 900
B1 A1
C1 D1
D O
A
C B
思考题： 长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2
异面直线所成角的范围是
（0，π2 ]
b′
b
O
a
a′
“空间点O”的位置 任意
例1.指出下面正方体中两条异面直线
所成角，说说理由。空间点选在哪？
（ 1） AB与 CC1 （ 2） A B与 D 1B1(3)AD1与 A1B
2.1.2异面直线所成角公开课优秀课件非常好
异面直线所成角的求法
例1.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方
体(1)求异面直线BC1和AC所成的
角
D1
直接C1平移法
A1
B1
D A
C B
新课讲解：
异面直线所成角的求法
例1.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方
体(2)若M、N分别是A1B1，BB1的中点，求AM与CN所
成的角
D1
（2）补形法 可扩大平移的范围
方法整理：
1、解立体几何计算题的“三步曲”：
作
证
算
2、异面直线所成角的解题思路：
异面直线平移成相交直线（在平面上适当的平移） 由两相交直线构造一个平面图形（三角形）
求出平面图形上对应的角θ 注意θ若为钝角，则异面直线所成角为π-θ
体现了立几的“降维思想”
新课讲解：
异面直线所成角的求法
求异面直线BD1和AC所成的角
D1
C1
中位线平移法
A1 E
B1
D
C
o
A
B
新课讲解：
异面直线所成角的求法
例2.已知ABCD-A1B1C1D1是长方体，AA1=AD=1, AB2 =
求异面直线BD1和AC所成的角
D1
C1
补形平移法
A1
B1
D
C
A
B
方法整理：
3、异面直线所成角的两种求法：
（1）平移法 ①常用中位线平移 ②借助于平面平移
C1
p
M
B1
R
R
N
D
C
C
A
Q
BQ
新课讲解：
异面直线所成角的求法
新高考数学空间角精品课件
课前基础巩固
课堂考点探究
第42讲 空间角
作业手册
能用向量方法解决简单的夹角问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用.
课标要求
1. 异面直线所成的角(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,把直线a'与b'所成的 叫作异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)范围: . (3)求法: ①几何法:平移补形法.②向量法:若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别为u,v,则cos θ= |cos<u,v>|==.
图7-42-9
课堂考点探究
证明:如图①,连接CP,∵AE⊥平面 ABC,CP⊂平面ABC,∴AE⊥CP.∵△ABC是正三角形,∴CP⊥AB,又AB∩AE=A,∴CP⊥平面ABE.∵PQ⊂平面ABE, ∴CP⊥PQ.易知PQ∥BE∥CD,PQ=BE=CD,∴四边形CDQP为平行四边形,∴DQ∥CP,∴DQ⊥PQ.
课前基础巩固
②向量法:如图7-42-1,直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sin θ=|cos<u,n>|==.
课前基础巩固
图7-42-1
3. 二面角(1)定义:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作 的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫作二面角的平面角(如图7-42-2). (2)范围:[0,π].
图7-42-4
6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为 ,二面角B-A1C1-D1的余弦值为 .
课堂考点探究
第42讲 空间角
作业手册
能用向量方法解决简单的夹角问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用.
课标要求
1. 异面直线所成的角(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,把直线a'与b'所成的 叫作异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)范围: . (3)求法: ①几何法:平移补形法.②向量法:若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别为u,v,则cos θ= |cos<u,v>|==.
图7-42-9
课堂考点探究
证明:如图①,连接CP,∵AE⊥平面 ABC,CP⊂平面ABC,∴AE⊥CP.∵△ABC是正三角形,∴CP⊥AB,又AB∩AE=A,∴CP⊥平面ABE.∵PQ⊂平面ABE, ∴CP⊥PQ.易知PQ∥BE∥CD,PQ=BE=CD,∴四边形CDQP为平行四边形,∴DQ∥CP,∴DQ⊥PQ.
课前基础巩固
②向量法:如图7-42-1,直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sin θ=|cos<u,n>|==.
课前基础巩固
图7-42-1
3. 二面角(1)定义:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作 的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫作二面角的平面角(如图7-42-2). (2)范围:[0,π].
图7-42-4
6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为 ,二面角B-A1C1-D1的余弦值为 .
3.4求角的大小(第2课时)高二数学(上教版选修第一册)课件
于是
·
cos<1 , >= 1
|1 |||
=
1
2
1
2
2
2× 2
,C1(0,1,1),
1
= 2,
所以直线 EF 和 BC1 所成角的大小为 60°.
归纳总结
1.利用空间向量求两异面直线所成角的步骤.
(1)建立适当的空间直角坐标系.
(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标.
(3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角.
思路分析:建立空间直角坐标系,求出直线EF和BC1的方向向量的坐标,求它们的夹角即得直线
EF和BC1所成的角.
解:分别以直线BA,BC,BB1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系(如右图).
设 AB=1,则 B(0,0,0),E
1
1
1
,0,0
2
,F 0,0,
所以 = - 2 ,0, 2 , 1 =(0,1,1).
那么直线与平面垂线（法向量所在直线）所成的角为
－θ．
图３- ４- ７则显示了二面角的平面角和它的两个半平面所在平面的法
向量夹角大小的关系．因为一个平面的法向量垂直于该平面内的所有
直线，所以法向量夹角的两条边垂直于二面角的平面角相应的边．从
平面几何知道，这样两个角或者相等，或者互补．
例5.如图３-４-８，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，
(4)结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角.
2.求两条异面直线所成的角的两个关注点.
(1)余弦值非负:两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值,而对应的方向向
量的夹角可能为钝角.
(2)范围:异面直线所成角的范围是
·
cos<1 , >= 1
|1 |||
=
1
2
1
2
2
2× 2
,C1(0,1,1),
1
= 2,
所以直线 EF 和 BC1 所成角的大小为 60°.
归纳总结
1.利用空间向量求两异面直线所成角的步骤.
(1)建立适当的空间直角坐标系.
(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标.
(3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角.
思路分析:建立空间直角坐标系,求出直线EF和BC1的方向向量的坐标,求它们的夹角即得直线
EF和BC1所成的角.
解:分别以直线BA,BC,BB1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系(如右图).
设 AB=1,则 B(0,0,0),E
1
1
1
,0,0
2
,F 0,0,
所以 = - 2 ,0, 2 , 1 =(0,1,1).
那么直线与平面垂线（法向量所在直线）所成的角为
－θ．
图３- ４- ７则显示了二面角的平面角和它的两个半平面所在平面的法
向量夹角大小的关系．因为一个平面的法向量垂直于该平面内的所有
直线，所以法向量夹角的两条边垂直于二面角的平面角相应的边．从
平面几何知道，这样两个角或者相等，或者互补．
例5.如图３-４-８，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，
(4)结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角.
2.求两条异面直线所成的角的两个关注点.
(1)余弦值非负:两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值,而对应的方向向
量的夹角可能为钝角.
(2)范围:异面直线所成角的范围是
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
说明： π 异面直线所成角的范围是（0， 2 ]，在把异面直线 所成的角平移转化为平面三角形中的角时，常用余 弦定理求其大小，当余弦值为负值时，其对应角为 钝角，这不符合两条异面直线所成角的定义，故其 补角为所求的角，这一点要注意.
2
b′
b
O
a
a′
问题：正方体ABCD－A1B1C1D1．求： （1）A1B与CC1所成的角是多少度？为什么？ （2）A1B1与CC1所成的角是多少度？为什么？ （3）A1C1与BC所成的角是多少度？为什么？ （ 4）在正方体 ABCD－ A1B1C1D1的棱中，与棱 B1B垂直的棱有几条？（如图)
A1
D1
B1
C1
F1 E1
D A B
A C = 5 , A E = 2 5 , C E = 3 11 1 1
由余弦定理得
C
F
E
5 cos A C E= 1 1 5
5
A1C1与BD1所成角的余弦值为 5
方法归纳：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体， (补形法) 如正方体、长方体等，其目的在于易于发
为什么？
于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角），
中
A1 D1
O1
C1 B1
1 12 2 2 3 O M = BD =2 1 2 = , 1 1 2 2 2 1 2 2 5 A O = 2 1 = A O M = 由余弦定理得 cos 1 1
(A)300
(B)450
(C)600
S
(D)900
E D C
A F B
练习2（解法二）
S E
A
.G
F
C
B
练习2
（解法三）
S E
S
E C
A F F B A B
C
小结：
1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面角，体现了化 归的数学思想. 求异面直线所成的角步骤：作角 证角 算角
作角一般方法有： （1）平移法（常用方法） （2）补形法 算角一般方法有： （1）利用余弦定理
D1 A1 C1
B
1
D
C
A
B
例1：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1 =2cm，
AD =1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦
值 . 如图，连B D 与A C 解： 1 1 1 1
交于O1，
取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B，
2 2 连A1M，在A1O1 MA M = 2 1 =5 , 1
两条异面直线所 成角
一、复习提问
1、空间两条直线的位置关系
①从有无公共点的角度：
有且仅有一个公共点---------相交直线
平行直线 没有公共点--------异面直线 ②从是否共面的角度 不在同一平面内---------异面直线 相交直线 在同一平面内-------平行直线
2、公理4
平行于同一条直线的两条直线互相平行 已知直线a，b，c
（2）利用线面垂直的性质 2、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意三角形中角θ与异面 直线所成角的关系： （1） 当 cosθ ＞ 0 时，所成角为 θ （2） 当 cosθ ＜ 0 时，所成角为π－ θ （3） 当 cosθ = 0 时，所成角为 90o
3、当异面直线垂直时，还可应用线面垂直的有关知识解决.
a∥b c∥b
a∥c
3、等角定理
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且 方向相同，那么这两个角相等. 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行， 那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.
一.定义:
直线a、b是异面直线，经过空间任意一点 O ,分别 引直线a′∥a , b′∥ b.我们把直线a′和b′所成的锐角(或 直角)叫做异面直线a和b所成的角. π 注意：异面直线所成角的范围是 （ 0， ]
现两条异面直线的关系.
求异面直线所成角的步骤有哪些？
1.作角 2.证角 3.算角 作角一般方法有： （1）平移法（常用方法） （2）补形法
练习1 正方体ABCD - A1B1C1D1中,AC、BD交于O ,则OB1与A1C1 0 所成的角的度数为 90
B1 A1 D1 C1
D A
O B
C
练习2 在正四面体S -ABC中，SA⊥BC , E、F分别为SC、AB 的 中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ B ）
5
5 , 5
B
A1C1与BD1所成角的余弦值为
方法归纳：即根据定义，以“运动”的观点，用“平移
(平移法)
转化”的方法，使之成为相交直线所成的角.
解法二：
如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面
BC1的长方体B1F， 连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1 所成的角(或补角)， 在A1C1E中，