2021届高考数学核按钮【新高考广东版】2.3 基本不等式

2.3 基本不等式

1．如果a ＞0，b ＞0，那么 叫做这两个正数的算术平均数． 2．如果a ＞0，b ＞0，那么 叫做这两个

正数的几何平均数．

3．重要不等式：a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥ (当

且仅当a ＝b 时取等号)．

4．基本不等式：a ＞0，b ＞0，则 ，当

且仅当a ＝b 时等号成立，即两个正数的算术平均

数不小于它们的几何平均数．

5．求最小值：a >0，b >0，当ab 为定值时，a

＋b ，a 2＋b 2有 ，即a ＋b ≥ ，a 2＋b 2

≥ .简记为：积定和最小． 6．求最大值：a ＞0，b ＞0，当a ＋b 为定值时，

ab 有最大值，即 ，亦即 ；或a 2＋b 2为定值时，ab 有最大值(a ＞0，b ＞0)，即 .简记为：和定积最大． 7．拓展：若a ＞0，b ＞0时，21a ＋1b ≤ ≤a ＋b 2

≤ ，当且仅当a ＝b 时等号成立．

自查自纠 1.a ＋b 2 2.ab 3.2ab 4.a ＋b 2≥ab 5．最小值 2ab 2ab 6．ab ≤

⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 ab ≤14(a ＋b )2

ab ≤a 2＋b 22 7.ab a 2＋b 2

2

1.下列说法正确的是( ) A.a ≥0，b ≥0，则a 2＋b 2≥2ab B.函数y ＝x ＋1

x

的最小值是2

C.函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝

⎛⎭⎫0，π2的最小值等于4

D.“

x

>0且y >0”是“x y ＋y

x

≥2”的充分不必要

条件

解：选项A 中，a ＝b ＝0.1时不成立；选项B

中，当x ＝－1时y ＝－2；选项C 中，x ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫

0，π2时，

0

cos x

无最小值；选项D 中，

当x y ＋y x ≥2时，需x y

>0即xy >0，故“x >0且y >0”为充分不必要条件．故选D. 2.(2019·首都师范大学附中模拟)在各项均为正

数的等比数列{}a n 中，a 6＝3，则a 4＋a 8 ( )

A.有最小值6

B.有最大值6

C.有最大值9

D.有最小值3

解：因为a 6＝3，所以a 4a 8＝a 26＝9，所以a 4＋a 8≥2a 4a 8＝6，当且仅当a 4＝a 8＝3时等号成立．故选A. 3．(2019·玉溪一中月考)已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，

则f (x )在⎣⎡⎦⎤12，3上的最小值为 ( ) A.12 B.4

3

C.－1

D.0 解：因为x ∈⎣⎡⎦⎤12，3，所以f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x

，即x ＝1时取等

号．又1∈⎣⎡⎦⎤12，3，所以f (x )在⎣⎡⎦

⎤1

2，3上的最小值为0.故选D. 4．(2019·北京高二期末)当且仅当x ＝________时，函数y ＝4x ＋1

x (x >0)取得最小值． 解：由于x >0，由基本不等式可得y ＝4x ＋

1

x ≥24x ·1x ＝4，当且仅当4x ＝1x (x >0)，即当x ＝12时，

等号成立．故填12.

5．(2019·河南高考模拟)若实数x ，y 满足2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最大值是________．

解：由题得2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当x ＝y ＝－1时取等号)， 所以1≥22x ＋y ，所以14≥2x ＋y ，所以2－2≥2x

＋y ，所以x ＋y ≤－2. 所以x ＋y 的最大值为－2.故填－2.

类型一 利用基本不等式求最值

例1 (1)已知a >0，b >0，且4a ＋b ＝1，则ab 的最大值为________．

解法一：因为a >0，b >0，4a ＋b ＝1，所以1＝

4a ＋b ≥24ab ＝4ab ，当且仅当4a ＝b ＝1

2

，即a

＝18，b ＝12时，等号成立．所以ab ≤14，ab ≤116

，则ab 的最大值为1

16

.

解法二：因为4a ＋b ＝1，所以ab ＝1

4

·4a ·b ≤

14⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋b 22＝116，当且仅当4a ＝b ＝12，即a ＝18， b ＝12时等号成立，所以ab 的最大值为116.故填116. (2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．

解：因为x <54，所以5－4x >0，

则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫

5－4x ＋15－4x ＋3≤－2

（5－4x ）·1

5－4x ＋3＝－2＋3＝1.当且

仅当5－4x ＝1

5－4x

，即x ＝1时，等号成立．故填

1.

(3)(2020届山东滨州高三9月期初考试)已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab ，则2a ＋b 的最小值为________．

解：因为a ＞0，b ＞0，由2a ＋b ＝ab ⇒2b ＋1

a

＝

1，故2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2b ＋1a ＝4＋4a b ＋b

a

≥4＋4＝8.当且仅当4a b ＝b

a ，即

b ＝2a ＝4时等号成立．

另解：因为a ＞0，b ＞0，所以ab ＝2a ＋b ≥22ab ，解得ab ≥8，当且仅当2a ＝b 时等号成立．故填8.

点拨 利用基本不等式解决最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．注意：使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可．

变式1 (1)(2019·济南联考)若a >0，b >0且2a

＋b ＝4，则1

ab

的最小值为 ( )

A.2

B.12

C.4

D.1

4

解：因为a >0，b >0，故2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b 时取等号)．

又因为2a ＋b ＝4，所以22ab ≤4⇒0

所以1ab ≥12，故1ab 的最小值为1

2(当且仅当a ＝1，b ＝

2时等号成立)．故选B.

(2)设0

2

，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为

________．

解：y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－

2x )]≤2⎣⎢⎡⎦

⎥⎤2x ＋（3－2x ）22＝9

2，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．因为34∈⎝⎛⎭

⎫0，32，所以函数y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎫0

. (3)(2019·潍坊调研)函数y ＝a 1

－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，

且m ，n 为正数，则1m ＋1

n 的最小值为________．

解：因为曲线y ＝a 1－x 恒过定点A ，x ＝1时，y ＝1，所以A (1，1)．

将A 点代入直线方程mx ＋ny －1＝0(m >0，n >0)，可得m ＋n ＝1，

所以1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ·(m ＋n )＝2＋n m ＋m

n

≥2＋2n m ·m n ＝4，当且仅当n m ＝m n

且m ＋n ＝1(m >0，n >0)，

即m ＝n ＝1

2

时，取得等号．故填4.

类型二 利用基本不等式求参数的值

或范围

例2 (1)(2019·黑龙江哈尔滨市第六中学期末)

若对任意x >0，都有4x

x 2＋x ＋1

≤a 恒成立，则实数a

的取值范围是________．

解：因为x >0，所以x ＋1

x

≥2(当且仅当x ＝1时

取等号)，所以4x x 2＋x ＋1＝41x

＋x ＋1≤42＋1＝4

3

，即

4x x 2＋x ＋1

的最大值为4

3，即实数a 的取值范围是

⎣⎡⎭⎫43，＋∞.故填⎣⎡⎭

⎫43，＋∞.