电力系统静态稳定性

1 ∆δ ∆ω 0
T
缩记为
dX = AX , dt
∆ω ]
0 ω S = A , − N Eq TJ
1 0
根据给定运行方式的潮流计算，可得:
= S Eq dPEq Eq0V0 = cos δ 0 d δ δ =δ X dΣ
0
在平衡状态 X e 进行泰勒级数展开得：
X = Xe
d ( X e + ∆X ) dF ( X ) = F(X ) + dt dX
∆X + R(∆X )
令
A=
dF ( X ) dX
d ∆X = ，略去高阶项并计及平衡状态， dt
R ( ∆X ) ∆X
A∆X
如果 ∆X → 0 时，能满足 判稳原则：
→ 0 ，则得到稳定判断原则：
2
二、李雅普诺夫运动稳定性定义
设 X e 为系统 X = F (t , X ) 的一个平衡状态。以 X e 为圆心，以 c 为半 径的球域可以记为 X - Xe ≤c 其中
X= - Xe
2 ( ) x − x ∑ i ei i =1
n
表示向量差 X - X e 的欧氏长度，亦称欧氏范数。
3
稳定性的定义： 对于任给实数ε > 0 ，存在实数η (ε , t0 ) > 0 ，使所有满足
lim X (t ) - X e = 0
t →∞
X 0- X e ≤η
的初值 X 0 所确定的运动X (t ) 中，只要有一个运动，在 t ≥ t0 的某一时刻 不满足 X (t ) - X e < ε 则称平衡状态 X e 是不稳定的。
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三、非线性系统的线性近似稳定性判断法 公式线性化：
dX = F(X ) dt
S Eq > 0
δ 0 < 90
S Eq = 0
δ sl = 90
= PEqsl Eq0V0 X dΣ sin = δ sl Eq0V0 = PEqm X dΣ
发电机电磁功率
即系统保持静态稳定时发电机所能输送的最大功率，称为稳定极限。
dP 静态稳定的实用判剧： S = >0 Eq dδ
在稳定工作范围内，自由振荡的频率为
= ∆δ (t ) kδ eα t sin( β t − ϕ )
这是一个振幅不断增大的振荡。
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图18-3 负阻尼导致的自发振荡
具有负阻尼的电力系统是不能稳定运行的。
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18-3 自动励磁调节器对静态稳定的影响
一、按电压偏差调节的比例式调节器 比例式调节器：又称为按偏移调节器。 单参数调节器 多参数调节器 1.各元件的动态方程
1 ωN S Eq fe = 2π TJ
图18-2 整步功率 S Eq 及固有频率的变化
称为固有振荡频率。
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讨论：阻尼对稳定性的影响 （1）D > 0 ，即具有正阻尼
∆δ (t ) 将单调 当 SEq > 0，且D > 4 S EqTJ ω N 时，特征值为两个负实数， 衰减到零，系统是稳定的。通常称之为过阻尼。 2 当 SEq > 0，但 D < 4S EqTJ ω N 时，特征值为一对共轭复数，其实部为与 ∆δ (t ) 将是一个衰减的振荡，系统是稳定的。 D 成正比的负数，
∆Eqe = X ad ∆ife
得
− K V ∆VG = ∆Eqe + Te
d∆Eqe dt
式中 K V = X ad K A Rf 称为调节器的综合放大系数。 不计阻尼绕组作用
′ ( Eqe0 + ∆E= qe ) ( Eq0 + ∆Eq ) + Td0
′ + ∆Eq′ ) d( Eq0 dt
′ 为一常数，则 在给定的运行平衡点有 Eqe0 = Eq0 。计及 Eq0
可得以偏差量表示的小扰动方程
− K A ∆VG = ∆Vf + (Te + K A K F ) d∆Vf dt
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全式乘以 得 由
−
X ad Rf
X ad X ad X dX ad ∆ife d∆Vf K A ∆VG = ∆Vf + ad Te = X ad ∆ife + Te Rf Rf Rf dt dt
′ ∆Eqe = ∆Eq + Td0
′ d∆Eq dt
以偏差量表示的发电机转子运动方程为
d∆δ = ∆ω dt ωN d∆ω = − ∆Pe TJ dt
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2.发电机的电磁功率方程 把不同电势表示的功率特性写成一般函数形式
PEq = PEq ( Eq，δ ) ′，δ ) PE ′q = PE ′q ( Eq P VGq = P VGq (VGq，δ )
∂PEq ∂δ
∆δ +
∂PEq ∂Eq
∆Eq
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忽略二次及以上各项，得
∂PEq ∂PEq ; REq S Eq = = ∂δ Eq =Eq0 ∂Eq Eq =Eq0 δ =δ 0 δ =δ 0 ∆PEq = S Eq ∆δ + REq ∆Eq
同理可得到
∂PE ′q ∂PE ′q = S E ′q = ; RE ′q ′ Eq′ =Eq0 ′ ∂δ Eq′ =Eq0 ∂Eq ′ δ =δ 0 δ =δ 0
dX (t ) = F [t , X (t )] dt
X0 X0
X (t ) X (t )
t ≥ t0
所描述的运动为未受扰运动； 所描述的运动便称为受扰运动。
= X0 X = (t0 ) X e
dX dt
=0
X =X e
平衡状态就是代数方程 F (t , X e ) = 0 的解。 对于线性定常系统， F (t , X ) = AX ,若矩阵A 非奇，系统只有一个平 衡状态；若矩阵 A 奇异，则系统将有无限多个平衡状态。对于非线性系 统，则可能有一个或多个平衡状态。
= A + jB ， kδ= A − jB ，于是 设 kδ 1
∆δ= (t ) 2 A cos β t − 2 B sin= β t kδ sin( β t − ϕ ) A kδ = −2 A2 + B 2，ϕ = arctg B
系统受扰后功角在 δ 0 附近作等幅振荡。
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总结： 静态稳定判据 极限：
d ∆X = A ∆X 的特征方程，由特征方程系数间接 dt 判断特征值实部的符号。
2.求出式
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18-2 简单电力系统的静态稳定性
ω = ωN ； 发电机输出功率P0 ，
原动机的功率为 PT0 = P0 。 假定： 原动机的功率 P 常数； = PT0 = P = T 0 发电机为隐极机，不计励磁调节作 用和发电机各绕组的电磁暂态，即
∆P VGq = SVGq ∆δ + RVGq ∆VGq ∂P ∂P VGq VGq = SVGq = ; RVGq ∂δ VGq =VGq0 ∂VGq
δ =δ 0
′ ∆PE ′q = S E ′q ∆δ + RE ′q ∆Eq
VGq =VGq0 δ =δ 0
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因为扰动是微小的，所以假定
（1）若A所有特征值实部均为负，线性化方程和非线性系统稳定 （2）若A至少有一实部为正的特征值，线性化方程的解和非线性系统 不稳定。 （3）若A有零值或实部为零的特征值，则非线性系统的稳定性需计及 非线性部分 R (∆X ) 才能判定。
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四、用小扰动法分析计算电力系统静态稳定的步骤
（1）列各元件微分方程以及联系各元件间关系的代数方程（网络方程）。 （2）分别对微分方程和代数方程线性化 （3）消去方程中的非状态变量，求出线性化小扰动状态方程及矩阵A。 （4）进行给定运行情况的初态计算，确定A矩阵各元素的值。 （5）确定A矩阵特征值实部的符号，判断系统是否具有静稳性。 1.直接求出A矩阵的所有特征值； 两种方法
第十八章 电力系统静态稳定性
• • • • 18-1 18-2 18-3 18-4 运动稳定性的基本概念和小扰动法原理 简单电力系统的静态特性 自动励磁调节器对静态特性的影响 电力系统静态稳定实际分析计算的概念
1
18-1 运动稳定性的基本概念和小扰动法原理
动力学系统→微分方程组→解来表征其稳定性
一、未受扰运动与受扰运动
通过对这些功率方程的线性化处理，便可求得电磁功率的增量 ∆Pe 。
对于 PEq ( Eq，δ ) ，将其在平衡点附近展开成泰勒级数，可得
+ ∆δ ) PEq ( Eq0，δ 0 ) + ∆PEq PEq ( E= PEq ( Eq0 + ∆Eq，δ 0 = q，δ )
= PEq ( Eq0，δ 0 ) +
X 0 - X e ≤ η (ε , t0 )
的初值 X 0 所确定的运动 X (t ) ，恒满足
X (t ) - X e < ε
( t ≥ t0 )
则称系统的平衡状态 X e 是稳定的。如果 η 与 t0 无关，则是一致稳定的。 如果平衡状态 X e 是稳定的。而且还有 则称平衡状态 X e 是渐近稳定的。 如果对于某个实数 ε > 0 ，无论 η > 0 取得多么小，在满足
= Eq E = q0
常数
简单电力系统及其功角特性
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一、不计发电机组的阻尼作用
dδ = ω − ωN dt ωN dω ω N = = ( PT − P ( PT − Pm sin δ ) e) dt TJ TJ
= Pe
Eq 0V0 = sin δ PEq (δ ) X dΣ
2
当S Eq < 0 ，特征值为正、负两个实数。系统是不稳定的，并且是非 周期地失去稳定。 当 D > 0 时，稳定判据 SEq > 0。阻尼系数 D 只影响受扰后状态量的 衰减速度。 （2）D < 0 ，即具有负阻尼 不论 S Eq 为何值，特征值的实部总是正值，系统都是不稳定的。 自由振荡的解为
d δ d (δ 0 + ∆δ ) d ∆δ = = = ω − ωN = ∆ω dt dt dt ω N SEq ωN dω d (ω N + ∆ω ) d ∆ω = = = − ∆Pe = − ∆δ dt dt dt TJ TJ
小扰动方程
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写成矩阵
d ∆δ 0 dt = ω N S Eq d ω ∆ − T J dt X = [ ∆δ
= VR K A (Vref − VG ) dVf Te VR + Vf = dt
如电子型电压调节器 如相复励、带有电压校正器的复式励磁调节器
令
V= Vf0 + ∆Vf f
V = VG0 + ∆VG G
计及
Vref VR0 K A + VG0 VR0 = Vf0 =
图18-4 励磁系统简化框图
∆PEq ≈ ∆PE′q ≈ ∆PVGq = ∆Pe ∆VG ≈ ∆VGq
整理后得
d∆Eqe dt ′ d∆Eq dt K 1 = − ∆Eqe − V ∆VGq Te Te 1 1 = − ∆Eqe − ∆Eq ′ ′ Td0 Td0
d∆δ = ∆ω dt ω d∆ω = − N ∆Pe dt TJ 0 S Eq ∆δ + REq ∆Eq − ∆Pe = ′ − ∆Pe 0 S E ′q ∆δ + RE ′q ∆Eq = 0 SVGq ∆δ + RVGq ∆VG时，特征值为两个实数，其中一个为正实数。 ∆δ (t )= kδ 1e p1t + kδ 2 e p2t 功角偏差 ∆δ 以指数曲线随时间不断增大，系统不稳定。 当 SEq > 0 时，特征值为一对共轭虚数 P 1,2 = ± jβ ω N SEq β= TJ
∆δ (t ) = kδ 1e jβ t + kδ 2 e − jβ t = (kδ 1 + kδ 2 ) cos β t + j(kδ 1 − kδ 2 ) sin β t
状态方程：
dδ ω − ω N =fδ (δ , ω ) = dt dω ω N = [ PT0 − PEq (δ )] = fω (δ , ω ) dt TJ
在平衡点附近将 PEq (δ ) 展开成泰勒级数，略去二次项及以上得：
P PEq (δ 0 ) + S PEq (δ 0 ) + ∆Pe = = Eq (δ ) Eq ∆δ
0 可得 由 det[ A − p1] =
−p det − ω N S Eq TJ
± − p1,2 =
解得
1 ω N SEq =+ 2 p = 0 − p TJ ω N SEq
TJ
将 SEq 的值代入上式，即可确定特征值 p1 、p2 ，从而判断系统稳定性。 注意：小扰动法不能回答稳定程度如何。