大学物理光的衍射
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单 缝 衍 射 双 缝 干 涉
a sin (2k 1) ， k 1,2,3„ 2
条纹坐标
B
· x
p
o
A
暗纹坐标
f
明纹坐标
xk a sin a tan a k f kf (k 1,2,) xk a xk a sin a t an a （2k 1 ） f 2 f x k (2k 1) (k 1,2,) 2a
B
f
A
( 单缝夫琅禾费衍射典型装置 )
例 在夫琅禾费单缝衍射中, 已知缝宽1.0×10-4m ，透镜焦距 为0.5m现用760nm的单色平行光垂直照射 求 (1) 中央明纹的宽度 (2) 第三级明纹距中央明纹的距离 解 一级暗纹坐标 中央明纹宽度
x1
f
a
6
2 760 10 500 x0 2 7.6 mm a 0.1
不同狭缝数的光栅衍射条纹
N 2
N 3
N 4
N 20
条纹特征： 亮度很大，分得很开，本身宽度很窄。
衍射光谱 若用白光照射光栅，则各种波长的单色光将产生各自的 衍射条纹；除中央明纹由各色光混合仍为白光外，其两
侧的各级明纹都由紫到红对称排列着。这些彩色光带， 叫做衍射光谱。
光谱分析 由于不同元素（或化合物）各有自己特定的光谱，所以 由谱线的成份，可以分析出发光物质所含的元素或化合 物；还可以从谱线的强度定量分析出元素的含量。这种 分析方法叫做光谱分析。 如测量未知合金的成分，可给该合金加高压，让灼热的 合金发射出的光照射衍射光栅，得到其特征光谱，进行 光谱分析即可得出未知合金的成分。
d sin 1 1
d sin( 1 20 ) 2
0
d 913nm
这需要每厘米大约有104条刻痕。此外，光栅狭缝总数N 与光栅的谱线亮度有关，N 越大，谱线越细也越亮，分 辨谱线的能力就越强，所以设计时N宜大一些。
四、圆孔衍射
相对光强曲线
衍射屏
孔径为D
中央亮斑 (爱里斑)
条纹说明
(1) 暗纹和中央明纹位置精确,其它明纹位置只是近似 (2) (3) (4)
λ a 0 0 0 λ a 1 0 π
0 21 2 λ a 波长越长，缝宽越小,条纹宽度越宽
波动光学退化到几何光学。 观察屏上不出现暗纹。
(5) 缝位置变化不影响条纹位置分布
f
经圆孔衍射后,一个点光源对应一个爱里斑
爱里斑的光强占入射光强的 84％ 爱里斑的半角宽度为
1.22 D
光学仪器的分辩率 几何光学 波动光学
物点 物点
一一对应
一一对应
像点 像斑
可分辨
0
刚可分辨
0
0
不可分辨
根据瑞利判据
0 1.22 D
第三级明纹坐标
f
760 10 500 x3 （2 3 1 ） 7 13.3 mm 2a 2 0.1
f
6
例 在夫琅禾费单缝衍射中,波长为 的单色光的第 3 级亮纹 与 ′=630nm的单色光的第 2 级亮纹重合 求 的值 。
解
根据题意有
a sin 3 (2 3 1)
0
观察者 S
d =120 cm
五、X射线衍射
X射线 波长从0.01~10nm之间的电磁辐射叫做X射线。
劳厄斑点 X射线通过晶体时发生衍射，在照相底片上 形成的很多按一定规则分布的斑点。
晶体 劳厄斑 X射线管 铅板 底片
布喇格公式 如图所示：晶面间距为 d ， X 射线掠射角为θ 相邻两晶面散射出的X射线之间的光程差为：
显微镜的分辨率
L
物空间 像空间
B
z
A
B
由阿贝正弦条件
又 可得
n
n
f
z A
nz sin nz sin
D2 sin f
(
n 1
0.61 z n sin
1.22f z f 0 D
n sin 数值孔径 )
例 在迎面驶来的汽车上，两盏前灯相距120 cm ，设夜间人眼 瞳孔直径为 5.0 mm ，入射光波为 550 nm
(1) 暗纹条件
a sin 2k ，k 1,2,3„ 2
?
k =0对应着θ ＝0，是中央明纹的中心,不符合该式的含义。
(2) 明纹条件
k=0虽对应于一个半波带形成的亮点，但仍处在中央 明纹的范围内，呈现不出单独的明纹。中央明纹是对 应于 k 1 的两条暗纹之间的部分。
(3) 单缝衍射和双缝干涉条纹比较
AE EB 2d sin
两反射光干涉加强的条件：
入射波
散射波
2d sin k
(k 0,1,2)
由此布喇格公式可测出X射 线的波长或晶格的间隔
A
d
E
B
例 以铜作为阳极靶材料的X射线管发出的X射线主要是波 长 0.15 nm 的特征谱线。当它以掠射角 11o15' 照射某一组晶面时，在反射方向上测得一级衍射极大 求 该组晶面的间距。 解 由布拉格公式 得晶面间距为
例如
d a2
d a3 2
k 2,4,6 k 3,6,9
光栅衍射明纹
L
透镜离狭缝距离很近：
P
ab
x sin tan f
第 k 级明纹坐标为：
o
f
k f xk ab
相邻明纹间距为：
(a b) sin
x
f
ab
光栅中狭缝越密集，光栅常数越小，明纹间距越大，明纹 就越亮。
A
暗纹条件
a sin 2k ，k 1,2,3„ 2
a sin 3 2
B
此时缝分成三个“半波带”P , 为明纹。
B
a sin
A
a sin
A
明纹条件
a sin (2k 1) ， k 1,2,3„ 2
讨论： 为什么明、暗纹条件式中不包含k ＝0
§9.3 光的衍射
一、光的衍射
衍射：光在传播过程中绕过障碍物而偏离直线传播的现象
衍射屏
光源
观察屏
剃须刀边缘衍射
衍射现象是否明显取决于障碍物线度与波长的对比，波长 越大，障碍物越小，衍射越明显。
光的衍射分类
菲涅耳衍射 (近场衍射) 光源O ,观察屏E 到衍射屏S 的距离为有限远的衍射 夫琅禾费衍射 (远场衍射) 光源O ,观察屏E 到衍射屏S 的距离均为无穷远的衍射
-1 0 1
k
双缝光栅强度分布
光栅方程
L
缝间干涉主极大条件
P
ab
(a b) sin k
（ k 0,1,2,为主极大级数） 光栅衍射主极大
o
f
(a b) sin
缝间干涉主极大就是光栅衍射主极大，其位置满足
(a b) sin k
k 0,1,2,3,
a(sin φ sin θ )
对于暗纹有 则
k
a sin θ
A
a(sin φ sin θ ) k k sin φ sin θ a (k 1,2,3,)
φ
θ
B
a sin φ
三、光栅衍射
光栅 大量等宽等间距的平行狭缝(或反射 面)构成的光学元件 反射光栅
ds
Q
S
n
r
P
E( p )
k ( ) t r C cos[2 ( )]ds r T λ S
其中 C 由光强决定；k ( ) 为倾斜因子
二、单缝衍射
o *
f
Leabharlann Baidu
B
P
x ·
0
A C
f
( 单缝夫琅禾费衍射典型装置 )
菲涅耳根据通过单缝的光波的对称性，提出了半波带理论， 用代数加法或矢量图解代替积分，可简单解释衍射现象。
单缝衍射明纹角宽度和线宽度 角宽度 相邻两暗纹中心对应的衍射角之差
线宽度
观察屏上相邻两暗纹中心的间距
透镜 观测屏 x2 x1 1
x
x 0
1
o
0
衍射屏 中央明纹 角宽度 线宽度
f
x1
0 21 2 λ a
k 级明纹
角宽度
x0 2 f tan1 2 f 1 2 f λ a k λ a 线宽度 xk f a
A, B P 的光程差
AC a sin
( a 为缝 AB的宽度 )
沿入射方向传播的子波：
a sin 0
a sin 2 2 B
半波带
半波带
B
A
中央明纹
偏离入射方向传播的子波：
此时缝分为两个“半波带”P , 为暗纹。
1 2
B
a sin
D
A
1 2
a sin
例 一波长为 632.8 nm 的单色平行光，照射在每毫米内有 600条刻痕的平面透射光栅上,光栅后透镜的焦距f=0.5m 求 第2级明纹距光屏中心的距离，以及相邻明纹间的距离 解 光栅常数
1 1 5 d 10 m 3 600 10 6
明纹坐标
k f k f xk ab d
光学仪器的分辨率为 1 0
人眼的分辨率 人眼瞳孔直径取 d ＝2.5 mm ，用人眼最敏感的 绿光 550 nm 作为入射波，则最小分辨角为
0 1.22 2.7 10 4 rad 1' d
望远镜的分辨率
望远镜物镜孔径为D，则其最小分辨角为
0 1.22 D
望远镜除了有放大作用外，相对人眼还提高 了对物体的分辨率，所提高的倍数为D/ d
S O
P
P0
E
无限远光源
S
无限远相遇
( 菲涅耳衍射 )
( 夫琅禾费衍射 )
惠更斯—菲涅耳原理
原理内容：
(1)同一波前上的各点发出的都是相干子波。 (2)各子波在空间某点的相干叠加，就决定了该点波的强度。 数学表达式：
将波面 S 划分成无数的面元ds ，每 一面元都是子波源。 P 点的光振动 是所有面元光振动的叠加：
2
(2 2 1) a sin 2 2
此两级亮纹重合，即
a sin 3 a sin 2
5 5 630 450 nm 7 7
例 如图示，设有一波长为 的单色平面波沿着与缝平面的法 线成 θ 角的方向入射到宽为 a 的单缝 AB 上。 求 写出各级暗条纹对应的衍射角 所满足的条件。 解 在狭缝两个边缘处，衍射角为 的两光的光程差为
求 人在离汽车多远的地方，眼睛恰能分辨这两盏灯？ 解 设人离车的距离为S 时，恰能分辨这两盏灯 由题意有
d 120 cm D 5.0 mm
550 nm
又
眼睛的最小分辨角为
0 1.22 D
d S 0
d Dd 5.0 103 1.20 3 S 8 . 94 10 m 9 0 1.22 1.22 550 10
解
d sin k
1 1 5 d 10 m 3 600 10 6
105 3 7 6 4.8 10
kmax d
共7条谱线:
k 3,2,1, 0, 1, 2, 3
例 请设计一个平面透射光栅的光栅常数，使得该光栅能 将某种光的第一级衍射光谱展开20.0o的角范围。设 该光的波长范围为430nm-680nm 解 根据题意，波长 1 430 nm的紫光的第一级主明纹与 波长 2 680 nm的红光的第一级主明纹要分开20.0o
2 f 2 632.8 10 9 0.5 x2 0.38 m 1 d 10 5 6 f x xk 1 xk 0.19 m 明纹间距 d
例 一束波长为 480 nm 的单色平行光，照射在每毫米内有 600条刻痕的平面透射光栅上。
求 光线垂直入射时，最多能看到第几级光谱？共几条谱线？
透射光栅
光栅常数
d ab
光栅宽度为 l ，每毫米缝数 为 m ，则总缝数
a
b
透光宽度
N ml
不透光宽度
光栅衍射的基本特点 以二缝光栅为例
-2
-1
1 I I0
0
1
2
k
s2
只考虑单缝衍射强度分布
d
s1
a
f
P x o
-3
1 I I0
0 3
k
d 3a
只考虑双缝干涉强度分布
1 I I0
屏上的强度为单缝衍射和 缝间干涉的共同结果。
光栅方程
缺级条件分析 多缝干涉主极大光强受单缝衍射光强调制，使得主极大光 强大小不同，在单缝衍射光强极小处的主极大缺级。
(a b) sin k
a sin k
k k d a
sin k a k d
k 1,2,3,
缺级条件 缺级 缺级
a sin (2k 1) ， k 1,2,3„ 2
条纹坐标
B
· x
p
o
A
暗纹坐标
f
明纹坐标
xk a sin a tan a k f kf (k 1,2,) xk a xk a sin a t an a （2k 1 ） f 2 f x k (2k 1) (k 1,2,) 2a
B
f
A
( 单缝夫琅禾费衍射典型装置 )
例 在夫琅禾费单缝衍射中, 已知缝宽1.0×10-4m ，透镜焦距 为0.5m现用760nm的单色平行光垂直照射 求 (1) 中央明纹的宽度 (2) 第三级明纹距中央明纹的距离 解 一级暗纹坐标 中央明纹宽度
x1
f
a
6
2 760 10 500 x0 2 7.6 mm a 0.1
不同狭缝数的光栅衍射条纹
N 2
N 3
N 4
N 20
条纹特征： 亮度很大，分得很开，本身宽度很窄。
衍射光谱 若用白光照射光栅，则各种波长的单色光将产生各自的 衍射条纹；除中央明纹由各色光混合仍为白光外，其两
侧的各级明纹都由紫到红对称排列着。这些彩色光带， 叫做衍射光谱。
光谱分析 由于不同元素（或化合物）各有自己特定的光谱，所以 由谱线的成份，可以分析出发光物质所含的元素或化合 物；还可以从谱线的强度定量分析出元素的含量。这种 分析方法叫做光谱分析。 如测量未知合金的成分，可给该合金加高压，让灼热的 合金发射出的光照射衍射光栅，得到其特征光谱，进行 光谱分析即可得出未知合金的成分。
d sin 1 1
d sin( 1 20 ) 2
0
d 913nm
这需要每厘米大约有104条刻痕。此外，光栅狭缝总数N 与光栅的谱线亮度有关，N 越大，谱线越细也越亮，分 辨谱线的能力就越强，所以设计时N宜大一些。
四、圆孔衍射
相对光强曲线
衍射屏
孔径为D
中央亮斑 (爱里斑)
条纹说明
(1) 暗纹和中央明纹位置精确,其它明纹位置只是近似 (2) (3) (4)
λ a 0 0 0 λ a 1 0 π
0 21 2 λ a 波长越长，缝宽越小,条纹宽度越宽
波动光学退化到几何光学。 观察屏上不出现暗纹。
(5) 缝位置变化不影响条纹位置分布
f
经圆孔衍射后,一个点光源对应一个爱里斑
爱里斑的光强占入射光强的 84％ 爱里斑的半角宽度为
1.22 D
光学仪器的分辩率 几何光学 波动光学
物点 物点
一一对应
一一对应
像点 像斑
可分辨
0
刚可分辨
0
0
不可分辨
根据瑞利判据
0 1.22 D
第三级明纹坐标
f
760 10 500 x3 （2 3 1 ） 7 13.3 mm 2a 2 0.1
f
6
例 在夫琅禾费单缝衍射中,波长为 的单色光的第 3 级亮纹 与 ′=630nm的单色光的第 2 级亮纹重合 求 的值 。
解
根据题意有
a sin 3 (2 3 1)
0
观察者 S
d =120 cm
五、X射线衍射
X射线 波长从0.01~10nm之间的电磁辐射叫做X射线。
劳厄斑点 X射线通过晶体时发生衍射，在照相底片上 形成的很多按一定规则分布的斑点。
晶体 劳厄斑 X射线管 铅板 底片
布喇格公式 如图所示：晶面间距为 d ， X 射线掠射角为θ 相邻两晶面散射出的X射线之间的光程差为：
显微镜的分辨率
L
物空间 像空间
B
z
A
B
由阿贝正弦条件
又 可得
n
n
f
z A
nz sin nz sin
D2 sin f
(
n 1
0.61 z n sin
1.22f z f 0 D
n sin 数值孔径 )
例 在迎面驶来的汽车上，两盏前灯相距120 cm ，设夜间人眼 瞳孔直径为 5.0 mm ，入射光波为 550 nm
(1) 暗纹条件
a sin 2k ，k 1,2,3„ 2
?
k =0对应着θ ＝0，是中央明纹的中心,不符合该式的含义。
(2) 明纹条件
k=0虽对应于一个半波带形成的亮点，但仍处在中央 明纹的范围内，呈现不出单独的明纹。中央明纹是对 应于 k 1 的两条暗纹之间的部分。
(3) 单缝衍射和双缝干涉条纹比较
AE EB 2d sin
两反射光干涉加强的条件：
入射波
散射波
2d sin k
(k 0,1,2)
由此布喇格公式可测出X射 线的波长或晶格的间隔
A
d
E
B
例 以铜作为阳极靶材料的X射线管发出的X射线主要是波 长 0.15 nm 的特征谱线。当它以掠射角 11o15' 照射某一组晶面时，在反射方向上测得一级衍射极大 求 该组晶面的间距。 解 由布拉格公式 得晶面间距为
例如
d a2
d a3 2
k 2,4,6 k 3,6,9
光栅衍射明纹
L
透镜离狭缝距离很近：
P
ab
x sin tan f
第 k 级明纹坐标为：
o
f
k f xk ab
相邻明纹间距为：
(a b) sin
x
f
ab
光栅中狭缝越密集，光栅常数越小，明纹间距越大，明纹 就越亮。
A
暗纹条件
a sin 2k ，k 1,2,3„ 2
a sin 3 2
B
此时缝分成三个“半波带”P , 为明纹。
B
a sin
A
a sin
A
明纹条件
a sin (2k 1) ， k 1,2,3„ 2
讨论： 为什么明、暗纹条件式中不包含k ＝0
§9.3 光的衍射
一、光的衍射
衍射：光在传播过程中绕过障碍物而偏离直线传播的现象
衍射屏
光源
观察屏
剃须刀边缘衍射
衍射现象是否明显取决于障碍物线度与波长的对比，波长 越大，障碍物越小，衍射越明显。
光的衍射分类
菲涅耳衍射 (近场衍射) 光源O ,观察屏E 到衍射屏S 的距离为有限远的衍射 夫琅禾费衍射 (远场衍射) 光源O ,观察屏E 到衍射屏S 的距离均为无穷远的衍射
-1 0 1
k
双缝光栅强度分布
光栅方程
L
缝间干涉主极大条件
P
ab
(a b) sin k
（ k 0,1,2,为主极大级数） 光栅衍射主极大
o
f
(a b) sin
缝间干涉主极大就是光栅衍射主极大，其位置满足
(a b) sin k
k 0,1,2,3,
a(sin φ sin θ )
对于暗纹有 则
k
a sin θ
A
a(sin φ sin θ ) k k sin φ sin θ a (k 1,2,3,)
φ
θ
B
a sin φ
三、光栅衍射
光栅 大量等宽等间距的平行狭缝(或反射 面)构成的光学元件 反射光栅
ds
Q
S
n
r
P
E( p )
k ( ) t r C cos[2 ( )]ds r T λ S
其中 C 由光强决定；k ( ) 为倾斜因子
二、单缝衍射
o *
f
Leabharlann Baidu
B
P
x ·
0
A C
f
( 单缝夫琅禾费衍射典型装置 )
菲涅耳根据通过单缝的光波的对称性，提出了半波带理论， 用代数加法或矢量图解代替积分，可简单解释衍射现象。
单缝衍射明纹角宽度和线宽度 角宽度 相邻两暗纹中心对应的衍射角之差
线宽度
观察屏上相邻两暗纹中心的间距
透镜 观测屏 x2 x1 1
x
x 0
1
o
0
衍射屏 中央明纹 角宽度 线宽度
f
x1
0 21 2 λ a
k 级明纹
角宽度
x0 2 f tan1 2 f 1 2 f λ a k λ a 线宽度 xk f a
A, B P 的光程差
AC a sin
( a 为缝 AB的宽度 )
沿入射方向传播的子波：
a sin 0
a sin 2 2 B
半波带
半波带
B
A
中央明纹
偏离入射方向传播的子波：
此时缝分为两个“半波带”P , 为暗纹。
1 2
B
a sin
D
A
1 2
a sin
例 一波长为 632.8 nm 的单色平行光，照射在每毫米内有 600条刻痕的平面透射光栅上,光栅后透镜的焦距f=0.5m 求 第2级明纹距光屏中心的距离，以及相邻明纹间的距离 解 光栅常数
1 1 5 d 10 m 3 600 10 6
明纹坐标
k f k f xk ab d
光学仪器的分辨率为 1 0
人眼的分辨率 人眼瞳孔直径取 d ＝2.5 mm ，用人眼最敏感的 绿光 550 nm 作为入射波，则最小分辨角为
0 1.22 2.7 10 4 rad 1' d
望远镜的分辨率
望远镜物镜孔径为D，则其最小分辨角为
0 1.22 D
望远镜除了有放大作用外，相对人眼还提高 了对物体的分辨率，所提高的倍数为D/ d
S O
P
P0
E
无限远光源
S
无限远相遇
( 菲涅耳衍射 )
( 夫琅禾费衍射 )
惠更斯—菲涅耳原理
原理内容：
(1)同一波前上的各点发出的都是相干子波。 (2)各子波在空间某点的相干叠加，就决定了该点波的强度。 数学表达式：
将波面 S 划分成无数的面元ds ，每 一面元都是子波源。 P 点的光振动 是所有面元光振动的叠加：
2
(2 2 1) a sin 2 2
此两级亮纹重合，即
a sin 3 a sin 2
5 5 630 450 nm 7 7
例 如图示，设有一波长为 的单色平面波沿着与缝平面的法 线成 θ 角的方向入射到宽为 a 的单缝 AB 上。 求 写出各级暗条纹对应的衍射角 所满足的条件。 解 在狭缝两个边缘处，衍射角为 的两光的光程差为
求 人在离汽车多远的地方，眼睛恰能分辨这两盏灯？ 解 设人离车的距离为S 时，恰能分辨这两盏灯 由题意有
d 120 cm D 5.0 mm
550 nm
又
眼睛的最小分辨角为
0 1.22 D
d S 0
d Dd 5.0 103 1.20 3 S 8 . 94 10 m 9 0 1.22 1.22 550 10
解
d sin k
1 1 5 d 10 m 3 600 10 6
105 3 7 6 4.8 10
kmax d
共7条谱线:
k 3,2,1, 0, 1, 2, 3
例 请设计一个平面透射光栅的光栅常数，使得该光栅能 将某种光的第一级衍射光谱展开20.0o的角范围。设 该光的波长范围为430nm-680nm 解 根据题意，波长 1 430 nm的紫光的第一级主明纹与 波长 2 680 nm的红光的第一级主明纹要分开20.0o
2 f 2 632.8 10 9 0.5 x2 0.38 m 1 d 10 5 6 f x xk 1 xk 0.19 m 明纹间距 d
例 一束波长为 480 nm 的单色平行光，照射在每毫米内有 600条刻痕的平面透射光栅上。
求 光线垂直入射时，最多能看到第几级光谱？共几条谱线？
透射光栅
光栅常数
d ab
光栅宽度为 l ，每毫米缝数 为 m ，则总缝数
a
b
透光宽度
N ml
不透光宽度
光栅衍射的基本特点 以二缝光栅为例
-2
-1
1 I I0
0
1
2
k
s2
只考虑单缝衍射强度分布
d
s1
a
f
P x o
-3
1 I I0
0 3
k
d 3a
只考虑双缝干涉强度分布
1 I I0
屏上的强度为单缝衍射和 缝间干涉的共同结果。
光栅方程
缺级条件分析 多缝干涉主极大光强受单缝衍射光强调制，使得主极大光 强大小不同，在单缝衍射光强极小处的主极大缺级。
(a b) sin k
a sin k
k k d a
sin k a k d
k 1,2,3,
缺级条件 缺级 缺级