《应用离散数学》方景龙版-2.2 谓词公式及其解释
应用离散数学-谓词逻辑
谓 词 逻 辑《应用离散数学》第2章21世纪高等教育计算机规划教材目录2.1 个体词、谓词与量词2.2 谓词公式及其解释2.3 谓词公式的等价演算2.4 谓词公式的推理演算在命题逻辑中，命题是最基本的单位，对原子命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在联系和数量关系。
因而命题逻辑具有局限性，甚至无法判断一些简单而常见的推理。
例如，考虑下面著名的苏格拉底三段论：● 所有的人都是要死的。
● 苏格拉底是人。
● 所以，苏格拉底是要死的。
这个推理是公认的真理，但在命题逻辑中却无法判断它的正确性。
因为在命题逻辑中只能将推理中出现的三个原子命题依次符号化为p ， q ， r ，将推理的形式结构符号化为由于上式不是永真式，所以不能由它判断推理的正确性。
命题逻辑无法准确描述这个推理过程，原因在于命题逻辑本身未对各原子命题之间的内部成分的逻辑关系加以研究。
为了更准确地对命题进行符号化，我们需要把一个逻辑判断的对象和谓语分离并细化，分析出其中的个体词、谓词和量词，研究它们的形式结构和逻辑关系、推理规则和推理形式，这就是本章的基本内容。
2.1.1 个体词与谓词定义2.1 在原子命题中，表示对象的词称为个体词；表示对象所具有的性质或多个对象之间关系的词称为谓词。
个体词一般是原子命题中的主语或宾语。
个体词可以是具体事物，也可以是抽象的概念，例如，小王，夏天，偶数，思想等都可以作为个体词。
特定的个体词称为个体常元，用小写字母 a ， b， c ， L 或 表示；不确定的个体词称为个体变元，用小写字母 x ， y ， z ， L或 表示。
谓词一般是原子命题中的谓语，通常用大写字母 或 表示。
含有n 个 个体变元的谓词称为n元谓词，也称为n元简单命题函数，通常记为 。
它实际上是 到{0，1}的一个函数，其中D i是个体变元x i的个体域。
所谓个体域就是个体变元遍历的非空集合。
一般地，个体域应事先给定，如果没有给定，则约定个体域是全体事物构成的集合，称为全总个体域。
离散数学-合式公式和谓词推理
2-3 谓词公式 与翻译
定义： 谓词演算的合式 公式
（1）原子谓词公式是合式公式。 （2）若A是合式公式，则A是一个合式 公式。 （3）若A和B都是合式公式，则(AB)， (A B)，(A B)和(A B)是合式公式。 （4）如果A是合式公式，x是A中出现的 任何变元，则( x)A和( x)A都是合 式公式。 （5）只有经过有限次地应用规则(1)、(2)、 (3)、(4)所得到的公式是合式公式。
2-7 谓词演算的 推理理论
（1）全称指定规则， 它表示为US ( x) P (x) P (c)
这里P是谓词，而C是 论域中某个任意的客体。
（2）全称推广规则， 它表示为UG
P (x) Biblioteka x) P (x)这个规则是要对命题量化， 如果能够证明对论域中每一个 客体C断言P(c)成立。
（3）存在指定规则， 它表示为ES
( x) P (x) P (c)
C是论域中的某些客体， 必须注意，其指定的客体C不 是任意的。
（1）存在推广规则， 它表示为EG P (c) ( x) P (x)
这里C是论域中的一个
客体，对于某些客体C成立。
•命题演算中的P、T和 CP规则等亦可在谓 词推理理论中应用
离散数学(第四章)解读.
§2.1 一阶逻辑命题符号化
例如，下列推理： 所有的人都是要死的。 苏格拉底是人。 苏格拉底是要死的。 众所周知,这是真命题。但在命题逻辑中,如 果用P,Q,R表示以上三个命题，则上述推理过 程为：（P∧Q）R。借助命题演算的推理理 论不能证明其为重言式。
§2.1 一阶逻辑命题符号化
原因：命题逻辑不能将命题之间的内在联系 和数量关系反映出来。 解决办法：将命题进行分解。
§2.1 一阶逻辑命题符号化
设谓词H表示“是劳动模范”, a表示个体名称 张明, b表示个体名称李华,c表示个体名称这只老 虎，那么H(a) 、 H(b)、 H(c)表示三个不同的命 题,但它们有一个共同的形式,即H(x).一般地， H(x)表示客体x具有性质H。这里x表示抽象的或 泛指的客体，称为个体变元，常用小写英文字 母x, y, z, …表示。相应地，表示具体或特定的客 体的词称为个体常项，常用小写英文字母a,b,c, …表示。
§2.1 一阶逻辑命题符号化
刻划一个个体性质的词称之为一元谓词 ,刻划 n 个个 体之间关系的词称之为n元谓词. 一般我们用大写英文字母表示谓词，用小写英文字 母表示客体名称，例如，将上述谓词分别记作大写 字母F、G、H、R，S则上述命题可表示为： (1) F(a) a：张明 (2) F(b) b：李华 (3) G(c) c：王红 (4) H(s,t) s：小李 t：小赵 (5) R(a,b,c) (6) S(a,b) a:阿杜 b:阿寺 其中(1)、(2)、 (3)为一元谓词， (4) 、 (6)为二元谓词 ， (5)为三元谓词。
2.5谓词演算的推理理论(Inference theory of
predicate calculus)
§2.1 一阶逻辑命题符号化
《离散数学》讲义 - 2
注意：
①括号的约定，与命题逻辑合式公式对括号的约定 类似，但量词后的括号不能省略。 ②谓词合式公式简称为谓词公式。
离散数学
23
小结
谓词函数
谓词和客体变元 谓词函数、命题 客体变元取值范围及真值
个体域和全总个体域 量词
存在量词和全称量词（表示及判定）
谓词公式 谓词表达式表示命题或句子（带有量词）
32
小结
谓词公式翻译
量词 谓词函数 联结词
离散数学
33
2－3习题作业
P62 (3)a),c);(5);(7)
离散数学
34
2－4 变元的约束
离散数学
35
1、概念
（1）指导变元（作用变元）和作用域（辖域） 给定a为一个谓词公式，其中有一部分公式形 式为(x)P(x)或(x)P(x)。其中、后面跟的x 叫做量词的指导变元或作用变元；P(x)叫做相应量 词的作用域或辖域。 注意：括号有决定性的作用。
离散数学 28
附3：一些人对某种食物过敏。 解：设：M(x)：x是人。 R(y)：y是食物。 Q(x,y)：x对y过敏。 (x)(M(x)(y)(R(y)Q(x,y)))
离散数学
29
附4：有且仅有一个偶数是质数。 分析：命题（有一个偶数是质数）（只有一个偶数是质 数） 解：设：P(x)：x是偶数。 Q(x)：x是质数。 E(x,y)：x等于y。 (x)((P(x)Q(x))(y)( (P(y)Q(y))E(x,y))) 或 (x)((P(x)Q(x))(y)( (P(y)E(x,y))Q(y)))
离散数学
38
2、n元谓词的确定－约束变元的概念
根据约束变元的概念，P(x1,x2,…,xn)是n元 谓词，它有n个相互独立的自由变元。若对其中的 k个变元进行约束则成为n－k元谓词。即根据谓词 公式中所包含的自由变元的个数。 谓词公式中如果没有自由变元出现，则该公式 就成为一个命题。
离散数学____第二章_谓词逻辑(很清晰)
例如：著名的苏格拉底三段论： 苏格拉底（前469-前 显然这是正确的推理，但在命题逻辑中 399） 古希腊唯心主义 却无法(wúfǎ)得到证明。
哲学家。
P∧Q R
判断P∧Q→R是否重言式？ P∧Q R
关系P。 0元谓词：不含客体变元的谓词。如F(x) 为一元谓词、
P(x,y)为二元谓词，而F(a)、G(a,b)为0元谓词，即一 般的命题。
精品资料
例
设有如下命题，并用谓词进行表示(biǎoshì)。 P：王童是一个三好学生； Q：李新华是李兰的父亲；
SR：：是张一强个与(谢yī莉是ɡè好)三朋好友学；生 aFS：：：王武是童汉的位父于亲北京和广州之间。 命 Tb：题：李P新可与华表示是为好：朋S友(a)
精品资料
将命题(mìng tí)函数→命题(mìng tí) 的两种方法
1）将变元取定具体(jùtǐ)的值，如P(a),P(b)。 2）将谓词量化。如( x)P(x), ( x)P(x)。
精品资料
命题函数(hánshù)举例
例.设S(x)表示(biǎoshì)“x学习很好”, W(x)表示 (biǎoshì)“x工作很
好”, A(x)表示(biǎoshì)“ x身体好”
S(x) 表示(biǎoshì)“x学习不是很好”, S(x) ∧W(x) 表示(biǎoshì)“x学习和工作都很好”。
A(x)→( S(x)∧ W(x)) 表示(biǎoshì)“如果x身体不好，则x的学习与工作都不 会好”。 S(x), W(x)是简单命题函数, 而 S(x), S(x) W(x), A(x)→( S(x)∧ W(x))是复 合命题函数。
离散数学19.谓词公式与翻译
解：（1）令F(x): x是正数.M(x):x大于零.
则符号化为：（x）(F(x)M(x)).
（2）令E(x): x小于2. S(x):x是素数.则符号化为：
（x)(E(x)∧S(x)).
（3）令D(x): x是有理数.F(x):x能表示成分数.则符号化为：
学情分析
学生已经掌握谓词的概念和表示方法，能充分理解量词的含义并能合理运用。
教学评价
师生互动，启发式教学引导学生思考并进而解决问题；深入分析，用例题加深学生对知识点的理解。
课程资源
参考书目，网上教学视频，网络微课。
教学过程：
一、谓词合式公式
定义：称n元谓词A(x1,x2,...,xn)为原子谓词公式，其中x1,x2,...,xn是客体变元。
4）如果A是合式公式，x是A中的任何客体变元，则(x) A和(x) A也是合式公式；
5)只有经过有限次地应用规则(1)-(4)所得的公式是合式公式.
谓词合式公式也叫谓词公式，简称公式.
下面都是合式公式：
P，(P→Q)，(Q(x)∧P)，(x)(A(x)→B(x))，(x)C(x)
而下面都不是合式公式：
教学设计
课程名称
《离散数学》
教师姓名
授课题目
谓词公式与翻译
授课章节
§2.3谓词公式与翻译
授课对象
数学与应用数学专业
教学目标
熟练掌握量词与联结词在谓词翻译里面的使用
教学方式
启发式
教学内容
谓词中量词与联结词的使用
教学重点
量词与联结词的使用
教学难点
谓词函数的使用
教学方法和策略
采用多媒体课件辅助，通过例子说明量词和联结词的使用方法；注意师生互动，以学生为教学主体，共同完成教学目标。
离散数学-合式公式和谓词推理
定义： 谓词演算的合式 公式
（1）原子谓词公式是合式公式。 （2）若A是合式公式，则A是一个合式 公式。 （3）若A和B都是合式公式，则(AB)， (A B)，(A B)和(A B)是合式公式。 （4）如果A是合式公式，x是A中出现的 任何变元，则( x)A和( x)A都是合 式公式。 （5）只有经过有限次地应用规则(1)、(2)、 (3)、(4)所得到的公式是合式公式。
2-7 谓词演算的 推理理论
（1）全称指定规则， 它表示为US ( x) P (x) P (c)
这里P是谓词，而C是 论域中某个任意的客体( x) P (x)
这个规则是要对命题量化， 如果能够证明对论域中每一个 客体C断言P(c)成立。
（3）存在指定规则， 它表示为ES
( x) P (x) P (c)
C是论域中的某些客体， 必须注意，其指定的客体C不 是任意的。
（1）存在推广规则， 它表示为EG P (c) ( x) P (x)
这里C是论域中的一个
客体，对于某些客体C成立。
•命题演算中的P、T和 CP规则等亦可在谓 词推理理论中应用
《应用离散数学》方景龙版-2.2 谓词公式及其解释
§2.2 谓词公式及其解释习题2.21. 指出下列谓词公式的指导变元、量词辖域、约束变元和自由变元。
（1）))()((y x Q x P x ，→∀ （2）)()(y x yQ y x xP ，，∃→∀（3）)())()((z y x xR z y Q y x P y x ，，，，∃∨∧∃∀解 （1）x ∀中的x 是指导变元；量词x ∀的辖域是),()(y x Q x P →；x 是约束变元，y 是自由变元。
（2）x ∀中的x ，y ∃中的y 都是指导变元；x ∀的辖域是)(y x P ，，y ∃的辖域是)(y x Q ，；)(y x P ，中的x 是x ∀的约束变元，y 是自由变元；)(y x Q ，中的x 是自由变元，y 是y ∃的约束变元。
（3）x ∀中的x ，y ∃中的y 以及x ∃中的x 都是指导变元；x ∀的辖域是))()((z y Q y x P y ，，∧∃，y ∃的辖域是)()(z y Q y x P ，，∧，x ∃的辖域是)(z y x R ，，；)(y x P ，中的x ，y 都是约束变元；)(z y Q ，中的y 是约束变元；z 是自由变元，)(z y x R ，，中的x 为约束变元，y ，z 是自由变元。
2. 设个体域}21{，=D ，请给出两种不同的解释1I 和2I ，使得下面谓词公式在1I 下都是真命题，而在2I 下都是假命题。
（1）))()((x Q x P x →∀（2）))()((x Q x P x ∧∃解（1）解释1I ：个体域}21{，=D ，0:)(,0:)(>>x x Q x x P 。
（2）解释2I ：个体域}21{，=D ，2:)(,0:)(>>x x Q x x P 。
3. 对下面的谓词公式，分别给出一个使其为真和为假的解释。
（1）)))()(()((y x R y Q y x P x ，∧∃→∀ （2）)),()()((y x R y Q x P y x →∧∀∀解 （1）成真解释：个体域D ＝{1,2,3},0:)(<x x P ,2:)(>y y Q ,3:),(>+y x y x R 。
离散数学讲义第2章
10
2-2 命题函数与量词（续）
例3：Q(x, y)：“x比y重” 当x，y指人或物时，它是一个命题，若x，y为实数时， Q(x, y)不是命题。
b) (x)(P(x)(y) R(x,y)) (x)的作用域是：(P(x)(y)(R(x,y))， (y)的作用域是：R(x,y)。 x,y为约束变元。
22
2-4 变元的约束（续）
c) (x)(y)(P(x,y)Q(y,z))(x)P(x,y) (x)(y)的作用域是：(P(x,y)Q(y,z)) x,y为约束变元，z是自由变元。 (x)的作用域是P(x,y) x为约束变元，y是自由变元。
例2：没有不犯错误的人。(F(x), M(x)) 解： (x)(M(x) F(x))
且该命题与“任何人都会犯错误”意义相同： (x)(M(x) F(x))
例3：尽管有些人聪明，但未必一切人都聪明。(P(x),M(x)) 解： (x)(M(x) P(x)) ((x)(M(x) P(x)))
18
某些为假。
例5：(P(x, y) P(y, z)) P(x, z)。考虑P(x, y)的解释： （1）“x小于y”，则P(x, y)永真。 （2）“x为y的儿子”，则P(x, y)永假。 （3）“x距离y10米”，则P(x, y)可能为真或假。
12
2-2 命题函数与量词（续）
个体变元：函数P(x)中的x。
(z)(P(z)R(z,y)) Q(x,y) 但不可换名为
(y)(P(y)R(y,y)) Q(x,y) 或
离散数学(2.3谓词公式与翻译)
1
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.1谓词的概念与表示(Predicate and its expression) 2.2命题函数与量词(Propositional functions & Quantifiers) 2.3谓词公式与翻译(Predicate formulae) 2.4变元的约束(Bound of variable) 2.5谓词演算的等价式与蕴含式(Equivalences &
implications of predicate calculus)
2.6前束范式(Prenex normal form)
2.7谓词演算的推理理论(Inference theory of predicate calculus)
2
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.3谓词公式与翻译(Predicate formulae)
5
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
• 例2：在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1）所有运动员都钦佩某些教练. （2）有些运动员不钦佩教练. 设：L(x):x是运动员 J(y):y是教练 A(x,y):x钦佩y (1) (x)(L(x) （y)(J(y)∧A(x,y)))
(Q(δ,0)∧(Q(δ , x a)Q(ε,
f ( x) f ()a ) ). ))
8
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
应用离散数学(方景龙)课后答案
令原子命题 p ：若下雪超过 20 公分，学校就停课， q ：若温度低于 −10°C ，学校就 停课，则同或和异或分别符号化为： p ∨ q 和 ( p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) 。
我认为该语句想表示的是“同或”。
6. 给出下列各蕴涵形式命题的逆命题、否命题和逆否命题。 （1）如果今天下雪，我明天就去滑雪。 （2）只要有测验，我就来上课。 （3）只有当正整数没有 1 和它自己以外的因数时，它才是质数。 解 （1）逆命题：如果我明天去滑雪，就今天会下雪；否命题：如果今天不下雪，我 明天就不去滑雪；逆否命题：如果我明天没去滑雪，今天就没下雪。 （2）逆命题：我来上课，就有测验；否命题：只要没有测验，我就不来上课；逆否命 题：我不来上课，就没有测验。 （3）逆命题：正整数是质数，则它没有 1 和它自己以外的因数；否命题：只有当正整 数有 1 和它自己以外的因数时，它才不是质数；逆否命题：正整数不是质数，则它有 1 和它 自己以外的因数。
§1.1 命题和逻辑连接词
习题 1.1
1. 下列哪些语句是命题，在是命题的语句中，哪些是真命题，哪些是假命题，哪些命题
的真值现在还不知道？
（1）中国有四大发明。
（2）你喜欢计算机吗？
（3）地球上海洋的面积比陆地的面积大。
（5） 2 + 3 = 6 。
（4）请回答这个问题！
（6） x + 7 < 10 。
（1）你的车速没有超过每小时 120 公里。 （2）你的车速超过了每小时 120 公里，但没接到超速罚款单。 （3）你的车速若超过了每小时 120 公里，将接到一张超速罚款单。 （4）你的车速不超过每小时 120 公里，就不会接到超速罚款单。 （5）你接到一张超速罚款单，但你的车速没超过每小时 120 公里。 （6）只要你接到一张超速罚款单，你的车速就肯定超过了每小时 120 公里。
离散数学(2.2命题函数与谓词)
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
小结:本节介绍了n元谓词、命题函数、全称量 词和存在量词等概念。重点掌握全称量词和 存在量词及量化命题的符号化。 作业：P59 （2）单数
20
x(M(x) F(x)).
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers) (2) 当个体域为全体学生的集合时： 令P(x): x要参加考试。则（2）符号化为xP(x). 当个体域为全总个体域时： 令S(x): x是学生。则（2）符号化为 x(S(x) P(x)). (3) 当个体域为全体整数的集合时： 令P(x): x是正的。N(x): x是负的。则（3）符号化为 x(P(x)∨N(x)) . 当个体域为全总个体域时： 令I(x): x是整数。则（3）符号化为 x(I(x)(P(x)∨N(x))).
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
• 在命题函数中，客体变元的取值范围称为 个体域，又称之为论域。个体域可以是有 限事物的集合，也可以是无限事物的集合。 • 全总个体域：宇宙间一切事物组成的个体 域称为全总个体域。
10
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
离散数学(第2.2-2.3)陈瑜详解
2020/9/30
计算机学院
4/87
四类符号
常量符号：一般用a,b,c,…,a1,b1,c1,…来表示，它可以 是D中的某个元素;
变量符号：一般用x,y,z,…, x1,y1,z1,…来表示.它可以取 值于D中的任意元素；
函数符号：一般用f,g,h,…, f1,g1,h1,…来表示。n元 函数符号f(x1,x2,...xn)可以是Dn→D的任意一个函数；
4）只有有限次使用1）～3）产生的符号串才是项。
例2.1
a
x
复合函数f(g(f(a),g(a,x)))
是一个项
f(a)
g(a，x)
g(f(a)，g(a，x))
2020/9/30
f(g(f(a)，g(a，x)))
计算机学院
9/87
定义2.7 设P(x1,x2,x3,...xn)是n元谓词，t1,t2,t3,...tn是项, 则P(t1,t2,t3,...tn)是原子谓词公式，简称原子公式。
陈瑜
Email：chenyu.inbox@
30 September 2020
§2.2 谓词公式与解释
同命题演算一样，在谓词逻辑中也同样包含命 题变元和命题联结词，为了能够进行演绎和推 理，为了对谓词逻辑中关于谓词的表达式加以 形式化，利用联结词、谓词与量词构成命题函 数，因此我们必须引入公式的概念。
变量符号：一般用x,y,z,…, x1,y1,z1,…来表示.它可以取 值于D中的任意元素；
函数符号：一般用f,g,h,…, f1,g1,h1,…来表示。n元函 数符号f(x1,x2,...xn)可以是Dn→D的任意一个函数；
谓词符号：一般用P,Q,R,..., P1,Q1,R1,...来表示。n元 谓词符号P(x1,x2,...xn)可以是Dn→{0,1}的任意一个谓 词。
离散数学19.谓词公式与翻译
下面都是合式公式： P，(P→Q)，(Q(x)∧P)，(x)(A(x)→B(x))，(x)C(x)
而下面都不是合式公式： xyP(x) ，P(x)∧Q(x)x.
为了方便，最外层括号可以省略，但是若量词后边 有括号，则此括号不能省. 注意：公式(x)(A(x)→B(x))中x后边的括号不是最外 层括号，所以不可以省略.
谓词公式与翻译
一、谓词合式公式
定义：称n元谓词A(x1,x2,...,xn)为原子谓词公式，其 中x1,x2,...,xn 是客体变元。
例如 Q, A(x) , A(x,y), A(x,f(x)), B(x,y,z), B(x,a,b) 都 是原子谓词公式。
定义：谓词合式公式递归定义如下： 1）原子谓词公式是合式公式； 2）如果A是合式公式，则A也是合式公式； 3）如果A、B是合式公式，则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)、 (AB)都是合式公式； 4）如果A是合式公式，X是A中的任何客体变元，则(X) A和 (X) A也是合式公式； 5)只有经过有限次地应用规则(1)-(4)所得的公式是合式公式.
P(|x-a|,0))→Q(|f(x)-b|, )).
例1 在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1）凡正数都大于零. （2）存在小于2的素数. （3）没有不能表示成分数的有理数. （4）并不是所有参加考试的人都能取得好成绩.
解：（1）令F(x): x是正数.M(x):x大于零. 则符号化为：（x）(F(x)M(x)).
（2）令E(x): x小于2. S(x):x是素数.则符号化为： （x)(E(x)∧S(x)).
6
例2 对任意小的正数，存在一个正数，使得当
0<|x-a|<时，有|f(x)-b|<.此时称 lim f x b . xa 解：令P(x,y)表示“x大于y”, Q(x,y)表示“x小于y”,故 lim f x b 可命题符号化为： xa ( )( ) (x)(((P(,0)→P(,0))∧Q(|x-a|,)∧
离散数学 第二章 谓词演算及其形式系统
第二章谓词演算及其形式系统2.1 个体、谓词和量词内容提要谓词演算中把一切讨论对象都称为个体，它们可以是客观世界中的具体客体，也可以是抽象的客体，诸如数字、符号等。
确定的个体常用a，b，c等到小写字母或字母串表示。
a，b，c等称为常元（constants）。
不确定的个体常用字母x，y，z，u，v，w等来表示。
它们被称为变元（variables）。
谓词演算中把讨论对象——个体的全体称为个体域（domain of individuals）），常用字母D表示，并约定任何D都至少含有一个成员。
当讨论对象遍及一切客体时，个体域特称为全总域（universe），用字母U表示。
例如，当初中学生说“所有数的平方非负”时，实数集是个体域；而达尔文在写《物种起源》时，则以全体生物为个体域；也许哲学家更偏爱全总域。
讨论常常会涉及多种类型个体,这时使用全总域也是比较方便的。
当给定个体域时，常元表示该域中的一个确定的成员，而变元则可以取该域中的任何一个成员为其值。
表示D上个体间运算的运算符与常元、变元组成所谓个体项（terms）。
例如，x+y，x2等。
我们把语句中表示个体性质和关系的语言成分（通常是谓语）称为谓词（predicate）。
谓词携有可以放置个体的空位，当空位上填入个体后便产生一个关于这些个体的语句，它断言个体具有谓词所表示的性质和关系。
通常把谓词所携空位的数目称为谓词的元数。
谓词演算中的量词（quantifiers）指数量词“所有”和“有”，分别用符号∀(All的第一个字母A的倒写) 和∃(Exist的第一个字母E的反写)来表示。
为了用量词∀和∃分别表示个体域中所有个体和有些个体满足一元谓词P，需引入一个变元，同时用作量词的指导变元（放在量词后）和谓词P的命名式变元：∀xP(x) 读作“所有（任意,每一个）x满足P(x)”。
表示个体域中所有的个体满足谓词P(x)。
∃x P(x) 读作“有（存在,至少有一个）x满足P(x)”。
02-23.1 谓词公式的解释和分类-课件
离散数学及其应用
例题（续）
解 (1) xF(g(x,y),z) x(xy=z)，不是命题，真值不确定。 （2）xF(g(x,a),x)F(x,y) x(xa=x)(x=y) x(0=x)(x=y) 1，因为蕴含式前件为假。 （3）xyzF(f(x,y),z) xyz(x+y=z) 1。 定理2.3.1 封闭的谓词公式在任何解释下都变成命题。 证明 略。 不是闭式的谓词公式在某些解释下也可能变成命题，如公 式(2)
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离散数学及其应用
例题
判断下列公式是永真式还是矛盾式。
1. xF(x)xF(x);
2. xF(x)(yG(y) xF(x));
3. F(x,y) (G(x,y) F(x,y)); 解 1. xF(x)xF(x)为永真式。 2. 因为p(qp) 1，而xF(x)(yG(y)xF(x))是p(qp)
离散数学及其应用
离散数学及其应用
谓词公式的解释和分类
华南理工大学 计算机科学与工程学院
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离散数学及其应用
谓词公式的解释和分类
谓词公式的解释 定义 谓词逻辑中公式A的一个解释（或赋值）I由如下四部 分组成： 1. 非空的个体域集合D； 2. A中的每个常元符号，指定D中的某个特定的元素； 3. A中的每个n元函数符号，指定Dn到D的某个特定的函数； 4. A中的每个n元谓词符号，指定Dn到{0,1}的某个特定的谓词；
2
离散数学及其应用
例题
给定解释I如下： I. 个体域为自然数集合N； II. a=0； III. N中特定的函数f(x,y)=x+y，g(x,y)=xy； IV.N中特定的谓词F(x,y)：x=y。 在
解释I下，求下列公式的真值。
离散数学及其应用课件第2章谓词逻辑
解 由于论述域为{1，2，3，4}，命题xP(x)为 x P(x) P(1) P(2) P(3) P(4)
而P(1)即“12>10”为假，所以x P(x)为假。 命题xP(x)为
x P(x) P(1) P(2) P(3) P(4) 而P(4)即“42>10”为真，所以x P(x)为真。
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例题
给定解释I如下： I. 个体域为自然数集合N； II. a=0； III. N中特定的函数f(x,y)=x+y，g(x,y)=xy； IV. N中特定的谓词F(x,y)：x=y。
在解释I下，求下列公式的真值。 1. xF(g(x,y),z); 2. xF(g(x,a),x)F(x,y); 3. xyzF(f(x,y),z);
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例题
在个体域分别为：(a):自然数集合，(b):实数集合时，将下列命题符号化， 并给出它们的真值。 1. 对于任意的x，均有x2−3x+2=(x−1)(x−2); 2. 存在x，使得x+5=2。
解 假设F(x)：x2−3x+2=(x−1)(x−2)，G(x)：x+5=2。 (a) 个体域为自然数集合。 1. 符号化为：xF(x)，真值为1。 2. 符号化为：xG(x)，真值为0。 (b) 个体域为实数集合。 1. 符号化为：xF(x)，真值为1。 2. 符号化为：xG(x)，真值为1。
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2.1.2 量词
定义2.1.5 表示个体常元或个体变元之间数量关系的词称为 量词。
量词有两种： • 全称量词 符号：
x表示对个体域“所有的x”，“每一个x”，“一切x”等。 • 存在量词 符号：
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§2.2 谓词公式及其解释
习题2.2
1. 指出下列谓词公式的指导变元、量词辖域、约束变元和自由变元。
（1）))()((y x Q x P x ，→∀ （2）)()(y x yQ y x xP ，，∃→∀
（3）)())()((z y x xR z y Q y x P y x ，，，，∃∨∧∃∀
解 （1）x ∀中的x 是指导变元；量词x ∀的辖域是),()(y x Q x P →；x 是约束变元，y 是自由变元。
（2）x ∀中的x ，y ∃中的y 都是指导变元；x ∀的辖域是)(y x P ，，y ∃的辖域是
)(y x Q ，；)(y x P ，中的x 是x ∀的约束变元，y 是自由变元；)(y x Q ，中的x 是自由变元，
y 是y ∃的约束变元。
（3）x ∀中的x ，y ∃中的y 以及x ∃中的x 都是指导变元；x ∀的辖域是
))()((z y Q y x P y ，，∧∃，y ∃的辖域是)()(z y Q y x P ，，∧，x ∃的辖域是)(z y x R ，，；)(y x P ，中的x ，y 都是约束变元；)(z y Q ，中的y 是约束变元；z 是自由变元，
)(z y x R ，，中的x 为约束变元，y ，z 是自由变元。
2. 设个体域}21{，=D ，请给出两种不同的解释1I 和2I ，使得下面谓词公式在1I 下都是真命题，而在2I 下都是假命题。
（1）))()((x Q x P x →∀
（2）))()((x Q x P x ∧∃
解（1）解释1I ：个体域}21{，=D ，0:)(,0:)(>>x x Q x x P 。
（2）解释2I ：个体域}21{，=D ，2:)(,0:)(>>x x Q x x P 。
3. 对下面的谓词公式，分别给出一个使其为真和为假的解释。
（1）)))()(()((y x R y Q y x P x ，∧∃→∀ （2）)),()()((y x R y Q x P y x →∧∀∀
解 （1）成真解释：个体域D ＝{1,2,3},0:)(<x x P ,2:)(>y y Q ,3:),(>+y x y x R 。
成假解释：个体域D ＝{1,2,3},0:)(>x x P ，2:)(>y y Q ，1:),(<+y x y x R 。
（2）成真解释：个体域D ＝{1,2,3}，0:)(<x x P ，2:)(>y y Q ，3:),(>+y x y x R 。
成假解释：个体域D ＝{1,2,3},0:)(>x x P ，0:)(>y y Q ，1:),(<+y x y x R 。
4. 给定解释I 如下： 个体域R =D （这里R 为实数集合）。
个体常元0=a 。
二元函数y x y x f -=)(，。
二元谓词y x y x P =：，)(，y x y x Q <：，)(。
在解释I 下，下列公式的含义是什么？哪些成为命题哪些不成为？成为命题的其真值又如何？ （1）))()((y x P y x Q y x ，，⌝→∀∀ （2）))())(((y x Q a y x f P y x ，，，→∀∀ （3）)))(()((a y x f P y x Q y x ，，，⌝→∀∀
（4）))())(((y x P a y x f Q y x ，，，→∀∀
解（1）公式被解释成“)(y x y x y x ≠→<∀∀”，为真命题。
（2）公式被解释成“)0(y x y x y x <→=-∀∀”，为假命题。
（3）公式被解释成“)0(≠-→<∀∀y x y x y x ”，为真命题。
（4）公式被解释成“)0(y x y x y x =→<-∀∀”，为假命题。
5. 判断下列谓词公式哪些是永真式，哪些是永假式，哪些是可满足式，并说明理由。
（1）)()(x xP x P ∃→ （2）)()(x P x xP →∃ （3）)()(x xP x P ∀→
（4）)()(x P x xP →∀
（5）))()((x P x P x ⌝→∀
（6）)()(y x xP y y x yP x ，，∀∀→∀∀ （7）)()(x y yP x y x yP x ，，∀∀→∀∀ （8）)()(y x yP x y x yP x ，，∀∃→∃∀
（9）)()(y x xP y y x yP x ，，∃∀→∀∃
（10）))()((x y P y x P y x ，，→∀∀
解（1）因为当存在某个x 使)(x P 取1时)(x xP ∃一定取1，所以公式是为永真式。
（3）取解释1I ：个体域为自然数集合，0)(2
≥x x P ：。
在1I 下公式的前件与后件均为真，所以公式为真，即不是永假式。
取解释2I ：个体域仍为自然数集合，但)(x P 取为0>x 。
在2I 下公式不成为命题，即不是永真式。
综合知公式为可满足式。
（5）取解释1I ：个体域为自然数集合，0)(2
≥x x P ：。
在1I 下，对任意的x ，)(x P 为真而)(x P ⌝为假，所以公式为假，即不是永真式。
取解释2I ：个体域仍为自然数集合，但)(x P 取为02
<x 。
在2I 下，对任意的x ，)(x P 为假而)(x P ⌝为真，所以公式为真，即
不是永假式。
综合知公式为可满足式。
（7）公式为永真式，用非形式化的反证法证明如下：若公式非永真，则存在一个解释，使得)(y x yP x ，∀∀取1而)(x y yP x ，∀∀取0。
)(x y yP x ，∀∀取0表明存在某对00,y x 使得)(00x y P ，取0，从而)(y x yP x ，∀∀也应取0。
这与前面说)(y x yP x ，∀∀取1矛盾。
故公式是永真式。
（9）
设I 为任意一个解释，个体域为D 。
若)(y x yP x ，∀∃取1，即存在D x ∈0，
使得)(0y x yP ，∀为真，从而)(y x xP y ，∃∀为真，故)()(y x xP y y x yP x ，，∃∀→∀∃为真。
所以在解释I 下公式为真，由I 的任意性可知，公式为永真式。
（2）、（4）、（6）、（8）、（10）略。
6. 判断下列谓词公式哪些是永真式，哪些是永假式，哪些是可满足式，并说明理由。
（1）))()(())()((y yQ x xP x Q x P x ∀∧∀→∧∀ （2）))()(())()((y yQ x xP x Q x P x ∀∨∀→∨∀ （3）)())()((y yQ y yQ x xP ∃∧∃→∀⌝ （4）))()(())()((x xQ y P x Q y P x ∀→→→∀ （5）))()(())()((x xQ x P x Q x P x ∀→→→∀ （6）)))()(()((x P y x yQ x P →∀→⌝， （7）))()(()(y x P y x Q y x P ，，，→→ 解 略 7. 给出一个非闭式的永真式，给出一个非闭式的永假式，给出一个非闭式的可满足式。
解 略。