质点动量定理质点动量守恒定律

– 1D问题
• 非对心碰撞
– 2D问题
2018-11-8
碰撞过程动量守恒
• 碰撞过程，碰撞力远远大于外力，因此外 力的冲量可以忽略,碰撞前后总动量不变
根据动能对碰撞分类
• 弹性碰撞：碰撞前后总动能不变 • 非弹性碰撞：碰撞后总动能小于碰撞前
– 完全非弹性碰撞：碰撞后粘到一起
[Halliday et al, Fundamentals of Physics]
可以用质心运动定理来处理本题。
§4. 变质量系统
System with varying mass
• 火箭发射
典型问题
• 简化处理：假定外太空，无重力和阻力
系统(火箭+喷气)动量守恒
长征二号F搭载神州十一号飞船
v2 m

mg cos
R
y
u

v mg
x
2(1 cos ) M
M m m sin2
cos
M
cos3
1
(
7 10
)3
1 243
m 3cos 2
3
7 10

2
100
思考：如果已知M，m，要求m对M的压力?
§2. 碰撞
Collision
3
碰撞的例子
• 对心碰撞
[Halliday et al, Fundamentals of Physics]
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例题：光滑水平地面上静止放着质量为M的大木块，木
块上部为半径为R的光滑半圆凹槽。质量为m的小球从凹槽
左侧最高处静止开始下滑。试求小球上升到右侧最高点时相
对于地面的水平位移。
m R
系统水平方向不受外
完全非弹性碰撞
碰撞前
碰撞后
• 习题：冲击摆（ballistic pendulum）
• 习题：求弹簧最大压缩量
假定水平面光滑，质量块2初始静止。
4
弹性碰撞(elastic collision)
• 对心碰撞
碰撞前
碰撞后
碰撞后速度： 讨论：
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特例：等质量情形
• 非对心碰撞
已知
[Halliday et al, Fundamentals of Physics]
，可以求解
• 习题：已知
且
。
求
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§3. 质心
Center of mass
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质心定义
• 质心是质点系统的平均位置，按质点质量 进行加权平均得到。
例：两体
nห้องสมุดไป่ตู้质心：
为总质量
连续体的质心： 线 面 体
• 例：求质心
• 例：均匀杆的质心
[Halliday et al, Fundamentals of Physics]
[Halliday et al, Fundamentals of Physics]
均匀杆的质心位于杆的中点
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• 例：直角三角形面的质心(xC ,yC)
[Halliday et al, Fundamentals of Physics]
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质心速度
• 质心速度：质心的位置矢量对时间的导数 • 质点系统总动量：
系统内力不做功，系统外力仅有重力 mg 做功，且为 保守力，故机械能守恒！
y M u2 m [(u v cos )2 v2 sin2 ]
22 mgR cos 0 mgR
u

v mg
x
解出：v2

2 gR(1
cos )
M
M m m sin2

脱离时，m与M无相互作用，M此时恰好无加速度，以M为参考 系，恰好是惯性系! m相对于M做圆周运动，以m为研究对象
动量的时间变率等于质点受到的合力
质点动量守恒定律
• 如果质点所受合力恒为零，则动量守恒
常矢量
• 如果质点所受合力在某固定方向分量恒为 零，则沿该固定方向动量守恒
证明：选适当坐标，使得x方向为该固定方向即可
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冲量(impulse)
• 冲量:力对时间的积累
• 冲量是矢量，有三个分量 • 单位：N s = kg m/s
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冲量定理
• 动量改变量=冲量
平均冲击力
• 习题：汽车撞击测试（crash test）
• 课外调研：“水上漂”的蜥蜴
[Halliday et al, Fundamentals of Physics]
两质点系统(two-particle system)
• 牛二: • 牛三:
常矢量
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• 动量守恒定律：两个质点构成的系统，若 不受外力作用，总动量保持不变
• 可以推广到多粒子系统，即，若系统不受 外力，总动量保持不变
受外力情形：质点系统动量定理
• 质点系统动量 • 质点系统的动量定理
证明….；推论（固定方向动量定理，动量守恒）
例. 半径为R，质量为M的半圆柱面放在光滑水平面上。质量
质心加速度
• 质心加速度：
质心运动定理
• 由牛顿第三定律知，质点系统内部的相互 作用力两两抵消，最终只有外力起作用。
质点系统质心的运动与受相同外力且质量 为mt的等效质点的运动相同
• 推论：如果质点系统不受外力，则质心速度保 持不变；如果质心初始静止，则始终保持静止
• 如果质点系统在某固定方向不受外力，则质心 沿该方向上的速度分量不变；如果质心在该方 向初始速度分量为零，则质心位置在该方向上 始终保持不变
为m的小滑块从顶端从静止开始下滑，假定小滑块在

arccos
7 10
处脱离半圆柱面，求M/m.
y
设M速度为 u，m相对M速度为 v
u

v mg
m绝对速度为
x u v (u v cos )iˆ v sin ˆj
系统所受外力均沿着竖直方向。Ox方向不受外力，该方向 动量守恒：
Mu m(u v cos ) 0
第六章 动量
Momentum
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内容提要
• 1. 动量与冲量 • 2. 碰撞 • 3. 质心 • 4. 变质量系统
§1. 动量与冲量
Momentum and impulse
动量(momentum)
• 质点动量：
• 动量是矢量，有三个分量
• 单位：kg m/s
质点动量定理
• 牛顿第二定律： • 动量定理：
力，且初始时刻处于静止状
M
态，根据质心运动定理，可
知质心水平坐标不变。
O
x
MxM mxm MxM0 mxm0
M m
M m
因此，水平位移满足
m R
M xM mxm 0
M
O
x
小球相对木块位移满足
xm xM 2R
解得
xm 2RM / (M m)
例题：竖直下垂的绳子从静止自由下落，开始时绳下端刚 好与地回接触，设绳均匀柔软。试证明，下落过程中地面 所受压力等于已经落在地面上的绳子重量的3倍.