数学概念与命题教学40张精美资料

❖ 第一阶段—操作（Action）阶段。理解函 数需要进行活动或操作。
❖ 例如，在有现实背景的问题中建立函数关 系y = x2，需要用具体的数字构造对应：2 →4；3 →9；4 →16……通过操作，理解 函数的意义。
❖ 第二阶段—过程（Process）阶段。 ➢ 把上述操作活动综合成函数过程。
➢ 一般地有x →x2；其它各种函数也可以概 括为一般的对应过程：x → f（x）。
数学概念学习
❖ 我们是如何教会小孩子认识数字的？ ❖ 数学概念怎么样在我们的头脑中形成？ ❖ 数学概念的掌握需要经历一些什么样的过程？
一、数学概念的本质
数学概念是反映客观事物数量关系或空间形式方 面的本质属性的思维形式，是人们通过实践,从数 学所研究的事物对象的许多属性中，抽象出其本质 属性概括而成的。 ➢ 数学概念是进行数学推理和证明的基础和依据。 ➢ 数学概念学习是数学学习的基础，数学概念的
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3.注意概念的对比和直观化
1）平行相关的概念——用类比 譬如？ 分数与分式； 数列极限与函数极限； 平面几何与立体几何； 椭圆、双曲线、抛物线；
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3.注意概念的对比和直观化
2）形式相似、差别较小的概念——比较其内涵和外延
譬如： ➢“任一直线和平面所称的角”VS“任一斜线和平 面所成的角”。都是角，但范围有差别； ➢“不等式的解”较难理解，可将它和“方程的解” 进行比较； 区别或联系？
（1）概念的形成 （2）概念的同化
1.概念的Hale Waihona Puke Baidu成： 指从大量的具体例子出发，归纳概括出一类事物
的共同本质属性的过程。这是一种发现学习法。
学生如何通过概念的形成方式来获得“扇形”概念？
“扇形”就像“扇子”那样的图形？ ——日常概念 ——不是扇形的“数学概念”！
扇形的定义：两条半径和圆周的一部分围成的封闭图 形✓由于认知水平有限,儿童不可能获得这个精确概念 ✓只能从大量扇形的正例和反例中归纳出共同属性：
关键词的含义； ❖ 用概念作判断的具体事例——形成用概念作判断的
具体步骤； ❖ 概念的“精致”——建立与相关概念的联系。
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六、数学概念教学的5个注意
1.加强对数学概念的解剖分析
数学概念特点：用数学符号表达；用词严密精炼； 寓意深刻；高度概括等等。
注意：抓住概念中的关键词句进行解剖分析，揭示 每一个词、句、符号、式子的内在含义，使学生深刻 理解。
思考
❖ 你还能够用APOS理论解释其他的数学概 念学习吗？
❖ 你在哪些概念的学习中是“概念同化”在 哪些概念的学习中是“概念的形成”？
5．概念教学的基本环节
❖ 典型丰富的具体例证——属性的分析、比较、综合 ❖ 概括共同本质特征得到概念的本质属性； ❖ 下定义（准确的数学语言描述）； ❖ 概念的辨析——以实例（正例、反例）为载体分析
教学是数学教学最重要的组成部分。
二、数学概念学习的本质
数学概念学习的本质：概括出数学中一类事物对象 的共同本质属性，正确区分同类事物的本质属性与非 本质属性，正确形成数学概念的内涵和外延。 ➢ 数学概念学习包括4个方面：概念的名称、概念的定
义、概念的例子(正反例子)、概念的属性。 ➢ 概念教学的本质：使学生在脑中形成概念表象，帮
梯形概念同化学习包括： ✓先分类(四边形)；分类依据为种差； ✓再借助丰富的例证,使学习者明确梯形概念的内涵外延。
观点二： APOS理论
❖ 杜宾斯基认为，学生学习数学概念是要进 行心理建构的，这一建构过程要经历4个 阶段（以函数概念为例）：
❖ 第一阶段—操作（Action）阶段。 ❖ 第二阶段—过程（Process）阶段。 ❖ 第三阶段—对象（Object）阶段。 ❖ 第四阶段—图式（Scheme）阶段。
❖ 学习一个概念，往往要经历由过程开始，然后转 变为对象的认知过程，而最终结果是二者在认知 结构中共存，在适当的时候分别发挥作用。
❖ 例如：学习函数概念：
先是按表达式找若干个自变量的值去计算对 应的因变量的值，后来再把它变为一个以定 义域、值域、对应关系三要素构成的对象。
四、数学概念学习的方法
❖观点一
如何剖析“正弦函数”的概念？
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如何剖析“正弦函数”的概念？ ➢正弦函数值实质上是一个“比”的数值；
➢在角α的终边上任意取一点P(x,y)，那么这个“比” 就是 y ，其中r x2 y2
r
➢这个“比”的值随α的值确定而确定(三角形相似)；
➢还要紧扣住函数这一基本概念：对于α的每一个确定 的值，都有唯一确定的比值与之对应，所以这个“比” 就是α的函数。
概念同化的心理过程:
阅读 定义
以旧观念来明确 定义的内涵外延
区分和联系 新旧概念
概念的同化：
在数学中,大多数概念的定义方式：属概念(在概念的 从属关系中,外延大的概念称为属概念)+种差(即关键属 性)。
譬如“梯形”及其学习方式？
"一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形"
属概念：四边形； 种差：一组对边平行而另一组对边不平行
助学生在脑中建构起良好的概念图式。 ➢ 良好的图式是由一系列反应概念的本质属性的观念
组成。譬如：a是一个数；它不会是负数；它的平方 等于a；在数轴上它可能是原点也可能在原点的右边；
三、数学概念的二重性
❖ 概念既表现为一种过程性操作，又表现为对象、 结构，概念往往兼有这样的二重性。二者有着紧 密的依赖关系。
❖ 第三阶段—对象（Object）阶段。 ❖ 然后可以把函数过程上升为一个独立的对
象来处理。
❖ 比如，函数的加减乘除、复合运算等。
❖ 第四阶段—图式（Scheme）阶段。
❖ 此时的函数概念以一种综合的心理图式而 存在于脑海中，在数学知识体系中占有特 定的地位，这一心理图式含有具体的函数 实例、抽象过程、完整的定义，乃至和其 它概念的区别和联系（方程、曲线、图像 等等）。
➢学生的判别过程,就 是不断舍弃非本质属 性、从而发现本质属 性的过程。
概念形成的心理过程:
辨别分析 比较 找出共 抽象 确认本 概括 形成
正例
类化 同属性 检验 质属性
概念
2.概念的同化
指学习者利用原有的认知结构中的观念来理解、 接纳新的概念的过程。概念同化不仅使新概念获得了 意义，而且扩大和深化了原有的认知结构。