2021届高考数学核按钮【新高考广东版】2.3 基本不等式

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2021年高考数学真题试题(新高考Ⅰ卷)(word版,含答案与解析)

2021年高考数学真题试卷（新高考Ⅰ卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1.设集合A= {x|-2<x<4}. B = {2,3,4,5},则A∩B=（）A. {2}B. {2,3}C. {3,4,}D. {2,3,4}【答案】B【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：根据交集的定义易知A∩B是求集合A与集合B的公共元素，即{2,3}，故答案为：B【分析】根据交集的定义直接求解即可.2.已知z=2-i，则( z(z⃗+i)=（）A. 6-2iB. 4-2iC. 6+2iD. 4+2i【答案】C【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算【解析】【解答】解：z(z+i)=(2−i)(2+2i)=4+4i−2i−2i2=6+2i故答案为：C【分析】根据复数的运算，结合共轭复数的定义求解即可.3.已知圆锥的底面半径为√2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A. 2B. 2 √2C. 4D. 4 √2【答案】B【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】【解答】解：根据底面周长等于侧面展开图弧长，设母线为l，底面半径为r，则有2πr=180°360°×2πl，解得l=2r=2√2故答案为：B【分析】根据底面周长等于侧面展开图弧长，结合圆的周长公式与扇形的弧长公式求解即可.4.下列区间中，函数f(x)=7sin( x−π6)单调递增的区间是（）A. (0, π2) B. ( π2, π) C. ( π, 3π2) D. ( 3π2, 2π)【答案】A【考点】正弦函数的单调性【解析】【解答】解：由−π2+2kπ≤x−π6≤π2+2kπ得−π3+2kπ≤x≤2π3+2kπ，k∈Z，当k=0时，[−π3，2π3]是函数的一个增区间，显然(0，π2)⊂[−π3，2π3]，故答案为：A【分析】根据正弦函数的单调性求解即可.5.已知F 1,F 2是椭圆C ：x 29+y 24=1 的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为（） A. 13 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】 C【考点】基本不等式在最值问题中的应用，椭圆的定义【解析】【解答】解：由椭圆的定义可知a 2=9,b 2=4,|MF 1|+|MF 2|=2a=6，则由基本不等式可得|MF 1||MF 2|≤|MF1||MF2|≤(|MF1|+|MF2|2)2=9 ，当且仅当|MF 1|=|MF 2|=3时，等号成立. 故答案为：C【分析】根据椭圆的定义，结合基本不等式求解即可. 6.若tan θ =-2,则sin θ(1+sin2θ)sin θ+cos θ=（）A. −65 B. −25 C. 25 D. 65 【答案】 C【考点】二倍角的正弦公式，同角三角函数间的基本关系，同角三角函数基本关系的运用【解析】【解答】解：原式=sinθ(sin 2θ+2sinθcosθ+cos 2θ)sinθ+cosθ=sinθ(sinθ+cosθ)2sinθ+cosθ=sinθ(sinθ+cosθ)=sin 2θ+sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ+tanθtan 2θ+1=25故答案为：C【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合二倍角公式求解即可. 7.若过点（a,b)可以作曲线y=e x 的两条切线，则（） A. e b <a B. e a <b C. 0<a<e b D. 0<b<e a 【答案】 D【考点】极限及其运算，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：由题意易知，当x 趋近于-∞时，切线为x=0，当x 趋近于+∞时，切线为y=+∞，因此切线的交点必位于第一象限，且在曲线y=e x 的下方. 故答案为：D【分析】利用极限，结合图象求解即可.8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立【答案】 B【考点】相互独立事件，相互独立事件的概率乘法公式，古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】解：设甲乙丙丁事件发生的概率分别为P(A)，P(B)，P(C)，P(D)，则P(A)=P(B)=16，P(C)=56×6=536，P(D)=66×6=16 ，对于A ，P(AC)=0；对于B ，P(AD)=16×6=136；对于C ，P(BC)=16×6=136；对于D ，P(CD)=0.若两事件X,Y 相互独立，则P(XY)=P(X)P(Y), 故B 正确. 故答案为：B【分析】根据古典概型，以及独立事件的概率求解即可二、选择题：本题共4小题。

第6章第4讲基本不等式-2021版高三数学(新高考)一轮复习课件共55张PPT

第六章不等式推理与证明
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(2)ab－16＝a＋2b≥2 2ab，令 ab＝t，
则 t2－2
2t－16≥0⇒t≥2
2＋ 2
72＝4
2，
故 ab≥32，即 ab 最小值为 32.(当且仅当 a＝8，b＝4 时取等号)故选 B．
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〔变式训练 1〕
(1)(角度 1)(2020·宁夏银川一中月考)已知正数 x、y 满足 x＋y＝1，则1x＋1＋4 y的最
小值为
(B )
A．2
B．92
C．134
D．5
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[解析] (1)令 t＝ x－1≥0，则 x＝t2＋1，所以 y＝t2＋1＋t 3＋t＝t2＋tt＋4．当 t＝0，即 x＝1 时，y＝0；当 t＞0 时，即 x＞1 时，y＝t＋41t ＋1，因为 t＋4t ≥2 4＝4(当且仅当 t＝2 时取等号)，所以 y＝t＋41t ＋1≤15，即 y 的最大值为15(当 t＝2，即 x＝5 时 y 取得最大值)．
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知识梳理 • 双基自测
第六章不等式推理与证明
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知识点一重要不等式 a2＋b2≥____2_a_b____(a，b∈R)(当且仅当___a_＝__b____时等号成立)．知识点二基本不等式 ab≤a＋2 b(均值定理) (1)基本不等式成立的条件：__a_>_0_，__b_>_0_； (2)等号成立的条件：当且仅当___a_＝__b____时等号成立； (3)其中a＋2 b叫做正数 a，b 的_算__术__平__均__数__， ab叫做正数 a，b 的__几__何__平__均__数__.

(广东专用)高考数学总复习第六章第四节基本不等式课件理

【解析】 ∵x>0，y>0，∴x＋8y≥2 8xy＝4 2xy， ∴xy≤312(当且仅当 x＝8y＝12时取“＝”)．【答案】 1
32
9
利用基本不等式求最值
(1)已知 x＞0，y＞0，且 x＋y＝1，则3x＋4y的最小值是________． (2)(2011·浙江高考)设 x，y 为实数，若 4x2＋y2＋xy＝1，则 2x＋y 的最大值是________．【思路点拨】 (1)“1”的妙用，把3x＋4y化为(x＋y)(x3＋4y)． (2)4x2＋y2＋xy＝(2x＋y)2－3xy，再利用 3xy≤32×2xy≤23(2x＋ 2 y)2 求解．
【提示】当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解． 2．若x2＋y2＝1，则xy有最大值还是最小值？试求之．
【提示】
xy
有最大值，xy≤x2＋2 y2＝12，当且仅当
x＝y＝±
2时等 2
号成立．
4
1．(教材改编题)用20 cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，则矩形的长和宽分别是( )
A．7 cm,3 cm
∴x＋1＋x＋4 1≥2 x＋1·x＋4 1＝4，
当且仅当 x＋1＝x＋4 1，即 x＝1 时取“＝”，
∴y＝(x＋1)＋x＋4 1＋5≥9，
∴函数 y＝x＋x5＋x1＋2的最小值为 9.
14
(2)∵x＞0，y＞0，x3＋4y＝1， ∴x＋y＝(x＋y)(3x＋4y)＝3xy＋4yx＋7≥2 3xy·4yx＋7＝7＋4 3，当且仅当3xy＝4yx且3x＋4y＝1，即 x＝3＋2 3，y＝4＋2 3时等号成立， ∴x＋y 的最小值为 7＋4 3.,
13
(1)本例(1)改为“若 x＞－1，试求函数 y＝x＋x5＋x1＋2的最小值．”

广东专用2024版高考数学总复习：基本不等式课件

×
（5） “ 且 ”是“ ”的充分不必要条件.( )
√
2.（教材题改编）已知 , 且，下列各式中最大的是( )
A. B. C. D.
解：因为 , ，所以 , ， , ，所以，，当时，由均值不等式可知，所以，由上可知, , ，所以四个式子中最大.故选D.
第一章集合与常用逻辑用语、不等式
1.5 基本不等式
课程标准有的放矢
必备知识温故知新
自主评价牛刀小试
核心考点精准突破
课时作业知能提升
掌握基本不等式 .结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
【教材梳理】
1.基本不等式如果 , ,那么_ __________，当且仅当时，等号成立.该式叫基本不等式，其中，_ ___叫做正数，的算术平均数，_____叫做正数 , 的几何平均数.基本不等式表明:两个正数的算术平均数________它们的几何平均数.
【常用结论】
4.常用推论
（1） .
（2） .
（3） .
（4） . 即有：正数 , 的调和平均数≤几何平均数算术平均数≤平方平均数.
5.三元均值不等式
（1） .
（2） . 以上两个不等式中 , , ,当且仅当时等号成立.
不小于
2.几个重要不等式
重要不等式
使用前提
等号成立条件
_______
________
2
-2
3.基本不等式求最值
（1）设 , 为正数，若积等于定值，那么当时，和有最小值_____（简记为:积定和最小）.
（2）设 , 为正数，若和等于定值 ,那么当时，积有最大值_____（简记为：和定积最大）.

2021届高考数学核按钮【新高考广东版】2.1 不等式性质

第二章不等式1.不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．2．一元二次不等式(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．(2)通过一元二次函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．(3)会解一元二次不等式．3．基本不等式：a ＋b2≥ab (a ≥0，b ≥0)(1)了解基本不等式的证明过程．(2)能用基本不等式解决简单的求最大(小)值问题．2.1 不等式性质1．两个实数大小的比较 (1)a ＞b ⇔a －b________. (2)a ＝b ⇔a －b________.(3)a ＜b ⇔a －b________.2．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔__________．(2)传递性：a >b ，b >c ⇒__________． (3)不等式加等量：a >b ⇔a ＋c______b ＋c. (4)不等式乘正量：a >b ，c >0⇒__________，不等式乘负量：a >b ，c <0⇒__________． (5)同向不等式相加：a >b ，c >d ⇒__________． ※(6)异向不等式相减：a >b ，c <d ⇒a －c ＞b －d. (7)同向不等式相乘：a >b >0，c >d >0⇒__________．※(8)异向不等式相除：a >b >0，0<c <d ⇒a c ＞b d . ※(9)不等式取倒数：a >b ，ab >0⇒1a ＜1b.(10)不等式的乘方：a >b >0⇒______________．(11)不等式的开方：a >b >0⇒______________．注：(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减；(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除．自查自纠 1.＞0 ＝0 ＜02.(1)b <a (2)a >c (3)> (4)ac >bc ac <bc (5)a ＋c >b ＋d (7)ac >bd (10)a n >b n (n ∈N 且n ≥2) (11)n a >nb (n ∈N 且n ≥2)1.下列说法正确的是 ( )A.若ab>1，则a >b B.一个不等式的两边加上或乘以同一个实数，不等号方向不变 C.一个非零实数越大，则其倒数就越大 D.a >b >0，c >d >0⇒a d >bc解：举反例易知A ，B ，C 均错误，c >d >0⇒1d >1c >0，故选项D 正确．故选D. 2.(2019·全国Ⅱ卷)若a ＞b ，则 ( ) A.ln(a －b )＞0 B.3a ＜3b C.a 3－b 3＞0 D.|a |＞|b |解：a ＞b ⇒a 3＞b 3，故C 正确，易知A ，B ，D 错误．故选C. 3.(北京市石景山区2019届高三3月统一测试)若x ＞0＞y ，则下列各式中一定正确的是 ( ) A.sin x >sin y B.ln x <ln(－y )C.e x <e yD.1x >1y解：因为sin π＝sin(－π)，ln1＝ln[－(－1)]，e 1>e －1，所以A ，B ，C 均不正确；因为x ＞0，y ＜0，所以1x ＞0，1y ＜0，所以1x ＞1y，所以D 正确．故选D.4．设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则M ，N 的大小关系为________．解：因为M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝(a －1)2＋2＞0，所以M ＞N.故填M >N.5.(2018·南京模拟)若a ，b ∈R ，且a ＋|b |<0，则下列不等式中所有正确的序号是________．①a －b >0；②a 3＋b 3>0；③a 2－b 2<0；④a ＋b <0.解：a ＋|b |<0⇒a <0且－a >|b |，由|b |≥－b 得－a >－b ⇒a －b <0，①错；由|b |≥b 得－a >b ⇒－a 3>b3⇒a 3＋b 3<0，②错；由|a |＝－a >|b |⇒a 2>b 2⇒a 2－b 2>0，③错；由－a >b ⇒a ＋b <0，④对．故填④.类型一建立不等关系例1 下表为某运动会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格．某球迷赛前准备用1 200元预订前提下，该球迷想预订上表中三种球类比赛的门票，其中篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数均为n (n ∈N *)张，且篮球比赛门票的费用不超过足球比赛门票的费用，写出关于n 的不等式(组)，并求可以预订的足球比赛门票数．解：由题意，足球比赛门票预定(15－2n )张，则⎩⎪⎨⎪⎧80n ＋60n ＋100（15－2n ）≤1 200，80n ≤100（15－2n ），2n ＜15.解得5≤n ≤7514，由n ∈N *，可得n ＝5，所以15－2n ＝5.所以可以预订足球比赛门票5张．点拨解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”“不超过”等，从而建立相应的方程或不等式模型．变式1 (2017·北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数； ②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数．(1)若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________；(2)该小组人数的最小值为________．解：设男学生人数、女学生人数、教师人数分别为a ，b ，c ，则2c >a >b >c ，a ，b ，c ∈N *.(1)若c ＝4，则2c ＝8，所以8>a >b >4，当a ＝7时，b ＝6或5；当a ＝6时，b ＝5.所以b max ＝6.(2)因为2c >a >b >c ，a ，b ，c ∈N *，所以c 与2c 之间至少有两个整数，所以2c －c ≥3，所以c ≥3，所以c min ＝3.当c ＝3时，有6>a >b >3，此时a ＝5，b ＝4，所以该小组人数的最小值为a ＋b ＋c ＝12. 故(1)填6；(2)填12.类型二不等式的性质例2 (1)设a ，b ，c ，d 均为非零实数，则下列命题中所有正确的序号为________．①若bc －ad >0，c a －db >0，则ab >0；②若a 1b；③若a >b ，c >d ，则a －c >b －d ；④若a >b >1>d ＋1，则log a (b －d )<log b (a －d )．解：①正确，因为c a －d b ＝bc －adab >0，bc －ad >0，所以ab >0；②错误，因为a 1b不一定成立； ③错误，因为a >b ，c >d ，所以令a ＝3，b ＝1，c ＝2，d ＝0，则a －c ＝b －d ，所以a －c >b －d 不一定成立；④正确，因为a >b >1>d ＋1，所以a －d >b －d ＞1，所以log a (b －d )<log a (a －d )．又因为log a (a －d )<log b (a －d )，所以log a (b －d )<log b (a －d )．故填①④.(2)(甘肃省2019届高三二诊)若a >b ，ab ≠0则下列不等式恒成立的是 ( )A.a 2>b 2B.lg(a －b )>0C.1a <1bD.2a >2b 解：对于选项A ，a 2>b 2不一定成立，如a ＝1＞b ＝－2，但是a 2＜b 2，所以该选项是错误的；对于选项B ，a ＝12，b ＝13，a －b ＝16，lg 16<0，所以该选项是错误的；对于选项C ，1a －1b ＝b －aab ，因为b －a <0，ab符号不确定，所以1a <1b 不一定成立，所以该选项是错误的；对于选项D ，因为a >b ，所以2a>2b，所以该选项是正确的．故选D.点拨利用不等式性质进行命题的判断时：①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．②在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，判断的同时常常还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．变式2 (1)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有 ( ) A.a c ＞b d B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c解：由c ＜d ＜0⇒－1d ＞－1c ＞0，又a ＞b ＞0，故由不等式性质，得－a d ＞－b c ＞0，所以a d ＜bc.故选D .(2)已知实数a ，b ，c 满足a >b >0>c ，则下列不等式中所有成立的序号为________．①a 2c >b 2c ；②a ＋c ab 3；④c b >ca；⑤a ＋1b >b ＋1a.解：①不成立，因为a >b >0，所以a 2>b 2，又因为c <0，所以a 2c b ＋c ； ③成立，因为a >b >0，所以a 2>b 2，ab >0，所以a 2·ab >b 2·ab ，即a 3b >ab 3；④不成立，因为a >b >0，所以1b >1a，又因为c <0，所以c b <c a；⑤成立，因为a >b >0，所以1b >1a ，所以a ＋1b>b＋1b >b ＋1a. 故填③⑤.类型三不等式性质的应用例3 (1)已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)解法一：设2x －3y ＝λ(x ＋y )＋μ(x －y ) ＝(λ＋μ)x ＋(λ－μ)y ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝2，λ－μ＝－3⇒⎩⎨⎧λ＝－12，μ＝52.所以2x －3y ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )，而－2<－12(x ＋y )<12，5<52(x －y )<152，所以3<2x －y <8，即2x －y ∈(3，8)．解法二：令⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x ＋y ，b ＝x －y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a －b 2，且－1<a <4，20，y >0，且18≤1xy 2≤13，16≤x 4y 2≤81，得2≤x 3y4≤27，故x3y 4的最大值是27. 解法二：设x 3y4＝⎝⎛⎭⎫x 2y m·(xy 2)n ，则x 3y －4＝x 2m ＋n y 2n －m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝3，2n －m ＝－4，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝－1.又因为16≤⎝⎛⎭⎫x 2y 2≤81，18≤(xy 2)－1≤13，所以2≤x 3y 4≤27，故x 3y4的最大值为27.故填27.点拨由a <f (x ，y )<b ，c <g (x ，y )<d ，求F (x ，y )的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F (x ，y )＝mf (x ，y )＋ng (x ，y )(或其他形式)，通过恒等变形求得m ，n 的值，再利用不等式的同向可加和同向同正可乘的性质求得F (x ，y )的取值范围．变式3 (1)(2018·河北模拟)已知－π2<α<β<π2，则α－β2一定不属于 ( )A.(－π，π)B.⎝⎛⎭⎫－π2，π2 C.(－π，0) D.(0，π)解：因为－π2<α<β<π2，所以－π2－π2<α－β<0，即－π<α－β<0，－π2<α－β2<0，所以α－β2一定不属于(0，π)．故选D. (2)若－1≤lg x y ≤2，1≤lg(xy )≤4，则lg x 2y的取值范围是________．解：由1≤lg(xy )≤4，－1≤lg xy≤2，得1≤lg x ＋lg y ≤4，－1≤lg x －lg y ≤2，则lg x 2y ＝2lg x －lg y ＝12(lg x ＋lg y )＋32(lg x －lg y )，所以－1≤lg x 2y≤5.故填[－1，5]．类型四比较大小例4 (1)(2018·上海徐汇模拟)若a <0，b <0，则p ＝b 2a ＋a 2b与q ＝a ＋b 的大小关系为 ( )A.p <qB.p ≤qC.p >qD.p ≥q解：p －q ＝b 2a ＋a 2b－a －b＝b 2－a 2a＋a 2－b 2b＝(b 2－a 2)⎝⎛⎭⎫1a －1b＝（b 2－a 2）（b －a ）ab ＝（b －a ）2（b ＋a ）ab ，因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0. 若a ＝b ，则p －q ＝0，即p ＝q ；若a ≠b ，则p －q <0，即p <q. 综上，p ≤q.故选B.(2)已知a >0，b >0，且a ≠b ，试比较a a b b 与(ab )a ＋b 2的大小．解：因为a >0，b >0，所以a ab b （ab ）a ＋b 2＝a(a －a ＋b 2)b(b －a ＋b2)＝aa －b 2bb －a 2＝⎝⎛⎭⎫a b a －b 2，若a >b >0，则ab >1，a －b >0，由指数函数的性质知⎝⎛⎭⎫a b a －b2>1；若b >a >0，则0<ab <1，a －b <0，由指数函数的性质知⎝⎛⎭⎫a b a －b 2>1.综上知，a ab b （ab ）a ＋b 2>1，又(ab )a ＋b 2>0，所以a ab b>(ab )a ＋b2.点拨作差(商)比较法的步骤是：①作差(商)；②变形：配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等；③判断符号(判断商和“1”的大小关系)；④给出结论．变式4 (1)(2018·焦作模拟)设a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －b a ＋b的大小．解法一：(作差法) a 2－b 2a 2＋b 2－a －ba ＋b＝（a ＋b ）（a 2－b 2）－（a 2＋b 2）（a －b ）（a 2＋b 2）（a ＋b ）＝（a －b ）[（a ＋b ）2－（a 2＋b 2）]（a 2＋b 2）（a ＋b ）＝2ab （a －b ）（a 2＋b 2）（a ＋b ）. 因为a ＞b ＞0，所以a ＋b ＞0，a －b ＞0，2ab ＞0，a 2＋b 2＞0，所以2ab （a －b ）（a 2＋b 2）（a ＋b ）＞0，所以a 2－b 2a 2＋b 2＞a －ba ＋b. 解法二：(作商法)因为a ＞b ＞0，所以a 2－b 2a 2＋b 2＞0，a －ba ＋b ＞0，2ab＞0，所以a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b＝（a ＋b ）2a 2＋b2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b2＝1＋2aba 2＋b 2＞1，所以a 2－b 2a 2＋b 2＞a －b a ＋b.(2)(2019·甘肃兰州模拟)设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x中最大的一个是________．解法一：因为0＜x ＜1，所以b －a ＝1＋x －2x >1＋x －2x ＝(x －1)2＞0，所以b >a ，c －b ＝11－x －(1＋x )＝x 21－x >0，所以c >b ，所以c >b >a.所以c 最大．解法二：取x ＝18，则a ＝12，b ＝1＋18，c ＝87＝1＋17，显然c 最大．故填c . 例5 (2019·广西联考)已知x ＝log 23－log 23，y ＝log 0.5π，z ＝0.9－1.1，则x ，y ，z 的大小关系为( )A.x <y <zB.z <y <xC.y <z <xD.y <x <z解：显然0<x ＝log 23<log 22＝1，y ＝log 0.5π<log 0.51＝0，z ＝0.9－1.1>1，所以y <x <z.故选D.点拨比较大小的常用方法：①作差法；②作商法；③放缩法．在代数式的比较大小问题中，一般是通过放缩变形，得到一个中间的参照式(或数)，放缩的手段可能是基本不等式、三角函数的有界性等．有时，等号成立的条件是比较大小的关键所在．变式5 设x >0，P ＝2x＋2－x ，Q ＝(sin x ＋cos x )2，则 ( )A.P >QB.P <QC.P ≤QD.P ≥Q解：因为2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2(当且仅当x ＝0时等号成立)，而x >0，所以P >2；又(sin x ＋cos x )2＝1＋sin2x ，而sin2x ≤1，所以Q ≤2，则有P >Q.故选A.1．理解不等关系的意义、实数运算的符号法则、不等式的性质，是解不等式和证明不等式的依据和基础． 2．一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．3．不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．4．利用几个不等式来确定某个代数式的范围时要注意：“同向(异向)不等式的两边可相加(相减)”这种变形不是等价变形，若多次使用，则有可能使取值范围扩大，解决这一问题的方法是：先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再一次性地运用这种变形，即可求得正确的待求整体的范围．5．比较两个实数的大小，有作差法和作商法两种方法．一般多用作差法，注意当这两个数都是正数时，才可以用作商法．作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系；作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系．6．对于实际问题中的不等量关系，还要注意实际问题对各个参变数的限制．1．(2018·贵阳监测)下列命题中，正确的是 ( ) A.若a >b ，c >d ，则ac >bd B.若ac >bc ，则a >bC.若a c 2<bc2，则a <bD.若a >b ，c >d ，则a －c >b －d解：选项A ：取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；选项B ：当c <0时，ac >bc ⇒a 0，所以a n >0，则 ( )A.－1m ＜－1n B.m －n ＜m －nC.⎝⎛⎭⎫12m＞⎝⎛⎭⎫12n D.m 2＜mn解法一：由题意，1m ＜1n ⇒－1m ＞－1n，A 错误；m －n ＜m －n ，两边均大于0，平方得m＋n －2mn ＜m －n ⇐n ＜mn ⇐n ＜m ⇐m ＞n ＞0，B正确；易知y ＝⎝⎛⎭⎫12x 为减函数，m ＞n ＞0，所以⎝⎛⎭⎫12m＜⎝⎛⎭⎫12n，C 错误；因为m ＞n ＞0，所以m ·m ＞mn ，即m 2＞mn ，D 错误．解法二：取m ＝2，n ＝1，代入各选项验证A ，C ，D 不成立，只有B 项成立(2－1<2－1)．故选B.3．(2019·东北三省四市模拟)设a ，b 均为实数，则“a >|b |”是“a 3>b 3”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：由a >|b |能推出a >b ，进而得a 3>b 3；当a 3>b 3时，有a >b ，但若b <a <0，则a >|b |不成立，所以“a >|b |”是“a 3>b 3”的充分不必要条件．故选A. 4．(2019·山东德州模拟)已知a 0，因为a 0>b 且a 2>b 2，那么以下不等式中所有正确的序号是 ( )①a 2b 0>1b；③a 3<ab 2.A.①②B.②③C.①③D.①②③解：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞b 2，b ＜0⇒a 2b 0，所以1a >0，又b <0，所以1b <0，所以1a >0>1b，②正确；⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞b 2，a ＞0⇒a 3>ab 2，③不正确．故选A. 6．已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则 ( )A.(a －1)(b －1)<0B.(a －1)(a －b )>0C.(b －1)(b －a )<0D.(b －1)(b －a )>0解：因为a ，b >0且a ≠1，b ≠1，所以当a >1，即a －1>0时，不等式log a b >1可化为log a b >log a a ，则b >a >1，所以(a －1)(a －b )<0，(a －1)(b －1)>0，(b －1)(b －a )>0.当0<a <1，即a －1<0时，不等式log a b >1可化为log a b >log a a ，即00，(b －1)(b －a )>0.故选D.7.(2020届上海市七宝中学高三开学考试)已知集合M ＝{(x ，y )||x |＋|y |≤1}，若实数对(λ，μ)满足：对任意的(x ，y )∈M ，都有(λx ，μy )∈M ，则称(λ，μ)是集合M 的“嵌入实数对”，则以下集合中，不存在集合M 的“嵌入实数对”的是 ( )A.{(λ，μ)|λ－μ＝2}B.{(λ，μ)|λ＋μ＝2}C.{(λ，μ)|λ2－μ2＝2}D.{(λ，μ)|λ2＋μ2＝2}解：因为M ＝{(x ，y )||x |＋|y |≤1}，因为对任意的(x ，y )∈M ，都有(λx ，μy )∈M ，可得|λx |＋|μy |≤1.因为⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤1，|λx |＋|μy |≤1，结合实数对(λ，μ)满足，对任意的(x ，y )∈M ，都有(λx ，μy )∈M.所以可得|λ|≤1，|μ|≤1，即－1≤λ≤1，－1≤μ≤1.对于A ，因为－1≤μ≤1，可得－1≤－μ≤1，根据⎩⎪⎨⎪⎧－1≤λ≤1，－1≤－μ≤1可得－2≤λ－μ≤2，所以存在集合M 的“嵌入实数对”使λ－μ＝2.对于B ，因为⎩⎪⎨⎪⎧－1≤λ≤1，－1≤μ≤1可得－2≤λ＋μ≤2，所以存在集合M 的“嵌入实数对”使λ＋μ＝2.对于C ，因为|λ|≤1，|μ|≤1，可得⎩⎨⎧0≤λ2≤1，－1≤－μ2≤0，故－1≤λ2－μ2≤1，所以不存在集合M 的“嵌入实数对”使λ2－μ2＝2.对于D ，因为|λ|≤1，|μ|≤1，可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤λ2≤1，0≤μ2≤1，故0≤λ2＋μ2≤2.所以存在集合M 的“嵌入实数对”使λ2＋μ2＝2.综上所述，{(λ，μ)|λ2－μ2＝2}不存在集合M 的“嵌入实数对．故选C.8．【多选题】(2020·枣庄市第三中学高三月考)如下的四个命题中真命题为( )A.已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝7－4a ＋3a 2，c －b ＝5－4a ＋a 2，则c >b >aB.若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是(－π，π)C.如果a ＝ln33，b ＝ln44，c ＝ln55，那么c 0，所以c >b.再由b ＋c ＝3a 2－4a ＋7①， c －b ＝a 2－4a ＋5②，①－②得，2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2.因为1＋a 2－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34，所以b ＝1＋a 2>a ，所以c >b >a ，故A 正确；对于B ，因为－π2<β<π2，所以－π2<－β<π2，所以－π<α－β<π，又α－β＜0，所以－π＜α－β＜0，故B 错误；对于C ，由y ＝ln xx ，得y ′＝1－ln x x 2，当x >e 时，1－ln x <0，所以y ＝ln xx在(e ，＋∞)上单调递减．因为e <3<4<5，所以ln33>ln44>ln55，所以c <b <a ，故C 正确；对于D ，要证不等式|b ||a |<|b |＋1|a |＋1成立，等价于证明(|a |＋1)·|b |<|a |·(|b |＋1)⇔|b |<|a |.因为a <b <0，所以|b |<|a |显然成立，故D 正确．故选ACD.9.(2019·哈尔滨市呼兰区第一中学高一期中)已知α∈⎣⎡⎦⎤0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤π2，π，则α－β2的取值范围是________．解：因为α∈⎣⎡⎦⎤0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤π2，π，所以β2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，－β2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π4，因此α－β2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π4.故填⎣⎡⎦⎤－π2，π4.10．(2019·北京高三期末)能够说明“设a ，b是任意非零实数．若ba>1，则b >a ”是假命题的一组整数a ，b 的值依次为________．解：要使“设a ，b 是任意非零实数．若ba >1，则b >a ”是假命题，只需满足b <a <0且a ，b ∈Z 即可，可取a ＝－1，b ＝－2.故填－1，－2(答案不唯一)．11．(2018·昆明模拟)设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．解法一：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b.则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1，所以f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．又因为1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10，即f (－2)的取值范围是[5，10]．解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝a －b ，f （1）＝a ＋b ，得⎩⎨⎧a ＝12[f （－1）＋f （1）]，b ＝12[f （1）－f （－1）]，所以f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又因为1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10，即f (－2)的取值范围是[5，10]．12.(1)设a >b >0，m >0，n >0，比较b a ，a b ，b ＋m a ＋m，a ＋nb ＋n的大小； (2)若0<a b >0，m >0，n >0，所以ba －b ＋m a ＋m ＝b （a ＋m ）－a （b ＋m ）a （a ＋m ）＝m （b －a ）a （a ＋m ）<0，所以b a 1且2a <1，所以a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a ＝－2⎝⎛⎭⎫a －122＋12<12，即a <2ab <12.又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12.a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)，又2b －1>0，b －1<0，所以a 2＋b 2－b <0，所以a 2＋b 2<b.综上，a <2ab <12<a 2＋b 2<b.13．(2020·上海市延安中学高一期中)现有A ，B ，C ，D 四个长方体容器，已知容器A ，B 的底面积均为x 2，高分别为x ，y ，容器C ，D 的底面积为y 2，高也分别为x ，y (x >0，y >0，x ≠y )．现规定一种两人游戏规则：每人从四个容器中取出两个分别盛满水，两个容器盛水的和多者为胜，若事先不知道x ，y 的大小，问如何取可以确保一定获胜？请说明理由．解：当x >y 时，x 3>x 2y >xy 2>y 3，即V A >V B >V C >V D. 当x <y 时，y 3>y 2x >yx 2>x 3，即V D >V C >V B >V A. 又x 3＋y 3－(xy 2＋x 2y )＝(x 3－x 2y )＋(y 3－xy 2)＝(x －y )2(x ＋y )>0.所以在不知道x ，y 的大小的情况下，取A ，D 能够稳操胜券，其他取法都没有必胜的把握．附加题甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试判断谁先到教室？解：设从寝室到教室的路程为s ，甲、乙两人的步行速度为v 1，跑步速度为v 2，且v 1< v 2.甲所用的时间t 甲＝s 2 v 1＋s2 v 2＝s （v 1＋v 2）2 v 1 v 2，乙所用的时间t 乙满足：t 乙2·v 1＋t 乙2·v 2＝s ，则t乙＝2sv 1＋v 2，所以t 甲t 乙＝s （v 1＋v 2）2 v 1 v 2·v 1＋v 22s ＝（v 1＋v 2）24 v 1 v 2＝v 21＋v 22＋2v 1 v 24 v 1 v 2>4 v 1 v 24 v 1 v 2＝1.因为t 甲>0，t 乙>0，所以t 甲>t 乙，即乙先到教室．。

2021年新课标新高考数学复习课件：§2.2 基本不等式与不等式的综合应用

(2)
ab
b +a
≥2(a,b同号).
(3)ab≤
a
b 2 2 (a,b∈R).
(4)
a2 b2 ≥ a b ≥
2
2
ab
≥
1
2
1
(a,b∈R+).
ab
3.利用基本不等式求最值
已知x>0,y>0,
(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最① 小值② 2 p (简记:积定和最小).
解题导引 (1)主要是求半个圆柱的侧面积及两个半圆的面积之和,先求出每个半圆柱型大棚的底面半径,再求每个半圆柱型大棚的表面积(不含与地面接触的面). (2)设每个半圆柱型大棚的底面半径为r m,由已知条件知,n个半圆柱型大棚间有(n-1)个1米宽的空地,分析出n,r之间的关系,即2nr+(n-1)×1=99,再把r 用n表示出来,将总建设造价均用n表示,求出费用关于n的函数关系,再求其取最小值时n的值.
(1)若对于所有的实数x,不等式恒成立,求m的取值范围;
(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立,求x的取值范围.
解析 (1)当m=0时,不等式mx2-2x-m+1<0可化为1-2x<0,显然对所有的实
数x,不等式不恒成立.∴m≠0.设f(x)=mx2-2x-m+1,
∵f(x)<0恒成立,∴
则
g g
(-1) 1 a 2a-2 (1) 1-a 2a-2
3a-1 a-1 0,
0,
解得a≤1 .
3
∴实数a的取值范围为
-
,
1 3
.

高考数学一轮复习讲义(新高考版) 第2章第3讲基本不等式

第3讲基本不等式一、知识梳理 1．基本不等式:ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件:a ≥0,b ≥0. (2)等号成立的条件:当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ,b ,ab a ,b 的几何平均数．[点拨] 应用基本不等式求最值要注意:“一正、二定、三相等”．忽略某个条件,就会出错．2．利用基本不等式求最值已知x ≥0,y ≥0,则(1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x ＝y 时,x ＋y 有最小值是2p ．(简记:积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值s ,那么当且仅当x ＝y 时,xy 有最大值是s 24．(简记:和定积最大)[点拨] 在利用不等式求最值时,一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致．常用结论几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ,b ∈R ),当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ,b ∈R ),当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ,b ∈R ),当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋ab ≥2(a ,b 同号),当且仅当a ＝b 时取等号．二、教材衍化1．设x ＞0,y ＞0,且x ＋y ＝18,则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81D ．82解析:选C ．xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝⎝⎛⎭⎫1822＝81,当且仅当x ＝y ＝9时等号成立,故选C ． 2．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________．解析:设矩形的长为x m ,宽为y m ,则x ＋y ＝10,所以S ＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝25,当且仅当x ＝y ＝5时取等号．答案:25 m 2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22成立的条件是ab >0.( )(3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( )(4)若a >0,则a 3＋1a 2的最小值是2a .( )答案:(1)× (2)× (3)× (4)× 二、易错纠偏常见误区| (1)忽视不等式成立的条件a >0且b >0; (2)忽视定值存在; (3)忽视等号成立的条件． 1．若x <0,则x ＋1x ( )A ．有最小值,且最小值为2B ．有最大值,且最大值为2C ．有最小值,且最小值为－2D ．有最大值,且最大值为－2解析:选D ．因为x <0,所以－x >0,－x ＋1－x ≥21＝2,当且仅当x ＝－1时,等号成立,所以x ＋1x≤－2.2．若x >1,则x ＋4x －1的最小值为________．解析:x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5. 当且仅当x －1＝4x －1,即x ＝3时等号成立．答案:53．设0<x <1,则函数y ＝2x (1－x )的最大值为________．解析:y ＝2x (1－x )≤2⎝⎛⎭⎫x ＋1－x 22＝12.当且仅当x ＝1－x ,即x ＝12时,等号成立．答案:12考点一利用基本不等式求最值(基础型) 复习指导| 探索并了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．核心素养:逻辑推理角度一通过配凑法求最值(1)已知0<x <1,则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． (2)已知x <54,则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．【解析】 (1)x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎡⎦⎤3x ＋（4－3x ）22＝43, 当且仅当3x ＝4－3x , 即x ＝23时,取等号．(2)因为x <54,所以5－4x >0,则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋3≤－2（5－4x ）15－4x＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ,即x ＝1时,等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 【答案】 (1)23(2)1通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题:(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标; (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．角度二通过常数代换法求最值已知a >0,b >0,a ＋b ＝1,则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________．【解析】 ⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a · ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12时,取等号．【答案】 9【迁移探究1】 (变问法)若本例中的条件不变,则1a ＋1b 的最小值为________．解析:因为a >0,b >0,a ＋b ＝1,所以1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4,即1a ＋1b的最小值为4,当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．答案:4【迁移探究2】 (变条件)若本例条件变为:已知a >0,b >0,4a ＋b ＝4,则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________．解析:由4a ＋b ＝4得a ＋b4＝1,⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 4b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b 4a ⎝⎛⎭⎫54＋a b ＝52＋2a b ＋5b 16a ＋14≥114＋258＝114＋102.当且仅当42a ＝5b 时取等号．答案:114＋102常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数); (2)把确定的定值(常数)变形为1;(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式; (4)利用基本不等式求解最值．角度三通过消元法求最值若正数x ,y 满足x 2＋6xy －1＝0,则x ＋2y 的最小值是( )A ．223B ．23C ．33D ．233【解析】因为正数x ,y 满足x 2＋6xy －1＝0,所以y ＝1－x26x .由⎩⎨⎧x >0y >0即⎩⎨⎧x >01－x 26x>0解得0<x <1.所以x ＋2y ＝x ＋1－x 23x ＝2x 3＋13x ≥22x 3·13x ＝223,当且仅当2x 3＝13x ,即x ＝22,y ＝212时取等号．故x ＋2y 的最小值为223.【答案】 A通过消元法求最值的方法消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围．1．(2020·辽宁大连第一次(3月)双基测试)已知正实数a ,b 满足a ＋b ＝(ab )32,则ab 的最小值为( )A ．1B ． 2C ．2D ．4解析:选C ．(ab )32＝a ＋b ≥2ab ＝2(ab )12,所以ab ≥2,当且仅当a ＝b ＝2时取等号,故ab 的最小值为2,故选C ．2．已知x ,y 为正实数,则4x x ＋3y ＋3y x 的最小值为( )A ．53B ．103C ．32D ．3解析:选D ．由题意得x >0,y >0,4x x ＋3y ＋3y x ＝4xx ＋3y ＋x ＋3y x －1≥24x x ＋3y ·x ＋3yx－1＝4－1＝3(当且仅当x ＝3y 时等号成立)．3．已知x >0,y >0,且x ＋16y ＝xy ,则x ＋y 的最小值为________．解析:已知x >0,y >0,且x ＋16y ＝xy .即16x ＋1y ＝1,则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫16x ＋1y ＝16＋1＋16y x ＋x y≥17＋2 16y x ·xy＝25,当且仅当x ＝4y ＝20时等号成立,所以x ＋y 的最小值为25. 答案:25考点二利用基本不等式解决实际问题(应用型) 复习指导| 利用基本不等式解决实际问题,关键是把实际问题抽象出数学模型,列出函数关系,然后利用基本不等式求最值．某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利,求出最大利润;如果不获利,则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【解】 (1)由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x ·80 000x－200＝200, 当且仅当12x ＝80 000x ,即x ＝400时等号成立,故该单位月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为200元．(2)不获利．设该单位每月获利为S 元,则S ＝100x －y ＝100x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000,因为x ∈[400,600],所以S ∈[－80 000,－40 000]．故该单位每月不获利,需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．应用基本不等式解决实际问题的基本步骤(1)理解题意,设出变量,建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最值问题; (2)在定义域内,利用基本不等式求出函数的最值; (3)还原为实际问题,写出答案．某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池,池的深度为1米,池的四周墙壁建造单价为每米400元,中间一条隔壁建造单价为每米100元,池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计),则泳池的长设计为多少米时,可使总造价最低．解:设泳池的长为x 米,则宽为200x 米,总造价f (x )＝400×⎝⎛⎭⎫2x ＋2×200x ＋100×200x＋60×200＝800×⎝⎛⎭⎫x ＋225x ＋12 000≥1 600x ·225x ＋12 000＝36 000(元),当且仅当x ＝225x(x >0),即x ＝15时等号成立．即泳池的长设计为15米时,可使总造价最低．[基础题组练]1．(2020·安徽省六校联考)若正实数x ,y 满足x ＋y ＝2,则1xy 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析:选A ．因为正实数x ,y 满足x ＋y ＝2, 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1,所以1xy ≥1.2．若2x ＋2y ＝1,则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2,＋∞)D ．(－∞,－2] 解析:选D ．因为1＝2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y ,(当且仅当2x ＝2y ＝12,即x ＝y ＝－1时等号成立)所以2x ＋y ≤12,所以2x ＋y ≤14,得x ＋y ≤－2.3．若实数a ,b 满足1a ＋2b ＝ab ,则ab 的最小值为( )A ． 2B ．2C ．2 2D ．4解析:选C ．因为1a ＋2b ＝ab ,所以a ＞0,b ＞0,由ab ＝1a ＋2b≥21a ×2b＝22ab, 所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号), 所以ab 的最小值为2 2.4．(多选)若a ,b ∈R ,且ab >0,则下列不等式中,恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B ．1a ＋1b >1abC ．b a ＋ab≥2D ．a 2＋b 2≥2ab解析:选CD ．因为ab >0,所以b a >0,a b >0,所以b a ＋ab≥2b a ·ab＝2,当且仅当a ＝b 时取等号．所以选项C 正确,又a ,b ∈R ,所以(a －b )2≥0,即a 2＋b 2≥2ab 一定成立．5．已知x >0,y >0,lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2,则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3解析:选C ．因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2,所以lg(2x ·8y )＝lg 2,所以2x ＋3y＝2,所以x ＋3y ＝1.因为x >0,y >0,所以1x ＋13y ＝(x ＋3y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋13y ＝2＋3y x ＋x 3y ≥2＋23y x ·x3y＝4,当且仅当x ＝3y ＝12时取等号,所以1x ＋13y的最小值为4.故选C ．6．设P (x ,y )是函数y ＝2x(x >0)图象上的点,则x ＋y 的最小值为________．解析:因为x >0,所以y >0,且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22,当且仅当x ＝y 时等号成立．所以x ＋y 的最小值为2 2.答案:2 27．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．解析:因为y ＝x 2－1＋1x ＋1＝x －1＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－2(x >－1),所以y ≥21－2＝0,当且仅当x ＝0时,等号成立．答案:08．(2020·湖南岳阳期末改编)若a >0,b >0,且a ＋2b －4＝0,则ab 的最大值为________,1a ＋2b的最小值为________．解析:因为a >0,b >0,且a ＋2b －4＝0,所以a ＋2b ＝4,所以ab ＝12a ·2b ≤12×⎝⎛⎭⎫a ＋2b 22＝2,当且仅当a ＝2b ,即a ＝2,b ＝1时等号成立,所以ab 的最大值为2,因为1a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ·a ＋2b4＝14(5＋2b a ＋2a b )≥14⎝⎛⎭⎫5＋2·2b a ·2a b ＝94,当且仅当a ＝b 时等号成立,所以1a ＋2b 的最小值为94. 答案:2 949．(1)当x <32时,求函数y ＝x ＋82x －3的最大值;(2)设0<x <2,求函数y ＝x （4－2x ）的最大值．解:(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32.当x <32时,有3－2x >0,所以3－2x 2＋83－2x ≥23－2x 2·83－2x＝4, 当且仅当3－2x 2＝83－2x ,即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52,故函数的最大值为－52.(2)因为0<x <2,所以2－x >0,所以y ＝x （4－2x ）＝2·x （2－x ）≤2·x ＋2－x2＝2,当且仅当x ＝2－x ,即x ＝1时取等号,所以当x ＝1时,函数y ＝x （4－2x ）的最大值为 2. 10．已知x >0,y >0,且2x ＋8y －xy ＝0,求 (1)xy 的最小值; (2)x ＋y 的最小值．解:(1)由2x ＋8y －xy ＝0, 得8x ＋2y ＝1, 又x >0,y >0, 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64,当且仅当x ＝16,y ＝4时,等号成立．所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0,得8x ＋2y ＝1,则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当x ＝12,y ＝6时等号成立,所以x ＋y 的最小值为18.[综合题组练]1．设a >0,若关于x 的不等式x ＋ax －1≥5在(1,＋∞)上恒成立,则a 的最小值为( ) A ．16 B ．9 C ．4D ．2解析:选C ．在(1,＋∞)上,x ＋a x －1＝(x －1)＋a x －1＋1≥2 （x －1）×a（x －1）＋1＝2a ＋1(当且仅当x ＝1＋a 时取等号)．由题意知2a ＋1≥5,所以a ≥4. 2．(2020·福建龙岩一模)已知x >0,y >0,且1x ＋1＋1y ＝12,则x ＋y 的最小值为( ) A ．3 B ．5 C ．7D ．9解析:选C ．因为x >0,y >0.且1x ＋1＋1y ＝12,所以x ＋1＋y ＝2⎝⎛⎭⎫1x ＋1＋1y (x ＋1＋y )＝2(1＋1＋y x ＋1＋x ＋1y )≥2(2＋2y x ＋1·x ＋1y )＝8,当且仅当yx ＋1＝x ＋1y ,即x ＝3,y ＝4时取等号,所以x ＋y ≥7,故x ＋y 的最小值为7,故选C ．3．已知正实数x ,y 满足x ＋y ＝1,①则x 2＋y 2的最小值为________;②若1x ＋4y ≥a 恒成立,则实数a 的取值范围是________．解析:因为x ＋y ＝1,所以xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝14,所以x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ≥1－14×2＝12,所以x 2＋y 2的最小值为12.若a ≤1x ＋4y 恒成立,则a 小于等于⎝⎛⎭⎫1x ＋4y 的最小值,因为1x ＋4y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋4y (x ＋y )＝5＋y x ＋4x y ≥5＋2y x ×4x y ＝9,所以1x ＋4y的最小值为9,所以a ≤9,故实数a 的取值范围是(－∞,9]．答案:12(－∞,9]4．(2020·洛阳市统考)已知x >0,y >0,且1x ＋2y ＝1,则xy ＋x ＋y 的最小值为________．解析:因为1x ＋2y ＝1,所以2x ＋y ＝xy ,所以xy ＋x ＋y ＝3x ＋2y ,因为3x ＋2y ＝(3x ＋2y )·(1x ＋2y )＝7＋6x y ＋2yx,且x >0,y >0,所以3x ＋2y ≥7＋43,所以xy ＋x ＋y 的最小值为7＋4 3. 答案:7＋4 3教案、讲义、课件、试卷、PPT 模板、实用文案，请关注【春暖文案】，进店下载。

新高考核心考点与题型不等式第2节基本不等式及其应用 - 解析

第2节基本不等式及其应用1.重要不等式及几何意义重要不等式：如果,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）.基本不等式：如果,a b是正数，那么2a b+≥a b =时取等号“=”）要点诠释：222a b ab +≥和2a b+≥ （1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数；（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”。

（3）222a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤，2a b+≥2()2a b ab +≤. 2.如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD .易证~Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2CD CA CB =⋅，即CD =这个圆的半径为2ba +，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b = 时，等号成立. 3.2211222b a b a ab ba +≤+≤≤+，即平方平均数算数平均数几何平均数调和平均数≤≤≤，（均为正、b a ），可变形如下24)()2(2222b a b a ab b a ab +≤+≤≤+，即上式的平方形式，其中调和不常用。

4.利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0>x 求xx y 32+= 的最小值。

此时若直接使用均值不等式，则xx y 32+= x 42≥右侧依然含有x ，则无法找到最值（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此① 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围。

2021年广东高考数学试卷含答案

7.若过点可以作曲线的两条切线，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，
【详解】A：且，故平均数不相同，错误；
B：若第一组中位数为，则第二组的中位数为，显然不相同，错误；
C：，故方差相同，正确；
D：由极差的定义知：若第一组的极差为，则第二组的极差为，故极差相同，正确；
故选：CD
10.已知为坐标原点，点，，，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
9.有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中 ( 为非零常数，则（）
A. 两组样本数据的样本平均数相同
B. 两组样本数据样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同
D. 两组样数据的样本极差相同
【答案】CD
【解析】
【分析】A、C利用两组数据的线性关系有、，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误.
【详解】因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件
故选：A.
【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．

2021年高考数学(新高考专版)一轮专题复习：基本不等式(学生版+解析版)

第03讲基本不等式一、考情分析1. 掌握均值不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ≥0)和基本不等式的性质； 2.结合具体实例，能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题.3.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系；4.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；5.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．二、知识梳理1.不等式的性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；(4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)；(6)可开方：a ＞b ＞0n ∈N ，n ≥2).2.均值不等式：ab ≤a ＋b2(1)均值不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数. 3.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.4.利用均值不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y 有最小值是2p(简记：积定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是s24(简记：和定积最大).5.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.6.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅7.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集不等式解集ab(x－a)·(x－b)>0{x|x<a或x>b} {x|x≠a}{x|x<b或x>a}(x－a)·(x－b)<0{x|a<x<b}∅{x|b<x<a} 8.分式不等式与整式不等式(1)f(x)g(x)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).(2)f(x)g(x)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.[方法技巧]1.有关分数的性质(1)若a >b >0，m >0，则b a b －ma －m (b －m >0).(2)若ab >0，且a >b ⇔1a <1b .2.b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0).4.连续使用均值不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.1.绝对值不等式|x |>a (a >0)的解集为(－∞，－a )∪(a ，＋∞)；|x |<a (a >0)的解集为(－a ，a ). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.5.解不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)时不要忘记当a ＝0时的情形.6.不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧a ＝b ＝0，c >0或⎩⎨⎧a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧a ＝b ＝0，c <0或⎩⎨⎧a <0，Δ<0.三、经典例题考点一不等式的性质【例1】 (1)已知a ，b ，c 满足c ac B.c (b －a )<0 C.cb 2<ab 2D.ac (a －c )>0(2)(一题多解)若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b ；④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式是( ) A.①④B.②③C.①③D.②④【解析】(1)由c 0. 由b >c ，得ab >ac 一定成立.(2)法一因为1a ＜1b＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A ，B ，D.法二由1a ＜1b ＜0，可知b ＜a ＜0.①中，因为a ＋b ＜0，ab ＞0，所以1a ＋b ＜0，1ab ＞0.故有1a ＋b ＜1ab ，即①正确；②中，因为b ＜a ＜0，所以－b ＞－a ＞0.故－b ＞|a |，即|a |＋b ＜0，故②错误； ③中，因为b ＜a ＜0，又1a ＜1b ＜0，则－1a ＞－1b ＞0，所以a －1a ＞b －1b，故③正确；④中，因为b ＜a ＜0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2＞a 2＞0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2＞ln a 2，故④错误.由以上分析，知①③正确.规律方法解决此类题目常用的三种方法： (1)直接利用不等式的性质逐个验证；(2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件； (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断. 考点二利用均值不等式【例2-1】（2020·咸阳市教育教学研究室高三一模（文））已知121x y+=(0,0)x y >>，则2x y +的最小值为（） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】C 【解析】0x，0y >且121x y+=，则()12422448x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当2y x =时，等号成立，因此，2x y +的最小值为8. 故选：C.【例2-2】（2020·天津高三其他）已知函数1()cos 2(2)sin 2f x m x m x =+-，其中12m ≤≤，若函数()f x 的最大值记为()g m ，则()g m 的最小值为（） A ．14-B ．1 C．D1【答案】D【解析】由已知，221()(12sin )(2)sin sin (2)sin 22m f x m x m x m x m x =-+-=-+-+，令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2m y mt m t =-+-+，因为12m ≤≤，所以对称轴为2111[0,]222m t m m -==-∈，所以 ()221122(2)3111144t m m m g m y m m m =-+-===+-≥=，当且仅当m =时，等号成立. 故选：D【例2-3】（2020·湖南省雅礼中学高三月考（理））已知ABC 外接圆的半径2R =，且2sin 2AA =.则ABC 周长的取值范围为（） A． B．(4,C．4+D．(4+【答案】C【解析】由题意，22cos 1123A A -=-，即cos 13A A -=-，可化为33A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0A π<<，所以33A ππ-=，即23A π=，2sin a R A ==ABC 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ， c ，由余弦定理得，2212b c bc =++，因为222b c bc +≥（当且仅当b c =时取“=”），所以22123b c bc bc =++≥，即4bc ≤，又因为22212()b c bc b c bc =++=+-，所以2()124bc b c =+-≤，故4b c +≤，则4a b c ++≤+，又因为b c a +>，所以2a b c a ++>=，即4a b c <+++≤.故ABC 周长的取值范围为4+.故选：C【例2-4】（2020·全国高三月考）若3log (2)1a b +=+42a b +的最小值为（）A ．6B ．83C ．163 D ．173【答案】C【解析】因为3log (2)1a b +=+，即()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=，所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得213b a+=，且0,0a b >>，所以12118211642(42)()(8)(83333a b a b a b b a b a +=++=++≥+=，当且仅当82a b b a=，即2b a =时取等号，所以42a b +的最小值为163.故选：C.规律方法在利用均值不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：(1)对条件使用均值不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值. 用函数y ＝x ＋mx (m >0)的单调性. 考点三一元二次不等式的解法【例3-1】（2020·四川省高三二模（文））已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}260B x x x =--<，则AB =（） A ．1,0,1,2B ．{}2,1,0,1,2--C ．{}2,1,0,1,2,3--D ．{}2,1,0,1--【答案】A 【解析】{}{}26023B x x x x x =--<=-<<，{}2,1,0,1,2A =--，因此，{}1,0,1,2A B ⋂=-.故选：A.【例3-2】（2020·安徽省六安一中高一月考）已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()RA B =（）A ．{}13x x -≤，得1x <-或3x >；解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.{}13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤，因此，(){}13RA B x x ⋂=-<≤，故选：C.【例3-3】（2020·重庆市松树桥中学校高三月考（文））函数()2020sin2f x x x =+，若满足()2(1)0f x x f t ++-≥恒成立，则实数t 的取值范围为（）A ．[2,)+∞B ．[1,)+∞C ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．(,1]-∞【答案】C【解析】∵()2020sin2()f x x x f x -=--=-，且()20202cos20f x x '=+>， ∴函数()f x 为单调递增的奇函数．于是，()2(1)0f x x f t ++-≥可以变为()2(1)(1)f x xf t f t +--=-，即21x x t +≥-，∴21t x x ≤++，而221331244x x x ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，可知实数34t ≤，故实数t 的取值范围为3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．故选：C ．【例3-4】（2014·全国高三专题练习（理））某城市对一种售价为每件160元的电子产品征收附加税，税率为%R （即每销售100元征税R 元），若年销售量为5(30)2R -万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是（） A ．[4,8]B ．[6,10]C ．[4%,8%]D ．[6%,10%]【答案】A【解析】根据题意，要使附加税不少于128万元，需530160%1282R R ⎛⎫-⨯⨯≥ ⎪⎝⎭，整理得212320R R -+≤，解得48R ≤≤，因此，实数R 的取值范围是[]4,8. 故选A.【例3-5】（2020·江苏省高三一模）已知m n ，为正实数，且m n mn +=，则2m n +的最小值为____________.【答案】3+【解析】由已知，111m n +=，所以2m n +=(2)m n +112()33m n m n n m+=++≥+当且仅当m m n mn⎧=⎪⎨+=⎪⎩，即1,m n =+=.故答案为：3+【例3-6】（2020·河北省邢台一中高三月考（理））在曲线()343x f x x=-的所有切线中，切线斜率的最小值为________. 【答案】4【解析】由题意得,()2244f x x x '=+≥=，当且仅当x =. 故答案为：4.[方法技巧]1.运用不等式的性质解决问题时，注意不等式性质成立的条件以及等价转化的思想，比如减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法等.但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.2.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a ＜0的情况转化为a ＞0时的情形.3.在解决不等式ax 2＋bx ＋c >0(或≥0)对于一切x ∈R 恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a 进行讨论，并研究当a ＝0时是否满足题意.4.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.5.当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别.6.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.四、课时作业1．若0a >，0b >，23a b +=，则36a b+的最小值为（） A ．5B ．6C ．8D ．92．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222b ac a c +=+，且2a c +=，则ABC 周长的取值范围是（） A ．(]2,3B ．[)3,4C ．(]4,5D ．[)5,63．函数log (3)1a y x =-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny +-=上，其中·0m n >，则41m n+的最小值为（） A ．16B ．24C ．50D ．254．已知12121ln ,2x x e -==，3x 满足33ln xe x -=，则（）A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<5．在10的展开式中，系数的绝对值最大的项为（） A ．10532B ．56638x -C ．531058xD ．5215x -6．已知实数x ，y 满足()()21x y x y +-=且0y ≠，则xy的取值范围是（）A ．()1,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．()(),21,-∞-⋃+∞C ．()(),12,-∞-+∞D ．()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭7．已知函数22,0()log (1),0x x x f x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩，若|()|2f x ax ≥，则实数a 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．1[,0]2-8．已知函数()2814f x x x =++，()()2log 4g x x =，若[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为（）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-19．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式()()222323f s s f s s -+--+，则s 的取值范围是（）A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．[3,2]--C ．[2,3)-D ．[3,2]-10．已知函数()2222,2{log ,2x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2054f x m m ≤- 成立，则实数m 的取值范围为（） A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．（多选题）已知正数a ，b 满足4a b +=，ab 的最大值为t ，不等式230x x t +-<的解集为M ，则（） A ．2t =B ．4t =C ．{}|41M x x =-<<D ．{}|14M x x =-<<12．（多选）已知a 、b 均为正实数，则下列不等式不一定成立的是（） A．3a b ++≥ B ．()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭C22a b ≥+ D≥13．已知x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，则x y +的最小值为________________. 14．已知函数()|4|f x x x =-，则不等式(2)(3)f a f +>的解集为____________. 15．已知正数a 、b 满足2a b +=，则12a b a b +++的最大值为______.16．ABC ∆中，23AB AC ⋅=若点M 是AB 的中点，点N 满足2AN NC =，则BN CM ⋅的最大值是______.17．设集合{}13A x x x =+-≤，413B x x ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭.（1）求集合AB ；（2）若不等式220x ax b ++<的解集为B ，求实数a 、b 的值.18．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c sin (2cos )A a B =+．（1）求B ；（2）若△ABC △ABC 的周长的小值． 19．（1）已知2x >，求12y x x =+-的最小值；（2）已知102x <<，求()1122y x x =-的最大值.第03讲基本不等式五、考情分析1. 掌握均值不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ≥0)和基本不等式的性质； 2.结合具体实例，能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题.3.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系；4.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；5.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．六、知识梳理1.不等式的性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；(4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)；(6)可开方：a ＞b ＞0n ∈N ，n ≥2).2.均值不等式：ab ≤a ＋b2(1)均值不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数. 3.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.4.利用均值不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y 有最小值是2p(简记：积定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是s24(简记：和定积最大).5.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.6.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅7.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集不等式解集ab(x－a)·(x－b)>0{x|x<a或x>b} {x|x≠a}{x|x<b或x>a}(x－a)·(x－b)<0{x|a<x<b}∅{x|b<x<a} 8.分式不等式与整式不等式(1)f(x)g(x)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).(2)f(x)g(x)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.[方法技巧]1.有关分数的性质(1)若a >b >0，m >0，则b a b －ma －m (b －m >0).(2)若ab >0，且a >b ⇔1a <1b .2.b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0).4.连续使用均值不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.1.绝对值不等式|x |>a (a >0)的解集为(－∞，－a )∪(a ，＋∞)；|x |<a (a >0)的解集为(－a ，a ). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.5.解不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)时不要忘记当a ＝0时的情形.6.不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧a ＝b ＝0，c >0或⎩⎨⎧a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧a ＝b ＝0，c <0或⎩⎨⎧a <0，Δ<0.七、经典例题考点一不等式的性质【例1】 (1)已知a ，b ，c 满足c ac B.c (b －a )<0 C.cb 2<ab 2D.ac (a －c )>0(2)(一题多解)若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b ；④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式是( ) A.①④B.②③C.①③D.②④【解析】(1)由c 0. 由b >c ，得ab >ac 一定成立.(2)法一因为1a ＜1b＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A ，B ，D.法二由1a ＜1b ＜0，可知b ＜a ＜0.①中，因为a ＋b ＜0，ab ＞0，所以1a ＋b ＜0，1ab ＞0.故有1a ＋b ＜1ab ，即①正确；②中，因为b ＜a ＜0，所以－b ＞－a ＞0.故－b ＞|a |，即|a |＋b ＜0，故②错误； ③中，因为b ＜a ＜0，又1a ＜1b ＜0，则－1a ＞－1b ＞0，所以a －1a ＞b －1b，故③正确；④中，因为b ＜a ＜0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2＞a 2＞0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2＞ln a 2，故④错误.由以上分析，知①③正确.规律方法解决此类题目常用的三种方法： (1)直接利用不等式的性质逐个验证；(2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件； (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断. 考点二利用均值不等式【例2-1】（2020·咸阳市教育教学研究室高三一模（文））已知121x y+=(0,0)x y >>，则2x y +的最小值为（） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】C 【解析】0x，0y >且121x y+=，则()12422448x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当2y x =时，等号成立，因此，2x y +的最小值为8. 故选：C.【例2-2】（2020·天津高三其他）已知函数1()cos 2(2)sin 2f x m x m x =+-，其中12m ≤≤，若函数()f x 的最大值记为()g m ，则()g m 的最小值为（） A ．14-B ．1 C．D1【答案】D【解析】由已知，221()(12sin )(2)sin sin (2)sin 22m f x m x m x m x m x =-+-=-+-+，令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2m y mt m t =-+-+，因为12m ≤≤，所以对称轴为2111[0,]222m t m m -==-∈，所以 ()221122(2)3111144t m m m g m y m m m =-+-===+-≥=，当且仅当m =时，等号成立. 故选：D【例2-3】（2020·湖南省雅礼中学高三月考（理））已知ABC 外接圆的半径2R =，且2sin 2AA =.则ABC 周长的取值范围为（） A． B．(4,C．4+D．(4+【答案】C【解析】由题意，22cos 1123A A -=-，即cos 13A A -=-，可化为33A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0A π<<，所以33A ππ-=，即23A π=，2sin a R A ==ABC 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ， c ，由余弦定理得，2212b c bc =++，因为222b c bc +≥（当且仅当b c =时取“=”），所以22123b c bc bc =++≥，即4bc ≤，又因为22212()b c bc b c bc =++=+-，所以2()124bc b c =+-≤，故4b c +≤，则4a b c ++≤+，又因为b c a +>，所以2a b c a ++>=，即4a b c <+++≤.故ABC 周长的取值范围为4+.故选：C【例2-4】（2020·全国高三月考）若3log (2)1a b +=+42a b +的最小值为（）A ．6B ．83C ．163 D ．173【答案】C【解析】因为3log (2)1a b +=+，即()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=，所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得213b a+=，且0,0a b >>，所以12118211642(42)()(8)(83333a b a b a b b a b a +=++=++≥+=，当且仅当82a b b a=，即2b a =时取等号，所以42a b +的最小值为163.故选：C.规律方法在利用均值不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：(1)对条件使用均值不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值. 用函数y ＝x ＋mx (m >0)的单调性. 考点三一元二次不等式的解法【例3-1】（2020·四川省高三二模（文））已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}260B x x x =--<，则AB =（） A ．1,0,1,2B ．{}2,1,0,1,2--C ．{}2,1,0,1,2,3--D ．{}2,1,0,1--【答案】A 【解析】{}{}26023B x x x x x =--<=-<<，{}2,1,0,1,2A =--，因此，{}1,0,1,2A B ⋂=-.故选：A.【例3-2】（2020·安徽省六安一中高一月考）已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()RA B =（）A ．{}13x x -≤，得1x <-或3x >；解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.{}13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤，因此，(){}13RA B x x ⋂=-<≤，故选：C.【例3-3】（2020·重庆市松树桥中学校高三月考（文））函数()2020sin2f x x x =+，若满足()2(1)0f x x f t ++-≥恒成立，则实数t 的取值范围为（）A ．[2,)+∞B ．[1,)+∞C ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．(,1]-∞【答案】C【解析】∵()2020sin2()f x x x f x -=--=-，且()20202cos20f x x '=+>， ∴函数()f x 为单调递增的奇函数．于是，()2(1)0f x x f t ++-≥可以变为()2(1)(1)f x xf t f t +--=-，即21x x t +≥-，∴21t x x ≤++，而221331244x x x ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，可知实数34t ≤，故实数t 的取值范围为3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．故选：C ．【例3-4】（2014·全国高三专题练习（理））某城市对一种售价为每件160元的电子产品征收附加税，税率为%R （即每销售100元征税R 元），若年销售量为5(30)2R -万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是（） A ．[4,8]B ．[6,10]C ．[4%,8%]D ．[6%,10%]【答案】A【解析】根据题意，要使附加税不少于128万元，需530160%1282R R ⎛⎫-⨯⨯≥ ⎪⎝⎭，整理得212320R R -+≤，解得48R ≤≤，因此，实数R 的取值范围是[]4,8. 故选A.【例3-5】（2020·江苏省高三一模）已知m n ，为正实数，且m n mn +=，则2m n +的最小值为____________.【答案】3+【解析】由已知，111m n +=，所以2m n +=(2)m n +112()33m n m n n m+=++≥+当且仅当m m n mn⎧=⎪⎨+=⎪⎩，即1,m n =+=.故答案为：3+【例3-6】（2020·河北省邢台一中高三月考（理））在曲线()343x f x x=-的所有切线中，切线斜率的最小值为________. 【答案】4【解析】由题意得,()2244f x x x '=+≥=，当且仅当x =. 故答案为：4.[方法技巧]1.运用不等式的性质解决问题时，注意不等式性质成立的条件以及等价转化的思想，比如减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法等.但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.2.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a ＜0的情况转化为a ＞0时的情形.3.在解决不等式ax 2＋bx ＋c >0(或≥0)对于一切x ∈R 恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a 进行讨论，并研究当a ＝0时是否满足题意.4.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.5.当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别.6.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.八、课时作业1．若0a >，0b >，23a b +=，则36a b+的最小值为（） A ．5 B ．6C ．8D ．9【答案】D【解析】∵3613a b +=（36a b+）（a +2b ）＝13(366b aa b+++12)≥13=9 等号成立的条件为66b aa b=，即a=b=1时取等所以36a b+的最小值为9．故选：D ．2．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222b ac a c +=+，且2a c +=，则ABC 周长的取值范围是（） A ．(]2,3 B ．[)3,4 C ．(]4,5 D ．[)5,6【答案】B【解析】因为2a c +=，根据三角形的性质可得，2b a c <+=，又由222b ac a c +=+得222()3434312a c b a c ac ac +⎛⎫=+-=-≥-⨯= ⎪⎝⎭，即1b ≥，故12b ≤<，所以ABC 周长的取值范围是34a b c ≤++<. 故选：B.3．函数log (3)1a y x =-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny +-=上，其中·0m n >，则41m n+的最小值为（） A ．16 B ．24C ．50D ．25【答案】D【解析】令x ﹣3＝1，解得x ＝4，y ＝1，则函数y ＝log a （x ﹣3）+1（a ＞0且a≠1）的图象恒过定点A （4，1）， ∴4m+n ＝1， ∴41m n +=（41m n +）（4m+n ）＝16+14n 4mm n++=17+8＝25，当且仅当m ＝n 15=时取等号，故则41m n+的最小值为25，故选D ．4．已知12121ln ,2x x e -==，3x 满足33ln xe x -=，则（）A ．123x x x <0,31x ∴> 进而得到123x x x <<. 故答案为A.5．在10的展开式中，系数的绝对值最大的项为（） A ．10532B ．56638x -C ．531058xD ．5215x -【答案】D【解析】10∴二项式展开式为：(10)113211012kk k k T C x x --+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设系数绝对值最大的项是第1k +项，可得11101011101011221122kk k k k k k k C C C C --++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩ 可得11112101112k k k k -⎧≥⎪⎪⎨-⎪≥⋅⎪+⎩，解得81133k ≤≤*k N ∈ ∴3k =在10的展开式中，系数的绝对值最大的项为：3711310523241215x x T C x -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎭- ⎪⎝⎭⎝故选：D.6．已知实数x ，y 满足()()21x y x y +-=且0y ≠，则xy的取值范围是（） A ．()1,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．()(),21,-∞-⋃+∞C ．()(),12,-∞-+∞D ．()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由实数x ，y 满足()()21x y x y +-=且0y ≠. 两边同时除以2y ，有：21120x x y y y⎛⎫⎛⎫+-=>⎪⎪⎝⎭⎝⎭.所以120x x y y⎛⎫⎛⎫+->⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即2x y >或1x y <-.故选：C7．已知函数22,0()log (1),0x x x f x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩，若|()|2f x ax ≥，则实数a 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．1[,0]2-【答案】D【解析】作出函数图象：结合图象可得，要使|()|2f x ax ≥恒成立，当x ＞0，必有0a ≤，当0x ≤时，只需22x x ax -≥，即12x a -≤恒成立，所以12a ≥-综上所述1[,0]2a ∈- 故选：D8．已知函数()2814f x x x =++，()()2log 4g x x =，若[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为（）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-1【答案】C【解析】由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，由()()2log 4g x x =(]20,1x ∈()2g x ⇒≤ ，所以(](),2g x ∈-∞ 当43a --≤≤ 时，21f x ，此时()f x 的值域为()g x 的值域的子集成立.当3a >-时，()22814f x a a -≤≤++，须满足()f x 的值域为()g x 的值域的子集，即28142a a ++≤，得62a -≤≤- 所以a 的最大值为2-. 故选：C.9．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式()()222323f s s f s s -+--+，则s 的取值范围是（）A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．[3,2]--C ．[2,3)-D ．[3,2]-【答案】D【解析】因为对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上为减函数；又(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =关于原点对称，则()()()222232323f s s f s s f s s -+--+=-+-，所以222323s s s s -+≥-+-，整理得260s s +-≤，解得32s -≤≤. 故选：D.10．已知函数()2222,2{log ,2x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2054f x m m ≤- 成立，则实数m 的取值范围为（） A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】由函数的解析式可得函数的最小值为：()11f =,则要考查的不等式转化为：2154m m ≤-，解得：114m ≤≤，即实数m 的取值范围为1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 本题选择B 选项.11．（多选题）已知正数a ，b 满足4a b +=，ab 的最大值为t ，不等式230x x t +-<的解集为M ，则（） A ．2t =B ．4t =C ．{}|41M x x =-<<D ．{}|14M x x =-<<【答案】BC【解析】∵正数a ，b 满足4a b +=，∴242+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭a b ab ，即ab 的最大值为4t =，当且仅当2a b ==时，取等号.∵2340x x +-<的解集为M ，∴{}|41M x x =-<<. 故选：BC.12．（多选）已知a 、b 均为正实数，则下列不等式不一定成立的是（） A．3a b ++≥ B ．()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭ C22a b ≥+ D≥ 【答案】AD【解析】对于A，3a b ++≥≥<，当且仅当2a b ==时等号同时成立；对于B ，()11224a b a b a b b a ⎛⎫++=++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号；对于C()2222a b a b a b a b ++≥≥=++，当且仅当a b =时取等号；对于D ，当12a =，13b=1===><. 故选：AD.13．已知x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，则x y +的最小值为________________. 【答案】8 【解析】x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，∴2414x y x -+=+，∴()24149466844x x y x x x x -++=+=++-≥=++. 当且仅当3x =时取等号.∴x y +的最小值为8.故答案为：8.14．已知函数()|4|f x x x =-，则不等式(2)(3)f a f +>的解集为____________.【答案】())1,1-⋃+∞【解析】由已知，224,4()44,4x x x f x x x x x x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，(3)3f =，若(2)(3)3f a f +>=，则224(2)4(2)3a a a +≥⎧⎨+-+>⎩或2(2)4(2)4(2)3a a a +<⎧⎨-+++>⎩解得a >11a -<<，所以不等式(2)(3)f a f +>的解集为())1,1-⋃+∞.故答案为：())1,1-⋃+∞15．已知正数a 、b 满足2a b +=，则12a ba b +++的最大值为______.【答案】75- 【解析】正数a 、b 满足2a b +=，()()125a b ∴+++=.1122121211212121212a b a b a b a b a b a b +-+-⎛⎫+=+=-+-=-+ ⎪++++++++⎝⎭，由基本不等式得()()12125121212a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎝⎭()21233321a b b a ++=++≥+=+++123125a b ++≥++，当且仅当)21b a +=+时，等号成立，3721255a b a b +-∴+≤-=++，因此，12a b a b +++.16．在面积为2ABC ∆中，23AB AC ⋅=若点M 是AB 的中点，点N 满足2AN NC =，则BN CM ⋅的最大值是______.【答案】3-【解析】由△ABC 12|AB ||AC |sin ∠BAC所以|AB ||AC |sin ∠BAC ，①又23AB AC ⋅=即|AB ||AC |cos ∠BAC =②由①与②的平方和得:|AB ||AC |= 又点M 是AB 的中点，点N 满足2AN NC =，所以()()2132BN CM BA AN CA AM AB AC AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=-+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22421332AB AC AC AB =⋅--222221832183233233AC AB AC AB =--≤-⋅=-当且仅当22212332AC AB AB AC =⇒=时，取等号，即BN CM ⋅--17．设集合{}13A x x x =+-≤，413B x x ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭.（1）求集合AB ；（2）若不等式220x ax b ++<的解集为B ，求实数a 、b 的值. 【解析】（1）先解不等式13x x +-≤.①当0x ≤时，由13x x +-≤得1213x x x -+-=-+≤，解得1x ≥-，此时10x -≤≤； ②当01x <<时，由13x x +-≤得113x x +-=≤，成立，此时01x <<； ③当1x ≥时，由13x x +-≤得1213x x x +-=-≤，解得2x ≤，此时12x ≤≤. 所以，不等式13x x +-≤的解集为[]1,2A =-. 解不等式413x >+，即411033x x x --=<++，解得31x -<<，()3,1B ∴=-. 因此，[)1,1⋂=-A B ；（2）不等式220x ax b ++<的解集为B ，3∴-、1是方程220x ax b ++=的两实根.根据韦达定理得312312ab ⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⋅⎪⎩，解得4a =，6b =-.18．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，csin (2cos )A a B =+．（1）求B ；（2）若△ABC△ABC 的周长的小值．【解析】（1sin (2cos )A a B =+，()sin sin 2cos B A A B =+．因为(0,)A π∈，所以sin A ＞0cos 2B B -=，所以2sin()26B π-=，因为(0,)B π∈，所以62B ππ-=，即23B π=．（2）依题意4=ac ＝4．所以4a c +≥=，当且仅当2a c ==时取等号．又由余弦定理得222222cos 312b a c ac B a c ac ac =+-=++≥=∴b ≥a ＝c ＝2时取等号．所以△ABC的周长最小值为4+． 19．（1）已知2x >，求12y x x =+-的最小值；（2）已知102x <<，求()1122y x x =-的最大值.【解析】（1）2x >，20x ->，而11222422y x x x x =+=-++≥=--，当且仅当()1222x x x -=>-，即当3x =时，该函数取得最小值4；（2）102x <<，102x ∴->，则211122216x x y x x ⎛⎫+- ⎪⎛⎫=-≤= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，当且仅当12x x =-时，即当14x =时，该函数取得最大值116.。

2021届高考数学核按钮【新高考广东版】2.2 一元二次不等式及其解法

2.2一元二次不等式及其解法1．解不等式的有关理论(1)若两个不等式的解集相同，则称它们是．(2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的．(3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示．2．一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是．3．一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式．(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________．(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取，小于号取”求解集．(1)化分式不等式为标准型．方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f（x）g（x）的形式．(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f（x）g（x）＞0⇔f(x)g(x)＞0；f（x）g（x）＜0⇔f(x)g(x)＜0；f（x）g（x）≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f（x）g（x）≥0；g（x）≠0；f（x）g（x）≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f（x）g（x）≤0.g（x）≠0.自查自纠1．(1)同解不等式(2)同解变形2.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x＞ba⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x＜ba a＝0，b＜03．(1)一元二次(2)解集(3)两边中间(4)①{}x|x＜x1或x＞x2②⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a③1．不等式x－12x＋1≤0的解集为()A.⎝⎛⎦⎤－12，1B.⎣⎡⎦⎤－12，1C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞)解：由不等式x－12x＋1≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1≠0，（x－1）（2x＋1）≤0，解得－12＜x≤1，故原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－12，1.故选A.2．(2019·河北八所重点中学模拟)不等式2x2－x－3>0的解集为()A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x－1＜x＜32 B.{x|x＜－3或x＞1}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－1或x ＞32 D.{x |x ＜－1或x ＞1}解：由2x 2－x －3＞0，得(x ＋1)(2x －3)＞0，解得x >32或x <－1.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞32或x ＜－1.故选C.3．(2018·石家庄模拟改编)若不等式(1－a )x 2－4x ＋6＞0的解集是{x |－3＜x ＜1}，则不等式(a －1)x 2＋ax ＋1＞0的解集为 ( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －1＜x ＜－12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－1或x ＞－12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －1＜x ＜14 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－1或x ＞14 解：由题意知1－a ＜0，且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＜0，41－a ＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3.所以不等式(a －1)x 2＋ax ＋1＞0即为2x 2＋3x ＋1＞0，解得x ＜－1或x ＞－12.所以所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－1或x ＞－12.故选B.4．已知函数f (x )＝ln(x 2－4x －a )，若对任意的m ∈R ，均存在x 0使得f (x 0)＝m ，则实数a 的取值范围是________．解：依题意得，函数f (x )的值域为R ，令函数g (x )＝x 2－4x －a ，则函数g (x )的值域取遍一切正实数，因此对于方程x 2－4x －a ＝0，有Δ＝16＋4a ≥0，解得a ≥－4.故填[－4，＋∞)．5.已知关于x 的不等式x 2－ax －6a 2>0(a <0)的解集为(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，且x 2－x 1＝52，则a ＝________．解法一：由题意得，x 1＋x 2＝a ①，x 1x 2＝－6a 2 ②，①2－4×②可得(x 2－x 1)2＝25a 2，又x 2－x 1＝52，所以25a 2＝50，解得a ＝±2，因为a <0，所以a ＝－2.解法二：关于x 的不等式x 2－ax －6a 2>0(a <0)可化为(x ＋2a )(x －3a )>0，因为a <0，所以－2a >3a ，所以解不等式得x >－2a 或x <3a ，所以x 1＝3a ，x 2＝－2a.又x 2－x 1＝52，所以－5a ＝52，所以a＝－2.故填－ 2.类型一一元二次不等式的解法例1 (1)解下列不等式． (Ⅰ)x 2－7x ＋12＞0； (Ⅱ)x 2－2x ＋1＜0.解：(Ⅰ)方程x 2－7x ＋12＝0的解为x 1＝3，x 2＝4.而y ＝x 2－7x ＋12的图象开口向上，可得原不等式x 2－7x ＋12＞0的解集是{x |x ＜3或x ＞4}．(Ⅱ)方程x 2－2x ＋1＝0有两个相同的解x 1＝x 2＝1.而y ＝x 2－2x ＋1的图象开口向上，可得原不等式x 2－2x ＋1＜0的解集为∅.(2)(2018昆明模拟)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．解：原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0(a ∈R )，即(ax －2)(x ＋1)≥0(a ∈R )．当a ＝0时，原不等式可化简为x ＋1≤0，原不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a ≠0时，原不等式的解集由2a 和－1的大小决定，故当a >0时，2a>－1，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－1或x ≥2a ；当－2<a <0时，2a<－1，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，2a＝－1，所以原不等式的解集为{x |x ＝－1}；当a <－2时，2a>－1，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －1≤x ≤2a .综上，不等式的解集为：当a ＝0时，{x |x ≤－1}；当a >0时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－1或x ≥2a ；当－2<a <0时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，{x |x ＝－1}；当a <－2时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －1≤x ≤2a .点拨解一元二次不等式的步骤：第一步，将二次项系数化为正数；第二步，解相应的一元二次方程；第三步，根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；第四步，写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．解含参数的一元二次不等式常分以下几种情况讨论：①根据二次项系数讨论(大于0，小于0，等于0)；②根据根的判别式讨论(Δ>0，Δ＝0，Δ<0)；③根据根的大小讨论(x 1>x 2，x 1＝x 2，x 1<x 2)．变式1 (1)解下列不等式． (Ⅰ)－x 2－2x ＋3≥0； (Ⅱ)x 2－2x ＋2＞0.解：(Ⅰ)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x 2＋2x －3≤0.方程x 2＋2x －3＝0的解为x 1＝－3，x 2＝1. 而y ＝x 2＋2x －3的图象开口向上，可得原不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集是{x |－3≤x ≤1}．(Ⅱ)因为Δ＜0，所以方程x 2－2x ＋2＝0无实数解，而y ＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，可得原不等式x 2－2x ＋2＞0的解集为R .(2)若关于x 的不等式ax 2－x ＋2a <0的解集为∅，则实数a 的取值范围是________．解：依题意知，问题等价于ax 2－x ＋2a ≥0恒成立，当a ＝0时，－x ≥0不恒成立；当a ≠0时，要使ax 2－x ＋2a ≥0恒成立，需⎩⎨⎧a >0，Δ≤0，即⎩⎨⎧a >0，1－8a 2≤0，解得a ≥24，即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫24，＋∞.故填⎣⎡⎭⎫24，＋∞. 类型二二次不等式、二次函数及二次方程的关系例2 (1)(2019·广州模拟)已知不等式ax 2－5x ＋b >0的解集为{x |－3<x <－2}，则不等式bx 2－5x ＋a >0的解集为 ( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <－13B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－12或x >－13 C.{x |－3<x <2} D ．{x |x <－3或x >2}解：由题意得⎩⎨⎧5a＝－3－2，ba ＝－3×（－2），解得a ＝－1，b ＝－6，所以不等式bx 2－5x ＋a >0为－6x 2－5x －1>0，即(3x ＋1)·(2x ＋1)<0，所以解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <－13.故选A.(2)已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0.当x ∈(－3，2)时，f (x )>0.(Ⅰ)求f (x )在[0，1]内的值域； (Ⅱ)若ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围．解：(Ⅰ)依题意知，－3，2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根，且a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧－3＋2＝－b －8a ，－3×2＝－a －aba ，所以a ＝－3，b ＝5，则f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝⎛⎭⎫x ＋122＋754，函数f (x )的图象关于直线x ＝－12对称，且抛物线开口向下，所以在区间[0，1]上f (x )为减函数，所以函数的最大值为f (0)＝18，最小值为f (1)＝12.故f (x )在[0，1]内的值域为[12，18]．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0即为－3x 2＋5x ＋c ≤0，因为二次函数y ＝－3x 2＋5x ＋c 的图象开口向下，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需Δ＝25＋12c ≤0，即c ≤－2512，所以实数c 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－2512. 点拨 ①已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负．②三个“二次”在高考中举足轻重，每年高考中，不少题目都与之相关．直接考查的不多见，以间接考查为主，贯穿高中数学的始终．其中二次函数居核心地位．变式2 (1)已知不等式ax 2－3x ＋6＞0的解集为{x |b <x <1，b ＜1}．(Ⅰ)求a ，b ；(Ⅱ)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0. 解：(Ⅰ)因为不等式ax 2－3x ＋6>0的解集为{x |b <x <1}，所以方程ax 2－3x ＋6＝0的根为x 1＝1，x 2＝b ，所以⎩⎨⎧1＋b ＝3a ，b ＝6a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－2.(Ⅱ)由(Ⅰ)知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－2，所以原不等式可化为－3x 2＋(3c ＋2)x －2c <0，即(3x －2)(x －c )>0.因为原不等式对应的方程(3x －2)(x －c )＝0的根为x 1＝23，x 2＝c ，所以原不等式的解集由23和c 的大小决定．当c <23时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <c 或x >23；当c ＝23时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠23；当c >23时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <23或x >c .(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2，若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，则实数m 的取值范围是________．解：不等式f (x )≥x 2－x ＋m 等价于f (x )－x 2＋x ≥m ，令g (x )＝f (x )－x 2＋x ，则g (x )≥m 的解集非空只需要g (x )max ≥m.而g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x －3，x ≤－1，－x 2＋3x －1，－1<x <2，－x 2＋x ＋3，x ≥2.①当x ≤－1时，g (x )max ＝g (－1)＝－1－1－3＝－5；②当－1<x <2时，g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫32＝－⎝⎛⎭⎫322＋3×32－1＝54；③当x ≥2时，g (x )max ＝g (2)＝－22＋2＋3＝1，综上，g (x )max ＝54，所以m ≤54，即实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，54. 故填⎝⎛⎦⎤－∞，54. 类型三分式不等式的解法例3 解下列不等式．(1)x ＋12x －1<0；(2)1－x 3x ＋5≥0；(3)x －1x ＋2>1. 解：(1)原不等式可化为(x ＋1)(2x －1)<0，所以－1<x <12，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x <12.(2)原不等式可化为x －13x ＋5≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（3x ＋5）≤0，3x ＋5≠0，所以⎩⎨⎧－53≤x ≤1，x ≠－53，即－53<x ≤1.故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53<x ≤1.(3)原不等式可化为x －1x ＋2－1>0，即x －1－（x ＋2）x ＋2>0，所以－3x ＋2>0，则x <－2.故原不等式的解集为{x |x <－2}．点拨首先通过移项、通分，将不等式右边化为0，左边化为f （x ）g （x ）的形式，将原分式不等式化为标准型，然后将化为标准型的分式不等式等价转化为整式不等式(组)来求解，注意分母不为0.变式3 (1)不等式x －12x ＋1≤1的解集为________．解：x －12x ＋1≤1⇔x －12x ＋1－1≤0⇔－x －22x ＋1≤0⇔x ＋22x ＋1≥0.解法一：x ＋22x ＋1≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋2）（2x ＋1）≥0，2x ＋1≠0.得{x |x ＞－12或x ≤－2}．解法二：x ＋22x ＋1≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，2x ＋1＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤0，2x ＋1＜0.得{x |x ＞－12或x ≤－2}．故填{x |x ＞－12或x ≤－2}．(2)已知两个集合A ＝{x |y ＝ln(－x 2＋x ＋2)}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2x ＋1e －x ≤0，则A ∩B ＝( )A.⎣⎡⎭⎫－12，2B.⎝⎛⎦⎤－1，－12C.(－1，e)D.(2，e)解：由题意得A ＝{x |－x 2＋x ＋2>0}＝{x |－1<x <2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >e 或x ≤－12，故A ∩B ＝⎝⎛⎦⎤－1，－12.故选B.类型四和一元二次不等式有关的恒成立问题例4 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；(2)对于x ∈[1，3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解：(1)若m ＝0，显然－1<0恒成立；若m ≠0，则⎩⎨⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0. 所以m 的取值范围为(－4，0]．(2)解法一：要使x ∈[1，3]时，f (x )<－m ＋5恒成立，需m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0，x ∈[1，3]．令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3]．则需g (x )max <0.当m >0时，g (x )在[1，3]上是增函数，所以g (x )max＝g (3)＝7m －6，所以7m －6<0，解得m <67，所以0<m <67.当m ＝0时，－6<0恒成立．当m <0时，g (x )在[1，3]上是减函数．所以g (x )max＝g (1)＝m －6<0，解得m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，67. 解法二：f (x )<－m ＋5恒成立，即m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立，因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，所以m <6x 2－x ＋1，在x ∈[1，3]上恒成立．又函数y＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，67.点拨 ①不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a ＝0时，b ＝0，c >0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0；②不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a ＝0时，b ＝0，c <0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0；③处理与一元二次不等式有关的恒成立问题常可用分离参数的方法，很多时候都可以减少不必要的讨论，其中：f (x )≤a 恒成立⇔a ≥f (x )max ；f (x )≥a 恒成立⇔a ≤f (x )min .注意：解决恒成立问题一定要搞清楚谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．变式4 (1)(山东临沂罗庄区2019－2020高二上期中)若关于x 的不等式log 2(ax 2－2x ＋3)＞0的解集为R ，则实数a 的取值范围是________．解：ax 2－2x ＋3＞1恒成立，即ax 2－2x ＋2＞0恒成立．当a ＝0时，－2x ＋2＞0不恒成立，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－8a ＜0，得a ＞12.故填⎝⎛⎭⎫12，＋∞. (2)(2018·沈阳模拟)对任意a ∈[－1，1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A.(1，3)B.(－∞，1)∪(3，＋∞)C.(1，2)D.(－∞，1)∪(2，＋∞)解：设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，由g (a )＞0在a ∈[－1，1]上恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＝x 2－3x ＋2＞0，g （－1）＝x 2－5x ＋6＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1或x ＞2，x ＜2或x ＞3，所以x ＜1或x ＞3，所以x 的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)．故选B.1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(a ≠0)的解集的确定，受二次项系数a 的符号及判别式Δ＝b 2－4ac 的符号制约，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集；二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的值恒大于0的条件是a ＞0且Δ＜0；若恒大于或等于0，则a ＞0且Δ≤0.若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时，必须考虑二次项系数为0这一特殊情形．2．解分式不等式要使一边为0；求解非严格分式不等式时，要注意分母不等于0，转化为不等式组．(注：形如f （x ）g （x ）≥0或f （x ）g （x ）≤0的不等式称为非严格分式不等式) 3．解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论．对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确．4．解不等式的过程，实质上是不等式等价转化的过程．因此保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则． 5．各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解，这体现了转化与化归的数学思想．1.(2018·潍坊模拟)函数f (x )＝1ln （－x 2＋4x －3）的定义域是 ( ) A.(－∞，1)∪(3，＋∞)B.(1，3)C.(－∞，2)∪(2，＋∞)D.(1，2)∪(2，3)解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －3>0，－x 2＋4x －3≠1，即⎩⎨⎧1<x <3，x ≠2，故函数f (x )的定义域为(1，2)∪(2，3)．故选D. 2.(2019·扬州市邗江区蒋王中学高一月考)已知函数f (x )＝33x －1ax 2＋ax －3的定义域是R ，则实数a 的取值范围是 ( )A.⎝⎛⎭⎫13，＋∞B.(－12，0]C.(－12，0)D.⎝⎛⎦⎤－∞，13 解：由题意可知ax 2＋ax －3≠0对于一切实数都成立，当a ＝0时，不等式成立，即符合题意；当a ≠0时，要使ax 2＋ax －3≠0对于一切实数都成立，只需Δ＝a 2－4a ×(－3)<0，解得－12<a <0.综上所述，实数a 的取值范围是(－12，0]．故选B.3．不等式x 2－x －6x －1>0的解集为 ( )A.{x |x ＜－2或x ＞3}B.{x |x ＜－2或1＜x ＜3}C.{x |－2＜x ＜1或x ＞3}D.{x |－2＜x ＜1或1＜x ＜3}解：x 2－x －6x －1＞0⇔（x －3）（x ＋2）x －1＞0⇔ (x －3)(x ＋2)·(x －1)>0，由穿针引线法得原不等式的解集是{x |－2<x <1或x >3}．故选C.4．(2019·天津市新华中学高考模拟)已知p ：1a >14，q ：x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则p 成立是q 成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解：对于p ：1a ＞14⇔4－a4a＞0⇔4a (a －4)＜0，所以a 的取值范围为(0，4)；对于q ：a ＝0时，1＞0，显然成立，a ≠0时，只需a ＞0且Δ＝a 2－4a ＜0，解得a ∈(0，4)．综上，a ∈[0，4)．故p 成立是q 成立的充分不必要条件．故选A.5.不等式|x |(1－2x )>0的解集为 ( ) A.(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫－∞，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫0，12 解：当x ≥0时，原不等式即为x (1－2x )>0，所以0<x <12；当x <0时，原不等式即为－x (1－2x )>0，所以x <0. 综上，原不等式的解集为(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12.故选A.6．(2019·山东章丘四中高二月考)关于x 的不等式x 2－ax ＋4≥0在区间[1，2]上有解，则实数a 的取值范围是 ( )A.(－∞，5)B.(－∞，5]C.(－∞，4)D.(－∞，4]解：由不等式x 2－ax ＋4≥0在区间[1，2]上有解，得a ≤x ＋4x 在区间[1，2]有解．令f (x )＝x ＋4x ，x ∈[1，2]，则f (x )max ＝f (1)＝5，所以有a ≤5，即实数a 的取值范围为(－∞，5]．故选B.7．(2018·四川模拟)若关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中恰有3个整数，则a 的取值范围是 ( )A.(4，5)B.(－3，－2)∪(4，5)C.(4，5]D.[－3，－2)∪(4，5]解：原不等式可化为(x －a )(x －1)<0，其对应的一元二次方程的根为x 1＝a ，x 2＝1.因为x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中恰有3个整数解，所以当a <1时，原不等式的解集为(a ，1)，此时的整数解为－2，－1，0，所以－3≤a <－2；当a ＝1时，原不等式的解集为空集，不满足题意，舍去；当a >1时，原不等式的解集为(1，a )，此时的整数解为2，3，4，所以4<a ≤5.综上，a 的取值范围为[－3，－2)∪(4，5]．故选D.8．【多选题】(2019·海南枫叶国际学校高一期中)不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，则能使不等式a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c <2ax 成立的x 的集合为 ( )A.{x |0<x <3}B.{x |x <0}C.{x |x >3}D.{x |－2<x <1}解：因为不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，所以－1和2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，且a <0，所以－b a ＝－1＋2＝1，ca ＝－2，所以b ＝－a ，c ＝－2a ，由a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c <2ax ，得a (x 2＋1)－a (x －1)－2a <2ax ，得ax 2－3ax <0，因为a <0，所以x 2－3x >0，所以x <0或x >3，所以不等式a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c <2ax 的解集为{x |x <0或x >3}．故选BC.9．(2019·河北高考模拟)在R 上定义运算⊗：x y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为________．解：由题意，可知不等式(x －a )(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，又由(x －a )(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )，即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 恒成立，所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0，即4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32.故填⎝⎛⎭⎫－12，32. 10．若对任意的实数x ，不等式x 2＋mx －12x 2－2x ＋3＜1都成立，则实数m 的取值范围是________．解：因为2x 2－2x ＋3＝2⎝⎛⎭⎫x －122＋52>0恒成立，所以原不等式可化为x 2＋mx －1<2x 2－2x ＋3，即x 2－(m ＋2)x ＋4>0恒成立，所以Δ＝[－(m ＋2)]2－4×4<0，解得－6<m <2，所以实数m 的取值范围为(－6，2)．故填(－6，2)．11．(2018·浙江高考模拟)已知函数f (x )＝ax 2－3ax ＋a 2－3.(1)若不等式f (x )<0的解集是{x |1<x 0，因此⎩⎨⎧1＋b ＝3，b ＝a 2－3a ，因为a >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝3.(2)因为a <0，所以不等式f (x )<4可化为x 2－3x >7－a 2a.因为当x ∈[]－3，3时，x 2－3x ＝⎝⎛⎭⎫x －322－94≥－94，所以－94>7－a 2a ，因为a <0，解得－74<a <0.故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－74，0. 12．(2019·林芝一中高三月考)已知函数y ＝mx 2－6mx ＋m ＋8的定义域为R . (1)求实数m 的取值范围；(2)当m 变化时，若y 的最小值为f (m )，求函数f (m )的值域．解：(1)依题意，当x ∈R 时，mx 2－6mx ＋m ＋8≥0恒成立．当m ＝0时，8≥0，显然恒成立；当m ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，（－6m ）2－4m （m ＋8）≤0.解得0＜m ≤1.故实数m 的取值范围为{m |0≤m ≤1}． (2)因为y ＝m （x －3）2＋8－8m ，且m ≥0，所以y min ＝8－8m.因此，f (m )＝8－8m (0≤m ≤1)，易得0≤8－8m ≤8.所以函数f (m )的值域为[0，22]．13．已知函数f (x )＝ax 2＋x －a ，a ∈R .(1)若函数f (x )有最大值178，求实数a 的值；(2)解不等式f (x )>1(a ∈R )．解：(1)由题意，a ≠0，则f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋12a 2－1＋4a 24a.当a >0时，不符合题意；当a <0时，f (x )有最大值，则－1＋4a 24a ＝178，解得a ＝－2或－18.(2)f (x )>1，即ax 2＋x －a >1，(x －1)(ax ＋a ＋1)>0， ①当a ＝0时，解集为{x |x >1}；②当a >0时，(x －1)⎝⎛⎭⎫x ＋1＋1a >0，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >1或x <－1－1a ；③当a ＝－12时，(x －1)2<0，解集为∅；④当－12<a <0时，(x －1)⎝⎛⎭⎫x ＋1＋1a <0，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <－1－1a ；⑤当a <－12时，(x －1)⎝⎛⎭⎫x ＋1＋1a <0，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1－1a <x <1.附加题已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1，t )，记函数f (x )＝ax 2＋(a －b )x －c.(1)求证：函数y ＝f (x )必有两个不同的零点； (2)若函数y ＝f (x )的两个零点分别为m ，n ，求|m －n |的取值范围．解：(1)证明：由题意知a ＜0，a ＋b ＋c ＝0，且－b2a>1，所以c ＜a ＜0，所以ac >0，所以对于函数f (x )＝ax 2＋(a －b )x －c 有Δ＝(a －b )2＋4ac >0，所以函数y ＝f (x )必有两个不同零点．(2)|m －n |2＝(m ＋n )2－4mn ＝（b －a ）2＋4aca 2＝（－2a －c ）2＋4ac a 2＝⎝⎛⎭⎫c a 2＋8·c a＋4，由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1，t )可知，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个解分别为1和t (t >1)，由根与系数的关系知ca ＝t ，所以|m －n |2＝t 2＋8t ＋4，t∈(1，＋∞)．所以|m －n |>13，所以|m －n |的取值范围为(13，＋∞)．。

2021届高考数学人教版一轮创新课件：第6章+第3讲+基本不等式

第六章　不等式
第3讲　基本不等式
[考纲解读]　1.了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最值问题．(重点)
2．掌握基本不等式内容，“一正二定三相等”缺一不可，能对“积”与“和”相互转化，掌握“拆添项”与“配凑因式”的技巧．(难点)
[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点．预测2021年将会考查利用基本不等式求最值或比较大小，也可能与其他知识综合考查，体现基本不等式的工具性．试题难度不大，但技巧性强，灵活多变，客观题或解答题均可能出现.
1基础知识过关PART ONE
a＝b
a＞0，b＞0 a＝b
a，b∈R
几何平均数
最小积定和最小
最大和定积最大
答案
解析答案
解析
答案
2经典题型冲关PART TWO
题型三　基本不等式在实际问题中的应用
3课时作业PART THREE
A组基础关。

2021届高考数学核按钮【新高考广东版】第二章不等式单元测试卷

第二章不等式单元测试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·安徽省泗县第一中学月考)已知集合M ＝{x |x 2<4}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＋1x －3<0，则集合M ∩N 等于 ( ) A.{x |x <－2} B.{}x |x >3 C.{x |－1<x <2} D.{x |2<x <3}解：M ＝{x |－2<x <2}，N ＝{x |－1<x <3}，所以M ∩N ＝{x |－1<x <2}．故选C.2．(2019·江西省奉新县第一中学高三月考)关于x 的不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4≥0的解集为，则实数a 的取值范围是 ( ) A.(－2，2] B.(－2，2) C.[－2，2) D.[－2，2]解：关于x 的不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4≥0的解集为，等价于不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0恒成立，当a ＝2时，－4＜0，显然恒成立；当a ≠2时，要使不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，[2（a －2）]2＋16（a －2）<0，解得－2<a <2.综上，实数a 的取值范围是(－2，2]．故选A. 3．(2019·江西高考模拟)若直线l ：ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)过点(－1，2)，当2a ＋1b取最小值时直线l 的斜率为 ( )A.2B.12C. 2D.22解：因为直线l 过点(－1，2)，所以－a －2b ＋2＝0，即a ＋2b2＝1，所以2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ×a ＋2b 2＝12⎝⎛⎭⎫4＋4b a ＋a b ≥12⎝⎛⎭⎫4＋24b a ×a b ＝4，当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝2b 时取等号．所以直线l 的斜率ab＝2.故选A.4．若不等式4x ＋1x ＋2＜0和不等式ax 2＋bx －2＞0的解集相同，则a ，b 的值为 ( )A.a ＝－8，b ＝－10B.a ＝－4，b ＝－9C.a ＝－1，b ＝9D.a ＝－1，b ＝2 解：不等式4x ＋1x ＋2＜0的解集为⎝⎛⎭⎫－2，－14，所以不等式ax 2＋bx －2＞0的解集为⎝⎛⎭⎫－2，－14，二次方程ax 2＋bx －2＝0的两个根为－2，－14，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2＋⎝⎛⎭⎫－14＝－b a，－2×⎝⎛⎭⎫－14＝－2a，所以a ＝－4，b ＝－9.故选B. 5.若a >b >1，P ＝lg a lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，则下列不等式成立的是 ( )A.R b >1，故lg a >0，lg b >0，所以a ＋b2>ab⇒lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2>12(lg a ＋lg b )>lg a lg b ，即R >Q >P .故选B.6.(2019·广东佛山一中期末)若0<a log b b ＝1，所以x <y <z.故选A.7.(2019·贵州凯里一中高考模拟)在锐角△ABC 中，已知a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且 3b ＝2a sin B ，a ＝4，则△ABC 面积的最大值为 ( ) A.2 3 B.4 3 C.8 3 D.163解：在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝bsin B.3b ＝2a sin B ，3sin B ＝2sin A sin B ，解得sin A ＝32. 因为△ABC 为锐角三角形，则cos A ＝1－sin 2A ＝12.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得16＝b 2＋c 2－bc.所以16＋bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤16，当且仅当b ＝c 时，等号成立．所以S △ABC ＝12bc ·sin A ＝34bc ≤43.故选B.8.若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则4a －1＋16b －1的最小值为 ( )A.16B.25C.36D.49解：因为a ，b >0，1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ，所以4a －1＋16b －1＝4（b －1）＋16（a －1）（a －1）（b －1）＝4b ＋16a －20ab －（a ＋b ）＋1＝4b ＋16a －20.又4b ＋16a ＝4(b＋4a )＝4(b ＋4a )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝20＋4⎝⎛⎭⎫b a ＋4ab ≥20＋4×2b a ×4a b ＝36，当且仅当b a ＝4a b 且1a ＋1b ＝1，即a ＝32，b ＝3时取等号，所以4a －1＋16b －1≥36－20＝16.故选A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9.下列叙述正确的是 ( )A.若x >y >z ，则|xy |>|yz |B.若a >b >0，c >0，则a －c >b －cC.若a >b ，c >d ，则ac >bdD.若a 2x >a 2y ，则x >y 解：A 中，例如1>－2>－3，此时|1×(－2)|<| (－2)×(－3)|，所以A 不正确；B 中，根据不等式的可加性可知B 正确；C 中，例如－1>－2，－3>－4，此时－1× (－3)<－2×(－4)，所以C 不正确；D 中，若a 2x >a 2y ，则a 2(x －y )>0，则x －y >0，所以D 正确．故选BD.10.设a ，b 为正实数，则下列命题中是真命题的是 ( ) A.若a 2－b 2＝1，则a －b <1B.若1b －1a＝1，则a －b <1 C.若|a －b |＝1，则|a －b |<1D.若|a |≤1，|b |≤1，则|a －b |≤|1－ab | 解：对于A ，由a ，b 为正实数，且a 2－b 2＝1，可得a －b ＝1a ＋b ，所以a －b >0，所以a >b >0，若a－b ≥1，则1a ＋b ≥1，可得a ＋b ≤1，这与a ＋b >a－b >0矛盾，故a －b <1成立，所以A 中命题为真命题；对于B ，取a ＝5，b ＝56，则1b －1a＝1，但a －b＝5－56>1，所以B 中命题为假命题；对于C ，取a ＝4，b ＝1，则|a －b |＝1，但|a －b |＝3>1，所以C 中命题为假命题；对于D ，由|a |≤1，|b |≤1，则(a －b )2－(1－ab )2＝a 2＋b 2－1－a 2b 2＝(a 2－1)(1－b 2)≤0，即(a －b )2≤(1－ab )2，可得|a －b |≤|1－ab |，所以D 中命题为真命题．故选AD.11.(2019·山东高二期中)下列说法正确的是 ( ) A.若x ，y >0，x ＋y ＝2，则2x ＋2y 的最大值为4B.若x <12，则函数y ＝2x ＋12x －1的最大值为－1 C.若x ，y >0，x ＋y ＋xy ＝3，则xy 的最小值为1 D.函数y ＝1sin 2x ＋4cos 2x的最小值为9 解：对于A ，取x ＝32，y ＝12得到2x ＋2y ＝32>4，错误；对于B ，y ＝2x ＋12x －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋11－2x ＋1≤－2＋1＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立，正确；对于C ，取x ＝2，y ＝13，此时xy ＝23<1，错误；对于D ，y ＝1sin 2x ＋4cos 2x ＝⎝⎛⎭⎫1sin 2x ＋4cos 2x (sin 2x ＋cos 2x )＝cos 2x sin 2x ＋4sin 2x cos 2x ＋5≥24＋5＝9.当且仅当cos 2x ＝23，sin 2x ＝13时等号成立，正确．故选BD. 12.(2019·莒县第一中学高一月考)已知x ＋y ＝1，y >0，x ≠0，则12|x |＋|x |y ＋1的值可能是 ( ) A.12 B.14 C.34 D.54 解：由x ＋y ＝1，y >0，x ≠0，得y ＝1－x >0，则x <1且x ≠0.当0<x <1时，12|x |＋|x |y ＋1＝12x ＋x 2－x ＝x ＋2－x 4x ＋x2－x ＝14＋2－x 4x ＋x 2－x ≥14＋22－x 4x ·x 2－x ＝54. 当且仅当2－x 4x ＝x 2－x 即x ＝23时取等号．当x <0时，12|x |＋|x |y ＋1＝1－2x ＋－x 2－x ＝2－x ＋x －4x ＋－x 2－x ＝－14＋2－x －4x ＋－x 2－x ≥－14＋22－x －4x ·－x2－x＝34. 当且仅当2－x －4x ＝－x 2－x 即x ＝－2时取等号．综上，12|x |＋|x |y ＋1≥34.故选CD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．(2019·四川高考模拟)若正实数x ，y 满足x＋y ＝1，则4x ＋1＋1y的最小值为________．解：因为x ＋y ＝1，所以(x ＋1)＋y ＝2.所以4x ＋1＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋1＋1y ×[（x ＋1）＋y ]2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4y x ＋1＋x ＋1y ≥12×(5＋4)＝92，当且仅当4y x ＋1＝x ＋1y ，即x ＝13，y ＝23时，等号成立．所以4x ＋1＋1y的最小值为92.故填92.14．(2019·陕西高二期中)三位同学合作学习，对问题“已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于x ∈[1，2]，y ∈[2，3]恒成立，求a 的取值范围”提出了各自的解题思路．甲说：“可视x 为变量，y 为常量来分析”；乙说：“寻找x 与y 的关系，再作分析”；丙说：“把字母a 单独放在一边，再作分析”. 参考上述思路，或自己的其他解法，可求出实数a 的取值范围是________．解：利用丙的方法，将字母a 分离出来，得a ≥yx－2y 2x 2，由x ∈[1，2]得1x ∈⎣⎡⎦⎤12，1，再由y ∈[2，3]，有y x ∈[1，3]，所以⎝⎛⎭⎫y x －2y 2x 2max ＝－1，故a ≥－1.故填[－1，＋∞)．15．(2019·安徽高考模拟)已知正项等比数列{a n }满足a 9＝a 8＋2a 7，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n＝2a 21，则1m ＋4n的最小值为________．解：设等比数列的公比为q (q ＞0)，因为a 9＝a 8＋2a 7，所以a 7q 2＝a 7q ＋2a 7，所以q 2－q －2＝0，所以q ＝2或q ＝－1(舍)，因为存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝2a 21，所以a 21q m －1＋n －1＝2a 21，即2m ＋n －2＝2，所以m ＋n －2＝1，则m ＋n ＝3. 所以1m ＋4n ＝13×⎝⎛⎭⎫1m ＋4n (m ＋n )＝13(n m ＋4mn ＋5)≥13×9＝3，当且仅当n ＝2m ＝2时，等号成立．或由m ＋n ＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1，分别代入求解．故填3. 16．(2019·河南高二月考)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，则|AF |＋2|BF |的最小值为________；当|AF |＋2|BF |取得最小值时，|AB |＝________．解：易知F (1，0)，准线方程为：x ＝－1，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，此时|AF |＝|BF |＝2，所以|AF |＋2|BF |＝6，当直线l 的斜率存在时，设为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，将其代入y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，Δ＝(2k 2＋4)2－4k 4＝16k 2＋16>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k2，x 1x 2＝1，由抛物线的定义可得|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，所以|AF |＋2|BF |＝x 1＋2x 2＋3，因为x 1>0，x 2>0，所以|AF |＋2|BF |＝x 1＋2x 2＋3≥2x 1·2x 2＋3＝22＋3，当且仅当x 1＝2x 2且x 1x 2＝1，即x 1＝2，x 2＝22时等号成立．因为22＋3<6，所以|AF |＋2|BF |取得最小值22＋3，此时|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝2＋22＋2＝2＋322. 故填22＋3；2＋322.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知关于x 的不等式ax 2－3x ＋2>0(a ∈R )． (1)若不等式ax 2－3x ＋2>0的解集为{x |x <1或x >b }，求a ，b 的值； (2)求不等式ax 2－3x ＋2>5－ax (a ∈R )的解集．解：(1)将x ＝1代入ax 2－3x ＋2＝0，则a ＝1. 所以不等式为x 2－3x ＋2>0，即(x －1)(x －2)>0.所以不等式的解集为{x |x <1或x >2}，所以b ＝2.(2)不等式为ax 2＋(a －3)x －3>0，即(ax －3)(x＋1)>0.当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <－1}．当a ≠0时，方程(ax －3)(x ＋1)＝0的根为x 1＝3a ，x 2＝－1， ①当a >0时，3a >－1，则解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >3a 或a <－1； ②当－3<a <0时，3a <－1，则解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |3a <x <－1； ③当a ＝－3时，3a ＝－1，则解集为∅； ④当a <－3时，3a >－1，则解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －1<x <3a . 18．(12分)(2019·湖南长沙一中高三月考)已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝2，证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤43；(2)2－a b ·2－b c ·2－c a≥8.证明：(1)将a ＋b ＋c ＝2两边平方得， a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝4，由基本不等式知：a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，三式相加得：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ，则4＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ≥3ab ＋3bc ＋3ac ，所以ab ＋bc ＋ac ≤43，当且仅当a ＝b ＝c ＝23时等号成立．(2)由2－a b ＝b ＋c b ≥2bc b ＞0，2－b c ＝a ＋c c ≥2acc ＞0，2－c a ＝b ＋a a ≥2ba a＞0，得2－a b ·2－b c ·2－c a ≥2bc b ·2ac c ·2baa ＝8，即2－a b ·2－b c ·2－c a ≥8，当且仅当a ＝b ＝c ＝23时等号成立．19．(12分)(2019·江西高安中学高二期中)已知函数f (x )＝x x 2＋6，g (x )＝x 2＋2mx ＋1311. (1)若f (x )<k 的解集为{x |－3<x <－2}，求实数k的值；(2)若∀x 1∈[2，4]，∃x 2∈[2，4]，使f (x 1)≥g (x 2)成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由f (x )<k 得xx 2＋6<k ，整理得kx 2－x ＋6k >0，因为不等式的解集为{x |－3<x <－2}，所以方程kx 2－x ＋6k ＝0的两个根是－3，－2；由根与系数的关系得－3＋(－2)＝1k，即k ＝－15. (2)由已知，只需f (x )min ≥g (x )min ，因为f (x )＝x x 2＋6＝1x ＋6x 在区间[2，6]上为增函数，在区间[6，4]上为减函数，由于f (2)＝15，f (4)＝211，所以函数f (x )在[2，4]上的最小值为f (4)＝211，因为g (x )图象的开口向上，且对称轴为x ＝－m ，故①当－m ≤2，即m ≥－2时，g (x )min ＝g (2)＝4＋4m ＋1311≤211，解得－2≤m ≤－54；②当2<－m <4，即－4<m <－2时，g (x )min ＝g (－m )＝m 2－2m 2＋1311≤211，解得m ≤－1或m ≥1，所以－4<m <－2；③当－m ≥4，即m ≤－4时，g (x )min ＝g (4)＝16＋8m ＋1311≤211，解得m ≤－178，所以m ≤－4.综上所述，实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，54.20．(12分)(2019·上海高考模拟)经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期，该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题，具体如下：年存储成本费T (元)关于每次订货x (单位)的函数关系T (x )＝Bx 2＋ACx，其中A 为年需求量，B 为每单位物资的年存储费，C 为每次订货费．某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6 000吨，每吨存储费为120元/年，每次订货费为2 500元．(1)若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费；(2)每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少元？解：(1)由题意可得：A ＝6 000，B ＝120，C ＝2 500，所以存储成本费T (x )＝60x ＋15 000 000x，若该化工厂每次订购300吨甲醇，则年存储成本费为T (300)＝60×300＋15 000 000300＝68 000.(2)因为存储成本费T (x )＝60x ＋15 000 000x，x >0，所以T (x )＝60x ＋15 000 000x ≥260×15 000 000＝60 000，当且仅当60x ＝15 000 000x，即x ＝500时，取等号．所以每次需订购500吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少，最少费用为60 000元．21．(12分)已知a ∈R ，函数f (x )＝a ＋1|x |.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≤2x ；(2)若关于x 的方程f (x )－2x ＝0在区间[－2，－1]上有解，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝1＋1|x |，所以f (x )≤2x ⇔1＋1|x |≤2x ，(*)①若x >0，则(*)变为，（2x ＋1）（x －1）x≥0⇔－12≤x <0或x ≥1，所以x ≥1；②若x <0，则(*)变为，2x 2－x ＋1x ≥0⇔x >0，所以x ∈.由①②可得，(*)的解集为[1，＋∞)．(2)f (x )－2x ＝0⇔a ＋1|x |－2x ＝0，即a ＝2x ＋1x，其中x ∈[－2，－1]．令g (x )＝2x ＋1x，其中x ∈[－2，－1]，则g ′(x )＝2－1x2在[－2，－1]上大于0恒成立，所以函数g (x )在区间[－2，－1]上是增函数．所以－92＝g (－2)≤g (x )≤g (－1)＝－3，即g (x )∈⎣⎡⎦⎤－92，－3，故a ∈⎣⎡⎦⎤－92，－3. 22．(12分)(2019·上海南汇中学高一月考)对在直角坐标系的第一象限内的任意两点(a ，b )，(c ，d )作如下定义：如果a b >cd，那么称点(a ，b )是点(c ，d )的“上位点”，同时点(c ，d )是点(a ，b )的“下位点”.(1)试写出点(3，5)的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；(2)设a ，b ，c ，d 均为正数，且点(a ，b )是点(c ，d )的“上位点”，请判断点P (a ＋c ，b ＋d )是否既是点(a ，b )的“下位点”又是点(c ，d )的“上位点”.如果是，请证明；如果不是，请说明理由；(3)设正整数n 满足以下条件：对任意实数m ∈{t |0<t <2 019，t ∈Z }，总存在k ∈N *，使得点(n ，k )既是点(2 019，m )的“下位点”，又是点(2 020，m ＋1)的“上位点”，求正整数n 的最小值．解：(1)依题意知，点(3，5)的一个“上位点”的坐标可以为(3，4)，一个“下位点”的坐标可以为(3，7)． (2)点P (a ＋c ，b ＋d )既是点(a ，b )的“下位点”，又是点(c ，d )的“上位点”.理由如下：因为a ，b ，c ，d 均为正数，且点(a ，b )是点(c ，d )的“上位点”，所以a b >cd，所以ad >bc.因为a ＋cb ＋d －ab ＝b （a ＋c ）－a （b ＋d ）b （b ＋d ）＝bc －adb （b ＋d ）<0，所以点P (a ＋c ，b ＋d )是点(a ，b )的“下位点”，因为a ＋cb ＋d －cd ＝d （a ＋c ）－c （b ＋d ）d （b ＋d ）＝ad －bcd （b ＋d ）>0，所以点P (a ＋c ，b ＋d )是点(c ，d )的“上位点”.(3)由题意，知正整数n 满足条件：2 020m ＋1＜nk<2 019m在m ∈{t |0<t <2 019，t ∈Z }时恒成立．由(2)中的结论可知，k ＝2m ＋1，n ＝2 019＋2 020＝4 039时满足条件．由2 020m ＋1＜n k＜2 019m ，得mn 2 019＜k ＜mn ＋n 2 020，k ∈N *，由上式对∀m ∈{t |0＜t ＜2 019，t ∈Z }恒成立，令m ＝2 018，则2 018n 2 019＜k ＜2 019n2 020，即n －n 2 019＜k ＜n －n2 020，当n ≤4 038时，n －n2 019≥n －2，所以k ＝n－1.即n －n 2 019＜n －1＜n －n2 020，解得2019＜n＜2 020，这与n 为正整数矛盾．故当n ≤4 038时，k 不存在．因此，n 的最小值为4 039.。

2021届高考数学核按钮【新高考广东版】考点四二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

考点四二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题1.二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的________.我们把直线画成虚线以表示区域________边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应________边界直线，则把边界直线画成________.(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都________，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)(如原点)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的________即可判断Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域.2.线性规划(1)不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.Z＝Ax＋By是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为________.由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做________.注：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的________的问题，统称为线性规划问题.(3)满足线性约束条件的解(x，y)叫做________，由所有可行解组成的集合叫做________.其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的________.线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内.(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：①首先，要根据(即画出不等式组所表示的公共区域).②设，画出直线l0.③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解.④最后求得目标函数的.(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出条件，确定函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即，在可行域内求得使目标函数.自查自纠1.(1)平面区域不包括包括实线(2)相同符号2.(1)目标函数线性目标函数(2)最大值或最小值(3)可行解可行域最优解(4)①线性约束条件画出可行域②z＝0④最大值或最小值(5)约束线性目标画出可行域取得最值的解类型一二元一次不等式(组)表示的平面区域例1(1)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的()A BC D解：(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x－2y＋1≥0，x＋y－3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x－2y＋1≤0，x＋y－3≥0.画出平面区域后，只有C符合题意．故选C.(2)(2019·河南高考模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x－2≤0，x－2y＋4≥0，－x－y＋2≤0，表示的平面区域的面积为________.解：依据不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，平面区域为△ABC，其中A(2，0)，B(0，2)，C(2，3)，所以S＝12×2×|AC|＝3.故填3.评析二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域(一般取坐标原点).求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形或其他特殊图形分别求解再求和. 变式1 (1)在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤|y |，|x |＜1的点(x ，y )的集合用阴影表示为下列图中的( )解：|x |＝|y |把平面分成四部分，|x |≤|y |表示含y 轴的两个区域；|x |＜1表示x ＝±1所夹含y 轴的区域．故选C.(2)(2019·河南鹤壁高中高考模拟)平面区域M＝{(x ，y )||x |＋|y |≤1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）y >14－x 2，在区域M 内随机取一点，则该点取自区域N 内的概率是( )A.1－π4B.12－π16C.1－π8D.12－π8解：如图，区域M 表示的是一个正方形区域，面积是2，区域N 表示以(0，0)为圆心，12为半径的上半圆外部的区域，则在区域M 内随机取一点，该点取自区域N内的概率是2×12×1×1－12π×144×12×1×1＝12－π16 .故选B.类型二利用线性规划求线性目标函数的最优解例2 (2019·山东德州模拟)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －4≥0，x ≤4，则z ＝4x －y 的最小值为( ) A.4 B.6 C.12 D.16 解：作出可行域，如图阴影部分所示，结合图形可知当动直线z ＝4x －y 经过点A (2，2)时，动直线y ＝4x －z 在y 轴的截距最大，z min ＝4×2－2＝6.故选B.评析线性规划问题有三类：①简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；②线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；③线性规划的实际应用. 一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.应注意目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)中b 的正负对z 取最大还是最小的影响.变式2 (2019·浙江卷)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，3x －y －4≤0，x ＋y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值是( ) A.－1 B.1 C.10 D.12 解：作出可行域，如图阴影部分所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，3x －y－4＝0，解得A (2，2)，化目标函数z ＝3x ＋2y 为y ＝－32x ＋12z ，由图可知，当直线y ＝－32x ＋12z 过A (2，2)时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值10.故选C.类型三含参数的线性规划问题例3 (1)已知直线y ＝kx －3经过不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，2x －y ≤4，y ≤4所表示的平面区域，则实数k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－72，32 B.⎝⎛⎦⎤－∞，－72∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞ C.⎣⎡⎦⎤－72，74 D.⎝⎛⎦⎤－∞，－72∪⎣⎡⎭⎫74，＋∞ 解：作出可行域，如图阴影部分所示，直线y ＝kx －3过定点M (0，－3)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4，x ＋y －2＝0，解得A (－2，4)，当直线y ＝kx －3过点A 时，k ＝－3－40－（－2）＝－72；由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝4，x ＋y －2＝0，解得B (2，0)，当直线y ＝kx －3过点B 时，k ＝－3－00－2＝32. 由图形知，实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－72∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.故选B.(2)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，若z ＝2x ＋y 的最小值为3，则实数b ＝________.解：作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示．由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z ，平移直线y ＝－2x ，由图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距最小，此时z 最小为3，即2x ＋y ＝3.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，y ＝2x ，解得⎩⎨⎧x ＝34，y ＝32，即A ⎝⎛⎭⎫34，32.又点A 也在直线y ＝－x ＋b 上，即32＝－34＋b ，所以b ＝94.故填94. 评析利用可行域及最优解求参数的方法：①若线性目标函数中含有参数，可对线性目标函数的斜率讨论从而确定其过哪个顶点时取得最值；也可直接求出线性目标函数过各个顶点时对应的参数的值，然后进行检验，从而找出符合题意的参数值；②若限制条件中含有参数，则依据参数的不同范围将各种情况下的可行域画出来，再寻求最优解，从而确定参数的值. 变式3 (1)(2018·新乡模拟)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，2x ＋y －6≤0，0≤y ≤3，且z ＝mx －y (m <2)的最小值为－52，则m 等于( ) A.－56 B.13 C.1 D.54解：作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，z ＝mx －y (m <2)的最小值为－52，当m ＝0，z min ＝－3；当m <0时，z min <－3，均不合题意，故0<m <2，即目标函数的最优解过点A ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，2x －y ＋2＝0，解得A ⎝⎛⎭⎫12，3，所以－52＝m2－3，解得m ＝1.故选C.(2)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－x ＋2，y ≤kx －1，y ≥0 所表示的平面区域为面积等于14的三角形，则实数k 的值为( )A.－1B.－12C.12D.1解：由题意知k >0，且不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示．因为直线y ＝kx －1与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫1k ，0，直线y ＝kx －1与直线y ＝－x ＋2的交点为(3k ＋1，2k －1k ＋1)，所以三角形的面积为12×⎝⎛⎭⎫2－1k ×2k －1k ＋1＝14，解得k ＝1或k ＝27，经检验，k ＝27不符合题意，所以k ＝1.故选D.类型四非线性目标函数的最优解问题例4 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则(x＋1)2＋y 2的取值范围是________.解：作出可行域如图阴影部分所示．(x ＋1)2＋y 2表示可行域内的点到点(－1，0)距离的平方．可以看出可行域内的点到点(－1，0)最小的距离为点(－1，0)到直线2x ＋y －2＝0的距离，即d ＝|2×（－1）－2|4＋1＝455，则(x ＋1)2＋y 2 的最小值为165；可行域内B 点距离点(－1，0)最远，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0，解得B (2，3)，此时(x ＋1)2＋y 2＝(2＋1)2＋32＝18.综上，(x ＋1)2＋y 2的取值范围为⎣⎡⎦⎤165，18. 故填⎣⎡⎦⎤165，18. 评析线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围. 即：一画二移三求.其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义.常见的目标函数有：①截距型：形如z ＝ax ＋by ，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb，通过求直线的截距的最值间接求出z 的最值；②距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2或z ＝|cx ＋dy ＋e |；③斜率型：形如z ＝y －bx －a.本题属于距离型.变式4 (2018·湘中高三联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x －1，x ≤3，x ＋5y ≥4，则x y的最小值是________.解：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，又xy 表示平面区域内的点与原点连线的斜率的倒数．由图知，斜率均为正且直线OA 的斜率最大，此时x y 取得最小值，所以⎝⎛⎭⎫x y min ＝1kOA ＝32.故填32.类型五线性规划与整点问题例5 设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＞0，2x ＋y －7＞0，x ≥0，y ≥0，若x ，y 为整数，则3x ＋4y 的最小值为( )A.14B.16C.17D.19解：画出可行域如图，令3x ＋4y ＝z ，y ＝－34x＋z4，过x 轴上的整点(1，0)，(2，0)，(3，0)，(4，0)，(5，0)处作格子线，可知当y ＝－34x ＋z4过(4，1)时有最小值(对可疑点(3，2)，(2，4)，(4，1)逐个试验)，此时z min ＝3×4＋4＝16.故选B .评析求解整点问题，对作图精度要求较高，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点，有时也可用不等式(组)确定整点.变式5 设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，y ≤－nx ＋3n （n ∈N *）所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为a n (a n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝______.解：直线y ＝－nx ＋3n ＝－n (x －3)，过定点(3，0)，由y ＝－nx ＋3n ＞0得x ＜3，又x ＞0，所以x ＝1或x ＝2.直线x ＝2交直线y ＝－nx ＋3n 于点(2，n )，直线x ＝1交直线y ＝－nx ＋3n 于点(1，2n )，所以整点个数a n ＝n ＋2n ＝3n .故填3n .类型六线性规划在实际问题中的应用例6 (2019·安徽合肥模拟)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A ，B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时.A ，B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为( )A.320千元B.360千元C.400千元D.440千元解：设生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，利润z 千元，⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960，x ，y ∈N ，z ＝2x ＋y ，作出⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当直线z ＝2x ＋y 经过A (150，60)(满足x ∈N ，y ∈N )时，z 取得最大值，为360.故选B.评析对于此类有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形在第一象限的某个顶点.变式6 (2018·黄冈联考)一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料，生产一桶甲饮料需要白糖4千克、果汁18千克，用时3小时；生产一桶乙饮料需要白糖1千克、果汁15千克，用时1小时.现库存白糖10千克、果汁66千克，生产一桶甲饮料利润为200元，生产一桶乙饮料利润为100元.在使用该机器用时不超过9小时的条件下，生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为________元.解：设生产甲、乙两种饮料分别为x 桶、y 桶，利润为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，3x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，6x ＋5y ≤22，3x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝200x ＋100y .作出可行域如图阴影部分所示．当直线z＝200x ＋100y 经过可行域上点B 时，z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ＝10，6x ＋5y ＝22，得点B 的坐标(2，2)，故z max＝200×2＋100×2＝600.故填600.1.(2019·合肥一中月考)在平面直角坐标系xOy中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤3，－1≤x －y ≤1表示的图形的面积等于( )A.1B.2C.3D.4 解：不等式组对应的平面区域如图，即对应的区域为正方形ABCD ，其中A (0，1)，D (1，0)，边长AD ＝2，则正方形ABCD 的面积S ＝2×2＝2.故选B.2.(2019·全国卷Ⅱ)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≥0，x ＋y －3≤0，y －2≤0，则z ＝3x －y 的最大值是________. 解：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线3x －y ＝0，并平移，当直线经过点(3，0)时，直线在y 轴上的截距最小，此时z＝3x －y 取得最大值，且z max ＝9.故填9.3.(2019·广西高考模拟)某公司每月都要把货物从甲地运往乙地，货运车有大型货车和小型货车两种.已知4台大型货车与5台小型货车的运费之和少于22万元，而6台大型货车与3台小型货车的运费之和多于24万元.则2台大型货车的运费与3台小型货车的运费比较( )A.2台大型货车运费贵B.3台小型货车运费贵C.二者运费相同D.无法确定解：设大型货车每台运费x 万元，小型货车每台运费y 万元，依题意得⎩⎨⎧4x ＋5y <22，6x ＋3y >24，x >0，y >0，z ＝2x －3y 过点A (3，2)时，z 最小．所以z >2×3－3×2＝0，即2x >3y .故选A.4.(2019·江苏高考模拟)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，3x －2y ＋3≥0，3x ＋y －6≤0，则z ＝x 2＋y 2的最小值为( ) A.1 B.3105 C.31313 D.55解：由图知z ＝x 2＋y 2的最小值为原点(0，0)到直线x －2y ＋1＝0的距离，则最小距离为15＝55.故选D.5. (2018·安徽江南十校联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤ln x ，x－2y－3≤0，y ＋1≥0，则z ＝y ＋1x 的取值范围为________. 解：作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示．z ＝y ＋1x表示区域内的点(x ，y )与A (0，－1)连线的斜率k ，由图可知，k min ＝0，k max ＝k AP ，P 为切点，设P (x 0，ln x 0)，k AP ＝1x 0，所以ln x 0＋1x 0＝1x 0，所以x 0＝1，k AP ＝1，即z ＝y ＋1x的取值范围为[0，1]．故填[0，1]．。

基本不等式-2021新高考数学自主复习课件39张

第2节
基本不等式
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21高考数学新高考一轮复习考点考法精练：第一章第四讲基本不等式含解析

第四讲基本不等式1.[2020四省八校联考]若a >0,b >0,ab =2,则a +2b 的最小值为 ( )A.2√2B.4C.4√2D.62.已知关于x 的不等式x 2 - 4ax +3a 2<0(a <0)的解集为(x 1,x 2),则x 1+x 2+ax 1x 2的最大值是( )A.√63 B.2√33C.4√33D.-4√333.[2020惠州市二调][双空题]设x ,y 为正数,若x +y2=1,则1x +2y 的最小值是 ,此时x = .4.[2020惠州市一调]已知x >54,则函数y =4x +14x -5的最小值为 . 5.[2020江苏扬州中学阶段检测]已知正数x ,y ,z 满足(x +2y )(y +z )=4yz ,且z ≤3x ,则3x 2+2y 23xy的取值范围是 .6.[多选题]已知a >1,b >1且ab - (a +b )=1,那么下列结论正确的是 ( )A .a +b 有最小值2+2√2B .a +b 有最大值2+2√2C .ab 有最大值1+√2D .ab 有最小值3+2√27.[2020合肥市调研检测]若直线l :ax - by +2=0(a >0,b >0)经过圆x 2+y 2+2x - 4y +1=0的圆心,则1a+1b的最小值为 ( )A.2√2B.√2C.2√2+1D.√2+328.[2019福建宁德市、福鼎市三校联考]已知正数a ,b ,c 满足4a - 2b +25c =0,则lg a +lg c - 2lg b 的最大值为 ( ) A. - 2 B.2 C. - 1 D.1 9.直线ax +by +1=0与圆x 2+y 2=1相切,则a +b +ab 的最大值为 ( )A.1B.-1C.√2+12 D.√2+110.[2020湖南师大附中高三摸底测试]已知正项等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5,若存在两项a m ,a n ,使得a m ·a n =16a 12,则1m+9n 的最小值为 .11.[2020四川天府名校第一轮联考]已知实数a >b >c >0,若不等式1a -b +1b -c +kc -a ≥0恒成立,则k 的最大值是 .12.[2019湖南湘潭模拟]某单位有员工1 000名,平均每人每年创造利润10万元,为了增加企业竞争力,该单位决定优化产业结构,调整出x (x ∈N *)名员工从事第三产业,调整后从事第三产业的员工平均每人每年创造的利润为10(a - 0.8x%)(a >0)万元,剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高0.4x%.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润,则最多调整出多少名员工从事第三产业?(2)在保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润的条件下,若要求调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,求a 的取值范围.第四讲基本不等式1.B 因为a >0,b >0,ab =2,所以a +2b ≥2√2ab =4,当且仅当{a =2b,ab =2,即{a =2,b =1时取等号.故选B.2.D ∵不等式x 2 - 4ax +3a 2<0(a <0)的解集为(x 1,x 2), ∴在方程x 2 - 4ax +3a 2=0中,由根与系数的关系知x 1x 2=3a 2,x 1+x 2=4a ,则x 1+x 2+a x 1x 2=4a +13a . ∵a <0, ∴ - (4a +13a )≥2√4a ×13a =4√33,当且仅当4a =13a ,即a = -√36时等号成立.∴4a +13a≤ -4√33,故x 1+x 2+a x 1x 2的最大值为 -4√33.故选D .3.4 12因为x +y 2=1,x >0,y >0,所以1x+2y=(1x+2y)(x +y 2)=2+y2x+2x y≥2+2√y2x×2x y=4,当且仅当y2x=2x y,即x =12,y =1时等号成立,所以1x +2y 的最小值为4,此时x =12.4.7 解法一当x >54时,y =4x +14x -5=4x - 5+14x -5+5≥2+5=7,当且仅当4x - 5=14x -5,即x =32时取等号,故y =4x +14x -5的最小值为7.解法二由题意得y' =4 - 4(4x-5)2,x>54.令y' =0,得x=32.当54<x<32时,y' <0,函数y=4x+14x-5单调递减;当x>32时,y' >0,函数y=4x+14x-5单调递增.所以当x=32时,函数y=4x+14x-5取得最小值,即y min=4×32+14×32-5=7.5.[2√63,53]由(x+2y)(y+z)=4yz,得xy+2y2+xz=2yz,z=xy+2y22y-x≤3x.又x,y,z为正数,所以2y-x>0,xy+2y2≤6xy- 3x2,所以3x2+2y2≤5xy.因为3x2+2y2≥2√6xy,当且仅当√3x=√2y时等号成立,所以3x2+2y23xy ≤5xy3xy=53,3x2+2y23xy≥2√6xy3xy=2√63,所以3x2+2y23xy的取值范围为[2√63,53].6.AD由ab - (a+b)=1得ab=1+(a+b)≤(a+b2)2(当且仅当a=b>1时取等号),即(a+b)2 - 4(a+b) - 4≥0且a+b>2,解得a+b≥2+2√2.∴a+b有最小值2+2√2,故A正确,B错误.由ab- (a+b)=1得ab- 1=a+b≥2√ab(当且仅当a=b>1时取等号),即ab - 2√ab- 1≥0且ab>1,解得ab≥3+2√2,∴ab有最小值3+2√2,故D正确,C错误.故选AD.7.D直线ax - by+2=0(a>0,b>0)经过圆x2+y2+2x - 4y+1=0的圆心,所以圆x2+y2+2x - 4y+1=0的圆心(- 1,2)在直线ax- by+2=0上,可得- a- 2b+2=0,即a+2b=2,所以1a +1b=12(a+2b)(1a+1b)=32+1 2(2ba+ab)≥32+√2ba·ab=32+√2,当且仅当2ba=ab,即a=2√2- 2,b=2 - √2时等号成立,所以1a+1b的最小值为32+√2,故选D.8.A由4a- 2b+25c=0,变形为4a+25c=2b.∵4a+25c≥2√100ac,当且仅当4a=25c时等号成立,∴2b≥2√100ac,即b2≥100ac.∴lg a+lg c–2lg b=lg acb2≤lg 10 - 2= - 2,故选A.9.C∵直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相切,∴圆心O(0,0)到直线ax+by+1=0的距离等于半径,即=1,∴a2+b2=1.易知a+b+ab的最大值一定在a>0,b>0时取得,∴a+b+ab=√(a+b)2+ab=√1+2ab+ab.令√1+2ab=t,则ab=t2-12.∵ab≤a2+b22=12(当且仅当a=b=√22时取“=”)且ab>0,∴1<t≤√2.∴a+b+ab=√1+2ab+ab=12t2+t - 12=12(t+1)2 - 1,∴当t=√2时,(a+b+ab)max=√2+12.故选C.10.114设正项等比数列{a n}的公比为q,且q>0,由a7=a6+2a5,得a1q6=a1q5+2a1q4,即q2 - q - 2=0,解得q=2.由a m·a n=16a12,得q m+n - 2=16,所以2m+n - 2=24,得m+n=6.1 m +9n=m+n6(1m+9n)=16(1+nm+9mn+9)≥10+2√n m×9m n6=83,当且仅当{nm=9mn,m+n=6,即{m=32,n=92时取等号,因为m,n为正整数,所以等号不成立,所以1m +9n>83.验证可得当m=2,n=4时,1m +9n取得最小值,最小值为114.11.4因为a>b>c>0,所以a - b>0,b - c>0,a - c>0,由不等式1a-b +1b-c+kc-a≥0恒成立,得k≤a-ca-b+a-cb-c=a-b+b-c a-b +a-b+b-cb-c=1+b-ca-b+1+a-bb-c恒成立.因为b-ca-b +a-bb-c≥2√b-ca-b·a-bb-c=2,当且仅当b - c=a - b时取等号,所以k的最大值是4.12.(1)由题意得10(1 000 - x)(1+0.4x%)≥10×1 000,即x2 - 750x≤0,又x>0,所以0<x≤750,即最多调整出750名员工从事第三产业.(2)易知调整出的员工创造的年总利润为10(a- x125)x万元,剩余员工创造的年总利润为10(1000 - x)(1+x250)万元,则10(a - x125)x≤10(1 000 - x)(1+x250),化简得ax≤x2250+1 000+3x,即a≤x250+1 000x+3对任意的x∈(0,750]恒成立.易知x250+1 000x≥2√x250·1 000x=4,当且仅当x250=1 000x,即x=500时等号成立,则x250+1 000x+3≥7,所以a≤7,又a>0,所以0<a≤7,故a的取值范围是{a|0<a≤7}.。