专题3.1 动量和能量

第- 7 -页

专题三 动量和能量

第一讲 动能定理与能量守恒

要点梳理：

1、功的基本问题

（1）关于功的计算问题：

①W=FL cos α这种方法只适用于恒力做功。

②用动能定理W=ΔE k 或功能关系求功。当F 为变力时，往往考虑用这种方法求功。 （2）关于求功率问题：

①t

W P = 所求出的功率是时间t 内的平均功率。

②功率的计算式：θcos Fv P =，其中θ是力与速度间的夹角。一般用于求某一时刻的瞬时功率。

（3）常见力做功的特点:

①重力做功和路径无关，只与物体始末位置的高度差h 有关：W=mgh ， 当末位置低于初位置时，W ＞0，即重力做正功；反之重力做负功。 ②滑动摩擦力做功与路径有关。

滑动摩擦力做功的绝对值等于摩擦力与路程的乘积。在两个接触面上因相对滑动而产生的热量

相对滑S F Q =，其中滑F 为滑动摩擦力，相对S 为接触的两个物体的相对路程。

2.动能和动能定理

K E mv mv W ∆=-=

2

1222

121合 ①不管是否恒力做功，该定理都成立；对于变力做功，应用动能定理要更方便、更迅捷。 ②动能为标量，但2

1222

121mv mv E K -=

∆仍有正负，分别表示动能的增减。 3．功能关系的几个常用公式:

①物体动能的增量由外力做的总功来量度，即：K E W ∆=外

； ②物体重力势能的增量由重力做的功来量度，即：P G

E W ∆-=；

③物体机械能的增量由重力以外的其他力做的功来量度，即：E W ∆=其他

，

当0=其他W 时，说明只有重力做功，所以系统的机械能守恒；

④一对互为作用力反作用力的摩擦力做的总功，用来量度该过程系统由于摩擦而减小的机械能，也就是系统增加的内能。相对滑S F Q =，其中滑F 为滑动摩擦力，相对S 为接触物的相对路程。

题型分类聚焦： 类型一：功、功率的计算

例1：如图1，定滑轮至滑块的高度为h ，已知细绳的拉力为F （恒定），滑块沿水平面由A 点前进S 至B 点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β。求滑块由A 点运动到B 点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。

分析：设绳对物体的拉力为T ，显然人对绳的拉力F 等于T 。T 在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。而拉力F 的大小和方向都不变，所以F 做的功可以用公式W=FScosa 直接计算。

解答：由图1可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中,拉力F 的作用点的位移大小为：

βαsin sin 21h h S S S -=

-=∆ )sin 1

sin 1(.β

α-=∆==Fh S F W W F T

点评：若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。而恒力做功又可以用W=FScosa 计算，从而使问题变得简单。

变式1：某人用F=100N 的恒力，通过滑轮把物体M 拉上斜面，如图，F 的方向与斜面成60°角，物体沿斜面上升1m 的过程，此力F 做的功是：（ ）

A ．50J

B ．150J

C ．200J

D ．条件不足，无法确定

分析：物体在力F 的作用下沿斜面上升1m ，但力F 的作用点位移并不是1m 。

类型二：机车起动的问题

例2：汽车发动机额定功率为60 kW ，汽车质量为5.0×103 kg ，汽车在水平路面行驶时，受到的阻力大小是车重的0.1倍，试求：若汽车从静止开始，以0.5 m/s 2的加速度匀加速运动，则这一加速度能

维持多长时间？

分析：要维持汽车加速度不变，就要维持其牵引力不变，汽车功率将随V 增大而增大，当P 达到额定功率P

额后，不能再增加，即汽车就不可能再保持匀加速运动了.变化过程可用如下图表示：

第- 8 -页

解答：汽车达到最大速度之前已经历了两个过程：匀加速和变加速，匀加速过程能维持到汽车功率增加到P 额的时刻，设匀加速能达到最大速度为V 1，则此时s 16:11=⎪⎩

⎪

⎨⎧=-==t ma kmg F FV P at

V 代入数据可得额

点评：汽车的速度达到最大时，一定是机车的加速度为零，弄清了这一点，利用平衡条件就很容易求出机车的最大速度。汽车匀加速度运动能维持多长时间，一定是机车功率达到额定功率的时间，弄清了这一点，利用牛顿第二定律和运动学公式就很容易求出机车匀加速度运动能维持的时间。

变式2：质量kg m 3

100.4⨯=的汽车，发动机的额定功率为KW p 40=，汽车从静止以

2/5.0s m a =的加速度行驶，所受阻力N F f 3100.2⨯=，则汽车匀加速行驶的最长时间为多少？汽车

可能达到的最大速度为多少？

类型三：动能定理的应用

例3：如图所示，AB 与CD 为两个对称斜面，其上部都足够长，下部分分别与一个光滑的圆弧面的两端相切，圆弧圆心角为1200

，半径R=2.0m,一个物体在离弧底E 高度为h=3.0m 处，以初速度V 0=4m/s 沿斜面运动，若物体与两斜面的动摩擦因数均为μ=0.02,则物体在两斜面上（不包括圆弧部分）一共能走多少路程？（g=10m/s 2

）.

分析：由于滑块在斜面上受到摩擦阻力作用，所以物体的机械能将逐渐减少，最后物体在BEC 圆弧上作永不停息的往复运动。由于物体只在在BEC 圆弧上作永不停息的往复运动之前的运动过程中，重力所做的功为W G =mg(h-R/2),摩擦力所做的功为W f =-μmgscos600

解答：由动能定理得： mg(h-R/2) -μmgscos600=0-2

021mV

∴s=280m.

点评：利用动能定理能求解变力做功，知道始末速度。分析中间过程各力做功情况，注意动能的变化对应的是合外力的总功。

变式3：如图所示，斜面足够长，其倾角为α，质量为m 的滑块，距挡板P 为0s ，以初速度0v 沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求滑块在斜面上经过的总路程为多少？

分析：滑块在滑动过程中，要克服摩擦力做功，其机械能不断减少；又因为滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，所以最终会停在斜面底端。

例4：如图所示，在水平桌面的边角处有一轻质光滑的定滑轮K ，一条不可伸长的轻绳绕过K 分别与物块A 、B 相连，A 、B 的质量分别为m A 、m B ，开始时系统处于静止状态，现用一水平恒力F 拉物块A ，使物块B 上升。已知当B 上升距离为h 时，B 的速度为v ，求此过程中物块A 克服摩擦力所做的功。（重力加速度为g ）

解析：在此过程中，B 的重力势能的增量为m B gh ，A 、B 动能增量为

2)(2

1

v m m B A +，恒力F 所做的功为Fh ，用W 表示A 克服摩擦力所做的功，根据动能定理有：2)(2

1

v m m gh m W Fh B A B +=--

解得：gh m v m m Fh W B B A -+-

=2)(2

1

点评：对于这样多物体的问题，过程繁琐，用牛顿运动定律解题相当复杂，而用能量解题往往可以简化，但注意从能量角度如果是对一个物体列方程往往是用动能定理，对系统往往是总体能量观点处理问题。

变式4：儿童滑梯可以看成是由斜槽AB 和水平槽CD 组成，中间用很短的光滑圆弧槽BC 连接，如图所示.质量为m 的儿童从斜槽的顶点A 由静止开始沿斜槽AB 滑下，再进入水平槽CD ，最后停在水平槽上的E 点，由A 到E 的水平距离设为L .假设儿童可以看作质点，已知儿童的质量为m ，他与斜槽和水平槽间的动摩擦因数都为μ，A 点与水平槽CD 的高度差为h . （1）求儿童从A 点滑到E 点的过程中，重力做的功和克服摩擦力做的功.

（2）试分析说明，儿童沿滑梯滑下通过的水平距离L 与斜槽AB 跟水平面的夹角无关. （3）要使儿童沿滑梯滑下过程中的最大速度不超过v ，斜槽与水平面的夹角不能超过多少？