Leslie人口模型

Leslie人口模型

模型三、Leslie人口模型

在短时期内男女性别比通常是不会发生变化的，因此讨论总人口的发展变化趋势与只讨论女性人口数量的变化情况意义是相同的。

在该模型中，我们将人口年龄离散化，大小等间隔地分成h个年龄组，相应地，将时间离散化为时段，每十年为一个时段。

k,0,1,2xk()记时段k第i个年龄组的女性人口总数为， i

h，且该年龄组的女性生育率(该年龄组的女性在1个时段内

xkbxk(1)()，,,ii1i,1

bsd,,1的平均生育数量)为，该年龄组的死亡率为d，则相应的存活率为，

iiii

sd,,1在稳定的环境下存活率与生育率基本上是不随时间的变化而改变biii sd,,1b的，，因此我们将存活率与生育率看作是常数。则人口的变化情况满iii

足以下条件:

第k+1时段，第一个年龄组的女性人口数量是时段k各个年龄段生育的人口数之和，即

h (6) xkbxk(1)()，,,ii1i,1

时段k+1第i+1个年龄段的女性人口数量是k时段第i个年龄组存活下来的女性人口数量，即

xksxkih(1)(),1,2,，,, (7) iii，1

记时段k女性人口数量按年龄组的分布向量为

T (8) Xkxkxkxk()((),(),,()),129

XkLXk(1)()，, 综合上述(6)(7)(8)得:

其中由出生率和存活率构成的Leslie矩阵为

bbbb,,1289,,s000,,1,, L,000s,,2,,0,,

,,000s8,,

X(0)当矩阵L和按照年龄组的初始分布向量已知时，可以预测任意时段k的女性人口按年龄组的分布情况:

kXkLXk()(0),0,1,2,,, (9) 稳定状况分析:

01,1,2,9,,,si根据和的定义，矩阵L中的元素满足: sbiii

b,0，且至少有一个 xksxkih(1)(),1,2,，,,iiii，1

定理1:L矩阵有唯一的正特根值，且它是单根，对应的特征向量为 ,,11

ssssssn*T11212 ,X(1,,,,)n2,,,111

k,2,3,,9且L矩阵的其他n-1个特征值满足， ,,,,1kk

定理2:若L矩阵第一行有两项顺次的元素都大于0，则，bb,,,,ii，11k

Xk()且由(8)式确定的满足

xk()*bs ，其中c是由，及X(0)决定的常数。 (10) ,limcXiik,,k,1

k*,, 由(10)式可知:XkcX()，这表明当k充分大时女性人口总量趋向

*X于稳定，而且各年龄组的数量占总量的比例与特征向量中对应分量所占比例**XX相同，也就是说表示了女性人口按照年龄组的分布状况，故可称为稳定X(0)分布，它与初始分布无关。

XkXk(1)()，,xkxk(1)()，,, 由上式可得:，即，其个年龄组的数量都ii ,是上一年龄组数量的倍，即人口数量的增长完全取决于L矩阵唯一的特征值。,,1,,1,,1显然有时，人口递增，，人口总量保持不变，时，人口递减。对于该问题我们首先将女性人口年龄离散化，将0—89岁的女性人口按照10年的间隔分为9个年龄段，将大于等于90岁的女性划分为一个年龄段。

b下面针对每一年中给出的表格数据计算某年的不同年龄段女性的生育率i s和存活率，其计算方法如下: i

生育率的计算:

1)计算每一个地域每一个年龄的女性的生育率:

j，9

，其中n=1,2,3分别代表城、镇、乡三种地域，即此时bbp,*,mnmnjnmj,

mjjj,，，,1,9年龄为j在第n个地域的女性的生育率等于年龄为岁的女性生pb育率与该年龄女性性别比成绩之和。 mnmn

2)计算每一个地域不同年龄段的女性的生育率:

10*9i，'[10*1,10*9]ii,，，即为计算年龄段在内的第n个地

bb,,injnji,,10*1

域的女性生育率的平均水平;

3):除去地域因素，计算不同年龄段的女性的生育率:

3'q，其中表示第n个地域的女性占总女性数量的性别比bbnq,*,nniin,1 例;

存活率的计算方法与上述生育率的计算方法类同:

1)计算每一个地域不同年龄段的存活率:

10*9i，1'，其中n的意义同上; ss,,injn10ji,,10*1

2)消除地域因素，计算每个年龄段的存活率:

3'q ，其中意义同上; ssq,*,iniininn,1

则最终的女性生育率与存活率为2001—2005年的相应数值的平均值

得到Leslie矩阵如下

:

0.00130.37390.52600.08220.003800000,,

,,0.9945000000000,,

,,00.994700000000

,,000.99030000000,,

,,0000.9863000000,,00000.971400000,,

,,000000.92610000,,

0000000.7968000,,

,,00000000.217400,,,,000000000.09530,,

,,,0.99171 此Leslie矩阵对应的最大特征值为:，这也就意味着人口发展的总趋势随着时间的推移人口会越来越少。

根据中国人口统计年鉴有关数据，将2005年的数据作为出示时刻的数据，对将来的人口进行预测:

X(0)(15136.66,21513.44,16515.48,23826.12,20177.82,16495.11,9480.04,, T5731.74,1636.09,147.26)

2015年的人口按照年龄分布向量为:

X(1)(1.8786,1.5053,2.1399,1.6355,2.35,1.9601,,

T1.5276,0.7554,0.1246,0.0156)

x(2015)13.8926,亿总人口数量为

2035年的总人口数量按照年龄分布向量为:

X(3)(1.6689,1.8242,1.8584,1.4828,2.0902,1.567,

T2.1141,1.4464,0.2646,0.0156)

x(2035)14.3322,总人口数量为亿,，

为了进一步观察我国人口未来的发展趋势，我们计算了2105年的中国人口按照年龄的分布向量为:

X(10)(1.6661,1.659,1.6658,1.6853,1.6343,1.5573,,

T1.1558,1.1386,0.2762,0.027)

x(2105)12.9544,此时人口的总量为:亿

得到未来一百年人口预测表格如下:

2015 2025 2035 2045 2055 2065 2075 2085 2095 2105 1.8786 1.8343

1.6689 1.7916 1.7342 1.6914 1.7204 1.6839 1.6682 1.6661 1.5053 1.8683 1.8242 1.6597 1.7817 1.7246 1.6821 1.7109 1.6746 1.659

2.1399 1.4974 1.8584 1.8645 1.6509 1.7723 1.7155 1.6732 1.7018 1.6658 1.6355 2.1192

1.2328 1.8403 1.7969 1.6349 1.7551 1.6988 1.657 1.6853

2.35 1.6131 2.1962 1.5625 1.8151 1.7723 1.6125 1.731 1.6756 1.6343 1.9601 2.2828 1.567 2.0304 1.4207 1.7632 1.7216 1.5664 1.6815 1.6276 1.5276 1.8152 2.1641 1.4512 1.8803 1.3157 1.6329 1.5944 1.4506 1.5573